2019_2020学年高中数学课时分层作业19对数函数的图象及性质含解析新人教A版必修1

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对数函数的图象和性质(教学课件)高一数学(人教A版2019)(1(完整版)5

其中[H ]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔 / 升.
(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度
与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；
(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H ] 10 7 摩尔 / 升，计算纯
净水的pH 值.
解： (1)根据对数的运算性质得 pH lg[H ] lg[H ] 1 lg 1 , [H ]
)
A．b＜c＜a
B．b＜a＜c
C．c＜a＜b
D．c＜b＜a
解析：由题知，a＝log45＞1，b＝120＝1，c＝log30.4＜0，故 c＜b＜a. 答案：D
4．已知 log 1 m＜log 1 n＜0，则
2
2
A．n＜m＜1
B．m＜n＜1
C．1＜m＜n
D．1＜n＜m
解析：因为
0＜12＜1，log
1 2
题型二：比较对数值的大小
【例2】比较下列各组数的大小.
比较对数值大小的策略： 1.同底时，根据单调性比较两真数的大小； 2.同底但底数是字母时，需对字母进行分类讨论，再根据单调性比较两真数的大小； 3.同真数但不同底时，可利用“底大图低”的口诀来直接判断大小； 4.不同底且不同真时，常借助中间值，如-1,0,1等进行比较.
解：在同一平面直角坐标系中，函数 y log3 x ，
y log1 x 的图象如图所示.它们的图象关于 x 轴对称. 3
说明：画对数函数 y loga x(a 0,且a 1) 的图象，可以抓住三个关
键点：
(
1 a
,
1),
(1,
0),
(
a,1)
，采用“三点法”来画简图.
2.比较下列各题中两个值的大小：（1） lg 0.6，lg 0.8 ；（2） log0.5 6，log0.5 4 ；（3） logm 5，logm 7 ；（4） log3 5 与 log6 4 .

指数函数与对数函数(知识精讲)-2019-2020高一数学(人教A版必修第一册)(解析版)

专题十一指数函数与对数函数知识精讲一知识结构图二.学法指导1.正确区分na n与(na)n：(1)(na)n已暗含了na有意义，据n的奇偶性可知a的范围；(2)na n中的a可以是全体实数，na n的值取决于n的奇偶性．2. 带条件根式的化简(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简.(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.3．指数幂运算的常用技巧（1）有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.（2）负指数幂化为正指数幂的倒数.（3）底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.4.判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住三点：(1)底数是大于0且不等于1的常数； (2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上； (3)a x 的系数必须为1.5．求指数函数的解析式常用待定系数法．6.利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．7．解不等式a f (x )>a g (x )(a >0，a ≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即a f (x )>a g (x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>g (x )，a >1，f (x )<g (x )，0<a <1.8.性质alog a N＝N 与log a a b ＝b 的作用 (1)a log a N＝N 的作用在于能把任意一个正实数转化为以a 为底的指数形式．(2)log a a b ＝b 的作用在于能把以a 为底的指数转化为一个实数．9.利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，底数不同时，利用换底公式把底数换成相同，再找真数间的联系． 10.比较对数值大小的常用方法(1)同底数的利用对数函数的单调性.(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. (3)底数和真数都不同，找中间量. 11.常见的对数不等式的三种类型(1)形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论；(2)形如log a x ＞b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解；(3)形如log a x ＞log b x 的不等式，可利用图象求解.12.已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系．13．求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解．三.知识点贯通知识点1 根式运算1.a a nn =)(；2.⎩⎨⎧<-≥==0.0,||a a a a a a n n例题1.(1)若x <0，则x ＋|x |＋x 2x＝________.(2)若－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值．【答案】(1)－1 (2) ⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3<x ≤1，－4，1<x <3.【解析】(1)∵x <0，∴|x |＝－x ，x 2＝|x |＝－x ，∴x ＋|x |＋x 2x ＝x －x －1＝－1.](2)x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，当－3<x ≤1时，原式＝1－x －(x ＋3)＝－2x －2. 当1<x <3时，原式＝x －1－(x ＋3)＝－4.因此，原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3<x ≤1，－4，1<x <3.知识点二利用分数指数幂的运算性质化简求解1.正分数指数幂：规定：a mn ＝a >0，m ，n ∈N *，且n >1)2.负分数指数幂：规定：a －m n ＝1a m n ＝1(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)3.幂的运算性质(1)a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈R )． (2)(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈R )． (3)(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈R )．例题2：化简求值：知识点三指数函数的概念1.一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 例题3 .已知函数f (x )为指数函数，且f ⎝⎛⎭⎫－32＝39，则f (－2)＝________. 【答案】19【解析】设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，由f ⎝⎛⎭⎫－32＝39得a －32＝39，所以a ＝3，又f (－2)＝a －2，所以f (－2)＝3－2＝19知识点四指数函数的性质及运用 1.指数函数的性质R例题4．求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝1－3x ； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3；(3)y ＝4x ＋2x ＋1＋2.【解析】(1)要使函数式有意义，则1－3x ≥0，即3x ≤1＝30，因为函数y ＝3x 在R 上是增函数，所以x ≤0，故函数y ＝1－3x 的定义域为(－∞，0]．因为x ≤0，所以0<3x ≤1，所以0≤1－3x <1，所以1－3x ∈[0,1)，即函数y ＝1－3x 的值域为[0,1)． (2)定义域为R .∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4，∴⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3≤⎝⎛⎭⎫12－4＝16.又∵⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3>0，∴函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3的值域为(0,16]． (3)因为对于任意的x ∈R ，函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2都有意义，所以函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的定义域为R .因为2x >0，所以4x ＋2x ＋1＋2＝(2x )2＋2×2x ＋2＝(2x ＋1)2＋1>1＋1＝2，即函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的值域为(2，＋∞)．例题5. 比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和1.53.2； (2)0.6－1.2和0.6－1.5；(3)1.70.2和0.92.1； (4)a 1.1与a 0.3(a >0且a ≠1)．【解析】(1)1.52.5,1.53.2可看作函数y ＝1.5x 的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y ＝1.5x 在R 上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2.(2)0.6－1.2,0.6－1.5可看作函数y ＝0.6x 的两个函数值，因为函数y ＝0.6x 在R 上是减函数，且－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5.(3)由指数函数性质得，1.70.2>1.70＝1,0.92.1<0.90＝1，所以1.70.2>0.92.1.(4)当a >1时，y ＝a x 在R 上是增函数，故a 1.1>a 0.3；当0<a <1时，y ＝a x 在R 上是减函数，故a 1.1<a 0.3. 知识点五对数运算性质的应用对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．例题6.计算下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；(3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8.【解析】 (1)原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43·32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10＝12. (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. (3)原式＝12(lg 2＋lg 9－lg 10)lg 1.8＝lg 18102lg 1.8＝lg 1.82lg 1.8＝12.知识点六对数的换底公式1.若a >0且a ≠1；c >0且c ≠1；b >0，则有log a b ＝log c blog c a .例题7.(1)计算：(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 1258＋log 254＋log 52)． (2)已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645(用a ，b 表示)．【解析】(1)(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 1258＋log 254＋log 52)＝(log 253＋log 2252＋log 235)·(log 5323＋log 5222＋log 52)＝⎝⎛⎭⎫3＋1＋13log 25·(1＋1＋1)log 52＝133·3＝13.(2)∵18b ＝5，∴b ＝log 185. 又log 189＝a ，∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 185＋log 1891＋log 182＝a ＋b 2－log 189＝a ＋b 2－a .知识点七对数函数的概念1.函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．例题8.若函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数，则a ＝________. 【解析】因为函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1>0，2a －1≠1，a 2－5a ＋4＝0，解得a ＝4.知识点八对数函数的图象与性质(0，＋∞)例题9.求下列函数的定义域：(1)f (x )＝1log 12x ＋1；(2)f (x )＝12－x＋ln(x ＋1)；【解析】(1)要使函数f (x )有意义，则log 12x ＋1>0，即log 12x >－1，解得0<x <2，即函数f (x )的定义域为(0,2)．(2)函数式若有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，2－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x <2，解得－1<x <2，故函数的定义域为(－1,2)．例题10.比较下列各组值的大小：(1)log 534与log 543；(2)log 132与log 152；(3)log 23与log 54.【解析】 (1)法一(单调性法)：对数函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，所以log 534<log 543.法二(中间值法)：因为log 534<0，log 543>0，所以log 534<log 543.(2)法一(单调性法)：由于log 132＝1log 213，log 152＝1log 215，又因对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，且13>15，所以0>log 213>log 215，所以1log 213<1log 215，所以log 132<log 152.法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y ＝log 13x 及y ＝log 15x 的图象，由图易知：log 132<log 152.(3)取中间值1，因为log 23>log 22＝1＝log 55>log 54，所以log 23>log 54. 五易错点分析易错一指数幂运算中的条件求值例题11.已知a 12＋a －12＝4，求下列各式的值： (1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2.【解析】(1)将a 12＋a －12＝4两边平方，得a ＋a －1＋2＝16，故a ＋a －1＝14. (2)将a ＋a －1＝14两边平方，得a 2＋a －2＋2＝196，故a 2＋a －2＝194. 误区警示已知条件求值时，注意把条件作为整体，找条件与所求结论的关系，根据关系利用合适的公式求解。

2019-2020学年高一数学人教A版必修1练习：2.2.2 对数函数及其性质 Word版含解析

2.2.2　对数函数及其性质课后篇巩固提升基础巩固1.y=2x与y=log2x的图象关于( )A.x轴对称B.直线y=x对称C.原点对称D.y轴对称y=2x与y=log2x互为反函数,故函数图象关于直线y=x对称.2.函数y=ln(1-x)的图象大致为( )(-∞,1),且函数在定义域上单调递减,故选C.3.已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数,且a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是( )A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1y=log a (x+c )的图象是由y=log a x 的图象向左平移c 个单位长度得到的,结合题图知0<c<1.根据单调性易知0<a<1.4.已知a>0且a ≠1,函数y=log a x ,y=a x ,y=x+a 在同一坐标系中的图象可能是( )函数y=a x 与y=log a x 的图象关于直线y=x 对称,再由函数y=a x 的图象过(0,1),y=log a x 的图象过(1,0),观察图象知,只有C 正确.5.已知a=,b=log 2,c=lo ,则( )2-1313g 1213A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b0<a=<20=1,b=log 2<log 21=0,c=lo >lo =1,∴c>a>b.故选D .2-1313g 1213g 12126.若对数函数f (x )的图象经过点P (8,3),则f = .(12)f (x )=log a x (a>0,a ≠1),则log a 8=3,∴a 3=8,∴a=2.∴f (x )=log 2x ,故f =log 2=-1.(12)1217.将y=2x 的图象先 ,再作关于直线y=x 对称的图象,可得到函数y=log 2(x+1)的图象( )A.先向上平移一个单位长度B.先向右平移一个单位长度C.先向左平移一个单位长度D.先向下平移一个单位长度,可求出解析式或利用几何图形直观推断.8.已知函数f (x )=直线y=a 与函数f (x )的图象恒有两个不同的交点,则a 的取值范围{log 2x ,x >0,3x ,x ≤0,是 .f (x )的图象如图所示,要使直线y=a 与f (x )的图象有两个不同的交点,则0<a ≤1.9.作出函数y=|log 2x|+2的图象,并根据图象写出函数的单调区间及值域.y=log 2x 的图象,如图甲.再将y=log 2x 在x 轴下方的图象关于x 轴对称翻折到x 轴上方(原来在x 轴上方的图象不变),得函数y=|log 2x|的图象,如图乙;然后将y=|log 2x|的图象向上平移2个单位长度,得函数y=|log 2x|+2的图象,如图丙.由图丙得函数y=|log 2x|+2的单调递增区间是[1,+∞),单调递减区间是(0,1),值域是[2,+∞).10.已知对数函数y=f(x)的图象经过点P(9,2).(1)求y=f(x)的解析式;(2)若x∈(0,1),求f(x)的取值范围.(3)若函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称,求y=g(x)的解析式.设f(x)=log a x(a>0,且a≠1).由题意,f(9)=log a9=2,故a2=9,解得a=3或a=-3.又因为a>0,所以a=3.故f(x)=log3x.(2)因为3>1,所以当x∈(0,1)时,f(x)<0,即f(x)的取值范围为(-∞,0).g1(3)因为函数y=g(x)的图象与函数y=log3x的图象关于x轴对称,所以g(x)=lo x.3能力提升1.函数y=log a(x+2)+1(a>0,且a≠1)的图象过定点( )A.(1,2)B.(2,1)C.(-2,1)D.(-1,1)x+2=1,得x=-1,此时y=1.2.若函数f (x )=log 2x 的反函数为y=g (x ),且g (a )=,则a=( )14A.2 B.-2 C. D.-1212,得g (x )=2x .∵g (a )=,∴2a =,∴a=-2.14143.若函数f (x )=log 2(x 2-ax-3a )在区间(-∞,-2]上是减函数,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,4)B.(-4,4]C.(-∞,4)∪[2,+∞)D.[-4,4)t (x )=x 2-ax-3a ,则由函数f (x )=log 2t 在区间(-∞,-2]上是减函数,可得函数t (x )在区间(-∞,-2]上是减函数,且t (-2)>0,所以有-4≤a<4,故选D .4.已知函数f (x )=a x +log a (x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ,则a 的值等于( )A. B.2 C.3D.1213y=a x 与y=log a (x+1)在[0,1]上的单调性相同,所以f (x )在[0,1]上的最大值与最小值之和为f (0)+f (1)=(a 0+log a 1)+(a 1+log a 2)=a ,整理得1+a+log a 2=a ,即log a 2=-1,解得a=.故选A .125.已知a=log 23.6,b=log 43.2,c=log 43.6,则a ,b ,c 的大小关系为 .a==2log 43.6=log 43.62,又函数y=log 4x 在区间(0,+∞)上是增函数,3.62>3.6>3.2,log 43.6log 42∴log 43.62>log 43.6>log 43.2,∴a>c>b.6.已知a>0且a ≠1,则函数y=a x 与y=log a (-x )在同一直角坐标系中的图象只能是下图中的 (填序号).方法一)首先,曲线y=a x 位于x 轴上方,y=log a (-x )位于y 轴左侧,从而排除①③.其次,从单调性考虑,y=a x 与y=log a (-x )的增减性正好相反,又可排除④.故只有②满足条件.(方法二)若0<a<1,则曲线y=a x 下降且过点(0,1),而曲线y=log a (-x )上升且过点(-1,0),所有选项均不符合这些条件.若a>1,则曲线y=a x 上升且过点(0,1),而曲线y=log a (-x )下降且过点(-1,0),只有②满足条件.(方法三)如果注意到y=log a (-x )的图象关于y 轴的对称图象为y=log a x 的图象,又y=log a x 与y=a x 互为反函数(两者图象关于直线y=x 对称),则可直接选②.7.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,若当x ∈(0,+∞)时,f (x )=lg x ,则满足f (x )>0的x 的取值范围是 .f (x )的解析式为f (x )=其图象如右图所示.{lg x ,x >0,0,x =0,-lg (-x ),x <0,由函数图象可得不等式f (x )>0时,x 的取值范围为(-1,0)∪(1,+∞).-1,0)∪(1,+∞)8.设函数f (x )=ln(ax 2+2x+a )的定义域为M.(1)若1∉M ,2∈M ,求实数a 的取值范围;(2)若M=R ,求实数a 的取值范围.由题意M={x|ax 2+2x+a>0}.由1∉M ,2∈M 可得{a ×12+2×1+a ≤0,a ×22+2×2+a >0,化简得解得-<a ≤-1.{2a +2≤0,5a +4>0,45所以a 的取值范围为.(-45,-1](2)由M=R 可得ax 2+2x+a>0恒成立.当a=0时,不等式可化为2x>0,解得x>0,显然不合题意;当a ≠0时,由二次函数的图象可知Δ=22-4×a×a<0,且a>0,即化简得解得a>1.{4-4a 2<0,a >0,{a 2>1,a >0,所以a 的取值范围为(1,+∞).9.已知函数f (x )=log 2(a 为常数)是奇函数.1+ax x -1(1)求a 的值与函数f (x )的定义域;(2)若当x ∈(1,+∞)时,f (x )+log 2(x-1)>m 恒成立,求实数m 的取值范围.∵函数f (x )=log 2是奇函数,1+axx -1∴f (-x )=-f (x ).∴log 2=-log 2.1-ax -x -11+ax x -1即log 2=log 2,∴a=1.ax -1x +1x -11+ax 令>0,解得x<-1或x>1.1+x x -1所以函数的定义域为{x|x<-1或x>1}.(2)f (x )+log 2(x-1)=log 2(1+x ),当x>1时,x+1>2,∴log 2(1+x )>log 22=1.∵x ∈(1,+∞),f (x )+log 2(x-1)>m 恒成立,∴m ≤1.故m 的取值范围是(-∞,1].。

2019-2020学年高一数学人教A版(2019)必修第一册教案：4.4.2 对数函数的图象和性质 Word版含答案

第四章指数函数与对数函数4.4 对数函数4.4.2 对数函数的图象和性质教学设计一、教学目标1.学会画出具体对数函数的图象，并能根据对数函数的图象说明对数函数的性质。

2.掌握对数函数图象和性质的应用，培养逻辑推理能力。

3.掌握反函数的定义。

二、教学重难点1.教学重点对数函数的图象和性质2.教学难点对数函数性质的应用三、教学过程1.新课导入我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称，那么对于底数互为倒数的两个对数函数，它们的图象是否也有某种对称关系呢？请同学们用描点法画出函数y=log2x和函数y=的图象，观察函数图象的特征。

2.探索新知由图像可知，函数y=log2x和函数y=的图象关于x轴对称。

选取底数a(a>0,且a≠1)的若干个不同的值,在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象。

观察这些图象的位置、公共点和变化趋势,它们有哪些共性？由此你能概括出对数函数y=log a x(a>0,且a≠1)的值域和性质吗？如图所示根据图象总结对数函数的性质，如下表学习课本P133例3、P134例4，学会利用对数函数的图象和性质解决问题。

根据课本P134总结反函数的定义，一个函数的定义域和值域正好是另一个函数的值域和定义域，这时就说这两个函数互为反函数。

一般地，指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数。

3.课堂练习1．若对数函数过点(4,2)，则其解析式为________．答案：f(x)＝log2x解析：[设对数函数的解析式为f(x)＝log a x(a>0且a≠1)．由f(4)＝2得log a4＝2，所以a＝2，即f(x)＝log2x.]2．函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域为________．答案：(－1，＋∞)解析： [由x＋1>0得x>－1，故f(x)的定义域为(－1，＋∞)．] 4.小结作业小结：本节课学习了对数函数的图象和性质，以及学习了反函数的定义。

2019-2020学年高中数学(人教A版)必修一课时作业：2.2对数函数.2 第2课时 Word版含解析

第二章 2.2 2.2.2 第二课时A 级基础巩固一、选择题1．下列函数在其定义域内为偶函数的是导学号 69174785( D ) A ．y ＝2xB ．y ＝2xC ．y ＝log 2xD ．y ＝x 22．函数y ＝|lg(x ＋1)|的图象是导学号 69174786( A )[解析] 函数y ＝|lg(x ＋1)|的图象过点(0,0)，且函数值非负，故选A ． 3．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则导学号 69174787( D ) A ．a <c <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c[解析] a ＝log 54<1，log 53<log 54<1， b ＝(log 53)2<log 53，c ＝log 45>1，故b <a <c .4．已知f (x )＝log 3x ，则f (14)，f (12)，f (2)的大小是导学号 69174788( B )A ．f (14)>f (12)>f (2)B ．f (14)<f (12)<f (2)C ．f (14)>f (2)>f (12)D ．f (2)>f (14)>f (12)[解析] 由函数y ＝log 3x 的图象知，图象呈上升趋势，即随x 的增大，函数值y 在增大，故f (14)<f (12)<f (2)．5．若a ＝log 3π，b ＝log 76，c ＝log 20.8，则导学号 69174789( A ) A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．b >c >a[解析] ∵a ＝log 3π>log 33＝1，0<b <log 76<log 77＝1，c ＝log 20.8<log 21＝0. 故a >b >c .6．设a ＝log 13 2，b ＝log 1213，c ＝(12)0.3，则导学号 69174790( A )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c[解析] ∵log 13 2＜log 13 1＝0，log 12 13＞log 12 12＝1，0＜(12)0.3＜(12)0＝1，∴a ＜c ＜b ，故选A ．二、填空题7．求下列各式中a 的取值范围：导学号 69174791 (1)log a 3<log a π，则a ∈__(1，＋∞)__； (2)log 5π<log 5a ，则a ∈__(π，＋∞)__．8．函数f (x )＝lg x 2的单调减区间为__(－∞，0)__.导学号 69174792[解析] 设f (x )＝lg t ，t ＝x 2，由复合函数性质得f (x )＝lg x 2减区间即为t ＝x 2的减区间(－∞，0)．三、解答题9．已知f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)，(a ＞0且a ≠1).导学号 69174793 (1)求函数f (x )的定义域，值域； (2)若函数f (x )有最小值为－2，求a 的值．[解析] (1)⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，x ＋3＞0，∴定义域为{x |－3＜x ＜1}．f (x )＝log a (－x 2－2x ＋3)，令t ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4， ∵x ∈(－3,1)，∴t ∈(0,4]． ∴f (t )＝log a t ，t ∈(0,4]．当0＜a ＜1时，y min ＝f (4)＝log a 4，值域为[log a 4，＋∞)．当a ＞1时，值域为(－∞，log a 4]．(2)y min ＝－2，由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，loga4＝－2，得a ＝12.10．已知函数f (x )＝log 2(2＋x 2).导学号 69174794 (1)判断f (x )的奇偶性； (2)求函数f (x )的值域．[解析] (1)因为2＋x 2＞0对任意x ∈R 都成立，所以函数f (x )＝log 2(2＋x 2)的定义域是R . 因为f (－x )＝log 2[2＋(－x )2]＝log 2(2＋x 2)＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数． (2)由x ∈R 得2＋x 2≥2， ∴log 2(2＋x 2)≥log 22＝1，即函数y ＝log 2(2＋x 2)的值域为[1，＋∞)．B 级素养提升一、选择题1．已知函数f (x )＝log a (x 2＋2x －3)，若f (2)＞0，则此函数的单调递增区间是导学号 69174795( D ) A ．(－∞，－3) B ．(1，＋∞)∪(－∞－3) C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)[解析] ∵f (2)＝log a 5＞0＝log a 1，∴a ＞1.由x 2＋2x －3＞0，得函数f (x )的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．设u ＝x 2＋2x －3，则此函数在(1，＋∞)上为增函数．又∵y ＝log a u (a ＞1)在(1，＋∞)上也为增函数， ∴函数f (x )的单调递增区间是(1，＋∞)，故选D ．2．(2016·成都高一检测)函数y ＝错误!的定义域是错误!( B ) A ．(1,2]B ．(1,2)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，2)[解析] 要使函数有意义，应有⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，2－x>0，∴1<x <2.故选B ．3．设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则导学号 69174797( A ) A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a[解析] a ＝log 3π＞1，b ＝log 23＝12log 23∈(12，1)，c ＝log 32＝12log 32∈(0，12)，所以a ＞b ＞c ，故选A ．4．若函数f (x )＝log 12 (x 2＋ax ＋6)在(3，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是导学号 69174798( A )A ．[－5，＋∞)B ．[－6，＋∞)C ．(－∞，－6]D ．(－∞，－5][解析] ∵f (x )在(3，＋∞)单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≤3，32＋3a ＋6≥0，∴a ≥－5.二、填空题5．(2016·吉林高一检测)已知函数f (x )满足当x ≥4时f (x )＝(12)x ；当x <4时f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝__124__.导学号 69174799[解析] f (2＋log 23)＝f (2＋log 23＋1)＝f (log 224)＝(12)log 224＝12log224＝124.6．已知函数y ＝log a x 在区间[2，＋∞)上恒有y ＞1，则a 的取值范围为__1＜a ＜2__.导学号 69174800 [解析] 若0＜a ＜1，则在[2，＋∞)上不会恒有log a x ＞1，∴a ＞1，∴y ＝log a x 为增函数．当x ∈[2，＋∞)时，log a x ≥log a 2.∵y ＞1恒成立，∴log a 2＞1，∴a ＜2，∴1＜a ＜2.C 级能力拔高1．设f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝log 12 x .导学号 69174801(1)求当x <0时，f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )≤2.[解析] (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )，又f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－log 12 (－x )．故当x <0时，f (x )＝－log 12 (－x )．(2)由题意及(1)知，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x>0log 12 x ≤2，或⎩⎪⎨⎪⎧x<0－log 12 (－x )≤2，解得x ≥14或－4≤x <0.2．已知函数f (x )＝log a (3＋2x )，g (x )＝log a (3－2x )(a ＞0，且a ≠1).导学号 69174802 (1)求函数f (x )－g (x )的定义域；(2)判断函数f (x )－g (x )的奇偶性，并予以证明； (3)求使f (x )－g (x )＞0的x 的取值范围．[解析] (1)使函数f (x )－g (x )有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧3＋2x ＞0，3－2x ＞0，解得－32＜x ＜32.所以函数f (x )－g (x )的定义域是{x |－32＜x ＜32}．(2)由(1)知函数f (x )－g (x )的定义域关于原点对称．f (－x )－g (－x )＝log a (3－2x )－log a (3＋2x )＝－[log a (3＋2x )－log a (3－2x )]＝－[f (x )－g (x )]， ∴函数f (x )－g (x )是奇函数．(3)f (x )－g (x )＞0，即log a (3＋2x )＞log a (3－2x )．当a ＞1时，有⎩⎪⎨⎪⎧3＋2x ＞3－2x ，3－2x ＞0，3＋2x ＞0，解得x 的取值范围是(0，32)．当0＜a ＜1时，有⎩⎪⎨⎪⎧3＋2x ＜3－2x ，3－2x ＞0，3＋2x ＞0，解得x 的取值范围是(－32，0)．综上所述，当a ＞1时，x 的取值范围是(0，32)；当0＜a ＜1时，x 的取值范围是(－32，0)．。

2019_2020学年高中数学课时作业20对数函数的图象与性质课件新人教A版必修1

解析：
6．函数 f(x)＝xa 满足 f(2)＝4，那么函数 g(x)＝|loga(x＋1)|的
图象大致为( C )
解析：由 f(2)＝2a＝4，得 a＝2. 所以 g(x)＝|log2(x＋1)|，则 g(x)的图象由 y＝|log2x|的图象向左平移一个单位得到，C 满足．
二、填空题
7．函数 f(x)＝ 1－2log5x的定义域为 (0， 5] ．
解析：由 1－2log5x≥0，得 log5x≤12，故 0<x≤ 5.
8．已知函数 f(x)＝l3oxg，2xx，≤x0>，0，直线 y＝a 与函数 f(x)的图
象恒有两个不同的交点，则 a 的取值范围是 (0,1]．
解析：函数 f(x)的图象如图所示，要使直线 y＝a 与 f(x)的图象有两个不同的交点，则 0<a≤1.
故当 t＝32时，y 取最小值，最小值为－18；当 t＝3 时，y 取最大值，最大值为 1. 所以函数 G(x)＝f(x)·g(x)的值域为－18，1.
——能力提升类—— 12．在同一坐标系中画出函数 y＝logax，y＝ax，y＝x＋a 的
图象，可能正确的是( D )
解析：A 图中，由直线图象可知，直线 y＝x＋a 与 y 轴的交点(0，a)在(0,1)的下方，所以 0<a<1，指数函数与对数函数都应是减函数，而两函数图象都是单调递增的，故不合题意；B 图中，由直线图象可知，直线 y＝x＋a 与 y 轴的交点(0，a)在(0,1) 的上方，所以 a>1，指数函数与对数函数都应是增函数，而两函数图象都是单调递减的，故不合题意；C 图中，指数函数与对数函数图象不关于直线 y＝x 对称，故不合题意；D 图中，由直线图象可知，直线 y＝x＋a 与 y 轴的交点(0，a)在(0,1)的上方，所以 a>1，指数函数与对数函数都应是增函数，且图象关于直线 y＝x 对称，故满足条件．选 D.

2019-2020学年高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ) 2.2.2 对数函数及其性质第1课时对数函数的图象与性质

第1课时对数函数的图象与性质[目标] 1.记住对数函数的定义、图象和性质；2.会利用对数函数的图象和性质解答有关问题；培养直观想象核心素养．[重点] 对数函数的定义、图象和性质．[难点] 对数函数性质的概括总结.知识点一对数函数的概念[填一填]1．一般地，我们把函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量．2．对数函数y＝log a x的定义域为(0，＋∞)，值域为R.[答一答]1．为什么在对数函数中要求a>0，且a≠1?提示：根据对数式与指数式的关系知，y＝log a x可化为a y＝x，联想指数函数中底数的范围，可知a>0，且a≠1.2．下列函数是对数函数的是( C )A．y＝log a2x(a>0，a≠1)B．y＝log a(x2＋1)(a>0，a≠1)x(a>0，a≠1)C．y＝log1aD．y＝2lg x解析：在对数函数的定义表达式y＝log a x(a>0且a≠1)中，log a x前面的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则不是对数函数．所以选C.知识点二对数函数的图象与性质[填一填][答一答]3．怎样可以快速画出对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的草图？提示：根据对数函数的性质可知，对数函数的图象都经过点(1a，－1)，(1,0)，(a,1)，且图象都在第一、四象限内，据此可以快速地画出对数函数y ＝log a x 的草图．4．对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)，当a >1，x 取何值时，y >0？x 取何值时，y <0？当0<a <1呢？提示：结合对数函数的图象可知，当a >1时，若x >1，则y >0；若0<x <1，则y <0. 当0<a <1时，若x >1，则y <0；若0<x <1，则y >0.类型一对数函数的概念[例1] 已知对数函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12. ①求f (x )的解析式； ②解方程f (x )＝2.[分析] 根据已知设出函数解析式，代入点的坐标求出对数函数的底数；然后利用“指对互化”解方程．[解] ①由题意设f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，由函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12可得f (4)＝12，即log a 4＝12，所以4＝a 12，解得a ＝16，故f (x )＝log 16x .②方程f (x )＝2，即log 16x ＝2，所以x ＝162＝256.利用待定系数法求对数函数的解析式时，常常遇到解方程，比如log a m ＝n ，这时先把对数式log a m ＝n 化为指数式的形式a n＝m ，把m 化为以n 为指数的指数幂形式m ＝k n(k >0，且k ≠1)，解得a ＝k >0.还可以直接写出a ＝m 1n ，再利用指数幂的运算性质化简m 1n.[变式训练1] (1)已知对数函数f (x )的图象过点(8,3)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－5. (2)已知函数f (x )＝(2m 2－m )log a x ＋m －1是对数函数，则m ＝1. 解析：(1)设f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，则3＝log a 8，∴a 3＝8，a ＝2. ∴f (x )＝log 2x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝log 2132＝log 22－5＝－5.(2)因为函数f (x )是对数函数，则⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－m ＝1，m －1＝0，解得m ＝1.类型二对数函数图象的有关问题命题视角1：对数函数的底与图象变化的关系[例2] 对数函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x 在同一坐标系内的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是________．[答案] a>b>c>d[解析] 利用数形结合法，画出直线y＝1判断，亦可根据在第一象限内顺时针旋转底数逐渐增大解决．如图，作直线y＝1，则该直线与各函数图象必各交于一点，由log a a＝1可知，各交点的横坐标分别为各函数底数，从而可知a>b>c>d.在第一象限内顺时针旋转，底数逐渐增大，故a>b>c>d.当0<a<1时，对数函数的图象是下降的，而且随着a由大变小，图象下降的速度变慢．当a>1时，对数函数的图象是上升的，而且随着a由小变大，图象上升的速度变慢．[变式训练2] 已知a>0，且a≠1，则函数y＝a x与y＝log a(－x)的图象只能是( B )解析：方法一若0<a<1，则函数y＝a x的图象下降且过点(0,1)，而函数y＝log a(－x)的图象上升且过点(－1,0)，以上图象均不符合．若a>1，则函数y＝a x的图象上升且过点(0,1)，而函数y＝log a(－x)的图象下降且过点(－1,0)，只有B中图象符合．方法二首先指数函数y＝a x的图象只可能在上半平面，函数y＝log a(－x)的图象只可能在左半平面，从而排除A，C；再看单调性，y＝a x与y＝log a(－x)的单调性正好相反，排除D.只有B中图象符合．命题视角2：图象过定点问题[例3] 函数y＝log a(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．[答案](0，－2)[解析] 因为函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，则令x＋1＝1得x＝0，此时y＝log a(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝log a(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2)．求函数y＝m＋log a f(x)(a>0，且a≠1)的图象过的定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m).[变式训练3] 函数y＝2log a|1－x|＋1(a>0且a≠1)的图象恒过定点(0,1)或(2,1)．解析：令|1－x|＝1，则x＝0或2，此时y＝1.所以函数图象过定点(0,1)或(2,1)．命题视角3：对数函数图象的变换与识别[例4] 作出函数y＝|log2(x＋1)|＋2的图象．[分析] 充分利用图象变换，即平移变换、翻折变换作图象．[解] 第一步：作出y＝log2x的图象(如图(1))；第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度得y＝log2(x＋1)的图象(如图(2))；第三步：将y＝log2(x＋1)在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴的上方得y＝|log2(x＋1)|的图象(如图(3))；第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，得到y＝|log2(x＋1)|＋2的图象(如图(4))．(1)作函数图象的基本方法是列表描点法．另外，对形如y＝f(|x|)的函数，可先作出y ＝f(x)的图象在y轴右侧的部分，再作关于y轴对称的图象，即可得到y＝f(|x|)的图象．对于函数y＝|f(x)|，可先作出y＝f(x)的图象，然后x轴上方的不动，下方的关于x轴翻折上去即可得到y＝|f(x)|的图象．(2)如果只需要作出函数的大致图象时，可采用图象变换的方法．[变式训练4] 画出下列函数的图象，并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间：(1)y ＝log 3(x －2)；(2)y ＝|log 12x |.解：(1)函数y ＝log 3(x －2)的图象如图①.其定义域为(2，＋∞)，值域为R ，在区间(2，＋∞)上是增函数．(2)y ＝|log 12 x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，0<x ≤1，log 2x ，x >1，其图象如图②.其定义域为(0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，在(0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．类型三对数函数的定义域[例5] 求下列函数的定义域： (1)y ＝log 5(1－x )； (2)y ＝log 1－x 5； (3)y ＝log 0.5(4x －3) . [分析] 函数解析式有意义→列关于自变量的不等式(组)→得定义域[解] (1)要使函数式有意义，需1－x >0，解得x <1，所以函数y ＝log 5(1－x )的定义域是{x |x <1}．(2)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，1－x ≠1，解得x <1，且x ≠0，所以函数y ＝log 1－x 5的定义域是{x |x <1，且x ≠0}．(3)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧4x －3>0，log 0.5(4x －3)≥0，解得34<x ≤1，所以函数y ＝log 0.5(4x －3)的定义域是{x |34<x ≤1}．定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.[变式训练5] 求下列函数的定义域．(1)f (x )＝11－log 3(x －1)；(2)f (x )＝解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，log 3(x －1)≠1，得⎩⎪⎨⎪⎧x >1，x ≠4.∴定义域为(1,4)∪(4，＋∞)．1．若f (x )＝，则f (x )的定义域为( C ) A ．(－12，0)B ．(－12，＋∞)C ．(－12，0)∪(0，＋∞)D ．(－12，2)解析：由题得：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，2x ＋1≠1，解得x >－12且x ≠0.2．函数y ＝2＋log 5x (x ≥1)的值域为( C ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．[2，＋∞)D ．[3，＋∞)解析：由x ≥1知log 5x ≥0，y ≥2，值域是[2，＋∞)． 3．函数y ＝log a (x －1)－1的图象过定点(2，－1)．解析：∵令x －1＝1，则y ＝－1，∴该函数过定点(2，－1)．4.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b (x ≤0)，log c (x ＋19)(x >0)的图象如图所示，则a ＋b ＋c ＝133.解析：由图象可求得直线的方程为y ＝2x ＋2，又函数y ＝log c (x ＋19)的图象过点(0,2)，将其坐标代入可得c ＝13，所以a ＋b ＋c ＝2＋2＋13＝133.5．设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，求实数a 的值．解：∵a >1，∴f (x )＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数． ∴最大值为f (2a )，最小值为f (a )． ∴f (2a )－f (a )＝log a 2a －log a a ＝12，即log a 2＝12.∴a ＝4.——本课须掌握的两大问题1．只有形如y ＝log a x (a >0且a ≠1)的函数才是对数函数．例如，y ＝log 3x ，y ＝log 14 x等都是对数函数；而y ＝log 3(x ＋1)，y ＝2log 3x 等都不是对数函数．2．在对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)中，无论a 取何值，对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象均过点(1,0)，函数图象落在第一、四象限，且当0<a <1时函数单调递减，当a >1时函数单调递增．学习至此，请完成课时作业20。

2019_2020学年新教材高中数学课时跟踪检测(二十六)对数函数的图象和性质新人教A版必修第一册

课时跟踪检测（二十六）对数函数的图象和性质A 级——学考水平达标练1．下列式子中成立的是( ) A ．log 0.44＜log 0.46 B ．1.013.4＞1.013.5C ．3.50.3＜3.40.3D ．log 76＜log 67解析：选D 因为y ＝log 0.4x 为减函数，故log 0.44＞log 0.46，故A 错；因为y ＝1.01x为增函数，所以1.013.4＜1.013.5，故B 错；由幂函数的性质知，3.50.3＞3.40.3，故C 错．2．已知a ＝2-13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b解析：选D ∵0＜a ＝2-13＜20＝1，b ＝log 213＜log 21＝0，c ＝log 1213＞log 1212＝1，∴c ＞a ＞b .故选D.3．函数f (x )＝log 2(1－x )的图象为()解析：选A 函数的定义域为(－∞，1)，排除B 、D ，函数f (x )＝log 2(1－x )在定义域内为减函数，排除C ，故A 正确．4．函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数的图象过点(a ，a )，则a 的值为( ) A ．2 B ．12 C ．2或12D ．3解析：选B 法一：函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数为y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，故y ＝log a x 的图象过点(a ，a )，则a ＝log a a ＝12.法二：∵函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数的图象过点(a ，a )，∴函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象过点(a ，a )，∴a a＝a ＝a 12，即a ＝12.5．若点(a ，b )在函数f (x )＝ln x 的图象上，则下列点中，不在函数f (x )图象上的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－b B ．(a ＋e,1＋b )C.⎝ ⎛⎭⎪⎫e a，1－b D ．(a 2,2b )解析：选B 因为点(a ，b )在f (x )＝ln x 的图象上，所以b ＝ln a ，所以－b ＝ln 1a，1－b ＝ln e a，2b ＝2ln a ＝ln a 2，故选B.6．函数f (x )＝ln(2－x )的单调减区间为________．解析：由2－x ＞0，得x ＜2.又函数y ＝2－x ，x ∈(－∞，2)为减函数， ∴函数f (x )＝ln(2－x )的单调减区间为(－∞，2)．答案：(－∞，2)7．函数f (x )＝ln(x ＋2)＋ln(4－x )的单调递减区间是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＞0，4－x ＞0得－2＜x ＜4，因此函数f (x )的定义域为(－2,4)．f (x )＝ln(x ＋2)＋ln(4－x )＝ln(－x 2＋2x ＋8)＝ln[－(x －1)2＋9]，设u ＝－(x －1)2＋9，又y ＝ln u 是增函数，u ＝－(x －1)2＋9在(1,4)上是减函数，因此f (x )的单调递减区间为(1,4)．答案：(1,4)8．已知函数y ＝log a (2－ax )(a >0，且a ≠1)在[0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：令u ＝2－ax ，则y ＝log a u ，因为a ＞0，所以u ＝2－ax 递减，由题意知y ＝log a u 在[0,1]内递增，所以a ＞1.又u ＝2－ax 在x ∈[0,1]上恒大于0，所以2－a ＞0，即a ＜2.综上，1＜a ＜2.答案：(1,2)9．比较下列各组数的大小 (1)log 0.13与log 0.1π； (2)log 45与log 65； (3)3log 45与2log 23；(4)log a (a ＋2)与log a (a ＋3)(a ＞0且a ≠1)．解：(1)∵函数y ＝log 0.1x 是减函数，π>3， ∴log 0.13>log 0.1π.(2)法一：∵函数y ＝log 4x 和y ＝log 6x 都是增函数， ∴log 45>log 44＝1，log 65<log 66＝1.∴log 45>log 65.法二：画出y ＝log 4x 和y ＝log 6x 在同一坐标系中的图象如图所示，由图可知log 45＞log 65.(3)∵3log 45＝log 453＝log 4125＝log 2125log 24＝12log 2125＝log 2125，2log 23＝log 232＝log 29，又∵函数y ＝log 2x 是增函数，125>9， ∴log 2125>log 29，即3log 45>2log 23. (4)∵a ＋2＜a ＋3，故①当a ＞1时，log a (a ＋2)＜log a (a ＋3)； ②当0＜a ＜1时，log a (a ＋2)＞log a (a ＋3)．10．已知f (x )＝|lg x |，且1c＞a ＞b ＞1，试比较f (a )，f (b )，f (c )的大小．解：先作出函数y ＝lg x 的图象，再将图象位于x 轴下方的部分折到x 轴上方，于是得f (x )＝|lg x |图象(如图)，由图象可知，f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．由1c ＞a ＞b ＞1得：f1c＞f (a )＞f (b )，而f 1c ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪lg 1c ＝|－lg c |＝|lg c |＝f (c )．∴f (c )＞f (a )＞f (b )．B 级——高考水平高分练1．若函数f (x )＝(k －1)a x－a －x(a ＞0，且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的大致图象是( )解析：选A f (x )＝(k －1)a x －a －x (a ＞0，且a ≠1)在R 上是奇函数，∴f (0)＝(k －1)a－a 0＝k －2＝0，∴k ＝2.∵f (x )是减函数，∴0＜a ＜1，∴g (x )＝log a (x ＋k )的图象是选项A 中的图象．2．(2018·全国卷Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b <ab <0 B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<abD ．ab <0<a ＋b解析：选B ∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0，b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0.∵a ＋b ab ＝1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4，∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0，∴0<a ＋bab<1，∴ab <a ＋b <0.3．是否存在实数a ，使函数y ＝log a (ax 2－x )在区间[2,4]上是增函数？如果存在，求出a 的取值范围；如果不存在，请说明理由．解：存在．设u ＝g (x )＝ax 2－x ，则y ＝log a u .假设符合条件的a 值存在． (1)当a ＞1时，只需g (x )在[2,4]上为增函数，故应满足⎩⎪⎨⎪⎧12a≤2，g (2)＝4a －2＞0.解得a ＞12.∴a ＞1.(2)当0＜a ＜1时，只需g (x )在[2,4]上为减函数，故应满足⎩⎪⎨⎪⎧12a≥4，g (4)＝16a －4＞0.无解．综上所述，当a ＞1时，函数y ＝log a (ax 2－x )在[2,4]上是增函数． 4．设函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎪⎫1－a x，其中0＜a ＜1.(1)证明：f (x )是(a ，＋∞)上的减函数； (2)若f (x )＞1，求x 的取值范围．解：(1)证明：任取x 1，x 2∈(a ，＋∞)，不妨令0＜a ＜x 1＜x 2，g (x )＝1－a x，则g (x 1)－g (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a x 2＝a (x 1－x 2)x 1x 2，∵0＜a ＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，∴g (x 1)－g (x 2)＜0， ∴g (x 1)＜g (x 2)，∴g (x )为增函数，又∵0＜a ＜1，∴f (x )是(a ，＋∞)上的减函数． (2)∵log a ⎝⎛⎭⎪⎫1－a x＞1，∴0＜1－a x＜a ，∴1－a ＜a x＜1.又∵0＜a ＜1，∴1－a ＞0， ∴a ＜x ＜a1－a，∴x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 1－a .5．森林具有净化空气的功能，经研究发现，森林净化空气量Q 与森林面积S 的关系是Q ＝50log 2S10.(1)若要保证森林具有净化效果(Q ≥0)，则森林面积至少为多少个单位？ (2)当某森林面积为80个单位时，它能净化的空气量为多少个单位？解：(1)由题意，当Q ＝0时，代入关系式可得0＝50log 2S10，解得S ＝10，因为Q 随S 的增大而增大，所以当Q ＞0时S ≥10. 所以森林面积至少有10个单位． (2)将S ＝80代入关系式，得Q ＝50log 28010＝150，所以当森林面积为80个单位时，它能净化的空气量为150个单位．。

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课时分层作业(十九) 对数函数的图象及性质
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课时分层作业(十九) 对数函数的图象及性质
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题

1．函数y＝1log2（x－2）的定义域为( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(2，3)∪(3，＋∞) D．(2，4)∪(4，＋∞)

C [要使函数有意义，则x－2>0，log2（x－2）≠0，解得x＞2且x≠3，故选C.]

2．若函数y＝f(x)是函数y＝3x的反函数，则f12的值为( )
A．－log23 B．－log32
C．19 D．3

B [由题意可知f(x)＝log3x，所以f12＝log312＝－log32，故选B.]
3．如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则( )

A．0B．0C．a>b>1
D．b>a>1
B [作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知04．函数y＝log2x的定义域是[1，64)，则值域是( )
A．R B．[0，＋∞)
C．[0，6) D．[0，64)
C [由函数y＝log2x的图象可知y＝log2x在[0，＋∞)上是增函数，因此，当x∈[1，64)
时，y∈[0，6)．]
5．函数f(x)＝loga(x＋2)(0A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
课时分层作业(十九) 对数函数的图象及性质
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A [∵f(x)＝loga(x＋2)(0＜a＜1)，∴其图象如下图所示，故选A.

]
二、填空题
6．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝________．
－7 [由f(3)＝1得log2(32＋a)＝1，所以9＋a＝2，解得a＝－7.]
7．已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
(4，－1) [y＝logax的图象恒过点(1，0)，令x－3＝1，得x＝4，则y＝－1.]
8．已知对数函数f(x)的图象过点(8，－3)，则f(22)＝________．

－32 [设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，

则－3＝loga8，∴a＝12，
∴f(x)＝log12x，f(22)＝log12(22)＝－log2(22)＝－32.]
三、解答题
9．若函数y＝loga(x＋a)(a>0且a≠1)的图象过点(－1，0)．
(1)求a的值；
(2)求函数的定义域．
[解] (1)将(－1，0)代入y＝loga(x＋a)(a>0，a≠1)中，有0＝loga(－1＋a)，则－1＋
a＝1，所以a
＝2.

(2)由(1)知y＝log2(x＋2)，由x＋2>0，解得x>－2，
所以函数的定义域为{x|x>－2}．
10．若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg(x＋1)，求f(x)
的表达式，并画出大致图象．
[解] ∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0.
又当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∴f(－x)＝lg(1－x)．
又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－lg(1－x)，
课时分层作业(十九) 对数函数的图象及性质
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∴f(x)的解析式为f(x)＝lg（x＋1），x>0，0，x＝0，－lg（1－x），x<0，
∴f(x)的大致图象如图所示．

[等级过关练]
1．函数y＝xln(1－x)的定义域为( )
A．(0，1) B．[0，1)
C．(0，1] D．[0，1]

B [由x≥0，1－x>0，得0≤x<1，故选B.]
2．已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是( )

A B C D
B [由lg a＋lg b＝0，得lg(ab)＝0，所以ab＝1，故a＝1b，所以当0＜b＜1时，a＞1；
当b＞1时，0＜a＜1.
又因为函数y＝－logbx与函数y＝logbx的图象关于x轴对称．利用这些信息可知选项B
符合0＜b＜1且a＞1的情况．]

3．已知函数f(x)＝log2x，x>0，2x，x≤0，若f(a)＝12，则a＝________．
－1或2 [当x>0时，f(x)＝log2x，
由f(a)＝12得log2a＝12，即a＝2.

当x≤0时，f(x)＝2x，由f(a)＝12得2a＝12，a＝－1.
综上a＝－1或2.]
4．设函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，若f(x1x2…x2 019)＝8，则f(x21)＋f(x22)＋…＋f(x22 019)
的值等于________．
16 [∵f(x21)＋f(x22)＋f(x23)＋…＋f(x22 019)
课时分层作业(十九) 对数函数的图象及性质
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＝logax21＋logax22＋logax23＋…＋logax22 019
＝loga(x1x2x3…x2 019)2
＝2loga(x1x2x3…x2 019)＝2×8＝16.]

5．若不等式x2－logmx<0在0，12内恒成立，求实数m的取值范围．
[解] 由x2－logmx<0，得x2示．

要使x20∵x＝12时，y＝x2＝14，∴只要x＝12时，y＝logm12≥14＝logmm14，∴12≤m14，即116≤m.

又0即实数m的取值范围是116，1.