2018届高三数学每天一练半小时：第4练 集合与常用逻辑用语中的易错题含答案
(易错题)高中数学必修第一册第一单元《集合与常用逻辑用语》测试(含答案解析)
一、选择题1．“21x >”是“2x >”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．已知命题“x R ∀∈，2410ax x +-<”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),4-∞-B ．(),4-∞C ．[)4,-+∞D ．[)4,+∞3．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x 2+x ﹣2≤0}，集合N ＝{y |y }，则（C U M ）∪N 等于（ ） A ．{x |x ＜﹣2或x ≥0} B ．{x |x ＞1} C ．{x |x ＜﹣1或1＜x ≤3} D ．R4．设原命题：若2a b +≥，则,a b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假状况是（ ）A ．原命题与逆命题均为真命题B ．原命题真，逆命题假C ．原命题假，逆命题真D ．原命题与逆命题均为真命题 5．设集合{1,2,3,4}A =，{1,0,2,3}B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C ⋃⋂=A ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}6．设集合{}125S x x x =-++>，{}4T x x a =-≤，S T R ⋃=，则a 的取值范围为（ ） A ．2a ≤-或1a ≥ B ．21a -≤≤C ．21a -<<D ．2a <-或1a >7．已知下列命题：①“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”；②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题； ③“2019a >”是“2020a >”的充分不必要条件； ④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题. 其中真命题的序号为（ ） A ．③④B ．①②C ．①③D ．②④8．已知命题2:230p x x +->；命题:q x a >，且q ⌝的一个充分不必要条件是p ⌝，则a 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．[)1,-+∞D ．(],3-∞9．已知1:12p x ≥-，:||2q x a -<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,4]-∞B ．[1,4]C ．(1,4]D ．(1,4)10．已知在等比数列{}n a 中，120,2a a >+是11a +与33a +的等比中项，则“113a =”是“数列{}n a 唯一”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．若集合1|,6 A x x m m Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭， 1|,23n B x x n Z ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，1|,26p C x x p Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则A ，B ，C 之间的关系是（ ）A ．ABC ==B ．AB C = C ．ABC D ．B CA12．在下列三个结论中，正确的有（ ） ①x 2>4是x 3<－8的必要不充分条件；②在ABC 中，AB 2＋AC 2＝BC 2是ABC 为直角三角形的充要条件； ③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为0”的充要条件. A ．①② B ．②③ C ．①③D ．①②③二、填空题13．给出下列三种说法：①命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝1，命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p ∧(q ⌝)”是假命题．②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab＝－3. ③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x 2－3x ＋2≠0”． 其中所有正确说法的序号为________________．14．已知集合{}3A x x =≤，{}2B x x =<，则RAB =__________．15．已知1a ≤，集合{}2x a x a ≤≤-中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围为________.16．已知集合{}{}10|133xA aB x =-=，，，＜＜，若A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围是______.17．已知数集{}{},,,1,2,3,4a b c d =，且有下列说法：①1a =；②2>c ；③4d ≠，则满足(),,,a b c d 的数值有________组.18．若集合A ＝{x|2≤x≤3}，集合B ＝{x|ax －2＝0，a ∈Z}，且B ⊆A ，则实数a ＝________. 19．已知集合{}{}22,1,A B a==，若{}0,1,2AB =,则实数a =________.20．已知()2:9p x a -<，()3:log 21q x +<．若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．三、解答题21．已知集合()(){}10A x x a x a =-++≤，{3B x x =≤或}6x ≥. （1）当4a =时，求AB ；（2）当0a >时，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求a 的取值范围. 22．已知集合411A x x ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，集合{}22220,B x x x a a a R =+-+<∈.（1）求集合A ；（2）若x B ∈是x A ∈的必要条件，求实数a 的取值范围. 23．知2:8150p x x -+≤，(): q xx a a -+-≤>222100.（Ⅰ）若p 为真命题，求实数x 的取值范围；（Ⅱ）若p 为q 成立的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 24．设集合{}|25A x x =-≤≤，{}|121B x m x m =+≤≤-. （1）若B A ⊆，求实数m 的取值范围； （2）当x ∈Z 时，求A 的非空真子集个数；（3）当x ∈R 时，不存在元素x 使x A ∈与x B ∈同时成立，求实数m 的取值范围. 25．已知0a >，设p ：实数x 满足22430x ax a -+<，q ：实数x 满足()231x -<．（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 26．已知集合121284x A x⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，21log ,,328B y y x x ⎧⎫⎡⎤==∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭. （1）若{}122C x m x m =+<≤-，()C A B ⊆⋂，求实数m 的取值范围；（2）若{}61D x x m =>+，且()AB D =∅，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】设{}21A x x =>，{}2B x x =>，然后根据集合包含关系分析充分性和必要性. 【详解】设{}{211A x x x x =>=>或}1x <-，设{}2B x x =>，可得B A ，所以“21x >”是“2x >”的必要不充分条件. 故选：B . 【点睛】方法点睛：充分性和必要性的判断方法：1、定义法，2、命题法，3、传递法，4、集合法.2．C解析：C 【分析】由题意可知，命题“x R ∃∈，2410ax x +-≥”是真命题，分0x =和0x ≠两种情况讨论，结合参变量分离法可求得实数a 的取值范围. 【详解】由题意可知，命题“x R ∃∈，2410ax x +-≥”是真命题. 当0x =时，则有10-≥，不合乎题意；当0x ≠时，由2410ax x +-≥，可得214ax x ≥-，则有221414x a x x x-≥=-， 22141244x x x ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭，当且仅当12x =时，等号成立， 所以，4a ≥-.综上所述，实数a 的取值范围是[)4,-+∞. 故选：C. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.3．A解析：A 【分析】解出不等式x 2+x ﹣2≤0的解集，求出补集，根据集合的运算法则求解. 【详解】解不等式x 2+x ﹣2≤0得：-2≤x ≤1，C U M=()(),21,-∞-+∞，N ＝{y |y }[)0,=+∞， （C U M ）∪N={x |x ＜﹣2或x ≥0}. 故选：A 【点睛】此题考查集合的基本运算，关键在于准确求解二次不等式，根据集合的运算法则求解.4．B解析：B 【分析】写出原命题的逆否命题，判断其逆否命题为真，从而得到原命题也为真. 【详解】原命题的逆否命题为：若,a b 中没有一个大于等于1，则2a b +<，等价于“若1,1a b <<，则2a b +<”，显然这个命题是对的，所以原命题正确； 原命题的逆命题为：“若,a b 中至少有一个不小于1，则2a b +≥”，取5,5a b ==-则,a b 中至少有一个不小于1，但0a b +=，所以原命题的逆命题不正确. 【点睛】至少有一个的否定为“0个”，“不小于”等价于“大于等于”，同时注意若原命题的真假性不好判断，而等价于判断其逆否命题.5．C解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B =-，结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C =-.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.6．B解析：B 【解析】{|32},[4,=4]S x x x T a a =-=-或 ，所以432142a a a -≤-⎧⇒-≤≤⎨+≥⎩ ，选A. 点睛：形如|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a ]，(a ，b ]，(b ，＋∞)(此处设a ＜b )三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x －a |＋|x －b |＞c (c ＞0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体；(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a |＋|x －b |和y 2＝c 的图象，结合图象求解.7．B解析：B 【分析】由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断． 【详解】“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”，正确；已知为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题，正确； “2019a >”是“2020a >”的必要不充分条件,错误；“若0xy =，则0x =且0y =”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误. 故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础．8．B解析：B 【分析】解一元二次不等式化简命题p ，再利用集合间的基本关系，求得参数a 的取值范围. 【详解】由2:230p x x +->，知3x <-或1x >， 则p ⌝为31x -≤≤，q ⌝为x a ≤， p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，∴1{|}3x x ≤≤-{|}x x a ≤∴1a ≥.故选：B. 【点睛】本题考查利用命题的充分不必要条件求参数的取值范围，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将充分不必要条件转化为真子集的关系.9．C解析：C【分析】求出p ，q 的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论. 【详解】由112x ≥-，即302x x -≤-，解得23x <≤， 由||2x a -<得22a x a -<<+，若p 是q 的充分不必要条件，则2223a a -≤⎧⎨+>⎩，解得14a <≤，实数a 的取值范围为(]1,4， 故选：C. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，属于中档题.10．C【分析】根据条件“在等比数列{}n a 中，120,2a a >+是11a +与33a +的等比中项”求解数列{}n a ，然后由充分必要条件的定义判断．【详解】在等比数列{}n a 中，120,2a a >+是11a +与33a +的等比中项，则2213(2)(1)(3)a a a +=++，22213134433a a a a a a ++=+++， 设{}n a 的公比为q ，则22222111114433a q a q a q a a q ++=+++，211430q q a -+-=（*），10a >，因为1114164(3)40a a ∆=--=+>，所以此方程一定有两不等实解，当等比数列{}n a 只有一解时，方程（*）的两解中一解为0q =需舍去，此时113a =； 若113a =，方程（*）有一个解是0q =，另一解4q =．数列{}n a 只有一解， 由上分析知113a =是数列{}n a 唯一的充要条件． 故选：C ． 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件的定义是解题关键．11．B解析：B 【分析】分别将集合中的元素表示为61,6m x x m Z ⎧⎫+=∈⎨⎬⎩⎭，31|,6t x x t Z +⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭和31|,6p x x p Z +⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭即可得结果. 【详解】 ∵161|,,66m A x x m m Z x x m Z ⎧⎫+⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 13231|,|,|,2366n n t B x x n Z x x n Z x x t Z -+⎧⎫⎧⎫⎧⎫==-∈==∈==∈⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭，131|,|,266p p C x x p Z x x p Z +⎧⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭显然A B C =，故选：B.本题主要考查集合间的包含关系的判断，考查集合的包含关系等基础知识，属于基础题.12．C解析：C 【分析】①，证明x 2>4是x 3<－8的必要不充分条件.所以该命题正确；②，在ABC 中，AB 2＋AC 2＝BC 2是ABC 为直角三角形的充分不必要条件，所以该命题错误；③,证明“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为0”的充要条件，所以该命题正确. 【详解】①，x 2>4即2x >或2x <-，x 3<－8即2x <-，因为2x >或2x <-成立时，2x <-不一定成立，所以x 2>4是x 3<－8的不充分条件；因为2x <-成立时，2x >或2x <-一定成立，所以x 2>4是x 3<－8的必要条件.即x 2>4是x 3<－8的必要不充分条件.所以该命题正确. ②， AB 2＋BC 2＝AC 2成立时，ABC 为直角三角形一定成立；当ABC 为直角三角形成立时，AB 2＋BC 2＝AC 2不一定成立，所以在ABC 中，AB 2＋AC 2＝BC 2是ABC 为直角三角形的充分不必要条件，所以该命题错误.③,即判断“0,0a b ==”是“a 2＋b 2=0”的什么条件，由于a 2＋b 2=0即0,0a b ==，所以“0,0a b ==”是“a 2＋b 2=0”的充要条件，所以“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为0”的充要条件，所以该命题正确. 故选：C. 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定，考查逆否命题和原命题的等价性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题13．①③【解析】试题分析：①若命题p ：存在x ∈R 使得tanx=1；命题q ：对任意x ∈Rx2-x+1＞0则命题p 且¬q 为假命题此结论正确对两个命题进行研究发现两个命题都是真命题故可得p 且¬q 为假命题②已知解析：①③ 【解析】试题分析：①若命题p ：存在x ∈R ，使得tanx=1；命题q ：对任意x ∈R ，x 2-x+1＞0，则命题“p 且¬q”为假命题，此结论正确，对两个命题进行研究发现两个命题都是真命题，故可得“p 且¬q”为假命题.②已知直线l 1：ax+3y-1=0，l 2：x+by+1=0.则l 1⊥l 2的充要条件为ab ＝−3，若两直线垂直时，两直线斜率存在时，斜率乘积为a b ＝−3，当a=0，b=0时，此时两直线垂直，但不满足a b＝−3，故本命题不对.③命题“若x 2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1则x 2-3x+2≠0”，由四种命题的书写规则知，此命题正确；考点：复合命题的真假；四种命题14．【分析】根据集合的交集补集运算即可求解【详解】因为所以因此故答案为【点睛】本题主要考查了集合的补集交集运算属于中档题 解析：[]2,3【分析】根据集合的交集补集运算即可求解. 【详解】因为{}2B x x =<， 所以RB ={}2x x ≥因此RAB ={}{}32=[2,3]x x x x ≤⋂≥.故答案为[]2,3 【点睛】本题主要考查了集合的补集，交集运算，属于中档题.15．【分析】首先分析出集合里面必有元素1再讨论集合为三种情况讨论求的取值范围【详解】所以集合里的元素一定有1集合有3个元素当集合是时有集合是空集；当集合是时有解得：；当集合是时有集合是空集；综上：的取值 解析：(]1,0-【分析】首先分析出集合里面必有元素1，再讨论集合为{}1,2,3，{}0,1,2，{}1,0,1- 三种情况讨论，求a 的取值范围. 【详解】1a ≤ ，21a ∴-≥ ，所以集合里的元素一定有1， 集合有3个元素，当集合是{}1,2,3时，有01324a a <≤⎧⎨≤-<⎩，集合是空集；当集合是{}0,1,2时，有10223a a -<≤⎧⎨≤-<⎩，解得：10a -<≤ ；当集合是{}1,0,1-时，有21122a a -<≤-⎧⎨≤-<⎩ ，集合是空集；综上：a 的取值范围是(]1,0- 故答案为(]1,0- 【点睛】本题考查根据集合的元素个数求参数的取值范围，意在考查分类，转化，和计算求解能力，属于中档题型.16．或或【解析】【分析】由指数不等式的解法得由集合的运算及集合元素的互异性可得实数的取值范围是或或【详解】解:解不等式可得即又且则或或故答案为:或或【点睛】本题考查了指数不等式的解法及集合的运算重点考查解析：1a <-或 10a -<<或1a ≥ 【解析】 【分析】由指数不等式的解法得{}|01B x x =<<，由集合的运算及集合元素的互异性可得实数a 的取值范围是1a <-或10a -<<或1a ≥. 【详解】解:解不等式133x <<可得01x <<,即{}|01B x x =<<, 又{}1,0,A a =-,且A B φ⋂=,则1a <-或10a -<<或1a ≥, 故答案为:1a <-或 10a -<<或1a ≥. 【点睛】本题考查了指数不等式的解法及集合的运算，重点考查了集合元素的互异性，属基础题.17．【分析】列举出符合条件的数组即可【详解】则的取值可以是或①时即数组为；②时则或即数组为和因此符合题中条件的数组有组故答案为：【点睛】本题主要考查集合相等的应用根据条件进行分类讨论是解本题的关键考查分 解析：3【分析】列举出符合条件的数组(),,,a b c d 即可. 【详解】1a =，2>c ，4d ≠，则c 的取值可以是3或4.①3c =时，4b =，2d =，即数组为()1,4,3,2；②4c =时，则2b =，3d =或3b =，2d =，即数组为()1,2,4,3和()1,3,4,2. 因此，符合题中条件的数组(),,,a b c d 有3组，故答案为：3. 【点睛】本题主要考查集合相等的应用，根据条件进行分类讨论是解本题的关键，考查分类讨论数学思想，属于中等题.18．0或1【分析】根据B ⊆A 讨论两种情况：①B=∅；②B≠∅分别求出a 的范围；【详解】∵B ⊆A 若B=∅则a=0；若B≠∅则因为若2∈B ∴2a ﹣2=0∴a=1若3∈B 则3a ﹣2=0∴a=∵a ∈Z ∴a≠∴a解析：0或1 【分析】根据B ⊆A ，讨论两种情况：①B=∅；②B≠∅，分别求出a 的范围；【详解】∵B ⊆A ，若B=∅，则a=0；若B≠∅，则因为若2∈B ，∴2a ﹣2=0，∴a=1，若3∈B ，则3a ﹣2=0，∴a=32，∵a ∈Z ，∴a≠32， ∴a=0或1，故答案为a=0或1．【点睛】此题主要考查集合关系中的参数的取值问题，此题是一道基础题，注意a 是整数． 19．0【解析】分析：根据集合的并集的含义有集合A 或B 必然含有元素0又由集合AB 可得从而求得结果详解：根据题意若则A 或B 必然含有元素0又由则有即故答案是0点睛：该题考查的是有关集合的运算问题利用两个集合的 解析：0.【解析】分析：根据集合的并集的含义，有集合A 或B 必然含有元素0，又由集合A,B 可得20a =，从而求得结果.详解：根据题意，若{}=0,1,2A B ⋃，则A 或B 必然含有元素0，又由{}{}22,1,A B a ==，则有20a =，即0a =，故答案是0.点睛：该题考查的是有关集合的运算问题，利用两个集合的并集中的元素来确定有关参数的取值问题，属于基础题目.20．【分析】解不等式和由题意可得是的必要不充分条件转化为两集合的包含关系由此可求得实数的取值范围【详解】因为是的充分不必要条件所以是的必要不充分条件解不等式得解不等式解得所以即因此实数的取值范围是故答解析：[]2,1-【分析】解不等式()29x a -<和()3log 21x +<，由题意可得p 是q 的必要不充分条件，转化为两集合的包含关系，由此可求得实数a 的取值范围.【详解】因为p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，所以p 是q 的必要不充分条件，解不等式()29x a -<，得33a x a -<<+，解不等式()3log 21x +<，解得21x -<<. :33p a x a -<<+，:21q x -<<，{}33x a x a ∴-<<+ {}21x x -<<，所以3231a a -≤-⎧⎨+≥⎩，即21a -≤≤．因此，实数a 的取值范围是[]2,1-.故答案为：[]2,1-.【点睛】本题考查利用充分不必要条件求参数，解答的关键就是转化为集合的包含关系来处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 三、解答题21．（1）{4A B x x ⋃=≤或}6x ≥；（2）(]0,3.【分析】（1）当4a =时，解出集合A ，计算A B ； （2）由集合法判断充要条件，转化为A B ⊆，进行计算. 【详解】解：（1）当4a =时，由不等式()()450-+≤x x ，得54x -≤≤，故{}54A x x =-≤≤， 又{3B x x =≤或}6x ≥， 所以{4A B x x ⋃=≤或}6x ≥.（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，等价于A B ⊆，因为0a >，由不等式()()10x a x a -++≤，得{}1A x a x a =--≤≤， 又{3B x x =≤或}6x ≥，要使A B ⊆，则3a ≤或16a --≥，综合可得a 的取值范围为(]0,3.【点睛】结论点睛：有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：(1)若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；(2)若p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；(3)若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；(4)若p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对应集合与p 对应集合互不包含．22．（1）()13A ,=-；（2）(][),35,-∞-+∞.【分析】 （1）解分式不等式411x >+可得集合A ； （2）由已知条件可得出A B ⊆，对a -和2a -的大小关系进行分类讨论，结合A B ⊆可得出实数a 所满足的不等式（组），综合可解得实数a 的取值范围.【详解】（1）因为411x >+，所以431011x x x --=>++， 所以()()130x x +-<，所以13x，故()13A ,=-； （2）由22220x x a a +-+<得()()20x a x a +-+<，由x B ∈是x A ∈的必要条件，知A B ⊆.①当2a a -<-，即1a >时，{}2B x a x a =-<<-，则1231a a a >⎧⎪-≥⎨⎪-≤-⎩，解得5a ≥；②当2a a ->-，即1a <时，{}2B x a x a =-<<-，则1321a a a <⎧⎪-≥⎨⎪-≤-⎩，解得3a ≤-；③当2a a =-，即1a =时，B =∅，不满足A B ⊆.综上可得，实数a 的取值范围为(][),35,-∞-+∞. 【点睛】结论点睛：本题考查利用充分条件求参数，一般可根据如下规则求解：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应集合与p 对应集合互不包含． 23．（Ⅰ）[]3,5；（Ⅱ）[)4,+∞.【分析】（Ⅰ）解不等式28150x x -+≤即得；（Ⅱ）再求出不等式()222 x x a a -+-≤>100的解，由充分不必要条件与集合包含的关系得出不等关系，可求得结论．【详解】（Ⅰ）若p 为真命题，解不等式28150x x -+≤得35x ≤≤，实数x 的取值范围是[]3,5.（Ⅱ）解不等式()222 x x a a -+-≤>100得11a x a -≤≤+， p 为q 成立的充分不必要条件，[]3,5∴是[]1,1a a -+的真子集.1315a a -≤⎧∴⎨+≥⎩且等号不同时取到，得4a ≥. ∴实数a 的取值范围是[)4,+∞.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．24．（1）{}3|m m ≤（2）254 （3）{}|24m m m <>或【分析】（1）对集合B 分空集和非空集两种情况讨论得解；（2）当x ∈Z 时，{}2,1,0,1,2,3,4,5A =--，再求A 的非空真子集个数；（3）分B =∅和B ≠∅两种情况讨论得解.【详解】（1）当121m m +>-，即2m <时，B =∅，满足B A ⊆.当121m m +≤-，即2m ≥时，要使B A ⊆成立，只需12,215,m m +≥-⎧⎨-≤⎩即23m ≤≤. 综上，当B A ⊆时，m 的取值范围是{}3|m m ≤.（2）当x ∈Z 时，{}2,1,0,1,2,3,4,5A =--，∴集合A 的非空真子集个数为822254-=.（3）∵x ∈R ，且{}|25A x x =-≤≤，{}|121B x m x m =+≤≤-，又不存在元素x 使x A ∈与x B ∈同时成立，∴当B =∅，即121m m +>-，得2m <时，符合题意；当B ≠∅，即121m m +≤-，得2m ≥时，2,15,m m ≥⎧⎨+>⎩或2,212,m m ≥⎧⎨-<-⎩解得4m >. 综上，所求m 的取值范围是{}|24m m m <>或.【点睛】本题主要考查集合的关系和真子集的个数的计算，考查集合的元素和集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.25．(1) 23x <<;(2) 4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】试题分析：（1）p 为真时实数x 的取值范围是13x <<，q 为真时实数x 的取值范围是，然后求交集即可；（2）p ⌝是q ⌝的充分不必要条件即即q 是p 的充分不必要条件，易得：2a ≤且43a ≤.试题（1）由22430x ax a -+<得()()30x a x a --<当1a =时，13x <<，即p 为真时实数x 的取值范围是13x <<.由()231x -<，得24x <<，即q 为真时实数x 的取值范围是24x << 因为p q ∧为真，所以p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是23x <<.（2）由22430x ax a -+<得()()30x a x a --<，所以，p 为真时实数x 的取值范围是3a x a <<.因为 p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件所以2a ≤且43a ≤所以实数a 的取值范围为：4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 26．（1）7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）[)1,+∞ 【分析】结合指数函数和对数函数性质可分别求得集合A 和集合B ；（1）由交集定义得到A B ，分别在C =∅和C ≠∅两种情况下构造不等式求得结果； （2）由并集定义得到A B ，根据交集结果可构造不等式求得结果.【详解】 {}[]12128272,74x A x x x ⎧⎫=≤≤=-≤≤=-⎨⎬⎩⎭ {}[]21log ,,32353,58B y y x x y y ⎧⎫⎡⎤==∈=-≤≤=-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭ （1）[]2,5A B =-当C =∅时，122+≥-m m ，解得：3m ≤，满足()C A B ⊆⋂当C ≠∅时，12212225m m m m +<-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得：732<≤m 综上所述：实数m 的取值范围为7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）[]3,7A B =-()A B D =∅ 617m ∴+≥，解得：m 1≥∴实数m 的取值范围为[)1,+∞【点睛】本题考查根据集合包含关系、交集结果求解参数范围的问题，涉及到指数函数和对数函数性质的应用；易错点是在根据包含关系求参数范围时，忽略子集可能为空集的情况，造成范围求解错误.。
高考数学压轴专题新备战高考《集合与常用逻辑用语》易错题汇编附答案
【最新】数学《集合与常用逻辑用语》高考知识点一、选择题1．设全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}0,1,2A =，集合{}2,3B =，则()C A B ⋃⋃=（ ） A ．∅B ．{}1,2,3,4C ．{}2,3,4D ．{}0,1,2,3,4【答案】C【解析】【分析】先求C A ⋃，再根据并集定义求结果.【详解】因为{}3,4C A ⋃=，所以(){}2,3,4C A B ⋃⋃=，选C.【点睛】本题考查集合的补集与并集，考查基本分析求解能力，属基本题.2．下列四个命题中真命题的个数是①命题2“340,1?x x x --==-若则的逆否命题为2“1,340?x x x ≠---≠若则； ②命题“,cos 1?x R x ∀∈≤的否定是00“,cos 1?x R x ∃∈>③命题“(,0)x ∃∈-∞，23x x <”是假命题.④命题[):1,,lg 0"p x x ∀∈+∞≥，命题2:,10q x R x x ∃∈++<，则p q ∨为真命题 A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D【解析】【分析】根据四种命题的关系进行判断．【详解】①命题2“340,1?x x x --==-若则的逆否命题为2“1,340?x x x ≠---≠若则，正确；②命题“,cos 1?x R x ∀∈≤的否定是00“,cos 1?x R x ∃∈>，正确；③命题“(),0x ∃∈-∞，23x x <”是假命题，正确.④命题[):1,,lg 0"p x x ∀∈+∞≥，命题2:,10q x R x x ∃∈++<，p 是真命题， 则p q ∨为真命题，正确．因此4个命题均正确．故选D ．【点睛】本题考查四种命题及其关系，解题时可根据四种命题的关系进行判断①②，同指数函数的性质判断③，由或命题的真值表判断④，是解此类题的一般方法，本题属于基础题．3．若集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0}，集合B ＝{x|2x <2}，则A∩B 等于( )A ．(1,3)B ．(－∞，－1)C ．(－1,1)D ．(－3,1)【答案】C【解析】【分析】根据不等式的解法，求得集合,A B ，根据集合的交集运算，即可求解.【详解】依题意，可得集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0}＝(-1,3)，B ＝{x|2x <2}＝(－∞，1)，∴A ∩B ＝(－1,1)．【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确利用不等式的解法，求得集合,A B 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．下列三个命题中，真命题的个数为（ ）①命题p ：0(1,)x ∃∈+∞，0002x x >-，则p ⌝：(1,)x ∀∈+∞，02x x ≤-； ②p q ∧为真命题是p q ∨为真命题的充分不必要条件；③若22ac bc >，则a b >的逆命题为真命题；A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】C【解析】【分析】对三个命题逐一判断即可.【详解】 ①中p ⌝：()1x ∀∈+∞，，02x x ≤-或2x =，所以①为假命题； ②为真命题； ③中逆命题为：若a b >，则22ac bc >，若c 为0，则③错误，即③为假命题. 故选：C .【点睛】本题考查命题的真假，属于基础题.5．已知,αβ是不同的两个平面，直线a α⊂，直线b β⊂，条件:p a 与b 没有公共点，条件://q αβ，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】∵a 与b 没有公共点时，a 与b 所在的平面β可能平行，也可能相交（交点不在直线b 上）∴命题p ：a 与b 没有公共点⇒命题q ：α∥β，为假命题又∵α∥β时，a 与b 平行或异面，即a 与b 没有公共点∴命题q ：α∥β⇒命题p ：a 与b 没有公共点，为真命题；故p 是q 的必要不充分条件故选B6．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】B【解析】分析：由题意考查充分性和必要性即可求得最终结果.详解：若//l αβα⊥，，则l β⊥，又//m β，所以l m ⊥；若l m ⊥，当//m β时，直线l 与平面β的位置关系不确定，无法得到//αβ. 综上，“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件.本题选择B 选项.点睛：本题主要考查线面平行的判断定理，面面平行的判断定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒ q ”为真，则p 是q 的充分条件．8．等价法：利用p ⇒ q 与非q ⇒非p ， q ⇒ p 与非p ⇒非q ， p ⇔ q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．9．已知集合{}2|log ,1,|A y y x x B x y ⎧==>==⎨⎩，则A B =I （ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】 ∵集合{}2log ,1A y y x x ==∴集合(0,)A =+∞∵集合|B x y ⎧==⎨⎩ ∴集合1(,)2B =-∞ ∴1(0,)2A B ⋂=故选A.10．已知公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >，则“1q >”是“53a a >”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据等比数列的性质可得530,0a a >>，若53a a >，可得21q >，然后再根据充分条件和必要条件的判断方法即可得到结果．【详解】由于公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >，所以530,0a a >>，若53a a >，则233a q a >，所以21q >，即1q >或1q <-，所以公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >，则“1q >”是“53a a >”的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题主要考查了等比数列的相关性质和充分必要条件的判断方法，熟练掌握等比数列的性质是解题的关键.11．已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()R A B =I ð（ ） A ．{}13x x -≤< B ．{}19x x -≤≤C ．{}13x x -<≤D ．{}19x x -<< 【答案】C【解析】【分析】 解出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义得出集合()R A B ⋂ð.【详解】解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >；解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤.{}13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤ð，因此，(){}13R A B x x ⋂=-<≤ð，故选：C.【点睛】本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.12．给出下列说法：①定义在[],a b 上的偶函数()()24f x x a x b =-++的最大值为20； ②“4x π=”是“tan 1x =”的充分不必要条件；③命题“()00,x ∃∈+∞，0012x x +≥”的否定形式是“()0,x ∀∈+∞，12x x +<”． 其中正确说法的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】【分析】 根据偶函数的定义求得a 、b 的值，利用二次函数的基本性质可判断①的正误；解方程tan 1x =，利用充分条件和必要条件的定义可判断②的正误；根据特称命题的否定可判断③的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题①，二次函数()()24f x x a x b =-++的对称轴为直线42a x +=， 该函数为偶函数，则402a +=，得4a =-，且定义域[]4,b -关于原点对称，则4b =， 所以，()24f x x =+，定义域为[]4,4-，()()max 420f x f ∴=±=，命题①正确； 对于命题②，解方程tan 1x =得()4x k k Z ππ=+∈， 所以，tan 14x x π=⇒=，tan 14x x π=⇐=/， 则“4x π=”是“tan 1x =”的充分不必要条件，命题②正确；对于命题③，由特称命题的否定可知③正确.故选：D.【点睛】本题以考查命题真假性的形式，考查函数奇偶性、二次函数最值，充分条件与必要条件 还有特称命题的否定，考查的知识点较多，能较好地检测考生的逻辑推理能力，属中等题．13．已知实数a b 、满足0ab >，则“11a b <成立”是“a b >成立”的（ ） A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件 【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】 由11b a a b ab--=， 0ab >Q ，∴若11a b < 成立, 则0b a -< ，即a b >成立，反之若a b >，0ab >Q ，110b a a b ab-∴-=<， 即11a b<成立， ∴“11a b<成立”是“a b > 成立”充要条件，故选C. 【点睛】本题主要考查不等式的性质以及充分条件和必要条件的应用，属于中档题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.14．“13m -<<”是“方程22117x y m m+=+-表示椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】 方程22117x y m m+=+-表示椭圆解得13m -<<或37m <<，根据范围大小判断得到答案.【详解】 因为方程22117x y m m +=+-表示椭圆，所以107017m m m m +>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩，解得13m -<<或37m <<. 故“13m -<<”是“方程22117x y m m+=+-表示椭圆”的充分不必要条件. 故选：A【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.15．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是A ．M N N =IB ．()U M N =∅I ðC ．M N U =UD ．()U M N ⊆ð 【答案】A【解析】【分析】求函数定义域得集合M ，N 后，再判断．【详解】由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =I ．故选A ．【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．16．若命题“[1,2]x ∀∈，2210x ax -+>”是真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．(,1)-∞ D ．(1,)+∞【答案】C【解析】【分析】分离参数，将问题转化为[]1,2x ∀∈，2111()22x a x x x+<=+恒成立，结合基本不等式求解最值即可得解.【详解】若命题“[]1,2x ∀∈，2210x ax -+>”是真命题，则[]1,2x ∀∈，212x ax +>，即2111()22x a x x x +<=+恒成立， 111()12x x x x+≥⋅=Q ，当且仅当1x =时等号成立， ∴1a <，即实数a 的取值范围是(,1)-∞.故选：C ．【点睛】此题考查根据全称命题的真假求参数的取值范围，利用分离参数，将问题转化为求函数最值求解范围，需要注意等价变形.17．已知命题p ：“x ∈R 时，都有x 2－x ＋14<0”；命题q ：“存在x ∈R ，使sinx ＋cosx ＝2成立”．则下列判断正确的是（ ）A ．p ∨q 为假命题B ．p ∧q 为真命题C ．非p ∧q 为真命题D ．非p ∨非q 是假命题 【答案】C【解析】【分析】【详解】试题分析：：∵任意x ∈R 时，都有x 2-x+14=（x−12）2≥0， ∴p 是假命题；∵sinx+cosx=2sin （x+4π），当x=4π时，sinx+cosx=2， ∴q 是真命题，∴p ∨q 是真命题，非p n q 为真命题，故选C考点：复合命题的真假18．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =I （ ）A ．3(3,)2-- B ．3(3,)2- C ．3(1,)2 D ．3(,3)2【答案】D【解析】 试题分析：集合()(){}{}|130|13A x x x x x =--<=<<，集合，所以3|32A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭,故选D. 考点：1、一元二次不等式；2、集合的运算.19．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =I ，则实数a 的取值范围是( )A ．(,2]-∞-B ．[2,)+∞C ．(,2]-∞D ．[2,)-+∞ 【答案】B【解析】由题意可得{}|2A x x =<，结合交集的定义可得实数a 的取值范围是[)2,+∞ 本题选择B 选项.20．0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】 当，得a <1时方程有根．a <0时，，方程有负根，又a =1时，方程根为，所以选B ．。
加练半小时高考数学江苏专用理科专题复习：4专题1集合与常用逻辑用语 含答案
训练目标(1)逻辑联结词的含义及应用；(2)量词及全称命题、存在性命题的概念. 训练题型 (1)含逻辑联结词的命题的真假判断；(2)全称命题、存在性命题的真假判断与否定；(3)和命题有关的求参数范围问题.解题策略 (1)判断含逻辑联结词命题的真假，要先判断每个简单命题的真假；(2)含一个量词的命题的否定规律是：改量词，否判断词；(3)和命题有关的参数范围问题，应先求出每个简单命题为真时参数的范围，再根据每个命题的真假情况求解.1．“p ∨q 为真”是“綈p 为假”的________条件．2．(2015·慈溪市、余姚市高三期中联考)在一次射击训练中，甲、乙两位运动员各射击一次，设命题p 是“甲射中目标”，q 是“乙射中目标”，则命题“至少有一位运动员没有射中目标”可表示为________．3．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x ，x >0；④对于任意实数x,2x ＋1是奇数．其中存在性命题为________(填序号)．4．一元二次方程ax 2＋4x ＋3＝0 (a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是________． ①a <0；②a >0；③a <－1；④a >1.5．(2015·安徽合肥八中段考)四个命题：①命题“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”的逆否命题是“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”；②若p ∨q为真命题，则p ，q 均为真命题；③若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≠0，则綈p ：∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＝0；④“x >2”是“x 2－3x ＋2>0成立”的充分不必要条件．其中真命题是________．6．下列4个命题：p 1：∃x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫13x ；p 2：∃x ∈(0,1)，log 12x >log 13x ； p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x >log 12x ； p 4：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x <log 13x . 其中的真命题是________．7．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围是__________．8．(2015·湖北改编)命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是________________________．9．已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0.若命题p 且q 是真命题，则实数a 的取值范围是________．10．给出以下命题：①∀x ∈R ，|x |>x ；②∃α∈R ，sin 3α＝3sin α；③∀x ∈R ，x >sin x ；④∃x ∈(0，＋∞)，(12)x <(13)x ，其中正确命题的序号有________． 11．(2015·河北石家庄市二模)已知条件p ：x 2－3x －4≤0，条件q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0，若綈q 是綈p 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________________．12．在下列四个命题中，真命题的个数是________．①∀x ∈R ，x 2＋x ＋3>0；②∀x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1是有理数； ③∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β；④∃x 0，y 0∈Z ，使3x 0－2y 0＝10.13．(2015·广东湛江第一中学月考)已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0；命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立．若p ∧q 为假命题，则m 的取值范围是 ．14．已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋2|＋2x (x ∈R )，命题p ：关于x 的不等式f (x )≥m 2＋2m －2对任意的x ∈R 恒成立；命题q ：指数函数y ＝(m 2－1)x 是增函数．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，则实数m 的取值范围是____________________________．答案解析1．必要不充分解析 若p ∨q 为真命题，则p ，q 中只要有一个命题为真命题即可，∴綈p 不一定为假，∴“p ∨q 为真”不能推出“綈p 为假”；若綈p 为假命题，则p 为真命题，能推出p ∨q 为真命题．∴“p ∨q 为真”是“綈p 为假”的必要不充分条件．2．(綈p )∨(綈q )解析 命题綈p ：甲没射中目标，綈q ：乙没射中目标，∴“至少有一位运动员没有射中目标”就是“甲没射中目标，或乙没射中目标”．所以可表示为(綈p )∨(綈q )．3．②③4．③解析 一元二次方程ax 2＋4x ＋3＝0 (a ≠0)有一个正根和一个负根⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝16－4·a ·3>0，3a <0，解得a <0，故a <－1是它的一个充分不必要条件．5．①③④解析 对于①，显然是正确的；对于②，根据复合命题的真值表，可能有p 真q 假、p 假q 真、p 真q 真三种情况，故②是错误的；对于③，由全称命题的否定形式知③是正确的；对于④，x 2－3x ＋2>0的解集是{x |x >2或x <1}，故④是正确的．6．p 2，p 47．3≤m <8解析 因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3.又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8，故实数m 的取值范围是3≤m <8.8．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1解析 存在性命题的否定是全称命题，且注意否定结论，故原命题的否定是：“∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1”．9．a ≤－2或a ＝1解析 ∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，即a ≤x 2对任意x ∈[1,2]恒成立，等价于a ≤x 2(其中x ∈[1,2])的最小值，当1≤x ≤2时，1≤x 2≤4，所以a ≤1.∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0，即方程x 2＋2ax＋2－a ＝0有实根，则Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a 2＋a －2≥0，解得a ≤－2或a ≥1.若命题p且q 是真命题，则实数a 满足⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≤－2或a ≥1， 解得a ≤－2或a ＝1.10．②解析 x ≥0时，|x |＝x ，①错；当α＝0时，sin 3α＝3sin α，②正确；当x ＝－π2时，x <sin x ，③错；根据指数函数的图象可以判断，当x ∈(0，＋∞)时，(12)x >(13)x ，④错．故正确命题的序号只有②. 11．{m |m ≤－4或m ≥4}解析 ∵綈q 是綈p 的充分不必要条件，∴p 是q 的充分不必要条件，∴{x |x 2－3x －4≤0}{x |x 2－6x ＋9－m 2≤0}，∴{x |－1≤x ≤4}{x |(x ＋m －3)(x －m －3)≤0}．当－m ＋3＝m ＋3，即m ＝0时，不合题意．当－m ＋3>m ＋3，即m <0时，有{x |－1≤x ≤4}{x |m ＋3≤x ≤－m ＋3}， 此时⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3≤－1，－m ＋3≥4，解得m ≤－4. 当－m ＋3<m ＋3，即m >0时，有{x |－1≤x ≤4}{x |－m ＋3≤x ≤m ＋3}， 此时⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋3≤－1，m ＋3≥4，解得m ≥4. 综上，实数m 的取值范围是{m |m ≤－4或m ≥4}．12．4解析 ①中x 2＋x ＋3＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋114≥114>0，故①是真命题． ②中x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1一定是有理数，故②是真命题． ③中α＝π4，β＝－π4时，sin(α＋β)＝0，sin α＋sin β＝0，故③是真命题．④中x 0＝4，y 0＝1时，3x 0－2y 0＝10成立，故④是真命题．13．(－∞，－2]∪(－1，＋∞)解析 由题意可知命题p ：m ≤－1，命题q ：－2<m <2.若p ∧q 为假则有三种情况：(1)当p 假q 真时，－1<m <2；(2)当p 真q 假时，m ≤－2；(3)当p 假q 也为假时，m ≥2.综上所述，m 的取值范围是m ≤－2或m >－1.14．(－∞，－3)∪[－2，1]∪(2，＋∞)解析 由f (x )＝|2x －1|＋|x ＋2|＋2x得f (x )＝⎩⎨⎧ －x －1，x <－2，x ＋3，－2≤x ≤12，5x ＋1，x >12.作出函数的图象如图所示，可知f (x )min ＝f (－2)＝1，命题p 中，关于x 的不等式f (x )≥m 2＋2m －2对任意的x ∈R 恒成立⇔f (x )min ≥m 2＋2m －2⇔1≥m 2＋2m －2⇔－3≤m ≤1.命题q 中，函数y ＝(m 2－1)x 是增函数⇔m 2－1>1⇔m <－2或m > 2.若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，则有以下两种情形：(1)p 真q 假，则等价于⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤m ≤1，－2≤m ≤2，解得－2≤m ≤1； (2)p 假q 真，则等价于⎩⎪⎨⎪⎧ m <－3或m >1，m <－2或m >2，解得m <－3或m > 2. 所以m 的取值范围是(－∞，－3)∪[－2，1]∪(2，＋∞)．。
【精编】2018届高三数学：第4练 集合与常用逻辑用语中的易错题 含答案
训练目标 解题步骤的严谨性，转化过程的等价性．训练题型 集合与常用逻辑用语中的易错题．解题策略 (1)集合中元素含参数，要验证集合中元素的互异性；(2)子集关系转化时先考虑空集；(3)参数范围问题求解时可用数轴分析，端点处可单独验证.1．若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a 等于( ) A ．4 B ．2 C ．0D ．0或42．已知集合A ＝{－1，12}，B ＝{x |mx －1＝0}，若A ∩B ＝B ，则所有实数m 组成的集合是( )A ．{－1,0,2}B ．{－12，0,1}C ．{－1,2}D ．{－1,0，12}3．已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)4．(2017·烟台质检)已知命题p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0；q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0.若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，－1] C ．(－∞，－2]D ．[－1,1]5．下列说法不正确的是( )A ．命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x －1≥0” B ．命题“若x >0且y >0，则x ＋y >0”的否命题是假命题C ．命题“∃a ∈R ，使方程2x 2＋x ＋a ＝0的两根x 1，x 2满足x 1<1<x 2”和命题“函数f (x )＝log 2(ax －1)在[1,2]上单调递增”都为真D ．△ABC 中，A 是最大角，则sin 2B ＋sin 2C <sin 2A 是△ABC 为钝角三角形的充要条件 6．满足条件{1,2}M ⊆{1,2,3,4,5}的集合M 的个数是( )A ．3B ．6C ．7D ．87．下列有关命题的说法中错误的是( ) A ．若“p 或q ”为假命题，则p ，q 均为假命题 B ．“x ＝1”是“x ≥1”的充分不必要条件 C ．“cos x ＝12”的必要不充分条件是“x ＝π3”D ．若命题p ：“∃x 0∈R ，x 20≥0”，则命题綈p 为“∀x ∈R ，x 2<0”8．已知命题p ：函数f (x )＝2ax 2－x －1(a ≠0)在(0,1)内恰有一个零点；命题q ：函数y ＝x2－a在(0，＋∞)上是减函数．若p 且綈q 为真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，2]C ．(1,2]D ．(－∞，1]∪(2，＋∞)二、填空题9．(2016·江西赣州十二县(市)期中联考)设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{a ，a 2}，若M ∩N ＝N ，则a 的值是________．10．已知命题p ：关于x 的方程x 2－mx －2＝0在x ∈[0,1]上有解；命题q ：f (x )＝log 2(x2－2mx ＋12)在x ∈[1，＋∞)上单调递增．若“綈p ”为真命题，“p ∨q ”为真命题，则实数m 的取值范围为____________．11．已知全集为U ＝R ，集合M ＝{x |x ＋a ≥0}，N ＝{x |log 2(x －1)<1}，若M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1或x ≥3}，则a 的取值范围是________．12．(2016·安阳月考)已知两个命题r (x )：sin x ＋cos x >m ，s (x )：x 2＋mx ＋1>0.如果对∀x ∈R ，r (x )∧s (x )为假，r (x )∨s (x )为真，那么实数m 的取值范围为________________.答案精析1．A [①当a ＝0时，1＝0显然不成立；②当a ≠0时，由Δ＝a 2－4a ＝0，得a ＝4或a ＝0(舍)．综上可知a ＝4.选A.]2．A [由A ∩B ＝B ，得B ⊆A .若B ＝∅，则m ＝0.若B ＝{－1}，得－m －1＝0， 解得m ＝－1.若B ＝{12}，则12m －1＝0，解得m ＝2.综上，m 的取值集合是{－1,0,2}．]3．C [由P ∪M ＝P ，得M ⊆P .又∵P ＝{x |x 2≤1}＝{x |－1≤x ≤1}，∴－1≤a ≤1.故选C.] 4．A [∵p ∨q 为假，∴p ，q 都是假命题．由p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0为假命题， 得∀x ∈R ，mx 2＋2>0，∴m ≥0. 由q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0为假， 得∃x ∈R ，x 2－2mx ＋1≤0. ∴Δ＝(－2m )2－4≥0，得m 2≥1， ∴m ≤－1或m ≥1.∴m ≥1.]5．C [因为2x 2＋x ＋a ＝0的两根x 1，x 2满足x 1<1<x 2的充要条件是2＋1＋a <0，所以a <－3，当a <－3时，函数f (x )＝log 2(ax －1)在[1,2]上无意义．故选C.]6．C [M 中含三个元素的个数为3，M 中含四个元素的个数也是3，M 中含5个元素的个数只有1个，因此符合题意的共7个．]7．C [对于A ，根据真值表知正确；对于B ，由于x ＝1可以推出x ≥1，但x ≥1不一定能推出x ＝1，故正确；对于D ，由特称命题的否定形式知正确；对于C ，“x ＝π3”应为“cos x ＝12”的充分不必要条件．]8．C [若命题p 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋8a ≥0，f ?0?·f ?1?＝－1·?2a －2?<0，得a >1.若命题q 为真，则2－a <0，得a >2， 故由p 且綈q 为真命题，得1<a ≤2.] 9．－1解析 因为集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{a ，a 2}，M ∩N ＝N ，又a 2≥0，所以当a 2＝0时，a ＝0，此时N ＝{0,0}，不符合集合元素的互异性，故a ≠0；当a 2＝1时，a ＝±1，a ＝1时，N ＝{1,1}，不符合集合元素的互异性，故a ≠1，a ＝－1时，此时N ＝{－1，1}，符合题意．故a ＝－1.10．(－1，34)解析 根据题意，关于x 的方程x 2－mx －2＝0在x ∈[0,1]上有解，可得1－m －2≥0，从而求得m ≤－1；f (x )＝log 2(x 2－2mx ＋12)在x ∈[1，＋∞)上单调递增，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≤1，1－2m ＋12>0，解得m <34.根据“綈p ”为真命题，“p ∨q ”为真命题，可知p 假q 真，所以实数m 的取值范围为(－1，34)．11．{－1}解析 因为x ＋a ≥0， 所以M ＝{x |x ≥－a }．又log 2(x －1)<1，所以0<x －1<2， 所以1<x <3， 所以N ＝{x |1<x <3}． 所以∁U N ＝{x |x ≤1或x ≥3}．又因为M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1或x ≥3}，所以a ＝－1. 12．(－∞，－2]∪[－2，2)解析 ∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≥－2，∴当r (x )是真命题时，m <－ 2.当s (x )为真命题时，x 2＋mx ＋1>0恒成立，有Δ＝m 2－4<0，∴－2<m <2. ∵r (x )∧s (x )为假，r (x )∨s (x )为真， ∴r (x )与s (x )一真一假，∴当r (x )为真，s (x )为假时，m <－2，同时m ≤－2或m ≥2，即m ≤－2； 当r (x )为假，s (x )为真时，m ≥－2，且－2<m <2，即－2≤m <2. 综上，实数m 的取值范围是m ≤－2或－2≤m <2.。
2018届高三数学每天一练半小时：第4练 集合与常用逻辑用语中的易错题 含答案
一、选择题1．若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a 等于( ) A ．4 B ．2 C ．0D ．0或42．已知集合A ＝{－1，12}，B ＝{x |mx －1＝0}，若A ∩B ＝B ，则所有实数m 组成的集合是( )A ．{－1,0,2}B ．{－12，0,1}C ．{－1,2}D ．{－1,0，12}3．已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)4．(2017·烟台质检)已知命题p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0；q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0.若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，－1] C ．(－∞，－2]D ．[－1,1]5．下列说法不正确的是( )A ．命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x －1≥0” B ．命题“若x >0且y >0，则x ＋y >0”的否命题是假命题C ．命题“∃a ∈R ，使方程2x 2＋x ＋a ＝0的两根x 1，x 2满足x 1<1<x 2”和命题“函数f (x )＝ log 2(ax －1)在[1,2]上单调递增”都为真D ．△ABC 中，A 是最大角，则sin 2B ＋sin 2C <sin 2A 是△ABC 为钝角三角形的充要条件 6．满足条件{1,2}M ⊆{1,2,3,4,5}的集合M 的个数是( )A ．3B ．6C ．7D ．87．下列有关命题的说法中错误的是( ) A ．若“p 或q ”为假命题，则p ，q 均为假命题 B ．“x ＝1”是“x ≥1”的充分不必要条件 C ．“cos x ＝12”的必要不充分条件是“x ＝π3”D ．若命题p ：“∃x 0∈R ，x 20≥0”，则命题綈p 为“∀x ∈R ，x 2<0”8．已知命题p ：函数f (x )＝2ax 2－x －1(a ≠0)在(0,1)内恰有一个零点；命题q ：函数y ＝x 2－a 在(0，＋∞)上是减函数．若p 且綈q 为真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，2]C ．(1,2]D ．(－∞，1]∪(2，＋∞)二、填空题9．(2016·江西赣州十二县(市)期中联考)设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{a ，a 2}，若M ∩N ＝N ，则a 的值是________．10．已知命题p ：关于x 的方程x 2－mx －2＝0在x ∈[0,1]上有解；命题q ：f (x )＝log 2(x2－2mx ＋12)在x ∈[1，＋∞)上单调递增．若“綈p ”为真命题，“p ∨q ”为真命题，则实数m 的取值范围为____________．11．已知全集为U ＝R ，集合M ＝{x |x ＋a ≥0}，N ＝{x |log 2(x －1)<1}，若M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1或x ≥3}，则a 的取值范围是________．12．(2016·安阳月考)已知两个命题r (x )：sin x ＋cos x >m ，s (x )：x 2＋mx ＋1>0.如果对∀x ∈R ，r (x )∧s (x )为假，r (x )∨s (x )为真，那么实数m 的取值范围为________________.答案精析1．A [①当a ＝0时，1＝0显然不成立；②当a ≠0时，由Δ＝a 2－4a ＝0，得a ＝4或a ＝0(舍)．综上可知a ＝4.选A.]2．A [由A ∩B ＝B ，得B ⊆A .若B ＝∅，则m ＝0.若B ＝{－1}，得－m －1＝0， 解得m ＝－1.若B ＝{12}，则12m －1＝0，解得m ＝2.综上，m 的取值集合是{－1,0,2}．]3．C [由P ∪M ＝P ，得M ⊆P .又∵P ＝{x |x 2≤1}＝{x |－1≤x ≤1}，∴－1≤a ≤1.故选C.] 4．A [∵p ∨q 为假，∴p ，q 都是假命题．由p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0为假命题， 得∀x ∈R ，mx 2＋2>0，∴m ≥0. 由q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0为假， 得∃x ∈R ，x 2－2mx ＋1≤0. ∴Δ＝(－2m )2－4≥0，得m 2≥1， ∴m ≤－1或m ≥1.∴m ≥1.]5．C [因为2x 2＋x ＋a ＝0的两根x 1，x 2满足x 1<1<x 2的充要条件是2＋1＋a <0，所以a <－3，当a <－3时，函数f (x )＝log 2(ax －1)在[1,2]上无意义．故选C.]6．C [M 中含三个元素的个数为3，M 中含四个元素的个数也是3，M 中含5个元素的个数只有1个，因此符合题意的共7个．]7．C [对于A ，根据真值表知正确；对于B ，由于x ＝1可以推出x ≥1，但x ≥1不一定能推出x ＝1，故正确；对于D ，由特称命题的否定形式知正确；对于C ，“x ＝π3”应为“cos x＝12”的充分不必要条件．] 8．C [若命题p 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋8a ≥0，f ?0?·f ?1?＝－1·?2a －2?<0，得a >1.若命题q 为真，则2－a <0，得a >2， 故由p 且綈q 为真命题，得1<a ≤2.] 9．－1解析 因为集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{a ，a 2}，M ∩N ＝N ，又a 2≥0，所以当a 2＝0时，a ＝0，此时N ＝{0,0}，不符合集合元素的互异性，故a ≠0；当a 2＝1时，a ＝±1，a ＝1时，N ＝{1,1}，不符合集合元素的互异性，故a ≠1，a ＝－1时，此时N ＝{－1，1}，符合题意．故a ＝－1. 10．(－1，34)解析 根据题意，关于x 的方程x 2－mx －2＝0在x ∈[0,1]上有解，可得1－m －2≥0，从而求得m ≤－1；f (x )＝log 2(x 2－2mx ＋12)在x ∈[1，＋∞)上单调递增，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≤1，1－2m ＋12>0，解得m <34.根据“綈p ”为真命题，“p ∨q ”为真命题，可知p 假q 真，所以实数m 的取值范围为(－1，34)．11．{－1}解析 因为x ＋a ≥0， 所以M ＝{x |x ≥－a }．又log 2(x －1)<1，所以0<x －1<2， 所以1<x <3， 所以N ＝{x |1<x <3}． 所以∁U N ＝{x |x ≤1或x ≥3}．又因为M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1或x ≥3}，所以a ＝－1. 12．(－∞，－2]∪[－2，2)解析 ∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≥－2，∴当r (x )是真命题时，m <－ 2.当s (x )为真命题时，x 2＋mx ＋1>0恒成立，有Δ＝m 2－4<0，∴－2<m <2. ∵r (x )∧s (x )为假，r (x )∨s (x )为真， ∴r (x )与s (x )一真一假，∴当r (x )为真，s (x )为假时，m <－2，同时m ≤－2或m ≥2，即m ≤－2； 当r (x )为假，s (x )为真时，m ≥－2，且－2<m <2，即－2≤m <2. 综上，实数m 的取值范围是m ≤－2或－2≤m <2.。
集合与常用逻辑用语试题含答案
寒假作业（一）集合与常用逻辑用语（注意解题的速度）A.充分而不必要条件 B .必要而不充分条件、选择题设集合 A = {x |log 2X <0}, B = {m | m i — 2nr0}，贝U A U B =( )则 A n B =()A. (1,2)B . (1,2] C. ( — 2,1)D . [ — 2,1)x 亠24•若集合 M= x € R 十彳<0, N 为自然数集，则下列选项中正确的是( )x — 1 A. M P {x |x > 1} B . M P {x |x >— 2} C. MA N = {0}D . M U N= N5. (2018届高三•洛阳五校联考)已知全集 U= R ,集合 A = {x |x 2— 3x — 4>0}, B = {x |—2< x < 2}，则如图所示的阴影部分所表示的集合为()A. {x | — 2< x <4} B . {x | x <2 或 x >4}C. {x | — 2< x <— 1} D . {x | — 1< x <2}6.设集合 A = {x |x >— 1} , B = {x || x | > 1},贝厂'x € A 且x ?B ”成立的充要条件是()A. — 1<x <1 B . x <1 C. x >— 1D . — 1<x <17. 已知集合 A = {x || x | <2} , B = {x |x 2— 3x <0, x € N}，则 A A B =( )A. {0,4}B . { — 2,— 1,0}1. A. (―汽 2) C. (0,2)2. （2017 •沈阳一检）命题P ：A. *1 x 1 ? x €N ,2 >2C.*1 1 ? X 0?N ，2X 0>2B . (0,1) D . (1,2)“？ x €N , 1 x 12 < 2 B . ? x ?N *, D . ? X o € N1 1 ，2 X 0>23. （2017 •山东高考）设函数的定义域为 A,函数y = ln （1 — x ）的定义域为B,1 x 1 ->2 2 的否定为（寒假作业（一）集合与常用逻辑用语（注意解题的速度）C. { —1,0,1} D . {0,1,2}n n 1& (2017 •天津高考)设0€ R,则“ 0 —石兄”是“sin 0石”的() A.充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C.充要条件 D .既不充分也不必要条件9. 已知命题p：? a€ R,方程ax+ 4 = 0有解；命题q：? m o>0，直线x+ my—1 = 0与直线2x + y + 3 = 0平行.给出下列结论，其中正确的有（）①命题"p A q”是真命题；②命题“ p A （綈q）”是真命题；③命题"（綈p）V q”为真命题；④命题“（綈p）V （綈q）”是真命题.A. 1个 B . 2个C. 3个 D . 4个10. 下列说法中正确的是（）A. “ f（0）= 0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件2 2B. 若p：? X o € R, x o—X o—1>0,则綈p：?x€ R x —x —1<0C. 若p A q为假命题，则p, q均为假命题n 1 n 1D. 命题“若a =—，则sin a = J'的否命题是“若a工一，则sin a齐；'6 2 6 211. 设集合S= {A）, A, A A}，在S上定义运算A ® A = A, k为i + j除以4的余数（i , j = 0,1,2,3），则满足关系式(x® x) ® A>= A的x(x€ S)的个数为()A. 4B.3C. 2D.112.若f （x）是R上的增函数，且f( —1)=—4, f(2) = 2,设P={x|f(x+ t) + 1<3} , Q={x|f (x)< —4}，若“ x € P”是“ x € Q'的充分不必要条件，贝U实数t的取值范围是()A. ( —g, —1] B . ( —1 ,+口C. [3 ,+g) D . (3 ,+^)二、填空题13 .已知全集为R,集合A= {x| x —1>0}, B= {x| —x2+ 5x —6< 0}，贝U A U ?R B=n14. __________________________________________________________________ 若“ ？x € 0, §, m>2tan x”是真命题，则实数m的最小值为______________________________115. 已知集合A= x 4< 22—債16 , B= [a, b]，若A?B,贝U a—b的取值范围是16.设全集U= {( x,y)| x, y € R},集合A= {( x,y)| x2+ y2<2 x} , B= {( x, y)| x2+ y2<4 x},给出以下命题：① A n B= A,②A U B= B,③A Q(?u E) = ?，④B A( ?U A) = U,其中正确命题的P.曰号疋寒假作业（一）集合与常用逻辑用语1解析：选C由题意可得A= (0,1) , B= (0,2)，所以A U B= (0,2).1x1 11 2解析：选D命题p的否定是把“ ？”改成“ ？”，再把“ 2三2”改为“ 2 x o>2”即可.3 解析：选D 由题意可知A= {x| —2< x < 2}, B= {x|x<1}，故A H B= {x| —2< x<1}.x + 24 解析：选C •/ M= x € R——<0 = {x| —2< x<1} ,N为自然数集，/• M P {x| x> 1}x —1错误，M P {x|x>—2}错误，M H N= {0}正确，MJ N= N错误.5解析：选D由Venn图知阴影部分表示的集合为(?R A) H B,依题意得A={x|x<—1或x>4}，因此?R A= {x| —1< x< 4}，故(？R A) H B= {x| — 1 < x< 2}.6解析：选D由题意可知，x € A? x>—1, x?B? —1<x<1，所以“ x € A且x?B'成立的充要条件是—1<x<1.27 解析：选 D •/A= {x|| x| <2} = {x| —2< x<2}, B= {x|x —3x< 0, x € N}= {0,1,2,3} ,••• A H B= {0,1,2}.n n n8 解析：选A 法一：由9 —12 <12，得0< B < 6 ,故1由sin1 口7n nk€ Z,推不出“n sin 9 <2.9<2,得- + 2k n< 9 < + 2k n,6 69 --12n”12 .故“n9 ——12<打是121”sin 9 <2的充分而不必要条件.法二n n n 1 1n n n :912 <12?0< 9 < 6 ? sin9 <2,而当sin 9 $时, 取9=-6，—6 --12n n=—>—4 12'n 1故“ 9 —_ <二”是“sin 9 的充分而不必要条件.12 12 29解析：选B因为当a= 0时，方程ax + 4= 0无解，所以命题p为假命题；当1 —2m 1 一=0，即m= 2时两条直线平行，所以命题q是真命题.所以綈p为真命题，綈q为假命题，所以①错误，②错误，③正确，④正确.故正确的命题有2个.10解析：选D当f(0) = 0时，函数f(x)不一定是奇函数，如f(x) = x2，所以A错误；若p：? x o€ R, x o—x o—1>0,则綈p：? x€ R, x —x —1<0,所以B错误；p, q 只要有一个是假命题，则p A q为假命题，所以C错误；否命题是将原命题的条件和结论都否定，D 正确.11解析：选C因为x € S= {A D, A, A, A}，故x的取值有四种情况•若x= A,根据定义得,(x ® x) ® A= A o ® A= A,不符合题意，同理可以验证x = A , x=A e, x = A二种情况，其中x = A i, x= A符合题意，故选C.12 解析：选D P= {x|f(x + t) + 1<3} = {x|f(x + t)<2} = {x|f(x + t)<f(2)} , Q= {x|f(x)< - 4} = {x| f (x)<f ( - 1)}，因为函数f (x)是R 上的增函数，所以P= {x| x + t <2}= {x|x<2-1} , Q= {x|x<- 1},要使“ x € P”是“ x € Q'的充分不必要条件，则有2-1 <- 1, 即t>3.2 213 解析：因为A= {x| x- 1 >0} = [1 ,+^) , B= {x| -x + 5x-6< 0} = {x| x - 5x + 6>0} ={x|x W2 或x>3}, ?R B= (2,3)，所以A U ?R B= [1 ,+^).答案：[1 , +s)n n14解析：当x € 0, 3时，2tan x的最大值为2tan 3 = 2 3,「. m>2 3,实数m的最小值为2 3.答案：2 31 - -15 解析：集合A= x 4W 22-x< 16 = {x|2 2W2x-2W24} = {x|4 < x< 6} = [4,6] , v A? B,「. a<4 ,b>6 , A a- b<4- 6=- 2,即卩a- b 的取值范围是(一^,—2] •答案：(一m , - 2]16解析：集合A表示的是以(1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部的点构成的集合，集合B表示的是以(2,0)为圆心，2为半径的圆及其内部的点构成的集合，易知A? B,利用Venn图可知，①②③正确，④错误.答案：①②③。
2018届高三数学每天一练半小时第4练 集合与常用逻辑用语中的易错题 Word版含答案
一、选择题．若集合＝{∈＋＋＝}中只有一个元素，则等于()．．．．或．已知集合＝{－，}，＝{－＝}，若∩＝，则所有实数组成的集合是()．{－} ．{－，}．{－} ．{－，}．已知集合＝{≤}，＝{}．若∪＝，则的取值范围是()．(－∞，－] ．[，＋∞)．[－] ．(－∞，－]∪[，＋∞)．(·烟台质检)已知命题：∃∈，＋≤；：∀∈，－＋>.若∨为假命题，则实数的取值范围是()．[，＋∞) ．(－∞，－]．(－∞，－] ．[－]．下列说法不正确的是()．命题“∃∈，－－<”的否定是“∀∈，－－≥”．命题“若>且>，则＋>”的否命题是假命题．命题“∃∈，使方程＋＋＝的两根，满足<<”和命题“函数()＝(－)在[]上单调递增”都为真．△中，是最大角，则＋<是△为钝角三角形的充要条件．满足条件{}⊆{}的集合的个数是()．．．．．下列有关命题的说法中错误的是()．若“或”为假命题，则，均为假命题．“＝”是“≥”的充分不必要条件．“＝”的必要不充分条件是“＝”．若命题：“∃∈，≥”，则命题綈为“∀∈，<”．已知命题：函数()＝－－(≠)在()内恰有一个零点；命题：函数＝－在(，＋∞)上是减函数．若且綈为真命题，则实数的取值范围是()．(，＋∞) ．(－∞，]．(] ．(－∞，]∪(，＋∞)二、填空题．(·江西赣州十二县(市)期中联考)设集合＝{－}，＝{，}，若∩＝，则的值是．．已知命题：关于的方程－－＝在∈[]上有解；命题：()＝(－＋)在∈[，＋∞)上单调递增．若“綈”为真命题，“∨”为真命题，则实数的取值范围为．．已知全集为＝，集合＝{＋≥}，＝{(－)<}，若∩(∁)＝{＝或≥}，则的取值范围是．．(·安阳月考)已知两个命题()：＋>，()：＋＋>.如果对∀∈，()∧()为假，()∨()为真，那么实数的取值范围为.答案精析．[①当＝时，＝显然不成立；②当≠时，由Δ＝－＝，得＝或＝(舍)．综上可知＝.选.] ．[由∩＝，得⊆.若＝∅，则＝.若＝{－}，得－－＝，解得＝－.若＝{}，则－＝，解得＝.综上，的取值集合是{－}．]．[由∪＝，得⊆.又∵＝{≤}＝{－≤≤}，∴－≤≤.故选.]．[∵∨为假，∴，都是假命题．由：∃∈，＋≤为假命题，得∀∈，＋>，∴≥.由：∀∈，－＋>为假，得∃∈，－＋≤.∴Δ＝(－)－≥，得≥，。
集合与常用逻辑用语试题含答案
寒假作业一集合与常用逻辑用语注意解题的速度一、选择题1．设集合A＝{x|log2x<0},B＝{m|m2－2m<0},则A∪B＝A．－∞,2B．0,1C．0,2 D．1,22．2017·沈阳一检命题p：“∀x∈N,错误!x≤错误!”的否定为A．∀x∈N,错误!x>错误! B．∀x∉N,错误!x>错误!C．∃x0∉N,错误!x0>错误! D．∃x0∈N,错误!x0>错误!3．2017·山东高考设函数y＝错误!的定义域为A,函数y＝ln1－x的定义域为B,则A∩B ＝A．1,2 B．1,2C．－2,1 D．－2,14．若集合M＝错误!,N为自然数集,则下列选项中正确的是A．M⊆{x|x≥1} B．M⊆{x|x>－2}C．M∩N＝{0} D．M∪N＝N5．2018届高三·洛阳五校联考已知全集U＝R,集合A＝{x|x2－3x－4>0},B＝{x|－2≤x≤2},则如图所示的阴影部分所表示的集合为A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤2或x≥4}C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2}6．设集合A＝{x|x>－1},B＝{x||x|≥1},则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是A．－1<x≤1 B．x≤1C．x>－1 D．－1<x<17．已知集合A＝{x||x|≤2},B＝{x|x2－3x≤0,x∈N},则A∩B＝A．{0,4} B．{－2,－1,0}C．{－1,0,1} D．{0,1,2}8．2017·天津高考设θ∈R,则“错误!<错误!”是“sin θ<错误!”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．已知命题p：∀a∈R,方程ax＋4＝0有解；命题q：∃m0>0,直线x＋m0y－1＝0与直线2x＋y＋3＝0平行．给出下列结论,其中正确的有①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是真命题；③命题“綈p∨q”为真命题；④命题“綈p∨綈q”是真命题．A．1个 B．2个C．3个 D．4个10．下列说法中正确的是A．“f0＝0”是“函数fx是奇函数”的充要条件B．若p：∃x0∈R,x错误!－x0－1>0,则綈p：∀x∈R,x2－x－1<0C．若p∧q为假命题,则p,q均为假命题D．命题“若α＝错误!,则sin α＝错误!”的否命题是“若α≠错误!,则sin α≠错误!”11．设集合S＝{A0,A1,A2,A3},在S上定义运算⊕：A i⊕A j＝A k,k为i＋j除以4的余数i,j＝0,1,2,3,则满足关系式x⊕x⊕A2＝A0的xx∈S的个数为A．4 B．3C．2 D．112．若fx是R上的增函数,且f－1＝－4,f2＝2,设P＝{x|fx＋t＋1<3},Q＝{x|fx<－4},若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,则实数t的取值范围是A．－∞,－1 B．－1,＋∞C．3,＋∞ D．3,＋∞二、填空题13．已知全集为R,集合A＝{x|x－1≥0},B＝{x|－x2＋5x－6≤0},则A∪∁R B＝________.14．若“∀x∈错误!,m≥2tan x”是真命题,则实数m的最小值为________．15．已知集合A＝错误!,B＝a,b,若A⊆B,则a－b的取值范围是________．16．设全集U＝{x,y|x,y∈R},集合A＝{x,y|x2＋y2≤2x},B＝{x,y|x2＋y2≤4x},给出以下命题：①A∩B＝A,②A∪B＝B,③A∩∁U B＝∅,④B∩∁U A＝U,其中正确命题的序号是________．寒假作业一集合与常用逻辑用语1解析：选C 由题意可得A＝0,1,B＝0,2,所以A∪B＝0,2．2解析：选 D 命题p的否定是把“∀”改成“∃”,再把“错误!x≤错误!”改为“错误!x0>错误!”即可．3解析：选D 由题意可知A＝{x|－2≤x≤2},B＝{x|x<1},故A∩B＝{x|－2≤x<1}．4解析：选 C ∵M＝错误!＝{x|－2≤x<1},N为自然数集,∴M⊆{x|x≥1}错误,M⊆{x|x>－2}错误,M∩N＝{0}正确,M∪N＝N错误．5解析：选D 由Venn图知阴影部分表示的集合为∁R A∩B,依题意得A＝{x|x<－1或x>4},因此∁R A＝{x|－1≤x≤4},故∁R A∩B＝{x|－1≤x≤2}．6解析：选D 由题意可知,x∈A⇔x>－1,x∉B⇔－1<x<1,所以“x∈A且x∉B”成立的充要条件是－1<x<1.7解析：选D ∵A＝{x||x|≤2}＝{x|－2≤x≤2},B＝{x|x2－3x≤0,x∈N}＝{0,1,2,3},∴A∩B＝{0,1,2}．8解析：选A 法一：由错误!<错误!,得0<θ<错误!,故sin θ<错误!.由sin θ<错误!,得－错误!＋2kπ<θ<错误!＋2kπ,k∈Z,推不出“错误!<错误!”．故“错误!<错误!”是“sin θ<错误!”的充分而不必要条件．法二：错误!<错误!⇒0<θ<错误!⇒sin θ<错误!,而当sin θ<错误!时,取θ＝－错误!,错误!＝错误!>错误!.故“错误!<错误!”是“sin θ<错误!”的充分而不必要条件．9解析：选B 因为当a＝0时,方程ax＋4＝0无解,所以命题p为假命题；当1－2m＝0,即m＝错误!时两条直线平行,所以命题q是真命题．所以綈p为真命题,綈q为假命题,所以①错误,②错误,③正确,④正确．故正确的命题有2个．10解析：选D 当f0＝0时,函数fx不一定是奇函数,如fx＝x2,所以A错误；若p：∃x0∈R,x错误!－x0－1>0,则綈p：∀x∈R,x2－x－1≤0,所以B错误；p,q只要有一个是假命题,则p∧q为假命题,所以C错误；否命题是将原命题的条件和结论都否定,D正确．11解析：选C 因为x∈S＝{A0,A1,A2,A3},故x的取值有四种情况．若x＝A0,根据定义得,x⊕x⊕A2＝A0⊕A2＝A2,不符合题意,同理可以验证x＝A1,x＝A2,x＝A3三种情况,其中x＝A1,x＝A3符合题意,故选C.12解析：选D P＝{x|fx＋t＋1<3}＝{x|fx＋t<2}＝{x|fx＋t<f2},Q＝{x|fx<－4}＝{x|fx<f－1},因为函数fx是R上的增函数,所以P＝{x|x＋t<2}＝{x|x<2－t},Q＝{x|x<－1},要使“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,则有2－t<－1,即t>3.13解析：因为A＝{x|x－1≥0}＝1,＋∞,B＝{x|－x2＋5x－6≤0}＝{x|x2－5x＋6≥0}＝{x|x≤2或x≥3},∁R B＝2,3,所以A∪∁R B＝1,＋∞．答案：1,＋∞14解析：当x∈错误!时,2tan x的最大值为2tan 错误!＝2错误!,∴m≥2错误!,实数m 的最小值为2错误!.答案：2错误!15解析：集合A＝错误!＝{x|22≤2x－2≤24}＝{x|4≤x≤6}＝4,6,∵A⊆B,∴a≤4,b≥6,∴a－b≤4－6＝－2,即a－b的取值范围是－∞,－2．答案：－∞,－216解析：集合A表示的是以1,0为圆心,1为半径的圆及其内部的点构成的集合,集合B 表示的是以2,0为圆心,2为半径的圆及其内部的点构成的集合,易知A⊆B,利用Venn图可知,①②③正确,④错误．答案：①②③。
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1 1 解得 m＝－1.若 B＝{ }，则 m－1＝0，解得 m＝2. 2 2 综上，m 的取值集合是{－1,0,2}．] 3．C 4．A [由 P∪M＝P，得 M⊆P.又∵P＝{x|x ≤1}＝{x|－1≤x≤1}，∴－1≤a≤1.故选 C.] [∵p∨q 为假，∴p，q 都是假命题．由 p：∃x∈R，mx ＋2≤0 为假命题，
2 2 2 2
符合集合元素的互异性， 故 a≠0； 当 a ＝1 时， a＝±1， a＝1 时， N＝{1,1}， 不符合集合元素的互异性， 故 a≠1，
a＝－1 时，此时 N＝{－1，1}，符合题意．故 a＝－1.
3 10．(－1， ) 4 解析 根据题意，关于 x 的方程 x －mx－2＝0 在 x∈[0,1]上有解，可得 1－m－2≥0，从而求得 m≤－1；f(x)
π 1 对于 D，由特称命题的否定形式知正确；对于 C，“x＝ ”应为“cosx＝ ”的充分不必要条件．] 3 2 8．C 则 [若命题 p 为真，
1＋8a≥0，
f?0?·f?1?＝－1·?2a－2?<0，
得 a>1. 若命题 q 为真，则 2－a<0，得 a>2， 故由 p 且綈 q 为真命题，得 1<a≤2.] 9．－1 解析 因为集合 M＝{－1,0,1}，N＝{a，a }，M∩N＝N，又 a ≥0，所以当 a ＝0 时，a＝0，此时 N＝{0,0}，不
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得∀x∈R，mx ＋2>0，∴m≥0. 由 q：∀x∈R，x －2mx＋1>0 为假， 得∃x∈R，x －2mx＋1≤0. ∴Δ＝(－2m) －4≥0，得 m ≥1， ∴m≤－1 或 m≥1.∴m≥1.] 5．C [因为 2x ＋x＋a＝0 的两根 x1，x2 满足 x1<1<x2 的充要条件是 2＋1＋a<0，所以 a<－3，当 a<－3 时，函数
2 2 2
)
4．(2017·烟台质检)已知命题 p：∃x∈R，mx ＋2≤0；q：∀x∈R，x －2mx＋1>0.若 p∨q 为假命题，则实数 m 的取值范围是( A．[1，＋∞) C．(－∞，－2] 5．下列说法不正确的是(
2
) B．(－∞，－1] D．[－1,1] )
2
A．命题“∃x0∈R，x0－x0－1<0”的否定是“∀x∈R，x －x－1≥0” B．命题“若 x>0 且 y>0，则 x＋y>0”的否命题是假命题 C．命题“∃a∈R，使方程 2x ＋x＋a＝0 的两根 x1，x2 满足 x1<1<x2”和命题“函数 f(x)＝ log2(ax－1)在[1,2]上单调递增”都为真 D．△ABC 中，A 是最大角，则 sin B＋sin C<sin A 是△ABC 为钝角三角形的充要条件 6．满足条件{1,2} A．3
训练目标 训练题型 解题策略
解题步骤的严谨性，转化过程的等价性． 集合与常用逻辑用语中的易错题． (1)集合中元素含参数，要验证集合中元素的互异性；(2)子集关系转化时先考 虑空集；(3)参数范围问题求解时可用数轴分析，端点处可单独验证.
一、选择题 1．若集合 A＝{x∈R|ax ＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则 a 等于( A．4 C．0 B．2 D．0 或 4 )
2 2 2 2 2
f(x)＝log2(ax－1)在[1,2]上无意义．故选 C.]
6．C [M 中含三个元素的个数为 3，M 中含四个元素的个数也是 3，M 中含 5 个元素的个数只有 1 个，因此符合
题意的共 7 个．] 7．C [对于 A，根据真值表知正确；对于 B，由于 x＝1 可以推出 x≥1，但 x≥1 不一定能推出 x＝1，故正确；
2 2 2 2－a 2 2
在(0，＋∞)上是
)
B．(－∞，2] D．(－∞，1]∪(2，＋∞)
答案精析
1．A
[①当 a＝0 时，1＝0 显然不成立；②当 a≠0 时，由Δ＝a －4a＝0，得 a＝4 或 a＝0(舍)．综上可知 a
2
＝4.选 A.] 2．A [由 A∩B＝B，得 B⊆A.若 B＝∅ ，则 m＝0.若 B＝{－1}，得－m－1＝0，
2
)
1 2．已知集合 A＝{－1， }，B＝{x|mx－1＝0}，若 A∩B＝B，则所有实数 m 组成的集合是( 2 1 A．{－1,0,2} B．{－ ，0,1} 2 1 C．{－1,2} D．{－1,0， } 2 3．已知集合 P＝{x|x ≤1}，M＝{a}．若 P∪M＝P，则 a 的取值范围是( A．(－∞，－1] C．[－1,1] B．[1，＋∞) D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
2 2 2 2
M⊆{1,2,3,4,5}的集合 M 的个数是(
B．6
)
C．7 7．下列有关命题的说法中错误的是(
D．8 )
A．若“p 或 q”为假命题，则 p，q 均为假命题 B．“x＝1”是“x≥1”的充分不必要条件 1 π C．“cosx＝ ”的必要不充分条件是“x＝ ” 2 3 D．若命题 p：“∃x0∈R，x0≥0”，则命题綈 p 为“∀x∈R，x <0” 8．已知命题 p：函数 f(x)＝2ax －x－1(a≠0)在(0,1)内恰有一个零点；命题 q：函数 y＝x 减函数．若 p 且綈 q 为真命题，则实数 a 的取值范围是( A．(1，＋∞) C．(1,2] 二、填空题 9． (2016·江西赣州十二县(市)期中联考)设集合 M＝{－1,0,1}， N＝{a， a }， 若 M∩N＝N， 则 a 的值是________． 1 10．已知命题 p：关于 x 的方程 x2－mx－2＝0 在 x∈[0,1]上有解；命题 q：f(x)＝log2(x2－2mx＋ )在 x∈[1， 2 ＋∞)上单调递增．若“綈 p”为真命题，“p∨q”为真命题，则实数 m 的取值范围为____________． 11．已知全集为 U＝R，集合 M＝{x|x＋a≥0}， N＝{x|log2(x－1)<1}，若 M∩(∁ UN)＝{x|x＝1 或 x≥3}，则 a 的取值范围是________． 12．(2016·安阳月考)已知两个命题 r(x)：sin x＋cosx>m，s(x)：x ＋mx＋1>0.如果对 ∀x∈R，r(x)∧s(x) 为假，r(x)∨s(x)为真，那么实数 m 的取值范围为________________.