等差数列的性质及应用 ppt课件
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等差数列的性质和应用PPT优秀课件
解 a n： S nS n 1(n2 ) a nn 2 2 n (n 1 )22 (n 1 )2 n 3(n2 （ )* ）
又当 n1时， a1 S1 1适合 (*) an 2n3，此a时 n1an 2 an为等差数 . 列
16
思考 :若此题S改 n n为 22n2, 试判断{a数 n}是 列否成数 等列 ?差
解 :由题意得 :
a1 S1 1, a2 1, a3 3 而2a2 a1 a3 ,
故{an }不成等差数列.
事实a上 n 12， n3
n1 n2
17
评注：
1.利用 an S n S n1 (n 2)解题时 一定 要注意 验 证 a1是否适合通项公式 .
19
例3:设等差{数 an}的 列前 n项和S为 n, 若a5 5a3,则SS95 ______
解：
9(a1 a9)
S9 2 9a5 959
S5 5(a1a5) 5 a3 5
2
评注：S在n
a1
an 2
n中可利用性质
将a1 an转换成数列中另外之两和.项
20
例4:若数{a列 n}为等差数列 Sp ， Sq,且
(pq, p,qN) 求Spq
解:
Sp
Sq pa1
Sk,S2kSk,S3kS2k成等差数列？ 。如何证
略证S：k a1
ak 2
k
(1)
S2kSk
ak1
ak2
a2k
ak1 a2k 2
k
(2)
(S31k )(S23k得 )a2S k： k 12a(S 3k3kkS2k)k 2a1aka2k(13)a3k
解：由推广的通项公 知式 ：
又当 n1时， a1 S1 1适合 (*) an 2n3，此a时 n1an 2 an为等差数 . 列
16
思考 :若此题S改 n n为 22n2, 试判断{a数 n}是 列否成数 等列 ?差
解 :由题意得 :
a1 S1 1, a2 1, a3 3 而2a2 a1 a3 ,
故{an }不成等差数列.
事实a上 n 12， n3
n1 n2
17
评注：
1.利用 an S n S n1 (n 2)解题时 一定 要注意 验 证 a1是否适合通项公式 .
19
例3:设等差{数 an}的 列前 n项和S为 n, 若a5 5a3,则SS95 ______
解：
9(a1 a9)
S9 2 9a5 959
S5 5(a1a5) 5 a3 5
2
评注：S在n
a1
an 2
n中可利用性质
将a1 an转换成数列中另外之两和.项
20
例4:若数{a列 n}为等差数列 Sp ， Sq,且
(pq, p,qN) 求Spq
解:
Sp
Sq pa1
Sk,S2kSk,S3kS2k成等差数列？ 。如何证
略证S：k a1
ak 2
k
(1)
S2kSk
ak1
ak2
a2k
ak1 a2k 2
k
(2)
(S31k )(S23k得 )a2S k： k 12a(S 3k3kkS2k)k 2a1aka2k(13)a3k
解：由推广的通项公 知式 ：
等差数列的性质课件(公开课)
所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费。
由题意得，
a1=11.2, d=1.2, n=11,
∴a11=11.2+(11－1) ×1.2 =23.2(元)
答:需要支付车费23.2元.
课堂练习
1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ B )
A . -1
你能得出一般结论吗？
性质二、两项和相等关系 数列{an}是等差数列，m、n、p、 q∈N+，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq. 推广：若m+n=2p，则am+an=2ap.
思考4.性质二反过来是否成立？
练习：判断对错：
(1)a3 + a5 = a1 + a7
(2)a1 + a4 + a6 = a3 + a8
53 2
an a3 (n 3)d
2 3(n 3)
3n 7
∴{an}的通项公式为an=3n-7
思考5. 在等差数列{an}中，若ap=q, aq=p,其中p,q
为正整数，求ap+q
例3. 某市出租车的计价标准是1.2元/km,起步价 为10元，即最初的4km（不含4km)计费10元. 如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目 的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付 多少车费？
等差数列(二)
知识回顾
1.等差数列 的定义： （1）.文字语言：如果一个数列从第2项起， 每一项与它前一项的差等于同一个常数.
（2）.数学语言 ： an1 an d, n N *
2.等差数列 的通项公式： an a1 (n 1)d, n N *
等差数列的性质(52张PPT)课件
第二章 2.2 第2课时
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[点评] 本题考查等差数列的两个基本性质．解题时应 注意题中所给各项的关系，注意第(2)题应有两组结果．
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第二章 2.2 第2课时
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变式训练 1 (1)设{an}为等差数列，若 a3＋a4＋a5＋a6 ＋a7＝450，求 a2＋a8；
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第二章 2.2 第2课时
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课堂 互 动 探 究
例 练 结 合 ········································· 素 能 提 升
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第二章 2.2 第2课时
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典例导悟
类型一 等差数列的性质及应用 [例 1] 已知等差数列{an}， (1)若 a2＋a3＋a25＋a26＝48，求 a14； (2)若 a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，求公差 d.
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第二章 2.2 第2课时
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联立解得 a2＝4，a5＝13，或 a2＝13，a5＝4. 当 a2＝4，a5＝13 时，d＝a55－－a22＝3； 当 a2＝13，a5＝4 时，d＝a55－－a22＝－3. ∴公差 d 为 3 或－3.
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(2)在等差数列{an}中，a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，求 3a9 －a13 的值．
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第二章 2.2 第2课时
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解：(1)a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a2＋a8， ∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450. ∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180. (2)由a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100得a7＝20. ∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.
等差数列的性质课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
典例分析
例 2 (1)三个数成等差数列,其和为 9,前两项之积为后一项的 6 倍,求这三个数； (2)四个数成递增等差数列,中间两项的和为 2,首末两项的积为-8,求这四个数．
解：(1)设这三个数依次为 a－d，a，a＋d，则
a－d＋a＋a＋d＝9， a－da＝6a＋d，
解得
a＝3， d＝－1.
∴这三个数为 4,3,2.
都插入3个数, 使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn }.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)b29是不是数列{an }的项? 若是, 它是{an }的第几项? 若不是, 说明理由.
解1:
解2:
由(1)知,b29 2 29 58, 令an 2 8(n 1) 58,
解得n 8
思考：其他条件不变，若 am＋an＝ap＋aq，能得到 m＋n＝p＋q 吗？
反例： 常数列
推广：(1)特别地，当 m＋n＝2k(m, n, k∈N*)时，am＋an＝2ak.
(2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于 首末两项的和，即 a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
解: 设数列{bn}的公差为 d,
由题意知,b1 a1 2, b5 a2 2 8 10，
由b5 10 b1 4d 2 4d, 解得d 2
d 8 d d
31
k 1
所以bn 2 (n 1) 2 2n
所以,数列{bn}的通项公式是 bn 2n.
典例分析
例4 已知等差数列{an}的首项a1 2,公差d 8,在{an}中每相邻两项之间
A.14
B.21
C.28
D.35
3.已知数列{an}是等差数列，若a4+a8＝20，a7＝12，则a4= 6 ．
2.2.2《等差数列的性质》课件(人教A版必修5)
(D)-
3
第28页，共46页。
【解析】选D.∵{an}为等差数列，a1+a7+a13=4π, ∴3a7=4π,∴a7= π.4
又∵a2+a12=2a7, 3 ∴a2+a12= 8 π,
∴tan(a2+a312)=- . 3
第29页，共46页。
2.设{an}为公差为-2的等差数列，若a1+a4+a7+…+a97=50,则
m的值为（ ）
（A）8
（B）4
（C）6
（D）12
【解析】选A.在等差数列{an}中，d>0. ∴数列{an}为递增数列.
又a3+a6+a10+a13=4a8=32,∴a8=8,∴m=8.
第31页，共46页。
二、填空题（每题5分，共10分）
4.（2010·济宁高二检测）在等差数列{an}中，已知公差
第44页，共46页。
【解析】(1)由等方差数列的定义可知：a2n-a2n-1=p(n≥2). (2)∵{an}是等差数列，设公差为d,则an-an-1=an+1-an=d(n≥2).又 {an}是等方差数列，∴a2n-a2n-1=a2n+1-a2n (n≥2),∴(an+ an-1)(an-an-1)=(an+1+an)(an+1-an)，即d(an+an-1-an+1-an)=
-2d2=0,∴d=0,故{an}是常数列.
第45页，共46页。
第46页，共46页。
∴lgalg=a-lglbgb,∴ab=1.
答案：1
第42页，共46页。
第43页，共46页。
4.（15分）如果一个数列的各项都是实数，且从第2项开始，每一项与它的 前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做 这个数列的公方差.
小学数学《 等差数列及其应用》ppt
1＋2＋3＋4＋5＋…＋98＋99＋100。
【例1】：计算 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13 +14的和是多少？
解答：（1+14）×（14÷2） =15×7 =105
【变式题1】： 数列2，5，8，11，14，17，20，23，26， 29的和是多少？
1.在括号中填入适当的数。
如：数列1，3，5，7，9。第二 项与第一项的差是3-1=2；第三项与第 二项的差是5-3=2；第四项与第三项的 差是7-5=2；第五项与第四项的差是97=2。2就是这个数列的公差。
一个数列的所有项的个数称为这个数 列的项数。
如数列2，4பைடு நூலகம்6，8，10，12。 有6个数，这个数列的项数是6。
高斯的老师写出的这个数列是 不是等差数列呢？
1＋2＋3＋4＋5＋…＋ 98＋99＋100。
像1，3，5，7，9，11，13，……这样按 一定的次序排列的数，我们称它为数列。顾 名思义，数列就是数的排列。它的特点就是 这列数在排列时是按照一定规律排列的。在 数列中的每一个数称为数列的项，并且根据 它们所在的位置，第一个数叫做首项，第二 个数叫做第二项，第三个数叫做第三项，依 次类推，最后一个数称为末项。
例如数列：2，4，6，8，10，12。 2是这个数列的首项，4是这个
数列的第二项，12是这个数列的末项。
请你说说在高斯的故事中，这位老 师出的题目的第一项是几？第二项是几？ 最后一项是几？一共有多少项？
1＋2＋3＋4＋5＋…＋98＋99＋100。
如果一个数列中从第二项开始，每
一项与前面一项的差都相等，这样的数 列叫做等差数列。这个相等的差叫做这 个等差数列的公差。公差的意思就是公 有的差，因为在一个等差数列中每一项 与前一项的差都是相等的。
【例1】：计算 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13 +14的和是多少？
解答：（1+14）×（14÷2） =15×7 =105
【变式题1】： 数列2，5，8，11，14，17，20，23，26， 29的和是多少？
1.在括号中填入适当的数。
如：数列1，3，5，7，9。第二 项与第一项的差是3-1=2；第三项与第 二项的差是5-3=2；第四项与第三项的 差是7-5=2；第五项与第四项的差是97=2。2就是这个数列的公差。
一个数列的所有项的个数称为这个数 列的项数。
如数列2，4பைடு நூலகம்6，8，10，12。 有6个数，这个数列的项数是6。
高斯的老师写出的这个数列是 不是等差数列呢？
1＋2＋3＋4＋5＋…＋ 98＋99＋100。
像1，3，5，7，9，11，13，……这样按 一定的次序排列的数，我们称它为数列。顾 名思义，数列就是数的排列。它的特点就是 这列数在排列时是按照一定规律排列的。在 数列中的每一个数称为数列的项，并且根据 它们所在的位置，第一个数叫做首项，第二 个数叫做第二项，第三个数叫做第三项，依 次类推，最后一个数称为末项。
例如数列：2，4，6，8，10，12。 2是这个数列的首项，4是这个
数列的第二项，12是这个数列的末项。
请你说说在高斯的故事中，这位老 师出的题目的第一项是几？第二项是几？ 最后一项是几？一共有多少项？
1＋2＋3＋4＋5＋…＋98＋99＋100。
如果一个数列中从第二项开始，每
一项与前面一项的差都相等，这样的数 列叫做等差数列。这个相等的差叫做这 个等差数列的公差。公差的意思就是公 有的差，因为在一个等差数列中每一项 与前一项的差都是相等的。
人教A版高中数学选择性必修第二册第四章4-2-1第2课时等差数列的性质及应用课件
【链接·教材例题】 例5 已知数列{an}是等差数列，p，q，s，t∈N*，且p＋q＝s＋t.求 证ap＋aq＝as＋at. 分析：只要根据等差数列的定义写出ap，aq，as，at，再利用已知条 件即可得证．
[证明] 设数列{an}的公差为d，则 ap＝a1＋(p－1)d， aq＝a1＋(q－1)d， as＝a1＋(s－1)d， at＝a1＋(t－1)d. 所以
[母题探究] 本例(1)中条件变为“已知等差数列{an}中，a3＋a6＝ 8”，求5a4＋a7的值．
[解] 法一：设等差数列{an}的公差为d， 则a3＋a6＝2a1＋7d＝8， 所以5a4＋a7＝6a1＋21d＝3(2a1＋7d)＝24.
法二：在等差数列中，若m＋n＝p＋q， 则am＋an＝ap＋aq， ∴a2＋a6＝a3＋a5＝2a4， ∴5a4＋a7＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7. 又a2＋a7＝a3＋a6＝a4＋a5， ∴5a4＋a7＝3(a3＋a6)＝3×8＝24.
[新知生成] 等差数列的性质
(1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋ q，则am＋an＝__a_p_＋__a_q_． ①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak. ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两 项的__和__，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. (2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项 ，组成的数列仍为 _等__差___数列．
[讨论交流] 问题1．等差数列的子数列是如何定义的？ 问题2．等差数列的子数列有什么样的性质？ 问题3．等差数列的任意两项间有什么样的数量关系？ 问题4．等差数列的“下标和”性质是什么？
[自我感知] 经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画 出本节课的知识逻辑体系．
等差数列的性质PPT课件
2．等差数列{an}中，通项是 n 的一次函数，可借助直线方 程的斜率知识理解 d＝amm－－ann及相关性质．
3．若数列{an}是公差为 d 的等差数列，当 d＝0 时，{an} 为常数列，当 d>0 时，{an}递增，当 d<0 时，{an}递减．
命题方向 等差数列的性质
[例 1] 等差数列{an}中，a4＋a5＋a6＋a7＝56，a4·a7＝ 187，求 a1 和 d.
[点评] 在求得 d＝2 后，可直接由 an＝a18＋(n－18)·d 得 199＝95＋2(n－18)，∴n＝70.
[例 2] 设公差为－2 的等差数列，如果 a1＋a4＋a7＋…＋
a97＝50，那么 a3＋a6＋a9＋…＋a99＝( )
A．－182
B．－78
C．－148
D．－82
[分析] 观察其下标的构成规律：1,4,7，…，97,2,5,8，…，
(7)等差数列{an}的相邻 k 项的和仍为等差数列．如 a1＋a2， a2＋a3，a3＋a4，…，an－1＋an，……成等差数列；a1＋a2，a3 ＋a4，a5＋a6，…，an＋an＋1，……成等差数列；a1＋a2＋…＋ am，a2＋a3＋…＋am＋1，a3＋a4＋…＋am＋2，…，ak＋ak＋1＋…＋ ak＋m－1…成等差数列等等．
在等差数列{an}中，a18＝95，a32＝123，an＝199，则 n＝ ________.
[答案] 70
[解析] ∵a32－a18＝(32－18)d＝123－95，∴d＝2，又 a18 ＝a1＋17d＝95，∴a1＝61，∴an＝a1＋(n－1)d＝61＋2(n－1) ＝199，∴n＝70.
乙调查表示：由第 1 年养鸡场个数 30 个减少到第 6 年的 10 个．
3．若数列{an}是公差为 d 的等差数列，当 d＝0 时，{an} 为常数列，当 d>0 时，{an}递增，当 d<0 时，{an}递减．
命题方向 等差数列的性质
[例 1] 等差数列{an}中，a4＋a5＋a6＋a7＝56，a4·a7＝ 187，求 a1 和 d.
[点评] 在求得 d＝2 后，可直接由 an＝a18＋(n－18)·d 得 199＝95＋2(n－18)，∴n＝70.
[例 2] 设公差为－2 的等差数列，如果 a1＋a4＋a7＋…＋
a97＝50，那么 a3＋a6＋a9＋…＋a99＝( )
A．－182
B．－78
C．－148
D．－82
[分析] 观察其下标的构成规律：1,4,7，…，97,2,5,8，…，
(7)等差数列{an}的相邻 k 项的和仍为等差数列．如 a1＋a2， a2＋a3，a3＋a4，…，an－1＋an，……成等差数列；a1＋a2，a3 ＋a4，a5＋a6，…，an＋an＋1，……成等差数列；a1＋a2＋…＋ am，a2＋a3＋…＋am＋1，a3＋a4＋…＋am＋2，…，ak＋ak＋1＋…＋ ak＋m－1…成等差数列等等．
在等差数列{an}中，a18＝95，a32＝123，an＝199，则 n＝ ________.
[答案] 70
[解析] ∵a32－a18＝(32－18)d＝123－95，∴d＝2，又 a18 ＝a1＋17d＝95，∴a1＝61，∴an＝a1＋(n－1)d＝61＋2(n－1) ＝199，∴n＝70.
乙调查表示：由第 1 年养鸡场个数 30 个减少到第 6 年的 10 个．