关于卡尔曼滤波器 Kalman Filter的一个较好的解释

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卡尔曼滤波通俗理解

卡尔曼滤波通俗理解
卡尔曼滤波通俗理解
卡尔曼滤波（Kalman Filter）是一种用来估计系统状态的算法。

它是一种有效的滤波算法，被用于许多模式拟合场合，如智能位置跟踪或自动控制系统。

卡尔曼滤波的核心思想是，通过先验概率分布来估计状态，而这种先验概率分布是基于观察到的测量值，以及我们对变化过程的知识，形成的。

也就是说，卡尔曼滤波给出了一种融合当前观测值和之前观测值的知识技术，用之来估计状态变量，而不仅仅是根据当前观测值来估计。

它的工作原理是，从先前状态估计，然后反馈新观测的量，根据测量值更新估计状态。

这样就可以得到一个更准确的估计。

简而言之，卡尔曼滤波使得我们可以使用当前测量值和先前观测值的组合，以估计一个可能的状态，而不仅仅是根据当前测量值来估计。

这就是卡尔曼滤波的优势所在。

卡尔曼滤波器介绍 --- 最容易理解

10.6 卡尔曼滤波器简介本节讨论如何从带噪声的测量数据把有用信号提取出来的问题。

通常，信号的频谱处于有限的频率范围内，而噪声的频谱则散布在很广的频率范围内。

如前所述，为了消除噪声，可以把 FIR滤波器或IIR滤波器设计成合适的频带滤波器，进行频域滤波。

但在许多应用场合，需要进行时域滤波，从带噪声的信号中提取有用信号。

虽然这样的过程其实也算是对信号的滤波，但所依据的理论,即针对随机信号的估计理论,是自成体系的。

人们对随机信号干扰下的有用信号不能“确知”，只能“估计”。

为了“估计”，要事先确定某种准则以评定估计的好坏程度。

最小均方误差是一种常用的比较简单的经典准则。

典型的线性估计器是离散时间维纳滤波器与卡尔曼滤波器。

对于平稳时间序列的最小均方误差估计的第一个明确解是维纳在1942年2月首先给出的。

当时美国的一个战争研究团体发表了一个秘密文件，其中就包括维纳关于滤波问题的研究工作。

这项研究是用于防空火力控制系统的。

维纳滤波器是基于最小均方误差准则的估计器。

为了寻求维纳滤波器的冲激响应，需要求解著名的维纳-霍夫方程。

这种滤波理论所追求的是使均方误差最小的系统最佳冲激响应的明确表达式。

这与卡尔曼滤波（Kalman filtering）是很不相同的。

卡尔曼滤波所追求的则是使均方误差最小的递推算法。

在维纳进行滤波理论研究并导出维纳-霍夫方程的十年以前，在1931年，维纳和霍夫在数学上就已经得到了这个方程的解。

对于维纳-霍夫方程的研究，20世纪五十年代涌现了大量文章，特别是将维纳滤波推广到非平稳过程的文章甚多，但实用结果却很少。

这时正处于卡尔曼滤波问世的前夜。

维纳滤波的困难问题，首先在上世纪五十年代中期确定卫星轨道的问题上遇到了。

1958年斯韦尔林（Swerling）首先提出了处理这个问题的递推算法，并且立刻被承认和应用。

1960年卡尔曼进行了比斯韦尔林更有意义的工作。

他严格地把状态变量的概念引入到最小均方误差估计中来，建立了卡尔曼滤波理论。

【译】图解卡尔曼滤波（KalmanFilter）

【译】图解卡尔曼滤波（KalmanFilter）译者注：这恐怕是全网有关卡尔曼滤波最简单易懂的解释，如果你认真的读完本文，你将对卡尔曼滤波有一个更加清晰的认识，并且可以手推卡尔曼滤波。

原文作者使用了漂亮的图片和颜色来阐明它的原理（读起来并不会因公式多而感到枯燥），所以请勇敢地读下去！本人翻译水平有限，如有疑问，请阅读原文；如有错误，请在评论区指出。

推荐阅读原文，排版比较美:)背景关于滤波首先援引来自知乎大神的解释。

“一位专业课的教授给我们上课的时候，曾谈到：filtering is weighting（滤波即加权）。

滤波的作用就是给不同的信号分量不同的权重。

最简单的loss pass filter，就是直接把低频的信号给1权重，而给高频部分0权重。

对于更复杂的滤波，比如维纳滤波, 则要根据信号的统计知识来设计权重。

从统计信号处理的角度，降噪可以看成滤波的一种。

降噪的目的在于突出信号本身而抑制噪声影响。

从这个角度，降噪就是给信号一个高的权重而给噪声一个低的权重。

维纳滤波就是一个典型的降噪滤波器。

”关于卡尔曼滤波Kalman Filter 算法，是一种递推预测滤波算法，算法中涉及到滤波，也涉及到对下一时刻数据的预测。

Kalman Filter 由一系列递归数学公式描述。

它提供了一种高效可计算的方法来估计过程的状态，并使估计均方误差最小。

卡尔曼滤波器应用广泛且功能强大：它可以估计信号的过去和当前状态，甚至能估计将来的状态，即使并不知道模型的确切性质。

Kalman Filter 也可以被认为是一种数据融合算法（Data fusion algorithm），已有50多年的历史，是当今使用最重要和最常见的数据融合算法之一。

Kalman Filter 的巨大成功归功于其小的计算需求，优雅的递归属性以及作为具有高斯误差统计的一维线性系统的最优估计器的状态。

Kalman Filter 只能减小均值为0的测量噪声带来的影响。

卡尔曼滤波器介绍

卡尔曼滤波器介绍摘要在1960年，R.E.Kalman发表了关于递归解决线性离散数据滤波器的著名论文，从那时间起，由于在数字计算的大部分提高，Kalman滤波器已成为广泛研究和应用的学科，尤其是自动或辅助导航系统。

Kalman滤波器是一套数学等式，它提供了一种有效的以最小均方误差来估计系统状态的计算(递归的)方法。

它在以下几方面是非常强大的：它支持过去、现在、甚至将来估计，甚至在系统准确模型也未知的情况下。

本文的目的是提供一种对离散的Kalman滤波器的实用介绍。

这些介绍包括对基本离散kalman滤波器、起源和与之相关的简单(有形)的带有真实数字和结果的描述和讨论。

1、离散的kalman滤波器在1960年，R.E.Kalman发表了关于递归解决线性离散数据滤波器的著名论文，从那时间起，由于在数字计算的大部分提高，Kalman滤波器已成为广泛研究和应用的学科，尤其是自动或辅助导航系统。

关于kalman滤波器一般方法的友好介绍可以在〔maybeck79〕的Chapter.1中找到，但是更完整部分的讨论能在〔Sorenson70〕中发现，它还包括许多有趣的历史解释。

在〔Gelb74；Grewal93；Maybeck79；Lewis86；Brown92；jacobs93〕中有更多参考。

估值过程Kalman滤波器解决估计离散时间控制过程的状态X∈R n的一般性问题，定义线性随机差分方程其中，测量值Z∈R m，定义为随机变量W K和V K各自表示系统噪声和测量噪声，我们假定它们为相互独立的、白噪声且为正常概率分布在实际中，系统噪声协方差矩阵Q和测量噪声协方差矩阵R可能随过程和测量时间而改变，无论怎样，我们在这里假定它们是常量。

在差分方程（1.1）中，n×n阶矩阵A与前一时刻（K－1）和当前时刻K相关，这里缺少传递函数或系统噪声。

注意的是，在实际中，A可能随各自时刻改变，但这里我们假定其为常量，n×l阶矩阵R与非强制性输入U∈R l和状态x有关，在测量公式（1.2）中，m×n阶矩阵H 与状态及测量值Z K有关，在实际中，H可能随各自过程或测量时刻而改变，这里假定它们是常数。

卡尔曼滤波

卡尔曼滤波卡尔曼滤波(Kalman filtering ) 一种利用线性系统状态方程，通过系统输入输出观测数据，对系统状态进行最优估计的算法。

由于观测数据中包括系统中的噪声和干扰的影响，所以最优估计也可看作是滤波过程。

斯坦利施密特(Stanley Schmidt)首次实现了卡尔曼滤波器。

卡尔曼在NASA埃姆斯研究中心访问时，发现他的方法对于解决阿波罗计划的轨道预测很有用，后来阿波罗飞船的导航电脑使用了这种滤波器。

关于这种滤波器的论文由Swerli ng (1958), Kalman (I960) 与Kalma n and Bucy (1961) 发表。

数据滤波是去除噪声还原真实数据的一种数据处理技术，Kalman滤波在测量方差已知的情况下能够从一系列存在测量噪声的数据中，估计动态系统的状态•由于，它便于计算机编程实现，并能够对现场采集的数据进行实时的更新和处理，Kalman滤波是目前应用最为广泛的滤波方法，在通信，导航，制导与控制等多领域得到了较好的应用•中文名卡尔曼滤波器，Kalman滤波，卡曼滤波外文名KALMAN FILTER表达式X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)提岀者斯坦利施密特提岀时间1958应用学科天文，宇航，气象适用领域范围雷达跟踪去噪声适用领域范围控制、制导、导航、通讯等现代工程斯坦利施密特(Stanley Schmidt)首次实现了卡尔曼滤波器。

卡尔曼在NASA埃姆斯研究中心访问时，发现他的方法对于解决阿波罗计划的轨道预测很有用，后来阿波罗飞船的导—航电脑使用了这种滤波器。

关于这种滤波器的论文由Swerling (1958)， Kalman (1960)与Kalma n and Bucy (1961) 发表。

2定义传统的滤波方法，只能是在有用信号与噪声具有不同频带的条件下才能实现. 20世纪40年代，N .维纳和A. H .柯尔莫哥罗夫把信号和噪声的统计性质引进了滤波理论，在假设信号和噪声都是平稳过程的条件下，利用最优化方法对信号真值进行估计，达到滤波目的，从而在概念上与传统的滤波方法联系起来，被称为维纳滤波。

卡尔曼滤波的原理说明(通俗易懂)

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卡尔曼滤波的原理说明在学习卡尔曼滤波器之前，首先看看为什么叫“卡尔曼”。

跟其他著名的理论（例如傅立叶变换，泰勒级数等等）一样，卡尔曼也是一个人的名字，而跟他们不同的是，他是个现代人！卡尔曼全名RudolfemilKalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。

1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。

1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。

我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《AnewApproachtoLinearFilteringandpredictionproblems》（线性滤波与预测问题的新方法）。

如果对这编论文有兴趣，可以到这里的地址下载：/~welch/kalman/media/pdf/Kalman1960.pdf 简单来说，卡尔曼滤波器是一个“optimalrecursivedataprocessingalgorithm（最优化自回归数据处理算法）”。

对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。

他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。

近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。

2．卡尔曼滤波器的介绍（IntroductiontotheKalmanFilter）为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。

但是，他的5条公式是其核心内容。

结合现代的计算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那5条公式。

卡尔曼算法原理详细讲解

卡尔曼算法原理详细讲解
卡尔曼滤波（Kalman Filter）是由美国工程师卡尔曼（Rudolf Emil Kalman）在1960年代提出的一种递推算法。

以下是卡尔曼算法原理的详细解释：
首先，假设系统具有线性状态方程和观测方程，且噪声具有高斯分布。

卡尔曼滤波器使用两个主要步骤，即预测和更新，来估计系统的状态。

1. 预测步骤：基于系统的前一状态预测当前状态。

这包括预测状态变量的期望值和协方差。

2. 更新步骤：根据新的观测数据，对预测的状态进行修正。

这包括计算卡尔曼增益、更新期望值和协方差。

这两个步骤一起形成一个递归过程，其中每个步骤都基于前一步的结果进行计算。

通过不断地重复这两个步骤，卡尔曼滤波器可以逐渐更新对系统状态的估计，以反映新的信息和数据。

此外，卡尔曼滤波器有多种变种和应用，包括扩展卡尔曼滤波器、无迹卡尔曼滤波器和粒子滤波器等。

这些变种可以处理非线性系统和不确定性，扩展了卡尔曼滤波器的应用范围。

总的来说，卡尔曼滤波器是一种高效、递归的算法，用于在不确定的环境中估计系统状态。

它通过融合不同来源的信息，如测量数据和模型预测，来估计系统状态，并且简单易实现，通常在许多应用中都能提供良好的性能。

如需更多信息，可以阅读卡尔曼滤波相关的学术文献或在线教程。

卡尔曼笔记详解

卡尔曼滤波（Kalman Filtering）是一种最优滤波算法，用于从一系列测量值中估计出系统的状态。

它由卡尔曼于1960年提出，并被广泛应用于控制、信号处理、导航等领域。

卡尔曼滤波的基本原理是结合系统模型和测量数据，通过递归的方式进行状态估计。

它假设系统的状态遵循高斯分布，并通过更新步骤来不断修正状态的估计值。

卡尔曼滤波的核心思想是融合先验信息（系统模型）和后验信息（测量数据），以达到对状态的最优估计。

具体来说，卡尔曼滤波包括两个步骤：预测步骤和更新步骤。

预测步骤：1. 根据系统的动态模型，用状态转移矩阵和控制输入来预测系统的状态。

2. 通过状态转移矩阵和系统噪声协方差矩阵，预测系统状态的协方差。

更新步骤：1. 根据测量模型，将系统的状态映射到测量空间，并计算预测的测量值。

2. 根据测量模型的协方差矩阵和测量噪声协方差矩阵，计算测量噪声。

3. 通过卡尔曼增益矩阵，将预测的状态和测量的信息进行融合，得到最优的状态估计。

4. 更新状态估计的协方差矩阵。

卡尔曼滤波的优点在于它能够在存在噪声和不确定性的情况下，通过动态地融合先验信息和后验信息，得到对系统状态的最优估计。

它还具有低计算复杂度和较好的实时性能。

然而，卡尔曼滤波的应用需要满足线性系统和高斯分布的假设，因此在非线性和非高斯系统中的应用需要进行适当的扩展，如扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter）和无迹卡尔曼滤波（Unscented Kalman Filter）。

总之，卡尔曼滤波是一种重要的状态估计算法，它通过融合系统模型和测量数据，提供对系统状态的最优估计。

它在控制、信号处理和导航等领域具有广泛的应用，并为众多实时系统提供了有效的解决方案。

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卡尔曼滤波器 Kalman Filter (zz)在学习卡尔曼滤波器之前，首先看看为什么叫“卡尔曼”。

跟其他著名的理论（例如傅立叶变换，泰勒级数等等）一样，卡尔曼也是一个人的名字，而跟他们不同的是，他是个现代人！卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。

1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。

1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。

我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预测问题的新方法）。

如果对这编论文有兴趣，可以到这里的地址下载：/~welch/kalman/media/pdf/Kalman1960.pdf简单来说，卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm（最优化自回归数据处理算法）”。

对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。

他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。

近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。

2．卡尔曼滤波器的介绍（Introduction to the Kalman Filter）为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。

但是，他的5条公式是其核心内容。

结合现代的计算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那5条公式。

在介绍他的5条公式之前，先让我们来根据下面的例子一步一步的探索。

假设我们要研究的对象是一个房间的温度。

根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设我们用一分钟来做时间单位）。

假设你对你的经验不是100%的相信，可能会有上下偏差几度。

我们把这些偏差看成是高斯白噪声（White Gaussian Noise），也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配（Gaussian Distribution）。

另外，我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的，测量值会比实际值偏差。

我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。

好了，现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：你根据经验的预测值（系统的预测值）和温度计的值（测量值）。

下面我们要用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房间的实际温度值。

假如我们要估算k时刻的是实际温度值。

首先你要根据k-1时刻的温度值，来预测k时刻的温度。

因为你相信温度是恒定的，所以你会得到k时刻的温度预测值是跟k-1时刻一样的，假设是23度，同时该值的高斯噪声的偏差是5度（5是这样得到的：如果k-1时刻估算出的最优温度值的偏差是3，你对自己预测的不确定度是4度，他们平方相加再开方，就是5）。

然后，你从温度计那里得到了k时刻的温度值，假设是25度，同时该值的偏差是4度。

由于我们用于估算k时刻的实际温度有两个温度值，分别是23度和25度。

究竟实际温度是多少呢？相信自己还是相信温度计呢？究竟相信谁多一点，我们可以用他们的covariance来判断。

因为Kg^2=5^2/(5^2+4^2)，所以Kg=0.78，我们可以估算出k时刻的实际温度值是：23+0.78*(25-23)=24.56度。

可以看出，因为温度计的covariance比较小（比较相信温度计），所以估算出的最优温度值偏向温度计的值。

现在我们已经得到k时刻的最优温度值了，下一步就是要进入k+1时刻，进行新的最优估算。

到现在为止，好像还没看到什么自回归的东西出现。

对了，在进入k+1时刻之前，我们还要算出k时刻那个最优值（24.56度）的偏差。

算法如下：((1-Kg)*5^2)^0.5=2.35。

这里的5就是上面的k时刻你预测的那个23度温度值的偏差，得出的2.35就是进入k+1时刻以后k时刻估算出的最优温度值的偏差（对应于上面的3）。

就是这样，卡尔曼滤波器就不断的把covariance递归，从而估算出最优的温度值。

他运行的很快，而且它只保留了上一时刻的covariance。

上面的Kg，就是卡尔曼增益（Kalman Gain）。

他可以随不同的时刻而改变他自己的值，是不是很神奇！下面就要言归正传，讨论真正工程系统上的卡尔曼。

3．卡尔曼滤波器算法（The Kalman Filter Algorithm）在这一部分，我们就来描述源于Dr Kalman 的卡尔曼滤波器。

下面的描述，会涉及一些基本的概念知识，包括概率（Probability），随即变量（Random Variable），高斯或正态分配（Gaussian Distribution）还有State-space Model 等等。

但对于卡尔曼滤波器的详细证明，这里不能一一描述。

首先，我们先要引入一个离散控制过程的系统。

该系统可用一个线性随机微分方程（Linear Stochastic Difference equation）来描述：X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)再加上系统的测量值：Z(k)=H X(k)+V(k)上两式子中，X(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。

A和B 是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。

Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。

W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。

他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise)，他们的covariance 分别是Q，R（这里我们假设他们不随系统状态变化而变化）。

对于满足上面的条件(线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声)，卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。

下面我们来用他们结合他们的covariances 来估算系统的最优化输出（类似上一节那个温度的例子）。

首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。

假设现在的系统状态是k，根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在状态：X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) (1)式(1)中，X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果，X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果，U(k)为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。

到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于X(k|k-1)的covariance 还没更新。

式子1，2就是卡尔曼滤波器5个公式当中的前两个，也就是对系统的预测。

现在我们有了现在状态的预测结果，然后我们再收集现在状态的测量值。

但是为了要另卡尔曼滤波器不断的运行下去直到系统过程结束，我们还要更新k状态下X(k|k)的covariance：P(k|k)=（I-Kg(k) H）P(k|k-1) (5)其中I 为1的矩阵，对于单模型单测量，I=1。

当系统进入k+1状态时，P(k|k)就是式子(2)的P(k-1|k-1)。

这样，算法就可以自回归的运算下去。

卡尔曼滤波器的原理基本描述了，式子1，2，3，4和5就是他的5 个基本公式。

根据这5个公式，可以很容易的实现计算机的程序。

下面，我会用程序举一个实际运行的例子。

4．简单例子（A Simple Example）这里我们结合第二第三节，举一个非常简单的例子来说明卡尔曼滤波器的工作过程。

所举的例子是进一步描述第二节的例子，而且还会配以程序模拟结果。

根据第二节的描述，把房间看成一个系统，然后对这个系统建模。

当然，我们见的模型不需要非常地精确。

我们所知道的这个房间的温度是跟前一时刻的温度相同的，所以A=1。

没有控制量，所以U(k)=0。

因此得出：X(k|k-1)=X(k-1|k-1) (6)式子（2）可以改成：P(k|k-1)=P(k-1|k-1) +Q (7)因为测量的值是温度计的，跟温度直接对应，所以H=1。

假设房间的真实温度为25度，我模拟了200个测量值，这些测量值的平均值为25度，但是加入了标准偏差为几度的高斯白噪声（在图中为蓝线）。

为了令卡尔曼滤波器开始工作，我们需要告诉卡尔曼两个零时刻的初始值，是X(0|0)和P(0|0)。

他们的值不用太在意，随便给一个就可以了，因为随着卡尔曼的工作，X会逐渐的收敛。

但是对于P，一般不要取0，因为这样可能会令卡尔曼完全相信你给定的X(0|0)是系统最优的，从而使算法不能收敛。

我选了X(0|0)=1度，P(0|0)=10。

该系统的真实温度为25度，图中用黑线表示。

图中红线是卡尔曼滤波器输出的最优化结果（该结果在算法中设置了Q=1e-6，R=1e-1）。

附matlab下面的kalman滤波程序：clearN=200;w(1)=0;w=randn(1,N)x(1)=0;a=1;for k=2:N;x(k)=a*x(k-1)+w(k-1);endV=randn(1,N);q1=std(V);Rvv=q1.^2;q2=std(x);Rxx=q2.^2;q3=std(w);Rww=q3.^2;c=0.2;Y=c*x+V;p(1)=0;s(1)=0;for t=2:N;p1(t)=a.^2*p(t-1)+Rww;b(t)=c*p1(t)/(c.^2*p1(t)+Rvv);s(t)=a*s(t-1)+b(t)*(Y(t)-a*c*s(t-1)); p(t)=p1(t)-c*b(t)*p1(t);endt=1:N;plot(t,s,'r',t,Y,'g',t,x,'b');。