2009年高考理科数学试题及答案-全国卷1

2009年普通高等学校招生全国统一考试（全国1卷）理科数学（必修+选修Ⅱ）一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B ，则集合[u （AB ）中的元素共有（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个 （2）已知1iZ＋=2+I,则复数z= （A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+I (D)3-i (3) 不等式11X X +-＜1的解集为 （A ）｛x }{}011x x x 〈〈〉 (B){}01x x 〈〈（C ）{}10x x -〈〈 (D){}0x x 〈(4)设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2+1相切，则该双曲线的离心率等于（A （B ）2 （C （D (5) 甲组有5名同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。

若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有 （A ）150种 （B ）180种 （C ）300种 (D)345种 （6）设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则()()a c b c -∙-的最小值为（A ）2-（B 2 （C ）1- (D)1（7）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（A ）4（B ）4（C ）4(D) 34（8）如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称，那么π的最小值为 （A ）6π （B ）4π （C ）3π (D) 2π(9) 已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为（10）已知二面角α-l-β为600，动点P 、Q 分别在面α、β内，P 到βQ 到α的距离为则P 、Q 两点之间距离的最小值为（11）函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则 (A) ()f x 是偶函数 (B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ (D) (3)f x +是奇函数（12）已知椭圆C: 2212x y +=的又焦点为F ，右准线为L ，点A L ∈,线段AF 交C 与点B 。

若3FA FB =,则AF =二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） (13) 10()x y -的展开式中，73x y 的系数与37x y 的系数之和等于 . (14)设等差数列{}n a 的前n 项和为n s .若9s =72,则249a a a ++= .(15)直三棱柱ABC -111A B C 各顶点都在同一球面上.若12,AB AC AA ===∠BAC =120，则此球的表面积等于 . (16)若42ππ＜X ＜,则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 在∆ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且si n c o s 3c o s s i n A C A C=，求b. 18．（本小题满分12分）如图，四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，DC=SD=2.点M 在侧棱SC 上，∠ABM=600.(Ⅰ)证明：M 是侧棱SC 的中点；（Ⅱ）求二面角S —AM —B 的大小。

(19)(本小题满分12分)甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。

已知前2局中，甲、乙各胜1局。

（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；（2）设ε 表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ε 的分布列及数学期望。

（20）（本小题满分12分）在数列{}na 中， 1111112n nn a a a n ⎛⎫ ⎪⎝⎭’＋’＋＝＝＋＋. ()I 设n n ab n ＝，求数列}{n b 的通项公式； ()II 求数列{}n a 的前n 项和n s .21．（本小题满分12分）如图，已知抛物线2:E y x =与圆222:(4)M x y r -+=(r ＞0）相交于A B C D 、、、四个点。

（I ）求r 的取值范围：(II)当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线A B C D 、、、的交点p 的坐标。

22．（本小题满分12分）设函数32()33f x x bx cx =++有两个极值点[][]12211,2.x x x ∈-∈，，0，且（Ⅰ）求b 、c 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b ，c ）和区域； (Ⅱ)证明：1102-2≤f(x )≤-2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题(1)解：{3,4,5,7,8,9}AB =，{4,7,9}(){3,5,8}U A BC A B =∴=故选A 。

（2）解：(1)(2)13,13z i i i z i =+⋅+=+∴=- 故选B 。

(3) 解：验x=-1即可。

(4) 解：设切点00(,)P x y ，则切线的斜率为0'0|2x x yx ==.由题意有002y x x =又2001y x =+ 解得: 201,2,b x e a =∴===(5) 解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有112536225C C C ⋅⋅=种选法(2) 乙组中选出一名女生有211562120C C C ⋅⋅=种选法.故共有345种选法.选D（6）解:,,a b c 是单位向量()()2()a c b c a b a b c c∴-∙-=∙-+∙+1||||12cos ,12a b c a b c =-+∙=-<+>≥- D.（7）解：设BC 的中点为D ，连结1A D ，AD ，易知1A AB θ=∠即为异面直线AB 与1CC 所成的角,由三角余弦定理，易知113co c s 4os cos AD AD A AD DAB A A AB θ=∠∠⋅=⋅=.故选D（8）解:函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称 4232k ππφπ∴⋅+=+13()6k k Z πφπ∴=-∈由此易得min ||6πφ=.故选A (9) 解:设切点00(,)P x y ，则0000ln 1,()y x a y x =+=+,又0'01|1x x y x a===+00010,12x a y x a ∴+=∴==-∴=.故答案选B （10）解:如图分别作,,,QA A AC l C PB B αβ⊥⊥⊥于于于PD l D ⊥于，连,60,CQ BD ACQ PBD ∠=∠=︒则AQ BP =2AC PD ∴==又PQ AQ ==当且仅当0AP =，即A P 点与点重合时取最小值。

故答案选C 。

（11）解:(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，(1)(1),(1)(1)f x f x f x f x ∴-+=-+--=--，∴函数()f x 关于点(1,0)，及点(1,0)-对称，函数()f x 是周期2[1(1)]4T =--=的周期函数.(14)(14)f x f x ∴--+=--+，(3)(3)f x f x -+=-+，即(3)f x +是奇函数。

故选D 12.解:过点B 作BM l ⊥于M,并设右准线l 与X 轴的交点为N ，易知FN=1.由题意3FA FB =,故2||3BM =.又由椭圆的第二定义,得2||3BF ==||AF =故选A 二、填空题：13.解: 373101010()2240C C C -+-=-=-14.解:{}n a 是等差数列,由972S =,得599,S a ∴=58a =∴2492945645()()324a a a a a a a a a a ++=++=++==.15.解:在ABC ∆中2AB AC ==,120BAC ∠=︒,可得BC =由正弦定理,可得ABC ∆外接圆半径r=2,设此圆圆心为O '，球心为O ，在RTOBO '∆中，易得球半径R =2420R ππ=.16.解:令tan ,x t =142x t ππ<<∴>,4432224222tan 2222tan 2tan 81111111tan 1()244x t y x x x t t t t ∴=====≤=------- 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17（本小题满分10分） 解法一：在ABC ∆中sin cos 3cos sin ,A C A C =则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-∙=∙化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解法二:由余弦定理得:2222cos a c b bc A -=-.又 222a c b -=,0b ≠。

所以 2cos 2b c A =+…………………………………① 又 sin cos 3cos sin A C A C =，sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+=sin()4cos sin A C A C +=，即sin 4cos sin B A C =由正弦定理得sin sin bB C c=， 故 4cos b c A =………………………② 由①，②解得4b =。

18． 解法一：（I ）作ME ∥CD 交SD 于点E ，则ME ∥AB ，ME ⊥平面SAD ，连接AE ，则四边形ABME 为直角梯形 作MF AB ⊥，垂足为F ，则AFME 为矩形设ME x =，则SE x =，AE =2MF AE FB x ===-由tan 60,)MF FB x =∙=-。

解得1x =，即1ME =，从而12ME DC =，所以M 为侧棱SC 的中点（Ⅱ）2MB ==，又60,2ABM AB ∠==,所以ABM ∆为等边三角形，又由（Ⅰ）知M 为SC 中点2SM SA AM =，故222,90SA SM AM SMA =+∠=取AM 中点G ，连结BG ，取SA 中点H ，连结GH ，则,BG AM GH AM ⊥⊥,由此知BGH ∠为二面角S AM B --的平面角连接BH ，在BGH ∆中，1,2222BG AM GH SM BH ======所以222cos 23BG GH BH BGH BG GH +-∠==-∙∙二面角S AM B --的大小为arccos( 解法二:以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系D-xyz设A ，则(0,2,0),(0,0,2)B C S （Ⅰ）设(0)SM MC λλ=〉,则2222(0,,),,)1111M MB λλλλλ-=++++ 又(0,2,0),,60AB MB AB =- 故||||cos60MB AB MB AB ∙=∙即41λ=+解得1λ=，即SM MC = 所以M 为侧棱SC 的中点（II ）由(0,1,1),M A ，得AM 的中点11,)22G又31(,),(0,1,1),(222GB MS AM =-=-= 0,0GB AM MS AM ∙=∙=所以,GB AM MS AM ⊥⊥因此,GB MS 等于二面角S AM B --的平面角cos ,||||GB MS GB MS GB MS ∙==∙所以二面角S AM B --的大小为arccos(19．解：记i A 表示事件：第i 局甲获胜，i=3,4,5j B 表示事件：第j 局乙获胜，j=3,4（Ⅰ）记B 表示事件：甲获得这次比赛的胜利因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而34345345B A A B A A A B A =∙+∙∙+∙∙由于各局比赛结果相互独立，故34345345()()()()P B P A A P B A A P A B A =∙+∙∙+∙∙=34345345()()()()()()()()P A P A P B P A P A P A P B P A ++ =0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6 =0.648（II ）ξ的可能取值为2，3 由于各局比赛结果相互独立，所以3434(2)()P P A A B B ξ==∙+∙=3434()()P A A P B B ∙+∙ =3434()()()()P A P A P B P B ∙+∙ =0.6×0.6+0.4×0.4 =0.52(3)1(2)P P ξξ==-==1.0.52=0.48ξ的分布列为2(2)3(3)E P P ξξξ=⨯=+⨯==2×0.52+3×0.48 =2.4820． 解：（I ）由已知得111b a ==，且1112n n na a n n +=++ 即 112n n nb b +=+ 从而 2112b b =+32212b b =+……111(2)2n n n b b n --=+≥ 于是 121111......222n n b b -=++++=112(2)2n n --≥又 11b = 故所求的通项公式1122n n b -=- （II ）由（I ）知111(2)222n n n n a n n --=-=-, ∴n S =11(2)2nk k k k -=-∑111(2)2n nk k k kk -===-∑∑而1(2)(1)nk k n n ==+∑,又112nk k k-=∑是一个典型的错位相减法模型， 易得1112422nk n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1)n n +1242n n -++- 21．（I ）将抛物线2:E y x =与圆222:(4)(0)M x y r r -+=>的方程联立，消去2y ，整理得227160x x r -+-=．．．．．．．．．．．．．（＊）抛物线2:E y x =与圆222:(4)(0)M x y r r -+=>相交于A 、B 、C 、D 四个点的充要条件是：方程（＊）有两个不相等的正根即可.由此得2212212(7)4(16)070160r x x x x r ⎧∆=--->⎪+=>⎨⎪=->⎩解得 21516r <<又 0r >所以 (4)2r ∈ 考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以．（II ）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。