高考数学一轮复习第六章数列等差数列的性质及应用课件
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高考数学一轮复习第6章数列第1课时数列的基本概念课件理
∴an＝32＋·3nb－1
（n≥2）， （n＝1）.
【答案】 (1)an＝4n－5 (2)当 b＝－1 时，an＝2·3n－1；当 b≠
－1 时，an＝32＋·3nb－1
（n≥2）， （n＝1）.
第二十四页，共四十六页。
★状元笔记★ 已知Sn求an的一般步骤
(1)当n＝1时，由a1＝S1求a1的值； (2)当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1，求得an的表达式； (3)检验a1的值是否满足(2)中的表达式，若不满足，则分段 表示an； (4)写出an的完整表达式．
5．(2018·沧州七校联考)设函数{an}通项为an＝
2
＋cos
nπ 3
(n∈N*)，又k∈N*，则( )
A．ak＝ak＋3 C．ak＝ak＋5
B．ak＝ak＋4 D．ak＝ak＋6
答案 D
12/11/2021
第十二页，共四十六页。
6．观察下列各图，并阅读图形下面的文字．像这样，10 条 直线相交，交点的个数最多是( )
a10－a9＝9. 累加得 a10－a2＝2＋3＋…＋9，∴a10＝1＋2＋3＋…＋9＝45.
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12/11/2021
授人以渔
第十五页，共四十六页。
12/11/2021
题型一 归纳通项公式 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1，7，－13，19，… (2)0.8，0.88，0.888，… (3)1，0，13，0，15，0，17，0，… (4)32，1，170，197，…
第十六页，共四十六页。
【解析】 (1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各
项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝
高考数学总复习 6-1数列的概念课件 新人教B版
点评：根据数列的前几项写通项时，所求的通项公式不是 唯一的．其中常用方法是观察法．观察 an 与 n 之间的联系， 用归纳法写出一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规 律．联想与转换是有效的思维方法，它是由已知认识未知、将 未知转化为已知的重要思维方法．
(文)写出下列数列的一个通项公式： (1)1，85，175，294，…，an＝________. (2)－1，32，－13，34，－15，12，…，an＝________.
3 ． 已 知 {an} 的 前 n 项 和 Sn 求 an 时 ， 用 an ＝
S1
n＝1，
Sn－Sn－1 n≥2.
求解应注意分类讨论．an＝Sn－Sn－1 是在
n≥2 条件下求出的，应检验 a1 是否适合．如果适合，则合写
在一块，如果不适合，则分段表示．
思想方法技巧
一、求数列的通项公式常见的有以下三种类型 1．已知数列的前几项，写出一个通项公式． 依据数列前几项的特点归纳出通项公式：方法是依据数 列的排列规律，求出项与项数的关系．一般步骤是：①定符 号，②定分子、分母，③观察前后项的数值特征找规律，④ 综合写出项与项数的关系．
●命题趋势 主要命题热点： 1．an 与 Sn 的关系 2．等差、等比数列的定义、通项公式以及等差、等比数列 的性质、求和公式． 3．简单的递推数列及归纳、猜想、证明问题．
4．数列与函数、方程、不等式、三角、解析几何综合问题． 5．数列应用题． 6．探究性问题．
●备考指南 1．数列是一种特殊的函数，要善于利用函数的思想来解决 数列问题． 2．运用方程的思想解等差(比)数列是常见题型，解决此类 问题需要抓住基本量 a1、d(或 q)，常通过“设而不求，整体代入” 来简化运算．
(5)将数列统一为32，55，170，197，…，分子 3,5,7,9，…， 是等差数列，通项公式为 bn＝2n＋1，对于分母 2,5,10,17，… 联想到数列 1,4,9,16…即数列{n2}，可得分母的通项公式为 cn ＝n2＋1，
高考数学一轮复习第六章数列1数列的概念与表示课件新人教A版文
, ≥ 2.
-24考点1
考点2
考点3
1 , = 1,
解题心得已知数列的前n项和Sn,则通项公式 an=
--1 , ≥ 2.
当n=1时,若a1适合Sn-Sn-1,则n=1的情况可并入n≥2时的通项公式an;
当n=1时,若a1不适合Sn-Sn-1,则用分段函数的形式表示.
-25考点1
函数y=3x+5的定义域是R,an=3n+5的图象是离散的点,且排列在
y=3x+5的图象上.
-8知识梳理
双基自测
5.数列的前n项和
在数列{an}中,Sn=
1
2
3
4
5
a1+a2+…+an
6
叫做数列的前n项和.
-9知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
6
6.数列{an}的an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn,则 an=
式.
思考已知在数列{an}中,an+1=an+f(n),利用什么方法求an?
解 ∵an+1=an+3n+2,
∴an+1-an=3n+2,
∴an-an-1=3n-1(n≥2).
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=(3n-1)+(3n-4)+…+5+2
(3+1)
的大小关
系
分类
递增数列 an+1
>
an
递减数列 an+1
<
an
高考数学一轮复习课件5.2等差数列
一个小题或在解答题中出现，在解题时，应 熟练掌握通项公式与前n项和公式，规范答题 避免不必要的失分．
• (1)(2012·辽宁高考)在等差数列{an}中， 已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝ ()
•A．58 D．176
B．88
C．143
•(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6 项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n ＞6)，则a9＋a10＝
【尝试解答】 (1)S11＝11（a12＋a11）＝11（a42＋a8）＝ 88.
法二 同法一得d＝－53.
又由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0. ∴5a13＝0，即a13＝0. ∴当n＝12或13时，Sn有最大值， 且最大值为S12＝S13＝130.
求等差数列前n项和的最值常用的方法
(1)先求an，再利用
an≥0
aห้องสมุดไป่ตู้＋1≤0
或
an≤0
an＋1≥
0
求出其正负转折
•【思路点拨】 (1)由S2＝a3求{an}的公差d， 进而代入求a2与Sn； •(2)易求d＝－2，从而可求an；求出Sn后，根 据方程Sk＝－35，求k值．
【尝试解答】 (1)由 S2＝a3，得 a1＋a2＝a3，
∴d＝a3－a2＝a1＝12，
因此 a2＝a1＋d＝1，Sn＝n42＋n4.
【答案】
【解析】 设自上第一节竹子容量为a1，则第9节 容量为a9，且数列{an}为等差数列．
则aa71＋＋aa82＋＋aa93＝＋3aa4＝1＋42a11＋d＝6d4＝. 3，
解之得a1＝1232，d＝676，故a5＝a1＋4d＝6676.
【答案】
67 66
• (1)(2012·辽宁高考)在等差数列{an}中， 已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝ ()
•A．58 D．176
B．88
C．143
•(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6 项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n ＞6)，则a9＋a10＝
【尝试解答】 (1)S11＝11（a12＋a11）＝11（a42＋a8）＝ 88.
法二 同法一得d＝－53.
又由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0. ∴5a13＝0，即a13＝0. ∴当n＝12或13时，Sn有最大值， 且最大值为S12＝S13＝130.
求等差数列前n项和的最值常用的方法
(1)先求an，再利用
an≥0
aห้องสมุดไป่ตู้＋1≤0
或
an≤0
an＋1≥
0
求出其正负转折
•【思路点拨】 (1)由S2＝a3求{an}的公差d， 进而代入求a2与Sn； •(2)易求d＝－2，从而可求an；求出Sn后，根 据方程Sk＝－35，求k值．
【尝试解答】 (1)由 S2＝a3，得 a1＋a2＝a3，
∴d＝a3－a2＝a1＝12，
因此 a2＝a1＋d＝1，Sn＝n42＋n4.
【答案】
【解析】 设自上第一节竹子容量为a1，则第9节 容量为a9，且数列{an}为等差数列．
则aa71＋＋aa82＋＋aa93＝＋3aa4＝1＋42a11＋d＝6d4＝. 3，
解之得a1＝1232，d＝676，故a5＝a1＋4d＝6676.
【答案】
67 66
2021高考数学一轮复习第6章数列第2节等差数列及其前n项和课件文北师大版
又
1 a1
＝1，因此数列
1
an
是首项为1，公差为2的等差数列，所以
a1n＝1＋2(n－1)＝2n－1，
所以an＝2n1－1.]
39
2．在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项． 求证：数列an－1 1是等差数列，并求{an}的通项公式．
40
[证明] 由题意知2an＝1＋anan＋1， ∴an＋11－1－an－1 1 ＝aan－n＋11－－1aan＋n－1－11 ＝an＋1·ana－n－ana＋n1＋－1 an＋1＝2ana－n－ana＋n1＋－1 an＝1. 又a1＝2，a1－1 1＝1， ∴数列an－1 1是首项为1，公差为1的等差数列．
[答案](1)× (2)√ (3)√ (4)×
12
二、教材改编
1．等差数列11,8,5，…中，－49是它的( )
A．第19项
B．第20项
C．第21项
D．第22项
C [由题意知an＝11＋(n－1)×(－3)＝－3n＋14，令－3n＋14 ＝－49得n＝21，故选C.]
13
2．在等差数列{an}中a1＝14.5，d＝0.7，an＝32，则Sn＝( )
等差中项 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是 法 等差数列
适合题型
解答题中 证明问题
30
通项公式 an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成 选择、填
法 立⇔{an}是等差数列
空题中的
前n项和公 验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整 判定问题
式法 数n都成立⇔{an}是等差数列
4
课前自主回顾
5
1．等差数列的有关概念
2022版高考数学一轮复习第6章数列第2节等差数列及其前n项和课件
3．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编
著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古
代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现
的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不
知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数
要详推．在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1＝
C．Sn＝2n2－8n
D．Sn＝12n2－2n
A [设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
由题知，S4＝4a1＋d2×4×3＝0， a5＝a1＋4d＝5，
解得ad1＝＝2－，3， ∴an＝2n－5，Sn＝n2－4n，故选A.]
2．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋
1234
4．某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有 60个座位，则剧场总共的座位数为________．
820 [设第n排的座位数为an(n∈N*)，数列{an}为等差数列，其公 差d＝2，则an＝a1＋(n－1)d＝a1＋2(n－1)．由已知a20＝60，得60＝a1 ＋2×(20－1)，解得a1＝22，则剧场总共的座位数为20a12＋a20＝ 20×222＋60＝820.]
(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用 a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．
(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过 程．
1．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，
a5＝5，则( )
A．an＝2n－5
B．an＝3n－10
(2)由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)， 得nan＋n1－n＋n＋1 1an＝2，即na＋n＋11－ann＝2， 所以数列ann是首项a11＝1，公差d＝2的等差数列． 则ann＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n.
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版强基版)：数列
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
5.等比数列{an}中，a1＋a2＝6，a3＋a4＝12，则{an}的前 8 项和为
√A.90
B.30( 2＋1)
C.45( 2＋1)
D.72
等比数列{an}中，a1＋a2＝6， a3＋a4＝(a1＋a2)q2＝12， ∴q2＝2，a5＋a6＝(a3＋a4)q2＝24， 同理a7＋a8＝48， 则{an}的前8项和a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝6＋12＋24＋48＝90.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
11.数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)，则有
√A.Sn＝3n－1
√B.{Sn}为等比数列
C.an＝2·3n－1
√D.an＝12·，3nn－＝2，1n，≥2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
8.数列{an}中，a1＝5，a2＝9.若数列{an＋n2}是等差数列，则{an}的最大 值为
A.9
√B.11
45 C. 4
D.12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
令bn＝an＋n2，又a1＝5，a2＝9， ∴b2＝a2＋4＝13，b1＝a1＋1＝6， ∴数列{an＋n2}的首项为6，公差为13－6＝7， 则an＋n2＝6＋7(n－1)＝7n－1， ∴an＝－n2＋7n－1＝－n－722＋445，又 n∈N*， ∴当 n＝3 或 4 时，an 有最大值为－14＋445＝11.
5.等比数列{an}中，a1＋a2＝6，a3＋a4＝12，则{an}的前 8 项和为
√A.90
B.30( 2＋1)
C.45( 2＋1)
D.72
等比数列{an}中，a1＋a2＝6， a3＋a4＝(a1＋a2)q2＝12， ∴q2＝2，a5＋a6＝(a3＋a4)q2＝24， 同理a7＋a8＝48， 则{an}的前8项和a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝6＋12＋24＋48＝90.
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11.数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)，则有
√A.Sn＝3n－1
√B.{Sn}为等比数列
C.an＝2·3n－1
√D.an＝12·，3nn－＝2，1n，≥2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
8.数列{an}中，a1＝5，a2＝9.若数列{an＋n2}是等差数列，则{an}的最大 值为
A.9
√B.11
45 C. 4
D.12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
令bn＝an＋n2，又a1＝5，a2＝9， ∴b2＝a2＋4＝13，b1＝a1＋1＝6， ∴数列{an＋n2}的首项为6，公差为13－6＝7， 则an＋n2＝6＋7(n－1)＝7n－1， ∴an＝－n2＋7n－1＝－n－722＋445，又 n∈N*， ∴当 n＝3 或 4 时，an 有最大值为－14＋445＝11.
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版强基版)：数列求和
①等差数列的前n项和公式：
na1＋an Sn＝ 2 ＝
na1＋nn－ 2 1d
.
②等比数列的前n项和公式：
na1，q＝1， Sn＝ _a_11_－－__aq_nq_＝__a_1_1_1－_－_q_q_n_，__q_≠__1__.
知识梳理
(2)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求 和时可用分组求和法，分别求和后相加减. (3)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝ (－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.
因为bn＝an＋ncos nπ＝2n＋1＋(－1)nn， 所以当n为偶数时， Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝[3＋5＋7＋…＋(2n＋1)]＋[－1＋2－3＋4－…－(n－1)＋n] ＝n3＋22n＋1＋n2 ＝n2＋2n＋n2＝n2＋52n.
当n为奇数时， Tn＝Tn＋1－bn＋1＝(n＋1)2＋52(n＋1)－[2(n＋1)＋1＋n＋1]＝n2＋32n－12. 综上，Tn＝nn22＋＋3252nn， －12n为 ，偶n为数奇，数.
题型二 并项求和
例2 记数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝2an－2n＋1. (1)求数列{an}的通项公式；
当n＝1时，由Sn＝2an－2n＋1，可得a1＝S1＝2a1－2＋1，即有a1＝1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2n＋1－2an－1＋2(n－1)－1， 即an＝2an－1＋2，可得an＋2＝2(an－1＋2)，显然an－1＋2≠0. 所以数列{an＋2}是首项为3，公比为2的等比数列， 则an＋2＝3·2n－1，即有an＝3·2n－1－2.
跟踪训练3 已知等差数列{an}中，a2＝5，a3＋a5＝18. (1)求数列{an}的通项公式；
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8 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
3．在等差数列{an}中，若 a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝90，则 aБайду номын сангаас0－13a14 的值为(
)
A．12 B．14
C．16 D．18
解析 由题意知 5a8＝90，a8＝18，a10－31a14＝a1＋9d－13(a1＋13d)＝23a8＝12，选 A 项．
注意点 前 n 项和性质的理解
等差数列{an}中，设前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2n，S3n 的关系为 2(S2n－Sn)＝Sn＋(S3n－S2n)不要理解为 2S2n ＝Sn＋S3n.
6 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
1．思维辨析 (1)等差数列{an}中，有 a1＋a7＝a2＋a6.( √ ) (2)若已知四个数成等差数列，则这四个数可设为 a－2d，a－d，a＋d，a＋2d.( × ) (3)若三个数成等差数列，则这三个数可设为：a－d，a，a＋d.( √ ) (4)求等差数列的前 n 项和的最值时，只需将它的前 n 项和进行配方，即得顶点为其最值处．( × )
9 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
撬法·命题法 解题法
10 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
[考法综述] 等差数列的性质是高考中的常考内容，灵活应用由概念推导出的重要性质，在解题过 程中可以达到避繁就简的目的．
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
撬点·基础点 重难点
4 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
等差数列及其前 n 项和的性质
已知{an}为等差数列，d 为公差，Sn 为该数列的前 n 项和．
(1)有穷等差数列中 与首末两项等距离 的两项的和相等，即 a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…＝ak＋an
7 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
2．若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，a2＋a10＝4，则 S11 的值为( ) A．12 B．18 C．22 D．44 解析 由题可知 S11＝11a12＋a11＝11a22＋a10＝11×2 4＝22，故选 C.
12 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
命题法 2 与等差数列前 n 项和有关的最值问题 典例 2 等差数列{an}中，设 Sn 为其前 n 项和，且 a1>0，S3＝S11，则当 n 为多少时，Sn 最大？
[解] 解法一：由 S3＝S11 得 3a1＋3×2 2d＝11a1＋11×2 10d，则 d＝－123a1.从而 Sn＝2dn2＋a1－d2n＝－1a31(n －7)2＋4193a1，又 a1>0，所以－1a31<0.故当 n＝7 时，Sn 最大．
②若项数为奇数 2n－1，则 S2n－1＝ (2n－1) an；S 奇－S 偶＝ an ；SS奇 偶＝n－n 1.
(7)若数列{an}与{bn}均为等差数列，且前
n
项和分别是
Sn 和
Tn，则TS22mm－－11＝
am bm
.
(8)若数列{an}，{bn}是公差分别为 d1，d2 的等差数列，则数列{pan}，{an＋p}，{pan＋qbn}都是等差数 列(p，q 都是常数)，且公差分别为 pd1，d1，pd1＋qd2.
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【解题法】 应用等差数列性质应注意 (1)要注意等差数列通项公式及前 n 项和公式的灵活应用，如 an＝am＋(n－m)d，d＝ann－－mam，S2n－1＝(2n －1)an，Sn＝na1＋ 2 an＝na2＋2an－1(n，m∈N*)等． (2)如果{an}为等差数列，m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq( m，n，p，q∈N*)．一般地，am＋an≠am＋n， 必须是两项相加，当然也可以是 am－n＋am＋n＝2am.因此，若出现 am－n，am，am＋n 等项时，可以利用此性质将 已知条件转化为与 am(或其他项)有关的条件．
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第六章 数列
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第2讲 等差数列及前n项和
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考点二 等差数列的性质及应用
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－k＋1＝….
(2)等差数列{an}中，当 m＋n＝p＋q 时， 特别地，若 m＋n＝2p，则 2ap＝am＋an
am＋an＝ap＋aq (m，n，p，q∈N*)．
(m，n，p∈N*)．
(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即 ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为 md (k，m∈ N*)．
命题法 1 等差数列性质的应用 典例 1 等差数列{an}中，如果 a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则数列{an}前 9 项的和为( ) A．297 B．144 C．99 D．66
[解析] 由 a1＋a4＋a7＝39，得 3a4＝39，a4＝13. 由 a3＋a6＋a9＝27，得 3a6＝27，a6＝9. 所以 S9＝9a1＋ 2 a9＝9a4＋ 2 a6＝9×123＋9＝9×11＝99，故选 C.
(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为 n2d .
(5)Snn也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}的公差的21.
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(6)在等差数列{an}中，
①若项数为偶数 2n，则 S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S 偶－S 奇＝ nd ；SS奇 偶＝aan＋n1.