必修四2.3.1向量数量积的物理背景与定义
高一数学必修四 《2.3.1向量数量积的物理背景与定义》课件
练习三 已知|a|，|b|，<a, b>，求 a· b．
a· |a||b|cos<a，b>． b=
（1）|a|=8，|b|=4，<a, b>=60°； （2）|a|=7，|b|=12，<a, b>=120°； （3）|a|=4，|b|=2，<a, b>= ； 2 （4）|a|=4，|b|=1，<a, b>=0．
A
120°
60° 120°
C
D
3.向量在轴上的正射影
已知向量a 和轴 l（如图）．作OA= a ，过点O，A分别作 轴 l 的垂线，垂足分别是O1，A1，l上的坐标，称作a 在轴 l上的数量或在轴 l 的方向上的数量．
OA= a 在轴 l 上正射影的坐标记作al，向量 a 的方向 与轴 l 的正方向所成的角为，则 A a |a|cos . al= x O A1 al O1 l
3
(×) (×) ．
3． 已知| a | =5， b在 a方向上的正射影的数量为-6，则 a· b= -30 ．
课堂小结
通过这节课的学习，你有哪些收获？
布置作业
1. 教材115页 习题2-3 A组 1,2． 2.请同学们探索数量积有哪些运算律。
课堂小结
向量的夹角 共起点 向量在轴上的正射影
例1 已知轴l（如图）： （1）向量 | OA | 5, OA, l 60 ，求 OA 在 量 OA1 ； （2）向量 | OB | 5, OB, l 120 ，求 OB 在
l 上的正射影的数
量 OB1 ； 练习二 1 5 OA1 5cos 60 5 OB 在 OA 解：(1) （1）在例1的条件下，向量 52 2 方向上的正射影的数量为 2 ． (2) OB1 5cos120b 5 a cos 60 （2）如图，向量 在 方向上的正 < 射影的数量为 1|b|cos 5 a，b> . 5 2 2
向量数量积的物理背景及定义
A1 a1 O1
则a l a cos
︱a︱cosθ 的几何意义:
A
对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ ， a ︱a︱cosθ 叫做向量a在b方向上的 b 正射影的数量， θ B O |a|cosθ A1 ︱b︱cosθ的几何意义呢？
向量数量积 a · 的几何意义 b
1、向量的夹角的概念
(0 )
B
叫做向量
b
怎样找向量 的夹角? b
记作 a, b
和 a
b的夹角．
a
O
特殊情况：
a
A
注意:在两向量的夹角 定义中,两向量必须是 同始点的
O b B 0 a 与 b 同向
a
A B b
a
O A
a 与 b 反向
(×)
(×)
(×) ( )
(×) (×)
课堂小结
向量的夹角 共始点 向量在轴上的正射影
al a cos a , l
向量的数量积的定义，几何意义，性质。
a b a b cos a, b
我们学到 了什么？
向量 a 与b 的数量积等于a 的长度 |a| 与b 在a 的方向上的正射影的数量| b | cosθ的积.
θ为直角时， | b | cos a , b =0
A
B1
O
a A
θ为锐角时， | b | cos a , b ＞0
θ为钝角时， | b | cos a , b ＜0
当夹角为 0 0 和180° ，结果是什么呢？
2.3.1向量数量积 的物理背景与定 义
我们学过功的概念，即一个物体在力F的 作用下产生位移s（如图） F s
高中数学第二章 2.3.1向量数量积的物理背景与定义
(2)当 a⊥b 时，θ＝90° ，∴a· b＝|a|· |b|cos 90° ＝0.
(3)当 a 与 b 的夹角为 30° 时，a· b＝|a|· |b|cos 30° 3 ＝4×5× 2 ＝10 3. 小结 求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，
θ∈[0° ，180° ]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a· b＝ |a|· cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“· |b|· ”连结， 而不能用“×”连结，也不能省去．
2.3.1
2． 向量的数量积与实数的乘积既有区别又有联系， 概念内涵更 丰富， 计算更复杂， 实数乘法中的一些运算律在向量的数量
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积中已经不再成立，不宜作简单类比，照搬照抄．书写格式 也要严格区分，a· 中的“· b ”不能省略． 3．由 a· 的定义，不难发现 a 与 b 的数量积是一个数量，其中 b 决定整个式子的正负符号的关键是 θ 的值.
4． 已知正三角形 ABC 的边长为 1，求： → → → → (1)AB· ；(2)AB· ； AC BC → → (3)BC· . AC → → 解 (1)∵AB与AC的夹角为 60° . 1 1 → → → → ∴AB· ＝|AB||AC|cos 60° AC ＝1×1×2＝2. → → (2)∵AB与BC的夹角为 120° .
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C＝90° . 5 cos B＝ ， 13 → → ∴cos〈AB，BC〉＝cos(180° －B) 5 ＝－cos B＝－13. → → → → ∴AB· ＝|AB|· |cos(180° BC |BC －B) 5 ＝13×5×－13＝－25.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
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2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
张喜林制2.3.1 向量数量积的物理背景与定义考点知识清单1．两个向量的夹角：已知两个非零向量a 、b ，作,,b a ==则AOB ∠称作向量a 和向量b 的夹角，记作（a ，b ），并规定其范围是 当2,π=b a 时，我们说向量a 和向量b 互相垂直，记作.b a ⊥2．向量在轴上的正射影：已知向量a 和轴L ，作,a =过点0，A 分别作轴f 的垂线，垂足分别为,,11A O 则11A O 叫做向量a 在轴L 上的正射影（简称射影），该射影在轴L 上的坐标，称作a 在轴L 上的数量或在轴L 的方向上的数量，即 ，其中l a 是a 在轴L 上正射影的数量． 3．向量的数量积（内积）定义： 4．向量内积的性质：(1)如果e 是单位向量，则=⋅=⋅a e e a,0)2(=⋅⇒⊥b a b a 且;0b a b a ⊥⇒=⋅,||)3(2a a a =⋅即>=<b a ,cos )4( ||)5(b a ⋅ .||||b a要点核心解读1．向量数量积的物理背景——力做功的计算．如图2 -3 -1 -1．一个力F 使物体发生位移s 所做的功W 可以用下式计算．.cos ||||θF s W =其中θcos ||F 就是F 在物体位移方向上的分量的数量，也就是力F 在物体位移方向上正射影的数量． 2．两个向量的夹角已知两个非零向量a ，b （如图2 -3 -1 -2所示），作,,b a ==则AOB /称作向量a 和向量b 的夹角，记作),,(b a 并规定,),(0π≤≤b a在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有.,,>>=<<a b b a当2,π>=<b a 时，我们说向量a 和向量b 互相垂直，记作,b a ⊥在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直．3．向量在轴上的正射影已知向量a 和轴L 如图2 -3 -1 -3.作,a =过点0、A 分别作轴L 的垂线，垂足分别为,11A O 、，则向量11A O 叫做向量a 在轴L 上的正射影（简称射影），该射影在轴L 上的坐标，称作a 在轴L 上的数量或在轴L 的方向上的数量．a =在轴L 上正射影的坐标记作,l a 向量a 的方向与轴L 的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有.cos ||θa a l =4．向量的数量积（内积）定义><b a b a ,cos ||||叫做向量a 和向量b 的数量积（或内积），记作a ×b ，即.,cos ||||><=⋅b a b a b a5．平面向量的数量积的性质(1)如果e 是单位向量，则;,cos ||><=⋅=⋅e a a a e e a,0)2(=⋅⇒⊥b a b a 且;0b a b a ⊥⇒=⋅,||)3(2a a a =⋅即;||a a a ⋅=;||||,cos )4(b a ba b a ⋅>=<.||||||)5(b a b a ≤⋅典例分类剖析考点1求数量积的问题[例1] 已知.3||,4||==b a 当b a b a b a 与③②①,,//⊥的夹角为60时，分别求a 与b 的数量积． [解析] ①当b a //时，若a 与b 同向，则a 与b 的夹角∴=,0 θ||a b a =⋅;120cos 34cos .||=⨯⨯= θb若a 与b 反向，则a 与b 的夹角为,180o =θ;12)1(34180cos ||||-=-⨯⨯=⋅=⋅∴o b a b a②当a ⊥b 时，向量a 与b 的夹角为,90;003490cos .||||=⨯⨯=⋅=⋅∴ b a b a③当a 与b 的夹角为60时．.6213460cos .||||=⨯⨯=⋅=⋅∴ b a b a [点拨] 若||||b a ⋅是一个定值k ，则当这两个向量的夹角从0变化到o180时，两向量的数量积从k 减到-k ，其图象恰好为从O 到霄的半个周期内的余弦图象，对于图形中的问题要注意区分图形中的角与向量的夹角．1．如图2—3 -1-4，在边长为1的等边三角形ABC 中，设,a BC =,,c AB bCA == 试求 a c c b b a ..++⋅的值．考点2 向量的夹角与垂直关系的运算[例2] 已知,9,1||,36||-=⋅==b a b a 则=),(b a ( )120.A 150.B 60.C 30.D[试解] ．（做后再看答案，发挥母题功能） [解析] 利用||||,cos b a ba b a ⋅>=<及,),(0π≤≤b a 求⋅),(b a解：⋅-=⨯-=⋅>=<231369||||,cos b a b a b a又.150,,180),(0 >=∴<≤≤b a b a [答案] B[点拨] 两个向量夹角的范围是⋅],0[π2．(1)向量a 、b 满足4222-=⋅--b a b a 且,4||,2||==b a 则=),(b a(2)若0是△ABC 所在平面内一点，且满足=-|||,2|-+则△ABC 的形状为( )． A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形考点3 向量的投影问题[例3] 如图2-3 -1-5，在等腰三角形ABC 中，=AB D ABC AC ,30,2 =∠=是BC 的中点， 求：(1)C 在方向上的投影；(2)在D 方向上的投影．[解析] 如图2 -3 -1-5所示，连接AD ，在等腰三角形ABC 中，=∠==ABC AC AB ,2D ,30是BC的中点，所以⨯===⊥230cos ,AB BD CD BC AD .323=作CB 的延长线BE ，则与的夹角为-=∠180ABE .150=∠ABCCD BA =)1(方向上的投影是=-⨯=)23(2150cos || ;3- BA CD 在)2(方向上的投影是=-⨯=)23(3150cos || ⋅-23[点拨] 向量的投影是一个实数，它可正、可负、可为零，其性质符号取决于两向量之间的夹角，因此在正确理解向量投影定义的同时，找准两个向量之间的夹角是关键．b a a 与,4||.3=的夹角为,30 则a 在b 方向上的投影为考点4 内积性质的简单应用[例4] 已知,5||||==b a 向量a 与b 的夹角为,3π求.|||,|b a b a -+ [解析] 解法一：由数量积公式2||a a =求解．,25||,25||2222====b b a a,2253cos55cos ||||=⨯⨯==⋅πθb a b a .352525252)(222=++=⋅++=+=+∴b a b a b a b a同样可求 b a b a b a b a ⋅-+=-=-2)(||2.5252525=-+=解法二：由向量线性运算的几何意义求作菱形ABCD ，使,3.5π=∠==DAB AD AB设,,b A a A ==如图2 -3 -1 -6．则,5||||||===-A B b a.355232||2||||=⨯⨯===+A b a[点拨] (1)利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：①22||a a a a =⋅=;||a a a ⋅=或.2)(||22b b a a b a b a +⋅±=±=±②由关系式=2a ,||2a 可使向量的长度与向量的数量积互相转化，因此欲求+a ||,b 可求),()(b a b a +⋅+将此式展开．由已知,5||||==b a 即b a b b a a ⋅=⋅=⋅,25 也可求得,225将上面各式的值代入，即可求得被求式的值． (2)利用向量线性运算的几何意义转化到求平面几何的长度的计算．4．(1)已知向量a ，b 满足==||,13||b a ,24||,19=+b a 求.||b a -(2)已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为,60那么+a |=|3b ( )．7.A 10.B 13.C 4.D学业水平测试1．下列命题，正确的是( )．A ．若,0=⋅b a 则00==b a 或B ．若,0=⋅b a 则b a //C ．若,b a ⊥则0=⋅b a ||.a a aD >⋅对任意向量恒成立 2．已知,135,,4||,212 >=<=-=⋅b a a b a 则=||b （ ）12.A 3.B 6.C 33.D3．以下等式中恒成立的有( )．① b a b a ⋅=⋅ ② ;||;||22a a a a a ==⋅③④⋅+⋅-=-)2()2(222b a b a b aA.l 个B.2个 C ．3个 D.4个4．向量a 、b 满足,3||,2||==b a 且,7||=+b a 则=⋅b a5．已知,2||,1||==b a 且),2()(b a b a λλ-⊥+a 与b 的夹角为,60则=λ6．在△ABC 中，设,,,c AB b CA a BC ===若..a c c b b a ⋅=⋅=求证：△ABC 为正三角形，高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分） 一、选择题（5分×8 =40分）1．在△ABC 中，C B A ∠∠∠、、的对边分别为1,3,==b a c b a 、、,30=∠C 则=B .343.A 323.B 343.-C 323.-D 2．△ABC 中，.A B A ⋅+⋅+一定是( )A ．小于0B ．大于0．C ．小于或等于零D ．大于或等于零3．设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列结论正确的有( )．.(|;||||];0)()(b b a b a b a c c b a ③②①-≤-=⋅⋅-⋅⋅b a c a c ⋅⋅-⋅)()不与C 垂直；=-⋅+)23()23(b a b a ④.||4||922b a -A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④ 4．若,5||,4||,32041||==-=-b a b a 则a 与b 的数量积为( )．310.A 310.-B 210.C 10.D5．若四边形ABCD 满足,0)(,0=⋅-=+AC AD AB CD AB 则该四边形一定是( )．A ．直角梯形B ．菱形C ．正方形D ．矩形 6．（2009年福建高考题）设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，|,|||,c a c a =⊥则||c b ⋅的值一定等于( )．A ．以a ，b 为两边的三角形的面积B ．以b ，c 为两边的三角形的面积C ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积D ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积 7．已知非零向量AC AB 与满足0)||||(=⋅+AC AC AB 且.||AB ⋅,21||=AC 则△ABC 为( )． A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形 8．（2011年全国大纲理）设向量a ，b ，c 满足.,1||||a b a ==,21-=b ,60, >=--<c b c a 则∣C ∣的最大值等于( )．2.A3.B 2.C 1.D二、填空题（5分x4 =20分）9．（2008年江苏高考题）a ，b 的夹角为,3||,1||,120==b a则=-|5|b a10.（2010年天津高考题）如图2-3 -1 -7，在△ABC 中，,AB AD ⊥BC =,1||=AD 则=⋅.11．设向量a ，b ，c 满足.,)(,0b a c b a c b a ⊥⊥-=++若=||a 222||||||,1c b a ++则的值是 12.（2008年陕西高考题）关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题：①若,c a b a ⋅=⋅则;c b =②若//),6,2(),,1(a b k a -==;3,-=k b 则③非零向量a 和b 满足|,|||||b a b a -==则a 与b a +的夹角为.60 其中真命题的序号为____（写出所有真命题的序号）．三、解答题（10分x4 =40分）13.如图2-3 -1-8，已知正六边形,654321P P P P P P 求下列向量的数量积．;)2(;)1(41213121P P P P P P P P ⋅⋅.)4(;)3(61215121P P p p P P P P ⋅⋅14．已知,0||2||=/=b a 且关于x 的方程0||2=⋅++b a x a x 有实根，求a 与b 的夹角的取值范围．15．已知向量,60,, =∠==AOB b O a 且.4||||==b a (1)求|;||,|b a b a -+(2)求b a +与a 的夹角及b a -与a 的夹角．16.已知),1,(),1,2(λ=--=b a 若a 与b 的夹角α为钝角，求A 的取值范围．。
人教B版高中数学必修四《2.3.1 向量数量积的物理背景与定义》_9
2.3.1向量数量积的物理背景与定义【学习目标】知识与技能：能准确刻划两个向量的夹角，能解释向量数量积的含义且顺利地将数量积公式进行变型，能用数学语言说明物理学中功的意义，会利用公式进行简单计算。
过程与方法：通过向量在轴上的正射影的探究过程体会转化的思想方法，通过定义的剖析培养学生从不同角度思考问题的习惯，通过力做功数学意义的分析体验数学知识在物理学中的应用。
情感态度与价值观：培养学生养成主动探究公式结构特征的习惯，训练学生思维的深刻性品质。
【学习重、难点】重点：平面向量数量积的定义。
难点：数量积公式的意义，功的数学意义，转化思想的应用意识。
【学习过程】一、问题导入 力做功的计算如图所示：一物体在力F 的作用下产生位移S （1） 力F 所做的功W =---------（2） 请同学们分析这个公式的特点二、探究归纳思考：如何刻划两个非零向量的位置关系？1、两个向量的夹角已知两个非零向量b a ,,作a OA =→，b OB =→，则AOB ∠称作向量a 和向量b 的夹角， 记作><b a ,，并规定 π>≤≤<b a ,0 当2,π>=<b a 时，我们说向量a 和向量b 互相垂直。
记作b a ⊥ 规定零向量与任意向量垂直练习1 指出下列图中两向量的夹角O A B A O B(1) (2)O BθO B(3) A (4)2、向量在轴上的正射影射影的概念及公式：||cos l a a θ=。
练习2（1）若||5,,60OA OA l =〈〉=︒，求OA 在l 上的正射影的数量1OA ；（2）若||5,,120OB OB l =〈〉=︒，求OB 在l 上的正射影的数量1OB 。
3、平面向量数量积定义定义 ><b a b a ,cos 叫做向量a 和b 的数量积（或内积）。
记作 ，即 ><=∙b a b a b a ,cos剖析定义：三、智能训练1、已知><b a b a ,,,，求b a ∙（1）32,,4,5π>=<==b a b a（2）2,,2,4π>=<==b a b a变式、已知b a ∙，><b a b a ,,求（1） 5=∙b a ，10=b a（2）25-=∙b a ，25=a bO B A l2、如图，在平行四边形ABCD 中，4,3,60AB AD DAB ︒==∠= 求 (1)AB AD ∙ (2)∙(3)∙ (4) ∙自主探究内积的重要性质四、归纳小结。
高二数学人教B版必修4学案：2.3.1 向量数量积的物理背景与定义 Word版含解析
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义明目标、知重点 1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F 的作用下产生位移s 所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.1.两个向量的夹角(1)已知两个非零向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 称作向量a 和向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉，并规定它的范围是0≤〈a ，b 〉≤π. 在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉. (2)当〈a ，b 〉＝π2时，我们说向量a 和向量b 互相垂直，记作a ⊥b .2.向量在轴上的正射影已知向量a 和轴l (如图).作OA →＝a ，过点O ，A 分别作轴l 的垂线，垂足分别为O 1，A 1，则向量O 1A 1→叫做向量a 在轴l 上的正射影(简称射影)，该射影在轴l 上的坐标，称作a 在轴l 上的数量或在轴l 的方向上的数量.OA →＝a 在轴l 上正射影的坐标记作a l ，向量a 的方向与轴l 的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有a l ＝|a |cos θ. 3.向量的数量积(内积)|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a 和b 的数量积(或内积)，记作a ·b .即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉.[情境导学]1.请同学们回顾一下我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？答向量的加法、减法及数乘运算.2.请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？答物理模型→概念→性质→运算律→应用.本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量另一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义.探究点一平面向量数量积的含义思考1如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W是多少？答W＝|F||s|cos θ.思考2对于两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a|·|b|cos θ，那么a·b的运算结果是向量还是数量？特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？答a·b的运算结果是数量.0·a＝0.思考3对于两个非零向量a与b，夹角为θ，其数量积a·b何时为正数？何时为负数？何时为零？答当0°≤θ<90°时，a·b>0；当90°<θ≤180°时，a·b<0；当θ＝90°时，a·b＝0.思考4向量的数量积与数乘向量的区别是什么？答向量的数量积a·b是一个实数，不考虑方向；数乘向量λa是一个向量，既有大小，又有方向.例1已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积.解(1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°，a·b＝|a|·|b|·cos 0°＝4×5＝20；若a与b反向，则θ＝180°，∴a·b＝|a|·|b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.(2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝|a|·|b|cos 90°＝0.(3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a|·|b|cos 30°＝4×5×32＝10 3.反思与感悟 求平面向量数量积的步骤是：①求a 与b 的夹角θ，θ∈[0°，180°]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b ＝|a|·|b|·cos θ，要特别注意书写时a 与b 之间用实心圆点“·”连结，而不能用“×”连结，也不能省去.跟踪训练1 已知|a |＝4，|b |＝3，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ； (3)a 与b 的夹角为60°时，分别求a 与b 的数量积. 解 (1)当a ∥b 时，若a 与b 同向， 则a 与b 的夹角θ＝0°，∴a·b ＝|a||b |cos θ＝4×3×cos 0°＝12. 若a 与b 反向，则a 与b 的夹角为θ＝180°， ∴a·b ＝|a||b |cos 180°＝4×3×(－1)＝－12. (2)当a ⊥b 时，向量a 与b 的夹角为90°， ∴a·b ＝|a||b |cos 90°＝4×3×0＝0. (3)当a 与b 的夹角为60°时， ∴a·b ＝|a||b |cos 60°＝4×3×12＝6.探究点二 向量在轴上的正射影思考 向量b 在a 方向上的正射影不是向量，而是数量，它的符号取决于夹角θ的范围.|b |cos θ>0|b |cos θ＝0|b |cos θ<0例2 －32，求a 与b 的夹角θ. 解 ∵⎩⎪⎨⎪⎧|a |cos θ＝－3，|b |cos θ＝－32，∴⎩⎨⎧a ·b|b |＝－3，a ·b |a |＝－32，即⎩⎪⎨⎪⎧－9|b |＝－3，－9|a |＝－32，，∴⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝6，|b |＝3. ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－96×3＝－12.∵0≤θ≤π，∴θ＝120°.反思与感悟 (1)理清“谁在谁上”的正射影，再列方程，将条件转化解决. (2)注意数量积公式的变形式的灵活应用.跟踪训练2 已知|a |＝1，|b |＝1，a ，b 的夹角为120°，计算向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的正射影的数量. 解 (2a －b )·(a ＋b )＝2a 2＋2a ·b －a ·b －b 2＝2a 2＋a ·b －b 2 ＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝12.|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×1×1×cos 120°＋1＝1.∴(2a －b )·(a ＋b )|a ＋b |＝12.探究点三 平面向量数量积的性质思考1 设a 与b 都是非零向量，若a ⊥b ，则a·b 等于多少？反之成立吗？ 答 a ⊥b ⇔a·b ＝0思考2 当a 与b 同向时，a·b 等于什么？当a 与b 反向时，a·b 等于什么？特别地，a·a 等于什么？答 当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b |；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a ||b |； a·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a·a .思考3 ︱a·b ︱与︱a||b ︱的大小关系如何？为什么？对于向量a ，b ，如何求它们的夹角θ？ 答 ︱a·b ︱≤︱a||b ︱，设a 与b 的夹角为θ，则a·b ＝|a||b |cos θ. 两边取绝对值得：|a·b |＝|a||b ||cos θ|≤|a||b |.当且仅当|cos θ|＝1，即cos θ＝±1，θ＝0或π时，取“＝”. 所以|a·b |≤|a||b|. cos θ＝a·b |a||b |.例3 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |.解 a·b ＝|a||b |cos θ＝5×5×12＝252.|a ＋b |＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝25＋2×252＋25＝5 3.|a －b |＝(a －b )2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝25－2×252＋25＝5.反思与感悟 此类求解向量的模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，要灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方.跟踪训练3 已知单位向量e 1，e 2的夹角为60°，求向量a ＝e 1＋e 2，b ＝e 2－2e 1的夹角. 解 ∵e 1，e 2为单位向量且夹角为60°， ∴e 1·e 2＝1×1×cos 60°＝12.∵a ·b ＝(e 1＋e 2)·(e 2－2e 1)＝－2－e 1·e 2＋1＝－2－12＋1＝－32，|a |＝a 2＝(e 1＋e 2)2＝ 1＋2×12＋1＝3，|b |＝b 2＝(e 2－2e 1)2＝1＋4－4×12＝3，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－32×13×3＝－12.又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°. ∴a 与b 的夹角为120°.1.已知|a |＝8，|b |＝4，〈a ，b 〉＝120°，则向量b 在a 方向上正射影的数量为( ) A.4 B.－4 C.2 D.－2 答案 D解析 b 在a 方向上正射影的数量为|b |cos 〈a ，b 〉＝4×cos 120°＝－2. 2.若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为120°，则a ·a ＋a ·b ＝________. 答案 12解析 a ·a ＋a ·b ＝12＋1×1×cos 120°＝12.3.在△ABC 中，|AB →|＝13，|BC →|＝5，|CA →|＝12，则AB →·BC →的值是________. 答案 －25解析 易知|AB →|2＝|BC →|2＋|CA →|2， C ＝90°.cos B ＝513，∴cos 〈AB →，BC →〉＝cos(180°－B ) ＝－cos B ＝－513.∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(180°－B ) ＝13×5×⎝⎛⎭⎫－513＝－25. 4.已知正三角形ABC 的边长为1，求： (1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →. 解 (1)∵AB →与AC →的夹角为60°. ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.(2)∵AB →与BC →的夹角为120°. ∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120° ＝1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝－12. (3)∵BC →与AC →的夹角为60°，∴BC →·AC →＝|BC →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.[呈重点、现规律]1.两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时).2.两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆.3.b 在a 方向上的正射影：|b |cos θ＝a·b|a |是一个数量而不是向量.具体情况可以借助下表分析：一、基础过关1.已知a 、b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a －b )·b 等于( ) A.－1 B.0 C.1 D.2 答案 B解析 因为a 、b 为单位向量，且其夹角为60°， 所以a ·b ＝1×1×cos 60°＝12，(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2 ＝2×12－1＝0.2.已知|a |＝9，|b |＝62，a ·b ＝－54，则a 与b 的夹角θ为( ) A.45° B.135° C.120° D.150°答案 B解析 ∵cos θ＝a ·b |a ||b |＝－549×62＝－22，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°.3.|a |＝2，|b |＝4，向量a 与向量b 的夹角为120°，则向量a 在向量b 方向上的数量等于( ) A.－3 B.－2 C.2 D.－1 答案 D解析 a 在b 方向上的正射影的数量是|a |cos θ＝2×cos 120°＝－1. 4.已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于( ) A.32 B.－32C.±32D.1答案 A解析 ∵(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2＋(2λ－3)a·b －2b 2 ＝3λa 2－2b 2＝12λ－18＝0.∴λ＝32.5.若a ·b <0，则a 与b 的夹角θ的取值范围是( ) A.[0，π2)B.[π2，π) C.(π2，π] D.(π2，π) 答案 C解析 ∵a ·b ＝|a ||b |cos θ<0，∴cos θ<0， 又θ∈[0，π]，∴θ∈(π2，π].6.已知|a |＝2，|b |＝10，〈a ，b 〉＝120°，则向量b 在向量a 方向上的正射影的数量是________，向量a 在向量b 方向上的正射影的数量是________. 答案 －5 －1解析 b 在a 方向上的正射影的数量为|b |cos 〈a ，b 〉＝10×cos 120°＝－5，a 在b 方向上的正射影的数量为|a |cos 〈a ，b 〉＝2×cos 120°＝－1.7.已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，当a ·b 满足下列条件时，能确定△ABC 的形状吗？ (1)a ·b <0；(2)a ·b ＝0；(3)a ·b >0.解 ∵a ·b ＝AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A .(1)当a ·b <0时，∠A 为钝角，△ABC 为钝角三角形； (2)当a ·b ＝0时，∠A 为直角，△ABC 为直角三角形； (3)当a ·b >0时，∠A 为锐角，△ABC 的形状不确定. 二、能力提升8.设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉等于( ) A.150° B.120° C.60° D.30°答案 B解析 ∵a ＋b ＝c ，∴|c |2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 又|a |＝|b |＝|c |，∴2a ·b ＝－b 2， 即2|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－|b |2.∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝120°.9.已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13，若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________.答案 3解析 |a |2＝a ·a ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－2e 2)＝9|e |2－12e 1·e 2＋4|e 2|2＝9－12×1×1×13＋4＝9.∴|a |＝3.10.已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________. 答案 [0,1]解析 b·(a －b )＝a·b －|b |2＝|a||b |cos θ－|b |2＝0， ∴|b |＝|a |cos θ＝cos θ (θ为a 与b 的夹角)，θ∈[0，π]， ∴0≤|b |≤1.11.已知a ，b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角.解 由已知(a ＋3b )·(7a －5b )＝0，即7a 2＋16a ·b －15b 2＝0，① (a －4b )·(7a －2b )＝0，即7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0，② 两式相减得2a ·b ＝b 2，∴a ·b ＝12b 2.代入①②中任一式得a 2＝b 2.设a ，b 夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝12b 2|b |2＝12.∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.12.在△ABC 中，已知|AB →|＝5，|BC →|＝4，|AC →|＝3，求： (1)AB →·BC →；(2)AC →在AB →方向上的正射影的数量； (3)AB →在BC →方向上的正射影的数量. 解 ∵|AB →|＝5，|BC →|＝4，|AC →|＝3. ∴△ABC 为直角三角形，且C ＝90°. ∴cos A ＝AC AB ＝35，cos B ＝BC AB ＝45.(1)AB →·BC →＝－BA →·BC →＝－5×4×45＝－16；(2)|AC →|·cos 〈AC →，AB →〉＝AC →·AB →|AB →|＝5×3×355＝95；(3)|AB →|·cos 〈AB →，BC →〉＝BC →·AB →|BC →|＝－BA →·BC →|BC →|＝－5×4×454＝－4.三、探究与拓展13.已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________. 答案 2解析 由题意知：AE →·BD →＝(AD →＋DE →)·(AD →－AB →)＝(AD →＋12AB →)·(AD →－AB →)＝AD →2－12AD →·AB →－12AB →2＝4－0－2＝2.。
人教B版高中数学必修四《2.3.1 向量数量积的物理背景与定义》_18
向量数量积的物理背景与定义教学设计一、教材分析本节课选自人教版高中数学必修4第二章、第3节第1课时。
以物体受力做功为背景引入数量积的概念，使向量数量积运算与物理知识联系起来；向量数量积与向量的长度及夹角的关系；进一步探究两个向量的夹角对数量积符号的影响及有关的性质、几何意义和运算律。
它是平面向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、距离又是向量的重要数量特征，向量的数量积恰好是解决问题的一个重要工具。
二、学情分析学生作为初学者不清楚向量数量积是数量还是向量，寻找两向量的夹角又容易想当然，以及对运算律的理解和平面向量的数量积的灵活应用。
利用向量数量积运算讨论一些几何元素的位置关系、距离和角，这些刻画几何元素（点、线、面）之间度量关系的基本量学生容易混淆。
由向量的线性运算迁移、引申到向量的乘法运算这是个很自然的过渡，深入浅出、符合学生的认知规律，也有利于明确本节课的教学任务，激发学生的学习兴趣和求知欲望。
三、教材重点和难点重点：平面向量的数量积的概念和性质；平面向量数量积的运算律的探究及应用。
难点：平面向量的数量积的定义；平面向量数量积的灵活应用。
四、教学目标知识与技能目标：（1）阐明平面向量数量积的含义及其物理意义；（2）概述向量数量积的性质，会求平面向量数量积的运算；（3）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系。
过程与方法目标：通过体验数量积定义的形成过程，体会从特殊到一般的数学思想。
借助实数积的运算律推算出数量积的运算律，体会了类比的思想。
情感态度与价值观目标：通过本节课的学习，获得了从特殊到一般的能力，形成了学习的主动性和合作交流的学习习惯。
五、教学过程[情景1]问题回忆物理中“功”的计算，它的大小与哪些量有关？结合向量的学习你有什么想法？若一个物体在力F 的作用下产生的位移为S ，那么力F 所做的功W 等于多少？[设计意图]以物理问题为背景，初步认识向量的数量积，为引入向量的数量积的概念做铺垫。
2019版数学人教B版必修4课件：2.3.1 向量数量积的物理背景与定义 .pdf
-1-
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
-2-
M Z Z 2.3.1 向量数量积的 物理背景与定义
目标导航
UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHI SHULI
重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
A.-3 2
B.-6 2
C.6 2
D.12
解析:a·b=|a||b|cos
135°=3×4×
-2 2=-6源自2.答案:B-7-
M Z Z 2.3.1 向量数量积的 物理背景与定义
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知识梳理
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重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D S 典例透析 IANLI TOUXI
(3)当<a,b>=
π 2
时,称向量a和向量b互相垂直,记作a⊥b.在讨论垂
直问题时,规定零向量与任意向量垂直.
(4)当<a,b>=0时,a与b同向;当<a,b>=π时,a与b反向.
【做一做1】 在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,则
<������������, ������������>=
,<������������, ������������>=
A.
0,
π 2
C.
π 2
,π
B.
π 2
,π
D.
0,
π 2
答案:C
【做一做4-2】 若向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°,则
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必修四第二章第3节2.3.1向量数量积的物理背景与定义
制作人：张楠 任晓彤 审核人：钱明华 适用范围：高一 使用日期：6.5-6.12
【教学目标】
1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义。
2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质，并能运用性质进行相关的运算和判断。
3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
【教学重难点】
1、重点：平面向量的数量积定义。
2、难点：平面向量数量积定义的理解和平面向量数量积的应用。
【教学内容】
一、向量数量积的物理背景
其中力F 和位移s 是向量，θ是F 与s 的夹角，而功是数量。
力做功的计算，涉及到两个向量夹角和向量在轴上的射影的概念。
二、基础知识
1．两个向量的夹角
已知两个非零向量a 、b ， OA =a ，OB
= b . 则∠AOB 称作向量a 和向量b 的______, 记作________
并规定向量夹角范围__________
【注意】
（1）求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，须平移使它们有公共起点； （2）〈a ，b 〉=〈b ，a 〉； （3）范围0≤〈a ，b 〉≤π； （4）〈a ，b 〉=0时, a 、b 同向； 〈a ，b 〉=π时，a 、b 反向； 〈a ，b 〉= 90°时， a ⊥b 。
（5）规定：在讨论垂直问题时，零向量与任意向量垂直。
2．向量在轴上的正射影
已知向量a 和轴L ，作 OA
=a ，过点O ，A 分别作轴l 的垂线，垂足分别为1O ，1A ，
则向量11O A
叫做向量a 在轴L 上的正射影.
,其中a 在轴L 上的数量或在轴L 方向上的数量记为a l ,向量a 的
方向与轴L 的正方向所成的角为θ 【注意】
（1）a 在轴L 上的数量或在轴L 方向上的数量是一个数量，不是向量; （2）当θ为锐角时，数量为正值; （3）当θ为钝角时，数量为负值; （4）当θ为直角时，数量为0; （5）当θ = 0︒时，数量为 |a |;
（6）当θ = 180︒时，数量为 -|a |。
3向量的数量积（内积）
定义: 叫做向量a 和b 的数量积（或内积）。
记作：a ·b
即 _____________________________________
几何意义：
（1）数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上正射影的数量|b |cos θ的乘积. （2）数量积a ·b 等于b 的长度与a 在b 方向上正射影的数量|a |cos θ的乘积. 【注意】
（1）两个向量的数量积是一个实数，符号由cos 〈a ，b 〉的符号所决定；而数乘向量是一个向量。
（2）规定零向量与任意向量的数量积为0.
（3）a · b 不能写成a ×b ，a ×b 表示向量的另一种运算 4.两个向量的数量积的性质：
设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 的单位向量： （1） e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ;
b
a
O
A
一个物体在力F 的作用下产生的位移
s ，那么力F 所做的功应当怎样计算？
||||s F W =θ
cos cos l a θ
B
cos ,<>a b a b
(2)a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0 (3)a ⋅a = |a|2或a
=
(4)cos<a ,b >=a b a b
∙ (a b
≠0)
(5)|a ⋅b| ≤ |a||b|
【例题典例】 典型例一：
已知|a |=5，|b |=4，<a ,b >=120°，求a ·b
变式训练一：
已知|a |＝３，|b |＝６，当①a ∥b ，②a ⊥b ，③a 与b 的夹角是60°时，分别求a ·b
典型例二：
已知a ·b ＝－9，a 在b 方向上的正射影为－3，b 在a 方向上的正射影为－3
2，求a 与b 的夹角θ及|a |·|b |.
变式训练二：
1. 已知5,a b a =
在方向上的正射影的数量分别为：
（1）6 （2）-6 （3）8 （4）-8
求a ∙b
【课堂练习】
1. 已知|a |3,|b |5,a b 12==⋅=
且，则向量a 在向量b 上的投影为（ ） A.
5
12 B. 3 C. 4 D ．5
2. 对于非零向量b a ,，下列命题正确的是（ ）
A.⇒=⋅000a b ==
或 B. ⇒//||a b a 上的投影为在 C .⇒⊥b a 2)(⋅=⋅ D.b a c b c a =⇒⋅=⋅ 3. 在Rt ABC ∆中，等于则AC C ⋅==∠,4,90 （ ）
A ．16-
B ．8-
C ．8
D ．16
4. 若a
，a ∙ b =-2，a 和b 的夹角为120。
，则b =____________ 5.
5=
8=，20-=⋅b a ，则a 与b 的夹角为 6.
=4
，m 与n 的夹角为0150，则=⋅n m . 7. 已知△ABC 中，a ＝5，b ＝8，C ＝60°，则BC →·CA →=___________
8.已知a = 2，b = 3，θ为a 与b
的夹角，分别在下列条件下求a ·b
（1）a 与b
的夹角为135° （2）a ∥b （3）a ⊥b
【课后作业】
1. 教材：第109页 练习A —1，2 练习B —1,2
2. 优化学案：第69页 基础强化1,2,3,4,5,6,7 第70页 12。