测评网学习资料-高二数学(文科)4月中段考试卷
2023-2024学年湖北省新高考高二下学期4月期中月考数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年湖北省新高考高二下册4月期中联考数学模拟试题一、单选题1．已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，12a ，312a ，2a 成等差数列，则q =（）A ．1-B ．2C ．1-或2D ．1或2-【正确答案】B【分析】根据条件，列出关于公比的方程，即可求解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，0q >，首项10a >，由12a ，312a ，2a 成等差数列，则3122a a a =+，则21112a q a a q =+，220q q --=，得1q =-（舍）或2q =.故选：B2．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()()22ln 1f x xf x '=+-，则()2f =（）A ．1-B ．23-C ．4-D ．e【正确答案】C【分析】对函数()f x 求导，将2x =代入导数中可得(2)1f '=-，从而得到函数解析式，将2x =代入函数解析式可得答案.【详解】()2(2)ln(1)f x xf x '=+-，则1()2(2)1f x f x ''=+-，令2x =得(2)2(2)1f f ''=+，解得(2)1f '=-，则()2ln(1)f x x x =-+-，将2x =代入上式得(2)4f =-，故选：C 3．已知322()nx x +的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为（）A ．60B ．80C ．100D ．120【正确答案】B【分析】根据各项系数和求出n ，再由二项展开式通项公式求解即可.【详解】当1x =时，3243n =，解得5n =，则322()n x x +的展开式第1r +项351532155152552C ()()C 2C 2r r r r r r r r r r r T x x x x x----+===，令1550r -=，解得3r =，所以335C 210880=⨯=，故选：B4．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的范围是：3.1415926π 3.1415927<<，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就，小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码.要求两个1不相邻.那么小明可以设置的不同密码有（）A ．120个B ．240个C ．360个D ．720个【正确答案】B【分析】直接利用插空法计算得到答案.【详解】利用插空法：共有4245A C 240⨯=种.故选：B5．定义域为R 的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()20f x f x '-<，且()01f =，则不等式()2x f x >e 的解集为（）A ．(),0∞-B ．()2,+∞C ．()0,∞+D ．(),2-∞【正确答案】A【分析】构造函数2()()e xf xg x =，利用导数研究函数的单调性，即可得到答案．【详解】构造函数2()()ex f x g x =，则函数的导数为22222()e 2()e ()2()()(e )e x x x x f x f x f x f x g x '-'-'==，()()20f x f x '-< ，()0g x ∴'<，即()g x 在R 上单调递减，(0)1f = ，0(0)(0)1e f g ∴==，则不等式()2xf x >e ，等价为2()1e ()xf xg x =>，即()(0)g x g >，则0x <，即不等式的解集为(,0)-∞，故选：A ．6．已知数列21443n n ⎧⎫⎨⎬+-⎩⎭的前n 项和为n T ，若对任意的*N n ∈，不等式2123n T a a <-恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．41,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．4,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．(]4,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)4,1,3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦【正确答案】C【分析】利用裂项相消法求出n T ，对任意的*N n ∈，不等式2123n T a a <-恒成立，则()2max 123n T a a<-恒成立，求出n T 最大值即可得解.【详解】()()211111443232142123n n n n n n ⎛⎫==- ⎪+-+--+⎝⎭，则111111111111114537592123432123n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，因为1102123n n +>++，所以111111111432123433n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+<+= ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为对任意的*N n ∈，不等式2123n T a a <-恒成立，所以211233a a ⨯≤-，解得43a ≥或1a ≤-，所以实数a 的取值范围是(]4,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭.故选：C.7．现有天平及重量为1，2，4，10的砝码各一个，每一步，我们选取任意一个砝码，将其放入天平的左边或者右边，直至所有砝码全放到天平两边，但在放的过程中发现天平的指针不会偏向分度盘的右边，则这样的放法共有（）种.A ．105B ．72C ．60D ．48【正确答案】A【分析】由题意，按照从大到小的顺序，逐一分情况讨论，结合排列组合以及分类加法原理，可得答案.【详解】依题可知10只能在左边，按照从大到小的顺序，逐一分情况讨论，有以下4种情况：情况①：第一步先排10，10只能在左边，接下来重量为1,2,4的砝码顺序随意有33A 种，左右边随意，则32种，共有3332A 48=种；情况②：第一步先排4，4只能在左边，10可以在第2,3,4步中任选一步放，有13C 种，重量为1,2的砝码顺序随意左右边随意，共有12232C 2A 24=种；情况③：第一步先排2，2只能在左边，若第二步放10，则重量为去1,4的砝码顺序随意左右边随意，有2222A 中，若第二步放4，则10可以在第3,4步汇总任选一步放，砝码1左右边随意放，有122C 种，若第二步放1，有2种放法，接下第3步有2种情形：（a ）若第三步放10，那第四步放4可以在左右都行，有2种，（b ）若第三步放4，那4只能放左边，第四步放10只能放左边，有1种，共有()221222A C 222118+⨯++=种；情况④：第一步先排1，1只能在左边，接下来第二步：若第二步放10，则重量为2,4的砝码顺序随意左右边随意放，有2222A 种，若第二步放4，则10可以在第3,4步中任选一步放，砝码2左右边随意放，有122C 种，若第二步放2，2只能在左边，接下来第三步有2种情形：（i ）若第三步放10，那第四步放4可以在左右边都行，有2种，（ii ）若第三步放4，那4只能在左边，第四步放10只能放左边，有1种，共有221222A 2C 2115+++=种，综上有48241815105+++=种.故选：A.8．若存在[]00,1x ∈，使不等式()0220021ln e 2e ex ax a x +-≥+-成立，则a 的取值范围是（）A ．21,e 2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．221,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．421,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．31,e ⎡⎤⎣⎦【正确答案】D【分析】()022002e 1ln e 2e x a x a x +-≥+-()0022e 1ln 2e e x x a a ⇔-≥-，令0e x a t =，构造函数()2()e 1ln 22f t t t =--+，从而问题转化为存在,e a t a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()0f t ≥成立的问题.【详解】()022002e 1ln e 2e x a x a x +-≥+-⇔()()222e 1ln e 12e x a a x ---≥-()002e 1ln22e e x x a a ⇔-≥⋅-，令0ex at =，即()2e 1ln 220t t --+≥，因为0[0,1]x ∈，所以,e a t a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令()2()e 1ln 22f t t t =--+.则原问题等价于存在,e a t a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()0f t ≥成立.()22e 12e 1()2t f t t t---'=-=令()0f t '<，即()2e 120t --<，解得2e 12t ->，令()0f t '>，即()2e 120t -->，解得2e 102t -<<，所以()f t 在2e 10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在2e 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.又因为()()2222(1)0,e e 1ln e 2e 2f f ==--+222e 22e 20=--+=.而22e 11e 2-<<，∴当21e t ≤≤时，()0f t ≥.若存在,e a t a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()0f t ≥成立.只需21e ea≤≤或21e a ≤≤，所以31e a ≤≤.故a 的取值范围为31,e ⎡⎤⎣⎦.故选：D 二、多选题9．已知()()()()()5260126122111x x a a x a x a x +-=+-+-++- ，则（）A ．03a =-B ．1256a =-C ．246124a a a ++=-D ．012632a a a a +++⋯+=-【正确答案】AD【分析】令1x t -=，则1x t =-，原等式可化为()()5260126321t t a a t a t a t ---=++++ ，结合二项展开式的性质逐项判断即可.【详解】令1x t -=，则1x t =-，原等式可化为()()5260126321t t a a t a t a t ---=++++ ，令0=t ，则03a =-，故A 项正确；()51t --的展开式的通项为()()515C 1,0,1,2,,5kkk k T t k -+=⋅--= ，则()()54011552C 13C 113a =-⨯⋅--⨯⋅-=-，故B 项错误；令1t =，则012632a a a a ++++=- ①，令1t =-，则01234560a a a a a a a -+-+-+=②，由①+②得()0246232a a a a +++=-，又03a =-，所以24613a a a ++=-，故C 项错误，D 项正确．故选：AD.10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，下列说法正确的是（）A ．若2n S n n =+，则{}n a 是等差数列B ．若{}n a 是等比数列，且10a >，0q >，则2132S S S ⋅>C ．若{}n a 是等差数列，则11611S a =D ．若31nn S =-，则{}n a 是等比数列【正确答案】ACD【分析】对于AD ：由n S 与n a 的关系求通项公式即可；对于B ：作差比较大小即可；对于C ：根据等差数列性质计算即可.【详解】对于A ：当2n ≥时，2n S n n =+，()2111n S n n -=-+-，则12n n n a S S n -=-=，又12a =也适合，故2n a n =，所以()122n n a a n --=≥，所以{}n a 是等差数列，故A 正确；对于B ：()()22132112312S S S a a a a a a ⋅-=++-+()()222211110a q q q a q ⎡⎤=++-+=-<⎣⎦，故2132S S S ⋅<，所以B 错误；对于C ：()1116116111121122a a a S a +⨯===，故C 正确；对于D ：当2n ≥时，31n n S =-，1131n n S --=-，则1123n n n n a S S --=-=⋅，又12a =也适合，故123n n a -=⋅，所以()132nn a n a -=≥，所以{}n a 是等比数列，故D 正确；故选：ACD11．现将8把椅子排成一排，4位同学随机就座，则下列说法中正确的是（）A ．4个空位全都相邻的坐法有120种B ．4个空位中只有3个相邻的坐法有240种C ．4个空位均不相邻的坐法有120种D ．4个空位中至多有2个相邻的坐法有900种【正确答案】AC【分析】对于A ，用捆绑法即可；对于B ，先用捆绑法再用插空法即可；对于C ，用插空法即可；对于D ，用插空法的同时注意分类即可.【详解】对于A ，将四个空位当成一个整体，全部的坐法：55A 120=种，故A 对；对于B ，先排4个学生44A ，然后将三个相邻的空位当成一个整体，和另一个空位插入5个学生中有25A 种方法，所以一共有4245480A A =种，故B 错；对于C ，先排4个学生44A ，4个空位是一样的，然后将4个空位插入4个学生形成的5个空位中有45C 种，所以一共有4445A C 120=，故C 对；对于D ，至多有2个相邻即都不相邻或者有两个相邻，由C 可知都不相邻的有120种，空位两个两个相邻的有：4245A C 240=，空位只有两个相邻的有412454A C C 720=，所以一共有1202407201080++=种，故D 错；故选：AC.12．若ln1.01a =，1101b =，sin0.01c =，则（）A ．a b <B ．a b>C ．c a>D ．b c>【正确答案】BC【分析】通过证明ln(1),(0,1)1xx x x+>∈+确定ln1.01a =，1101b =的大小关系；通过证明sin ln(1)x x >+确定1101b =，sin0.01c =的大小关系；【详解】令()ln(1),(0,1)1xf x x x x=+-∈+，2211()01(1)(1)x f x x x x '=-=>+++，()f x ∴在(0,1)x ∈上单调递增，()(0)0f x f ∴>=，ln(1),(0,1)1xx x x∴+>∈+，0.011ln(10.01)10.01101∴+>=+，a b ∴>.令()sin ln(1),(0,1)g x x x x =-+∈，1()cos 1g x x x'=-+，令1()()cos ,(0,1)1h x g x x x x=-∈+'=，21()sin ,(1)h x x x '=-++显然()h x '在(0,1)x ∈为减函数，()()1π1010,1sin1sin 0464h h =>=-+<-+'<'，0(0,1),x ∴∃∈使()00h x '=，当()00,x x ∈时()0h x '>，当()0,1x x ∈时()0h x '<，当()00,x x ∈时()h x 为增函数，当()0,1x x ∈时()h x 为减函数，所以()h x 的最小值为(0),(1)h h 中一个，而1π1(0)cos 010,(1)cos1cos 0232h h =-==->-=，()0,h x ∴>即()0g x '>，()g x ∴在(0,1)x ∈上单调递增，()(0)0,sin ln(1).g x g x x ∴>=∴>+sin 0.01ln(10.01)ln(1.01)∴>+=，c a ∴>.故选：BC关键点点睛：本题使用构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小关系，在构造函数时首先把要比较的值变形为含有一个共同的数值，将这个数值换成变量x 就有了函数的形式，如在本题中ln1.01ln(10.01)a ==+，10.0110110.01b ==+，将0.01视为x ，将,a b 视为函数ln(1)y x =+与1x y x =+的函数值，从而只需比较ln(1)y x =+与1xy x=+这两个函数大小关系即可.三、填空题13．若直线2y x b =+与函数()e xf x x a =+-的图象相切，则a b +=__________.【正确答案】1【分析】利用导数的几何意义即可求得答案.【详解】由题意()e xf x x a =+-，可得()e 1x f x '=+，因为直线2y x b =+与函数()e xf x x a =+-的图象相切，故设切点为00(,)x y ，则0e 12x +=，故00x =，则()10f a b =-=，故1a b +=，故114．某校社团召开学生会议，要将11个学生代表名额，分配到高二年级的6个班级中，若高二（一）班至少3个名额，其余5个班每班至少1个名额，共有__________种不同分法.（用数字作答）【正确答案】56【分析】先分配给高二（一）班2个名额，剩余9个名额用隔板法分配.【详解】先给高二（一）班2个名额，还有9个名额分到6个班级去，每班至少1个名额，使用隔板法，有9个相同元素共8个空（不含两端），插入5个板，共有58C 56=种插法，两个板之间元素个数即为相应班级名额.故5615．对于数列{}n a ，定义11222-=+++ n n n A a a a 为数列{}n a 的“加权和”，已知某数列{}n a 的“加权和”12n n A n +=⋅，记数列{}+n a pn 的前n 项和为n T ，若6n T T ≤对任意的*N n ∈恒成立，则实数p 的取值范围为__________.【正确答案】7716,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【分析】根据数列新定义可得2111212 (2)22n n n n n a a a a n --+-++++=⋅，从而2n ≥时，2121)22(12n n n a a a n --+++=⋅- ，相减求得22n a n =+，进而求得n T 的表达式，利用6n T T ≤对任意的*N n ∈恒成立，列出不等式组，即可求得答案.【详解】由题意可得2111212...222n n n n n a a a a n --+-++++=⋅，∴2n ≥时，2121)22(12n n n a a a n --+++=⋅- ，两式相减可得：1122(1)2n n n n a n n -+=⋅--⋅，化为22n a n =+，1n =时，2124a ==，满足上式，故22,Nn a n n *=+∈故12(12)n n T a a a p n =+++++++ ，(422)(1)(1)(3)222n n n n n n p n n p ++++=+⋅=++⋅∵6n T T ≤对任意的*N n ∈恒成立，∴5676T T T T ≤⎧⎨≤⎩，即4015542170285421p pp p +≤+⎧⎨+≤+⎩，解得71637p -≤≤-，即71637,p ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，故7716,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦16．设集合{}()1,2,3,,N,2P n n n =∈≥ ，选择P 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中最大的数，则当10n =时，不同的A 和B 共有__________种组合.（请用数字作答）【正确答案】4097【分析】利用列举的方法，结合集合的子集问题，利用等比数列求和，即可求出满足条件的组合数.【详解】由条件可知，{}1,2,3...10P =，若集合B 中的最小的数为2，则集合B 有82个，集合A 有121-个，若集合B 中的最小的数为3，则集合B 有72个，集合A 有221-个，若集合B 中的最小的数为4，则集合B 有62个，集合A 有321-个，…………….若集合B 中的最小的数为10，则集合B 有02个，集合A 有921-个，所以满足条件的不同集合,A B 的组数为：()()()()81726309221221221...221-+-+-++-()9876092222...2=⨯-++++9124608409712-=-=-.故4097四、解答题17．已知n的展开式中的二项式系数之和比各项系数之和大255.(1)求n 的值；(2)求展开式中系数最大的项.【正确答案】(1)8n =(2)731792x -【分析】（1）令x =1可得，展开式中各项系数之和，展开式中的二项式系数之和为2n ，由题意列方程求解.（2）展开式中的通项公式为83218(2)C r rrrr Tx-+-=-，且r 为偶数，由1311r r r r T T T T +++-≥⎧⎨≥⎩求解r .【详解】（1）令x =1可得，展开式中各项系数之和为(1)n -，而展开式中的二项式系数之和为2n ，2(1)255,8,n n n ∴--=∴=（2）展开式中的通项公式为83218(2)C r rrrr T x-+-=-（8,N r r ≤∈），设第1r +项最大，要使展开式中系数最大则r 必为偶数，则22882288(2)C (2)C (2)C (2)C r r r r r r r r ++--⎧-≥-⎨-≥-⎩，即()()()()()()8!8!4!8!2!6!8!18!!8!42!10!r r r r r r r r ⎧≥⋅⎪-+-⎪⎨⎪≥⋅⎪---⎩，即()()()()()()()1248741091r r r r r r r r ⎧++≥--⎪⎨--≥-⎪⎩，即2121,22,r r ∞∞⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎨⎛⎫⎪∈-⋃+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩且8,N r r ≤∈，解得：6r =，所以展开式中系数最大的项为.8667663238(2)C 1792xx----=18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，313log 1log n n b b +-=，且()1122n n n a a a n +-=+≥.339S b ==，414b a =.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .【正确答案】(1)21n a n =-，13n n b -=(2)()131nn T n =-+【分析】（1）首先判断数列{}n b 为等比数列，数列{}n a 是等差数列，再根据等差和等比数列的基本量求解；（2）由（1）可知，()1213n n c n -=-⋅，利用错位相减法求和.【详解】（1）313log 1log n n b b +-= ，()313log log 3n n b b +∴=，则13n nb b +=，所以{}n b 为等比数列，又39b =，得11b =，所以13n n b -=，由112n n n a a a +-=+，知数列{}n a 是等差数列，且41427b a ==，39S =,111327339a d a d +=⎧∴⎨+=⎩，得1a 1,d 2==，21n a n ∴=-；（2）()1213n n c n -=-⋅ ，()0121133353...213n n T n -∴=⨯+⨯+⨯++-⨯，()()12213133353...233213n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯两式相减可得：()()12121233...3213n n n T n --=++++--⨯，()2223n n =-+-⋅，()131n n T n ∴=-⋅+.19．某地打算修建一条公路，但设计路线正好经过一个野生动物迁徙路线，为了保护野生动物，决定修建高架桥，为野生动物的迁徙提供安全通道.若高架桥的两端及两端的桥墩已建好，两端的桥墩相距1200米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经预测，一个桥墩的工程费用为500万元，距离为x 米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为()10ln 123x x +-⎡⎤⎣⎦万元，假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素，记余下工程的费用为y 万元.(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)需新建多少个桥墩才能使y 最小？并求出其最小值.参考数据：ln 20.69≈，ln 3 1.10≈【正确答案】(1)()60000012000ln 1236500y x x=⋅++-(2)需新建19个桥墩才能使y 最小，最小值为24740万元.【分析】（1）利用题中的已知条件设出需要建设桥墩的个数，进而表示出工程的费用即可；（2）利用（1）的结果，再利用导数研究函数的单调性即可求出最值.【详解】（1）由已知两端的桥墩相距1200米，且相邻两桥墩相距x 米，故需要建桥墩12001x ⎛⎫- ⎪⎝⎭个，则()12001200150010ln 123y x x x x ⎛⎫=-⨯+⨯+-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭()60000050012000ln 1236000x x=-+⋅+-()60000012000ln 1236500x x=⋅++-所以y 关于x 的函数关系式为()60000012000ln 1236500y x x=⋅++-，()0,1200x ∈（2）由（1）知()60000012000ln 1236500y x x=⋅++-()()222501212000600000120001212x x y x x x x -+'=-=⨯++令0y '=，即()250120x x -+=，解得10x =-（舍）或60x =当060x <<时，0'<y ，函数单调递减；当601200x <<时，0'>y ，函数单调递增；所以当60x =时，y 有最小值，且()min 60000012000ln 60123650012000ln 722650060y =⋅++-=⨯-又()ln 72ln 89ln 8ln 93ln 22ln 330.692 1.1 4.27=⨯=+=+≈⨯+⨯=min 12000 4.272650024740y ∴=⨯-=（万元）所以需新建19个桥墩才能使y 最小，最小值为24740万元.20．已知函数()1e xf x x +=.(1)求()f x 的极值；(2)当0x >时，()ln 1f x x x a ≥+++恒成立，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)()f x 有极小值()11f -=-，无极大值.(2)(],1a ∈-∞【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数判断函数的单调性，再求函数的极值；（2）首先根据不等式构造函数()1eln 1x g x x x x +=---，再根据函数()g x '构造函数()11e x h x x+=-，再利用函数的导数()h x '判断函数的单调性，并结合零点存在性定理，判断()h x ，即()g x '的正负，判断函数的单调性，并求函数的最值，即可证明不等式.【详解】（1）求导得()()11e x f x x +=+'，所以当()0f x ¢>时，1x >-；当()0f x '<时，1x <-，所以()f x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增，所以()f x 有极小值()11f -=-，无极大值.（2）由题知不等式1e ln 1x x x x a +≥+++在()0,x ∈+∞上恒成立，则原问题等价于不等式1e ln 1x x x x a +---≥在()0,x ∈+∞上恒成立，记()1eln 1x g x x x x +=---，则()()()11111e11e x x g x x x x x ++⎛⎫=+--=+- ⎝'⎪⎭记()11e x h x x+=-，则()121e 0x h x x +'=+>恒成立，所以()h x 在()0,x ∈+∞上单调递增，又2112e 21ee 0eh +⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()21e 10h =->，所以存在021,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，即当0x x <时，()0h x <，此时()0g x '<；当0x x >时，()0h x >，此时()0g x '>，所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，由()01001e 0x h x x +=-=，得0101x e x +=，即001e1x x +=，00ln 1x x =--所以()()01000000001ln 1111x g x g x x e x x x x x x +≥=---=⋅++--=，(],1a ∴∈-∞.21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，若对任意正整数n ，1133n n n S a a ++=-++.(1)求证：{}2nn a 为等差数列(2)若()11n n n a S a -+>-恒成立，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)证明见解析(2)5,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）利用数列n a 与n S 的关系，变形得到()111222n n n n a a a a +--=-，根据数列{}12n n a a +-是等比数列，结合等差数列的定义，变形后即可证明；（2）首先根据（1）的结果求得12n nn a +=，再根据条件求得n n S a +，利用数列不等式恒成立，转化为最值问题，即可求解.【详解】（1）因为11133,1n n n S a a a ++=-++=，当1n =时，22133S a a =-++，解得234a =，当n ≥2时，()1332n n n S a a n -=-++≥，则()11113333n n n n n n n S S a a a a a +++--==-++--++，即()111222n n n n a a a a +--=-，又21122a a -=所以{}12n n a a +-是首项为12公比为12的等比数列，所以1122n n n a a +-=，则11221n n n n a a ++-=，又122a =，所以{}2nn a 为首项为2，公差为1的等差数列，（2）由（1）可知：21nn a n =+，则12n nn a +=所以111211233222n n n n n n n S a ++++++=-⋅++=-，又11111232S a -+==-，则()*113N 2n n n S a n -+=-∈，又()11n n na S a -+>-恒成立，所以()111312n n a --->-，当n 为奇数时，1132n a -->恒成立，而11322n --≥，则a <2；当n 为偶数时，1132n a -->-，而115322n --≥，即52a -<，则52a >-综上所述，实数a 的取值范围为5,2.2⎛⎫- ⎪⎝⎭22．已知函数()2e sin xf x x x =-，[]0,πx ∈(1)求()f x 的最小值.(2)若关于x 的方程()21cos sin e 12xm x x x x x -=---，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有两个实数根，求m 的取值范围.【正确答案】(1)2(2)π22ππ1e 1,822m ⎡⎫∈-+++-⎪⎢⎣⎭【分析】（1）函数的最值可利用单调性求解.（2）方程在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个实根可转化为函数()()21e 1cos sin 2xh x x x m x x x =-----在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，注意到()00h =，可讨论分析m 什么范围时存在另外一个根.【详解】（1）（1）()()2e sin cos xf x x x x =+'-，[]0,πx ∈令()()2e sin cos xg x x x x =-+()2e 2cos sin x g x x x x =+'-，[]0,πx ∈e 1cos x x ≥≥ ，sin 0x x ≥()0g x '∴>在[]0,πx ∈上恒成立.∴()f x '在[]0π,上单调递增()()020f x f ∴'≥=>'∴()f x 在[]0π,上单调递增()()min 0 2.f x f ∴==（2）令()()21e 1cos sin 2xh x x x m x x x =-----，π02,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦此时()00h =，()e 1sin xh x x mx x '=--+.令()=e 1xu x x --，则()=e 1x u x '-，当0x <时，()0u x '<，函数()u x 在区间(),0∞-上单调递减，当0x >时，()0u x '>，函数()u x 在区间()0,∞+上单调递增，所以函数()u x 在0x =时取最小值，所以()()00u x u ≥=，即e 10x x --≥.若0m ≥，e 10x x --≥ ，sin 0mx x ≥()0h x '∴≥在π02,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立.∴()h x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，仅有0x =一个零点，不符合题意.令()sin v x x x =-，π02,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()cos 10v x x '=-≤所以函数()v x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()00v x v ≤=即sin x x ≤.若m <0，则2sin mx x mx ≥令()21e 12xt x x x =---，π02,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()e 10x t x x '=--≥∴()t x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.()(0)0t x t ∴≥=即21e 12xx x --≥()21e 1sin 2x h x x mx x m x ⎛⎫'∴=--+≥+ ⎪⎝⎭此时，若102m -≤<，则()0h x '≥成立，不满足题意.故12m <-.此时记()0h x '=的另外一个零点为0x ，则()h x 在[]00,x 上单调递减，在0π,2x ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增要使()h x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上由两个零点，只需π22ππe 10282h m π⎛⎫=---+≥ ⎪⎝⎭又12m <-π22ππ1e 1,822m ⎡⎫∴∈-+++-⎪⎢⎣⎭思路点睛：（1）函数的最值可以利用函数的单调性去判断，本题中因导函数本身正负难以判断，所以考虑先分析导函数的单调性，进而判断导函数在区间的符号，再确定原函数的单调性（2）本题中函数本身比较复杂，导函数的判断也比较困难，可结合导数中常见不等式结论e 1x x ≥+，在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上sin x x >去判断.。
四川省绵阳中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题
四川省绵阳中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．．有两个等差数列2，6，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为（）．15B．17D．18二、多选题9．下列 求导运算正确的是（ ）A ．若()()sin 21f x x =-，则()()2cos 21f x x ¢=-四、多选题11．过点(),0P a 作曲线x y xe =的切线，若切线有且仅有两条，则实数a 的值可以是（ ）A ．2B ．0C ．4-D ．6-12．1202年，斐波那契在《算盘全书》中从兔子问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21L 该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，人们把这样的一列数组成的数列{}na 称为斐波那契数列，19世纪以前并没有人认真研究它，但在19世纪末和20世纪，这一问题派生出广泛的应用，从而活跃起来，成为热门的研究课题，记n S 为该数列的前n 项和，则下列结论正确的是（ ）A ．1189a =B ．2023a为偶数C ．135********a a a a a++++=L D ．24620242023a a a a S++++=L所以使0n S >成立的n 的最大值为32，故D 错误.故选：AC 11．AD【分析】设切点为000(,)x x x e ，求得切线方程为：()()000001x x y x e x e x x -=+-，将切线过点(,0)P a ，代入切线方程，得到2000x ax a --=有两个解，结合0D >，即可求解．【详解】由题意，函数x y xe =，可得(1)x y x e ¢=+设切点为000(,)x x x e ，则000|(1)x x x y x e =¢=+，所以切线方程为：()()000001x x y x e x e x x -=+-，切线过点(,0)P a ，代入得()()000001x x x e x e a x -=+-，即方程2000x ax a --=有两个不同解，则有240a a D =+>，解得0a >或4a <-．故选：AD.12．ACD【分析】根据递推关系计算出11a 的值可判断选项A ；根据数列中项的特点可判断选项B ；由()112n n n aa a n -++=³可得()112n n n a a a n +-=-³，再化简可判断选项C ；由21a a =，()112n n n a a a n -++=³化简整理可判断选项D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ：由题意知：11a =，21a =，32a =，43a =，55a =，68a =，713a =，821a =，978132134a a a =+=+=，1089213455a a a =+=+=，11910345589a a a =+=+=，故选项A 正确；对于B ：因为该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，此答案第161页，共22页。
湖北省部分学校2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题
湖北省部分学校2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题一、单选题1．书架上放有2本不同的科学类图书，3本不同的文学类图书和5本不同的历史类图书，小李从中任选1本阅读，不同的选法共有（ ） A ．9种B ．10种C ．30种D ．45 种二、解答题2．已知函数()e ln xf x x x =+.(1)求曲线y =f x 在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若a >0，b >0，且221a b +=，证明：()()e 1f a f b +<+. 3．已知数列{}n a 满足 12323.n a a a na n ++++=L (1)求{}n a 的通项公式；(2)设[]2log n n b a =-，数列 {}n b 的前n 项和为n S ，求 21n S -.（其中[]x 表示不超过x 的最大整数）4．如图，在一个33⨯的网格中填齐1至9中的所有整数，每个格子只填一个数字，已知中心格子的数字为5．(1)求满足第二横排、第二竖排的3个数字之和均为15的不同的数字填写方案种数； (2)求满足第二横排的数字从左到右依次增大，第二竖排的数字从上到下依次增大的不同的数字填写方案种数．5．已知函数()ln 2f x x ax =--. (1)讨论f x 的单调性；(2)若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围.6．在公差不为0的等差数列{}n a 中， 123a =，10a 是6a 与8a 的等比中项. (1)求{}n a 的通项公式；(2)记{}n a 的前n 项和为n S ，求n S 的最大值.三、填空题7．提供6种不同颜色的颜料给图中A ，B ，C ，D ，E ，F 六个区域涂色，要求相邻区域不能涂相同颜色，则不同的涂色方法共有种.8．在数列{}n a 中，12a =，25a =，且21n n n a a a ++=-，则20242023a a -=．9．已知函数()()32213f x x f x '=++，则()2f =.四、多选题10．已知数列{}n a 的前n 项和为12,n S a =，且211n nn a a a +=-+，则（ ） A ．{}n a 是递增数列B ．使2024n S …成立的最大正整数n 的值为5C ．212n n nS S S n ++=++ D ．若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则112n T <…11．在主题为“爱我中华”的演讲比赛中，参赛者甲、乙、丙、丁、戊进入了前5名的决赛（获奖名次不重复）、甲、乙、丙三人一起去询问成绩，回答者说：“甲、乙两人之中有一人的成绩为第三人名，丙的成绩不是第五名."根据这个回答，下列结论正确的有（ ）A ．五人名次排列的所有情况共有36种B ．甲、乙的排名不相邻的所有情况共有24种C ．甲、乙的排名均高于丙的排名的所有情况共有8种D ．丙的排名高于甲的排名的所有情况共有24种 12．下列函数求导正确的有（ ）A ．(sin )sin cos x x x x x '=-B ．(π0'=C ．()222ln 11x x x '⎡⎤+=⎣⎦+D ．22111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭五、单选题13．已知函数()ln e mxf x x x =-对定义域内任意x 1<x 2，都有()()12121f x f x x x -<-，则正实数m 的取值范围为（ ）A ． 0,16B ．(]0,eC ．1e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)e,+∞14．银行有一种叫做零存整取的储蓄业务，即每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期可以取出全部本金与利息的和（简称本利和），这是整取．已知一年期的年利率为1.35%，规定每次存入的钱不计复利．若某人采取零存整取的方式，从今年1月开始，每月1日存入4000元，则到今年12月底的本利和为（ ）A ．48027元B ．48351元C ．48574元D ．48744元15．已知函数 f x 的部分图象如图所示，()f x '为 f x 的导函数，则（ ）A ．()()()()1010f f f f '>'->B ．()()()()1010f f f f >>-''C ．()()()()0101f f f f >-'>'D ．()()()()1100f f f f >-'>'16．“数列{n a }是等比数列”是“数列{}1n n a a +是等比数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件17．若函数()()322316f x x a x ax =-++的极小值点为1，则（ ）A ．a >1B ．a <1C ．1a ≥D ．1a ≤18．已知数列{}n a 是递增数列，则其通项公式可以是（ ）A ．2n a n n =-B ．39n n a n =-C ．2,21,n n n a n n ⎧=⎨+⎩为奇数为偶数D ．132n n n a -=-19．已知函数f x 的导函数为()f x '，若()21f ¢=，则()()Δ02Δ2limΔx f x f x→--=（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．−2。
高二数学4月月考试题含解析 试题(共21页)
2021-2021年第二(dì èr)学期蓝圃高二95班4月月考数学试题一.选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．请把答案填在答卷页的表格内．A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，那么A∩B等于( )A. {1}B. {4}C. {1，3}D. {1，4}【答案】D【解析】因为集合B中，x∈A，所以当x＝1时，y＝3－2＝1；当x＝2时，y＝3×2－2＝4；当x＝3时，y＝3×3－2＝7；当x＝4时，y＝3×4－2＝10.即B＝{1,4,7,10}．又因为A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．应选D.视频是纯虚数，假设是实数，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：设，那么，所以.考点：复数概念及其运算.【易错点晴】在复数的四那么运算上,经常由于忽略而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合一共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四那么运算中,只对加法和乘法法那么给出规定,而把减法、除法(chúfǎ)定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项；复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化；用类比的思想学习复数中的运算问题.p：“∀x∈[1，2]，x2－a≥0〞，命题q：“∃x0∈R，使〞，假设命题“p且q〞是真命题，那么实数a的取值范围是( )A. {a|a≤－2或者a＝1}B. {a|a≥1}C. {a|a≤－2或者1≤a≤2}D. {a|－2≤a≤1}【答案】A【解析】【分析】先求解命题为真命题时，实数的范围，再由命题且为真命题，即可求解实数的取值范围【详解】由题意，命题为真命题，那么，，所以，命题为真，那么，解得或者，假设命题且为真命题，那么的取值范围是或者，即实数的取值范围是或者，应选A．【点睛】此题主要考察了复合命题的真假断定及应用，其中正确求解命题为真命题时，实数的范围，再由命题且为真命题求解是解答的关键，着重考察了推理与运算才能．，条件，假设p是q的充分不必要条件，那么a的取值范围为〔〕A. a＞3B. a≥3C. a＜-1D. a≤-1【答案(dá àn)】D【解析】试题分析：由x2-2x-3＜0可得，设，，因为p是q的充分不必要条件，所以，可得.考点：充分条件与必要条件.【名师点睛】判断充分条件和必要条件的方法(1)命题判断法：设“假设p，那么q〞为原命题，那么：①原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件；②原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；③原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；④原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件．(2)集合判断法：从集合的观点看，建立命题p，q相应的集合：p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么：①假设A⊆B，那么p是q的充分条件；假设A B时，那么p是q的充分不必要条件；②假设B⊆A，那么p是q的必要条件；假设B A时，那么p是q的必要不充分条件；③假设A⊆B且B⊆A，即A＝B时，那么p是q的充要条件．(3)等价转化法：p是q的什么条件等价于非q是非p的什么条件．y＝sin(ωx＋φ)的局部(júbù)图象如图，那么φ、ω可以取的一组值是( )A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据函数的局部图象，先确定函数的最小正周期，求得的值，再代入点，即可求解相应的的值即可．【详解】由图象得，所以，又由，当时，，所以，解得，当时，，应选C．【点睛】此题主要考察了三角函数点图象与性质，由函数的图象求解三角函数的解析式时，通常根据函数的最值确定〔振幅〕的值，再由函数的最小正周期，确定的值，最后代入特殊点求解相应的的值，即可得到三角函数的解析式，着重考察了识图才能，以及推理与运算才能．a1＝1，给出的数列{a n}的第34项是( )A. B. 100 C. D.【答案(dá àn)】A【解析】【分析】由数列的递推关系式，分别求解出，再寻找出计算的规律，利用等差数列的性质，即可求解．【详解】由，那么，由此可知各项分子为1，分母构成等差数列，首项，公差为，所以，所以，应选A．【点睛】此题主要考察了数列的递推关系式的应用，其中明确数列的递推关系式，进展逐项求解，找出数列的构成规律是解答的关键，着重考察了推理与运算才能．7.给出以下四个命题：①假设ab≤0，那么a≤0或者b≤0；②假设a>b，那么am2>bm2；③在△ABC中，假设sin A ＝sin B，那么A＝B；④在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，假设b2－4ac<0，那么方程有实数根.其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( )A. ①B. ②C. ③D. ④【答案】C【解析】【分析】根据题意，分别写出每个命题的逆命题、否命题和逆否命题，再判断它们的真假，即可得到答案．【详解(xiánɡ jiě)】对于①，原命题是：假设，那么或者，是真命题，那么其逆否命题是真命题；逆命题是：假设或者，那么，是假命题，那么否命题是假命题；对于②，原命题：假设，那么，是假命题，所以其逆否命题也是假命题；逆命题是：假设，那么，是真命题，那么其否命题也是真命题；对于③中，原命题：在中，假设，那么，是真命题，那么其逆否命题也是真命题；逆命题：在中，假设，那么，是真命题，那么其否命题也是真命题；对于④中，原命题：在一元二次方程中，假设，那么方程有实数根，是假命题，那么其逆否命题也是假命题；逆命题：在一元二次方程中，假设方程有实数根，那么，是假命题，那么其否命题也是假命题；所以原命题、逆命题、否命题、逆否命题中都是真命题的，只有③，应选C．【点睛】此题主要考察了四种命题的书写及真假关系的断定，其中解答中熟记四种命题的书写，以及四种命题的真假关系是解答的关键，着重考察了推理与论证才能，属于根底题．8.某几何体的三视图如下图，那么该几何体的外表积为( )A. B. C. 13 D.【答案(dá àn)】C【解析】试题分析：该三视图的几何体是三棱台，是正方体中的一局部，如图．，，，，所以．应选C．考点：三视图，外表积．【名师点睛】几何体的三视图，常常可以看作是由根本几何体〔如正方体、长方体〕切割出的几何体的三视图，因此由这样的三视图作直观图时，可以画出正方体〔或者长方体〕，在此根底上切割并想象三视图得到所需几何体的直观图，这样画图有一个好处就是几何体中的线面关系〔平行与垂直〕非常明晰．a，b，c，内切圆的半径为r，那么三角形的面积为；四面体的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为R.类比三角形的面积可得四面体的体积为( ) A. B. C.D.【答案】B【解析】【分析(fēnxī)】根据几何体和平面图形的类比关系，三角形的边应与四面体中的各个面、面积与体积进展类比，利用类比推理，即可得到结论．【详解】根据几何体和平面图形的类比关系，三角形的边应与四面体中的各个面进展类比，而面积与体积进展类比，那么的面积为，对应于四面体的体积为，应选B．【点睛】此题考察了类比推理的应用，其中合情推理能帮助猜想和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．合情推理仅是“符合情理〞的推理，它得到的结论不一定正确．而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．10.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚刚想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈{0，1，2，…，9}.假设|a－b|≤1，那么称甲乙“心有灵犀〞.现任意找两人玩这个游戏，那么二人“心有灵犀〞的概率为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意得甲乙两人各猜一个数字，一共有种，再由一一列举出满足的所包含的根本领件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解．【详解】由题意，可知甲乙两人各猜一个数字，一共有 (种)猜字结果，其中满足的有：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，一共(yīgòng)有种，所以他们“心有灵犀〞的概率为，应选A.【点睛】此题主要考察了古典概型及其概率的计算，其中解答中根据题意，得出根本领件的总数和找出事件所包含的根本领件的个数〔列举法〕是解答的关键，同时注意认真审题，合理答题，着重考察了推理与运算才能．f(x)＝2x2－ln x的单调递减区间是( )A. B. 和 C. D. 和【答案】A【解析】【分析】求出函数的导数，利用函数的导数小于0，即可求解函数的递减区间．【详解】由题意，得，又当时，，所以函数的单调递减区间是，应选A.【点睛】此题主要考察了利用导数求解函数的单调区间，其中熟记导数的计算公式以及导数在函数中的应用是解答的关键，着重考察了推理与运算才能．的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，那么此双曲线的离心率e的最大值为( )A. B. C. 2 D.【答案(dá àn)】B【解析】【分析】根据双曲线的定义，求得，再由余弦定理，得，根据三角函数的性质，得到当时，离心率获得最大值，即可求解．【详解】由双曲线的定义知①又，②联立①②解得，在中，由余弦定理，得，要求的最大值，即求的最小值，当时，解得，即e的最大值为，应选B.解法二：由双曲线的定义知①又，②联立①②解得，因为点P在右支所以c-,即c-故c，即e的最大值为，应选B.【点睛】此题主要考察了双曲线的几何性质的求解，其中根据双曲线的定义求得，再在中，利用余弦定理得到关于离心率的关系式是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，推理与运算才能，属于中档试题．二.填空题：〔只要求写出最后结果，并把结果写在答卷页的相应位置上，每一小题5分，一共20分〕13.展开式中x2的系数为________.【答案(dá àn)】60【解析】【分析】求出二项式展开式的通项，再根据，即可求解的系数．【详解】因为展开式的通项为，所以展开式中的系数为．故答案为．【点睛】此题主要考察了二项式定理的应用，其中熟记二项展开式的通项是解答此类问题的关键，着重考察了推理与运算才能．y＝x3－2x在(1，－1)处的切线方程为__________________.【答案】x－y－2＝0【解析】试题分析：根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．解：y'=﹣2+3x2y'|x=﹣1=1而切点的坐标为〔1，﹣1〕∴曲线y=x3﹣2x在x=1的处的切线方程为x﹣y﹣2=0故答案为：x﹣y﹣2=015.程序框图如下图，该程序运行后输出的S的值是__________________.【答案(dá àn)】【解析】【分析】根据给定的程序框图，逐次循环计算，得到计算的周期性，即可求解．【详解】由程序框图知：第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环；第五次循环；，那么S值的周期为，∵跳出循环体的值是，∴一共循环了次，∴输出的.故答案为．【点睛】识别算法框图和完善算法框图是近年高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序构造、条件构造和循环构造；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进展循环，直到跳出循环体输出结果，完成解答．近年框图问题考察很活，常把框图的考察与函数和数列等知识考察相结合．，，，设X是直线(zhíxiàn)OP上的一点(O为坐标原点)，那么的最小值是________.【答案】－8【解析】【分析】设直线方程为，设出点坐标为，利用向量的坐标运算，得到关于的关系式，即可求解最小值．【详解】直线方程为，设点坐标为，那么，所以，当时，的最小值为．故答案为.【点睛】此题主要考察了向量的坐标表示及向量的运算，其中根据直线方程，设出点的坐标，利用向量数量积的坐标运算得出关于的关系式是解答的关键，着重考察了推理与运算才能．三、解答题：〔本大题一一共6小题，满分是70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．〕17.中的内角，，的对边分别是，假设，.〔1〕求；〔2〕假设，点为边上一点，且，求的面积.【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】【分析(fēnxī)】〔1〕因为，所以有，求得，再利用余弦的倍角公式，即可求解；〔2〕由余弦定理，化简得，解得，又，那么，再三角形的面积公式，即可求解．【详解】〔1〕因为，所以有.从而. 故.〔2〕由题意得，，由余弦定理得，.即，化简得，解得或者〔舍去〕.从而，又，那么.所以.【点睛】此题主要考察了三角恒等变换和正弦、余弦定理解三角形的应用，在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适宜，或者是两个定理都要用，要抓住可以利用某个定理的信息．一般地，假如式子中含有角的余弦或者边的二次式时，要考虑用余弦定理；以上特征都不明显时，那么要考虑两个定理都有可能用到．，只与道路畅通状况有关，对其容量为500的样本进展统计，结果如下：〔分钟〕25 30 35 40频数〔次〕100 150 200 50以这500次驾车单程所需时间是的频率代替某人1次驾车单程所需时间是的概率．〔1〕求的分布列与；〔2〕某天有3位老师单独驾车从大学城校区返回本部校区，记表示这3位老师中驾车所用时间是少于的人数，求的分布列与；〔3〕下周某天张老师将驾车从大学城校区出发，前往本部校区做一个50分钟的讲座，完毕(wánbì)以后立即返回大学城校区，求张老师从分开大学城校区到返回大学城校区一共用时间是不超过120分钟的概率．【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析；〔3〕.【解析】【分析】〔1〕以频率估计频率，即可获得的分布列，求出期望，得到概率即可；〔2〕判断分布列是二项分布，然后列出分布列，利用公式求解期望；〔3〕设分别表示往返所需时间是，设事件表示“从分开大学城校区到返回大学城校区一共用事件不超过120分钟〞，那么，求解概率即可．【详解】〔1〕以频率估计频率得的分布列为：25 30 35 40∴〔分钟〕，．〔2〕，〔〕．0 1 2 3．〔3〕设，分别(fēnbié)表示往返所需时间是，设事件表示“从分开大学城校区到返回大学城校区一共用时间是不超过120分钟〞，那么．【点睛】此题主要考察、随机变量的分布列和数学期望，其中认真审题，准确判断，得到得出离散型随机变量的分布列，求得概率和数学期望是解答关键，能很好的考察考生数学应用意识、根本运算求解才能等.19.如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，且，为的中点．〔1〕过点作一条射线，使得，求证：平面平面；〔2〕求二面角的余弦值的绝对值．【答案】〔1〕见解析；〔2〕.【解析】试题分析：〔1〕连线和交于点，连接，那么是的中点，由中位线定理得，由线面平行的断定定理得以平面；同理得平面，进而由面面平行得断定定理可得结论；〔2〕分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立如下图的空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，进而用空间向量夹角余弦公式求解.试题解析：〔1〕证明(zhèngmíng)：在矩形中，连线和交于点，连接，那么是的中点，由于是的中点，所以是△的中位线，那么，又平面，平面，所以平面，又，同理得平面，因为，所以平面平面．〔2〕解：分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立如下图的空间直角坐标系．设，那么，，故，，，，所以，，，，设平面的一个法向量为，那么有即令，那么，，故．同理，可得平面的一个法向量，所以，即二面角的余弦值的绝对值为．考点：1、线面、面面平行得断定定理；2、空间向量夹角余弦公式.：〔〕的右焦点为，且椭圆上一点到其两焦点，的间隔之和为．〔1〕求椭圆的HY方程；〔2〕设直线：〔〕与椭圆交于不同两点，，且，假设点满足，求的值．【答案(dá àn)】〔1〕；〔2〕或者．【解析】【分析】〔1〕由求得，又由，由此能求出椭圆的方程；〔2〕由，得，由此利用根的判别式、韦达定理、中垂线的性质，结合，即可求出的值．【详解】〔1〕由，得，又，∴，∴椭圆的方程为．〔2〕由得①∵直线与椭圆交于不同两点、，∴，得，设，，∴．又由，得，解得．据题意知，点为线段的中垂线与直线的交点，设的中点为，那么，，当时，，此时，线段的中垂线方程为，即．令，得．当时，，∴此时，线段中垂线方程为，即．令，得．综上所述，的值是或者．【点睛】此题主要考察椭圆的HY方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆〔圆锥曲线〕方程是根底，通过联立直线方程与椭圆〔圆锥曲线〕方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目的函数〞的解析式，确定函数的性质进展求解，此类问题易错点是复杂式子的变形才能缺乏，导致错漏百出，此题能较好的考察考生的逻辑思维才能、运算求解才能、分析问题解决问题的才能等．.〔Ⅰ〕当时，求曲线(qūxiàn)在处的切线方程；〔Ⅱ〕当时，假设不等式恒成立，务实数的取值范围.【答案】〔I〕；〔II〕.【解析】分析：(1)先求切线的斜率和切点的坐标，再求切线的方程.(2)分类讨论求，再解≥0，求出实数a的取值范围.详解：〔Ⅰ〕当时，，，，即曲线在处的切线的斜率为，又，所以所求切线方程为.〔Ⅱ〕当时，假设不等式恒成立，易知，①假设，那么恒成立，在上单调递增；又，所以当时，，符合题意.②假设，由，解得，那么当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以时，函数获得最小值.那么当，即时，那么当时，，符合题意.当，即时，那么当时，单调递增，，不符合题意.综上，实数(shìshù)的取值范围是.点睛：〔1〕此题主要考察导数的几何题意和切线方程的求法，考察利用导数求函数的最小值，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理转化才能.(2)解答第2问由两次分类讨论，第一次是分类的起因是解不等式时，右边要化成，由于对数函数定义域的限制所以要分类讨论，第二次分类的起因是是否在函数的定义域内,大家要理解掌握.请考生在第22、23两题中任选一题答题.注意：只能做所选定的题目.假如多做，那么按所做的第一个题目计分．中，曲线的参数方程为〔为参数〕，在极坐标系〔与直角坐标系取一样的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴〕中，直线的方程为.〔1〕求曲线在极坐标系中的方程；〔2〕求直线被曲线截得的弦长.【答案】〔1〕；〔2〕【解析】试题分析：〔I〕通过分类参数方程中的参数，利用同角三角函数的平方关系，消去参数，得到曲线的直角坐标方程，在根据化简可得曲线在极坐标系中的方程；〔II〕利用普通方程求出交点坐标，得到弦长.试题解析：〔I〕曲线的普通方程为，即，将代入方程化简得.所以，曲线的极坐标方程是.〔II〕直线的直角坐标方程为，由得直线(zhíxiàn)与曲线C的交点坐标为，所以弦长.考点：参数方程与直角坐标方程、极坐标方程的互化与应用.23.(选修4-5：不等式选讲)函数．〔1〕求不等式的解集；〔2〕假设实数，且的最小值为，求的最小值，并指出此时的值．【答案】〔1〕；〔2〕最小值为，.【解析】【分析】〔1〕把要解的不等式，分类讨论，转化为与之等价的不等式组，求出每个不等式组的解集，取并集，即可求解．〔2〕利用绝对值三角不等式，求得的最小值为，再利用根本不等式求得的最小值，以及此时的值．【详解】〔1〕原不等式等价于或者或者，解得或者，综上所述，不等式的解集为.〔2〕依题意，可知，，故，当且仅当时等号成立.【点睛】此题主要考察了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个根本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、浸透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵敏应用，这是命题的新动向．内容总结（1）〔2〕假设实数，且的最小值为，求的最小值，并指出此时的值．【答案】〔1〕。
2021年高二下学期4月段考数学试卷(文科)含解析
2021年高二下学期4月段考数学试卷（文科）含解析一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．命题“若x≥0，则x2≥0”的否命题是．2．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，3，4}，B={1，3，5}，则∁（A∪B）= ．U3．函数f（x）=lg（x﹣1）+的定义域为．4．已知函数f（x）=，若f（a）=，则实数a的值为．5．曲线y=2x﹣lnx在点（1，2）处的切线方程是．6．若命题“∃x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是．7．函数f（x）=+lnx的单调减区间为．8．“p：x∈{x|x2﹣x﹣2≥0}”，“q：x∈{x|2a﹣1≤x≤a+3}”，若¬p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是．9．已知函数f（x）=|x|+2|x|，且满足f（a﹣1）＜f（2），则实数a的取值范围是．10．已知奇函数f（x）的图象关于直线x=﹣2对称，当x∈[0，2]时，f（x）=2x，则f（﹣9）= ．11．若函数f（x）=ln（ae x﹣x﹣3）的定义域为R，则实数a的取值范围是．12．若函数f（x）=x2+a|x﹣2|在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是．13．已知函数f（x）=lnx﹣（m∈R）在区间[1，e]取得最小值4，则m=．14．已知函数f（x）=x2+m的图象与函数g（x）=ln|x|的图象有四个交点，则实数m的取值范围是．二．解答题：（本大题共6小题，共90分.请在答题纸指定区域作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．16．已知函数f（x）=ax2﹣lnx（a∈R）（1）若函数y=f（x）图象上点（1，f（1））处的切线方程y=x+b（b∈R），求实数a，b的值；（2）若y=f（x）在x=2处取得极值，求函数f（x）在区间[，e]上的最大值．17．已知二次函数y=f（x）的最小值等于4，且f（0）=f（2）=6．（1）求f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=f（x）﹣kx，且函数g（x）在区间[1，2]上是单调函数，求实数k的取值范围；（3）设函数h（x）=f（2x），求当x∈[﹣1，2]时，函数h（x）的值域．18．该试题已被管理员删除19．设f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，函数g（x）与f（x）的图象关于y轴对称，且当x∈（0，1）时，g（x）=lnx﹣ax2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若对于区间（0，1）上任意的x，都有|f（x）|≥1成立，求实数a的取值范围．20．已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣3x，g（x）=2x2ln|x|．（1）若函数f（x）在R上是单调函数，求实数a的取值范围；（2）判断函数g（x）的奇偶性，并写出g（x）的单调区间；（3）若对一切x∈（0，+∞），函数f（x）的图象恒在g（x）图象的下方，求实数a的取值范围．xx学年江苏省南通市如皋中学高二（下）4月段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．命题“若x≥0，则x2≥0”的否命题是若x＜0，则x2＜0．【考点】四种命题．【分析】利用“否命题”的定义即可得出．【解答】解：命题“若x≥0，则x2≥0”的否命题是：“若x＜0，则x2＜0”．故答案为：若x＜0，则x2＜0．2．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，3，4}，B={1，3，5}，则∁U（A∪B）={6} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出A∪B，可得∁U（A∪B）．【解答】解：A∪B={1，2，3，4，5}，∴∁U（A∪B）={6}．故答案为：{6}．3．函数f（x）=lg（x﹣1）+的定义域为（1，2）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由对数式的真数大于0，分母中根式内部的代数式大于0联立不等式组求解．【解答】解：由，解得1＜x＜2．∴函数f（x）=lg（x﹣1）+的定义域为（1，2）．故答案为：（1，2）．4．已知函数f（x）=，若f（a）=，则实数a的值为﹣1或．【考点】分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系．【分析】直接利用分段函数列出方程，化简求解即可．【解答】解：当a≤0时，f（a）=，即2a=，解得a=﹣1．当a＞0时，f（a）=，即﹣a2+1=，解得a=故答案为：﹣1或；5．曲线y=2x﹣lnx在点（1，2）处的切线方程是x﹣y+1=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出曲线的导函数，把x=1代入即可得到切线的斜率，然后根据（1，2）和斜率写出切线的方程即可．【解答】解：由函数y=2x﹣lnx知y′=2﹣，把x=1代入y′得到切线的斜率k=2﹣=1则切线方程为：y﹣2=（x﹣1），即x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=06．若命题“∃x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是[﹣1，3] ．【考点】特称命题．【分析】因为不等式对应的是二次函数，其开口向上，若“∃x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0”，则相应二次方程有重根或没有实根．【解答】解：∵“∃x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0是假命题，∴x2+（1﹣a）x+1=0没有实数根或有重根，∴△=（1﹣a）2﹣4≤0∴﹣1≤a≤3故答案为：[﹣1，3]．7．函数f（x）=+lnx的单调减区间为（9，1] ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出导函数y′，再解不等式y′＜0，即可解得函数的单调递减区间．【解答】解：∵函数f（x）=+lnx，∴y′=﹣+= （x＞0）由y′＜0，得，解得0＜x＜1，∴函数f（x）=+lnx的单调减区间为（0，1]故答案为：（0，1]．8．“p：x∈{x|x2﹣x﹣2≥0}”，“q：x∈{x|2a﹣1≤x≤a+3}”，若¬p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是[﹣1，0] ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别化简命题p，q，可得￢p，再利用¬p是q的充分不必要条件，即可得出．【解答】解：∵命题P：{x|x≤﹣1或x≥2}，∴￢p：{x|﹣1＜x＜2}，q：x∈{x|2a﹣1≤x≤a+3}”，∵¬p是q的充分不必要条件，∴，解得﹣1≤a≤0．∴a的取值范围是[﹣1，0]；故答案为：[﹣1，0]9．已知函数f（x）=|x|+2|x|，且满足f（a﹣1）＜f（2），则实数a的取值范围是（﹣1，3）．【考点】函数的值．【分析】由已知得|a﹣1|+2|a﹣1|＜2+22=6，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=|x|+2|x|，∴f（﹣x）=|﹣x|+2|﹣x|=|x|+2|x|=f（x），∴f（x）是偶函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）=|x|+2|x|是增函数，∵f（x）满足f（a﹣1）＜f（2），∴|a﹣1|+2|a﹣1|＜2+22=6，解得|a﹣1|＜2，解得﹣1＜a＜3．∴实数a的取值范围是（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．10．已知奇函数f（x）的图象关于直线x=﹣2对称，当x∈[0，2]时，f（x）=2x，则f（﹣9）=﹣2．【考点】奇偶函数图象的对称性；函数的值．【分析】先由图象关于直线x=﹣2对称得f（﹣4﹣x）=f（x），再与奇函数条件结合起来，有f（x+8）=f（x），得f（x）是以8为周期的周期函数，从而f（﹣9）=﹣f（1），从而求出所求．【解答】解；∵图象关于直线x=﹣2对称∴f（﹣4﹣x）=f（x）∵f（x）是奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）∴f（﹣4﹣x）=﹣f（﹣x），即﹣f（﹣4+x）=f（x），故f（x﹣8）=f[（x﹣4）﹣4]=﹣f（x﹣4）=f（x），进而f（x+8）=f（x）∴f（x）是以8为周期的周期函数．f（﹣9）=﹣f（1）=﹣2故答案为：﹣211．若函数f（x）=ln（ae x﹣x﹣3）的定义域为R，则实数a的取值范围是（e2，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】f（x）=ln（ae x﹣x﹣3）的定义域为R等价于ae x﹣x﹣3＞0的解集是R，由此能求出实数a的范围．【解答】解：∵f（x）=ln（ae x﹣x﹣3）的定义域为R，∴ae x﹣x﹣3＞0的解集是R，即a＞恒成立．设g（x）=，则g'（x）=，当x＜﹣2时g'（x）＞0，当x＞﹣2时g'（x）＜0，故g（x）在（﹣∞，﹣2）是增函数，在（﹣2，+∞）上是减函数，故当x=﹣2时，g（x）取得最大值g（﹣2）=e2，∴a＞e2．故答案为：（e2，+∞）．12．若函数f（x）=x2+a|x﹣2|在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是[﹣4，0] ．【考点】二次函数的性质．【分析】先通过讨论x的范围，将f（x）写出分段函数的形式，结合二次函数的性质，得到不等式组，解出即可．【解答】解：解：f（x）=x2+a|x﹣2|=，要使f（x）在[0，+∞）上单调递增，则：，解得﹣4≤a≤0；∴实数a的取值范围是[﹣4，0]．故答案为：[﹣4，0]．13．已知函数f（x）=lnx﹣（m∈R）在区间[1，e]取得最小值4，则m=．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求出函数的导函数，然后分m的范围讨论函数的单调性，根据函数的单调性求出函数的最小值，利用最小值等于4求m的值．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），．当f′（x）=0时，，此时x=﹣m，如果m≥0，则无解．所以，当m≥0时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，所以f（x）min=f（1）=﹣m=4，m=﹣4，矛盾舍去；当m＜0时，若x∈（0，﹣m），f′（x）＜0，f（x）为减函数，若x∈（﹣m，+∞），f′（x）＞0，f（x）为增函数，所以f（﹣m）=ln（﹣m）+1为极小值，也是最小值；①当﹣m＜1，即﹣1＜m＜0时，f（x）在[1，e]上单调递增，所以f（x）min=f（1）=﹣m=4，所以m=﹣4（矛盾）；②当﹣m＞e，即m＜﹣e时，f（x）在[1，e]上单调递减，f（x）min=f（e）=1﹣=4．所以m=﹣3e．③当﹣1≤﹣m≤e，即﹣e≤m≤1时，f（x）在[1，e]上的最小值为f（﹣m）=ln（﹣m）+1=4．此时m=﹣e3＜﹣e（矛盾）．综上m=﹣3e．14．已知函数f（x）=x2+m的图象与函数g（x）=ln|x|的图象有四个交点，则实数m的取值范围是（﹣∞，）．【考点】函数的图象．【分析】g（x）=ln|x|的图象经过点（1，0），数形结合可得f（1）=•12+m＜0，由此解得m的值．【解答】解：∵函数f（x）=x2+m的图象（图中黑色部分）与函数g（x）=ln|x|的图象（图中红色部分）有四个交点，再根据这两个函数都是偶函数，它们的图象关于y轴对称，故它们的图象在（0，+∞）上有两个交点．又g（x）=ln|x|的图象经过点（1，0），数形结合可得f（1）=•12+m＜0，解得m＜，故答案为：（﹣∞，）．二．解答题：（本大题共6小题，共90分.请在答题纸指定区域作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假；命题的真假判断与应用．【分析】（1）由于命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，令f（x）=x2﹣a，只要x∈[1，2]时，f（x）min≥0即可；（2）由（1）可知，当命题p为真命题时，a≤1，命题q为真命题时，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a的取值范围．由于命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，可知：命题p 与命题q必然一真一假，解出即可．【解答】解：（1）∵命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，令f（x）=x2﹣a，根据题意，只要x∈[1，2]时，f（x）min≥0即可，也就是1﹣a≥0，解得a≤1，∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]；（2）由（1）可知，当命题p为真命题时，a≤1，命题q为真命题时，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2或a≥1．∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，∴命题p与命题q必然一真一假，当命题p为真，命题q为假时，，当命题p为假，命题q为真时，，综上：a＞1或﹣2＜a＜1．16．已知函数f（x）=ax2﹣lnx（a∈R）（1）若函数y=f（x）图象上点（1，f（1））处的切线方程y=x+b（b∈R），求实数a，b的值；（2）若y=f（x）在x=2处取得极值，求函数f（x）在区间[，e]上的最大值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，求出切线方程，根据对应关系求出a，b的值即可；（2）求出函数的导数，求出a的值，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可．【解答】解：（1）f（x）=ax2﹣lnx，f′（x）=2ax﹣，f（1）=a，f′（1）=2a﹣1，故切线方程是：y﹣a=（2a﹣1）（x﹣1），即y=（2a﹣1）x﹣a+1=x+b，故2a﹣1=1，b=﹣a+1，解得：a=1，b=0；（2）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=2ax﹣，f′（2）=4a﹣=0，解得：a=，∴f（x）=x2﹣lnx，f′（x）=x﹣=，令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：x＜2，故f（x）在[，2]递减，在[2，e]递增，故f（x）的最大值是f（）或f（e），而f（）=﹣1＜f（e）=﹣1，故函数的最大值是f（e）=﹣1．17．已知二次函数y=f（x）的最小值等于4，且f（0）=f（2）=6．（1）求f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=f（x）﹣kx，且函数g（x）在区间[1，2]上是单调函数，求实数k的取值范围；（3）设函数h（x）=f（2x），求当x∈[﹣1，2]时，函数h（x）的值域．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）根据题意，得出f（x）的对称轴，顶点坐标，从而求出解析式；（2）求出函数的对称轴，函数g（x）在区间[1，2]上是单调函数，得到关于k的不等式解得即可；（3）利用换元法求出h（x）的解析式，根据函数的单调性即可求出函数的值域．【解答】解：（1）∵f（0）=f（2）=6，∴对称轴为x=1，设f（x）=a（x﹣1）2+4，∴f（0）=a（0﹣1）2+4，∴a=2，∴f（x）=2（x﹣1）2+4=2x2﹣4x+6；（2）函数g（x）=2x2﹣（k+4）x+6，其对称轴方程为：∵函数g（x）在区间[1，2]上是单调函数，∴∴k≤0或k≥4；（3）令，则h（x）=H（t）=2t2﹣4t+6=2（t﹣1）2+4当时，H（t）单调递减，当t∈[1，4]时，H（t）单调递增，H（t）min=H（1）=4又，所以H（t）max=H（4）=22，∴当x∈[﹣1，2]时，函数h（x）的值域[4，22]．18．该试题已被管理员删除19．设f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，函数g（x）与f（x）的图象关于y轴对称，且当x∈（0，1）时，g（x）=lnx﹣ax2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若对于区间（0，1）上任意的x，都有|f（x）|≥1成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法；奇偶函数图象的对称性．【分析】（1）先利用函数g（x）与f（x）的图象关于y轴对称得：f（x）的图象上任意一点P（x，y）关于y轴对称的对称点Q（﹣x，y）在g（x）的图象上；然后再利用x∈[﹣1，0）时，﹣x∈（0，1]，则f（x）=g（﹣x）求出一段解析式，再利用定义域内有0，可得f （0）=0；最后利用其为奇函数可求x∈（0，1]时对应的解析式，综合即可求函数f（x）的解析式；（2）先求出f（x）在（0，1]上的导函数，利用其导函数求出其在（0，1]上的单调性，进而求出其最大值，只须让起最大值与1相比即可求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵g（x）的图象与f（x）的图象关于y轴对称，∴f（x）的图象上任意一点P（x，y）关于y轴对称的对称点Q（﹣x，y）在g（x）的图象上．当x∈[﹣1，0）时，﹣x∈（0，1]，则f（x）=g（﹣x）=ln（﹣x）﹣ax2．∵f（x）为[﹣1，1]上的奇函数，则f（0）=0．当x∈（0，1]时，﹣x∈[﹣1，0），f（x）=﹣f（﹣x）=﹣lnx+ax2．∴f（x）=（2）由（1）知，f'（x）=﹣+2ax．①若f'（x）≤0在（0，1]恒成立，则﹣0⇒a．此时，a，f（x）在（0，1]上单调递减，f（x）min=f（1）=a，∴f（x）的值域为[a，+∞）与|f（x）|≥1矛盾．②当a时，令f'（x）=﹣⇒x=∈（0，1]，∴当x∈（0，）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（，1]时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）min=f（）=﹣ln+a=ln2a+．由|f（x）|≥1，得ln2a+≥1⇒．综上所述，实数a的取值范围为a．20．已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣3x，g（x）=2x2ln|x|．（1）若函数f（x）在R上是单调函数，求实数a的取值范围；（2）判断函数g（x）的奇偶性，并写出g（x）的单调区间；（3）若对一切x∈（0，+∞），函数f（x）的图象恒在g（x）图象的下方，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数奇偶性的判断；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，根据判别式△≤0，求出a的范围即可；（2）求出g（x）是偶函数，求出x＞0时，函数的单调性，从而求出函数g（x）的单调区间；（3）问题转化为在x∈（0，+∞）上恒成立，令，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出a的范围即可．【解答】解：（1）由f（x）=﹣x3+ax2﹣3x，得f'（x）=﹣3x2+2ax﹣3，因为函数f（x）在R上是单调函数，所以f'（x）≤0在R上恒成立，所以△=4a2﹣4×9≤0，解得﹣3≤a≤3．…（2）由g（x）=2x2ln|x|，知定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）所以定义域关于原点对称…当g（﹣x）=2（﹣x）2ln|﹣x|=2x2ln|x|=g（x）所以函数g（x）是偶函数．…当x＞0时，g（x）=2x2lnx，，令g′（x）=0，得，…且时，结合偶函数的对称性，知函数g（x）的单调增区间是：单调减区间是：．…（3）题意即为f（x）＜g（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，即在x∈（0，+∞）上恒成立．…令，则，令，得x=1，当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0 所以h（x）min=h（1）=4，所以a＜4．…精品文档xx年11月22日31802 7C3A 簺029847 7497 璗M28954 711A 焚31356 7A7C 穼V?20555 504B 偋l|633057 8121 脡27784 6C88 沈38777 9779 靹实用文档。
高二数学4月阶段期中质量检测试题文新人教A版(精品文档)
高二4月阶段（期中）质量检测数学（文）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案代号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上． 3. 考试结束后，监考人员将答题卡收回．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）． 1．复数cos z i θ=，[)02πθ∈，的几何表示是（ ） A ．虚轴 B ．线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(0,1),(0,－1) C ．虚轴除去原点 D ．（Ｂ）中线段PQ ，但应除去原点2．下面使用类比推理正确的是 （ ） A ．“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =” B ．“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”C ．“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a bc c c+=+ （c ≠0）” D ．“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n（b ）”3．下列四组中()()x g x f ,表示相等函数的是( ) A ．()()()2,x x g x x f == B ．()()33,x x g x x f ==C ．()()xxx g x f ==,1 D ．()()x x g x x f ==, 4．下列说法正确的有( ) B①回归方程适用于一切样本和总体； ②回归方程一般都有时间性；③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围； ④回归方程得到的预报值是预报变量的精确值。
A ．①②B ．②③C ．③④D ．①③ 5．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ） A ．假设三内角都不大于60度 B ．假设三内角都大于60度C ．假设三内角至多有一个大于60度D ．假设三内角至多有两个大于60度 6． 一名高二学生在家庭范围内推广“节水工程”——做饭、淘米、洗菜的水留下来擦地或浇花，洗涮的水留下来冲卫生间（如图），该图示称为（ ）A ．流程图B ．程序框图C ．组织结构图D ．知识结构图7．回归分析中，相关指数R 2的值越大，说明残差平方和( )A ．越小B ．越大C ．可能大也可能小D ．以上都不对 8．下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1=x ”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”．B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．C ．命题“存在,R x ∈使得210x x ++<”的否定是：“对任意,R x ∈ 有210x x ++<”．D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．9．已知函数,则m 的取值范围是( ) A ．0＜m ≤4 B ．0≤m ≤1 C ．m ≥4D ．0≤m ≤410．已知命题“012,2<++∈∃ax x x R ”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)1,(--∞B ．),1(+∞C ．()(),11,-∞-+∞D ．()1,1-11． 已知全集U=R {}2|680B x x x =-+<,则()u C A B ⋂=（ ）A ．[)1,4-B ．()2,3C ．(]1,4-D ．(]2,312．数列{}n a 中，a 1=1，S n 表示前n 项和，且S n ，S n+1，2S 1成等差数列，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想当n≥1时，S n = （ ）A ．1212-+n nB ．1212--n nC ．nn n 2)1(+ D ．1－121-n二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上． 13． 若回归直线方程中的回归系数b=0时，则相关系数r= ． 14． 已知函数f(2x ＋1)＝3x ＋2，且f(a)＝4，则a ＝________． 15． 已知()22f z i z z i +=++，则(32)f i += ．16． 从1=1，1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),…,推广到第n 个等式为_________________________．三、解答题：（本大题共6个小题，共74分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分）已知集合A=｛x|x 2-3x-10≤0｝,B=｛x|m+1≤x≤2m -1｝,若A∪B=A， 求出实数m 的取值范围。
高二数学4月月考试题文试题(共15页)
高二学年数学(shùxué)文科试题月考试题试卷分第I卷〔选择题〕和第II卷〔非选择题〕两局部，一共150分，考试时间是是120分钟第I卷〔选择题，一共60分〕一．选择题〔每一小题5分，一共12小题，一共60分〕1.假设,那么a的值等于( )A. B.1 C. D.22.某为了理解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取局部学生进展调查，那么最合理的抽样方法是( )A.抽签法B.系统抽样法C.分层抽样法D.随机数法3.直线ax﹣by﹣2=0与曲线y=x3在点P〔1， 1〕处的切线互相平行，那么为〔〕A．3 BC．D．．4.变量和满足关系，变量y与正相关. 以下结论中正确的选项是〔〕 A．x与y负相关，x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y正相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关5.对一批产品的长度(单位：毫米)进展抽样检测，以下图为检测结果的频率分布直方图．根据HY，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，那么其为二等品的概率是( )．A ．0.09B ．0.20 C6．在吸烟(xī yān)与患肺病这两个分类变量的计算中，以下说法正确的选项是( )①假设K 2满足K 2≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从HY 性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；③从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误． A ．① B ．①③ C ．③ D ．②7．如图是Ⅰ，Ⅱ两组各7名同学体重(单位：kg)数据的茎叶图．设Ⅰ，Ⅱ两组数据的平均数依次为x －1和x －2，HY 差依次为s 1和s 2，那么( )A.x －1>x －2，s 1>s 2B.x －1>x －2，s 1<s 2C. x －1<x －2，s 1<s 2D. x －1<x －2，s 1>s 2 8. 函数有极大值和极小值，那么的取值范围为( )A ．－1a <2B ．a <－3或者a6C ．a <－1或者a >2D ．－3<a <69．函数y=在区间[，2]上的最小值为〔 〕 A ．2B ．C ． eD ．10.函数的图象大致是〔 〕A ．B ．C ．D ． 11．定义(dìngyì)在R 上的奇函数，设其导函数为，当时，恒有，令，那么满足的实数x 的取值范围是〔 〕A ．B ．C ．D ．12．设函数，那么函数的各极大值之和为〔 〕A ．B ．C ．D ．第II 卷〔非选择题，一共90分〕二．填空题．〔每一小题5分，一共4小题，一共20分〕13. 从甲、乙等5名学生中随机选出2人，那么甲被选中的概率为____y ＝在点x ＝1处的切线方程为_____15.函数y ＝ax －ln x 在(12，＋∞)内单调递增，那么a 的取值范围为_____16.在不等式组所表示的平面区域内随机地取一点P,那么点P恰好落在第二象限的概率为.三、解答题〔一共6小题，17题10分，其余每一小题12分，满分是70分〕17.〔本小题满分是10分〕为了促进人口的平衡开展，我国从2021年1月1日起，全国统一施行全面放开二孩政策。
高二数学4月月考试题 文含解析 试题
一中2021-2021学年高二年级〔下〕月考数学试卷〔文科〕一、选择题〔一共12题，每一小题5分，一共计60分.在每一小题的四个选项里面，只有一项正确答案)A. “〞是“〞的充分不必要条件B. “假设，那么〞的逆否命题为：“假设，那么〞C. 假设为假命题，那么均为假命题D. 命题，使得，那么：，均有【答案】C【解析】【分析】对四个选项里面的说法进展逐一判断，由此得出说法错误的选项.【详解】对于A选项，“〞时有“〞，但“〞时可能，故“〞是“〞的充分不必要条件，A选项说法正确.对于B选项，根据逆否命题的知识可知，B 选项说法正确.对于C选项，为假命题时，中可能只有一个假命题，故C选项说法错误.根据特称命题的否认是全称命题的知识可知D选项说法正确.综上所述，此题选C. 【点睛】本小题主要考察充分、必要条件的判断，考察逆否命题的知识，考察含有简单逻辑联结词真假性，考察特称命题的否认是全称命题，属于根底题.〔单位：〕与身高〔单位：〕具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，那么以下结论中不正确的选项是〔〕A. 与有正的线性相关关系B. 回归直线过样本点的中心C. 假设该高中某男生身高增加，那么其体重约增加D. 假设该高中某男生身高为，那么可断定其体重必为【答案】D【解析】【分析】根据最小二乘法以及回归分析的知识，对四个选项逐一分析，由此得出结论错误的选项. 【详解】根据与的线性回归方程为可得，，因此与有正的线性相关关系，故A正确；回归直线过样本点的中心， B正确；该高中某男生身高增加，预测其体重约增加，故C正确；假设该高中某男生身高为，那么预测其体重约为【点睛】本小题主要考察最小二乘法的概念，考察回归直线方程的知识，属于根底题.满足〔其中为虚数单位〕，那么以下结论正确的选项是〔〕A. B. 的虚部为C. D. 的一共轭复数为【答案】D【解析】【分析】把等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．【详解】由，得，∴，的虚部为1，，的一共轭复数为，应选D．【点睛】此题主要考察了复数代数形式的乘除运算，考察复数的根本概念，是根底题．4.用反证法证明命题：假设整数系数的一元二次方程有有理实数根，那么中至少有一个是偶数．以下假设中正确的选项是( )A. 假设至多有一个是偶数B. 假设至多有两个偶数C. 假设都不是偶数D. 假设不都是偶数【答案】D【解析】【分析】用反证法法证明数学命题时，应先假设命题的反面成立，求出要证的命题的否认，即为所求．【详解】用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否认成立，而命题：“假设整数系数一元二次方程ax2+bx+c＝0〔a≠0〕有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数〞的否认为：“假设a，b，c都不是偶数〞，应选：C．【点睛】此题主要考察了用反证法的应用，关键是求命题的否认，属于根底题．〔为参数，〕和参数方程〔为参数〕所表示的图形分别是〔〕A. 直线、直线B. 直线、圆C. 圆、直线D. 圆、圆【答案】C【解析】分析：由题意逐一考察所给的参数方程的性质即可.详解：参数方程〔为参数，〕表示圆心为，半径为的圆，参数方程〔为参数〕表示过点，倾斜角为的直线.此题选择C选项.点睛：此题主要考察直线的参数方程与圆的参数方程的区别，属于简单题目.，，那么A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用分子有理化进展化简，结合不等式的性质进展判断即可．【详解】．，，，，即，应选：A．【点睛】此题主要考察式子的大小比拟，利用分子有理化进展化简是解决此题的关键．7.在极坐标系中，过点且与极轴平行的直线的方程是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：将化为直角坐标为，过点与平行的直线方程为，化为极坐标方程即可.详解：将化为直角坐标为，过点与平行的直线方程为，将化为极坐标方程为，所以过点且与极轴平行的直线的方程是，应选B.点睛：利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．在点处的切线经过点，那么的值是〔〕A. 1B. 2C.D.【答案】C【解析】【分析】对函数求导，求出，进而可得切线方程，再由切线过点，即可得出结果. 【详解】因为，所以，故，又，所以曲线在点处的切线方程为，又该切线过点，所以，解得.应选C【点睛】此题主要考察导数的几何意义，先对函数求导，求出函数在点处的切线方程即可，属于常考题型.与双曲线的右支交于不同的两点，那么的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由直线与双曲线联立得(1－k2)x2－4kx－10＝0，由结合韦达定理可得解. 【详解】解析：把y＝kx＋2代入x2－y2＝6，得x2－(kx＋2)2＝6，化简得(1－k2)x2－4kx－10＝0，由题意知即解得＜k＜－1.答案：D.【点睛】此题主要考察了直线与双曲线的位置关系，属于中档题.的不等式解集为，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数f〔x〕=，不等式的解集为⇔a＜f〔x〕min，利用绝对值不等式可求得f〔x〕min，从而可得答案．【详解】令f〔x〕=，∵不等式的解集为，∴a＜f〔x〕min，又f〔x〕=≥|1﹣x+x+2|=3，即f〔x〕min=3，∴a＜3．应选：D．【点睛】此题考察绝对值三角不等式，考察构造函数的思想与恒成立问题，属于中档题．：与轴，轴分别交于点，，点在椭圆上运动，那么面积的最大值为〔〕A. 6B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由直线方程求出点，坐标，得到长度，再由椭圆方程设出点坐标，根据点到直线间隔公式，求出三角形的高，进而可求出结果.【详解】因为：与轴，轴分别交于点，，所以，，因此，又点在椭圆上运动，所以可设，所以点到直线的间隔为(其中)，所以.应选D【点睛】此题主要考察直线与椭圆的位置关系，需要用到点到直线间隔公式等，属于常考题型.为上的可导函数，其导函数为，且满足恒成立,，那么不等式的解集为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，构造函数，求导，可得在R上单调递减，结合单调性，可求出不等式的解集。
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兴宁一中高二数学（文科）中段试题 2007. 4命题人：xyyyh2211参考公式1． 若函数x x x f +-=2)(的图像上一点)2,1(--及邻近一点)2,1(y x ∆+-∆+-，则=∆∆xy（ Ｄ ） A ．3 B ．2)(3x x ∆-∆ C ．2)(3x ∆- D ．x ∆-32．曲线 3()2f x x x =+-在点0P 处的切线平行于直线41y x =-, 则点0P 的坐标是( C )A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)和(1,4)--D ．(2,8)和(1,4)-- 3．若有一组数据的总偏差平方和为120，相关指数为0.6，则回归平方和为 ( A )A ． 72B ． 60C ．48D ．1204．已知集合M=｛1,i m m m m )65()13(22--+--｝，N ＝｛1，3｝，M ∩N ＝｛1,3｝，则实数m 的值为（ B ）A ． 4B ．－1C ．4或－1D ．1或65．在三维柱形图中，主对角线上两个柱形高度的乘积与副对角线上的两个柱形高度的乘积相差越大，则两个分类变量有关系的可能性就( A ) A ．越大 B ．越小 C ．无法判断 D ．以上对不对6. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊆/平面α，直线a ≠⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为 （ A ） A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误7．函数5123223+--=x x x y 在[0，3]上的最大值和最小值分别是（ C ） A. 5，15 B. 5，4- C. 5，15- D. 5，16- 8. 下列表述正确的是（ D ）.①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.A ．①②③；B ．②③④；C ．②④⑤；D ．①③⑤.9．设复数z 满足条件,1=z 那么i z ++22的最大值是（ D ） A ．3 B ．32 C ．221+ D ．410．把正整数按下图所示的规律排序，则从2003到2005的箭头方向依次为（ B ）二.填空题:(每小题5分,共20分)11．复平面上的正方形的三个顶点表示的复数有三个为,21,2,21i i i --+-+那么第四个顶点对应的复数是___________________ i -212．若函数32()f x x px qx =--的图象与x 轴相切于(1,0)点，则函数f(x)的解析式为32()2f x x x x =-+．13．在研究身高和体重的关系时，求得相关指数≈2R ______________，可以叙述为“身高解释了64%的体重变化，而随机误差贡献了剩余的36%”所以身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。
14． 类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AB 、AC 互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：222BC AC AB =+。
若三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为 .兴宁一中高二数学中段试题答卷(文科) 2007.4二、填空题（每小题5分，共20分）11． 12．13．__________________________14、_三.解答题: （共80分）15．（13分）求函数xx y 33+=的单调区间。
解：函数xx y 33+=的定义域为),0()0,(+∞-∞ -------------2分由x x y 33+=，得2222'3')1)(1)(1(333)3(xx x x x x x x y -++=-=+=-----8分 令0'>y ，得1-<x 或1>x ；令0'<y ，得10<<x 或01<<-x --------------------------------12分 所以函数xx y 33+=的单调增区间是),1()1,(+∞--∞和； 单调减区间是)1,0()0,1(和------------------13分16.(14分) 在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女 性70人，男性54人。
女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27 人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外 33人主要的休闲方式是运动。
（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表； （2）判断性别与休闲方式是否有关系。
解：（1）2×2的列联表（2）假设“休闲方式与性别无关”计算 2124(43332721) 6.20170546460k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ -----------------------10分 因为 5.024k ≥，所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的， 即有97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关” -----------------------------14分17.（14分）18.（14分）己知下列三个方程: x 2+4ax-4a+3=0, x 2+(a-1)x+a 2=0,x 2+2ax-2a=0至少有一个方程有实根,求实数a 的取值范围. 证明: 假设没有一个方程有实数根,则: -----------------------5分解之得: 2- ＜a ＜-1 ----------------------12分故三个方程至少有一个方程有实根的a 的取值范围是: a| a ≥-1或a ≤23--------------------14分18．（14分）一条长为a 的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？解：设两段铁丝的长度分别为x ，a-x ，则这两个正方形的边长分别为,4x ,4xa - --------------------2分两个正方形的面积和为S=f （x ）=2)4(x +2)4(x a -=()2222161a ax x +-，0＜x ＜a. -----------------6分令f ’(x)=0, 即4x-2a=0, 得x=2a---------------8分当x ∈(0, 2a)时, f ’(x)＜0, f （x ）是减函数；当x ∈（2a，a ），f ’(x)＞0, f （x ）是增函数； ----------------12分故x=2a 是函数f （x ）的唯一极小值点，也就是最小值点.所以当x=2a,即两段长度分别是2a时,两个正方形的面积和最小. ----------------14分19.（13分）已知*,N n m ∈且n m <<1，试用导数证明不等式：m n n m )1()1(+>+． 证明：设)1()1ln()(>+=x xx x f --------------------------3分 22/)1()1ln()1()1ln(1)(xx x x x x x x xx f +++-=+-+= 2)1()1ln()]1ln(1[x x x x x ++-+-=-------------------------------6分∵1>x 且*N x ∈，∴2≥x ∴1)1ln(>+x ∴0)(/<x f ----------------8分∴)(x f 在),2[+∞上单调递减 ---------------------10分 又∵),2[,+∞∈n m 且n m <∴)()(n f m f >即nn m m )1ln()1ln(+>+ ---------12分 ∴m n n m )1()1(+>+ ----------------------------------13分20.（12分）函数d cx bx ax x f +++=23)(在]0,1[-与]5,4[上单调性相同，在]2,0[与]5,4[上单调性相反。
（1）求c 的值；（2）当x 为何值时，)(x f 取得极值？并判断出这些极值点的横坐标与2、4的大小关系；（3）)(x f 的图象上是否存在点),(00y x M 使f(x)在M 处的切线斜率为b 3？解：（1）由题意知，)(x f 在]0,1[-与]2,0[上单调性相反，)(x f ∴在0=x 处取得极值，0)0('=∴f ,而)('x f .0,232=∴++=c c bx ax -----------------3分 （2）由（1）知，bx ax x f 23)('2+=,若0=a ，则bx x f 2)('=，则)(x f 至多有两个单调区间，不合题意；0≠∴a 且由0)('=x f 得到0=x 或ab32-；若0=b ，则23)('ax x f =在]0,1[-与]2,0[上同号，)(x f 在]0,1[-与]2,0[上单调性相同，不合题意；0≠∴b 且)('x f 在0=x 的左右两侧异号，)(x f 在0=x 处取得极值.)('x f 在a b x 32-=的左右两侧异号，)(x f 在ab x 32-=处取得极值又)(x f 在]2,0[与]5,4[上单调性相反，∴必有一个极值点在]4,2[内∴当0=x 或a b 32-时，)(x f 取得极值且43220≤-≤<a b ----------------------8分（3）假设)(x f 的图象上存在一点),(00y x M 使)(x f 在M 处的切线斜率为b 3，则,323020b bx ax =+∴关于0x 的方程0323020=-+b bx ax 有解，∴0)(9)(0903344222≥⋅+⇒≥+⇒≥⋅⋅+=∆aba b ab b b a b∴),0[]9,(+∞--∞∈ ab又由（2）知，]3,6[4322--∈⇒≤-≤a b a b ，矛盾.∴假设不成立，从而不存在点M 使题设成立. -------------------12分本卷由《100测评网》整理上传，专注于中小学生学业检测、练习与提升.。