2019高考数学二轮复习课时跟踪检测十六直线与圆小题练理
高考数学二轮复习直线与圆复习题及答案解析
专题限时集训(九) 直线与圆[专题通关练] (建议用时：30分钟)1．(2019·江阴模拟)点P 是直线x ＋y －2＝0上的动点，点Q 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，则线段PQ 长的最小值为( )A.2－1 B ．1 C.2＋1D ．2A [根据题意，圆x 2＋y 2＝1的圆心为(0,0)，半径r ＝1，圆心(0,0)到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝|2|2＝2，则线段PQ 长的最小值为2－1，故选A.]2．直线l 1：mx －2y ＋1＝0，l 2：x －(m －1)y －1＝0，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件C [由l 1∥l 2得－m (m －1)＝1×(－2)，得m ＝2或m ＝－1，经验证，当m ＝－1时，直线l 1与l 2重合，不合题意．所以“m ＝2”是“l 1∥l 2”的充要条件，故选C.]3．圆x 2－4x ＋y 2＝0与圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0的公切线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条D [根据题意，圆x 2－4x ＋y 2＝0，即(x －2)2＋y 2＝4，其圆心坐标为(2,0)，半径为2； 圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0，即圆(x ＋2)2＋y 2＝1，其圆心坐标为(－2,0)，半径为1； 则两圆的圆心距为4，两圆半径和为3，因为4＞3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共4条．故选D.]4．直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( ) A.π6或5π6B ．－π3或π3C ．－π6或π6D.π6A [由题意可知，圆心P (2,3)，半径r ＝2， ∴圆心P 到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|2k |1＋k2，由d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝r 2，可得4k 21＋k 2＋3＝4，解得k ＝±33.设直线的倾斜角为α，则tan α＝±33，又α∈[0，π)， ∴α＝π6或5π6.]5．在平面直角坐标系xOy 中，以(－2,0)为圆心且与直线(3m ＋1)x ＋(1－2m )y －5＝0(m ∈R )相切的所有圆中，面积最大的圆的标准方程是( )A ．(x ＋2)2＋y 2＝16 B ．(x ＋2)2＋y 2＝20 C ．(x ＋2)2＋y 2＝25D ．(x ＋2)2＋y 2＝36C [将直线(3m ＋1)x ＋(1－2m )y －5＝0变形为(3x －2y )m ＋(x ＋y －5)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝0，x ＋y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.即直线恒过定点M (2,3)．设圆心为P ，即P (－2,0)，由题意可知， 当圆的半径r ＝|MP |时，圆的面积最大，此时|MP |2＝r 2＝25. 即圆的标准方程为(x ＋2)2＋y 2＝25.]6．若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是________．x －y －3＝0 [记题中圆的圆心为O ，则O (1,0)，因为P (2，－1)是弦AB 的中点，所以直线AB 与直线OP 垂直，易知直线OP 的斜率为－1，所以直线AB 的斜率为1，故直线AB 的方程为x －y －3＝0.]7．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0(a >0)相交，公共弦的长为22，则a ＝________.102 [联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0，可得公共弦所在直线方程为ax ＋2ay －5＝0， 故圆心(0,0)到直线ax ＋2ay －5＝0的距离为 |－5|a 2＋4a 2＝5a(a >0)．故222－⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 2＝22，解得a 2＝52，因为a >0，所以a ＝102.]8．设P 为直线3x －4y ＋11＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 的面积的最小值为________．3 [圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心为C (1,1)，半径为r ＝1，根据对称性可知，四边形PACB 的面积为2S △APC ＝2×12|PA |r ＝|PA |＝|PC |2－r 2，要使四边形PACB 的面积最小，则只需|PC |最小，最小值为圆心到直线l ：3x －4y ＋11＝0的距离d ＝|3－4＋11|32＋－42＝105＝2. 所以四边形PACB 面积的最小值为|PC |2min －r 2＝4－1＝ 3.][能力提升练] (建议用时：20分钟)9．实数x ，y 满足x 2＋y 2＋2x ＝0，则yx －1的取值范围是( )A ．[－3，3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－33∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞ C [设yx －1＝t ，，则tx －y －t ＝0与圆(x ＋1)2＋y 2＝1有交点，∴圆心(－1,0)到直线tx－y －t ＝0的距离d ＝|－t －t |t 2＋1≤1，解得－33≤t ≤33.故选C.]10．(2019·赣州模拟)已知动直线y ＝kx －1＋k (k ∈R )与圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0(圆心为C )交于点A 、B ，则弦AB 最短时，△ABC 的面积为 ( )A ．3B ．6 C. 5D ．2 5D [根据题意，圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，其圆心为(1，－2)，半径r ＝3.动直线y ＝kx －1＋k ，即y ＋1＝k (x ＋1)，恒过定点P (－1，－1)，又由(－1－1)2＋(－1＋2)2＜9，可知点P (－1，－1)在圆C 的内部，动直线y ＝kx －1＋k (k ∈R )与圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0(圆心为C )交于点A 、B ，当P 为AB 的中点即CP 与AB 垂直时，弦AB 最短，此时|CP |＝5，弦AB 的长度为2×r 2－|CP |2＝4，此时，△ABC 的面积S ＝12×|CP |×|AB |＝12×4×5＝2 5.故选D.]11．若圆C ：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12m 2＝n 的圆心为椭圆M ：x 2＋my 2＝1的一个焦点，且圆C 经过椭圆M 的另一个焦点，则圆C 的标准方程为________．x 2＋(y ＋1)2＝4 [∵圆C 的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫0，－12m ，∴1m －1＝12m ，解得m ＝12.又圆C 经过M 的另一个焦点，则圆C 经过点(0,1)，从而n ＝4，故圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4.]12．(2019·九江二模)已知圆E 经过M (－1,0)，N (0,1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32三点．(1)求圆E 的方程；(2)若过点C (2,2)作圆E 的两条切线，切点分别是A ，B ，求直线AB 的方程． [解](1)根据题意，设圆E 的圆心E 坐标为(a ，b )，半径为r ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12＋b 2＝r 2，a 2＋b －12＝r 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋322＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，r ＝1，则圆E 的方程为x 2＋y 2＝1.(2)根据题意，过点C (2,2)作圆E 的两条切线，切点分别是A ，B ， 设以C 为圆心，CA 为半径的圆为圆C ，其半径为R ， 则有R ＝|CA |＝|OC |2－r 2＝7， 则圆C 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝7， 即x 2＋y 2－4x －4y ＋1＝0，又由直线AB 为圆E 与圆C 的公共弦所在的直线，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－4x －4y ＋1＝0，解得2x ＋2y －1＝0，则AB 的方程为：2x ＋2y －1＝0.题号 内容押题依据1点到直线的距离公式，数形由动态的观点，分析直线与圆的位置关系，并通过数结合思想 形结合的思想及方程思想确定方程的具体位置，体现了高考的最新动向2直线与圆的位置关系，平面向量，轨迹问题，根与系数的关系用代数的方法研究直线与圆的位置关系可以巧妙的将函数与方程，根与系数的关系等知识交汇在一起，考查考生的运算能力和等价转化能力【押题1】 已知直线l ：x －2y ＋4＝0，圆C ：(x －1)2＋(y ＋5)2＝80，那么圆C 上到l 的距离为5的点一共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个C [由圆C ：(x －1)2＋(y ＋5)2＝80，可得圆心C (1，－5)，半径R ＝45， 又圆心C (1，－5)到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1－2×－5＋4|12＋－22＝155＝35， 如图所示，由图象可知，点A ，B ，D 到直线x －2y ＋4＝0的距离都为5，所以圆C 上到l 的距离为5的点一共3个，故选C.]【押题2】 已知圆C ：(x －2)2＋(y －2)2＝16，点A (10,0)． (1)设点P 是圆C 上的一个动点，求AP 的中点Q 的轨迹方程； (2)直线l ：kx －y －10k ＝0与圆C 交于M ，N ，求AM →·AN →的值． [解](1)设Q (x ，y )，P (x 0，y 0)，则(x 0－2)2＋(y 0－2)2＝16， 由x ＝x 0＋102，y ＝y 0＋02，解得x 0＝2x －10，y 0＝2y .代入圆的方程可得：(2x －10－2)2＋(2y －2)2＝16， 即(x －6)2＋(y －1)2＝4.∴AP 的中点Q 的轨迹方程为：(x －6)2＋(y －1)2＝4.(2)直线l ：kx －y －10k ＝0与圆C 交于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 把直线l 的方程代入圆的方程可得：(x －2)2＋(kx －10k －2)2＝16， 化为：(1＋k 2)x 2－(20k 2＋4k ＋4)x ＋100k 2＋40k －12＝0.Δ＞0.∴x 1x 2＝100k 2＋40k －121＋k 2，x 1＋x 2＝20k 2＋4k ＋41＋k2. ∴AM →·AN →＝(x 1－10，y 1)(x 2－10，y 2)＝(x 1－10)(x 2－10)＋y 1y 2＝(x 1－10)(x 2－10)＋(kx 1－10k )(kx 2－10k )＝(1＋k 2)x 1x 2－(10k 2＋10)(x 1＋x 2)＋100＋100k 2＝(1＋k 2)100k 2＋40k －121＋k 2－(10k 2＋10)20k 2＋4k ＋41＋k2＋100＋100k 2＝48.。
高中数学理二轮课时跟踪检测直线与圆配套精选
课时跟踪检测十六直线与圆一、选择题1．直线1：－2＋1＝0与直线2：＋－3＝0平行，那么实数的值为A．－2 B．2C．－错误!D．错误!解析：选A∵直线1：－2＋1＝0与直线2：＋－3＝0平行，∴错误!＝错误!≠错误!，解得＝－．2．点＝0，假设该直线与圆－12＋2＝4相切，那么有错误!＝2，解得m＝6或－14，即要求直线的方程为4－3＝－6或4－3＝14，应选B．6．2021·袁州模拟点A0，错误!，B3,2错误!，假设圆C：－12＋2＝r2r>0上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为错误!，那么r的取值范围是A．1,3 B．1,2C．0,3 D．0,2解析：选A根据题意，A0，错误!，B3,2错误!，那么|AB|＝错误!＝2错误!，假设△MAB和△NAB的面积均为错误!，那么M，N到直线AB的距离相等，设M，N到直线AB的距离均为d，那么有错误!×2错误!×d＝错误!，那么d＝1，又由A0，错误!，B3,2错误!，那么直线AB的方程为－错误!＋3＝0，假设圆C上有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为错误!，那么直线MN与AB平行，且圆心C到直线AB的距离d′＝错误!＝2，分析可得：1<r<3，即r的取值范围为1,3．应选A．二、填空题7．2021·凉山州模拟直线1：a＋＋2＝0，直线2：＋＝0，假设1⊥2，那么a ＝________解析：直线1：a＋＋2＝0，直线2：＋＝0，假设1⊥2，那么1·a＋1×1＝0，解得a＝－1答案：－18．2021·常熟市校级月考直线过两直线＋2＋4＝0和2＋3－8＝0的交点，且过点0,1，那么直线的方程为______________．解析：直线过两直线＋2＋4＝0和2＋3－8＝0的交点，且过点0,1，联立错误!得＝28，＝－16，∴直线过点28，－16，0,1，∴直线的方程为错误!＝错误!，即17＋28－28＝0答案：17＋28－28＝09．2021·呼和浩特一模直线＝－错误!－3与，轴分别交于A，B两点，动点错误! ,0，由AN＋BN＝0⇒错误!＋错误!＝0⇒12－m＋21－m＝0⇒1t2＋1－m＋2t1＋1－m＝0，即2t12＋1－m1＋2＝0，故2t·错误!＋1－m错误!＝0对任意t∈R恒成立，即8－2mt＝0恒成立，故m＝4即N4,0．所以存在定点N，使得轴平分∠点坐标为4,0．12．2021·南平模拟圆M满足：①被轴分成两段圆弧，弧长的比为3∶1；②截轴所得的弦长为21求圆心M的轨迹方程；2求圆心M到直线：2－＝0的距离最小的圆的方程．解：1设圆心M，，半径为r，∵圆M被轴分成两段圆弧的弧长比为3∶1，∴圆心M到轴的距离||＝错误!①∵圆M截轴所得的弦长为2，∴圆心M到轴的距离||＝错误!，②由①②消去r得22－2＝1，即错误!－2＝1∴圆心M的轨迹方程为错误!－2＝12设直线2－＋c＝0与双曲线错误!－2＝1相切．联立方程组错误!消得22＋4c＋c2＋1＝0，令Δ＝16c2－8c2－8＝0，得c＝±1∴当c＝1时，方程组错误!的解为错误!即切点坐标为－1，－1，此时M－1，－1，r＝错误!，故圆M的方程为＋12＋＋12＝2当c＝－1时，方程组错误!的解为错误!即切点坐标为1,1，此时M1,1，r＝错误!故圆M的方程为－12＋－12＝2∴圆心M到直线：2－＝0的距离最小的圆的方程为＋12＋＋12＝2或－12＋－12＝2。
2019届高考数学(理)大一轮课时跟踪检测【53】直线与圆、圆与圆的位置关系(含答案)
课时跟踪检测(五十四) 直线与圆、圆与圆的位置关系(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页)第Ⅰ卷：夯基保分卷1. 圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0与直线2tx－y－2－2t＝0∈的位置关系为( )A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能2. 圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )A．相离B．相交C．外切D．内切3. (2018·安徽高考)直线x＋2y－5＋5＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为( )A．1 B．2C．4 D. 4 64．过点(1,1)的直线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝9相交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )A．2 3 B．4C．2 5 D．55．(2018·福建模拟) 已知直线l：y＝－3(x－1)与圆O：x2＋y2＝1在第一象限内交于点M，且l与y轴交于点A，则△MOA的面积等于________．6．以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0公共弦为直径的圆的方程为______________．7. 已知圆C的圆心与点P(－2,1)关于直线y＝x＋1对称，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，求圆C的方程．8. 已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2018·枣庄月考)已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝22时，求直线l的方程．2．(2018·湛江六校联考)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．3．(2018·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．答案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．选C ∵圆的方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，∴圆心为(1，－2)，半径r ＝3. 又圆心在直线2tx －y －2－2t ＝0上， ∴圆与直线相交．2．选B 圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径为r 1＝1，圆O 2的圆心坐标为(0,2)，半径r 2＝2，故两圆的圆心距|O 1O 2|＝5，而r 2－r 1＝1，r 1＋r 2＝3，则有r 2－r 1<|O 1O 2|<r 1＋r 2，故两圆相交．3．选C 依题意，圆的圆心为(1,2)，半径r ＝5，圆心到直线的距离d ＝|1＋4－5＋5|5＝1，所以结合图形可知弦长的一半为 r 2－d 2＝2，故弦长为4.4．选B 由圆的几何性质可知，当点(1,1)为弦AB 的中点时，|AB|的值最小，此时|AB|＝2r 2－d 2＝29－5＝4.5．解析：依题意，直线l ：y ＝－3(x －1)与y 轴的交点A 的坐标为(0，3)．由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，y ＝－3－得，点M 的横坐标x M ＝12，所以△MOA 的面积为S ＝12|OA|×x M ＝12×3×12＝34.答案：346．解析：法一：将两圆方程相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －2＝0，x 2＋y 2－12x －2y －13＝0.解得两交点坐标A(－1,2)，B(5，－6)．∵所求圆以AB 为直径，∴所求圆的圆心是AB 的中点M(2，－2)，圆的半径为r ＝12|AB|＝5，∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.法二：易求得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(x 2＋y 2＋12x ＋16y －25)＝0(λ≠－1)，则圆心为－12λ－12＋λ，－16λ－2＋λ.∵圆心在公共弦所在直线上，∴4×－12λ－12＋λ＋3－16λ－2＋λ－2＝0，解得λ＝12.故所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0. 答案：x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝07．解：设点P 关于直线y ＝x ＋1的对称点为 C(m ，n)，则由⎩⎪⎨⎪⎧1＋n 2＝－2＋m 2＋1，n －1m ＋2·1＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝－1.故圆心C 到直线3x ＋4y －11＝0的距离d ＝|－4－11|9＋16＝3，所以圆C 的半径的平方r 2＝d 2＋|AB|24＝18.故圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝18.8．解：(1)圆心C(1,2)，半径为r ＝2，当直线的斜率不存在时，方程为x ＝3.由圆心C(1,2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知，此时，直线与圆相切． 当直线的斜率存在时，设方程为y －1＝k(x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0.由题意知|k －2＋1－3k|k 2＋1＝2，解得k ＝34. 故方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.故过M 点的圆的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0.(2)由题意有|a －2＋4|a 2＋1＝2，解得a ＝0或a ＝43. 第Ⅱ卷：提能增分卷1．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切． 则有|4＋2a|a 2＋1＝2.解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质， 得⎩⎪⎨⎪⎧|CD|＝|4＋2a|a 2＋1，|CD|2＋|DA|2＝|AC|2＝22，|DA|＝12|AB|＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为 7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.2．解：假设存在斜率为1的直线l ，满足题意，则OA ⊥OB.设直线l 的方程是y ＝x ＋b ，其与圆C 的交点A ，B 的坐标分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)则y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0.消去y 得，2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0， ∴x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝12(b 2＋4b －4)，②y 1y 2＝(x 1＋b)(x 2＋b)＝x 1x 2＋b(x 1＋x 2)＋b 2＝12(b 2＋4b －4)－b 2－b ＋b 2＝12(b 2＋2b －4)．③把②③式代入①得，得b 2＋3b －4＝0，解得b ＝1或b ＝－4，且b ＝1或b ＝－4都使得Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)>0成立．故存在直线l 满足题意，其方程为y ＝x ＋1或y ＝x －4.3．解：(1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a)2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M(x ，y)，因为MA ＝2MO ， 所以x 2＋－2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M(x ，y)在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD≤2＋1，即1≤a 2＋－2≤3.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a≤0，得0≤a≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为[0，125].。
高考数学直线和圆专题辅导测试练习
高考数学直线和圆专题辅导测试练习1． 直线l 经过A （2，1）、B （1，m 2）(m ∈R)两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A ．),0[πB ．),2(]4,0[πππ⋃C ．]4,0[πD ．),43[]4,0[πππ⋃ 2． 已知点A （6，－4），B （1，2）、C （x ,y ）,O 为坐标原点，若),(R OB OA OC ∈+=λλ 则点C 的轨迹方程是 ( )A ．2x －y +16＝0B ．2x －y －16＝0C ．x －y +10＝0D ．x －y －10＝03． 若点（5，b ）在两条平行直线6x －8y +1=0与3x －4y +5=0之间，则整数b 的值为( )A ．5B ．－5C ．4D ．－44．直线ax +by +b －a ＝0与圆x 2+y 2－x －2＝0的位置关系是 （ ）A ．相离B ．相交C ．相切D ．与a ,b 的取值有关5．已知直线ax +3y +1=0与直线x +(a -2)y +a =0，当a =_________时，两直线平行；当a ＝_________时，两直线重合；当a ∈_____________________________时，两直线相交.6．将直线y x 绕点（2，0）按顺时针方向旋转30°所得直线方程是______7．在坐标平面内，由不等式组⎩⎨⎧+-≤--≥3||21||x y x y 所确定的平面区域的面积为________8．已知定点P （2，1），分别在y =x 及x 轴上各取一点B 与C ，使∆BPC 的周长最小，最小值为_________9．经过点M (1，3)的圆x 2＋y 2＝1的切线方程是________________10．若圆经过点A (a ,0),B (2a ,0),C (0,a )(a ≠0),则这个圆的方程为_______________11．一直线被两条平行直线x +2y -1=0及x +2y -3=0所截的线段的中点在直线x -y -1=0上，且这条直线与两平行线的夹角为45°，求此直线的方程.12．当C 为何值时，圆x 2+y 2+x -6y +C =0与直线x +2y -3=0的两交点P 、Q 满足OP ⊥OQ ？(其中O 为坐标原点)13．已知圆C :x 2+(y -2)2=5,直线l :mx -y +1=0，(1)求证：对m ∈R ,直线l 与圆C 总有两个不同交点；(2)设l 与圆C 交于A 、B 两点，若|AB |=17，求l 的倾斜角；(3)求弦AB 的中点M 的轨迹方程.14．圆的方程为x 2+y 2－6x －8y ＝0，过坐标原点作长为8的弦，求弦所在的直线方程。
2019高考数学(理)二轮复习课时跟踪检测六等差数列与等比数列小题练含答案
课时跟踪检测（六） 等差数列与等比数列（小题练）A 级——12＋4提速练一、选择题1．(2019届高三·合肥模拟)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＋S 3＝4，a 3＋S 5＝12，则a 4＋S 7的值是( )A ．20 B.36 C ．24D.72解析：选C 由a 2＋S 3＝4及a 3＋S 5＝12得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4d ＝4，6a 1＋12d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝1，∴a 4＋S 7＝8a 1＋24d ＝24.故选C.2．设等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 1＝13a 2－13，S 2＝13a 3－13，则公比q ＝( )A ．1B ．4C ．4或0D.8解析：选B ∵S 1＝13a 2－13，S 2＝13a 3－13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13a 1q －13，a 1＋a 1q ＝13a 1q 2－13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－13，q ＝0(舍去)，故所求的公比q ＝4.3．(2018·云南师大附中适应性考试)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 5＋a 6a 3＋a 4的值为( )A.1－52 B.5＋12C.3＋52D.3－52解析：选C 设{a n }的公比为q 且q >0，因为a 2，12a 3，a 1成等差数列，所以a 1＋a 2＝2×12a 3＝a 3，即a 1＋a 1q ＝a 1q 2，因为a 1≠0，所以q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52或q ＝1－52<0(舍去)，所以a 5＋a 6a 3＋a 4＝a 3＋a 4q2a 3＋a 4＝q 2＝3＋52，故选C.4．(2018·辽宁五校联考)各项为正的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则log 2a 7＋log 2a 11的值为( )A ．1B ．2C ．3D.4解析：选C 由题意得a 4a 14＝(22)2＝8，由等比数列的性质，得a 4a 14＝a 7a 11＝8，∴log 2a 7＋log 2a 11＝log 2(a 7a 11)＝log 28＝3，故选C.5.(2018·陕西模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 8＝6＋a 11，则S 9＝( ) A ．27 B ．36 C ．45D.54解析：选D ∵在等差数列{a n }中，2a 8＝a 5＋a 11＝6＋a 11，∴a 5＝6，故S 9＝a 1＋a 92＝9a 5＝54.故选D.6．等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝5n ＋2n ＋3，则a 2＋a 20b 7＋b 15＝( )A.10724 B.724C.14912D.1493解析：选A 由题知，a 2＋a 20b 7＋b 15＝S 21T 21＝10724. 7．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，且a 3＝2，a 9＝12，则a 15＝( ) A ．10 B ．30 C ．40D.20解析：选B 法一：设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 的公差为d .∵a 3＝2，a 9＝12，∴6d ＝a 99－a 33＝129－23＝23，∴d ＝19，a 1515＝a 33＋12d ＝2.故a 15＝30.法二：由于数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，故2×a 99＝a 33＋a 1515，即a 1515＝2×129－23＝2，故a 15＝30.8．已知数列{a n }的各项均为正整数，其前n 项和为S n .若a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，a n 是偶数，3a n ＋1，a n 是奇数，且S 3＝29，则a 1＝( )A ．4B ．5C ．6D.7解析：选B 法一：若a 1＝4k ，则a 2＝2k ，a 3＝k ，此时S 3＝7k ＝29，由于k 为整数，此时无解；若a 1＝4k ＋1，则a 2＝12k ＋4，a 3＝6k ＋2，此时S 3＝22k ＋7＝29，解得k ＝1，即a 1＝5；若a 1＝4k ＋2，则a 2＝2k ＋1，a 3＝6k ＋4，此时S 3＝12k ＋7＝29，由于k 为整数，此时无解；若a 1＝4k ＋3，则a 2＝12k ＋10，a 3＝6k ＋5，此时S 3＝22k ＋18＝29，由于k 为整数，此时无解．综上可知a 1＝5.法二：当a 1＝4时，a 2＝2，a 3＝1，S 3＝7，排除A ；当a 1＝5时，a 2＝16，a 3＝8，S 3＝29，B 符合题意，故选B.9．(2019届高三·湖南十校联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1<0，若存在自然数m ≥3，使得a m＝S m ，则当n >m 时，S n 与a n 的大小关系是( )A ．S n <a nB ．S n ≤a nC ．S n >a nD.大小不能确定解析：选C 若a 1<0，存在自然数m ≥3，使得a m ＝S m ，则d >0，否则若d ≤0，数列是递减数列或常数列，则恒有S m <a m ，不存在a m ＝S m .由于a 1<0，d >0，当m ≥3时，有a m ＝S m ，因此a m >0，S m >0，又S n ＝S m ＋a m ＋1＋…＋a n ，显然S n >a n .故选C.10．(2018·西安八校联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6>S 7>S 5，则满足S n S n ＋1<0的正整数n 的值为( )A ．10B ．11C ．12D.13解析：选C 由S 6>S 7>S 5，得S 7＝S 6＋a 7<S 6，S 7＝S 5＋a 6＋a 7>S 5，所以a 7<0，a 6＋a 7>0，所以{a n }为递减数列，又S 13＝a 1＋a 132＝13a 7<0，S 12＝a 1＋a 122＝6(a 6＋a 7)>0，所以S 12S 13<0，即满足S n S n ＋1<0的正整数n 的值为12，故选C.11．(2018·沈阳二模)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －1＝3a n (n ≥2，n ∈N *)，其前n 项和为S n ，则满足S n ≥12181的n 的最小值为( )A ．6B ．5C ．8D.7解析：选B 由a n －1＝3a n (n ≥2)可得a n a n －1＝13(n ≥2)，可得数列{a n }是首项为a 1＝1，公比为q ＝13的等比数列，所以S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n1－13＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .由S n ≥12181可得32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ≥12181，即1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ≥242243，得n ≥5(n ∈N *)，故选B.12．已知各项均为正数的等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，则数列{a n }的通项公式a n ＝( )A.12nB.12n －1C.12×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1 D.12×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 解析：选A 设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由题意知a 1>0，且a n ＝12·q n －1，又S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以2(S 5＋a 5)＝S 3＋a 3＋S 4＋a 4，即2(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋2a 5)＝a 1＋a 2＋2a 3＋a 1＋a 2＋a 3＋2a 4，化简得4a 5＝a 3，从而4q 2＝1，解得q ＝±12，又q >0，故q ＝12，a n ＝12n ，选择A.二、填空题13．(2018·重庆模拟)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5＝5，则log 5a 1＋log 5a 2＋…＋log 5a 9＝________.解析：因为数列{a n }是各项均为正数的等比数列，所以由等比数列的性质可得a 1·a 9＝a 2·a 8＝a 3·a 7＝a 4·a 6＝a 25＝52，则log 5a 1＋log 5a 2＋…＋log 5a 9＝log 5(a 1·a 2·…·a 9)＝log 5[(a 1·a 9)·(a 2·a 8)·(a 3·a 7)·(a 4·a 6)·a 5]＝log 5a 95＝log 559＝9.答案：914．(2018·天津模拟)数列{a n }满足a 1＋2a 2＋4a 3＋…＋2n －1a n ＝2n －1，且数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意的n ∈N *，都有λ2<S n <4λ，则实数λ的取值范围是________．解析：由a 1＋2a 2＋4a 3＋…＋2n －1a n ＝2n －1，可得a 1＋2a 2＋4a 3＋…＋2n －2a n －1＝2(n －1)－1＝2n －3(n ≥2)，两式相减得2n －1a n ＝2(n ≥2)，所以a n ＝22－n(n ≥2)．又n ＝1时，a 1＝1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＝，22－n n ，所以S n ＝1＋20＋2－1＋…＋22－n＝1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2，由S n 在n ≥1时单调递增，可得1≤S n <3，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ2<1，4λ≥3，解得34≤λ<1，所以实数λ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 15．(2018·安徽合肥二模)已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1＝2,3S 2n －2a n ＋1S n ＝a 2n ＋1，则a n ＝________.解析：由S 1＝2，得a 1＝S 1＝2. 由3S 2n －2a n ＋1S n ＝a 2n ＋1， 得4S 2n ＝(S n ＋a n ＋1)2.又a n >0，∴2S n ＝S n ＋a n ＋1，即S n ＝a n ＋1. 当n ≥2时，S n －1＝a n ， 两式作差得a n ＝a n ＋1－a n ，即a n ＋1a n＝2. 又由S 1＝2,3S 21－2a 2S 1＝a 22，求得a 2＝2. ∴当n ≥2时，a n ＝2×2n －2＝2n －1.验证当n ＝1时不成立，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥216．(2018·西安八校联考)数列{a n }中，S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，a n ＝2S 2n2S n －1(n ≥2)，则S n＝________.解析：当n ≥2时，将a n ＝S n －S n －1代入a n ＝2S 2n2S n －1，得S n －S n －1＝2S 2n2S n －1，化简整理，得S n －S n －1＝－2S n －1·S n ， 两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1＝2(n ≥2)，又1S 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1，公差为2的等差数列，所以1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以S n ＝12n －1. 答案：12n －1B 级——难度小题强化练1．已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，4a 5＝a 3.设T n ＝S n －1S n，则数列{T n }中最大项的值为( )A.34 B.45 C.56D.78解析：选C 设等比数列{a n }的公比为q ，则q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12，故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1×32n，S n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n，n 为奇数，1－12n，n 为偶数.当n为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时，S n 随n的增大而增大，所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上，对任意的n ∈N *，总有－712≤S n－1S n <0或0<S n －1S n ≤56，即数列{T n }中最大项的值为56.故选C. 2．(2018·洛阳尖子生模拟)已知数列{a n }满足na n ＋2－(n ＋2)a n ＝λ(n 2＋2n )，其中a 1＝1，a 2＝2，若a n <a n ＋1对任意的n ∈N *恒成立，则实数λ的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．(－1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.[0,1)解析：选A 由na n ＋2－(n ＋2)a n ＝λ(n 2＋2n )＝λn (n ＋2)得a n ＋2n ＋2－a nn ＝λ，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 的奇数项与偶数项均是以λ为公差的等差数列，因为a 1＝1，a 2＝2，所以当n 为奇数时，a n n ＝1＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12－1＝n －12λ＋1，所以a n ＝n 2－n2λ＋n .当n 为偶数时，a n n ＝1＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－1＝n －22λ＋1，所以a n ＝n 2－2n 2λ＋n .当n 为奇数时，由a n <a n ＋1得n 2－n2λ＋n <n ＋2－n ＋2λ＋n ＋1，即λ(n －1)>－2，若n ＝1，则λ∈R ，若n >1，则λ>－2n －1，所以λ≥0; 当n 为偶数时，由a n <a n ＋1得n 2－2n 2λ＋n <n ＋2－n ＋2λ＋n ＋1，即3λn >－2，所以λ>－23n，即λ≥0.综上，实数λ的取值范围为[0，＋∞)．选A.3．(2018·武汉模拟)设等差数列{a n }满足a 3＋a 7＝36，a 4a 6＝275，且a n a n ＋1有最小值，则这个最小值为( )A ．－10B ．－12C ．－9D.－13解析：选 B 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3＋a 7＝36，∴a 4＋a 6＝36，又a 4a 6＝275，联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝11，a 6＝25或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝25，a 6＝11，当⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝11，a 6＝25时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10，d ＝7，此时a n ＝7n －17，a 2＝－3，a 3＝4，易知当n ≤2时，a n <0，当n ≥3时，a n >0，∴a 2a 3＝－12为a n a n ＋1的最小值；当⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝25，a 6＝11时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝46，d ＝－7，此时a n ＝－7n ＋53，a 7＝4，a 8＝－3，易知当n ≤7时，a n >0，当n ≥8时，a n <0，∴a 7a 8＝－12为a n a n ＋1的最小值． 综上，a n a n ＋1的最小值为－12.4．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋16a n ＋3(n ∈N *)的最小值为( ) A ．4 B ．3 C ．23－2D.92解析：选A ∵a 1＝1，a 1，a 3，a 13成等比数列，∴(1＋2d )2＝1＋12d ，解得d ＝2或d ＝0(舍去)，∴a n＝2n －1，∴S n ＝n＋2n －2＝n 2，∴2S n ＋16a n ＋3＝n 2＋8n ＋1.令t ＝n ＋1，则n 2＋8n ＋1＝t ＋9t－2≥6－2＝4，当且仅当t ＝3，即n ＝2时等号成立．5．(2018·广东模拟)设数列{a n }的各项都是正数，且对任意n ∈N *，都有4S n ＝a 2n ＋2a n ，其中S n 为数列{a n }的前n 项和，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：当n ＝1时，4a 1＝a 21＋2a 1，∴a 1(a 1－2)＝0， ∵a n >0，∴a 1＝2.当n ≥2时，4S n ＝a 2n ＋2a n,4S n －1＝a 2n －1＋2a n －1，两式相减得4a n ＝a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1，(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0，∵a n >0，∴a n －a n －1＝2，故a n ＝2n . 答案：2n6．已知数列{a n }满足a 1＝a 2＝2，a n ＋2－[2＋(－1)n]a n ＝a 2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________________________________________________________________________．解析：当n ＝2k (k ∈N *)时，a 2k ＋2＝3a 2k ＋2，即a 2k ＋2＋1＝3(a 2k ＋1)，所以数列{a 2k ＋1}(k ∈N *)是以a 2＋1为首项，3为公比的等比数列，所以a 2k ＋1＝(a 2＋1)·3k －1＝3k，即当n 为偶数时，a n ＝32n －1；当n ＝2k －1(k ∈N *)时，a 2k ＋1＝a 2k －1＋2，所以a 2k ＋1－a 2k －1＝2，所以数列{a 2k －1}(k ∈N *)是以a 1为首项，2为公差的等差数列，所以a 2k －1＝2＋2(k －1)＝2k ，即当n 为奇数时，a n ＝n ＋1.所以数列{a n }的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋1，n 为奇数，32n －1，n 为偶数.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋1，n 为奇数，32n－1，n 为偶数。
高考数学二轮复习课时跟踪检测十六理
课时跟踪检测（十六）A 组——12＋4提速练一、选择题1．(2017·沈阳质检)已知直线l ：y ＝k (x ＋3)和圆C ：x 2＋(y －1)2＝1，若直线l 与圆C 相切，则k ＝( )A ．0 B.3C.33或0 D.3或0 解析：选D 因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C (0,1)到直线l 的距离d ＝|－1＋3k|1＋k2＝1，解得k ＝0或k ＝3，故选D.2．(2017·陕西质检)圆：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( )A ．1＋2B ．2C ．1＋22D ．2＋22解析：选A 将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，即圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1.3．(2017·洛阳统考)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 依题意，注意到|AB |＝2＝|OA|2＋|OB|2等价于圆心O 到直线l 的距离等于22，即有1k2＋1＝22，k ＝±1.因此，“k ＝1”是“|AB |＝2”的充分不必要条件．4．若三条直线l 1：4x ＋y ＝3，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：x －my ＝2不能围成三角形，则实数m的取值最多有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．6个解析：选C 三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．若l 1∥l 2，则m ＝4；若l 1∥l 3，则m ＝－14；若l 2∥l 3，则m 的值不存在；若三条直线相交于同一点，则m ＝1或－53.故实数m 的取值最多有4个，故选C.5．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析：选C 由(a －1)x －y ＋a ＋1＝0得(x ＋1)a －(x ＋y －1)＝0，由x ＋1＝0且x ＋y －1＝0，解得x ＝－1，y ＝2，即该直线恒过点(－1,2)，∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.6．与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝2 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝2 D ．(x －2)2＋(y －2)2＝2解析：选D 由题意知，曲线方程为(x －6)2＋(y －6)2＝(32)2，过圆心(6,6)作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂线方程为y ＝x ，则所求的最小圆的圆心必在直线y ＝x 上，又圆心(6,6)到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝|6＋6－2|2＝52，故最小圆的半径为52－322＝2，圆心坐标为(2,2)，所以标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.7．已知圆C 关于x 轴对称，经过点(0,1)，且被y 轴分成两段弧，弧长之比为2∶1，则圆的方程为( )A ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y±332＝43B ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y±332＝13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x±332＋y 2＝43D.⎝⎛⎭⎪⎫x±332＋y 2＝13解析：选C 设圆的方程为(x ±a )2＋y 2＝r 2(a >0)，圆C 与y 轴交于A (0,1)，B (0，－1)，由弧长之比为2∶1，易知∠OCA ＝12∠ACB ＝12×120°＝60°，则tan 60°＝|OA||OC|＝1|OC|＝3，所以a ＝|OC |＝33，即圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±33，0，r 2＝|AC |2＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫±332＝43.所以圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x±332＋y 2＝43，故选C.8．(2017·合肥质检)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0,3)且与圆C交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则直线l 的方程为( )。
2020高考数学(理科)二轮总复习课时跟踪检测(十六)直线与圆Word版含解析
第一部分 高考层级专题打破层级二7 个能力专题师生共研专题六 分析几何第一讲 直线与圆课时追踪检测 (十六 )直线与圆一、选择题1．已知直线 l 1： x － 2y ＋1＝0 与直线 l 2：x ＋ky －3＝ 0 平行，则实数 k 的值为 ()A ．－2B ． 211C ．－2D ． 2分析：选A∵直线 l 1： －＋ ＝与直线l2：＋ －＝平行，x 2y 1 0x ky 3 01k－3 ∴1＝ ≠ 1，－ 2解得 k ＝－ 2.应选 A ．2．已知点 P 与点 Q(1，－2)对于直线 x ＋y － 1＝ 0 对称，则点 P 的坐标为 ( )A ．(3,0)B ． (－3,2)C ．(－3,0)D ． (－1,2)分析：选A设 P 的坐标为 (a ，b)，则 PQ 的中点坐标为a ＋1 b －2，2 ， 2若点 P 与 Q(1，－ 2)对于 x ＋y －1＝0 对称，b ＋2＝1， a －1 则a ＋1b －22 ＋ 2 －1＝0，解得 a ＝3， b ＝ 0，则点 P 的坐标为 (3,0)，应选 A ．3．(2019 成·都模拟 )已知 a ∈R 且为常数，圆 C ： x 2＋2x ＋ y 2－2ay ＝0，过圆C 内一点 (1,2)的直线 l 与圆 C 订交于 A ，B 两点，当弦 AB 最短时，直线 l 的方程为 2x －y ＝0，则 a 的值为 ()A ．2B ． 3C ．4D ． 5分析：选 B化圆 C ：x 2＋2x ＋ y 2－2ay ＝0 为(x ＋ 1)2＋ (y －a)2＝ a 2＋1，圆心坐标为 C(－1，a)，半径为a 2＋1.a －2 如图，由题意可得，过圆心与点 (1,2)的直线与直线 2x －y ＝ 0 垂直，则－1－11＝－ 2，即 a ＝3.应选 B ．4．(2019 ·宜宾模拟 )已知直线 l ：3x ＋ y － 6＝ 0 与圆心为 M(0,1)，半径为 5的1圆订交于 A ，B 两点，另向来线 l 2： ＋ － － ＝ 与圆 M 交于 C ， D 两点，2kx 2y 3k 3 0 则四边形 ACBD 面积的最大值为 ()A ．5 2B ． 10 2C ．5 2＋ 5D ． 5 2－5分析：选 A 以 M(0,1)为圆心，半径为5的圆的方程为 x 2 ＋－1) 2＝ ，(y 53x ＋ y － 6＝ 0，联立解得 A(2,0)，B(1,3)，22x ＋ y －1 ＝ 5，3 3∴AB 的中点为 2，2 .3 3而直线 l 2：2kx ＋2y －3k － 3＝0 恒过定点 2，2 ，∴ |AB|＝ 2－1 2＋ 0－ 3 2＝ 10.要使四边形的面积最大， 只要 l 2 过圆心即可，即 CD 为直径，此时 CD ⊥AB ，∴四边形 ACBD 的面积最大值为 S ＝ 1× 10×2 5＝ 5 2.应选 A ．2． ·兴庆区校级一模 ) 与 3x ＋4y ＝ 0 垂直，且与圆 (x － 1) 2＋y 2＝ 4 相切的5 (2019一条直线是 ()A ．4x － 3y ＝6B ． 4x －3y ＝－ 6C ．4x ＋ 3y ＝6D ． 4x ＋3y ＝－ 6分析：选 B 依据题意，要求直线与 3x ＋4y ＝ 0 垂直，设其方程为 4x －3y＋ m ＝0，|4＋ m|＝2，若该直线与圆 (x －1)2＋y 2 ＝4 相切，则有32＋42解得 m ＝6 或－ 14，即要求直线的方程为 4x － 3y ＝－ 6 或 4x － 3y ＝14，应选 B ．6．(2019 ·袁州模拟 )已知点 A(0， 3)，B(3,23)，若圆 C ：(x － 1)2＋ y 2 ＝r 2(r>0)上恰有两点 M ，N ，使得△ MAB 和△ NAB 的面积均为 3，则 r 的取值范围是 ()A ．(1,3)B ． (1,2)C ．(0,3)D ． (0,2)分析：选A依据题意， A(0， 3)，B(3,2 3)，则 |AB|＝ 9＋3＝2 3，若△ MAB 和△NAB 的面积均为3，则 M ，N 到直线 AB 的距离相等，1设 M ，N 到直线 AB 的距离均为 d ，则有 2× 2 3×d ＝3，则 d ＝ 1，又由 A(0， 3)，B(3,2 3)，则直线 AB 的方程为 x － 3y ＋3＝0，若圆 C 上有两点 M ，N ，使得 △MAB 和 △NAB 的面积均为3，则直线 MN与 AB 平行，且圆心 C 到直线 AB 的距离 d′＝|1＋ 3|＝2，1＋3剖析可得： 1<r<3，即 r 的取值范围为 (1,3)．应选 A ．二、填空题7．(2019 ·山州模拟凉)已知直线 l 1：ax＋y＋2＝0，直线 l2：x＋y＝0，若 l1 ⊥ l2，则 a＝________.分析：直线 l1：ax＋y＋2＝0，直线 l 2：x＋y＝0，若 l1⊥ l2，则 1·a＋ 1×1＝0，解得 a＝－ 1.答案：－18．(2019 ·常熟市校级月考 )已知直线 l 过两直线 x＋2y＋4＝0 和 2x＋ 3y－ 8＝0 的交点，且过点 (0,1)，则直线 l 的方程为 ______________．分析：直线 l 过两直线 x＋2y＋4＝0 和 2x＋ 3y－8＝0 的交点，且过点 (0,1)，x＋2y＋ 4＝ 0，联立得 x＝28， y＝－ 16，2x＋ 3y－8＝0，∴直线 l 过点 (28，－ 16)，(0,1)，y－1－16－1∴直线 l 的方程为x＝28－0，即17x＋28y－28＝0.答案： 17x＋28y－28＝ 039．(2019 ·呼和浩特一模 )已知直线 y＝－4x－ 3 与 x，y 轴分别交于 A，B 两点，动点 P 在圆 x2＋ y2－2x－ 2y＋1＝0 上，则△ ABP 面积的最大值为 ________．3分析：依据题意，直线 y＝－4x－3 与 x， y 轴分别交于 A， B 两点，则 A(－4,0)，B(0，－ 3)，且 |AB|＝5，动点 P 在圆 x2＋ y2－2x－ 2y＋1＝0 上，当△ABP 的面积最大时， P 到直线AB 的距离最大，圆 x2＋y2－2x－ 2y＋1＝0，即 (x－1)2＋ (y－1)2＝1，其圆心为 (1,1)，半径 r＝1；3直线 y ＝－4x － 3 即 3x ＋ 4y ＋12＝0，|3＋4＋12|24则 P 到直线 AB 的距离最大值为 d ＋r ＝ 5＋1＝ 5，则△ ABP 面积的最大值为 1×|AB|×24＝12.25答案： 12三、解答题10． (2019 ·州模拟泸 )已知圆 C 的圆心在直线 x －2y ＝0 上，且经过点 M(0， － 1)，N(1,6)．(1)求圆 C 的方程；(2)已知点 A(1,1)，B(7,4)，若 P 为圆 C 上的一动点，求 |PA|2＋ |PB|2的取值范围．解： (1)设圆心 C(a ， b)，则 a － 2b ＝0，即 a ＝ 2b ，由|MC|＝|NC|得 2b － 0 2＋ b ＋1 2＝2b －1 2＋ b －6 2，解得 b ＝ 2，a ＝4，∴圆的半径 r ＝ 5，∴圆 C 的方程为 (x － 4)2＋ (y － 2)2＝ 25.(2)设 P(x ，y)，则 (x －4)2＋(y －2)2＝25，即 x 2＋y 2＝5＋8x ＋ 4y ，则|PA|2＋ |PB|2＝(x －1)2 ＋(y － 1)2＋ (x －7)2＋ (y －4)2＝ 2x 2＋ 2y 2 －16x －10y ＋67＝10＋ 16x ＋ 8y －16x － 10y ＋ 67＝77－2y ，∵－ 3≤ y ≤7，∴63≤77－ 2y ≤83，故|PA|2＋|PB|2 的取值范围是 [63,83]．11．(2019 ·荆门模拟 )已知直线 l ：x ＋ 3y ＋4＝0，半径为 2 的圆 C 与 l 相切，圆心在 x 轴上且在直线 l 的右上方．(1)求圆 C 的方程；(2)过点 M(1,0)的直线与圆 C 交于 A ，B 两点 (A 在 x 轴上方 )，问在 x 轴上是否存在定点 N ，使得 x 轴均分∠ ANB ？若存在，恳求出点 N 的坐标；若不存在，请说明原因．解： (1)设圆 C 的方程为 (x － a)2＋ y 2＝4，由 |a ＋ 4| ＝2 得 a ＝ 0 或 a ＝－8，1＋3 又圆心在直线 l 的右上方，故 a ＝0.故所求圆 C 的方程为 x 2＋ y 2＝4.x ＝ty ＋ 1，(2)设过点 M(1,0)的直线方程为 x ＝ty ＋ 1，由 x 2＋y 2＝4 ? (t 2＋1)y 2＋ 2ty －3＝0，－ 2t －3故 y 1＋y 2＝t 2＋1，y 1y 2＝ t 2＋ 1，设 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，N(m,0)， 由 k AN ＋ BN ＝0? 1 y 1 ＋y 2＝ 0? y 1 2 － m) ＋ 2 1－ m) ＝ 1 2＋－k2(x y (x 0? y (ty 1 m)x －m x －m＋ y 2 (ty 1＋ 1－ m)＝0，即 2ty 1y 2＋(1－m)(y 1＋y 2)＝0，－ 3＋(1－m)－2t故 2t ·＝0 对随意 t ∈R 恒建立，t 2＋1 t 2＋1即(8－ 2m)t ＝0 恒建立，故 m ＝4 即 N(4,0)．因此存在定点 N ，使得 x 轴均分∠ ANB.N 点坐标为 (4,0)．12．(2019 ·南平模拟 )已知圆 M 知足：①被 y 轴分红两段圆弧，弧长的比为 3∶1；②截 x 轴所得的弦长为 2.(1)求圆心 M 的轨迹方程；(2)求圆心 M 到直线 l ：2x － y ＝0 的距离最小的圆的方程．解： (1)设圆心 M(x ， y)，半径为 r ，∵圆 M 被 y 轴分红两段圆弧的弧长比为 3∶1，2r∴圆心 M 到 y 轴的距离 |x|＝ 2 .①∵圆 M 截 x 轴所得的弦长为 2，∴圆心 M 到 x 轴的距离 |y|＝ r 2－1，②2x由①②消去 r 得 2x 2－y 2＝ 1，即 1 －y 2＝ 1.2∴圆心 M 的轨迹方程为 x1 －y2 ＝1.22(2)设直线 2x －y ＋c ＝0 与双曲线 x1 － y 2＝1 相切．2y ＝2x ＋ c ，联立方程组消 y 得 2x 2＋ 4cx ＋ c 2＋1＝0，2x 2－y 2＝1，令 ＝ 16c 2－8c 2－8＝0，得 c ＝ ±1.∴当 c ＝ 1 时，方程组y ＝ 2x ＋c ，的解为x ＝－ 1，2－y 2＝1＝－ ，2xy1即切点坐标为 (－ 1，－ 1)，此时 M(－ 1，－ 1)，r ＝ 2，故圆 M 的方程为 (x ＋1)2＋ (y ＋1)2 ＝2.当 c ＝－ 1 时，方程组y ＝ 2x ＋c ，的解为 x ＝ 1，2－y 2＝1＝ ，2xy 1即切点坐标为 (1,1)，此时 M(1,1)， r ＝ 2.故圆 M 的方程为 (x －1)2＋ (y －1)2 ＝2.∴圆心 M 到直线 l ： 2x －y ＝0 的距离最小的圆的方程为(x ＋1)2＋ (y ＋1)2＝2或 (x －1)2＋ (y －1)2＝2.。
高考数学课时跟踪检测十六直线与圆的位置关系选择性必修第一册
课时跟踪检测（十六） 直线与圆的位置关系[A 级 基础巩固]1．直线l: y －1＝k (x －1)和圆x 2＋y 2－2y ＝0的关系是( ) A ．相离 B ．相切或相交 C ．相交D ．相切解析：选C l 过定点A (1,1)，∵12＋12－2×1＝0，∴点A 在圆上，∵直线x ＝1过点A 且为圆的切线，又l 斜率存在，∴l 与圆一定相交，故选C.2．若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( ) A ．0或4 B ．0或3 C ．－2或6D ．－1或 3解析：选A 由圆的方程，可知圆心坐标为(a,0)，半径r ＝2.又直线被圆截得的弦长为22，所以圆心到直线的距离d ＝ 22－⎝⎛⎭⎪⎫2222＝ 2.又d ＝|a －2|2，所以|a －2|＝2，解得a ＝4或a ＝0.故选A.3．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a ＜3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为C (－2,3)，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．x ＋y －3＝0解析：选A 由圆的一般方程可得圆心为M (－1,2)．由圆的性质易知M (－1,2)与C (－2,3)的连线与弦AB 垂直，故有k AB ×k MC ＝－1⇒k AB ＝1，故直线AB 的方程为y －3＝x ＋2，整理得x －y ＋5＝0.4．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为( ) A ．1 B ．2 2 C.7D ．3解析：选C 因为切线长的最小值是当直线y ＝x ＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线y ＝x ＋1的距离为d ＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径为1，所以切线长的最小值为d 2－r 2＝8－1＝7，故选C.5．(多选)与圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2＝0相切，且在x ，y 轴上的截距相等的直线方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＝0 C ．x ＝0D ．x ＋y ＝4解析：选ABD 圆C 的方程可化为(x －2)2＋y 2＝2.可分为两种情况讨论：(1)直线在x ，y 轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y ＝kx ，则|2k |1＋k2＝2，解得k ＝±1；(2)直线在x ，y 轴上的截距均不为0，则可设直线方程为x a ＋y a＝1(a ≠0)，即x ＋y －a ＝0(a ≠0)，则|2－a |2＝2，解得a ＝4(a ＝0舍去)．6．若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________． 解析：设切线斜率为k ，则由已知得： k ·k OP ＝－1. ∴k ＝－12.∴切线方程为x ＋2y －5＝0.答案：x ＋2y －5＝07．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为____________________．解析：令y ＝0得x ＝－1，所以直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1,0)．因为直线x ＋y ＋3＝0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径， 即r ＝|－1＋0＋3|2＝2，所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2. 答案：(x ＋1)2＋y 2＝28．点M ，N 在圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋4＝0上，且点M ，N 关于直线x －y ＋1＝0对称，则该圆的半径是________．解析：由题知，直线x －y ＋1＝0过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－k2，－1，即－k2＋1＋1＝0，∴k ＝4.∴r ＝16＋4－162＝1. 答案：19．一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且直线y ＝x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程．解：因为圆与y 轴相切，且圆心在直线x －3y ＝0上， 故设圆的方程为(x －3b )2＋(y －b )2＝9b 2. 又因为直线y ＝x 截圆得弦长为27， 则有⎝⎛⎭⎪⎫|3b －b |22＋(7)2＝9b 2， 解得b ＝±1，故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.10．已知直线方程mx －y －m －1＝0，圆的方程x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0.当m 为何值时，圆与直线：(1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点．解：法一：将直线mx －y －m －1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m 2)x 2－2(m 2＋2m ＋2)x ＋m 2＋4m ＋4＝0. 则Δ＝4m (3m ＋4)．(1)当Δ>0，即m >0或m <－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当Δ＝0，即m ＝0或m ＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当Δ<0，即－43<m <0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．法二：已知圆的方程可化为(x －2)2＋(y －1)2＝4， 即圆心为C (2,1)，半径r ＝2.圆心C (2,1)到直线mx －y －m －1＝0的距离d ＝|2m －1－m －1|1＋m 2＝|m －2|1＋m2. (1)当d <2，即m >0或m <－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当d ＝2，即m ＝0或m ＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当d >2，即－43<m <0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．[B 级 综合运用]11．一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过( )A ．1.4米B ．3.5米C ．3.6米D ．2米解析：选B 建立如图所示的平面直角坐标系．如图设蓬顶距地面高度为h ，则A (0.8，h －3.6)所在圆的方程为： x 2＋(y ＋3.6)2＝3.62，把A (0.8，h －3.6)代入得0.82＋h 2＝3.62.∴h ＝40.77≈3.5(米)．12．直线x ＋7y －5＝0截圆x 2＋y 2＝1所得的两段弧长之差的绝对值是( ) A.π4B.π2 C ．πD.3π2解析：选C 圆心到直线的距离d ＝|0＋0－5|1＋49＝22.又圆的半径r ＝1，∴直线x ＋7y －5＝0被圆x 2＋y 2＝1截得的弦长为2，∴直线截圆所得的劣弧所对的圆心角为90°，∴劣弧是整个圆周的14，∴直线截圆所得的两段弧长之差的绝对值为整个圆周长的一半，即12×2πr ＝π.13．过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ 的长为________．解析：圆的方程化为标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝5，示意图如图所示．则圆心为O ′(3,4)，r ＝ 5.切线长|OP |＝|OO ′|2－|O ′P |2＝2 5.∴|PQ |＝2·|OP |·|O ′P ||OO ′|＝2×25×55＝4.答案：414.如图，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 交于M ，N 两点．(1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程．解：(1)设圆A 的半径为r .∵圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，∴r ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)①当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为x ＝－2， 易得|MN |＝219，符合题意； ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0. 取MN 的中点Q ，连接AQ ，则AQ ⊥MN . ∵|MN |＝219，∴|AQ |＝20－19＝1， ∴|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34，∴直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.[C 级 拓展探究]15．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心C (a,0)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＞－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C ：x2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k x －1得，(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0⇒k x 1－1x 1－t ＋k x 2－1x 2－t ＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2k 2－4k 2＋1－2k 2t ＋1k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课时跟踪检测（十六） 直线与圆（小题练）A 级——12＋4提速练一、选择题1．已知直线l 1：x ＋2ay －1＝0，l 2：(a ＋1)x －ay ＝0，若l 1∥l 2，则实数a 的值为( ) A ．－32B ．0C ．－32或0D ．2解析：选C 由l 1∥l 2得1×(－a )＝2a (a ＋1)，即2a 2＋3a ＝0，解得a ＝0或a ＝－32.经检验，当a ＝0或a ＝－32时均有l 1∥l 2，故选C.2．(2018·贵阳模拟)经过三点A (－1,0)，B (3,0)，C (1,2)的圆的面积S ＝( ) A ．π B ．2π C ．3πD ．4π解析：选D 法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，将A (－1,0)，B (3,0)，C (1,2)的坐标代入圆的方程可得⎩⎪⎨⎪⎧1－D ＋F ＝0，9＋3D ＋F ＝0，1＋4＋D ＋2E ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝－3，所以圆的方程为x 2＋y 2－2x －3＝0，即(x －1)2＋y 2＝4，所以圆的半径r ＝2，所以S ＝4π.故选D.法二：根据A ，B 两点的坐标特征可知圆心在直线x ＝1上，设圆心坐标为(1，a )，则r ＝4＋a 2＝|a －2|，所以a ＝0，r ＝2，所以S ＝4π，故选D.3．已知圆(x －1)2＋y 2＝1被直线x －3y ＝0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶5解析：选A (x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1.圆心到直线的距离d ＝11＋3＝12，所以较短弧所对的圆心角为2π3，较长弧所对的圆心角为4π3，故两弧长之比为1∶2，故选A.4．(2018·山东临沂模拟)已知直线3x ＋ay ＝0(a >0)被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则a 的值为( )A. 2B. 3C ．2 2D ．2 3解析：选B 由已知条件可知，圆的半径为2，又直线被圆所截得的弦长为2，故圆心到直线的距离为3，即69＋a2＝3，得a ＝ 3.5．(2018·郑州模拟)已知圆(x －a )2＋y 2＝1与直线y ＝x 相切于第三象限，则a 的值是( )A. 2 B ．－ 2 C ．± 2D ．－2解析：选B 依题意得，圆心(a,0)到直线x －y ＝0的距离等于半径，即有|a |2＝1，|a |＝ 2.又切点位于第三象限，结合图形(图略)可知，a ＝－2，故选B.6．(2018·山东济宁模拟)已知圆C 过点A (2,4)，B (4,2)，且圆心C 在直线x ＋y ＝4上，若直线x ＋2y －t ＝0与圆C 相切，则t 的值为( )A ．－6±2 5B ．6±2 5C ．25±6D ．6±4 5解析：选B 因为圆C 过点A (2,4)，B (4,2)，所以圆心C 在线段AB 的垂直平分线y ＝x 上，又圆心C在直线x ＋y ＝4上，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y ＝4，解得x ＝y ＝2，即圆心C (2,2)，圆C的半径r ＝－2＋－2＝2.又直线x ＋2y －t ＝0与圆C 相切，所以|2＋4－t |5＝2，解得t ＝6±2 5.7．若过点A (1,0)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－6x －8y ＋21＝0相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M ，l 与直线x ＋2y ＋2＝0的交点为N ，则|AM |·|AN |的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 圆C 的方程化成标准方程可得(x －3)2＋(y －4)2＝4，故圆心C (3,4)，半径为2，则可设直线l的方程为kx －y －k ＝0(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋2＝0，kx －y －k ＝0，得N ⎝⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1，－3k 2k ＋1，又直线CM 与l 垂直，得直线CM 的方程为y －4＝－1k (x －3)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －4＝－1k x －，kx －y －k ＝0，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋3k 2＋1，4k 2＋2k k 2＋1， 则|AM |·|AN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋3k 2＋1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋2k k 2＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2k ＋12＝2|2k ＋1|1＋k 2×1＋k 2×31＋k 2|2k ＋1|＝6.故选B. 8．(2019届高三·湘东五校联考)圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于2的点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B 圆(x －3)2＋(y －3)2＝9的圆心为(3,3)，半径为3，圆心到直线3x ＋4y －11＝0的距离d ＝|3×3＋4×3－11|32＋42＝2，∴圆上到直线3x ＋4y －11＝0的距离为2的点有2个．故选B.9．圆x 2＋y 2＝1上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离的最小值为( ) A ．4 B ．3 C ．5D ．6解析：选A 易知圆x 2＋y 2＝1的圆心坐标为(0,0)，半径为1，圆心到直线3x ＋4y －25＝0的距离d ＝|－25|5＝5，所以圆x 2＋y 2＝1上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离的最小值为5－1＝4.10．(2019届高三·西安八校联考)若过点A (3,0)的直线l 与曲线(x －1)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 斜率的取值范围为( )A ．(－3，3)B ．[－3， 3 ] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 解析：选D 数形结合可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，则圆心(1,0)到直线y ＝k (x －3)的距离应小于等于半径1，即|2k |1＋k2≤1，解得－33≤k ≤33，故选D.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (－1,0)，B (0,1)，则满足|PA |2－|PB |2＝4且在圆x 2＋y 2＝4上的点P 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 设P (x ，y )，则由|PA |2－|PB |2＝4，得(x ＋1)2＋y 2－x 2－(y －1)2＝4，所以x ＋y －2＝0.求满足条件的点P 的个数即为求直线与圆的交点个数，圆心到直线的距离d ＝|0＋0－2|2＝2＜2＝r ，所以直线与圆相交，交点个数为2.故满足条件的点P 有2个．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－2)，点B (1，－1)，P 为圆x 2＋y 2＝2上一动点，则|PB ||PA |的最大值是( )A ．1B ．3C ．2D. 2解析：选C 设动点P (x ，y )，令|PB ||PA |＝t (t >0)，则－x 2＋－1－y 2－x2＋－2－y2＝t 2，整理得，(1－t 2)x 2＋(1－t 2)y 2－2x ＋(2－4t 2)y ＋2－4t 2＝0，(*)易知当1－t 2≠0时，(*)式表示一个圆，且动点P 在该圆上，又点P 在圆x 2＋y 2＝2上，所以点P 为两圆的公共点，两圆方程相减得两圆公共弦所在直线l 的方程为x －(1－2t 2)y －2＋3t 2＝0，所以圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|－2＋3t 2|1＋－2t22≤2，解得0<t ≤2，所以|PB ||PA |的最大值为2.二、填空题13．(2018·全国卷Ⅰ)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：由x 2＋y 2＋2y －3＝0，得x 2＋(y ＋1)2＝4.∴圆心C (0，－1)，半径r ＝2.圆心C (0，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|1＋1|2＝2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2. 答案：2 214．如果直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行，则a ＝________. 解析：由直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＋7－a ＝0平行，可得⎩⎪⎨⎪⎧a a －－2×3＝0，a －a －3×3a ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3或a ＝－2，a ≠0且a ≠－2，故a ＝3.答案：315．过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB最小时，直线l 的方程为____________________．解析：易知当CM ⊥AB 时，∠ACB 最小，直线CM 的斜率为k CM ＝1－012－1＝－2，从而直线l的斜率为k l ＝－1k CM ＝12，其方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即2x －4y ＋3＝0. 答案：2x －4y ＋3＝016．(2018·南宁、柳州模拟)过点(2，0)作直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于________．解析：令P (2，0)，如图，易知|OA |＝|OB |＝1，所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤12，当∠AOB ＝90°时，△AOB 的面积取得最大值，此时过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则|OH |＝22，于是 sin ∠OPH ＝|OH ||OP |＝222＝12，易知∠OPH 为锐角，所以∠OPH ＝30°，则直线AB 的倾斜角为150°，故直线AB 的斜率为tan 150°＝－33. 答案：－33B 级——难度小题强化练1．(2018·重庆模拟)已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝2，直线l ：y ＝kx ，其中k 为[－3，3]上的任意一个数，则事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率为( )A.33B.34C.14D.3－33解析：选D 当直线l 与圆C 相离时，圆心C 到直线l 的距离d ＝|2k |k 2＋1>2，解得k >1或k <－1，又k ∈[－3，3]，所以－3≤k <－1或1<k ≤3，故事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率P ＝3－＋－1＋323＝3－33，故选D.2．(2018·合肥质检)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0,3)与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0解析：选B 圆的方程化为标准形式为(x －1)2＋(y －1)2＝4，圆心C (1,1)，半径r ＝2，当直线l 的斜率不存在时，方程为x ＝0，计算出弦长为23，符合题意；当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，由弦长为23可知，圆心到该直线的距离为1，从而有|k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝－34，此时方程为y ＝－34x ＋3，即3x ＋4y－12＝0.综上，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y －12＝0，故选B.3．(2018·安徽黄山二模)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点P 为直线x 4＋y2＝1上一动点，过点P向圆O 引两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过定点( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 C.⎝⎛⎭⎪⎫34，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 解析：选B 因为点P 是直线x 4＋y2＝1上的一动点，所以设P (4－2m ，m )．因为PA ，PB 是圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，所以点A ，B 在以OP 为直径的圆C 上，即弦AB 是圆O 和圆C 的公共弦．因为圆心C 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫2－m ，m 2，且半径的平方r 2＝－2m2＋m24，所以圆C 的方程为(x －2＋m )2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －m 22＝－2m 2＋m24，①又x 2＋y 2＝1，②所以②－①得，(2m －4)x －my ＋1＝0，即公共弦AB 所在的直线方程为(2x －y )m ＋(－4x＋1)＝0，所以由⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋1＝0，2x －y ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝12，所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12.故选B.4.(2018·南昌第一次模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝2x ＋1与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则cos ∠AOB ＝( )A.510 B ．－510C.910D ．－910解析：选D 法一：因为圆x 2＋y 2＝4的圆心为O (0,0)，半径为2，所以圆心O 到直线y＝2x ＋1的距离d ＝|2×0－0＋1|22＋－2＝15，所以弦长|AB |＝222－⎝⎛⎭⎪⎫152＝2195.在△AOB 中，由余弦定理得cos ∠AOB ＝|OA |2＋|OB |2－|AB |22|OA |·|OB |＝4＋4－4×1952×2×2＝－910.法二：取AB 的中点D ，连接OD (图略)，则OD ⊥AB ，且∠AOB ＝2∠AOD ，又圆心到直线的距离d ＝|2×0－0＋1|22＋－2＝15，即|OD |＝15，所以cos ∠AOD ＝|OD ||OA |＝125，故cos ∠AOB＝2cos 2∠AOD －1＝2×⎝⎛⎭⎪⎫1252－1＝－910. 5．已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ，则|MP |＝________.解析：圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的圆心坐标为C (1,2)，半径r ＝2，因为圆上存在两点关于直线l 对称，所以直线l ：x ＋my ＋1＝0过点(1,2)，所以1＋2m ＋1＝0，得m ＝－1，所以M (－1，－1)，|MC |2＝(1＋1)2＋(2＋1)2＝13，r 2＝4，所以|MP |＝13－4＝3.答案：36．(2019届高三·湘中名校联考)已知m >0，n >0，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是____________．解析：因为m >0，n >0，直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，所以圆心C (1,1)到直线的距离d ＝|m ＋1＋n ＋1－2|m ＋2＋n ＋2＝1，即|m ＋n |＝m ＋2＋n ＋2，两边平方并整理得m ＋n ＋1＝mn ≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22，即(m ＋n )2－4(m ＋n )－4≥0，解得m ＋n ≥2＋22，所以m ＋n 的取值范围为[2＋22，＋∞)．答案：[2＋22，＋∞)。