2017-2018学年高一数学寒假作业第11天直线的交点坐标与距离公式新人教A版
第二节直线的交点坐标与距离公式
第二节直线的交点坐标与距离公式直线的交点坐标与距离公式是平面解析几何中非常基础的内容。
它们可以帮助我们确定两条直线的交点坐标以及一个点到直线的距离，是解决许多几何问题的重要工具。
在本篇文章中，我将详细介绍直线的交点坐标与距离公式。
一、直线的交点坐标公式假设有两条直线L1和L2，分别表示为:L1:y=m1x+c1L2:y=m2x+c2其中m1、m2分别是L1和L2的斜率，c1、c2分别是L1和L2的截距。
我们可以通过解以上两个方程组来求解直线L1和L2的交点的坐标(x0,y0)。
解法一：代入法将L1的方程代入L2的方程中，得到：y=m2x+c2m1x+c1=m2x+c2整理得到：x=(c1-c2)/(m2-m1)将x的值带入L1或L2的方程中，即可得到y的值。
根据这个方法，我们可以求得两条直线的交点坐标。
解法二：消元法将L1和L2的方程相减，可以消去y，得到：m1x+c1-(m2x+c2)=0整理得到：(m1-m2)x+(c1-c2)=0解方程可以得知：x=(c2-c1)/(m1-m2)将x的值带入L1或L2的方程中，即可得到y的值。
通过以上两种解法，我们可以求得直线L1和L2的交点的坐标(x0,y0)。
二、点到直线的距离公式同时，我们也可以通过公式求解一个点P(x1,y1)到直线L1: y = mx+ c的距离。
有一种基本的方法是绘制垂线。
首先，我们可以找到点P到直线L1的垂线的方程，将其表示为L2、L2的斜率是m的相反数(-1/m)，并且通过点P(x1,y1)。
垂线L2的方程为：L2:y=(-1/m)x+(y1+x1/m)我们可以通过求解L1和L2的交点坐标来确定点P到直线L1的距离。
交点的坐标为(x0,y0)。
距离点P到直线L1的距离利用勾股定理可以得到：d=√((x0-x1)²+(y0-y1)²)将交点的坐标(x0,y0)带入上式即可求得点P到直线L1的距离。
总结：直线的交点坐标与距离公式是解析几何中重要的工具。
高一数学人教版寒假作业(26)直线的交点与距离公式
寒假作业（26）直线的交点与距离公式1、点()2,3P 到直线()()1300ax a y a +-+=≠的距离d 最大时, d 与a 的值依次为( )A.3,-3B.5,1C.5,2D.7,12、原点到直线250x y +-=的距离为( )A. 1B.C. 2D. 3、过点()1,2P 引直线,使()2,3?A 、()4,5B -到它的距离相等,则这条直线的方程是( )A. 460x y +-=B. 460x y +-=C. 2370x y +-=或460x y +-=D. 2370x y +-=或460x y +-=4、若原点 O 到直线0ax by c ++=的距离为1,则有( )A. 1c =B. c =C. 222c a b =+D. c a b =+5、已知点(),P a b 在第二象限内,则它到直线0x y -=的距离为( )A.)2a b - B. b a -C.)b a -D.6、在直线34270x y --=上到点()2,1P 距离最近的点的坐标是( )A. (5,3)-B. (9,0)C. ()1,6-D. 270,4⎛⎫- ⎪⎝⎭ 7、已知点()(),20a a >到直线:30l x y -+=的距离为1,则a 等于( )A.B. 2C.1D. 18、经过两条直线3100x y +-=和30x y -=的交点,且和原点相距为1的直线的条数为( )A.0B.1C.2D.39、过点()1,2且与原点距离最大的直线方程为( )A. 250x y +-=B. 240x y +-=C. 370x y +-=D. 350x y +-=10、若点(2,)k 到直线5?1?2? 6? 0x y -+=的距离为4,则k是的值为( ) A. 1B. 3?-C. 1或53D. 3?-或173 11、已知直线l 经过点()2,4A ,且被两平行直线1:10l x y -+=与2:?10l x y --=所截得的线段的中点M 在直线30x y +-=上.求直线l 的方程.12、过点()3,1A -的所有直线中,与原点距离最远的直线的方程是__________.13、已知定点()0,1A ,点B 在直线0x y +=上运动,当线段AB 最短时,点B 的坐标是 .14、已知()(),3,3,33A a B a +两点间的距离为5,则a 的值为__________.15、已知,?A B 两点都在直线1y x =-上,且,?A B ,则AB =__________.答案以及解析1答案及解析：答案：B解析：|2313|a a d +-+==所以当110a-=,即 1a =时, d 取得最大值, max 5d =.故选B.2答案及解析：答案：D解析：原点为(0,0),由点到直线的距离公式得d ==3答案及解析：答案：D解析：显然直线的斜率存在,设直线的方程为()21y k x -=-, 即20kx y k -+-=.由,?A B到直线的距离相等,=解得4k =-或32k =-, 故直线方程为460x y +-=或3270x y +-=.4答案及解析：答案：C解析：5答案及解析：答案：C,因为a<0,b>0,)b a==-.6答案及解析：答案：A解析：7答案及解析：答案：C解析：由1a=>⎩,得1a=.8答案及解析：答案：C解析：9答案及解析：答案：A解析：由已知得,所求直线过()1,2且垂直于过()0,0与()1,2两点的直线, ∴所求直线的斜率12k=-,∴所求的直线方程为()1212y x-=--,即250x y+-=.10答案及解析：答案：D4=,解得3k=-或173k=.11答案及解析：答案：∵点M在直线30x y+-=上,∴设点M的坐标为(),3t t-.∵点M到12,l l的距离相等,=解得32t =, ∴点M 的坐标为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 又l 过点()2,4A ,∴由两点式得3322334222y x --=--,即560x y --=, 故直线l 的方程为560x y --=.解析：12答案及解析：答案：3100x y -+=解析：当过点A 的直线与原点与点A 的连线垂直时,距离最大.∵直线OA 的斜率13OA k =-, ∴所求直线的方程为()133y x -=+,即3100x y -+=.13答案及解析：答案：11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭解析：当AB 最短时, AB 与直线0x y +=垂直。
两直线的交点坐标和距离公式
两直线的交点坐标和距离公式直线是平面几何中最基本的图形之一，计算两条直线的交点坐标和距离是解决许多几何问题的基础。
在本文中，我们将详细介绍如何计算两条直线的交点坐标和距离的公式和方法。
首先，我们需要了解什么是直线。
在平面几何中，直线是由一组点组成的，这些点在同一条直线上，且直线上的任意两点可以确定直线的一条直线是由两个不同的点定义。
那么，如何计算两条直线的交点坐标呢？要计算两条直线的交点，我们需要利用直线的方程。
在平面几何中，直线可以由一般方程、点斜式方程和两点式方程表示。
1.一般方程：Ax+By+C=0。
其中A、B、C是常数。
2.点斜式方程：y-y1=m(x-x1)。
其中m是斜率，(x1,y1)是直线上的一个点。
3.两点式方程：(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)。
其中(x1,y1)和(x2,y2)是直线上的两个点。
像这样，当我们有两条直线的方程时，我们可以通过求解方程组，找到两条直线的交点坐标。
解方程组的方法有多种，比如代入法、消元法和克莱姆法则等。
让我们通过一个具体的例子来说明如何计算两条直线的交点坐标。
例1：已知直线L1的方程为y=2x-1，直线L2的方程为y=-x+3，求两条直线的交点坐标。
解：将L1和L2的方程联立起来，得到方程组：y=2x-1y=-x+3通过消元法，我们可以先将方程组中的y消去。
将L1中的y代入L2的方程中，得到：2x-1=-x+3整理方程，得到：3x=4解方程，得到：x=4/3将x的值代入L1的方程中，得到：y=2*(4/3)-1y=8/3-1y=5/3所以，两条直线的交点坐标为(4/3,5/3)。
接下来，我们将介绍如何计算两条直线的距离。
两条直线的距离是两条直线之间最短的直线距离，也就是垂直于两条直线的连线段的长度。
计算两条直线的距离，我们可以利用点到直线的距离公式来求解。
点到直线的距离公式:d=，Ax+By+C，/√(A^2+B^2)其中，A、B、C是直线的方程中的常数。
直线的交点坐标与距离公式(有答案)
1．直线 与直线 之间的距离是
2．直角坐标系中第一象限内的点 到 轴， 轴及直线 的距离
都相等，则 值是．
3．直线 与 距离为．
4．直线 过点 ， 过点 ， // 且 与 间距离等于 ，求 与 的方程．
解设点P的坐标为(x,0)，
则根据点到直线的距离公式可得 ＝6，解得x＝8或x＝－12.所以点P的坐标为(8,0)或(－12,0)．
四、直线与直线的距离
例1、求下列两条平行直线之间的距离：
（1） 与 （2） 与
例2、求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的直线方程．
解∵与l平行的直线方程为5x－12y＋b＝0，
例2、求经过原点，且经过直线2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0的交点的直线l的方程．
例条件？
课堂练习：
1．与直线 相交的直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
2．若三条直线 和 相交于一点，则 的值为_______．
3．（1）两条直线 和 的交点，且与直线 平行的直线方程为_______________．
即 解得 ∴P′
法二设点P′(x，y)，PP′⊥l于M，∵PP′的方程为(x＋4)＋2(y－2)＝0，即x＋2y＝0，(3分)
∴解方程组 得PP′与l的交点M ，由中点坐标公式得
得 (9分)故P′ .(12分)
三、点到直线的距离
例1、求点P(3，－2)到下列直线的距离：
(1)y＝ x＋ ；(2)y＝6；(3)x＝4.
例3、已知△ABC的三个顶点是A(－1,0)，B(1,0)，C ，试判断△ABC的形状．
解因为|BC|＝ ＝ ＝1，|AB|＝2，|AC|＝ ＝ ，
所以有|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以△ABC是直角三角形．
高三数学直线的交点坐标与距离公式
• 当 F 与 B 重合时， F 点坐标为 (2,0) ，由①式
得k＝－2＋
• 当k∈[－2＋ 大值为f(－2＋
，0]时，f(k)递减，f(k)的最 )＝32－16 ；
• 当k∈[－1，－2＋
－ • 在 [－ 2<f(－2＋ ]上递减； ，－2＋
• 2．点到直线距离公式
• 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
为： • 3．两平行线间的距离公式 • 已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：
• 1．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与直线y ＝x＋m平行，则|AB|的值为( )
•
A． 6 D．不能确定
B.
C．2
•
)时，可证f(k)在[－1，
)上递增，f(－1)＝ .
)＝32－16
【分析点评】
• 本题对直线方程，两点间的距离公式和分段 函数问题进行了综合考查，在考查
• 直线方程时是以折叠为背景，实质是考查对 称问题．
• (1)点与点关于点对称，图形与图形关于点对 称，主要利用中点坐标公式解决． • (2)图形与图形对称问题可转化为点与点对称 解决，对于点与点关于直线x＝0，
B2y＋C2＝0的交点：
• 1．可通过解方程组 若方程组有唯一解，则l1与l2相 • 交；若方程组无解，则直线 l ∥l ；若方 求得，
• 【例 1】 直线 l 被两条直线 l1 ： 4x ＋ y ＋ 3 ＝ 0
和 l2 ： 3x － 5y － 5 ＝ 0 截得的线段的中点为
P(－1,2)，求直线l的方程． • 解 答 ： 解 法 一 ： 设 直 线 l 与 l1 的 交点为 A(x0 ， y0) ，由已知条件，则直线 l 与 l2 的交
直线的交点坐标与距离公式
直线的交点坐标与距离公式在平面几何中，直线是直角坐标系中的基本图形之一、直线的交点坐标和距离公式在解决直线的相关问题时非常有用。
接下来，我将详细介绍直线的交点坐标和距离公式。
1.直线的交点坐标公式：设直线L1的方程为y=k1x+b1，直线L2的方程为y=k2x+b2、若L1和L2有交点，则交点的坐标(x0,y0)满足以下等式：k1x0+b1=k2x0+b2解上述等式可以得到交点的横坐标x0。
将x0带入其中一个直线的方程，可以求得交点的纵坐标y0。
如果两条直线平行，则它们没有交点。
2.直线的距离公式：设点P到直线L的距离为d。
L的一般方程为Ax+By+C=0。
点P的坐标为(x0,y0)。
则点P到直线L的距离d可以由以下公式计算：d=，Ax0+By0+C，/√(A^2+B^2)以上就是直线的交点坐标和距离公式的基本内容。
下面我们将通过具体的例子来进一步理解和应用这些公式。
例1：求直线y=2x+3和y=-x+4的交点坐标。
解：将两个方程相等，得到：2x+3=-x+43x=1x=1/3将x=1/3带入其中一个方程，可以求得y的值：y=2*(1/3)+3=7/3因此，这两条直线的交点坐标为(1/3,7/3)。
例2：求点(1,-2)到直线3x-4y+5=0的距离。
解：由于A=3，B=-4，C=5，将这些值代入距离公式中，可以得到：d=，3*1-4*(-2)+5，/√(3^2+(-4)^2)=，3+8+5，/√(9+16)=16/√25=16/5因此，点(1,-2)到直线3x-4y+5=0的距离为16/5通过以上两个例子，我们可以看到直线的交点坐标和距离公式在解决直线相关问题时的重要性。
它们能够帮助我们简单、快速地求解直线的交点和距离，为我们的几何计算提供便利。
除了直线的交点坐标和距离公式，还有其他的直线相关的公式和定理，如直线的斜率公式、两直线垂直的判定等等。
通过深入学习和理解这些公式和定理，我们将能够更好地应用它们解决各种几何问题，提高我们的数学能力。
直线的交点坐标与距离公式 2017-2018学年高一数学人教版(上学期期末复习) Word版 含答案
1月22日 直线的交点坐标与距离公式高考频度：★★★★★ 难易程度：★★☆☆☆学霸推荐1．直线x +2y +2=0与直线2x +y –2=0的交点坐标是A ．（2，–2）B ．（–2，2）C ．（–2，1）D ．（3，–4）2．平行直线5x +12y +3=0与10x +24y +5=0的距离是A ．213B ．113C ．126D ．5263．方程（1+4k ）x –（2–3k ）y +（2–14k ）=0所确定的直线必经过点A ．（2，2）B ．（–2，2）C ．（–6，2）D ．（345，225） 4．与直线2x +3y –6=0关于点（1，–1）对称的直线是A ．3x –2y +2=0B ．2x +3y +7=0C ．3x –2y –12=0D ．2x +3y +8=05．点（0，0）到直线x +y –1=0的距离是A BC ．1D 6．△ABC 的三个顶点分别为A （0，3），B （3，3），C （2，0），如果直线x =a 将△ABC 分割成面积相等的两部分，则实数a 的值等于A B ．C ．D ．27．直线2x –y –4=0绕着它与x 轴的交点，按逆时针方向旋转4后，所得的直线的方程是A ．x –3y –2=0B ．3x +y –6=0C ．3x –y +6=0D ．x –y –2=08．点A （1，2）在直线l 上的射影是P （–1，4），则直线l 的方程是A ．x –y +5=0B ．x +y –3=0C ．x +y –5=0D ．x –y +1=09．已知直线ax +4y –2=0与2x –5y +b =0互相垂直，垂足为（1，c ），则a +b +c 的值为A ．–4B ．20C ．0D ．2410．已知直线y =kx +2k +1与直线y =–12x +2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是 A ．–6<k <2B ．–16<k <0 C ．–16<k <12D ．12<k <+∞ 11．不论m 取何值，直线（2m –1）x –（m +3）y –（m –11）=0恒过的定点的坐标是A ．（3，2）B ．（2，–3）C ．（2，3）D ．（–2，3）12．若点（4，a ）到直线4x –3y =1的距离不大于3，则a 的取值范围是A ．[]010，B ．（0，10）C ．13313⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．（–∞，0]∪[10，＋∞）13．点（a ，b ）到直线0x yb a+=的距离是ABC D14．过两直线x y +1=0x +y =0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条15．不论k 为任何实数，直线（k +1）x –（k +2）y +k –3=0恒过定点__________． 16．经过两直线3x +4y –2=0和2x +y +2=0的交点，且与直线3x –4y +5=0垂直的直线方程是__________．17．若点P 在直线30x y +=上，且它到原点的距离与到直线x +3y –2=0的距离相等，则点P的坐标是__________．18．已知直线l 过点A （0，1），且点B （2，–1）到l 的距离是点C （1，2）到l 的距离的2倍，则直线l的方程是__________．19．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（3，–1），则△AOB的面积是__________．20．在△ABC中，已知A（3，–1），∠B的内角平分线BD所在的直线方程是x–3y+6=0，AB 边上的中线CE所在的直线方程是x+y–8=0，求点B的坐标和边BC所在的直线方程．21．设直线111l y k x=+：，221l y k x=-：，其中实数1k、2k满足1220k k+=．证明：1l与2l相交．22．已知直线2310l x y-+=：，点A（–1，–2）．求：（1）点A关于直线的对称点A'的坐标；（2）直线l关于点A（–1，–2）对称的直线l'的方程．23．已知两直线l1：x+8y+7=0和l2：2x+y–1=0．（1）求l1与l2交点坐标；（2）求过l1与l2交点且与直线x+y+1=0平行的直线方程．1．【答案】A。
直线的交点坐标与距离公式
直线的交点坐标与距离公式首先，我们来看两条直线的交点坐标公式。
假设有两条直线L1和L2，它们的方程分别是：L1: ax + by = cL2: dx + ey = f其中a、b、c、d、e、f为已知常数，x和y为未知变量。
为了求解L1和L2的交点坐标(x0,y0)，我们可以通过以下步骤进行计算：1.将L1和L2的方程联立，得到以下方程组：ax + by = cdx + ey = f2.使用消元法或代入法解方程组，求解出x和y的值。
-对于消元法，我们可以通过消去x或y来求解另一个变量。
例如，可以通过将L1的方程乘以e，将L2的方程乘以b，然后将它们相减，得到可解的方程。
-对于代入法，我们可以先求解出一个变量，然后将它代入到另一个方程中求解另一个变量。
3.将求解得到的x和y的值代入L1或L2中，验证它们是否满足直线的方程。
通过上述步骤，我们可以求解出直线L1和L2的交点坐标(x0,y0)。
接下来，我们来看点到直线的距离公式。
假设有一条直线L，它的方程为：L: ax + by + c = 0其中a、b、c为已知常数，x和y为未知变量。
设点P的坐标为(x1,y1)，我们希望求出点P到直线L的距离d。
为了求解点到直线的距离d = ，ax1 + by1 + c，/ √(a^2 + b^2)使用上述公式，我们可以按照以下步骤来计算点到直线的距离：1. 将点P的坐标代入直线L的方程，计算得到ax1 + by1 + c的值。
2.将步骤1中计算得到的值代入到距离公式中，计算得到点P到直线L的距离d。
通过上述步骤，我们可以求解出点P到直线L的距离d。
总结起来，直线的交点坐标与距离公式是数学和几何问题求解的基本工具。
对于直线的交点坐标，我们通过联立直线的方程，并使用消元法或代入法来求解变量的值，从而得到交点的坐标。
对于点到直线的距离，我们使用距离公式，将点的坐标代入直线的方程，并进行运算，最后得到点到直线的距离。
这两个公式广泛应用于解决直线相关的几何和数学问题，例如计算两条直线的交点、判断点是否在直线上以及计算点到直线的最短距离等。
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第11天 直线的交点坐标与距离公式
高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★☆☆☆
典例在线
直线x +y =5与直线x –y =1交点坐标是
A ．（1，2）
B ．（2，3）
C ．（3，2）
D ．（2，1）
【参考答案】C
【试题解析】由题意可得51x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得3
2x y =⎧⎨=⎩
，所以两条直线的交点坐标为（3，2）．故选C ．
【名师点睛】
1．两点间距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）
是平面直角坐标系中的两个点，
则||AB =
2．点到直线距离公式：点()00,P x y 到直线1:0l Ax By C ++=的距离d =
．
3．两条平行线间的距离公式：两条平行线11:0l Ax By C ++=与12:0l Ax By C ++=间的距离d =．
学霸推荐
1．点（4，3）和点（7，–1）的距离是
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
2．直线x +2y +2=0与直线2x +y –2=0的交点坐标是
A ．（2，–2）
B ．（–2，2）
C ．（–2，1）
D ．（3，–4）
3．过点（1，2）且到原点距离最大的直线方程是
A ．x +2y –5=0
B ．2x +y –4=0
C ．x +3y –7=0
D ．x –2y +3=0
4．点（5，–3）到直线x +2=0的距离等于
A ．7
B ．5
C ．3
D ．2
5．直线3x +4y –2=0和直线6x +8y +1=0的距离是
A．3
5
B．
1
2
C．
3
10
D．
1
5
1．【答案】D
【解析】点（4，3）和点（7，–1，故选D．
4．【答案】A
【解析】由已知代入点到直线的距离公式可得：d=52
1
+
=7，故选A．
5．【答案】B
【解析】由题意，将直线3x+4y–2=0化为6x+8y–4=0，由两平行线之间的距离公式，得直线6x+8y–4=0
和直线6x+8y+1=0之间的距离是d
1
2
=，故选B．。