单元质量评估(二)
高中生物全程学习方略课件：单元质量评估二新人教版必修
为高考做准备
高中生物的单元质量评估可以帮助 学生适应考试形式，积累考试经验 ，为将来的高考做好准备。
02
单元质量评估的内容 和方法
内容
知识掌握情况
评估学生对本单元知识的理解 和掌握程度，包括基本概念、
解题思路。
小组讨论
学生可以分组进行讨论 ，交流彼此的看法和思 路，共同探讨解决方案
。
教师指导
教师需要给予学生必要 的指导和帮助，引导学 生深入思考和解决问题
。
案例分析结果
01
02
03
总结答案
学生需要总结出案例分析 的答案，明确问题的解决 方案和涉及的知识点。
反思与提升
学生需要对案例分析过程 进行反思，总结经验和教 训，提升自己的思维能力 和解决问题的能力。
调整教学策略
促进学生学习
单元质量评估可以激励学生努力学习 ，发现自己的不足，明确努力方向， 提高学习效果。
教师可根据单元质量评估的结果，反 思教学方法和策略，调整教学计划， 提高教学效果。
意义
提高教学质量
通过单元质量评估，教师可以及 时发现教学中存在的问题，改进
教学方法，提高教学质量。
促进学生发展
拓展应用
学生可以将案例分析结果 应用到类似的问题中，实 现知识的迁移和应用。
06
单元质量评估的总结 和展望
总结
知识掌握情况 应用能力评估 学习态度与习惯 教师教学方法反思
通过本次评估，学生对于本单元的知识点掌握情况较好，但在 某些细节方面仍需加强。
在解决实际问题时，部分学生表现出对所学知识的应用能力较 弱，需要加强实践操作和问题解决能力的培养。
北师大版数学必修5 单元质量评估(二)
温馨提示：此套题为Word 版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。
单元质量评估(二)第二章 解三角形 (120分钟 150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在△ABC 中，已知a=5, B=105°, C=15°，求此三角形中最大的边长( )5(C)4 (D)32.(2011·锦州高二检测）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，又a 、b 、c 成等比数列，且c ＝2a ，则cosB ＝( ) (A)14(B) 34(C)4(D)33.（2011·保定高二检测）在△ABC 中，若sinC=2cosAsinB ，则三角形必为( ) （A ）等腰三角形 （B ）正三角形 （C ）直角三角形 （D ）等腰直角三角形4.(2011·天津高考）如图，在△ABC 中，D 是边AC上的点，且AB=AD ，BD ，BC=2BD ，则sinC 的值为( )(A)3(B)6(C)3(D)65.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若b 2+c 2-bc ＝a 2，且ab ，则角C 的值为( )(A)45° (B)60° (C)90° (D)120°6.三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为( )7.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，角A=60°，且最大边长和最小边长是方程x 2-7x+11=0的两个根，则第三边的长为( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)58.(2011·惠州高二检测)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.若(a 2+c 2-b 2则角B 的值为( )(A)6π (B)3π (C)6π或56π (D)3π或23π9.有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°（坡高不变），则斜坡长为________千米．( ) (A)1 (B)2sin10° (C)2cos10° (D)cos20°10.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若c ，b ，B ＝120°，则a 等于( )11.（2011·永安高二检测）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为111，，，则此人( )5810（A）不能作出这样的三角形（B）能作出一个锐角三角形（C）能作出一个直角三角形（D）能作出一个钝角三角形12.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果c，角B＝30°，那么角C等于( )(A)120° (B)105° (C)90° (D)75°二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上）13.(2011·安徽高考）已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________.14.在锐角三角形ABC中，边长a=1，b=2，则边长c的取值范围是________.15.在△ABC中，已知sin2A＝sin2C+sin2sinCsinB，则角A的值为_______．16.（2011·枣庄高二检测）在△ABC中，已知sinA∶sinB∶1，c2＝b2，则三内角A、B、C的度数依次是__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）在△ABC中，若角B＝30°，AB＝AC＝2，则△ABC的面积是多少？18.（12分）在△ABC 中，sinA=sinB sinC cosB cosC++，判断这个三角形的形状.19.（12分）某观测站C 在城A 的南偏西20°的方向(如图)，由城出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路上B 处有一人距C 为31公里，正沿公路向A 城走去，走了20公里后到达D 处，此时CD 间的距离为21公里，问这个人还要走多少公里才能到达A 城？20.（12分）(2011·山东高考）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ， 已知cosA 2cosC 2c a cosB b--=(1)求sinCsinA的值；（2）若cosB=14，△ABC 的周长为5，求b 的长.21.（12分）在△ABC 中，a 2=b(b+c)，求A 与B 满足的关系.22.（12分）（2011·湖南高考）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，且满足csinA=acosC. （1）求角C 的大小；（2sinA-cos(B+4π)的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小.答案解析1.【解析】选B.由A+B+C=180°得A= 60° ，所以b 边最长.由正弦定理得5所以选B.2.【解析】选B.∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac. 又由c ＝2a ，∴cosB ＝222a c b2ac +-＝22222a 4a ac5a 2a 32ac4a4+--==.3.【解析】选A.∵C=π-(A+B), ∴sinC=sin(A+B), ∴sin(A+B)=2cosAsinB ，即sinAcosB+cosAsinB=2cosAsinB,整理得sinAcosB-cosAsinB=0, 可得sin(A-B)=0,∴A=B.故选A.4.【解析】选D.由题意知△ABD 是等腰三角形，故cos∠ADB=1BD2AD3=，∴sin ∠BDC=sin ∠ADB=3.在△BDC 中，由正弦定理知：B C B D sin B D CsinC=∠∴sinC=BD sin BD C1BC236∠=⨯=g .5.【解析】选C.由b 2+c 2-bc ＝a 2得b 2+c 2-a 2＝bc ， ∴cosA ＝222bb c 2bc+-＝12，∴A ＝60°.又a b ＝，∴sinA sinB，∴sinB 3sinA 32＝12，∴B ＝30°，∴C ＝180°-A-B ＝90°.6.【解析】选C.设三角形未知两边长分别为8t 和5t （t>0）， 根据余弦定理得(8t)2+(5t)2-2×8t ×5t ×cos60°=142 整理得t 2=4,解得t=2 所以另两边长分别为16和10.三角形面积S= 12×16×10×sin60°.7.【解析】选C.∵最大边长和最小边长是方程x 2-7x+11=0的两个根，则b+c=7,bc=11,∴==4.8.【解析】选D.由222a c b2ac+-=cosB 结合已知等式得cosB 〃tanB ＝2，∴B= 3π或23π.9.【解析】选C.如图，∵∠CBD ＝A+∠ACB ＝20°，A=10° ∴∠ACB ＝10°.∴AB ＝BC ＝1千米．由余弦定理，知=2cos10°.10.【解析】选D.由正弦定理得sin120sinC︒＝，∴sinC ＝12.又∵c =b,角C 为锐角，∴C ＝30°，∴A ＝30°， ∴△ABC 为等腰三角形，a ＝c.故选D.11.【解析】选D.根据题意，可设1115810，，三条高所在的边长为5x,8x,10x ，又设边长为10x 的边所对的角为θ，则cos θ=()()()2225x 8x 10x 025x 8x+-<⨯⨯，∴θ为钝角，故要制作的三角形为钝角三角形.12.独具【解题提示】由正弦定理将条件中边的等式转化为角的等式求解.【解析】选A.∵a ，∴sin(180°-30°sin(30°+C)(2sinC+12cosC)，即sinC ＝cosC.∴tanC ＝.又0°<C<180°，∴C ＝120°.13.【解析】由于三角形的三边长构成公差为4的等差数列，所以可设三边长分别为x-4,x,x+4,由一个内角为120°，知其必是最长边x+4所对的角. 根据余弦定理得(x+4)2=x 2+(x-4)2-2x(x-4)〃cos120°即2x 2-20x=0解得x=10或x=0,由题意知x>0,∴x=10,∴S △ABC =12×10×6×sin120°.答案：14.独具【解题提示】由cosC ＞0及三角形两边之差小于第三边，求c 的范围. 【解析】∵cosC ＞0, ∴222a b c2ab+-＞0，∴0＜c ,又∵c ＞b-a=1，∴1＜c .答案:（115.【解析】在△ABC 中，根据正弦定理a b c sinAsinBsinC＝＝＝2R ，得：sinA ＝a 2R，sinB ＝b 2R，sinC ＝c 2R，∴222222acb4R4R4R4R++＝，即：a 2＝c 2+b 2bc ，∴cosA ＝222b c a2bc+-2，且角A ∈(0，π)，∴A ＝56π.答案:56π16.独具【解题提示】sinA ∶sinB=a ∶∶1,结合余弦定理a 2＝b 2+c 2-2bccosA ，消去a 2再利用方程求解.【解析】由题意知a b ，a 2＝b 2+c 2-2bccosA ，得2b 2＝b 2+c 2-2bccosA ， 又c 2＝b 2，∴cosA 2，A ＝45°，sinB ＝12，B ＝30°，∴C ＝105°.答案:45°，30°，105°17.独具【解题提示】已知两边及一边的对角解三角形时，要注意分类讨论．【解析】由正弦定理得A C AB sinBsinC=，sinC=ABsinB AC2=.∵AB>AC ，∴C ＝60°或120°.当角C ＝60°时，S △ABC ＝12AC 〃AB 〃sinA ＝12×2×sin90°＝当角C ＝120°时，S △ABC ＝12AC 〃AB 〃sinA ＝12×2××sin30所以△ABC 的面积是独具【方法技巧】在解决三角形问题中，面积公式S=12absinC=12bcsinA=12acsinB 最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来. 18.【解析】应用正弦定理、余弦定理，可得 a=222222b cc a ba b c2ca2ab++-+-+，所以b （a 2-b 2）+c （a 2-c 2）=bc （b+c ）, 所以（b+c ）a 2=（b 3+c 3）+bc （b+c ）, 所以a 2=b 2-bc+c 2+bc,所以a 2=b 2+c 2. 所以△ABC 是直角三角形.独具【方法技巧】三角形形状的判断（1）判断三角形的形状，主要有两条思路：一是化角为边，二是化边为角. （2）若等式两边是关于三角形的边或内角的正弦函数齐次式，则可以根据正弦定理互相转化.如asinA+bsinB=csinC ⇔a 2+b 2=c 2⇔sin 2A+sin 2B ＝sin 2C19.【解析】在△CDB 中，212＝202+312-2×20×31×cosB,解得cosB ＝2331，∴sin ∠ACB ＝sin(120°-B)＝62.设AD ＝x ，在△ABC 中，由正弦定理20x 31sin A C Bsin60+∠︒＝，∴x ＝15.答：这个人还要走15公里才能到达A 城．20.【解析】（1）由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC 所以cosA 2cosC2c a 2sinC sinAcosBbsinB---==所以sinBcosA-2sinBcosC=2sinCcosB-sinAcosB 即有sin(A+B)=2sin(B+C)即sinC=2sinA 所以sinC sinA=2.(2)由（1）知sinC sinA=2，所以有ca=2,即c=2a.又因为△ABC 的周长为5，所以b=5-3a 由余弦定理得：b 2=c 2+a 2-2accosB 即（5-3a ）2=(2a)2+a 2-4a 2×14解得a=1或a=5(舍去） 所以b=2.21.【解析】由已知a 2=b(b+c) ∴a 2=b 2+bc,移项得：b 2-a 2=-bc 由余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA, 移项得：2bccosA=b 2-a 2+c 2 ∴2bccosA=-bc+c 2,2bcosA=-b+c由正弦定理：2〃2RsinBcosA=-2RsinB+2RsinC 2sinBcosA=-sinB+sinC=-sinB+sin(A+B) =-sinB+sinAcosB+sinBcosA sinB=sinAcosB-sinBcosA=sin(A-B) ∴B=A-B 或B+（A-B ）=π（舍去） 即A 与B 满足的关系为A=2B世纪金榜 圆您梦想- 11 - 独具【方法技巧】由正弦定理、余弦定理进行边角转化一般的，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要多考虑用余弦定理；反之，若是遇到的式子含角的正弦或边的一次式，则大多用正弦定理.22.【解析】（1）由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC.因为0<A<π,所以sinA>0.从而sinC=cosC.又cosC ≠0,所以tanC=1,则C=4π. （2）由（1）知B=34π-A.于是4πsinA-cos(π-A)sinA+cosA=2sin(A+6π). 因为0<A<34π,所以6π<A+6π<1112π, 从而当A+6π=2π,即A=3π时， 2sin(A+6π)取最大值2．4π)的最大值为2，此时A=3π,B=512π.。
物理《学习方略》课时提升卷：单元质量评估(二)(鲁科版必修1)
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单元质量评估(二)第3章(90分钟100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分。
每小题至少一个答案正确,选不全得2分)1.下列叙述错误的是( )A.古希腊哲学家亚里士多德认为物体越重,下落得越快B.伽利略发现亚里士多德的观点有自相矛盾的地方C.伽利略认为,如果没有空气阻力,重物与轻物应该下落得同样快D.伽利略用实验直接证实了自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动2.下列说法正确的是( )A.若物体的加速度均匀增加,则物体做匀加速直线运动B.若物体的加速度均匀减小,则物体做匀减速直线运动C.若物体加速度与其速度方向相反,则物体做匀减速直线运动D.若物体在任意的相等时间间隔内位移相等,则物体做匀速直线运动3.(2013·常州高一检测)某人欲估算飞机着陆时的速度,他假设飞机停止运动前在平直跑道上做匀减速运动,飞机在跑道上滑行的距离为s,从着陆到停下来所用的时间为t,则飞机着陆时的速度为( )A. B. C. D.到之间的某个值4.(2011·重庆高考)某人估测一竖直枯井深度,从井口静止释放一石头并开始计时,经2 s听到石头落地声,由此可知井深约为(不计声音传播时间,重力加速度g 取10 m/s2) ( )A.10 mB. 20 mC. 30 mD. 40 m5.(2013·湛江高一检测)物体由静止开始以恒定的加速度a向东运动时间t后,加速度变为向西,大小不变,再经过时间t时,物体的运动情况是( )A.物体位于出发点以东,速度为零B.物体位于出发点以东,继续向东运动C.物体回到出发点,速度为零D.物体回到出发点,运动方向向西6.(2013·长春高一检测)下列给出的四组(每组两个图像)图像中,能够反映同一直线运动的是( )7.一辆汽车以12m/s的速度行驶,遇到紧急情况,司机采取制动措施,使汽车做匀减速直线运动,若制动后汽车加速度的大小为6m/s2,则( )A.经3 s,汽车的速度大小为6 m/sB.经3 s,汽车的位移大小为9 mC.经3 s,汽车的速度大小为2 m/sD.经3 s,汽车的位移大小为12 m8.(2011·安徽高考)一物体做匀加速直线运动,通过一段位移Δx所用的时间为t1,紧接着通过下一段位移Δx所用时间为t2。
单元质量评估(二)(北师大版选修2-1)
单元质量评估(二)第二章 空间向量与立体几何(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知a =(1，-2，1)，a +b =(-1,2,-1),则b等于( )(A)(2，-4，2) (B)(-2，4，-2) (C)(-2，0，-2) (D)(2，1，-3)2.如果向量AB AC BC、、满足AB AC BC =+ ,则( ) (A)AB AC BC =+ (B)AB AC BC =--(C)AC 与BC 同向 (D)AC 与BC同向3.已知空间四边形OABC 其对角线为OB 、AC,M 、N 分别为OA 、BC 的中点，点G在线段MN 上，且分MN 所成的定比为2，现用基底向量OA OB OC 、、表示向量OG，设OG xOA yOB zOC =++,则x,y,z 的值分别为( )(A)x=13,y=13,z=13 (B)x=13,y=13,z=16(C)x=13,y=16,z=13 (D)x=16,y=13,z=134.O 、A 、B 、C 为空间四个点，又OA OB OC、、为空间的一个基底，则( ) (A)O 、A 、B 、C 四点不共线(B)O 、A 、B 、C 四点共面，但不共线 (C)O 、A 、B 、C 四点中任意三点不共线 (D)O 、A 、B 、C 四点不共面5.O 是△ABC 所在平面内一点，满足OA OB OB OC OC OA ==，则点O 是△ABC的( )(A)三个内角平分线的交点 (B)三条边的垂直平分线的交点 (C)三条高的交点 (D)三条中线的交点6.已知a,b 是异面直线,A 、B ∈a,C 、D ∈b,AC ⊥b,BD ⊥b 且AB=2，CD=1.则a 与b 的夹角为( )(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°7.a =(2，-1,2),b =(2,2,1),则以a ，b为邻边的平行四边形的面积为( )8.(2011·永嘉高二检测)在如图所示的正方体中，M 、N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点，则异面直线AC 和MN 的夹角为( ) (A)30° (B)45° (C)60° (D)90°9.已知AB =(1，5，-2)，BC =(3，1，z),若AB BC ⊥ ，BP =(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC ，则BP等于( )(A)(337，157-，-3) (B)(407，157-，-3)(C)(407，157，-3) (D)(337，157，-3)10.在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 、AC 上的点，且A 1M=AN=3a ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) (A)相交 (B)平行 (C)垂直 (D)不能确定11.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 为侧面BCC 1B 1的中心，则AO 与平面ABCD 夹角的正弦值为( )(B)1212.如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被 截面AEC 1F 所截而得到的，其中AB=4，BC=2，CC 1=3， BE=1，则点C 到平面AEC 1F 的距离为( )11 (C)4 (D)11二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把正确的答案填在题中的横线上)13.已知向量p 关于基底{a b,c ，}的坐标为(3，2，-1)则p 关于基底{12a b,c 2-，}的坐标是 .14.(2011·海口高二检测)已知向量a b,c，两两夹角都是60°，其模都为1,则|a b 2c -+|等于 .15.如图所示，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1-ABCD 中，当底面四 边形ABCD 满足条件 时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有的 可能的情形).16.正方形ABCD 与ABEF 的边长都为a,若平面EAB 与平面ABC 夹角的大小为 30°，则EF 与平面ABCD 的距离为 .三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)如图，已知ABCD-A ′B ′C ′D ′是平行六面体.(1)化简12AA BC AB 23'++，并在图中标出其结果；(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面 BCC ′B ′对角线BC ′上的34分点，设MN AB AD AA =α+β+γ'，试求α、β、γ的值.18.(12分)(2011·哈尔滨高二检测)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CA=CB=CC 1=2,∠ACB=90°,E 、F 分别是BA 、BC 的中点，G 是AA 1上一点，且AC 1⊥EG. (1)确定点G 的位置;(2)求直线AC 1与平面EFG 夹角θ的大小.19.(12分)(2010·湖南高考)如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点.(1)求直线BE和平面ABB1A1夹角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论.20.(12分)(2011·杭州高二检测)如图，已知三棱锥A-BCD的侧视图，俯视图都是直角三角形，尺寸如图所示.(1)求异面直线AB与CD夹角的余弦值;(2)在线段AC上是否存在点F，使得BF⊥面ACD？若存在，求出CF的长度；若不存在，说明理由.21.(12分)如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°,2AC=AA1=BC=2.(1)若D为AA1中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D；(2)若平面B1DC与平面DCC1的夹角为60°，求AD的长.22.(14分)(2011·辽宁高考改编)如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD, PD∥QA,QA=AB=1PD.2(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)求平面QBP 与平面BPC 夹角的余弦值.答案解析1.【解析】选B.b (a b)a =+-=(-1,2,-1)-(1,-2,1)=(-2,4,-2).2.【解析】选D.∵AB AC BC =+，∴A 、B 、C 共线且点C 在AB 之间，即AC CB与同向.3.【解析】选D.MG 2GN =∴()OG OM 2ON OG -=-∴()()111OG OM 2ON OA OB OC 332=+=++ ［］=111OA OB OC 633++∴x=16,y=z=13.4.【解析】选D.由基底定义，OA OB OC、、三向量不共面，但选项A 、B 、C 三种情形都有可能使OA OB OC、、共面，只有选项D 才能使这三个向量不共面. 5.【解析】选C.∵OA OB OB OC =∴()OB OA OC 0-=即OB CA 0=，∴OB ⊥AC.同理OC ⊥AB ，OA ⊥BC∴O 为△ABC 的三条高的交点.6.【解析】选C.()2AB CD AC CD DB CD CD 1=++==∴cos 〈AB CD 〉=AB CD 11212AB CD ==⨯∴AB 与CD 的夹角为60°，即异面直线a,b 的夹角为60°.7.【解析】选D.|a |3|b |3,== ，四边形为菱形,|a b |a b |+=-=∴S=1|a b ||a b |2+-=8.【解析】选C.设正方体棱长为1，则A(1,0,0),C(0,1,0),M(12,1,0),N(0,1,12),∴AC =(-1,1,0),MN =(11,0,22-).设AC 与MN的夹角为θ, 则cos θ=1MN AC1.2MN AC== ∴θ=60°.9.【解析】选A.∵AB BC ⊥ ,∴AB BC 0352z ==+-, ∴z=4,又BP⊥面ABC.∴BP AB BP BC ⊥⊥ 且.∴()()15y x 15y 607,.40333x 1y 120x x 177⎧=-⎪-++=⎧⎪⎪∴⎨⎨-+-=⎪⎪⎩=-=⎪⎩， 10. 独具【解题提示】利用三角形法则进行向量间的相互表示，寻找MN与平面BB 1C 1C 内向量的线性关系.【解析】选B.∵1A M AN 3==, ∴1111A M A B,AN AC,33==∴11MN MA A A AN =++=1111A B A A AC 33-++=11111111A B A A A A AB BC 3333--+++=121A A AD 33+=11121B B B C ,33+∴111MN B B B C 、、共面. 又∵MN 面BB 1C 1C, ∴MN ∥平面BB 1C 1C.11.【解析】选C.方法一：如图，取BC 的中点M ， 连接OM 、AM. 则OM ⊥平面ABCD. ∴∠OAM 为AO 与平面ABCD 的夹角. 令AB=2，则OM=1，∴. ∴sin ∠OAM=6. 方法二：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系，令AB=2，则A(2，0，0)，O(1，2，1)，∴AO=(-1，2，1).又1DD=(0，0，2)为平面ABCD 的法向量.设AO 与平面ABCD 的夹角为α,则sin α=|cos 〈1AO DD ，〉|=11|AO DD |6AO DD ==12.独具【解题提示】以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【解析】选D.建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，E(2，4，1)，C(0，4，0)， C 1(0，4，3) 设F(0，0，z),∵四边形AEC 1F 是平行四边形，∴1AF EC =∴(-2，0，z)=(-2,0,2) ∴z=2,即F(0，0，2)设1n 为平面AEC 1F 的法向量，显然1n 不垂直于平面ADF ，故可设1n=(x,y,1)由11n AE 00x 4y 10,2x 0y 20n AF 0⎧=⨯++=⎧⎪⎨⎨-⨯+⨯+==⎩⎪⎩ ，得 即x 1,4y 10,12x 20y .4=⎧+=⎧⎪∴⎨⎨-+==-⎩⎪⎩又1CC =(0，0，3)，设1CC 与1n的夹角为α,则|cos α|=1111|CC n |CC |n |==∴C 到平面AEC 1F的距离1d CC |cos |33311=α=⨯= 故选D.13.【解析】设p 关于基底{12a b,c 2-，}的坐标为(x,y,z)，则z p 2xa yb c 2=-+∴3x 2x 32y 2,y 2.z z 212⎧⎧=⎪⎪=⎪⎪-=∴=-⎨⎨⎪⎪=-⎪⎪=-⎩⎩答案：(32，-2，-2)独具【误区警示】此处的坐标不是直角坐标，是在新的基底下的一种坐标形式.14.【解析】|a b 2c |-+==15.【解析】∵A 1C ⊥B 1D 1，∴111A C B D 0=∴()1AC AA BD 0.-=∴1AC BD AA BD 0-=又11AA BD AA BD 0⊥∴=，∴AC BD 0=∴AC ⊥BD.答案：AC ⊥BD(答案不唯一)16.【解析】如图，因为ABCD ，ABEF 均为正方形， 所以EF ∥平面ABCD ， 又AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，所以∠EBC 就是平面EAB 与平面ABC 的夹角，所以∠EBC=30°， 因为AB ⊥平面EBC ，而AB Ü平面ABCD ， 所以面EBC ⊥面ABCD ，过E 作EG ⊥BC 于G ， 则EG ⊥面ABCD ，在Rt △EBG 中，EG=EBsin30°=12a. 答案：12a17.【解析】(1)取DD ′的中点G ，过点G 作DC 的平行线GH ，使GH=23DC ，连接AH ，则12AH AA BC AB.23='++AH如图所示. (2)MN MB BN =+=13DB BC 24+'=()13AB AD (AA AD)24-+'+=113AB AD AA 244++'. ∴113,,.244α=β=γ=18.独具【解题提示】(1)设出G 点坐标，利用AC 1⊥EG 求出G 的坐标，确定G 的位置.(2)先求平面EFG 的法向量，代入公式求θ.【解析】(1)以C 为原点，分别以CB 、CA 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则F(1,0,0),E(1,1,0),A(0,2,0),C 1(0,0,2),1AC=(0,-2,2),EF=(0,-1,0).设G(0,2,h),则EG=(-1,1,h). ∵11AC EG,EG AC 0.⊥∴=∴-1×0+1×(-2)+2h=0. ∴h=1，即G 是AA 1的中点.(2)设m=(x,y,z)是平面EFG 的一个法向量，则m FE,m EG ⊥⊥ .所以y 0x y z 0=⎧⎨-++=⎩,平面EFG 的一个法向量m=(1,0,1).∵sin θ=11|m AC |1,2|m |AC == ∴θ=6π,即AC 1与平面EFG 的夹角θ为6π. 19.【解析】设正方体的棱长为1，如图所示，以1AB AD AA ，，为单位正交 基底建立空间直角坐标系.(1)依题意，得B(1，0，0)，E(0，1，12)， A(0，0，0)，D(0，1，0)，所以BE =(-1，1，12)，AD =(0，1，0)，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中， 因为AD ⊥平面ABB 1A 1，所以AD是平面ABB 1A 1的一个法向量，设直线BE 和平面ABB 1A 1的夹角为θ,则sin θ=|BE AD |12.33BE AD 12==⨯ 即直线BE 和平面ABB 1A 1的夹角的正弦值为23. (2)依题意，得A 1(0，0，1)，1BA =(-1，0，1)，BE =(-1，1，12)，设n=(x,y,z)是平面A 1BE 的一个法向量， 则由1n BA 0n BE 0==，，得x z 0,1x y z 02-+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩所以x=z,y=12z.取z=2，得n=(2,1,2).设F 是棱C 1D 1上的点， 则F(t,1,1)(0≤t ≤1).又B 1(1，0，1)，所以1B F=(t-1,1,0),而B 1F 平面A 1BE ，于是B 1F ∥平面A 1BE ()()11B F n 0t 1,1,0(212)02t 110t 2⇔=⇔-=⇔-+=⇔=⇔ ，，F 为C 1D 1的中点.这说明在棱C 1D 1上存在点F(C 1D 1的中点)， 使B 1F ∥平面A 1BE.20.独具【解题提示】(1)转化为AB CD与的夹角，注意角的范围；(2)先确定F的位置，然后求|CF|.【解析】(1)取BD 的中点O ，连接AO ， 则AO ⊥平面CBD.以O 为原点建立空间直角坐标系，如图. A(0,0,1),B(1,0,0),AB=(1,0,-1),CD =(-2,- ,0),cos 〈AB,CD 〉=-4.所以所求异面直线AB 与CD 夹角的余弦值为4.(2)设CF CA =λ ,由(1)知CAAD=(-1,0,-1),BF BC CF =+=(-λ(1-λ),λ), BF CA 212(1)0BF AD 0⎧=λ--λ=⎪⎨=λ-λ=⎪⎩,解得λ=67,∴存在点F ，6CF CA 7==独具【方法技巧】另有妙招利用空间向量解决立体几何中的空间位置关系、空间角以及空间距离，主要方法是建立合适的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，然后代入公式求解，在此过程中，运算量比较大，需要我们有较好的运算能力,但有些立体几何题目利用传统的解题方法，依据立体几何中的定理和结论，加上灵活的思维，同样能较为便捷地解题.21.【解析】(1)如图，以C 为原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系.则C(0，0，0)，A(1，0，0)，B 1(0，2，2)，C 1(0，0，2)， D(1，0，1).即11C B =(0,2,0),1DC =(-1,0,1),CD=(1,0,1). 由11CD C B=(1,0,1)·(0,2,0)=0+0+0=0,得CD ⊥C 1B 1;由1CD DC=(1,0,1)·(-1,0,1)=-1+0+1=0得CD ⊥DC 1; 又DC 1∩C 1B 1=C 1, ∴CD ⊥平面B 1C 1D. 又CD Ü平面B 1CD ， ∴平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D.(2)设AD=a ，则D 点坐标为(1，0，a)，CD=(1,0,a),1CB =(0,2,2),设平面B 1CD 的一个法向量为m=(x,y,z).则由1m CB 02y 2z 0,x az 0m CD 0⎧=+=⎧⎪⇒⎨⎨+==⎩⎪⎩令z=-1. 得m =(a,1,-1),又平面C 1DC 的一个法向量为n=(0,1,0), 则由cos60°=|m n |12|m ||n |== ,即故独具【方法技巧】另有妙招利用空间向量解决立体几何中的空间位置关系、空间角以及空间距离，主要是建立合适的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，然后代入公式求解，在此过程中，运算量比较大，需要我们有较好的运算能力；但有些立体几何题目利用传统的解题方法，依据立体几何中的定理和结论，加上灵活的思维，同样能解题，以下是本题的传统解法. 【解析】(1)∵∠A 1C 1B 1=∠ACB=90°, ∴B 1C 1⊥A 1C 1,又由直三棱柱性质知B 1C 1⊥CC 1， ∴B 1C 1⊥平面ACC 1A 1. 又∵CD Ü平面ACC 1A 1，∴B 1C 1⊥CD ① 由D 为中点可知，DC=DC 1∴DC 2+DC 12=2+2=4=CC 12，即CD ⊥DC 1 ②由①②可知CD ⊥平面B 1C 1D ， 又CD Ü平面B 1CD ， 故平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D.(2)由(1)可知B 1C 1⊥平面ACC 1A 1，如图，在面ACC 1A 1内过C 1作C 1E ⊥CD ，交CD 或其延长线于E ，连EB 1，由三垂线定理可知∠B 1EC 1为二面角B 1—DC —C 1的平面角， ∴∠B1EC 1=60°.由B 1C 1=2知，C 1设AD=x ，则∵△DC 1C 的面积S=11ACC A 11S 121,22=⨯⨯=∴11,23=解得22.【解析】如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz.(1)依题意有Q(1，1，0)，C(0，0，1)， P(0，2，0)，则DQ=(1，1，0)，DC =(0，0，1)， PQ=(1，-1，0)， 所以PQ DQ 0PQ DC 0==，，即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC.故PQ ⊥平面DCQ.又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ.(2)依题意有B(1，0，1)，CB=(1，0，0)，BP=(-1，2，-1).设n=(x ，y ，z)是平面PBC 的法向量，则n CB 0n BP 0⎧=⎪⎨=⎪⎩，即x 0x 2y z 0=⎧⎨-+-=⎩， 因此可取n=(0，-1，-2).设m 是平面PBQ 的法向量，则m BP 0m PQ 0⎧=⎪⎨=⎪⎩， 可取m =(1，1，1)，所以cos 〈m,n 〉=-5. 故平面QBP 与平面BPC夹角的余弦值为5.。
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单元质量评估（二）（第二章）（120分钟150分）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 •下列叙述中，正确的是（）A.四边形是平面图形B.有三个公共点的两个平面重合C.两两相交的三条直线必在同一个平面内D.三角形必是平面图形【解析】选D. A中四边形可以是空间四边形；B中两个相交平面的交线上有无数个公共点；C中若三条直线有一个公共点，可得三条直线不一定在一个平面内，故A,B,C不正确，D正确.2. （2015 •台州高二检测）给出四个说法：（1）若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等；⑵a , 0为两个不同平面，直线aC a ,直线bu a ,且a〃B , b〃B , 则a 〃B ；⑶a , B为两个不同平面，直线m± a ,m± 3 ,则a 〃 B ;（4） a , B为两个不同平面，直线m〃 a , m〃 B ,贝！I a 〃B・其中正确的是（）A.仃）B. （2）C. （3）D. （4）【解析】选C. （1）若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补，故错误.⑵当a 〃 B ,b〃 B ,不能判定a 〃0 , a , B还有可能相交，故错误.（3）正确；⑷直线m〃a,m〃0,不能判定a 〃0, a, 0还有可能相交，故错误.3. （2015 •邯郸高一检测）如图，在底面边长为a的正方形的四棱锥P-ABCD 中，已知PA丄平面AC, .ft PAp则直线PB与平面PCD所成的角的正弦值为（）A. B. C.— D.—2 2【解析】选A.设B到平面PCD的距离为h,直线PB与平面PCD所成的角为a ,则由等体积可得X X V2a. • a • h= X a • a. • a,所以h=—a,又因为PB二说a,所以sin a=.【补偿训练】（2014 •瑞安高二检测）如图，正方体ABCD -ABCD中,直线BG与平面A.ACC.所成的角为（）【解析】选D.如图，连接BD交AC于0,连接G0,则ZBG0为直线BG 与平面A]ACG所成的角,BO=BC b故ZBG0二二54. （2015 • 口照高一检测）已知平面a , B ,直线/, m,且有/± a , mC 3 , 则下列四个命题正确的个数为（）①若a 〃B，则/丄m; ②若/〃m,则/〃 3 ；③若a丄B ,则/〃m; ④若/±m,则/丄B .A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】选A.正确的命题只有①，当a 〃0时，由/丄a可知，/丄0 , 而mu 0 ,所以/±m,故①为真命题；对于②，当/〃m且mu 0时，/有可能在平面3内，故②不正确；对于③，当/± a,mc p且a丄B时，/与m 可能平行，也可能相交，还有可能异面，故③不正确；对于④，当/丄a,mc 0且/丄m时，/与0可能平行，可能垂直，也可能既不平行也不垂直，故④错误;综上可知，选A.5.如图，在正方体ABCD-ABCD中，下列结论不正确的是（）A.CD 丄DCB. BDi 丄ACC・BDi〃BC D. ZACB F60°【解析】选C.因为CD丄平面BQ, BQu平面BQ,所以CD丄B£,所以A选项正确；由于AC丄平面BDD b所以BU丄AC, B选项正确；因为三角形ABQ为等边三角形，所以ZACB F60°，即D选项正确.由于BD与BQ是异面直线，C错.6. （2015 •台州高二检测）如图所示是正方体的平面展开图•在这个正方体中，①BM与ED平行;②CN与BE是异面直线;③CN与BM成60°角；④DM 与BN是异面直线，以上四个结论中，正确的是（）【解析】选C.由题可知，将正方体的平面展开图还原，①BM 与 ED 是异面直线，故错误；②CN 与BE 平行，故错误；③因为三角形 BEM 是等边三角形，BM 与BE 成60°角，又因为BE 〃CN,所以CN 与BM 成60°角，故正确；④从图中显然得到DM 与BN 是异面直 线，故正确.7. （2015 •厦门高二检测）已知/, m 表示两条不同的直线，a 表示平面, 下列说法正确的是（）A.若 /丄 a , m 〃/,则 m 丄 aB •若 /±m,mC a ,则 /丄 a C.若 /# a ,mC a ,则 /〃m D.若 /〃 a , n ）U a ,则 /±m ND \ C A 4 / / A \ B FB.②④C.③④A.①②③ D.②③④【解析】选A•对于A,若/丄则根据直线与平面垂直的性质定理知：m丄a ,故A正确；对于B,若/±m, mC a ,则根据直线与平面垂直的判定定理知/丄a 不正确，故B不正确；对于C,因为/〃a,n）u a,所以由直线与平面平行的性质定理知：/与m平行或异面，故C不正确; 对于D,若/〃 a , m〃 a ,则/与m平行或异面，故D不正确.8•如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为1,线段BD上有两个动点E, F, 且EF二,则下列结论中错误的是（）BxD}BAA.AC±BEB.EF 〃平ffiABCDC.三棱锥A-BEF的体积为定值D.AAEF的面积与ABEF的面积相等【解析】选D. A.由题意及图形知，AC丄面DDBB,故可得出AC丄BE,此命题正确，不是正确选项；B.EF〃平面ABCD,由正方体ABCD-ARCD的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF〃平面ABCD,此命题正确，不是正确选项；C.三棱锥A-BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF 的面积是定值,A点到面DDRB的距离是定值，故可得三棱锥A-BEF的体积为定值，此命题正确，不是正确选项；D.由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与ABEF的面积相等不正确，故D是错误的.9. （2015 •吉林高一检测）如图，长方体ABCD-A.B.C.D.中，AA尸AB二2, AD 二1, 点E, F, G分别是DD b AB, CG的中点，则异面直线A】E与GF 所成的角【解析】选D.连接GBjBREG,因为E,G 分别是DD^CG 的中点，所以 EG#AiBi JL EG=AiB b所以四边形ABGE 为平行四边形，所以所以ZFGBi 或其补角为异面直线AE 与GF 所成的角.由已知可得B£二迈,FB F VS, FG 二疵，所以 B £+FG J FB ；,所以ZkFGBi 为直角三角形且ZFGB 尸90。
单元质量评估(二)
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单元质量评估(二)第二章 变化率与导数 (120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知函数y=f(x)=2x 2-4的图像上的一点(1，-2)及邻近一点(1+Δx ，-2+Δy)，则yx∆∆等于( ) (A)4 (B)4x (C)4+2Δx (D)4+(Δx)22.某汽车启动阶段的路程函数为s(t)=2t 3-5t 2,则t=2时，汽车的速度是( ) (A)14 (B)4 (C)10 (D)63.f(x)与g(x)是定义在R 上的两个可导函数，若f(x),g(x)满足f ′(x)=g ′(x),则f(x)与g(x)满足( )(A)f(x)=g(x) (B)f(x)-g(x)为常数函数 (C)f(x)=g(x)=0 (D)f(x)+g(x)为常数函数 4.下列结论正确的个数为( )①1y ln2y 2='=，则;②2312y ,y x x='=-则;③y=2x ,则y ′=2x ln2; ④21y log x,y xln2='=则.(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 5.曲线y=x n 在x=2处的导数为12，则n 等于( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)46.(2011·太原高二检测)已知函数f(x)=xsinx+cosx,则f ()2π'的值为( ) (A)2π (B)0 (C)-1 (D)17.已知函数y=f(x)=kcosx 的图像经过定点P(1)3π，，则函数图像上在点P 处的切线斜率为( )(A)1 (D)-1 8.函数51y (x )x=+的导数为( )(A)415(x )x + (B)42115(x )(1)x x +-(C)4115(x )(1)x x++(D)4115(x )(x )x x++9.(2011·山东高考)曲线y=x 3+11在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )(A)-9 (B)-3 (C)9 (D)1510.已知二次函数f(x)=ax 2+bx+c 的导函数f ′(x)满足：f ′(0)＞0，若对任意实数x ，有f(x)≥0，则()()f 1f 0'的最小值为( )(A)52 (B)3 (C)32(D)211.若曲线y=x 3-x+1上动点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )(A)(0,)2π (B)3(,)4ππ (C)3(0,)(,)24ππ⋃π(D)30,),)24ππ⋃π［［ 12.已知函数()2ax f x x 3=+(a ≠0)，若存在x 0∈(0，1)，使f ′(x 0)-［f(x 0)］2=0成立，则实数a 的取值范围是( )(A)(-∞，2) (B)(2，+∞) (C)(0，2) (D)(1，2］二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)13.函数y=(x+1)2(x-1)在x=1处的导数是_______. 14.(2011·西安高二检测) f ′(x)是函数()x 4f x x cos2x 3π-=+ 的导函数,则f ()4π'的值是_______.15.曲线y=x 3+3x 2+6x-10的切线中，斜率最小的切线方程为__________. 16.设曲线y=e ax 在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=________. 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)利用导数的定义求函数y =. 18.(12分)求下列函数的导数： (1)231y 2x 5x 1x=-++； (2)y=x 2cosx ； (3)2211y (x )(x )xx =--； (4)y=cos 2(x 2-1).19.(12分)(2011·哈师大附中高二检测)过点(1,1)作曲线y=x 3的切线l ,求直线l 方程.20.(12分)(2011·湖北高考)设函数f(x)=x 3+2ax 2+bx+a ，g(x)=x 2-3x+2,其中x ∈R ，a 、b 为常数，已知曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线l . 求a 、b 的值，并写出切线l 的方程.21.(12分)已知f(x)=sinx+cosx ，f 1(x)=f ′(x),f 2(x)=f ′1(x),…,f n (x)= f ′n-1(x)(n ∈N *,n ≥2),试计算f 1(x),f 2(x),f 3(x),f 4(x),并猜想f 2 010(x). 22.(12分)设函数()bf x ax x=-,曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值.答案解析1.【解析】选C.()f (1x)f 1y x x+∆-∆=∆∆2222(1x)4214x4x 2x 42x.x+∆--⨯+=∆∆+∆==+∆∆ 2.【解析】选B.∵v=s ′(t)=6t 2-10t ∴当t=2时，v=6×4-10×2=4.3.【解析】选B.据题意f ′(x)=g ′(x),∴f ′(x)-g ′(x)=0,即［f(x)- g(x)］′=0,∴f(x)-g(x)为常数函数.4.【解析】选D.①(ln2)′=0,∴y ′=0;②()2321y ()x 2x x--'='='=-;③y ′=(2x )′=2x ln2;④()21y log x xln2'='= ②③④对，故3个正确，选D.5.【解析】选C.y ′=nx n-1,∵y ′|x=2=12, 即n ·2n-1=12,经检验n=3时符合题意，∴选C.6.【解析】选B.f ′(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx, ∴f ()cos 0222πππ'==.7.独具【解题提示】解答本题可先根据函数的图像经过定点P(1)3π，求出k 的值，然后利用导数的几何意义即可求出P 处的切线斜率.【解析】选C.f ()kcos 1k 2.33ππ==∴=由题意，∴y=2cosx,∴y ′=-2sinx,∴切线斜率为2sin 3π-=.8.【解析】选B.令1u x x=+，则y=u 5，4u 44221y y u 5u (x )x1115u (1)5(x )(1).x x x∴'=''=+'=-=+-9.【解析】选C.∵y=x 3+11,∴y ′=3x 2, ∴当x=1时，y ′=3,∴曲线y=x 3+11在点P(1,12)处的切线方程为y-12=3(x-1),令x=0,得y=9. 10.【解析】选D.由题意知,f ′(x)=2ax+b. 由f ′(0)＞0得b ＞0，又由f(x)≥0恒成立， 则()()2a 00b b 4ac 0f 1a b c a c 11 2.f 0b b ⎧≤⎨-≤⎩+++∴==+≥≥'＞，故＜11.【解析】选D.∵y=x 3-x+1,∴y ′=3x 2-1, 设切点为P(x 0,y 0),20k tan 3x 11,30,),0.24=α=-≥-ππα∈π∴≤α<≤α<π 则又［或 12.独具【解题提示】存在x 0∈(0，1)，使f ′(x 0)-［f(x 0)］2=0成立，即方程f ′(x 0)-［f(x 0)］2=0在(0，1)上有解. 【解析】选B.由于()()()2222a x 32ax f x x3+-'==+()()()()22222000022223a ax a x 3a ax f x f x 0x3x3---'-==++，于是［］，即222003a ax a x 0--=，因为a ≠0，所以()201a x 3+=.当 1+a=0时，方程()201a x 3+=无解；当1+a ≠0时，203x 1a=+， 因为x 0∈(0，1)，所以20x (01)∈，，即3011a+＜＜，解得a ＞2. 13.【解析】y ′=2(x+1)(x-1)+(x+1)2, ∴当x=1时，y ′=4. 答案：414.【解析】∵()x 4f x (x cos2x 3)π-'=+'()x 4x 4x 4(x cos2x)(3)x cos2x x cos2x 3ln3cos2x x sin2x 23ln3,2f ()cos sin 2ln34442ln3.2π-π-π-='+'='+'+=-+ππππ∴'=-+π=-+答案:ln32π-+15.【解析】y ′=3x 2+6x+6=3(x+1)2+3 当x=-1时切线的斜率最小，此时k 0=3 此时曲线上的点为(-1,-14)∴切线方程为y-(-14)=3(x+1)即3x-y-11=0. 答案：3x-y-11=016.【解析】∵y=e ax =(e a )x ,∴y ′=(e a )x ·lne a =ae ax , ∴y=e ax 在点(0,1)处的切线l 的斜率k=ae a ·0=a. 又∵l 与直线x+2y+1=0垂直, ∴1k ()12-=- ,∴a=k=2. 答案:217.【解析】因为y ∆==222=()x 0y x y f x limx ∆→∆=∆∆∴'===∆所以18.【解析】()2311y 2x 5x 1x ⎛⎫'=-++' ⎪⎝⎭()()()()23442x x 5x 134x 3x 54x 5.x--='-'+'+'=++=++ (2)y ′=(x 2cosx)′=(x 2)′cosx+x 2(cosx)′ =2xcosx-x 2sinx.()()()()()2233313224113y x x x x 11x x x x x x x x 133x 1.x x--⎛⎫⎛⎫'=--' ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=--+'⎪⎝⎭='-'-'+'=-+-方法一：［］222222232241111:y x x x x x x x x 11121x x 2x x x x x 133x 1.x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=-'-+--'⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-+-方法二(4)y ′=2cos(x 2-1)［cos(x 2-1)］′ =2cos(x 2-1)［-sin(x 2-1)］·2x =-2xsin(2x 2-2).19.【解析】(1)若(1，1)为切点， ∵y ′=3x 2,∴k=3·12=3, ∴l 方程为:y-1=3(x-1),即3x-y-2=0,(2)若(1,1)不是切点,设切点为()300x ,x ,3200020000x 1k 3x ,x 12x x 10.1x 1()x ,2-==---=∴==-则切线斜率即舍或()20013x k 3x ,243y 1x 143x 4y 10.=-==∴-=--+=时，方程为，即l综上，直线l 的方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0. 独具【方法技巧】曲线切线的求法(1)求曲线的切线首先应判断该点是否在曲线上，以免出现不必要的错误. (2)求过某点的曲线的切线方程问题，不仅要看该点是否在曲线上，还要注意该点是否为切点，因为导数法求切线方程关键是求切线斜率，而求切线斜率的关键在于求切点的横坐标，而求切点横坐标常用斜率公式1212y y k x x -=-,由切点既在切线上又在曲线上等条件构造等量关系，解方程(组)求出. (3)审题时要注意以下几种说法的不同： ①求过点P(x 0,y 0)的曲线y=f(x)的切线方程， ②求曲线y=f(x)在点P(x 0,y 0)处的切线方程, ③求曲线y=f(x)在x=x 0处的切线方程. 其中②③知切点为(x 0,f(x 0)).20.独具【解题提示】解答本题的关键是根据两曲线在点(2，0)处有相同的切线，列出关于a ，b 的方程组，然后解方程组求出a ，b 的值，进而写出l 的方程.【解析】f ′(x)=3x 2+4ax+b,g ′(x)=2x-3.由于曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线， 故有f(2)=g(2)=0，f ′(2)=g ′(2)=1, 由此得88a 2b a 0a 2,.128a b 1b 5+++==-⎧⎧⎨⎨++==⎩⎩解得所以切线l 的方程为x-y-2=0.21.独具【解题提示】依次计算，f 1(x),f 2(x),f 3(x),f 4(x)等，观察式子的特点，寻找规律，猜想出f 2 010(x).【解析】f 1(x)=f ′(x)=(sinx+cosx)′=cosx-sinx, f 2(x)=f ′1(x)=(cosx-sinx)′=-sinx-cosx, f 3(x)=f ′2(x)=(-sinx-cosx)′ =-cosx+sinx,f 4(x)=f ′3(x)=(-cosx+sinx)′ =sinx+cosx=f(x), ∴f n+4(x)=f n (x), 又∵2 010=4×502+2， ∴f 2 010(x)=f 2(x)=-sinx-cosx.22.【解析】(1)方程7x-4y-12=0可化为7y x 34=-.()()21bx 2y .f x a ,2x b 12a a 122.b 7b 3a 443f x x .x=='=+⎧-=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪+=⎪⎩=-当时，又于是，解得故世纪金榜 圆您梦想- 11 - (2)设P(x 0,y 0)为曲线上任一点，由23y 1x '=+知曲线在点P(x 0,y 0)处的切线方程为 ()()0020002003y y 1x x ,x 33y x 1x x .x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即 令x=0得06y x =-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为060,x ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 令y=x 得y=x=2x 0从而得切线与直线y=x 的交点坐标为(2x 0,2x 0).所以点P(x 0,y 0)处的切线与直线x=0,y=x 所围成的三角形面积为00162x 62x -=. 故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。
单元质量评估(二)
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单元质量评估(二)第二章算法初步(120分钟150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.计算下列各式中的S的值，能设计算法求解的是( )①S=1+2+3+…+100；②S=1+2+3+…；③S=1+2+3+…+n(n≥2且n∈N)（A）①②（B）①③（C）②③（D）①②③2.已知一算法如下：第一步：min=a；第二步：如果b＜min，则min=b；第三步：如果c＜min，则min=c；第四步：输出min．如果a=3,b=6,c=2，则执行这个算法的结果是( )（A）min=3 （B）min=6 （C）min=2 （D）min3.下面的算法运行的结果是( )A=5B=3B=B+A A=A+B 输出A（A ）13 （B ）11 （C ）16 （D ）84.(2011·北京高考）执行如图所示的程序框图，输出的s 的值为( ) （A ）-3 （B ）12（C ）13（D ）25.(2011·天津高考）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为-4，则输出y 的值为( )（A ）0.5 （B ）1 （C ）2 （D ）4 6.如图所示算法框图所进行的求和运算是( ) （A ）111124620+++⋯+（B ）11113519+++⋯+（C ）11112418+++⋯+（D ）231011112222+++⋯+7.若输入的x 为4，则执行下面的算法得到的结果是( ) 输入xIf x>3 Theny=x2+2*xElsey=2*x+5End If输出y（A）13 （B）16 （C）24 （D）23 8.下面的程序运行后的结果是( )S=1For i=1 to 11 Step 2S=S+iNext输出S（A）25 （B）36 （C）66 （D）23 9.下面的程序的功能是( )i=12S=1DoS=S*ii=i+2Loop While i>=16输出S（A）计算1+3+5+…+15的值（B）计算1×3×5×…×15的值（C）计算12×13×14×15×16的值（D）计算12×14×16的值10.（2011·温州模拟）下图是一个算法框图，当输入x的值为3时，输出y的，则“？”处的关系式是( )结果恰好是13（A）y=x3（B）y=3-x（C）y=3x（D）y=13x11.（2011·陕西高考）右图中，x1,x2,x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p为该题的最终得分，当x1=6,x2=9,p=8.5时，x3等于( )（A）11 （B）10（C）8 （D）712.读程序,对甲乙两程序和输出结果判断正确的是( )（A）程序不同,结果不同（B）程序不同，结果相同（C）程序相同,结果不同（D）程序相同，结果相同甲：乙：i=1 000S=0 S=0For i=1 To 1 000 DoS=S+i S=S+ii=i-1Next Loop While i＞=1输出S 输出S二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13.下列程序运行后，a，b，c的值各为（1）_______，（2）________.（1）a=3 （2）a=3b=-5 b=-5c=8 c=8a=b a=bb=c b=c输出a，b，c c=a输出a，b，c14.（2011·杭州高一检测）以下程序运行后的输出结果是______.i=1Doi=i+2s=2*i+3Loop While i<8输出s15.(2011·湖南高考）若执行如图所示的框图，输入x1=1,x2=2,x3=3,x=2,则输出的数等于______.16.为了让学生更多地了解“亚运会”知识，某中学高二年级举办了一次“追寻亚运的足迹，点燃激情的人生”的知识竞赛活动，共有800名学生参加了这次竞赛.为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计(如下表).在统计数据的分析中有一项计算的程序框图如图所示，则输出S的值为________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分）写出一个求解任意二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最值的算法.18.(12分）如图是一个算法的算法框图，求最后输出的W的值．19.（12分）（2011·苏州模拟）现欲求1111352n 1+++⋯+-的值(其中n 的值由键盘输入)，请画出程序框图，并设计出程序.20.(12分）下列语句是求S=2+3+4+…+99的一个程序，请回答问题： i=1 S=0 DoS=i+S i=i+1 Loop While i ＜99 输出S（1）语句中是否有错误？请加以改正； （2）把程序改成另一种类型的循环语句.21.（12分）到银行办理个人异地汇款(不超过100万元)时，银行要收取一定的手续费．汇款额不超过100元，收取1元手续费；超过100元但不超过5 000元，按汇款额的1%收取；超过5 000元，一律收取50元手续费．设计算法求汇款额为x元时，银行收取的手续费y元，只画出流程图.22.（12分）已知函数y=x2+2x(x∈［-10,10］，x∈Z)，编写程序，求该函数的最大值．答案解析1.【解析】选B.因为算法步骤具有“有限性”特点，故②不可用算法求解.2.【解析】选C.根据算法可知该算法的功能是求出输入的数据中的最小值，所以最后输出的结果是C.3.【解析】选A.由于先执行了B=B+A，得到了B=8，然后执行A=A+B，得到A=13.故选A.4.【解析】选D.循环操作4次时s的值分别为13，-12，-3，2,故选D.5.【解析】选C.第一次循环结果x=7;同理第二次循环得x=4;第三次循环的结果x=1;第四次循环：y=21=2.6.【解析】选A.当n=2时s=12，一直到n=18时，1111s24620=+++⋯+.7.【解析】选C.由于输入x=4可知满足条件语句中的条件，所以执行y=x2+2*x，得到结果是y=24，故选C.8.【解析】选B.根据程序的含义可知该程序是求S=1+3+5+7+9+11的值，故可知求得的结果为S=36.故选B.9.【解析】选D.根据程序可知i 的初始值是12，是按照i=i+2累加的，并且当i>=16时执行循环，所以该程序的功能是计算12×14×16的值.10.【解析】选C.根据算法框图和已知当x=3时，∵x ＞0，∴x=x-2,∴x=1， 又x=x-2,x=-1时，y=13,∴“?”代表3x ,故选C.11.独具【解题提示】先读懂如图的逻辑顺序，然后进行计算判断，其中判断条件|x 3-x 1|<|x 3-x 2|是否成立是解答本题的关键.【解析】选C.x 1=6,x 2=9，|x 1-x 2|=3≤2不成立，即为“否”，所以再输入x 3;由绝对值的意义（一个点到另一个点的距离）和不等式|x 3-x 1|<|x 3-x 2|知，点x 3到点x 1的距离小于点x 3到x 2的距离，所以当x 3<7.5时，|x 3-x 1|<|x 3-x 2|成立，即为“是”，此时x 2=x 3,所以13x x p 2+=,即36x 8.52+=,解得x 3=11>7.5,不合题意；当x 3≥7.5时，|x 3-x 1|<|x 3-x 2|不成立，即为“否”，此时x 1=x 3,所以32x x p 2+=,即3x 98.52+=,解得x 3=8>7.5,符合题意，故选C.12.【解析】选B.甲的程序设计语言采用的是For 语句，表示的是：“计算1+2+3+…+999+1 000”；乙的程序设计语言采用的是Do Loop 语句，表示的是：“计算1 000+999+998+…+2+1”.所以甲、乙的程序不同，但结果相同.独具【误区警示】本题考查了For 语句和Do Loop 语句，比较容易出现的问题是分析不清楚二者之间的区别与联系，实际上在For 语句中必须知道初始值和终止值，而Do Loop 语句则不需要. 13.【解析】这里实际上是交换变量的值.（1）把b 的值-5赋给a （冲掉a 原来的值），把c 的值8赋给b （冲掉b 原来的值），c 的值不变.（2）把b 的值-5赋给a ，c 的值8赋给b ，又把a 现在的值-5赋给c. 答案:（1）a=-5，b=8，c=8, （2）a=-5，b=8，c=-5.14.独具【解题提示】解答本题的关键是理解循环语句中终止循环的条件是什么？执行了几次循环体，然后结合赋值语句写出相应的输出结果. 【解析】由循环语句知当i=3时，s=2×3+3=9； 当i=5时，s=2×5+3=13; 当i=7时，s=2×7+3=17; 当i=9时，s=2×9+3=21. 答案:2115.【解析】由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差，则2221222322S 33-+-+-==（）（）（）.答案: 2316.独具【解题提示】本题是比较综合的一道题目，在求解时要先分析题目含义，然后完成频率分布表，根据频率分布表的内容结合框图的功能进行求解. 【解析】本题综合考查统计及框图的相关知识与方法.可得①为8，②为0.44，③为6，④为0.12.由程序框图得S=G 1F 1+G 2F 2+G 3F 3+G 4F 4 =65×0.16+75×0.44+85×0.28+95×0.12=78.6. 答案:78.617.独具【解题提示】由二次函数的性质知，当a>0时，函数有最小值24ac b 4a-；当a<0时，函数有最大值24ac b 4a-.【解析】算法步骤用自然语言叙述如下： 计算m=24ac b 4a；若a>0，则函数最小值是m ；若a<0,则函数最大值是m. 18.【解析】根据算法框图的计算可知 第一次：T ＝1，S ＝12-0＝1； 第二次：T ＝3，S ＝32-1＝8； 第三次：T ＝5，S ＝52-8＝17. 此时满足S ≥10. 所以W=S+T=17+5＝22.19.【解析】由题意得算法框图如图示：程序如下： 输入n S=0i=0Doi=i＋1S=S+12*i1Loop While i<n输出S独具【方法技巧】循环语句的编写技巧利用循环语句写算法时，要分清步长、变量初值、终值，必须分清循环次数是否确定，若确定，两种语句均可使用，当循环次数不确定时用Do Loop语句.20.【解析】(1)错误有两处：第一处：语句i=1应改为i=2.第二处：语句Loop While i＜99，应改为Loop While i≤99(2)语句改成另一种循环类型语句应为：i=2S=0For i=2 To 99S=S+iNext输出S21.【解析】要计算手续费，首先要建立汇款数与手续费之间的函数关系式，依题意知1(0x100)y x0.01(100x 5 000), 50(5 000x 1 000 000).<≤⎧⎪=⨯<≤⎨⎪<≤⎩，流程图如下图所示．22.【解析】程序框图：程序如下：。
阶段质量检测(二) 单元质量评估(二)
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阶段质量检测(二)/单元质量评估(二)第二章(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.F 1，F 2是定点，｜F 1F 2｜=7，动点M 满足｜MF 1｜+｜MF 2｜=7，则M 的轨迹是( ) (A)椭圆 (B)直线 (C)线段 (D)圆2.椭圆2x 2+3y 2=6的长轴长是( )(C) (D)3.已知双曲线22x a-y 2=1(a ＞0)的右焦点与抛物线y 2=8x 的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是( )(A)y= (B)y=±5x(C)y= (D)y=±3x4.设定点F 1(0，-3)，F 2(0，3)，动点P 满足条件｜PF 1｜+｜PF 2｜=a+9a(a ＞0)，则点P 的轨迹是( )(A)椭圆 (B)线段 (C)不存在 (D)椭圆或线段5.(易错题)设椭圆2222x y mn+=1、双曲线2222x y mn-=1、抛物线y 2=2(m+n)x(其中m ＞n＞0)的离心率分别为e 1,e 2,e 3,则( ) (A)e 1e 2＞e 3(B)e 1e 2＜e 3(C)e 1e 2=e 3(D)e 1e 2与e 3大小不确定6.抛物线y=-x 2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是( ) (A)43(B)75(C)85(D)37．(2012·石家庄高二检测)设k ＜3,k ≠0，则二次曲线2x3k--2yk=1与22xy52+=1必有( )(A)不同的顶点 (B)不同的准线 (C)相同的焦点 (D)相同的离心率8.设双曲线的—个焦点为F ，虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )(C)12+ (D)12+9.已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C 在抛物线x 2=y 的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1 10.已知椭圆C 1：2222x y ab+=1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：22yx4-＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( ) (A)a 2=132(B)a 2=13(C)b 2=12(D)b 2=211.已知双曲线222x ya2-=1(a )的两条渐近线的夹角为3π,则双曲线的离心率为( )(A)3(B)3(D)212.已知A 、B 为抛物线C ：y 2=4x 上的不同两点，F 为抛物线C 的焦点，若FA=-4FB，则直线AB 的斜率为( )(A)±23(B)±32(C)±34(D)±43二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)13.已知正方形ABCD ，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点的椭圆的离心率为 . 14.(能力题)直线y=x+3与曲线2x x y94-=1的公共点的个数为 ．15.(2012·上海高二检测)以抛物线y 2=的焦点F 为右焦点,且两条渐近线是x 的双曲线方程为 .16.抛物线y 2=x 上存在两点关于直线y=m(x-3)对称,则m 的范围是 . 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x 轴上，虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间的距离为6，渐近线方程为y=±32x.18.(12分)(2012·宁波高二检测)已知椭圆的中心在原点，焦点为F 1(0，-)，F2(0，，且离心率3.(1)求椭圆的方程；(2)直线l (与坐标轴不平行)与椭圆交于不同的两点A,B ，且线段AB 中点的横坐标为12-，求直线l 斜率的取值范围.19.(12分)已知动圆C 过定点F(0，1)，且与直线l 1:y=-1 相切，圆心C 的轨迹为E.(1)求动点C 的轨迹方程；(2)已知直线l 2交轨迹E 于两点P ，Q ，且PQ 中点的纵坐标为2，则｜PQ ｜的最大值为多少？20.(12分)设双曲线C ：2222x y ab-=1(a ＞0,b ＞0)的离心率为e ，若右准线l 与两条渐近线相交于P ，Q 两点，F 为右焦点，△FPQ 为等边三角形. (1)求双曲线C 的离心率e 的值； (2)若双曲线C 被直线y=ax+b 截得弦长为22b e a，求双曲线C 的方程.21.(12分)设椭圆方程为22yx 4+=1，过点M(0，1)的直线l 交椭圆于点A ，B ，O是坐标原点，点P满足O P =12(O A +OB)，点N的坐标为(12,12)，当l 绕点M 旋转时，求(1)动点P的轨迹方程；(2)｜NP｜的最小值与最大值.22.(12分)(2012·江西高考)已知三点O(0,0)，A(-2,1)，B(2,1)，曲线C 上任意一点M(x,y)满足|MA +M B|=OM ⋅(O A +OB)+2.(1)求曲线C 的方程；(2)点Q(x 0,y 0)(-2<x 0<2)是曲线C 上的动点，曲线C 在点Q 处的切线为l ，点P的坐标是(0，-1)，l 与PA ，PB 分别交于点D ，E ，求△QAB 与△PDE 的面积之比.答案解析1.【解析】选C.由于点M 满足｜MF 1｜+｜MF 2｜=｜F 1F 2｜，点M 在线段F 1F 2上，故选C.2.【解析】选D.椭圆方程化标准形式22xy32+=1，a 2=3，，2a=轴长为3.【解析】选D.∵y 2=8x 焦点是(2，0)， ∴双曲线22x a-y 2=1的半焦距c=2,又虚半轴长b=1且a ＞0，所以,∴双曲线的渐近线方程是y=〒3x.4.【解析】选D.由｜PF 1｜+｜PF 2｜=a+9a≥=6，当｜PF 1｜+｜PF 2｜=6时轨迹为线段，当｜PF 1｜+｜PF 2｜＞6时轨迹为椭圆.5.【解题指南】本题解题关键是由方程的标准式，求出对应的a,b,c ，进而求出离心率.【解析】选B.由离心率的概念得e 1=m,e 2=m，则e 1e 2，又m ＞n ＞0,所以e 1e 2＜1=e 3,故选B.6.【解析】选A.设与直线4x+3y-8=0平行的直线方程为4x+3y+c=0，与抛物线联立方程组得24x 3y c 0y x++=⎧⎨=-⎩，消去y 得3x 2-4x-c=0，Δ=(-4)2-4〓3〓(-c)=0，解得c=43-，则抛物线与直线4x+3y-8=0平行的切线是4x+3y 43-=0，问题转化为两平行线间的距离，利用两平行线间的距离公式得48-+｜｜=43，故选A.7．【解析】选C.当0＜k ＜3时，则0＜3-k ＜3, ∴22xy3kk--=1表示实轴为x 轴的双曲线，a 2+b 2=3=c 2.∴两曲线有相同焦点; 当k ＜0时，-k ＞0且3-k ＞-k ，∴22xy3kk+--=1表示焦点在x 轴上的椭圆.a 2=3-k,b 2=-k.∴a 2-b 2=3=c 2 与已知椭圆有相同焦点.8.【解析】选D.不妨设双曲线方程为2222x y ab-=1(a ＞0,b ＞0)，则可令F(c,0),B(0,b)，直线FB ：bx+cy-bc=0与渐近线y=bax 垂直，所以-b c⋅b a=-1，即b 2=ac ，所以c 2-a 2=ac,即e 2-e-1=0,所以2或2舍去).【方法技巧】离心率求解策略(1)利用圆锥曲线方程：设法求出圆锥曲线的方程，再依方程求出a,b,c ，进而求出离心率；(2)借助题目中的等量关系：充分利用已知条件中等量关系求出a,b,c 的等量关系，再对其等量关系进行变形，从而求出a,c 的关系；(3)巧用圆锥曲线中的线段关系：圆锥曲线图形中通常会综合圆、三角形、四边形等平面图形，掌握各平面图形自身特点，能快速找到对应的等量关系，如直径所对角为直角.9.【解析】选A.由已知可得|AB|＝S △ABC ＝2，则点C 到直线AB 的距C(x ，x 2)，而l AB ：x ＋y-2＝02x x 2+-｜｜，所以x 2＋x-2＝〒2，当x 2＋x-2＝2时，有两个不同的C 点； 当x 2＋x-2＝-2时，亦有两个不同的C 点． 因此满足条件的C 点有4个，故应选A. 10.【解析】选C.由双曲线x 2-2y4＝1知渐近线方程为y ＝〒2x ，又∵椭圆与双曲线有公共焦点， ∴椭圆方程可化为b 2x 2＋(b 2＋5)y 2＝(b 2＋5)b 2， 联立直线与椭圆方程消y 得，x 2＝222(b 5)b5b 20++.设直线与椭圆一交点为E(x,y),x ＞0,y ＞,则y=2x=2⋅,,∵2|OE|=A B 3,|AB|=2a,∴2|OE|=2a 3,∴=2a 3,解得b 2=12.11.【解析】选A.如图所示，双曲线的渐近线方程为：y=〒ax,若∠AOB=3π，则θ=6π,tan θ=a=3,∴. 又∵∴e=ca =3=12.【解析】选D.由FA =-4FB 知F ，A ，B 三点共线，不妨设FB 长度为1个单位，则｜FA ｜为4个单位，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为C ，D,则有｜AC ｜=4，｜BD ｜=1，过B 点作BE 垂直AC ，垂足为E ，有｜AE ｜=3，由此得∠EAB 的正切值为43，由抛物线的对称可知有两条这样的直线.即得直线AB 的斜率.13.【解析】设正方形边长为1，则｜AB ｜=2c=1,∴c=12,｜AC ｜+｜BC ｜=1+∴a=12，∴e=ca=1214.【解析】当x ≥0时，方程2x x y94-=1化为22yx94-＝1；当x<0时，2x x y94-=1化为22yx94+=1，∴曲线2x x y94-=1是由半个双曲线和半个椭圆组成的图形，结合图象可知(如图)，直线y=x+3与曲线2x x y94-=1的公共点的个数为3．答案：3【方法技巧】直线与圆锥曲线位置的判断判断直线与圆锥曲线间的位置关系，一般用数形结合法.当直线的斜率不存在或为0时，用图形易判定直线与圆锥曲线间的关系；当直线的斜率存在且不为0时，可联立方程用判别式确定方程根的个数，进而确定直线与圆锥曲线间的关系，做题时要特别注意下面几点：(1)若直线过椭圆内一点，则直线与椭圆一定相交.(2)直线与双曲线相交有两种情形，一是两交点在双曲线的一支上，二是两交点分居两支.直线与双曲线只有一个公共点也有两种情形，一是直线与双曲线相切(对应判别式为0)，二是直线与双曲线相交只有一个交点(对应方程二次项系数为0).(3)直线与抛物线只有一个公共点，也有两种情形，一是直线与抛物线相交，(此时直线与对称轴平行或重合)，二是直线与抛物线相切(对应判别式为0). 15.【解析】抛物线y 2=的焦点F 为(，设双曲线方程为x 2-3y 2=λ，43λ=(2,∴λ=9，双曲线方程为22xy93-=1.答案：22xy93-=1【变式训练】已知抛物线的方程是y 2=8x ，双曲线的右焦点是抛物线的焦点，离心率为2，则双曲线的标准方程是_________，其渐近线方程是_________. 【解析】由抛物线的方程y 2=8x 得焦点为(2,0)，所以双曲线的实轴在x 轴上，且c=2，又离心率为2，所以a=1，又由b 2=c 2-a 2得b 2=3,所以双曲线的标准方程是22yx3-=1，其渐近线方程是y=x.答案：22yx3-=1 y=x16.【解析】设抛物线上两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)关于直线y=m(x-3)对称，A ，B 中点M(x,y)，则当m=0时，有直线y=0，显然存在点关于它对称. 当m ≠0时，211222y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩⇒1212y y x x --=121y y +=12y=1m-,所以y=m 2-，所以M 的坐标为(52,m 2-)，∵M 在抛物线内，则有52＞(m 2-)2，得＜m且m ≠0，综上所述，m ∈().答案：()【一题多解】设两点为A(x 1，y 1),B(x 2，y 2)，它们的中点为M(x ，y)，两个对称点连线的方程为x=-my+b ，与方程y 2=x 联立，得y 2+my-b=0 (*) 所以 y 1+y 2=-m ，即y=m 2-，又因为中点M 在直线y=m(x-3)上，所以得M 的坐标为(52,m 2-)，又因为中点M 在直线x=-my+b 上，b=52-2m 2，对于(*)，有Δ=m 2+4b=10-m 2>0，所以m.答案：()17.【解析】(1)焦点在x 轴上，设所求双曲线的方程为2222x y ab-=1.由题意，得2222b 12,b c a ,c 5.a4⎧⎪=⎪=-⎨⎪⎪=⎩解得a=8,c=10,b=6.所以焦点在x 轴上的双曲线的方程为22xy6436-=1.(2)当焦点在x 轴上时，设所求双曲线的方程为2222x y ab-=1.由题意，得2a 6b 3a2=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得a=3,b=92.所以焦点在x 轴上的双曲线的方程为22xy8194-=1.同理可求当焦点在y 轴上时双曲线的方程为22yx94-=1.18.【解析】(1)设椭圆方程为2222x y ab+=1(a ＞b ＞0),由已知c=又ca3解得a=3,所以b=1, 故所求方程为22yx9+=1.(2)设直线l 的方程为y=kx+t(k ≠0)代入椭圆方程整理得(k 2+9)x 2+2ktx+t 2-9=0,由题意得2222(2kt)4(k 9)(t 9)02kt1k 9⎧∆=-+-⎪⎨-=-⎪+⎩＞, 解得kk ＜.19.【解析】(1)由题设点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离， ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线， ∴所求轨迹的方程为x 2=4y.(2)由题意易知直线l 2的斜率存在，又抛物线方程为x 2=4y,当直线l 2斜率为0时 ｜PQ ｜=.当直线l 2斜率k 不为0时，设中点坐标为(t,2), P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),则有x 12=4y 1,x 22=4y 2，两式作差得 x 12-x 22=4(y 1-y 2)，即得k=12x x 4+=t2,则直线方程为y-2=t 2(x-t),与x 2=4y 联立得x 2-2tx+2t 2-8=0. 由根与系数的关系得x 1+x 2=2t,x 1x 2=2t 2-8, ｜PQ ｜6,即｜PQ ｜的最大值为6.20.【解析】(1)双曲线C 的右准线l 的方程为：x=2ac，与x 轴的交点为M,两条渐近线方程为:y=〒ba x.∴两交点坐标为P(2ac,ab c),Q(2ac,-ab c).∵△PFQ 为等边三角形，则有｜MF ｜2｜PQ ｜(如图).∴c-2ac=2(ab c+ab c),即22c a c-=c解得∴e=c a=2.(2)由(1)得双曲线C 的方程为2222x ya3a-=1.把代入得(a 2-3)2x +2x+6a 2=0.依题意2422a 30,12a 24(a 3)a 0⎧-≠⎪⎨∆=--⎪⎩＞ ∴a 2＜6，且a 2≠3.∴双曲线C 被直线y=ax+b 截得的弦长为∵22b e a=12a,∴144a 2=(1+a 2)242272a 12a (a 3)-⋅-整理得13a 4-77a 2+102=0. ∴a 2=2或a 2=5113,∴双曲线C 的方程为22xy26-=1或2213x 13y51153-=1.21.【解析】(1)直线l 过点M(0，1),设其斜率为k ，则l 的方程为y=kx+1. 记A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，由题设可得点A 、B 的坐标是方程组22y kx 1y x 14=+ ⎧⎪⎨+= ⎪⎩①②的解.将①代入②并化简得(4+k 2)x 2+2kx-3=0，所以1221222k x x ,4k8y y .4k⎧+=-⎪⎪+⎨⎪+=⎪⎩+于是O P =12(O A +OB )=(12x x 2+,12y y 2+)=(2k 4k-+,244k+),设点P 的坐标为(x,y), 则22k x ,4k4y ,4k-⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩+消去参数k 得4x 2+y 2-y=0. ③当k 不存在时，A 、B 中点为坐标原点(0，0)，也满足方程③， 所以点P 的轨迹方程为4x 2+y 2-y=0. (2)由点P 的轨迹方程知x 2≤116,即-14≤x ≤14.所以｜NP｜2=(x-12)2+(y-12)2=(x-12)2+14-4x 2=-3(x+116)2+712,故当x=14时，｜NP｜取得最小值，最小值为14.当x=-116时，｜NP6.22.【解析】(1)由MA =(-2-x,1-y),M B=(2-x,1-y),得 |MA +M B,OM ⋅(O A +OB)=(x,y)〃(0,2)=2y.化简得曲线C 的方程是x 2=4y.(2)直线PA,PB 的方程分别是y=-x-1,y=x-1,曲线C 在Q 处的切线l 的方程是y=0x 2x-20x 4,且与y 轴的交点为F(0,20x 4-),分别联立方程组200y x 1,x x y x ,24=--⎧⎪⎨=-⎪⎩200y x 1,x x y x ,24=-⎧⎪⎨=-⎪⎩解得D,E 的横坐标分别是x D =0x 22-,x E =0x 22+,则x E -x D =2,|FP|=1-20x 4,故S △PDE =12|FP|〃|x E -x D |=12〓(1-20x 4)〓2=24x 4-, 而S △QAB =12〓4〓(1-20x 4)=24x 2-,则Q A B P D ES S =2,即△QAB 与△PDE 的面积之比为2.。
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单元质量评估(二)第二讲(90分钟120分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知点P(3,b)在曲线(t为参数)上,则b的值为( )A.-5B.3C.-5或3D.-2或3【解析】选C.把点P(3,b)代入得则2.方程(t为参数)表示的曲线是( )A.双曲线B.双曲线的上支C.双曲线的下支D.圆【解析】选B.把参数方程化为普通方程,再判断表示的曲线类型.注意到2t与2-t互为倒数,故将参数方程的两个等式两边分别平方,再相减,即可消去含t的项:x2-y2=-=-4,即y2-x2=4.由于2t>0,2t+2-t≥2=2,即y≥2.所以y2-x2=4(y≥2).它表示焦点在y轴上,以原点为中心的双曲线的上支.3.已知点P(x,y)在曲线C:(θ为参数)上,则x-2y的最大值为( )A.2B.-2C.1+D.1-【解题指南】利用曲线C的参数方程把x-2y转化为关于θ的函数,再求其最大值. 【解析】选C.由题意,得所以x-2y=1+cosθ-2sinθ=1-(2sinθ-cosθ)=1-=1-sin(θ-φ),所以x-2y的最大值为1+.4.若圆的方程为(θ为参数),直线的方程为(t为参数),则直线与圆的位置关系是( )A.相交过圆心B.相交且不过圆心C.相切D.相离【解析】选 B.圆(θ为参数)的普通方程为(x+1)2+(y-3)2=4,直线(t为参数)的普通方程为3x-y+2=0,圆心(-1,3)到直线的距离为d==<r=2,则直线与圆的位置关系是相交且不过圆心.5.直线(t为参数)的倾斜角为α,则cosα= ( )A. B.- C.- D.-【解题指南】求出直线的斜率,得到直线的倾斜角的正切值,最后利用同角三角函数的基本关系式解方程即得.【解析】选B.因为k===-2.所以tanα=-2,sinα=-2cosα,又sin2α+cos2α=1,所以5cos2α=1,因为α∈,所以cos α=-.【补偿训练】直线l 1:(t 为参数),如果α为锐角,那么直线l 1与直线l 2:x+1=0的夹角是 ( )A.-αB.+αC.αD.π-α【解析】选A.直线l 1可化为y-2=-tan α(x-1),l 2的倾斜角为,l 1的倾斜角为π-α,故l 1与l 2的夹角为-α.6.曲线(φ为参数)的极坐标方程为 ( ) A.ρ=sin θ B.ρ=sin2θ C.ρ=2sin θD.ρ=2cos θ【解析】选C.曲线(φ为参数)的普通方程为x 2+(y-1)2=1,即x 2+y 2=2y.化为极坐标方程为ρ=2sin θ.7.直线l 的参数方程为(t 为参数)l 上的点P 1对应的参数是t 1,则点P 1与P(a,b)之间的距离是 ( ) A.|t 1|B.2|t 1|C.|t 1|D.|t 1|【解题指南】把直线的参数方程化为标准形式,利用标准形式中参数t 的几何意义求解. 【解析】选C.直线l 的参数方程为(t 为参数)令t=t ′,化为标准形式为(t ′为参数)点P 1对应的参数是t 1,则点P 1与P(a,b)之间的距离是|t1|.8.设P是曲线C:(θ为参数,且0≤θ<2π)上的任意一点,则的取值范围是( )A.B.∪C.D.∪【解析】选 C.曲线C:(θ为参数,0≤θ<2π)的普通方程为:+y2=1,P是曲线C:+y2=1上任意一点,则的几何意义就是圆上的点与坐标原点连线的斜率,可得∈.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)9.如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆x2+y2-2y=0的参数方程为________.【解题指南】将直线的方程代入圆的方程求y,化为参数方程.【解析】将直线y=tanθx代入x2+y2-2y=0,得(1+tan2θ)x2-2tanθx=0,解得x=2sinθcosθ,所以y=tanθx=2sin2θ,所以圆x2+y2-2y=0的参数方程为答案:(θ为参数)10.已知直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0与曲线(θ为参数)有且仅有一个公共点,则正实数a的值为________.【解析】直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的直角坐标方程为3x+4y+a=0,曲线(θ为参数)的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,因为直线与圆有且仅有一个公共点,则d==1,解得a=2或a=-8,所以正实数a的值为2.答案:211.已知一条直线的参数方程是(t为参数)另一条直线的方程为x-y-2=0,则两条直线的交点与点(1,-5)间的距离为__________.【解析】把直线(t为参数)代入另一条直线的方程x-y-2=0,得1+t--2=0,解得t=4,所以两条直线的交点为(1+2,1),交点到点(1,-5)的距离为=4.答案:4的参数方程为(θ为12.水高二检测改编)在直角坐标系xOy中,曲线C1参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为2ρ=sinθ+cosθ,曲线C3的极坐标方程为θ=.曲线C3与曲线C1交于点O,A,曲线C3与交于点O,B,则|AB|=________.曲线C2【解析】(1)曲线C1的普通方程为(x-1)2+y2=1.即x2+y2-2x=0,由x=ρcosθ,y=ρsinθ,得ρ2-2ρcosθ=0,所以曲线C1的极坐标方程为ρ=2cosθ.(2)设点A的极坐标为,点B的极坐标为,则ρ1=2cos=,ρ2=sin+cos=+.所以|AB|=|ρ1-ρ2|=.答案:三、解答题(本大题共6小题,共60分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)13.(10分)求直线(t为参数)被双曲线x2-y2=1截得的弦长.【解析】把直线的参数方程化为标准参数方程(b为参数)代入x2-y2=1,得:-=1,整理,得:b2-4b-6=0,设其二根为b1,b2,则b1+b2=4,b1·b2=-6,弦长为|AB|=|b1-b2|====2.14.(10分)顺高三检测)以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴.已知点P的直角坐标为(1,-5),点M的极坐标为.若直线l过点P,且倾斜角为,圆C以M为圆心、4为半径.(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程.(2)试判定直线l和圆C的位置关系.【解析】(1)直线l的参数方程为(t为参数),圆C的极坐标方程为ρ=8sin θ.(2)因为M对应的直角坐标为(0,4),直线l化为普通方程为x-y-5-=0,圆心到l的距离d==>4,所以直线l与圆C相离.15.(10分)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρsin=a,曲线C2的参数方程为(α为参数,0≤α≤π).(1)求C1的直角坐标方程.(2)当C1与C2有两个公共点时,求实数a的取值范围.【解析】(1)曲线C1的极坐标方程为ρ=a,所以曲线C 1的直角坐标方程为x+y-a=0.(2)曲线C 2的直角坐标方程为 (x+1)2+(y+1)2=1(-1≤y ≤0),为半圆弧,如图所示,曲线C 1为一族平行于直线x+y=0的直线, 当直线C 1过点P 时,利用=1得a=-2+或a=-2-(舍去),当直线C 1过点A,B 两点时,a=-1,所以由图可知,当-1≤a<-2+时,曲线C 1与曲线C 2有两个公共点.16.(10分)已知直线y=kx(k>0)交抛物线y=x 2-2x+2于P 1,P 2两点(可以重合),O 为原点,点M 在线段P 1P 2上,且满足+=,求点M 的轨迹方程.【解析】设直线y=kx(k>0)的参数方程为,代入抛物线y=x 2-2x+2,整理,得t 2cos 2θ-(2cos θ+sin θ)t+2=0,所以t 1+t 2=,t 1t 2=.设M 点对应的参数为t,由题意,得=+==,即2tcos θ+tsin θ=4.所以2x+y=4,代入y=x 2-2x+2,消去y 得 x 2=2,所以x=±,所以动点M的轨迹方程为2x+y=4(0<x≤).17.(10分)口高三检测)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合.设点O为坐标原点,直线l:(参数t∈R)与曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ.(1)求直线l与曲线C的普通方程.(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,求证:·=0.【解题指南】(1)消去参数求直线l的普通方程,由x=ρcosθ,y=ρsinθ得曲线C的直角坐标方程.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得x2-12x+16=0,再由根与系数的关系进行求解.【解析】(1)∵直线l:(参数t∈R),所以x=y+4,所以直线l:y=x-4,∵曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ.所以曲线C的极坐标方程为ρ2sin2θ=4ρcosθ.即曲线C:y2=4x.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得x2-12x+16=0,所以x1+x2=12,x1x2=16,所以y1y2=(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16,所以·=x1x2+y1y2=2x1x2-4(x1+x2)+16=0.18.(10分)已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ-ρ=0(ρ≥0),直线l的参数方程为(t为参数,0°≤α<180°).(1)求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程.(2)若直线l与曲线C有且只有一个交点,求α的值.【解析】(1)将极坐标与直角坐标互化公式及ρ2=x2+y2,代入ρ2cos2θ+4ρcosθ-ρ2=0,得x2+4x-x2-y2=0,因而曲线C的直角坐标方程为y2=4x,当α=90°时,直线l的普通方程为x=0,y∈R,当α≠90°时,消去参数t,得直线l的普通方程为y=x·tanα+1.(2)由已知,直线l过定点(0,1),将直线l的参数方程代入到y2=4x,得t2sin2α+2t(sinα-2cosα)+1=0,由已知得Δ=4(sinα-2cosα)2-4sin2α=0,即16cosα(cosα-sinα)=0,所以cosα=0或cosα=sinα,则α=90°或α=45°,又当α=0°时直线l化为y=1,x∈R,此时与曲线C也只有一个交点,所求α的值为0°或45°或90°.。