2009年全国高考文科数学试题及答案-全国1

2009年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分．第卷1至2页，第卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(01,2)k k n kn n P k C P P k n -=-=，，， 一、选择题（1）o585sin 的值为(A) (C)- (D) 【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值，基础题。

解：2245sin )45180sin()225360sin(585sin -=-=+=+=oo o o o o ，故选择A 。

(2)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U A B =，则集合()U AB ð中的元素共有(A) 3个 （B ） 4个 （C ）5个 （D ）6个 【解析】本小题考查集合的运算，基础题。

（同理1） 解：{3,4,5,7,8,9}AB =，{4,7,9}(){3,5,8}U A B AB =∴=ð故选A 。

也可用摩根定律：()()()U U U A B A B =痧?（3）不等式111<-+x x 的解集为 （A ）{}}{011x x x x 〈〈〉 （B ）{}01x x 〈〈（C ） }{10x x -〈〈 （D ）}{0x x 〈 【解析】本小题考查解含有绝对值的不等式，基础题。

解：0040)1()1(|1||1|11122<⇔<⇔<--+⇔-<+⇔<-+x x x x x x x x ， 故选择D 。

（4）已知tan a =4,cot β=13,则tan(a+β)= (A)711 (B)711- (C) 713 (D) 713-【解析】本小题考查同角三角函数间的关系、正切的和角公式，基础题。

解：由题3tan =β，11712134tan tan 1tan tan )tan(-=-+=⋅-+=+βαβαβα，故选择B 。

（5）设双曲线()222200x y a b a b－＝1＞，＞的渐近线与抛物线21y ＝x ＋相切，则该双曲线的离心率等于（A （B ）2 （C （D 【解析】本小题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题。

解：由题双曲线()222200x y a b a b－＝1＞，＞的一条渐近线方程为a bx y =，代入抛物线方程整理得02=+-a bx ax ，因渐近线与抛物线相切，所以0422=-a b ，即5522=⇔=e a c ，故选择C 。

（6）已知函数()f x 的反函数为()()10g x x ＝＋2lgx ＞，则=+)1()1(g f（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 【解析】本小题考查反函数，基础题。

解：由题令1lg 21=+x 得1=x ，即1)1(=f ，又1)1(=g ，所以2)1()1(=+g f ，故选择C 。

（7）甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（A ）150种 （B ）180种 （C ）300种 （D ）345种 【解析】本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题，基础题。

解：由题共有345261315121625=+C C C C C C ，故选择D 。

（8）设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a ,（A ）150° （B ）120° （C ）60° （D ）30° 【解析】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题。

解：由向量加法的平行四边形法则，知、可构成菱形的两条相邻边，且、为起点处的对角线长等于菱形的边长，故选择B 。

（9）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为(A)4(B) 4(C) 4(D) 34【解析】本小题考查棱柱的性质、异面直线所成的角，基础题。

（同理7）解：设BC 的中点为D ，连结1A D ，AD ，易知1A AB θ=∠即为异面直线AB 与1CC 所成的角,由三角余弦定理，易知113co c s 4os cos AD AD A AD DAB A A AB θ=∠∠⋅=⋅=.故选D (10) 如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3π中心对称，那么φ的最小值为(A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π 【解析】本小题考查三角函数的图象性质，基础题。

解:函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称 4232k ππφπ∴⋅+=+13()6k k Z πφπ∴=-∈由此易得min ||6πφ=.故选A（11）已知二面角l αβ--为600 ，动点P 、Q 分别在面,αβ内，P 到βQ到α的距离为P 、Q 两点之间距离的最小值为【解析】本小题考查二面角、空间里的距离、最值问题，综合题。

（同理10）解:如图分别作,,,QA A AC l C PB B αβ⊥⊥⊥于于于PD l D ⊥于，连,60,CQ BD ACQ PBD ∠=∠=︒则AQ BP =2AC PD ∴==又PQ AQ ==当且仅当0AP =，即A P 点与点重合时取最小值。

故答案选C 。

（12）已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F,右准线l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B 。

若3FA FB =,则AF =(A)(B) 2 (C) (D) 3【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础题。

解：过点B 作BM l ⊥于M,并设右准线l 与X 轴的交点为N ，易知FN=1.由题意3FA FB =,故2||3BM =.又由椭圆的第二定义,得2||233BF ==||AF ∴=故选A2009年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅰ）第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共10小题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） （13）10()x y -的展开式中，73x y 的系数与37x y 的系数之和等于_____________. 【解析】本小题考查二项展开式通项、基础题。

（同理13）解: 因r r r r r y x C T -+-=10101)1(所以有373101010()2240C C C -+-=-=- （14）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S 。

若972S =，则249a a a ++=_______________. 【解析】本小题考查等差数列的性质、前n 项和，基础题。

（同理14） 解:{}n a 是等差数列,由972S =,得599,S a ∴=58a =∴2492945645()()324a a a a a a a a a a ++=++=++==。

(15)已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M ，若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于__________________.【解析】本小题考查球的截面圆性质、球的表面积，基础题。

解：设球半径为R ，圆M 的半径为r ，则ππ32=r ，即32=r 由题得3)2(22=-R R ，所以ππ164422=⇒=R R 。

（16）若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75 其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）【解析】本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想。

解：两平行线间的距离为211|13|=+-=d ，由图知直线m 与1l 的夹角为o 30，1l 的倾斜角为o45，所以直线m 的倾斜角等于0754530=+o或0153045=-o。

故填写①或⑤ 三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分10分)(注意:在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 设等差数列{n a }的前n 项和为n s ，公比是正数的等比数列{n b }的前n 项和为n T ，已知1133331,3,17,12,},{}n n a b a b T S b ==+=-=求{a 的通项公式.【解析】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前n 项和，基础题。

解：设{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为0>q ，由3317a b +=得212317d q ++= ①3312T S -=得24q q d +-= ②由①②及0q >解得2,2==d q故所求的通项公式为112(1)21,32n n n a n n b -=+-=-=⨯。

(18)(本小题满分12分)（注意：在试用题卷上作答无效）在ABC ∆中，内角A B C 、、的对边长分别为a b c 、、.已知222a c b -=，且si n 4cos si n B A C =，求b .【解析】本小题考查正弦定理、余弦定理。

解：由余弦定理得A bc b c a cos 2222-=-，又 0,222≠=-b b c a ，b A bc b 2cos 22=-，即2cos 2+=A c b ① 由正弦定理得sin sin b Bc C= 又由已知得 s i n4c o s s i nB AC =sin 4cos sin BA C=， 所以4cos b c A = ② 故由①②解得4=b(19)(本小题满分12分)（注决：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，AD =，2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，60ABM ∠=（Ⅰ）证明：M 是侧棱SC 的中点；（Ⅱ）求二面角S AM B --的大小。