2016届河北省衡水中学高三下学期六调考试数学(理)试题(A卷)课件
河北省衡水中学2016届高三下学期六调考试(A卷)数学(理)试题Word版含答案.doc
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意）1．复数122ii +-的共轭复数是（ ） A ．35i B ．35i -C ．iD ．i -2．已知集合()(){}240,2101x A x RB x R x a x a x ⎧-⎫=∈≤=∈---<⎨⎬+⎩⎭，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．{}[)12,+∞D ．()1,+∞3．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为:5:3k ，现用分层抽样方法抽出一个容量为120的样本，已知A 种型号产品共抽取了24件，则C 种型号产品抽取的件数为（ ） A ．24B ．30C ．36D ．404．如图给出的是计算111124620+++⋅⋅⋅+的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（ ） A ．8?i >B ．9?i >C ．10?i >D ．11?i >5．已知把函数()sin f x x x =+的图像向右平移4π个单位，再把横坐标扩大到原来的2倍，得到函数()g x ，则函数()g x 的一条对称轴为（ ） A ．6x π=B ．76x π=C ．12x π=D ．56x π=6．已知等比数列{}n a 的前n 项的和为12n n S k -=+，则()3221f x x kx x =--+的极大值为（ ） A ．2B ．3C ．72D ．527．已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ） A ．48种B ．72种C ．78种D ．84种8．已知椭圆221167x x +=的左、右焦点12,F F 与双曲线()222210x x a b a b -=>>的焦点重合．且直线10x y --=与双曲线右支相交于点P ，则当双曲线离心率最小时的双曲线方程为（ ）A ．2218x x -= B ．22163x x -= C ．22172x x -= D ．22154x x -= 9．一个长方体的四个顶点构成一个四面体EFHG ，在这个长方体中把四面体EFHG 截出如图所示，则四面体EFHG 的侧视图是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数()321f x x ax =++的对称中心的横坐标为()000x x >，且()f x 有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞B．,2⎛-∞- ⎝⎭C ．()0,+∞D ．(),1-∞-11．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，若2PA AB ==，1AC =，120BAC ∠=︒，且PA ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为（ ）A ．403πB ．503πC ．12πD ．15π12．已知函数()21,0,log ,0,kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩下列是关于函数()()1y f f x =+的零点个数的四种判断：①当0k >时，有3个零点；②当0k <时．有2个零点；③当0k >时，有4个零点；④当0k <时，有1个零点．则正确的判断是（ ）A ．③④B ．②③C ．①④D ．①②第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，共20分．把答案填在答题纸的横线上）13．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，ABC ∆的顶点都在抛物线上，且满足FA FB FC +=- ，则111AB BC CAk k k ++=______．14．设曲线()1*n y x x N +=∈在点()1,1处的切线与x 轴的交点横坐标为n x ，则201512015220153201l o g l o g l o g l o g x x x x +++⋅⋅⋅+的值为______． 15．已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos 2cos 22cos 2A B C +=，则cos C 的最小值为______．16．若函数()f x 在定义域D 内的某个区间I 上是增函数，且()()f x F x x=在I 上也是增函数，则称()y f x =是I 上的“完美函数”．已知()ln 1x g x e x x =+-+，若函数()g x 是区间,2m ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的“完美函数”，则整数m 的最小值为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置） 17．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且首项()*113,3n n n a a S n N +≠=+∈． （1）求证：{}3nn S -是等比数列；（2）若{}n a 为递增数列，求1a 的取值范围． 18．（本小题满分12分）有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频率分布如下表：所用的时间（天数） 10 11 12 13 通过公路1的频数20402020通过公路2的频数 10 40 40 10假设汽车A 只能在约定日期（某月某日）的前11天出发，汽车B 只能在约定日期的前12天出发（将频率视为概率）．（l ）为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A 和汽车B 应如何选择各自的路径；（2）若通过公路1、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元（其他费用忽略不计），此项费用由生产商承担．如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，生产商将支付给销售商2万元．如果汽车,A B 按（1）中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大． 19．（本小题满分12分）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，PAC ∆为等边三角形，PE BC ，过BC 作平面交AP 、AE 分别于点N 、M ． （1）求证：MN PE ； （2）设ANAPλ=，求λ的值，使得平面ABC 与平面MNC 所成的锐二面角的大小为45︒．20．（本小题满分12分）如图，已知圆(22:16E x y ++=，点)F，P 是圆E 上任意一点线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q ． （1）求动点Q 的轨迹Γ的方程；（2）设直线l 与（1）中轨迹Γ相交下,A B 两点，直线,,OA l OB 的斜率分别为12,,k k k （其中0k >）．OAB ∆的面积为S ，以,OA OB 为直径的圆的面积分别为12,S S ．若12,,k k k 恰好构成等比数列，求12S S S+的取值范围．21．（本小题满分12分） 已知函数()()1ln 0x f x x a ax-=-≠． （l ）求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，求()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值()0.69ln 20.70<<；（3）求证：21ln e x x x+≤． 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知直线AC 与圆O 相切于点B ，AD 交圆O 于F 、D 两点，CF 交圆于,E F ，BD CE ，AB BC =，2AD =，1BD =．（1）求证：BDF FBC ∆∆∽； （2）求CE 的长．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C 的方程为()2cos 0a a ρθ=≠，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为31,43x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）（1）求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程；（2）若直线l 与圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 （1）设函数()5,2f x x x a x R =-+-∈，若关于x 的不等式()f x a ≥在R 上恒成立，求实数a 的最大值；（2）已知正数,,x y z 满足231x y z ++=，求321x y z++的最小值．河北省衡水中学2016届高三下学期六调考试数学（理）试题（A 卷）参考答案一、选择题DCCCD DADDB AA 二、填空题13．0 14．1- 15．2116．3 三、解答题17．解：（1）因为11n n n a S S ++=-，所以123n n n S S +=+．…………………………………………1分 ∴11132332232333n n n nn n n n n nn n n S S S S S S +++-+--⨯===---．…………………………………………………4分 且130a -≠， 所以{}3n nS-是以13a -为首项，以2为公比的等比数列．…………………………………………6分 （2）由（1）得，()11332nn n S a --=-⨯，所以()11323n n n S a -=-⨯+．当2n ≥时，()()1211113233223n n n n n n n a S S a a ----=-=-⨯+--⨯+- ()2113223n n a --=-⨯+⨯．…………8分若{}n a 为递增数列，则1n n a a +>对*n N ∈恒成立．当2n ≥时，()()1211132233223n n n n a a --+-⨯+⨯>-⨯+⨯，则2213212302n n a --⎡⎤⎛⎫⨯+->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦对*2,n n N ≥∈恒成立，则19a >-；…………………………………………………………………………………………………10分 又2113a a a =+>所以1a 的取值范围为()()+∞-,33,9 18．解：（Ⅰ）频率分布表，如下：所用的时间（天数） 10 11 12 13 通过公路1的频数 0.2 0.4 0.2 0.2 通过公路2的频数0.10.40.40.1设12,A A 分别表示汽车A 在约定日期前11天出发选择公路1、2将货物运往城市乙；1B 、2B 分别表示汽车B 在约定日期前12天出发选择公路1、2将货物运往城市乙；()0.20.40.6P A =+=， ()20.10.40.5P A =+=， ()10.20.40.20.8P B =++=， ()20.10.40.40.9P B =++=，所以汽车A 选择公路，汽车B 选择公路2．（Ⅱ）设X 表示汽车A 选择公路1时，销售商付给生产商的费用，则42,40,38,36X =．X 的分布列如下：X 42 40 38 36 P0.20.40.20.2()420.2400.4380.2360.239.2E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．∴表示汽车A 选择公路1时的毛利润为39.2 3.236.0-=（万元）． 设Y 表示汽车B 选择公路2时的毛利润，42.4,40.4,38.4,36.4Y =． 则Y 的分布列如下：X 42.4 40.4 38.4 36.4 P0.10.40.40.1()42.40.140.40.438.40.436.40.139.4E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=．∵36.039.4<，∴汽车B 为生产商获得毛利润更大．19．（1）如图以点C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -，不妨设1CA =，()0CB t t =>，PE CB μ= ，则()0,0,0C ，()1,0,0A ，()0,,0B t，12P ⎛ ⎝⎭，1,2E t μ⎛ ⎝⎭， 由AM AN AE AP λ==，得()111,,1,0,,022M t N MN t λλμλλμ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()00,0,1=n 是平面ABC 的一个法向量，且00MN ⋅= n ，故0MN ⊥n ，又∵MN ⊄平面ABC ，即知MN 平面ABC ，又∵,,,B C M N 四点共面，∴MNBC PE ；（2）()10,,0,1,,22MN t CM t λμλλμ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面CMN 的法向量()1111,,x y z =n ，则110,0MN CM ⋅=⋅=n n ，可取1⎛= ⎝n ，又∵()00,0,1=n 是平面ABC 的一个法向量，由0101cos θ⋅=⋅n n n n ，以及45θ=︒2=， 即22440λλ+-=，解得1λ=（负值舍去），故1λ=．20．解：（Ⅰ）连结QF ，根据题意，=QP QF ，则|4|QE QF QE QP EF +=+=>=故动点Q 的轨迹Γ是以,E F 为焦点，长轴长为4的椭圆．2分设其方程为()222210x x a b a b +=>>，可知2,a c ===1b =，3分所以点Q 的轨迹Γ的方程为为2214x y +=．4分（Ⅱ）设直线l 的方程为y kx m =+，()()1122,,,A x y B x y由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()()222148410k x kmx m +++-=， 由韦达定理有：()12221228144114km x x k m x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩且()2216140k m ∆=+->………………………………………………………6分∵12,,k k k 构成等比数列，∴()()1221212kx m kx m k k k x x ++==，即：()2120km x x m ++= 由韦达定理代入化简得：214k =．∵k >，∴12k =………………………………………………8分 此时()21620m ∆=->，即(m ∈．又由A 、O 、B 三点不共线得0m ≠从而()(m ∈ ．故1212S AB d x =⋅=-m m ==10分又22221212144x x y y +=+= 则()222222121122123324444S S x y x y x x ππ⎛⎫+=⋅+++=⋅++ ⎪⎝⎭()212123521624x x x x πππ⎡⎤=+-+=⎣⎦为定值．12分∴125544S S S ππ+=≥当且仅当1m =±时等号成立． 综上：125,4S S S π+⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭．14分 21．（Ⅰ）函数的定义域为()0,+∞， ∵()1ln x f x x ax-=-， ∴()()()22211111x ax a x ax a f x x ax xax -⨯---'=-==-， 若0a <，因0x >，所以10x a->，故()0f x '<，函数()f x 在()0,+∞上单调递减； 若0a >，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 单调递减． 综上，若0a <，函数()f x 的单调减区间为()0,+∞； 若0a >，()f x 的单调增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． （Ⅱ）1a =时，()11ln 1ln x f x x x x x -=-=--， 由（Ⅰ）可知，()11ln f x x x=--在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[]1,2上单调递减，所以函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()111ln101f =--=；而1112ln 1ln 222f ⎛⎫=--=-+⎪⎝⎭；()1121ln 2ln 222f =--=-， ()()1132ln 21ln 22ln 2 1.520.70.10222f f ⎛⎫-=---+=->-⨯=> ⎪⎝⎭，所以()122f f ⎛⎫>⎪⎝⎭，故函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为11ln 22f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，函数()11ln f x x x=--在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 故函数()f x 在()0,+∞上的最大值为()111ln10f =--=，即()0f x ≤．22．（Ⅰ）因为BD CE ，所以DBF BFC ∠=∠，因为AC 与圆O 相切于点B ，所以CBF BDF ∠=∠，所以BDF FBC ∆∆∽．（Ⅱ）因为B D C E ，且A B B C =，所以22,2F C B D D F A D ====，因为BDF FBC ∆∆∽，所以BD DF BF BF CB CF ==，即有BD BF BF CF =，即12BFBF =，则BF =，又BD DF BF BC =，即2BC =，所以CB =，因为AC 与圆O 相切于点B ，所以2CB CF CE =⋅，即82CE =，所以4CE =．23.解：（1）由3143x t y t =+⎧⎨=+⎩得11333344x t x y y t-⎧=⎪--⎪⇒=⎨-⎪=⎪⎩所以直线l 的普通方程为：4350x y -+=，……………………………………………………………2分由22cos 2cos a a ρθρρθ=⇒= 又222,cos x y x ρρθ=+= 所以，圆C的标准方程为()222x a y a -+=，…………………………………………………………5分（2）因为直线l 与圆C恒有公共点，所以a ≤，………………………………………7分两边平方得2940250a a --≥，∴()()9550a a +-≥ 所以a的取值范围是59a ≤-或5a ≥……………………………………………………………………10分24．（1）由绝对值的性质得()()55522f x x x a x x a a a ⎛⎫=-+-≥---=- ⎪⎝⎭，………………3分 所以()f x 的最小值为52a -，从而52a a -≥，解得54a ≤，因此a的最大值为54．…………………………………………………………………………………5分（2）由于,,0x y z >，所以()32132123x y z x y z x y z ⎛⎫++=++⋅++ ⎪⎝⎭22216≥=+=+当且仅当23321x y zx y z==，即:::3:1x y =时，等号成立．……………………………………8分 ∴321x y z++的最小值为。
【数学】河北省衡水中学高三下学期六调考试试卷(理)(解析版)
河北省衡水中学高三下学期六调考试数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意）1.已知，，为虚数单位，且，则的值为（）A. 4B.C. -4D.【答案】C【解析】根据复数相等的概念可知，，∴，∴，故选C2.已知集合，，则下列结论中正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得，故，选项为C.3.已知的面积为2，在所在的平面内有两点、，满足，，则的面积为（）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】由题意可知，P为AC的中点，2，可知Q为AB的一个三等分点，如图：因为S△ABC2．所以S△APQ．故选：B．4.如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（）A. B. C. 8 D. 4【答案】D【解析】因为一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为的菱形，所以菱形的边长为，由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成，底面边长为，侧棱长为，所以几何体的表面积为：，故选D．5.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图所示的是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设正方形的边长为则①处面积和右下角黑色区域面积相同故黑色部分可拆分成一个等腰直角三角形和一个直角梯形等腰直角三角形面积为：直角梯形面积为：黑色部分面积为：则所求概率为：本题正确选项：6.定义运算：，将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，将函数化为再向左平移（）个单位即为:又为偶函数,由三角函数图象的性质可得,即时函数值为最大或最小值,即或,所以,即,又,所以的最小值是.7.已知，，，则下列选项正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，，∵6π＞0，∴a，b，c的大小比较可以转化为的大小比较．设f（x），则f′（x），当x＝e时，f′（x）＝0，当x＞e时，f′（x）＞0，当0＜x＜e时，f′（x）＜0∴f（x）在（e，+∞）上，f（x）单调递减，∵e＜3＜π＜4∴，∴b＞c＞a，故选：D．8.双曲线的左右焦点分别为，，且恰为抛物线的焦点，设双曲线与该抛物线的一个交点为，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】∵，∴焦点为，即，∵，∴，即，∴，则，即，∴．9.如图①，利用斜二侧画法得到水平放置的的直观图，其中轴，轴.若，设的面积为，的面积为，记，执行如图②的框图，则输出的值A. 12B. 10C. 9D. 6【答案】A【解析】∵在直观图△A′B′C′中，A′B′＝B′C′＝3，∴S′A′B′•B′C′•sin45°由斜二侧画法的画图法则，可得在△ABC中，AB＝6．BC＝3，且AB⊥BC∴S AB•BC＝9则由S＝kS′得k＝2，则T＝T（m﹣1）＝T2（m﹣1）故执行循环前，S＝9，k＝2，T＝0，m＝1，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝0，m＝2当T＝0，m＝2时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝2，m＝3当T＝2，m＝3时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝6，m＝4当T＝6，m＝4时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝12，m＝5当T＝12，m＝5时，不满足进行循环的条件，退出循环后，T＝12，故输出的结果为12故选：A．10.如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推.设由正边形“扩展”而来的多边形的边数为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，猜想,,,故选A.11.过椭圆上一点作圆的两条切线，点，为切点，过，的直线与轴，轴分别交于点，两点，则的面积的最小值为（）A. B. C. 1 D.【答案】B【解析】∵点在椭圆上，∴设，∵过椭圆上一点作圆的两条切线，点为切点，则∴以O为圆心，以|AM|为半径的圆的方程为①．又圆的方程为②．①-②得，直线AB的方程为：∵过A，B的直线l与x轴，y轴分别交于点P，Q两点，∴P，Q，∴△POQ面积，∵-1≤sin2θ≤1，∴当sin2θ=±1时，△POQ面积取最小值．12.若函数在其图象上存在不同的两点，，其坐标满足条件：的最大值为0，则称为“柯西函数”，则下列函数：①：②：③:④.其中为“柯西函数”的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】由柯西不等式得对任意的实数都有≤0，当且仅当时取等，此时即A,O,B三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点共线过原点直线与f(x)有两个交点.①,画出f(x)在x＞0时，图像若f(x)与直线y=kx有两个交点，则必有k≥2，此时，，所以（x＞0），此时仅有一个交点，所以不是柯西函数；②，曲线过原点的切线为，又（e,1）不是f(x)图像上的点，故f(x)图像上不存在两点A,B与O共线，所以函数不是；③；④．显然都是柯西函数.故选：B二、填空题（每题5分，共20分.）13.若等比数列的第5项是二项式展开式的常数项，则________【答案】【解析】，则其常数项为，所以，则14.已知在平面直角坐标系中，，，，，动点满足不等式，，则的最大值为________.【答案】4【解析】∵，，，，，∴，又∵∴故本例转化为在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值问题.可作出如右图的可行域，显然在点时为最优解.∵即∴15.已知数列的前项和为，且，则使不等式成立的的最大值为________.【答案】4【解析】当时，，得，当时，，所以，所以，又因为适合上式，所以，所以，所以数列是以为首项，以4为公比的等比数列，所以，所以，即，易知的最大值为4.16.若四面体的三组对棱分别相等，即，，，则________.（写出所有正确结论的编号）①四面体每个面的面积相等②四面体每组对棱相互垂直③连接四面体每组对棱中点的线段相互垂直平分④从四面体每个顶点出发的三条棱的长都可以作为一个三角形的三边长【答案】【解析】由题意可知四面体ABCD为长方体的面对角线组成的三棱锥，如图所示；由四面体的对棱相等可知四面体的各个面全等，它们的面积相等，则正确；当四面体棱长都相等时，四面体的每组对棱互相垂直，则错误；由长方体的性质可知四面体的对棱中点连线必经过长方体的中心，由对称性知连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分，则正确；由，，，可得过四面体任意一点的三条棱的长为的三边长，则正确．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共62分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17.设的三内角、、的对边长分别为、、，已知、、成等比数列，且.（I）求角的大小；（Ⅱ）设向量，，当取最小值时，判断的形状.解：（I）因为、、成等比数列，则.由正弦定理得.又，所以·因为，则.因为，所以或.又，则，当且仅当a=c等号成立，即故.（Ⅱ）因为，所以.所以当时，取得最小值.此时，于是.又，从而为锐角三角形.18.在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，.（1）求证：；（2）设为的中点，点在线段上，若直线平面，求的长；（3）求二面角的余弦值.（1）证明：∵是正三角形，是中点，∴，即.又∵平面，∴.又，∴平面.∴.（2）解：取中点，连接，则平面，又直线平面，EG∩EF=E所以平面平面，所以∵为中点，，∴.∵，，∴，则三角形AMF为直角三角形，又，故（3）解：分别以，，为轴，轴，轴建立如图的空间直角坐标系，∴，，，.为平面的法向量.，.设平面的一个法向量为，则，即，令，得，，则平面的一个法向量为，设二面角的大小为，则.所以二面角余弦值为.19.在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分选做题，学生可以从，两道题目中任选一题作答.某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001一900.（1）若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表，以方框内的数字5为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端.写出样本编号的中位数；（2）若采用系统抽样法抽样，且样本中最小编号为08，求样本中所有编号之和：（3）若采用分层轴样，按照学生选择题目或题目，将成绩分为两层，且样本中题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4：样本中题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1.用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差. 解：（1）根据题意，读出的编号依次是：512，916（超界），935（超界），805，770，951（超界），512（重复），687，858，554，876，647，547，332.将有效的编号从小到大排列，得332，512，547，554，647，687，770，805，858，876，的故中位数为.（2）由题易知，按照系统抽样法，抽出的编号可组成以8为首项，以90为公差的等差数列，故样本编号之和即为该数列的前10项之和.（3）记样本中8个题目成绩分别为，，…，2个题目成绩分别为，，由题意可知，，，，故样本平均数为.样本方差为.故估计该校900名考生该选做题得分的平均数为7.2，方差为3.56.20.已知椭圆的左，右焦点，，上顶点为，，为椭圆上任意一点，且的面积最大值为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若点.为椭圆上的两个不同的动点，且（为坐标原点），则是否存在常数，使得点到直线的距离为定值？若存在，求出常数和这个定值；若不存在，请说明理由.解：(Ⅰ)由题得， ，解得 ，椭圆的标准方程为.(Ⅱ)设，，当直线AB 的斜率存在时，设其直线方程为：，则原点到直线的距离为，联立方程，化简得，，由得，则，，即对任意恒成立，则，，当直线斜率不存在时，也成立. 故当时，点到直线AB 的距离为定值.21.已知函数. （1）令，若在区间上不单调，求的取值范围；（2）当时，函数的图象与轴交于两点，，且，又是的导函数.若正常数，满足条件，.试比较与0的关系，并给出理由 解：（1）因为，所以，因为在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根，由，有，，令t =x +1>4的则y=2(t+在t>4单调递增，故（2）∵，又有两个实根，，∴，两式相减，得，∴，于是.∵，∴，∴.要证：，只需证：只需证：.（*）令，∴（*）化为，只需证∵在上单调递增，，∴，即.∴.请考生在22、23三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4一4：坐标系与参数方程选讲：已知平面直角坐标系.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，曲线的极坐标方程为（1）写出点的直角坐标及曲线的普通方程；（2）若为上的动点，求中点到直线（为参数）距离的最小值.解：（1）x＝ρcosθ，y＝ρsinθ∴点的直角坐标由得，即所以曲线的直角坐标方程为（2）曲线的参数方程为（为参数）直线的普通方程为设，则那么点到直线的距离，所以点到直线的最小距离为23.选修4-5：不等式选讲.设函数，.（1）求不等式的解集；（2）如果关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.解：（1）当时，，，则；当时，，，则；当时，，，则.综上可得，不等式的解集为.（2）设，由函数的图像与的图像可知：在时取最小值为6，在时取最大值为，若恒成立，则.。
衡水中学高2017届16-17学年（下）六调试题——数学理
衡⽔中学⾼2017届16-17学年（下）六调试题——数学理河北衡⽔中学2016—2017学年度下学期六调考试⾼三年级（理科）数学试卷第I 卷（选择题部分，共60分）⼀、选择题：共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每个⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的. 1．若复数11mii +-为纯虚数，则m 的值为（） A ．1m =- B ．1m =C ．2m =D ．2m =-2．全集U R =，集合{}1()12x A y y ==+，集合{},B y y b b R ==∈，若A B =? ，则b 的取值范围是（）A ．0b <B ．0b ≤C ．1b <D ．1b ≤ 3．甲、⼄、丙三⼈投掷飞镖，他们的成绩（环数）如下⾯的频数条形统计图所⽰，则甲、⼄、丙三⼈训练成绩⽅差2s 甲，2s ⼄，2s 丙的⼤⼩关系是（）A ．2s 丙<2s ⼄<2s 甲B ．2s 丙<2s 甲<2s ⼄C ．2s ⼄<2s 丙<2s 甲D ．2s ⼄<2s 甲<2s 丙4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，它的⼀条渐近线与圆22(2)4x y -+=相切，则双曲线的离⼼率为（）AB ．2CD．5．已知122,,,8a a --成等差数列，1232,,,,8b b b --成等⽐数列，则212a ab -等于（） A ．14 B ．12 C ．12- D ．12或12- 6．执⾏如图所⽰的框图，若输出的sum 的值为2047，则条件框中应填写的是（）A ．9i <B ．10i <C ．11i <D ．12i < 7．已知6)z +展开式中，系数为有理数的项的个数为（）A ．4B ．5C ．6D ．78．如图，⽹格纸上⼩正⽅形的边长为1，粗线画出的是某个多⾯体的三视图，若该多⾯休的所有顶点都在球O 表⾯上，则球O 的表⾯积是（）A ．36πB ．48πC ．56πD ．64π9．已知锐⾓α、β满⾜sin sin 2cos cos αββα+<，设tan tan ,()log ,x a a f x αβ=?=侧下列判断正确的是（） A ．(sin )(cos )f f αβ> B ．(cos )(sin )f f αβ> C ．(sin )(sin )f f αβ> D ．(cos )(cos )f f αβ>10．以抛物线2y x =的⼀点(1,1)M 为直⾓顶点作抛物线的两个内接Rt MAB ?,Rt MCD ?,则线段AB 与线段CD 的交点E 的坐标为（）A ．(1,2)-B ．(2,1)-C ．(2,4)-D ．(1,4)-11．将单位正⽅体放置在⽔平桌⾯上（⼀⾯与桌⾯完全接触），沿其⼀条棱翻动⼀次后，使得正⽅体的另⼀⾯与桌⾯完全接触，称⼀次翻转。
2016届河北省衡水中学高三下学期第六次调研考试(A)数学(理)试卷及解析
与双曲线右支相交于点 ，则当双曲线离心率最小时的双曲线方程为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【易错点晴】本题考查的是圆锥曲线的基本量的计算问题.解答这类问题的一般思路是依据题设条件想方设法建构含 的方程,然后再通过解方程或方程组使问题获解.解答本题的难点是如何建立和求出关于离心率的目标函数,再进一步探求该函数取得最小值时的条件,从而求出双曲线的标准方程中的 的值.本题中的函 数是运用两点之间的距离公式建立的,求解时是解不等式而求出 的值.
12．已知函数 下列是关于函数 的零点个数的四种判断：①
当 时，有3个零点；②当 时．有2个零点；③当 时，有4个零点；④当 时，有1
个零点．则正确的判断是（）
A．③④B．②③C．①④D．①②
【答案】A
【解析】
试题分析：若 .当 ,即 时, ,解得 ；当 ,即 时, ,当 ,解得 适合；当 ,解得 不适合.若 ,若 ,则 ,即 ,当 合适, 时不合适；若 ,则 ,即 也即 ,当 时适合；当 不合适.因此当 时有四个根 ；当 只有一个根 ,应选A.
则 的最小值为______．
【答案】
【解析】
试题分析：由 得 ,即 .因为 ,即 ,所以 ,即 的最小值为 .
【易错点晴】本题考查的是以三角形中的三角变换为背景,其实是和解三角形有关的最小值问题.求解本题的关键是如何将题设条件 与 的最小值进行联系,这也是解答好本题的突破口.解答时先运用二倍角公式将其化为 ,再运用正弦定理将其转化为三角形的边的等式 .然后再借助余弦定理和基本不等式进行联系,从而求出 的最小值.
A． B． C． D．
【答案】C
3．某工厂生产 、 、 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 ，现用分层抽样方法
2016届河北省衡水中学高三下学期二调考试数学(理)试题(解析版)
2016届河北省衡水中学高三下学期二调考试数学（理）试题一、选择题1．已知集合{}1,3,4,5A =，集合{}2|450B x Z x x =∈--<，则A B 的子集个数为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16 【答案】C【解析】试题分析：由2450x x --<，解得15x -<<，所以{0,1,2,3,4}B =，所以{1,3,4}A B = ，所以A B 的子集个数为328=，故选C ．【考点】1、不等式的解法；2、集合的交集运算；3、集合的子集．2．如图，复平面上的点1234,,,Z Z Z Z 到原点的距离都相等，若复数z 所对应的点为1Z ，则复数z i ⋅（i 是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（ ）A ．1ZB ．2ZC ．3ZD ．4Z【答案】B【解析】试题分析：根据题意，设z bi =（0b >且为实数），则z i bi i b ==- 为负实数，对应点在x 轴负半轴，即为2z ，共轭复数是2z ，故选B ． 【考点】复数的概念．3．下列四个函数中，在0x =处取得极值的函数是（ ） ①3y x =；②21y x =+；③y x =；④2xy =A ．①②B ．①③C ．③④D ．②③【答案】D【解析】试题分析：①中，230y x '=≥恒成立，所以函数在R 上递增，无极值点；②中2y x '=，当0x >时函数单调递增，当0x <时函数单调递减，且0|0x y ='=，符合题意；③中结合该函数图象可知当0x >时函数单调递增，当0x <时函数单调递减，且0|0x y ='=，符合题意；④中，由函数的图象知其在R 上递增，无极值点，故选D ． 【考点】函数的极值．4．已知变量,x y 满足：202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2x yz +=的最大值为（ ）A．．2 D ．4【答案】D【解析】试题分析：作出满足不等式组的平面区域，如图所示，由图知目标函数12z x y =+经过点(1,2)A时取得最大值，所以212max 4z ⨯+==，故选D ．【考点】简单的线性规划问题．5．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】B【解析】试题分析：第一次循环，得8,2n i ==；第二次循环，得48131,3n i =⨯-==；第三次循环，得4311n =⨯-＝123,4i =；第四次循环，得1234119,5n i =-==；第五次循环，得41191n =⨯-＝471123>，6i =，此时不满足循环条件，退出循环，输出6i =，故选B ． 【考点】程序框图．6．两个等差数列的前n 项和之比为51021n n +-，则它们的第7项之比为（ ）A ．2B ．3C ．4513D ．7027【答案】B【解析】试题分析：设这两个数列的前n 项和分别为,n n S T ，则1131377113137713()132513102313()13221312a a S a ab b T b b +⨯⨯+=====+⨯⨯-，故选B ．【考点】1、等差数列的前n 项和；2、等差数列的性质．7．在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布()()21000σσ>，，若ξ在（80,120）内的概率为0.8，则落在（0,80）内的概率为（ ） A ．0.05 B ．0.1 C ．0.15 D ．0.2 【答案】B【解析】试题分析：由题意知ξ服从正态分布2(100,)σ，(80120)0.8P ξ<<=，则由正态分布图象的对称性可知，1(080)0.5(80120)0.12P P ξξ<<=-<<=，故选B ．【考点】正态分布． 8．函数()()s i n 0,0f x A x A ωω=>>的部分图象如图所示，()()()()1232015f f f f +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．0B ．．．【答案】A【解析】试题分析：由图知2A =，2(62)8T =-=，所以24T ππω==，所以()2sin()4f x x π=．由正弦函数的对称性知(1)(2)(8)0f f f +++= ，所以(1)(2)(2015)(1)(2)(7)f f f f f f +++=+++ ＝(8)0f -=，故选A ．【考点】1、三角函数的图象及周期性． 【方法点睛】ω由周期T 确定，即由2T πω=求出．常用的确定T 值的方法有：（1）曲线与x 轴的相邻两个交点之间的距离为2T ；（2）最高点和与其相邻的最低点横坐标之间的距离为2T ；（3）相邻的两个最低点（最高点）之间的距离为T ；（4）有时还可以从图中读出4T 或34T的长度来确定ω．9．若()()7280128112x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，则127a a a ++⋅⋅⋅+的值是（ ）A ．-2B ．-3C ．125D ．-131 【答案】C【解析】试题分析：令0x =，得01a =；令1x =，得01282a a a a -=++++ ，即1283a a a +++=- ．又7787(2)128a C =-=-，所以12783125a a a a +++=--= ，故选C ．【考点】二项式定理．10．已知圆221:20C x cx y ++=，圆222:20C x cx y -+=，椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>，焦距为2c ），若圆12,C C 都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ） A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦， C．⎫⎪⎪⎣⎭ D．0⎛ ⎝⎦【答案】B【解析】试题分析：由题意，得圆12,C C 的圆心分别为(,0)c -和(,0)c ，半径均为c ，满足题意的圆与椭圆的临界位置关系如图所示，则知要使圆12,C C 都在椭圆内，则需满足不等式2c a ≤，所以离心率102c e a <=≤，故选B ．【考点】1、椭圆的几何性质；2、圆锥曲线间的位置关系． 11．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数()1y f x =-的图象关于（1,0）成中心对称，若,s t 满足不等式()()2222f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，2t ss t-+的取值范围是（ ） A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】试题分析：设12x x <，则120x x -<．由1212()()0f x f x x x -<-，知12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数()f x 为减函数．因为函数(1)y f x =-的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =为奇函数，所以222(2)(2)(2)f s s f t t f t t -≤--=-，所以2222s s t t-≥-，即()(s t st -+-≥．因为233111t s s t s t s t s-=-=-+++，而在条件()(2)014s t s t s -+-≥⎧⎨≤≤⎩下，易求得1[,1]2t s ∈-，所以11[,2]2t s +∈，所以33[,6]21s∈+，所以311[5,]21t s-∈--+，即21[5,]2t s s t -∈--+，故选D ． 【考点】1、函数的单调性；2、函数的奇偶性；3、不等式的性质． 【方法点睛】利用函数性质解决函数不等式的常用方法有：（1）根据奇函数、偶函数的图象特征和性质，通过图象将函数不等式转化为一般不等式，从而解决函数不等式问题；（2）根据函数奇偶性与周期性将函数不等式中的自变量转化到同一单调区间上，再根据单调性脱去符号“f ”求解．12．正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C此时四面体ABCD 外接球表面积为（ ） A ．7π B ．19π CD【答案】A【解析】试题分析：根据题意作图如下，由图可知翻折后的高AD ⊥平面BCD ，即四面体的高为AD ．在B C D ∆中，1,1,B D C D B ==，由余弦定理，得2221cos 22BD CD BC BCD BD CD +-∠==-⋅，所以23BCD π∠=，所以由正弦定理可知BCD ∆的外接圆半径为112sin BCBDC⨯=∠．设这个外接圆的圆心为O '，半径为O C '，则由外接球的对称性可得12OO AD '==．在OO C '∆中，222OO O C R ''+=，即222714R =+=，所以外接球表面积为247R ππ=，故选A ．【考点】1、多面体的外接球；2、正余弦定理；3、球的表面积．【方法点睛】求解翻折问题的基本方法：（1）先比较翻折前后的图形，弄清哪些几何量和线面间位置关系在翻折过程中不变，哪些已发生变化；（2）将不变的条件集中到立体图形中，将问题归结为一个条件与结论明朗化的立体问题．二、填空题13．一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为 .【解析】试题分析：由三视图知该几何体是以底面边长为2锥，所以该几何体的体积为2123V =⨯=． 【考点】1、空间几何三视图；2、四棱锥的体积．【思路点睛】由三视图还原几何体可考虑三种情况：（1）若主视图与左视图都是三角形，则几何体为棱锥；（2）若主视图与左视图都是矩形，则几何体为棱柱；（3）若主视图与左视图中一个为三角形，一个为矩形，则几何体为横放的几何体．14．已知向量AB 与AC 的夹角为60°，且||||2AB AC ==，若AP AB AC λ=+ ，且AP BC ⊥，则实数λ的值为 .【答案】1 【解析】试题分析：因为A PB ⊥，所以0AP BC ⋅=．2()()AP BC AB AC AC AB AB AC ACλλ⋅=+⋅-=⋅+ －2AB AB AC λ-⋅ ＝22(1)||||cos60||||AB AC AC AB λλ-︒+- ＝2(1)44220λλλ-+-=-+=，解得1λ=．【考点】1、向量的数量积运算；2、向量的线性运算．15．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的半焦距为c ，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线24y cx =2（e 为双曲线的离心率），则e 的值为 .【解析】试题分析：由题意，得抛物线的准线为x c =-，它正好经过双曲线的左焦点，所以准线被双曲线截得的弦长为22b a ，所以2223b a =，即23b a =，所以e ==整理，得422910e e -+=，解得2e =或e =又过焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，所以e =． 【考点】1、抛物线与双曲线的几何性质；2、直线与双曲线的位置关系．【方法点睛】关于双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中,,a b c 的关系式，求值问题就是建立关于,,a b c 的等式，求取值范围问题就是建立关于,,a b c 的不等式． 16．用()g n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，()99,10g =的因数有1,2,5,10，()105g =，那么()()()()201512321g g g g +++⋅⋅⋅+-= .【答案】2015413-【解析】试题分析：由()g n 的定义易知当n 为偶数时，()()2n g n g =，且当n 为奇数时，()g n n =．令()(f n g =＋(2)(3)(21)n g g g +++- ，则1(1)(1)(2)(3)(21)n f n g g g g ++=++++- ＝113(21)n ++++- ＋1(2)(4)(22)n g g g ++++- ＝112(121)(1)(2)(4)(22)4()2n n n n g g g g f n +++-+++++-=+ ，即(1)f n +－()4nf n =，分别取n为1,2,,n 并累加得24(1)(1)444(41)3n nf n f +-=+++=- ．又(1)(fg =＝1，所以4(1)(41)13nf n +=-+，所以()(1)(2)(3nf ng g g g =++++-＝14(41)13n --+．令2015n =，得2015201541(1)(2)(3)(21)3g g g g -++++-= ． 【考点】1、新定义；2、等差数列与等比数列的前n 项和．三、解答题17．在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin a b B A ==+=（1）求角A 的大小； （2）求ABC ∆的面积.【答案】（1）3π；（2）2【解析】试题分析：（1）先由正弦定理求得sin B 与sin A 的关系，然后结合已知等式求得sin A 的值，从而求得A 的值；（2）先由余弦定理求得c 的值，从而由cos B 的范围取舍c 的值，进而由面积公式求解．试题解析：（1）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a b A B =，得3sin sin A B=，即3sin B A =.sin B A +=sin 2A =. 因为ABC ∆为锐角三角形，所以3A π=.（2）在ABC ∆中，由余弦定理222cos 2b c a A bc +-=，得219726c c +-=，即2320c c -+=.解得1c =或2c =.当1c =时，因为222cos 0214a cb B ac +-==-<，所以角B 为钝角，不符合题意，舍去.当2c =时，因为22c o s024a c B ac +-==>，又,,b c b a B C B A >>⇒>>，所以ABC ∆为锐角三角形，符合题意.所以ABC ∆的面积11sin 3222S bc A ==⨯⨯⨯=【考点】1、正余弦定理；2、三角形面积公式．18．某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”.（1）当3a b ==时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n ，比较m ，n 的大小关系；（2）在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望；（3）若1a =，记乙型号电视机销售量的方差为2s ，根据茎叶图推断b 为何值时，2s 达到最小值.（只需写出结论）【答案】（1）m n =；（2）分布列见解析，()1E X =；（3）0．【解析】试题分析：（1）根据茎叶图，得2数据的平均数为101014182225273041432410+++++++++=.乙组数据的平均数为1018202223313233334326.510+++++++++=. 由茎叶图，知甲型号电视剧的“星级卖场”的个数5m =，乙型号电视剧的“星级卖场”的个数5n =，所以m n =.（2）由题意，知X 的所有可能取值为0,1,2.且()025*******C C P X C ===，()()11025555221010521299，C C C C P X P X C C ======， 所以X 的分布列为所以()0121999+=E X =⨯+⨯⨯. （3）当0b =时，2s 达到最小值.试题解析：（1）根据平均数的定义分别求出甲、乙两组数据的平均数，从而得到“星级卖场”的个数进行比较；（2）写出X 的所有可能取值，求出相应概率，列出分布列，求得数学期望；（3）根据方差的定义求解．【考点】1、平均数与方差；2、分布列；3、数学期望．19．如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，60BAD ∠= ，DE AB ⊥于点E ，将ADE∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1AD DC ⊥，如图2.（1）求证：1A E ⊥平面BCDE ；（2）求二面角1E A B C --的余弦值；（3）判断在线段EB 上是否存在一点P ，使平面1A DP ⊥平面1A BC ？若存在，求出EPPB的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）7-（3）不存在，理由见解析． 【解析】试题分析：（1）易证得DE DC ⊥，结合1A D DC ⊥可推出DC ⊥平面1A DE ，从而推出1DC A E ⊥，进而结合翻折的性质可使问题得证；（2）以,,EB ED EA 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，得到相关点坐标与相关向量，利用空间夹角公式求解；（3）假设存在点(,0,0)P t ，求出平面1A DP 的一个法向量，从而根据两平面垂直两法向量的数量积为0，求出t 的值，从而作出判断．试题解析：：（1）∵D E B E ⊥，//BE DC ，∴DE DC ⊥，又∵1A D DC ⊥，1A D DE D = ，∴DC ⊥平面1A D E .∴1DC A E ⊥，又∵1A E DE ⊥，DC DE D = ，∴1A E ⊥平面BCDE ；（4分）（2）∵1A E ⊥平面BCDE ，DE BE ⊥，∴以EB ，ED ，1EA 分别为x 轴，y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系，易知DE =，则1(0,0,2)A ，(2,0,0)B，C，D ，∴1(2,0,2)BA =-，BC =，平面1A BE 的一个法向量(0,1,0)n = ，设平面1A BC 的法向量(,,)m x y z =，由10BA m ⋅= ，0BC m ⋅= ，得220230x z x -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1y =，得(,3)m = ，∴c o s ,7||||m n m n m n ⋅<>==⋅，由图，得二面角1E A B C --为钝二面角，∴二面角1E A B C --的余弦值为 （3）假设在线段EB 上存在一点P ，使得平面1A D P⊥平面1A B C ，设(,0,0)(02P t t ≤≤，则1(,0,2)A P t =-，12)A D =-，设平面1ADP 的法向量为111(,,)p x y z = ，由10A D p ⋅= ，10A P p ⋅=，得11112020z tx z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令12x =，得)p t = ，∵平面1A DP ⊥平面1A BC ，∴0m p ⋅= ，即0，解得3t =-，∵02t ≤≤，∴在线段EB 上不存在点P ，使得平面1A DP ⊥平面1A BC ．（12分 ）【考点】1、空间垂直关系的判定与性质；2、二面角；3、空间向量的应用．【方法点睛】证明空间直线与平面垂直的方法有：一是利用线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理．在解题时，要注意线线、线面与面央关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系．20．如图，已知椭圆：2214x y +=，点,A B 是它的两个顶点，过原点且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交于点D ，且与椭圆相交于,E F 两点.（1）若6ED DF =，求k 的值；（2）求四边形AEBF 面积的最大值.【答案】（1）23k =或38k =；（2） 【解析】试题分析：（1）先由两点式求得直线AB 的方程，然后设l 的方程为y kx =.设()00,D x kx ，()11,E x kx ，()22,F x kx ，联立直线l 与椭圆的方程，得到12,x x 间的关系，再由6ED DF =与点D 在线段AB 上求得k 的值；（2）由点到直线的距离公式分别求得点,A B 到线段EF 的距离，从而得到四边形AEBF 的面积的表面式，进而求得其最大值．试题解析：（1）依题设得椭圆的顶点()()2,0,0,1A B ，则直线AB 的方程为220x y +-=.设直线EF 的方程为()0y kx k =>.设()()()001122,,,,，D x kx E x kx F x kx ，其中12x x <，联立直线l 与椭圆的方程2214x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，消去y ，得方程()22144k x +=.（3分）故21x x =-=6ED DF =知，()02206x x x x -=-，得()021215677x x x x =+==，由点D 在线段AB 上，知00220x kx +-=，得0212+x k=，所以212+k ，化简，得2242560k k -+=，解得23k =或38k =.（2）根据点到直线的距离公式，知点,A B 到线段EF 的距离分别为12h h ==，又||EF =，所以四边形AEBF 的面积为()122121||2k S EF h h +=+====≤当且仅当14k k =，即12k =时，取等号，所以四边形AEBF 面积的最大值为【考点】1、直线与圆的位置关系；2、点到直线的距离公式；3、基本不等式． 21．设函数()()22ln f x x a x a x =---.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值；（3）若方程()()f x c c R =∈有两个不相等的实数根12,x x ，比较12'2x x f +⎛⎫⎪⎝⎭与0的大小.【答案】（1） 当0a ≤时，单调增区间为(0,)+∞，无单调减区间；0a >时，单调增区间为,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调减区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）3；（3） 12'02x x f +⎛⎫> ⎪⎝⎭．【解析】试题分析：（1）求导后，分0a ≤、0a >，根据导函数与0的关系求得单调区间；（2） 由（1）知()f x 的最小值02a f ⎛⎫<⎪⎝⎭，即244ln 02a a a a -+-<，令()4ln42ah a a =+-，求得()h a '，通过讨论()h a 的单调性求得a 的值；（3） 由12,x x 是方程()f x c=的两个不等实根，则()2111-2ln x a x a x c --=，()2222-2ln x a x a x c --=，两式相减，得221122112222ln ln x x x x a x x x x =＋－－＋－－，然后通过换元求导即可证明． 试题解析：()()()22221'220a x a x a x a x f x x a x x x x---+=---==>-（）（)(）．当0a ≤时， ()'0f x >，函数()f x 在()0,+∞上单调递增， 所以函数()f x 的单调增区间为()0,+∞，无单调减区间． 当0a >时，由()'0f x >，得2a x >；由()'0f x <，得02ax <<. 所以函数()f x 的单调增区间为,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调减区间为0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭.（4分） （2）由（1）得，若函数()f x 有两个零点，则0a >，且()f x 的最小值02a f ⎛⎫<⎪⎝⎭，即244ln02a a a a -+-<.因为0a >，所以4ln 402aa +->. 令()4ln42ah a a =+-，显然()h a 在()0,+∞上为增函数，且 ()()381220,34ln 1ln 10216h h =-<=-=->，所以存在()()002,3,0a h a ∈=.当0a a >时，()0h a >；当00a a <<时，()0h a <，所以满足条件的最小正整数3a =. 又当3a =时，()()()332ln30,10f f =->=，所以3a =时，()f x 有两个零点． 综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为3.（3） 12'02x x f +⎛⎫>⎪⎝⎭，结论证明如下：因为12,x x 是方程()f x c =的两个不等实根，由（1）知0a >.不妨设120x x <<，则()()22111222-2ln ,-2ln ,x a x a x c x a x a x c --=--= 两式相减得()()221112222ln 2ln 0x a x a x x a x a x ----+-+=，即()2211221122112222ln ln ln ln x x x x ax a x ax a x a x x x x +--=+--=+--．()'0f x <()'0f x >，故只要证122x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＞2a即证明()()22221212121122ln ln 22x x x x x x x x x x -++-<+--，设t因为0t >，所以()'0g t ≥，当且仅当1t =时，()'0g t =， 所以()g t 在()0,+∞上是增函数．又()10g =，所以当()()0,1,0t g t ∈<总成立．所以原题得证．（12分） 【考点】1、利用导数研究函数的单调性；2、函数零点；3、比较大水小．【方法点睛】利用导数研究函数的单调性时，先求导，再由()0f x '> （()'0f x <）解出相应的x 的取值范围．当()0f x '>时，() f x 在相应的区间上是增函数；当()'0f x <时，()f x 在相应的区间上是减函数．要特别注意的是，涉及含参数的单调性或单调区间问题，一定要弄清参数对导数()f x '在某一区间内的符号是否有影响．若有影响，则必须分类讨论．22．选修4-1：几何证明选讲如图，直线PQ 与⊙O 相切于点,A AB 是⊙O 的弦，PAB ∠的平分线AC 交⊙O 于点C ，连接CB ，并延长与直线PQ 相交于Q 点.（1）求证：22QC BC QC QA ⋅=-； （2）若6,5AQ AC ==，求弦AB 的长. 【答案】（1）见解析； （2）103AB =． 【解析】试题分析：（1）利用切割线定理求解； （2）由弦切角定理与角平分线定理可推出BAC CBA ∠=∠，从而可求得QC 的值，然后证得QAB QCA ∆∆，利用相似比求解．试题解析：（1）∵PQ 与⊙O 相切于点A ,∴由切割线定理得()2QA QB QC QC BC QC =⋅=-⋅，∴22QC BC QC QA ⋅=-.（5分）（2）∵PQ 与⊙O相切于点A ,∴PAC CBA ∠=∠,∵,PAC BAC BAC CBA ∠=∠∴∠=∠,∴5AC BC ==.由6AQ =及（1）知，9QC =.由QAB QCA ∠=∠，知QAB QCA ∆∆，∴AB QA CA QC=，∴103AB =.（10分）【考点】1、切割线定理；2、弦切角定理；3、相似三角形．23．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为322x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为ρθ=.（1）写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（2）若点P坐标(，圆C 与直线l 交于,A B 两点，求|||PB |PA +的值. 【答案】（1） 直线l的普通方程为30x y --=，圆C 的直角坐标方程为(225x y +=；（2） 【解析】试题分析：（1） 把直线l 的参数方程两式相加消参即可得到其普通方程；根据222x y ρ=+与sin y ρθ=求圆C 的直角坐标方程；（2）把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程中利用参数的几何意义求解．试题解析：（1）由32x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得直线l的普通方程为30x y ---=.（2分） 又由s i nρθ=得圆C 的直角坐标方程为220x y +-=，即(225x y +=.（5分）（2）把直线l 的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得223522⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即240t -+=，由于(24420∆=-⨯->，故可设12,t t 是上述方程的两实数根，所以12124t t t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩又直线l的过点(，,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，所以12|||PB||||t |PA t +=+=.（10分）【考点】1、参数方程与普通方程的互化；2、极坐标方程与直角坐标方程的互化；3、参数的几何意义的应用．【警示点睛】将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的x y ， （它们都是参数的函数）的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．参数方程化普通方程常用的消参技巧有：代入消元、加减消元、平方后相加减消元、整体消元等． 24．选修4-5：不等式选讲（1）已知函数()13f x x x =-++，求x 的取值范围，使()f x 为常函数； （2）若222,,z R,x 1x y y z ∈++=，求m 的最大值. 【答案】（1）[]3,1x ∈-；（2）3．【解析】试题分析：（1） 利用零点分段法求解；（2）利用柯西不等式求解．试题解析：（1） ()22,3134,3122,1x x f x x x x x x --<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩.则当[]3,1x ∈-时，()f x 为常函数. （2）由柯西不等式得())2222222x y z ⎡⎤++++≥++⎢⎥⎣⎦，所以353y z -+≤，当且仅当==，即333x y z ===时，取最大值，因此m 的最大值为3. 【考点】1、零点分段法；2、柯西不等式．。
河北省衡水中学2016届高三二调数学(理)试题(含答案解析)
河北省衡水中学2016届高三二调数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、设全集U R =，集合{}2log 2x x A =≤，()(){}310x x x B =-+≥，则()UB A =ð（ ） A ．(],1-∞- B ．(](),10,3-∞- C ．[)0,3 D ．()0,32、正项等比数列{}n a 中，存在两项m a 、n a14a =，且6542a a a =+，则14m n +的最小值是（ ）A ．32B ．2C ．73D ．2563、设向量a 与b 满足2a =，b 在a 方向上的投影为1，若存在实数λ，使得a 与a b λ-垂直，则λ=（ ）A ．12 B ．1 C ．2 D ．34、已知函数()sin y x mωϕ=A ++的最大值为4，最小值为0．两个对称轴间最短距离为2π，直线6x π=是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式为（ ）A ．4sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 226y x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ C ．2sin 3y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ D ．2sin 223y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭5、在C ∆AB 中，三个内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c，若C S ∆AB =，6a b +=，cos cos 2cos Ca b c B +A=，则c =（ ）A． B． C ．4 D．6、设M 是C ∆AB 所在平面上的一点，且33C 022MB +MA +M=，D 是C A 的中点，则DM BM 的值为（ ）A ．13B ．12 C ．1 D ．27、已知锐角A 是C ∆AB 的一个内角，a ，b ，c 是三角形中各角的对应边，若221sin cos 2A -A =，则下列各式正确的是（ ）A ．2b c a +=B ．2b c a +<C ．2b c a +≤D ．2b c a +≥8、已知函数()2g x a x =-（1x e e ≤≤，e 为自然对数的底数）与()2ln h x x=的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦ C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦ D ．)22,e ⎡-+∞⎣9、已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，11a =，22a =，33a =，数列{}12n n n a a a ++++是公差为2的等差数列，则25S =（ ）A ．232B ．233C ．234D ．235 10、函数()cos f x xπ=与()2log 1g x x =-的图象所有交点的横坐标之和为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．6 11、已知向量是单位向量a ，b ，若0a b ⋅=，且25c a c b -+-=2c a+的取值范围是（ ）A ．[]1,3B ．⎡⎤⎣⎦C．5⎡⎢⎣D ．,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 12、定义在()0,+∞上的单调函数()f x ，()0,x ∀∈+∞，()2log 3f f x x -=⎡⎤⎣⎦，则方程()()2f x f x '-=的解所在区间是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2 D ．()2,3 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、若110tan tan 3αα+=，,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值为 ．14、已知函数()f x （R x ∈）满足()11f =，且()f x 的导数()12f x '<，则不等式()22122x f x <+的解集为 ． 15、已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列五个命题：①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中的最大项为11S ；⑥67a a >．其中正确命题的个数是 ．16、已知函数()f x 为偶函数且()()4f x f x =-，又()235,01222,12x x x x x f x x -⎧--+≤≤⎪=⎨⎪+<≤⎩，函数()12xg x a⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若()()()F x f x g x =-恰好有4个零点，则a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分10分）设数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+．()1求{}n a 的通项公式；()2记()2log 1n n b a =+，求数列{}n n b a ⋅的前n 项和n S ．18、（本小题满分12分）已知角A ，B ，C 是C ∆AB 的三个内角，a ，b ，c 是各角的对边，若向量()1cos ,cos 2m A -B ⎛⎫=-A +B ⎪⎝⎭，5,cos 82n A -B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且98m n ⋅=． ()1求tan tan A ⋅B 的值；()2求222sin Cab a b c +-的最大值．19、（本小题满分12分）已知函数()22sin 2xf x x ωω=-（0ω>）的最小正周期为3π．()1求函数()f x 在区间3,4ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；()2在C ∆AB 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且a b c <<2sin c =A ，求角C 的大小；()3在()2的条件下，若3112213f π⎛⎫A +=⎪⎝⎭，求cos B 的值．20、（本小题满分12分）已知函数()x f x e ax a=-+，其中R a ∈，e 为自然对数底数．()1讨论函数()f x 的单调性，并写出相应的单调区间；()2设R b ∈，若函数()f x b ≥对任意R x ∈都成立，求ab 的最大值．21、（本小题满分12分）设函数()()()21ln 1f x x m x =+-+，()2g x x x a=++．()1当0a =时，()()f x g x ≥在()0,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；()2当2m =时，若函数()()()h x f x g x =-在[]0,2上恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围；()3是否存在常数m ，使函数()f x 和函数()g x 在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．22、（本小题满分12分）已知函数()()2ln 1f x x ax x=++-（R a ∈）．()1当14a =时，求函数()y f x =的单调区间；()2若对任意实数()1,2b ∈，当(]1,x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ，求a 的取值范围．河北省衡水中学2016届高三二调数学（理）试题参考答案。
河北省衡水中学2016届高三下学期第六次调研考试文数试题(A卷) 含解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知i 是虚数单位，则复数131ii-=+（ ） A ．2i +B ．2i -C ．12i --D ．12i -+ 【答案】C考点：复数的运算．2．已知集合{}{}0,1,2,3xP Q y y ===，则PQ =（ )A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．∅ 【答案】C 【解析】试题分析：由于}2,1{),,0(=+∞=Q P Q ,因此应选C. 考点：集合的运算．3．命题:p 若sin sin x y >,则x y >;命题22:2q x y xy +≥，下列命题为假命题的是（ ）A ．p 或qB ．p 且qC ．qD ．p ⌝ 【答案】B 【解析】试题分析：由于p 是假命题,q 是真命题，因此p 且q 是假命题；命题q , p 或q 和p ⌝都是真命题.应选B.考点:复合命题的真假和判定．4．设函数()f x 为偶函数，当()0,x ∈+∞时,()2log f x x =,则()2f -=( ） A ．12- B ．12C ．2D ．2- 【答案】B 【解析】试题分析:由于函数()f x 为偶函数，因此212log )2()2(2===-f f ,应选B. 考点：函数的奇偶性和对数的运算． 5．已知cos ,,,2k k R πααπ⎛⎫=∈∈ ⎪⎝⎭，则()sin πα+=（ ） A ．21k -- B ．21k -C ．21k ±-D ．k - 【答案】A考点：同角的关系和诱导公式的运用．6．函数()()tan 0f x x ωω=>的图象的相邻两支截直线2y =所得线段长为2π，则6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是（ ） A ．3-B 3C ．1D 3【答案】D 【解析】试题分析：由于2πωπ==T ，因此2=ω，所以33tan ==π,应选D 。
河北省衡水中学2016届高三小学期一调考试理科数学试题_Word版含答案
2015—2016学年度小学期一调研考试高三年级数学试卷（理科）命题人 赵鸿伟 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1.答卷Ⅰ前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.答卷Ⅰ时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
一、 选择题（每小题5分，共85分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.若集合A={x ∈R|ax 2+ax+1=0}其中只有一个元素,则a=（ ）A ．0B ．4C ．0或4D ． 22. 设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.设x Z ∈,集合A 是奇数集,集合B 是偶数集.若命题:,2p x A x B ∀∈∈,则:p x A x B ⌝∃∈∈（ ） A ． :,2p x A x B ⌝∃∈∈ B ．:,2p x A x B ⌝∃∉∈ C ． :,2p x A x B ⌝∃∈∉ D ．:,2p x A x B ⌝∀∉∉ 4．设}3,21,1,1{-∈a ，则使函数a x y =的定义域为R 且为奇函数的所有a 的值为( ) A.1,3 B.1,1- C.3,1- D.3,1,1-5. 设f(x) 是定义在R 上的函数,则下列叙述一定正确的是（ ） A.()()f x f x -是奇函数 B.()()f x f x -是奇函数 C.()()f x f x --是偶函数 D. ()()f x f x +-是偶函数6．如图，面积为8的平行四边形OABC ，对角线AC ⊥CO,AC 与BO 交于点E,某指数函数xa y =0(>a 且)1≠a 经过点E,B,则=a （ ）A ．2 B.3 C.2 D.3 7.设3.02=a ，2.03=b ，1.07=c ，则c b a ,,的大小关系为( )A.b c a <<B.b a c <<C.c b a <<D.a b c <<8．关于函数31)212()(x x f x x•-=和实数n m ,的下列结论中正确的是（ ）A ．若n m <≤-3，则)()(n f m f < B. 若0≤<n m ,则)()(n f m f < C. 若)()(n f m f <则22n m < D. 若)()(n f m f <则33n m <9.在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线()y f x =，另一种平均价格曲线()y g x =，如(2)3f =表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；(2)3g =表示2小时内的平均价格为3元.下面给出了四个图像，实线表示()y f x =，虚线表示()y g x =，其中可能正确的是（ ）A ．B ．C ． D. 10.在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)，则a n ＝( )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋nln nD ．1＋n ＋ln n11.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，'()f x 为其导函数．当0>x 时，0)(')(>⋅+x f x x f ，且0)1(=f ，则不等式0)(>⋅x f x 的解集为（ ） A ．)1,0()0,1(⋃- B ．),1()0,1(+∞⋃- C ．),1()1,(+∞⋃--∞ D ．)1,0()1,(⋃--∞12.已知等差数列前n 项的和为S n ，若S 13＜0，S 12＞0，则在数列中绝对值最小的项为( ) A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项 D ．第8项13. 已知是定义在 R 上的偶函数，对任意都有 且等于 ( )A ．1B ． 2C ．3D ．414. 已知且 ，函数 满足对任意实数 ，都有 成立，则 的取值范围是 （ ）A ．B ．C ． （D ．15.设 ，则下列不等式成立的是（ ）A ．若 ，则B ．若 ，则C ．若 ，则D ．若，则16. 已知直线y ＝mx 与函数 的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．( ，4) B ．( ，＋∞) C ．( ，5)D ．(， )17.对于函数)(x f ，若任意R c b a ∈,,，)(),(),(c f b f a f 为某一三角形的三边长，则称)(x f 为“可构造三角形函数”，已知函数1)(++=x x e te xf 是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是（ ）A.),0[+∞B.]1,0[C.]2,1[D.]2,21[第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、 填空题（每题5分，共30分。
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本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意）1．复数122ii +-的共轭复数是（ ） A ．35i B ．35i -C ．iD ．i -2．已知集合()(){}240,2101x A x RB x R x a x a x ⎧-⎫=∈≤=∈---<⎨⎬+⎩⎭，若A B =∅，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．{}[)12,+∞ D ．()1,+∞3．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为:5:3k ，现用分层抽样方法抽出一个容量为120的样本，已知A 种型号产品共抽取了24件，则C 种型号产品抽取的件数为（ ） A ．24B ．30C ．36D ．404．如图给出的是计算111124620+++⋅⋅⋅+的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（ ） A ．8?i >B ．9?i >C ．10?i >D ．11?i >5．已知把函数()sin f x x x =+的图像向右平移4π个单位，再把横坐标扩大到原来的2倍，得到函数()g x ，则函数()g x 的一条对称轴为（ ）A ．6x π=B ．76x π=C ．12x π=D ．56x π=6．已知等比数列{}n a 的前n 项的和为12n n S k -=+，则()3221f x x kx x =--+的极大值为（ ） A ．2B ．3C ．72D ．527．已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ） A ．48种B ．72种C ．78种D ．84种8．已知椭圆221167x x +=的左、右焦点12,F F 与双曲线()222210x x a b a b -=>>的焦点重合．且直线10x y --=与双曲线右支相交于点P ，则当双曲线离心率最小时的双曲线方程为（ ）A ．2218x x -= B ．22163x x -= C ．22172x x -= D ．22154x x -= 9．一个长方体的四个顶点构成一个四面体EFHG ，在这个长方体中把四面体EFHG 截出如图所示，则四面体EFHG 的侧视图是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数()321f x x ax =++的对称中心的横坐标为()000x x >，且()f x 有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),0-∞B ．,⎛-∞ ⎝⎭ C ．()0,+∞D ．(),1-∞-11．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，若2PA AB ==，1AC =，120BAC ∠=︒，且PA ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为（ ）A ．403πB ．503πC ．12πD ．15π12．已知函数()21,0,log ,0,kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩下列是关于函数()()1y f f x =+的零点个数的四种判断：①当0k >时，有3个零点；②当0k <时．有2个零点；③当0k >时，有4个零点；④当0k <时，有1个零点．则正确的判断是（ ） A ．③④B ．②③C ．①④D ．①②第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，共20分．把答案填在答题纸的横线上）13．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，ABC ∆的顶点都在抛物线上，且满足FA FB FC +=-，则111AB BC CAk k k ++=______． 14．设曲线()1*n y x x N +=∈在点()1,1处的切线与x 轴的交点横坐标为n x ，则201512015220153201l o g l o g l o g l o g x x x x +++⋅⋅⋅+的值为______． 15．已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos 2cos 22cos 2A B C +=，则cos C 的最小值为______．16．若函数()f x 在定义域D 内的某个区间I 上是增函数，且()()f x F x x=在I 上也是增函数，则称()y f x =是I 上的“完美函数”．已知()ln 1xg x e x x =+-+，若函数()g x 是区间,2m ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的“完美函数”，则整数m 的最小值为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且首项()*113,3n n n a a S n N +≠=+∈． （1）求证：{}3nn S -是等比数列；（2）若{}n a 为递增数列，求1a 的取值范围． 18．（本小题满分12分）有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频率分布如下表：所用的时间（天数） 10 11 12 13 通过公路1的频数 20 40 20 20 通过公路2的频数10404010假设汽车A 只能在约定日期（某月某日）的前11天出发，汽车B 只能在约定日期的前12天出发（将频率视为概率）．（l ）为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A 和汽车B 应如何选择各自的路径；（2）若通过公路1、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元（其他费用忽略不计），此项费用由生产商承担．如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，生产商将支付给销售商2万元．如果汽车,A B 按（1）中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大． 19．（本小题满分12分）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，PAC ∆为等边三角形，PE BC ，过BC 作平面交AP 、AE 分别于点N 、M ． （1）求证：MN PE ；（2）设ANAPλ=，求λ的值，使得平面ABC 与平面MNC 所成的锐二面角的大小为45︒．20．（本小题满分12分）如图，已知圆(22:16E x y ++=，点)F，P 是圆E 上任意一点线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q ． （1）求动点Q 的轨迹Γ的方程；（2）设直线l 与（1）中轨迹Γ相交下,A B 两点，直线,,OA l OB 的斜率分别为12,,k k k （其中0k >）．OA B ∆的面积为S ，以,OA OB 为直径的圆的面积分别为12,S S ．若12,,k k k 恰好构成等比数列，求12S S S+的取值范围．21．（本小题满分12分） 已知函数()()1ln 0x f x x a ax-=-≠． （l ）求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，求()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值()0.69ln 20.70<<；（3）求证：21ln e x x x+≤． 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知直线AC 与圆O 相切于点B ，AD 交圆O 于F 、D 两点，CF 交圆于,E F ，BD CE ，AB BC =，2AD =，1BD =．（1）求证：BDF FBC ∆∆∽； （2）求CE 的长．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C 的方程为()2cos 0a a ρθ=≠，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为31,43x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）（1）求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程；（2）若直线l 与圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围． 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 （1）设函数()5,2f x x x a x R =-+-∈，若关于x 的不等式()f x a ≥在R 上恒成立，求实数a 的最大值；（2）已知正数,,x y z 满足231x y z ++=，求321x y z++的最小值．河北省衡水中学2016届高三下学期六调考试数学（理）试题（A 卷）参考答案一、选择题DCCCD DADDB AA二、填空题13．0 14．1- 15．2116．3 三、解答题17．解：（1）因为11n n n a S S ++=-，所以123n n n S S +=+．…………………………………………1分 ∴11132332232333n n n nn n n n n nn n n S S S S S S +++-+--⨯===---．…………………………………………………4分 且130a -≠， 所以{}3n nS-是以13a -为首项，以2为公比的等比数列．…………………………………………6分 （2）由（1）得，()11332nn n S a --=-⨯，所以()11323n n n S a -=-⨯+．当2n ≥时，()()1211113233223n n n n n n n a S S a a ----=-=-⨯+--⨯+- ()2113223n n a --=-⨯+⨯．…………8分若{}n a 为递增数列，则1n n a a +>对*n N ∈恒成立．当2n ≥时，()()1211132233223n n n n a a --+-⨯+⨯>-⨯+⨯，则2213212302n n a --⎡⎤⎛⎫⨯+->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦对*2,n n N ≥∈恒成立，则19a >-；…………………………………………………………………………………………………10分 又2113a a a =+>所以1a 的取值范围为()()+∞-,33,9 18．解：（Ⅰ）频率分布表，如下：所用的时间（天数） 10 11 12 13 通过公路1的频数 0.2 0.4 0.2 0.2 通过公路2的频数0.10.40.40.1设12,A A 分别表示汽车A 在约定日期前11天出发选择公路1、2将货物运往城市乙；1B 、2B 分别表示汽车B 在约定日期前12天出发选择公路1、2将货物运往城市乙；()0.20.40.6P A =+=， ()20.10.40.5P A =+=， ()10.20.40.20.8P B =++=， ()20.10.40.40.9P B =++=，所以汽车A 选择公路，汽车B 选择公路2．（Ⅱ）设X 表示汽车A 选择公路1时，销售商付给生产商的费用，则42,40,38,36X =．X 的分布列如下：X 42 40 38 36 P0.20.40.20.2()420.2400.4380.2360.239.2E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．∴表示汽车A 选择公路1时的毛利润为39.2 3.236.0-=（万元）． 设Y 表示汽车B 选择公路2时的毛利润，42.4,40.4,38.4,36.4Y =． 则Y 的分布列如下：X 42.4 40.4 38.4 36.4 P0.10.40.40.1()42.40.140.40.438.40.436.40.139.4E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=．∵36.039.4<，∴汽车B 为生产商获得毛利润更大．19．（1）如图以点C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -，不妨设1CA =，()0CB t t =>，PE CB μ=，则()0,0,0C ，()1,0,0A ，()0,,0B t，12P ⎛ ⎝⎭，1,2E t μ⎛ ⎝⎭， 由AM AN AE AP λ==，得()111,,1,0,,022M t N MN t λλμλλμ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()00,0,1=n 是平面ABC 的一个法向量，且00MN ⋅=n ，故0MN ⊥n ，又∵MN ⊄平面ABC ，即知MN 平面ABC ，又∵,,,B C M N 四点共面，∴MN BC PE ；（2）()10,,0,1,,22MN t CM t λμλλμ⎛⎫=-=- ⎪⎪⎝⎭，设平面CMN 的法向量()1111,,x y z =n ，则110,0MN CM ⋅=⋅=n n ，可取1⎛= ⎝n ，又∵()00,0,1=n 是平面ABC 的一个法向量，由0101cos θ⋅=⋅n n n n ，以及45θ=︒2=， 即22440λλ+-=，解得1λ=（负值舍去），故1λ=．20．解：（Ⅰ）连结QF ，根据题意，=QP QF ，则|4|QE QF QE QP EF +=+=>=故动点Q 的轨迹Γ是以,E F 为焦点，长轴长为4的椭圆．2分设其方程为()222210x x a b a b +=>>，可知2,a c ===1b =，3分所以点Q 的轨迹Γ的方程为为2214x y +=．4分（Ⅱ）设直线l 的方程为y kx m =+，()()1122,,,A x y B x y由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()()222148410k x kmx m +++-=， 由韦达定理有：()12221228144114km x x k m x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩且()2216140k m ∆=+->………………………………………………………6分∵12,,k k k 构成等比数列，∴()()1221212kx m kx m k k k x x ++==，即：()2120km x x m ++= 由韦达定理代入化简得：214k =．∵k >，∴12k =………………………………………………8分 此时()21620m ∆=->，即(m ∈．又由A 、O 、B 三点不共线得0m ≠从而()()0,2m ∈．故1212S AB d x =⋅=-m m ==10分又22221212144x x y y +=+= 则()222222121122123324444S S x y x y x x ππ⎛⎫+=⋅+++=⋅++ ⎪⎝⎭()212123521624x x x x πππ⎡⎤=+-+=⎣⎦为定值．12分∴125544S S S ππ+=≥当且仅当1m =±时等号成立． 综上：125,4S S S π+⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭．14分 21．（Ⅰ）函数的定义域为()0,+∞， ∵()1ln x f x x ax-=-， ∴()()()22211111x ax a x ax a f x x ax xax -⨯---'=-==-， 若0a <，因0x >，所以10x a->，故()0f x '<，函数()f x 在()0,+∞上单调递减； 若0a >，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 单调递减． 综上，若0a <，函数()f x 的单调减区间为()0,+∞； 若0a >，()f x 的单调增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． （Ⅱ）1a =时，()11ln 1ln x f x x x x x -=-=--， 由（Ⅰ）可知，()11ln f x x x=--在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[]1,2上单调递减，所以函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()111ln101f =--=；而1112ln 1ln 222f ⎛⎫=--=-+⎪⎝⎭；()1121ln 2ln 222f =--=-， ()()1132ln 21ln 22ln 2 1.520.70.10222f f ⎛⎫-=---+=->-⨯=> ⎪⎝⎭，所以()122f f ⎛⎫>⎪⎝⎭，故函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为11ln 22f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，函数()11ln f x x x=--在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 故函数()f x 在()0,+∞上的最大值为()111ln10f =--=，即()0f x ≤．22．（Ⅰ）因为BDCE ，所以DBF BFC ∠=∠，因为AC 与圆O 相切于点B ，所以CBF BDF ∠=∠，所以BDF FBC ∆∆∽．（Ⅱ）因为B DC E ，且A B B C =，所以22,2F C BD D F A D ====，因为BDF FBC ∆∆∽，所以BD DF BF BF CB CF ==，即有BD BF BF CF =，即12BFBF =，则BF =，又BD DF BF BC =，即2BC =，所以CB =，因为AC 与圆O 相切于点B ，所以2CB CF CE =⋅，即82CE =，所以4CE =．23.解：（1）由3143x t y t =+⎧⎨=+⎩得11333344x t x y y t-⎧=⎪--⎪⇒=⎨-⎪=⎪⎩所以直线l 的普通方程为：4350x y -+=，……………………………………………………………2分由22cos 2cos a a ρθρρθ=⇒= 又222,cos x y x ρρθ=+= 所以，圆C的标准方程为()222x a y a -+=，…………………………………………………………5分（2）因为直线l 与圆C恒有公共点，所以a ≤，………………………………………7分两边平方得2940250a a --≥，∴()()9550a a +-≥ 所以a的取值范围是59a ≤-或5a ≥……………………………………………………………………10分24．（1）由绝对值的性质得()()55522f x x x a x x a a a ⎛⎫=-+-≥---=- ⎪⎝⎭，………………3分 所以()f x 的最小值为52a -，从而52a a -≥，解得54a ≤，因此a的最大值为54．…………………………………………………………………………………5分（2）由于,,0x y z >，所以()32132123x y z x y z x y z ⎛⎫++=++⋅++ ⎪⎝⎭22216≥==+当且仅当23321x y zx y z==，即:::3:1x y =时，等号成立．……………………………………8分 ∴321x y z++的最小值为16+10分。