2013届汕头市育才中学期中考试试卷

2013届汕头市育才中学期中考试试卷赵玉苗 整理 2013-5本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷1页至2页，第Ⅱ卷3至6页 共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分） 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P （A+B ）=P （A ）+P （B ） S 球=4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P （AB ）=P （A ）P （B ） 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是 334R V π=球 P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径k n kk n n P P C k P --=)1()(一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）１设全集{0,1,2,3,4}U =，集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则A B = ð （ ） A {}1 B {}0,1C {}0,1,2,3D {}0,1,2,3,4２已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3(1)n n S a =-则1a 等于 （ ）A 12-B 12C 32-D32３不等式103xx -≥-的解集是 （ ） A {}|3x x ≤ B {}|31x x x >≤或 C {}|13x x ≤≤ D {}|13x x ≤< ４给定两个向量(1,2)a = ，(,1)b x = ，若(2)a b + 与(22)a b -平行，则x 的值等于（ ） A 1 B 2 C 31 D 21５对于数列{}n a ，“对任意*n N ∈，点(),nP n a都在直线21y x =+上”是“{}n a 为等差数列”的 （ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件６已知抛物线24x y =，则它的焦点坐标是 （ ）A 1016⎛⎫ ⎪⎝⎭，B 1016⎛⎫⎪⎝⎭， C ()10， D ()01， ７若y = 15 x + b 与y = ax + 3互为反函数，则 a + b = （ ）A －2B 2C 425D －10８若要得到函数y =sin(2x －4π)的图像，可以把函数y =sin2x 的图像 ( ) A 向右平移8π个单位 B 向左平移8π个单位 C 向左平移4π个单位 D 向右平移4π个单位 ９函数21()cos (0)3f x x w w =->的周期与函数()tan 2xg x =的周期相等，则w 等于 （ ）A 2B 1C12 D 14１０函数f(θ ) =sin θ －1cos θ －2的最大值和最小值分别是 （ ）A 最大值 43 和最小值0B 最大值不存在和最小值 34C 最大值 －43 和最小值0D 最大值不存在和最小值－34１１函数3()=ax +bx f x 在x =a1处有极值,则ab 的值为 ()A 3B －3C 0D 1１２已知数列}{n a 前n 项和为)34()1(2117139511--++-+-+-=-n S n n ，则312215S S S -+的值是 （）A 13B -76C 46D 76选择题答案填在下面表格内：06届南通市小海中学期中考试试卷 2005-11 数学试卷第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上）13已知 |a |＝1，|b |＝2，若a //b 且a 与b 同向，则a ·b____________．14已知a 为实数，8()a x +展开式中5x 的系数为7-，则a =____________．15 在ABC ∆中，1AB =2BC =，CA =AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅=_______．16在数列{}n a 中，11a =，13(1)n n a S n +=≥，则数列{a n }的通项公式11______2n n a n =⎧=⎨≥⎩三、解答题：（本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （本小题满分12分）已知等比数列{}n a 中，22a =，5128a =． （I ） 求通项n a ；（II ） 若2log n n b a =，{}n b 数列的前n 项和为n S ，且360n S =，求n 的值．18 （本小题满分12分）从10个元件中（其中4个相同的甲品牌元件和6个相同的乙品牌元件）随机选出3个参加某种性能测试 每个甲品牌元件能通过测试的概率均为54，每个乙品牌元件能通过测试的5试求： （I ）选出的3个元件中，至少有一个甲品牌元件的概率；（II ）若选出的三个元件均为乙品牌元件，现对它们进行性能测试，求至少有两个乙品牌元件同时通过测试的概率已知向量m =（sin B ，1－cos B )，且与向量n =（2，0）的夹角为3π，其中A, B, C 是∆ABC的内角．（I ）求角Ｂ的大小； （II ）求sinA+sinC 的取值范围．20 （本小题满分12分）已知函数)1)(1(log )(>+=a x x f a ，若函数)(x g y =图象上任意一点P 关于原点的对称点Q 的轨迹恰好是函数)(x f 的图象（1）写出函数)(x g 的解析式；（2）当)1,0[∈x 时，总有m x g x f ≥+)()(成立，求实数m 的取值范围如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方体，PD=CD=2，E 、F 分别是AB 、PB 的中点 （1）求证：EF ⊥CD ；（2）求DB 与平面DEF 所成角的大小；（3）在平面PAD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论22 （本小题满分14分）设)2,0(πα∈，函数)(x f 的定义域为]1,0[，且,0)0(=f 1)1(=f ，对定义域内任意的,x y ，满足)()sin 1(sin )()2(y f x f yx f αα-+=+，求:(1) )21(f 及)41(f 的值； (2)函数()sin(2)g x x α=-的单调递增区间；(3) N n ∈时，12n n a =，求)(n a f ,并猜测∈x ]1,0[时，)(x f 的表达式2013届汕头市育才中学期中考试试卷 2013-5 数学试卷参考答案选择题（每小题5分，共计60分） ＡＤＤＤＡ ＤＣＡＣＡ ＢＢ 二、填空题（每小题4分，共计16分）13．2 14． 12- 15． -5 16． 234n -三、解答题（本题共6小题，共计74分） 17 解：(Ⅰ) 设等比数列{}n a的公比为q ，则214512,128.a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩ ………………………………………………………………2分解之得11,24.a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩．………………………………………………………………4分∴112311422n n n n a a q ---==⋅=．………………………………………………6分(Ⅱ)2322log log 223n n n b a n -===-．……………………………………………8分 ∵1[2(1)3](23)2n n b b n n +-=+---=，∴{}n b是首项为1-，公差为2的等差数列． ∴(123)3602n n n S -+-==．…………………………………………………10分∴223600n n --=，∴20n =或18n =-（舍去）．…………………………………12分18．解：（Ⅰ）随机选出的3个元件中，至少有一个甲品牌元件的概率为1－6531036=C C ；………………6分（Ⅱ）至少有两个乙品牌元件同时通过测试的概率为 +-⋅⋅)531()53(223C 333)53(⋅C =12581；………………12分 答：略19．解：（1）∵m =（sinB ，1-cosB) , 且与向量=n （2，0）所成角为,3π∴,3sin cos 1=-B B……………………………………………………………………3’∴tan ,3,32,32032ππππβ=+==∴<<=C A B B B 即又 ……………………6’第一问：另解：∵ (s i n ,1c o s m B B =- , 且与向量(1,0)n = 所成角为,3π∴12=，……………………………………………………………3’∴1cos22B =，又0βπ<<，∴ 23B π=，即2,33B AC π=+= ………………6’ （2）：由（1）可得∴)3sin(cos 23sin 21)3sin(sin sin sin ππ+=+=-+=+A A A A A C A ………………………………………………8’∵30π<<A∴3233πππ<+<A ……………………………………………………………………10’ ∴⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+∴⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+1,23sin sin ,1,23)3sin(C A A π当且仅当1sin sin ,6=+==C A C A 时π…………………………………………12’20．解：（1）设(,)P x y ，则(,Q x y --∵ (,)Q x y --在函数log (1)a y x =+的图象上∴ l o g (1)a y x -=-+，即log (1)a y x =--， 这就是说，).1(log )(x x g a --= …………………………………4分 （2）当[0,1)x ∈，()()()log (1)log (1)a a F x f x g x x x =+=+--1log (1)1axa x+=>- …………………6分 由题意知，只要)11(log xxm a-+≤ ∵ 12()log log (1)11aa x F x x x +==-+--在[0,1)上是增函数 ∴ m i n ()(0)0F x F ==，故0m ≤即为所求 …………………12分 21、（满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方体，PD=CD ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点（1）求证：EF ⊥CD ；（2）在平面PAD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论； （3）求DB 与平面DEF 所成角的大小解：以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系（如图）， 则D （0，0，0）、A （2，0，0）、 B （2，2，0）、C （0，2，0）、 E （2，1，0）、F （1，1，1）、 P （0，0，2）…………2分（1）(1,0,1)(0,2,0)0EF DC ⋅=-⋅=∴EF ⊥DC …………4分（2）设平面DEF 的法向量为(,,)n x y z =由0(,,)(1,1,1)0,(,,)(2,1,0)00n DF x y z x y z n DE ⎧⋅=⋅=⎧⎪⎨⎨⋅=⋅=⎩⎪⎩ 得 即()01,2,120x y z x y z x y ++=⎧==-=⎨+=⎩取则 ∴(1,2,1)n =-…………………………………………6分cos ,||||BD n BD n BD n ⋅<>===∴ DB 与平面DEF 所成角大小为2ar π-即 …………………………8分 （3）设G （x ，0，z ），则G ∈平面PAD (1,1,1)FG x z =---(1,1,1)(2,0,0)2(1)0,1FG CB x z x x ⋅=---⋅=-==(1,1,1)(0,2,2)22(1)F G C P x z z z ⋅=---⋅-=+-==∴G 点坐标为（1，0，0），即G 点为AD 的中点 …………………………………12分22 解:(1)αααsin )0()sin 1(sin )1()()(20121=-+==+f f f f ，122011()()()sin (1sin )(0)sin 422f f f f a a a +==+-=，αααα221sin sin 2)21()sin 1(sin )1()21()43(-=-+=+=f f f f ，αααα324143sin 2sin 3)41()sin 1(sin )43()2()21(-=-+=+=f f f f ，212sin 1sin 0sin ,sin )sin 23(sin ===∴-=∴αααααα或或，4141212162)(,)(,,),,0(===∴∈f f 因此ππαα第一问：另解：αααsin )0()sin 1(sin )1()()(20121=-+==+f f f f ， 122011()()()sin (1sin )(0)sin 422f f f f a a a +==+-=又10112()()(0)sin (1sin )()sin (1sin )422f f f f a a a a +==+-=- ∴2sin a sin (1sin )a a =- 26(0,),p p a a ∈∴=11112244,(),()f f ==因此 (2))2sin()2sin()(656ππ+=-=x x x g ,)(x g ∴的增区间为)](,[2Z k k k ∈--ππππ （3） N n ∈，nn a 21=， 所以))((21)21(21)2021()21()(11N n a f f f f a f n n n n ∈==+==--， 因此)(n a f 是首项为21)(1=a f ，公比为21的等比数列，故nn n f a f 21)21()(==， 猜测x x f =)(。