高中数学-直线的交点坐标与距离公式
直线的交点坐标与距离公式
直线的交点坐标与距离公式
1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；
2.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会球两条平行直线间的距离. 命题方向：多与直线与圆、直线与圆锥曲线位置关系相结合渗透在解答题中 知识梳理：1．两条直线的交点
直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎨
⎧
A 1x ＋
B 1y ＋
C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．
2.几种距离
1．两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝x 2－x 1
2
y 2－y 1
2
.
2．点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离
d ＝
|Ax 0＋By 0＋C |
A 2＋B
2
. 3．两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|
A 2＋
B 2
. 规律总结：1．一般地，与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0；与之垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋n ＝0.
2．过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.。
高中数学-直线的交点坐标与距离公式学案
高中数学-直线的交点坐标与距离公式学案课程标准 1、能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；2、探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
学习目标重点难点 重点：1、求两直线交点坐标的方法；2、求三种距离的方法。
难点：点到直线的距离公式的推导。
学习过程学习内容（任务）及问题 学习活动及行为【模块一】两条直线的交点坐标问题1、一元二次方程组的解与两直线交点坐标之间有什么关系？问题2、已知两条直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=相交，怎么求出它们的交点坐标？【例题讲解】例1、求下列两条直线的交点坐标：1:3420l x y +-=，2:220l x y ++=。
例2、判断下列各对直线的位置关系。
如果相交，求出交点的坐标。
⑴1:0l x y -=，2:33100l x y +-=； ⑵1:340l x y -+=，2:6210l x y --=； ⑶1:3450l x y +-=，2:68100l x y +-=。
【即时训练】教材104P 练习1,2问题3、当λ变化时，方程342(22)0x y x y λ+-+++=表示什么图形？图形有何特点？ 评价：学生能正确求出两直线的交点坐标。
【模块二】两点间的距离问题1、已知平面上的两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，如何推导这两点间的距离公式12||PP ？问题2、已知111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12||______________PP =。
【例题讲解】例3、已知点(1,2)A -，(2,7)B ，在x 轴上求一点P ，使得||||PA PB =，并求||PA 的值。
【即时训练】教材106P 练习1,2例4、证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
问题3、利用解析法解决问题的基本步骤有哪些是什么？评价：学生能正确运用两点间的距离公式解题。
两直线交点的坐标与距离公式
两直线交点的坐标与距离公式 知识点：知识点：1. 两相交直线的交点的坐标两相交直线的交点的坐标2. 如果已知平面上两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2), 3. 点P(x 0,y 0)到直线Ax+By+C=0(A 、B 不同时为0)的距离为距离为 4．已知两条平行线l 1:Ax+By+C 1=0, l 2:Ax+By+C 2=0 (C 1=C 2).则l 1与l 2之间的距离为：之间的距离为：对称问题：1． 点关于点的对称点点关于点的对称点2． 点关于直线的对称点点关于直线的对称点若两点P 1(x 1,y 1)与P 2(x 2,y 2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,则线段P 1P 2的中点在对称轴l 上,而且连结P 1,P 2的直线垂直于对称轴l,由方程组: îïíì=++++=--0)2()2(21212121C y y B x x AAB x x y y 其中A ≠0,x 1≠x 2A(x,y) 关于x 轴的对称点A ’ . B(x,y) 关于y 轴的对称点B ’ . 练习:求点A(2,2)关于直线2x-4y+9=0的对称点的坐标. 3. 直线关于点对称的直线直线关于点对称的直线练习:求直线l:y=3x-4关于点M(1,1)对称的直线方程. 4. 关于直线对称的两条直线关于直线对称的两条直线若已知直线l 1与对称轴l 相交,则交点必在与l 1对称的直线l 2上,然后再求出l 1上任一个已知点P 1关于对称轴l 对称点P 2,那么经过交点及点P 2的直线就是l 2; 若已知直线l 1与对称轴l 平行,则与l 1对称的直线和l 1到直线l 的距离相等,由平行直线系和两条平行线间的距离,即可求出l 1的对称直线. 练习.求直线l 1:x-y-2=0关于直线l 2:3x-y+3=0的对称直线l ’的方程. 练习. 已知三条直线l 1:2x-y+a=0(a>0),l 2:-4x+2y+1=0, l 3:x+y-1=0,且l 1与l 2的距离是1057. (1) 求a 的值; (2) 求l 1与l 3的交点A 关于l 2的对称点的坐标; (3) 求l 2关于l 3的对称直线方程. 直线过定点问题及应用1由“y-y 0=k(x-x 0)”求定点”求定点把含有参数的直线方程改写成y-y 0=k(x-x 0)的形式，这样就证明了它所表示的所有直线必过定点（x 0,y 0）2由“l 1+λl 2=0”求定点”求定点在平面上如果已知两条相交直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0与l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,则过l 1、l 2交点的直线系方程是：直线系方程是：A 1x+B 1y+C 1+λ(A 2x+B 2y+C 2)=0 其中λ为参数，并简写为l 1+λl 2=0. 根据这一道理，可知如果能把含有参数的直线方程改写成l 1+λl 2=0的形式，这就证明了它表示的直线必过定点，其定点的求法可由îíì=++=++0222111C y B x A C y B x A 解得。
两直线的交点坐标和距离公式
两直线的交点坐标和距离公式直线是平面几何中最基本的图形之一，计算两条直线的交点坐标和距离是解决许多几何问题的基础。
在本文中，我们将详细介绍如何计算两条直线的交点坐标和距离的公式和方法。
首先，我们需要了解什么是直线。
在平面几何中，直线是由一组点组成的，这些点在同一条直线上，且直线上的任意两点可以确定直线的一条直线是由两个不同的点定义。
那么，如何计算两条直线的交点坐标呢？要计算两条直线的交点，我们需要利用直线的方程。
在平面几何中，直线可以由一般方程、点斜式方程和两点式方程表示。
1.一般方程：Ax+By+C=0。
其中A、B、C是常数。
2.点斜式方程：y-y1=m(x-x1)。
其中m是斜率，(x1,y1)是直线上的一个点。
3.两点式方程：(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)。
其中(x1,y1)和(x2,y2)是直线上的两个点。
像这样，当我们有两条直线的方程时，我们可以通过求解方程组，找到两条直线的交点坐标。
解方程组的方法有多种，比如代入法、消元法和克莱姆法则等。
让我们通过一个具体的例子来说明如何计算两条直线的交点坐标。
例1：已知直线L1的方程为y=2x-1，直线L2的方程为y=-x+3，求两条直线的交点坐标。
解：将L1和L2的方程联立起来，得到方程组：y=2x-1y=-x+3通过消元法，我们可以先将方程组中的y消去。
将L1中的y代入L2的方程中，得到：2x-1=-x+3整理方程，得到：3x=4解方程，得到：x=4/3将x的值代入L1的方程中，得到：y=2*(4/3)-1y=8/3-1y=5/3所以，两条直线的交点坐标为(4/3,5/3)。
接下来，我们将介绍如何计算两条直线的距离。
两条直线的距离是两条直线之间最短的直线距离，也就是垂直于两条直线的连线段的长度。
计算两条直线的距离，我们可以利用点到直线的距离公式来求解。
点到直线的距离公式:d=，Ax+By+C，/√(A^2+B^2)其中，A、B、C是直线的方程中的常数。
第7讲 直线的交点坐标与距离公式(解析版)
第7讲直线的交点坐标与距离公式新课标要求1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标。
2.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
知识梳理一、直线的交点与直线的方程组解的关系1．两直线的交点(l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0)2.两直线的位置关系二、两点间的距离公式三、点到直线的距离1．概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离． 2．公式：点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2．四、两平行直线间的距离1．概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离． 2．公式：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2．名师导学知识点1 两直线的交点问题【例1-1】（宜昌期末）已知两直线1:3420l x y +-=，2:220l x y ++=，则1l 与2l 的交点坐标为 ． 【分析】联立3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩，解得即可．【解答】解：联立3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩，解得22x y =-⎧⎨=⎩．1l ∴与2l 的交点坐标为(2,2)-．故答案为：(2,2)-．【例1-2】（雅安期末）过直线1:240l x y -+=与直线2:10l x y ++=的交点，且过原点的直线方程为( ) A ．20x y -=B ．20x y +=C ．20x y -=D ．20x y +=【分析】联立24010x y x y -+=⎧⎨++=⎩，求出两条直线1:240l x y -+=与直线2:10l x y ++=的交点(2,2)-．利用两点式方程能求出过点(2,1)P -且过原点(0,0)的直线方程． 【解答】解：联立24010x y x y -+=⎧⎨++=⎩，解得两条直线1:240l x y -+=与直线2:10l x y ++=的交点(2,1)-．∴过点(2,1)P -且过原点(0,0)的直线方程为：12y x =-，即20x y +=．【例1-3】（芜湖期末）若三条直线2380x y ++=，10x y --=和0x ky +=交于一点，则k 的值为( ) A ．2-B ．12-C ．2D ．12【分析】通过解方程组可求得其交点，将交点坐标代入0x ky +=，即可求得k 的值． 【解答】解：依题意，238010x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，∴两直线2380x y ++=和10x y --=的交点坐标为(1,2)--．直线0x ky +=，2380x y ++=和10x y --=交于一点， 120k ∴--=，12k ∴=-．故选：B ．【变式训练1-1】（阎良区期末）直线5y x =-+与直线1y x =+的交点坐标是( ) A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,2)D ．(2,1)【分析】联立51y x y x =-+⎧⎨=+⎩，能求出直线5y x =-+与直线1y x =+的交点坐标．【解答】解：联立51y x y x =-+⎧⎨=+⎩，得23x y =⎧⎨=⎩，∴直线5y x =-+与直线1y x =+的交点坐标是(2,3)．故选：B ．【变式训练1-2】（安庆期末）直线210x y ++=与直线20x y -+=的交点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】联立21020x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得x ，y ．即可判断出结论．【解答】解：联立21020x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得1x =-，1y =．∴交点(1,1)-在第二象限．【变式训练1-3】（庐江县期中）直线230x y k +-=和直线120x ky -+=的交点在x 轴上，则k 的值为() A ．24-B ．24C ．6D ．6±【分析】联立230120x y k x ky +-=⎧⎨-+=⎩，由直线230x y k +-=和直线120x ky -+=的交点在x 轴上，得到24032k y k+==+，由此能求出k ． 【解答】解：联立230120x y k x ky +-=⎧⎨-+=⎩，解得236322432k x k k y k ⎧-=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， 直线230x y k +-=和直线120x ky -+=的交点在x 轴上， 24032k y k+∴==+， 解得24k =-． 故选：A ．知识点2 直线过定点问题【例2-1】（宿迁期末）设直线2(3)260x k y k +--+=过定点P ，则点P 的坐标为( ) A ．(3,0)B ．(0,2)C ．(0,3)D ．(2,0)【分析】对于任意实数k ，直线2(3)260x k y k +--+=恒过定点，则与k 的取值无关，则将方程转化为(2)(236)0y k x y -+-+=．让k 的系数和常数项为零即可．【解答】解：解：方程2(3)260x k y k +--+=可化为(2)(236)0y k x y -+-+=， 对于任意实数k ，当202360y x y -=⎧⎨-+=⎩时，直线2(3)260x k y k +--+=恒过定点，由当202360y x y -=⎧⎨-+=⎩，得0x =，2y =．故定点坐标是(0,2)． 故选：B ．【例2-2】（江阴市期中）直线:1(2)l y k x -=+必过定点( ) A ．(2,1)-B ．(0,0)C ．(1,2)-D ．(2,1)--【分析】由已知可得直线l 过两直线20x +=与10y -=的交点，联立求解得答案． 【解答】解：由直线:1(2)l y k x -=+， 得2010x y +=⎧⎨-=⎩，解得21x y =-⎧⎨=⎩．∴直线:1(2)l y k x -=+必过定点(2,1)-．故选：A ．【变式训练2-1】（黄浦区期末）已知a R ∈，若不论a 为何值时，直线:(12)(32)0l a x a y a -++-=总经过一个定点，则这个定点的坐标是( ) A ．(2,1)-B ．(1,0)-C ．21(,)77-D ．12(,)77-【分析】先变形解析式得到关于a 的不定方程(321)(2)0a y x x y --++=，由于a 有无数个解，则3210y x --=且20x y +=，然后求出x 和y 的值即可得到定点坐标．【解答】解：由直线:(12)(32)0l a x a y a -++-=，知(321)(2)0a y x x y --++=． 不论a 为何值时，直线:(12)(32)0l a x a y a -++-=总经过一个定点，即a 有无数个解， 3210y x ∴--=且20x y +=， 27x ∴=-，17y =，∴这个定点的坐标是21(,)77-．故选：C ．【变式训练2-2】（慈溪市期末）直线1(y kx k k =++为常数）经过定点( ) A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)--【分析】令参数k 的系数等于零，求得x 、y 的值，可得结论．【解答】解：对于直线1(1)1y kx k k x =++=++，令10x +=，可得1y =，可得它经过的定点坐标为(1,1)-， 故选：B ．知识点3 两点间距离公式的应用【例3-1】（南充期末）已知点(1A ，0，2)与点B (1，3-，1)，则||(AB = )A ．2B C ．3D 【分析】根据题意，由点的坐标结合空间两点间距离的计算公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，点(1A ，0，2)与点B (1，3-，1)，则||AB 故选：D ．【例3-2】（临川区校级一模）已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(3,4)A ，(5,2)B ，(1,4)C --，则这个三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形【分析】由三角形的三个顶点的坐标分别求出三边长，再由勾股定理的逆定理能得到这个三角形是直角三角形．【解答】解：ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(3,4)A ，(5,2)B ，(1,4)C --，||AB ∴=，||BC ，||AC =，222AC BC AB ∴=+， ABC ∴∆是直角三角形．故选：B ．【变式训练3-1】（琼山区校级期末）已知ABC ∆的顶点坐标为(7,8)A ，(10,4)B ，(2,4)C -，则BC 边上的中线AM 的长为( )A ．8B ．13C ．D 【分析】由中点坐标公式求得BC 中点的坐标，再由两点间的距离公式求得AM 的长． 【解答】解：由(10,4)B ，(2,4)C -，得10262M x +==，4402M y -==， 即M 坐标为(6,0)．又(7,8)A ，||AM ∴= 故选：D ．【变式训练3-2】（雁江区校级月考）如图，已知等腰梯形ABCD ，用坐标法证明：AC BD =．【分析】根据题意，建立坐标系，设出A、B的坐标，分析可得C、D的坐标，由两点间距离公式计算AC、BD的值，分析可得答案．【解答】证明：根据题意，如图以BC为x的轴建立坐标系，BC的中点为坐标原点建立坐标系，设(,0)B a-，A，(,)b c-，则(,0)C a，(,)D b c，则ACBD，则有AC BD=．知识点4 点到直线的距离【例4-1】（金凤区校级期末）已知点(2,1)P-．（1）若一条直线经过点P，且原点到直线的距离为2，求该直线的一般式方程；（2）求过点P且与原点距离最大的直线的一般式方程，并求出最大距离是多少？【分析】（1）当l的斜率k不存在时，直接写出直线方程；当l的斜率k存在时，设:1(2)l y k x+=-，即210kx y k---=．由点到直线的距离公式求得k值，则直线方程可求；（2）由题意可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，求出OP所在直线的斜率，进一步得到直线l的斜率，得到直线l的方程，再由点到直线的距离公式得最大距离．【解答】解：（1）①当l的斜率k不存在时，l的方程为2x=；②当l的斜率k存在时，设:1(2)l y k x+=-，即210kx y k---=．2=，34k⇒=；得:34100l x y--=．故所求l 的方程为：20x -= 或34100x y --=；（2）由题意可得过P 点与原点O 距离最大的直线是过P 点且与PO 垂直的直线， 由l OP ⊥，得1l OP k k =-，12l OPk k =-=， 由直线方程的点斜式得12(2)y x +=-，即250x y --=．即直线250x y --=是过P 点且与原点O．【例4-2】（韶关期末）已知点(1,3)A 和点(5,2)B 到直线l 的距离相等，且l 过点(3,1)-，则直线l 的方程为()A ．410x y ++=或3x =B ．410x y +-=或3x =C ．410x y ++=D ．410x y +-=【分析】先求出直线AB 的斜率，由点(1,3)A 和点(5,2)B 到直线l 的距离相等，且l 过点(3,1)-，得到直线l 与直线AB 平行，且直线l 过点(3,1)-，或直线l 的方程为3x =，由此能求出直线l 的方程． 【解答】解：点(1,3)A 和点(5,2)B ，231514AB k -∴==--， 点(1,3)A 和点(5,2)B 到直线l 的距离相等，且l 过点(3,1)-，∴直线l 与直线AB 平行，且直线l 过点(3,1)-，或直线l 的方程为3x =， ∴直线l 的方程为：11(3)4y x +=--，或3x =，整理得：410x y ++=或3x =． 故选：A ．【变式训练4-1】（保山期末）若直线l 过点，倾斜角为120︒，则点(1,到直线l 的距离为( )A B C D 【分析】先求出直线的斜率，再利用点斜式求直线的方程，点到直线的直线间的距离公式求得结果．【解答】解：直线l 过点，倾斜角为120︒，故直线的斜率为tan120︒=故直线l 的方程为2)y x -=-0y +-．则点(1,到直线l =， 故选：C ．【变式训练4-2】（新课标Ⅲ）点(0,1)-到直线(1)y k x =+距离的最大值为( )A ．1BCD ．2【分析】直接代入点到直线的距离公式，结合基本不等式即可求解结论．【解答】解：因为点(0,1)-到直线(1)y k x =+距离d == 要求距离的最大值，故需0k >；可得212kdk+=1k =时等号成立； 故选：B ．知识点5 两平行线间距离公式及其应用【例5-1】（张家界期末）直线3430x y +-=与直线690x my ++=平行，则它们的距离为( ) A ．65B ．32C ．125D ．2【分析】由题意利用两条直线平行的性质求得m ，再利用两条平行直线间的距离公式，求得它们的距离． 【解答】解：直线3430x y +-=，即6860x y +-=， 它与直线690x my ++=平行，∴66689m -=≠，求得8m =， 32=， 故选：B ．【例5-2】（广州期末）若两平行直线20(0)x y m m ++=>与30x ny --=，则(m n +=) A ．0B ．1C ．1-D ．2-【分析】两直线20(0)x y m m ++=>与30x ny --=平行，可得20n --=，解得n ，再利用平行线之间的距离公式即可得出．【解答】解：两直线20(0)x y m m ++=>与30x ny --=平行， 20n ∴--=，解得2n =-．又两平行直线20(0)x y m m ++=>与30x ny --=，∴=2m =．0m n ∴+=．故选：A ．【变式训练5-1】（靖远县期末）已知直线240x y +-=与直线230x my m +++=平行，则它们之间的距离为( ) ABCD【分析】根据题意，由直线平行的判断方法可得m 的值，进而由平行线间距离公式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，直线240x y +-=与直线230x my m +++=平行，则有224m =⨯=， 则两直线的方程为240x y +-=与直线2470x y ++=，则它们之间的距离d ==； 故选：C ．【变式训练5-2】（连云港期末）两条平行直线6450x y -+=与32y x =的距离是( )ABCD【分析】把已知两直线方程变形，再由两平行线间的距离公式求解． 【解答】解：由6450x y -+=，得53202x y -+=， 由32y x =，得320x y -=，则两条平行直线6450x y -+=与32y x =5|0|-=． 故选：D ．【变式训练5-3】（广东期末）已知直线1:(1)2l x m y m ++=-与2:24160l mx y ++=，若12//l l ，则实数m 的值为( ) A ．2或1-B ．1C ．1或2-D ．2-【分析】由2(1)40m m +-=，解得m ．经过验证即可得出． 【解答】解：由2(1)40m m +-=，解得1m =或2-． 经过验证可得：2m =-时重合，舍去． 故选：B ．【变式训练5-4】（崇左期末）已知直线1:20l x y n ++=，2:440l x my +-=互相平行，且1l ，2l 之间的距离(m n += )A ．3-或3B ．2-或4C ．1-或5D ．2-或2【分析】由240m -=，解得m ．利用平行线之间的距离公式即可得出． 【解答】解：由240m -=，解得2m =．满足12//l l ．2l 的方程为220x y +-=，则|2|3n +=， 解得1n =或5-， 故3m n +=±． 故选：A ．知识点6 运用距离公式解决最值问题【例6-1】（北碚区校级期末）已知ABC ∆的三个顶点(1,2)A ，(2,1)B ，(3,3)C ，若ABC ∆夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线的距离的最小值是( )A B C D【分析】分别过A 、B 、C 三个点，作斜率为1的三条直线，再利用两条平行直线间的距离公式，求得结果．【解答】解：分别过A 、B 、C 三个点，作斜率为1的三条直线： 1:21l y x -=-，即10x y -+=． 2:12l y x -=-，即10x y --=． 3:33l y x -=-，即0x y -=．显然，ABC ∆夹在两条斜率为1的平行直线1l 和3l 之间，且直线1l 和3l 之间的距离为d =，故选：B ．【例6-2】（鼓楼区校级期中）已知直线1:4270l x y +-=和2:210l x y +-=，直线m 分别与1l ，2l 交于A ，B 两点，则线段AB 长度的最小值为 ．【分析】利用平行线之间的距离公式即可得出． 【解答】解：由题知，2:4220l x y +-=，两直线间的距离d ==．【变式训练6-1】（闵行区校级模拟）过点(1,2)-且与原点的距离最大的直线方程是 ． 【分析】过点(1,2)P -且与原点的距离最大的直线l 满足：l OP ⊥．则1l OP k k =-，即可得出． 【解答】解：过点(1,2)P -且与原点的距离最大的直线l 满足：l OP ⊥． 1l OP k k ∴=-，12l k ∴=． ∴直线l 的方程 为：12(1)2y x -=+，化为250x y -+=． 故答案为：250x y -+=．【变式训练6-2】（和平区校级期末）已知点(2,5)A 和点(4,7)B ，点P 在y 轴上，若||||PA PB +的值最小，则点P 的坐标为 ．【分析】点(2,5)A 关于y 轴的对称点为(2,5)A '-，直线A B '的方程为得755((2))4(2)y x --=----，令0x =，解得y 即可得出．【解答】解：点(2,5)A 关于y 轴对称的点(2,5)A '-， 连接A B '与y 轴交于点P ，此时||||PA PB +的值最小， 设直线A B '的解析式得755((2))4(2)y x --=----，即11733y x =+，令0x =，得173y =， 所以17(0,)3P ． 故答案为：17(0,)3． 名师导练A 组-[应知应会]1．（辽源期末）点(3,1)到直线3420x y -+=的距离是( ) A ．45B ．75C ．425D ．254【分析】根据题意，由点到直线的距离公式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，点(3,1)到直线3420x y -+=的距离75d ==； 故选：B ．2．（宁波期末）直线6820x y +-=与6830x y +-=间的距离为( ) A ．1B ．3C ．110D ．25【分析】由题意利用两条平行直线直线间的距离公式，求得结果． 【解答】解：直线6820x y +-=与6830x y +-=110=， 故选：C ．3．（内江期末）已知点(1,3)M 到直线:10l mx y +-=的距离等于1，则实数m 等于( ) A ．34B ．43C ．43-D ．34-【分析】根据题意，由点到直线的距离公式可得1d ==，解可得m 的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，点(1,3)M 到直线:10l mx y +-=的距离等于1， 则有1d =，解可得34m =-；故选：D ．4．（兴庆区校级期末）设有直线(3)1y k x =-+，当k 变动时，所有直线都经过定点( ) A ．(0,0)B ．(0,1)C ．(3,1)D ．(2,1)【分析】根据直线恒过定点的求法，直接求出定点． 【解答】解：当3x =时，不论k 为何值，1y =，即过(3,1)， 故选：C ．5．（沙坪坝区校级期中）已知直线1:10l x ay +-=与2:210l x y -+=平行，则1l 与2l 的距离为( )A ．15B C ．35D 【分析】直线1:10l x ay +-=与2:210l x y -+=平行，即可得到a ，然后利用平行线之间的距离公式求解即可．【解答】解：直线1:10l x ay +-=与2:210l x y -+=平行，可得12a =-，则由两平行直线的距离公式可得d ，则1l 与2l ， 故选：D ．6．（包头期末）点(,)P x y 在直线20x y +-=上，O 是坐标原点，则||OP 的最小值是( )A ．1BC ．2D ．【分析】||OP ∴的最小值是点O 到直线20x y +-=的距离，利用点到直线的距离公式能求出||OP 的最小值． 【解答】解：点(,)P x y 在直线20x y +-=上，O 是坐标原点， ||OP ∴的最小值是点O 到直线20x y +-=的距离，∴则||OP 的最小值是d ==故选：B ．7．（河池期末）点2(2,)P m m 到直线70x y ++=的距离的最小值为( )A ．4B ．C ．D ．【分析】利用点到直线的距离公式可得：点2(2,)P m m 到直线70x y ++=的距离22d ==【解答】解：点2(2,)P m m 到直线70x y ++=的距离22632d ==故选：D ．8．（江阴市期中）直线l 过(1,2)P ，且(2,3)A ，(4,5)B -到l 的距离相等，则直线l 的方程是( ) A ．460x y +-=B ．460x y +-=C ．2370x y +-=或460x y +-=D ．3270x y +-=或460x y +-=【分析】由条件可知直线平行于直线AB 或过线段AB 的中点，当直线//l AB 时，利用点斜式求出直线方程；当直线经过线段AB 的中点(2,3)时，易得所求的直线方程．【解答】解：设所求直线为l ，由条件可知直线l 平行于直线AB 或过线段AB 的中点， （1）AB 的斜率为35424+=--，当直线//l AB 时，直线l 的方程是24(1)y x -=--，即460x y +-=， （2）当直线l 经过线段AB 的中点(3,1)-时，l 的斜率为213132+=--，直线l 的方程是32(1)2y x -=--，即3270x y +-=，故所求直线的方程为3270x y +-=，或460x y +-=． 故选：D ．9．（平顶山期末）已知(1,2)P -，(2,4)Q ，直线:3l y kx =+．若P 点到直线l 的距离等于Q 点到直线l 的距离，则(k = ) A ．2.3或6B ．23C ．.0D ．.0或23【分析】由已知结合点到直线的距离公式即可求解．=，解得0k=或23．故选：D．10．（昆山市期中）已知(2,3)M-，(6,2)N，点P在x轴上，且使得PM PN+取最小值，则点P的坐标为( )A．(2,0)-B．12(5，0)C．14(5，0)D．(6,0)【分析】根据点M、N在x轴的同侧，求出点M关于x轴的对称点M'，得出PM PN+的最小值是||M N'，再利用直线M N'求得点P的坐标．【解答】解：点(2,3)M-，(6,2)N在x轴的同侧，如图所示；则点M关于x轴的对称点M'的坐标为(2,3)--，此时||PM PN M N+='的值最小，此时直线M N'的方程为26 3226y x--=----，令0y=，解得145 x，所以PM PN+取最小值时，点14(5P，0)．故选：C．11．（宝安区校级模拟）已知0x<<，0y<<M M的最小值为( )A ．B ．C ．2D ．【分析】本题要根据M 表达式的特点联系两点间的距离公式，然后运用数形结合法可得到M 取最小的点(,)x y 的情况，即可计算出M 的最小值．【解答】解：根据题意，可知(,)x y 与点A 0)的距离；(,)x y 与点B 的距离；(,)x y 与点C 的距离；(,)x y 与点D 的距离．M 表示点(,)x y 到A 、B 、C 、D 四个点的距离的最小值．则可画图如下：(,)x y 在线段AC 上，(,)x y 在线段BD 上，∴点(,)x y 既在线段AC 上，又在线段BD 上， ∴点(,)x y 即为图中点P ．M ∴的最小值为||||AC BD +=故选：D ．12．（多选）（江阴市期中）若两条平行直线1:20l x y m -+=与2:260l x ny +-=之间的距离是则m n +的可能值为( ) A ．3B ．17-C ．3-D ．17【分析】利用两条直线平行的性质求出n ，再利用两条平行直线间的距离求出m ，可得m n +的值．【解答】解：直线1:20l x y m -+=与2:260l x ny +-=平行， 则122n-=，解得4n =-； 所以2:230l x y --=；所以直线1l 与2l 间的距离是d ==所以|3|10m +=， 解得13m =-或7m =；当13m =-时，13417m n +=--=-； 当7m =时，743m n +=-=； 所以m n +的可能值为3或17-． 故选：AB ．13．（多选）（山东模拟）若三条直线1:10l ax y ++=，2:10l x ay ++=，3:0l x y a ++=不能围成三角形，则a 的取值为( ) A ．1a =B ．1a =-C ．2a =-D ．2a =【分析】1l 和3l 平行，或2l 和3l 平行，1l 和2l 平行以及三线交于同一个点，分类讨论，利用两条直线平行的条件分别求得m 的值，综合可得结论．【解答】解：由于1l 的斜率a -，3l 的斜率为1-， 则由题意可得1l 和3l 平行，或2l 和3l 平行，1l 和2l 平行． 若1l 和3l 平行，则111a =，求得1a =； 若2l 和3l 平行，则111a=，求得1a =．若1l 和2l 平行，则11a a=，求得1a =±． 当三条直线1:10l ax y ++=，2:10l x ay ++=，3:0l x y a ++=交于同一个点时，2a =-； 综上可得，实数a 所有可能的值为1-，1，2-， 故选：ABC ．14．（田家庵区校级期末）原点(0,0)到直线:20l x y -+=的距离是 ． 【分析】由题意利用点到直线的距离公式，求得结果．【解答】解：原点(0,0)到直线:20l x y -+==15．（尖山区校级期末）两条平行直线110l y -+=与2:230l ax y +-=之间的距离为 ． 【分析】利用平行线，求解a ，然后利用平行线之间的距离公式求解即可．【解答】解：两条平行直线110l y -+=与2:230l ax y +-=，可得a =-所以2302l y -+=，所以两条平行直线110l y -+=与2:230l ax y +-=3|1|14-+=．故答案为：14． 16．（嘉兴期末）直线1:0l x y m --=与直线2:30l mx y -+=平行，则m = ；1l 与2l 之间的距离为 ． 【分析】由题意利用两条直线平行的性质求出m 的值，再利用两条平行直线间的距离公式，求得结果． 【解答】解：直线1:0l x y m --=与直线2:30l mx y -+=平行， 0m ∴≠，1311m m-=≠--，则1m =．=故答案为：1；17．（金华期末）已知直线:(1)2l x m y m ++=-，则当0m =时，直线l 的倾斜角为 ；当m 变化时，直线l 过定点 ．【分析】取0m =化简直线方程，求得直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求直线的倾斜角；利用直线系方程的逆用求直线所过定点．【解答】解：当0m =时，直线:(1)2l x m y m ++=-化为2x y +=， 直线的斜率1k =-，设倾斜角为(0)θθπ<， 由tan 1θ=-，得34πθ=； 化直线:(1)2l x m y m ++=-为2(1)0x y m y +-++=． 联立2010x y y +-=⎧⎨+=⎩，解得31x y =⎧⎨=-⎩．∴当m 变化时，直线l 过定点(3,1)-．故答案为：34π；(3,1)-． 18．（镇江期末）已知直线1:0l x y a ++=与直线2:0l x y +=a 的值为 ． 【分析】利用平行线之间的距离公式即可得出．2a =±．故答案为：2±．19．（珠海期末）已知平面直角坐标系xOy 中，点(4,1)A ，点(0,4)B ，直线:31l y x =-，则直线AB 与直线l 的交点坐标为 ．【分析】先利用两点式方程求出直线AB 的方程，再联立方程组能求出两直线的交点坐标． 【解答】解：平面直角坐标系xOy 中，点(4,1)A ，点(0,4)B ，直线:31l y x =-， 直线AB 的方程为：040414x y --=--，整理得：34160x y +-=， 联立3134160y x x y =-⎧⎨+-=⎩，得433x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩．∴直线AB 与直线l 的交点坐标为4(3，3)．故答案为：4(3，3)．20．（苏州期末）已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线20x y -=和5x ay +=上，且线段AB 的中点为(0,5)P ，则||AB = ．【分析】由两直线互相垂直可得2a =，AB 为直角三角形AOB 的斜边，直角三角形斜边的中线PO 的长为斜边AB 的一半，且||5PO =，由此能求出||AB ．【解答】解：由已知两直线互相垂直可得：21(1)0a ⨯+-⨯=， 解得2a =，线段AB 中点为(0,5)P ，且AB 为直角三角形AOB 的斜边， 联立2025x y x y -=⎧⎨+=⎩，得(1,2)O ，||OP ∴直角三角形斜边的中线PO 的长为斜边AB的一半，且||PO =||2||AB PO ∴==，故答案为：21．（昆山市期中）在平面直角坐标xOy 中，已知(4,3)A ，(5,2)B ，(1,0)C ，平面内的点P 满足PA PB PC ==，则点P 的坐标为 ．【分析】设出点(,)P x y ，利用两点间的距离公式列方程求出x 、y 的值． 【解答】解：设点(,)P x y ，由PA PB PC ==， 得22222222(4)(3)(5)(2)(4)(3)(1)x y x y x y x y ⎧-+-=-+-⎨-+-=-+⎩， 化简得24x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩，所以点P 的坐标为(3,1)． 故答案为：(3,1)．22．（新余期末）已知直线:2(2)l y ax a =+-过一、三、四象限，其中a Z ∈，则点(1,3)A -到直线l 的距离为 ．【分析】由直线:2(2)l y ax a =+-过一、三、四象限得到02a <<，又a Z ∈，所以1a =，所以直线l 的方程为：21y x =-，即210x y --=，再利用点到直线距离公式即可求出结果． 【解答】解：直线:2(2)l y ax a =+-过一、三、四象限，∴2020a a >⎧⎨-<⎩，02a ∴<<，又a Z ∈，1a ∴=，∴直线l 的方程为：21y x =-，即210x y --=，∴点(1,3)A -到直线l==． 23．（乐山期末）已知两条直线1:420l mx y +-=和2:10l x my ++=． （1）当12//l l 时，求m 的值；（2）在（1）的条件下，求1l 、2l 间的距离．【分析】（1）根据题意，分析可得240m -=，解可得2m =±，分别验证2m =和2m =-时，两直线是否平行，即可得答案；（2）由（1）的结论，结合平行线间距离公式计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，直线1:420l mx y +-=和2:10l x my ++=．若12//l l ，必有240m -=，解可得2m =±，当2m =时，直线1:210l x y +-=，直线2:210l x y ++=，两直线平行，符合题意，当2m =-时，直线1:210l x y -+=，直线2:210l x y -+=，两直线重合，不符合题意，故2m =；（2）由（1）的结论，直线1:210l x y +-=，直线2:210l x y ++=，直线1l 、2l 间的距离d == 24．（宁德期末）已知直线:260l x y --=与x 轴的交点为A ，且点A 在直线m 上．（1）若m l ⊥，求直线m 的方程；（2）若点(1,1)B 到直线m 的距离等于2，求直线m 的方程．【分析】（1）求出A 的坐标，求出直线m 的斜率，从而求出直线m 的方程即可；（2）通过讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式，求出直线方程即可．【解答】解：（1）依题意得(3,0)A ，2l k =，若m l ⊥，则12m K =-， ∴直线AB 的方程为10(3)2y x -=--， 即230x y +-=（或13)22y x =-+ （2）当直线斜率不存在时，3x =符合题意，当直线斜率存在时，设其方程为(3)y k x =-，点(1,1)B 到直线m 的距离等于2， ∴2=，解得：34k =， 综上，所求直线方程为3490x y --=或3x =．25．（新都区期末）已知ABC ∆的三个顶点坐标为(3,1)A -，(3,3)B -，(1,7)C ．（1）求BC 边的中线所在直线方程的一般式方程；（2）求ABC ∆的面积．【分析】（1）利用中点坐标公式、两点式即可得出．（2）三角形的面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）设BC 的中点M 的坐标为(,)x y ， 所以3122x +==，3722y -+==，即点M 的坐标为(2,2)．由两点式得：580x y-+=．所以BC边的中线所在直线方程的一般式方程为：580x y-+=；（2）直线BC的方程为：5120x y+-=．A BCd-==||BC11||2622ABC A BCS BC d∆-==⨯．26．（沭阳县期中）已知直线:(12)(1)720l m x m y m++-++=．（1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；（2）过定点M作一条直线1l，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线1l的方程．【分析】（1）根据题意，将直线的方程整理得：(2)(27)0x y m x y-++++=，令20270x yx y-+=⎧⎨++=⎩，解可得x、y的值，即可得直线恒过定点的坐标，分析可得答案；（2）根据题意，设直线1l，与x轴的交点为(,0)a，与y轴的交点为(0,)b，分析可得M为AB的中点，由中点坐标公式分析AB的坐标，进而分析可得答案．【解答】解：（1）证明：直线l整理得：(2)(27)0x y m x y-++++=，令20270x yx y-+=⎧⎨++=⎩解得：31xy=-⎧⎨=-⎩，则无论m为何实数，直线l恒过定点(3,1)--，（2）根据题意，设直线1l，与x轴的交点为(,0)a，与y轴的交点为(0,)b，过定点(3,1)M--作一条直线1l，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，即M为AB的中点，则有3212ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解可得6a=-，2b=-，即直线1l过(6,0)-，(0,2)-，则直线1l的方程为123y x=--，即360x y++=．27．（宁城县期末）已知点ABC∆三顶点坐标分别是(1,0)A-，(1,0)B，(0,2)C，（1）求A到BC边的距离d；（2）求证AB边上任意一点P到直线AC，BC的距离之和等于d．【分析】（1）求出直线BC 的方程，利用点到直线的距离公式求出即可；（2）设(,0)P t ，11t -，求出直线AC 的方程，由点到直线的距离公式，证明即可．【解答】解：（1）直线BC 的方程为：12y x +=，即220x y +-=，A 到BC 边的距离d ==， （2）设(,0)P t ，11t -，直线AC 的方程是12y x -+=，即220x y -+=，∴则P 到直线AC 的距离为11)d t ==+，则P 到直线BC 的距离为2)d t -，∴12d d +=故原命题成立．B 组-[素养提升]1．（尖山区校级期末）已知在ABC ∆中，顶点(4,2)A ，点B 在直线:20l x y -+=上，点C 在x 轴上，则ABC ∆的周长的最小值 ．【分析】设点(4,2)，点A 关于直线:20l x y -+=对称的点为(,)D x y ，则点(,)D a b 与点(4,2)A 的中点在直线20x y -+=上，且直线AD 一定垂直于直线20x y -+=，列方程组求出(0,6)D 根据对称原理，ABC ∆的周长的最小值为：AC BA BC DC CD CA DB BA ++=++=+，即DB BA +的最小值，设点(0,6)D 关于x 轴的对称为点(0,6)E -，直线EA 与x 轴交于一点，当点B 处在这个点时，DB BA +取得最小值此时DB BA EA +=，由此能求出ABC ∆的周长的最小值．【解答】解：在ABC ∆中，顶点(4,2)A ，点B 在直线:20l x y -+=上，点C 在x 轴上， 设点(4,2)，点A 关于直线:20l x y -+=对称的点为(,)D x y则点(,)D a b 与点(4,2)A 的中点在直线20x y -+=上且直线AD 一定垂直于直线20x y -+=，∴422022214a bba++⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，解得0a=，6b=，D∴点坐标为(0,6)D根据对称原理，ABC∆的周长的最小值为：AC BA BC DC CD CA DB BA++=++=+，即DB BA+的最小值，设点(0,6)D关于x轴的对称为点(0,6)E-，直线EA与x轴交于一点，当点B处在这个点时，DB BA+取得最小值此时DB BA EA+=ABC ∴∆的周长的最小值为故答案为：2．（兰州期末）已知点(2,1)P-．（1）求过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？（2）是否存在过P点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．【分析】（1）过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由l OP⊥，得1l OPk k=-，即可得出．（2）只需比较“过P点与原点距离最大的直线l中最大距离”与6的大小，即可判断是否存在．【解答】解：（1）过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由l OP⊥，得11 OPk k=-，所以12 OPk k==．由直线方程的点斜式得12(2)y x+=-，即250x y--=．即直线250x y--=是过P点且与原点O．（2）过P的直线，因此不存在过点P点且到原点距离为6的直线．。
高二寒假讲义07 直线的交点坐标与距离公式
直线的交点坐标与距离公式1、两直线相交直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应.相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解.2、距离公式（1）两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为21221221)()(||y y x x P P -+-=特别地，原点O (0，0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2. （2）点到直线的距离公式平面上任意一点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.（3）两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.题型一 交点问题例 1 直线230x y k +-=和120x ky -+=的交点在y 轴上，则k 的值为（ ） A ．-24 B ．6C ．6±D ．-6【答案】C知识梳理知识典例【分析】通过直线的交点代入两条直线方程，然后求解k 即可． 【详解】解：因为两条直线230x y k +-=和120x ky -+=的交点在y 轴上， 所以设交点为(0,)b ， 所以30120b k kb -=⎧⎨-+=⎩，消去b ，可得6k =±．故选：C ．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B 【分析】解方程组12kx y k ky x k-=-⎧⎨-=⎩得两直线的交点坐标，由102k <<，判断交点的横坐标、纵坐标的符号，得出结论.【详解】解方程组12kx y k ky x k -=-⎧⎨-=⎩,得两直线的交点坐标为21,11k k k k -⎛⎫ ⎪--⎝⎭, 1210,0,0211k k k k k -<<∴--， 所以交点在第二象限，故选B.题型二 两点的距离例 2 已知点()2,1A --，(),3B a ，且5AB =，则a 的值为( ) A ．1 B ．5-C ．1或5-D ．1-或5【答案】C 【分析】巩固练习利用两点间距离公式构造方程求得结果. 【详解】 由题意知：()()222315AB a =+++=，解得：1a =或5-本题正确结果：C（多选）对于225x x ++，下列说法正确的是（ ） A ．可看作点(),0x 与点()1,2的距离 B ．可看作点(),0x 与点()1,2--的距离 C ．可看作点(),0x 与点()1,2-的距离 D ．可看作点(),1x -与点()1,1-的距离 【答案】BCD 【分析】化简225x x ++=()()()()2222102111x x ++±=++--，结合两点间的距离公式，即可求解.【详解】由题意，可得()222514x x x ++=++=()()()()2222102111x x ++±=++--，可看作点(),0x 与点()1,2--的距离，可看作点(),0x 与点1,2的距离，可看作点(),1x -与点()1,1-的距离，故选项A 不正确， 故答案为：BCD.题型三 点到直线的距离例 3 已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值等于( )A ．79B ．13-C ．79-或13-D ．79-或13【答案】C 【分析】直接根据点到直线的距离公式列出关于a 的方程，求出方程的解,得到a 的值. 【详解】巩固练习因为A 和B 到直线l 的距离相等， 由点A 和点B 到直线的距离公式， 可得2234163111a a a a --+++=++，化简得3364a a +=+|，()3364a a +=±+,解得实数79a =-或13-，故选C.（多选）已知直线l 经过点(3,4)，且点(2,2),(4,2)A B --到直线l 的距离相等，则直线l 的方程可能为（ ） A ．23180x y +-= B ．220x y --= C ．220x y ++= D ．2360x y -+=【答案】AB 【分析】由题可知直线l 的斜率存在，所以设直线l 的方程为4(3)y k x -=-，然后利用点到直线的距离公式列方程，可求出直线的斜率，从而可得直线方程 【详解】当直线l 的斜率不存在时，显然不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为4(3)y k x -=-，即430kx y k -+-=．由已知得2211k k =++，所以2k =或23k =-， 所以直线l 的方程为220x y --=或23180x y +-=． 故选：AB题型四 平行线间的距离例 4 已知直线3230x y +-=和610x my ++=互相平行，则它们之间的距离是（ ）巩固练习A ．4B ．21313C ．51326D ．71326【答案】D 【解析】因为3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，所以3∶2=6∶m，所以m=4. 直线6x+4y+1=0可以转化为3x+2y+12=0， 由两条平行直线间的距离公式可得：d=()2213232--+=7213=71326.若直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行，则1l 与2l 间的距离为 【答案】823【分析】根据两直线平行求出a 的值，得出两条直线方程，再求直线之间的距离. 【详解】由题：直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行， 则()32a a =-，即2230a a --=，解得3a =或1a =-， 当3a =时，直线1:360l x y ++=与2:360l x y ++=重合； 当1a =-时，直线1:60l x y -+=与22:03l x y -+=平行， 两直线之间的距离为2682332-=.题型五 三角形的面积求解巩固练习例 5 已知直线l 过点()2,3P 且与定直线0:2l y x =在第一象限内交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，记AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，点(),0B a . （1）求实数a 的取值范围；（2）求当S 取得最小值时，直线l 的方程. 【答案】（1）12a >（2）33y x =- 【分析】（1）求出直线l 与直线0:2l y x =平行时，直线l 的斜率，由斜率公式以及题设条件确定实数a 的取值范围；（2）当直线l 的斜率不存在时，求出点,A B 坐标，得出4S =；当直线l 的斜率存在时，设出方程，求出斜率的范围，联立直线l 与直线0l 的方程求出点A 坐标，由三角形面积公式结合判别式法，得出S 取得最小值时直线l 的斜率，进而得出直线l 的方程. 【详解】（1）当直线l 与直线0:2l y x =平行时，如下图所示322BP k a==-，解得12a =，此时不能形成AOB ，则12a ≠又点(),0B a 在x 轴正半轴上，且直线l 与定直线0l 在第一象限内交于点A12a ∴>（2）当直线l 的斜率不存在时，即(2,0)B ，(2,4)A ，此时12442S =⨯⨯= 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(2)3y k x =-+ 由于斜率存在，则12a >且2a ≠ 又32BP k a=-，2k ∴>或k 0< 由(2)32y k x y x =-+⎧⎨=⎩，得3264,22k k A k k --⎛⎫⎪--⎝⎭则22123644129222k k k k S k k k k---+=⨯⨯=-- 即2(4)(122)90S k S k ---+=由2(122)36(4)0S S ∆=---≥，整理得(3)0S S -则3S ≥，即S 的最小值为3 此时2690k k -+=，解得3k =则直线l 的方程为3(2)333y x x =-+=-已知△ABC 的两条高线所在直线方程为2x －3y ＋1＝0和x ＋y ＝0，顶点A (1,2)． 求：(1)BC 边所在的直线方程； (2)△ABC 的面积．【答案】(1) 2x ＋3y ＋7＝0;(2)452. 【分析】（1）先判断A 点不在两条高线上，再利用垂直关系可得AB 、AC 的方程，进而通过联立可得解； （2）分别求|BC |及A 点到BC 边的距离d ，利用S △ABC ＝12×d ×|BC |即可得解. 【详解】(1)∵A 点不在两条高线上，由两条直线垂直的条件可设k AB ＝－，k AC ＝1． ∴AB 、AC 边所在的直线方程为3x ＋2y －7＝0，x －y ＋1＝0． 由得B (7，－7)． 由得C (－2，－1)．∴BC 边所在的直线方程2x ＋3y ＋7＝0． (2)∵|BC |＝，A 点到BC 边的距离d ＝，∴S △ABC ＝×d ×|BC |＝××＝．巩固练习巩固提升1、直线5y x =-+与直线1y x =+的交点坐标是（ ） A ．()1,2 B ．()2,3C ．()3,2D ．()2,1【答案】B 【分析】联立两直线方程，求出公共解，即可得出两直线的交点坐标. 【详解】联立两直线的方程51y x y x =-+⎧⎨=+⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，因此，两直线的交点坐标是()2,3.故选：B.2、两平行直线12,l l 分别过点()()1,3,2,1P Q --，它们分别绕,P Q 旋转，但始终保持平行，则12,l l 之间的距离的取值范围是（ ） A ．()0,∞+ B ．[]0,5C ．(]0,5D．(【答案】C 【分析】先判断当两直线1l ，2l 与直线PQ 垂直时，两平行直线1l ，2l 间的距离最大，计算得到最大值，进而得到范围. 【详解】5PQ ==当1PQ l ⊥时，1l 与2l 的最大距离为5， 因为两直线平行，则两直线距离不为0， 故选：C.3、“C ＝5”是“点(2，1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：由题意知点(2,1)到直线340x y C ++=的距离为33=，解得5C =或25C =-，所以“5C =”是“点(2,1)到直线340x y C ++=的距离为3”的充分不必要条件，故选B.4、两直线3x +y -3=0与6x +my +1=0平行，则它们之间的距离为（ ） A ．4 B．13C．26D．20【答案】D 【分析】由两直线平行，可求得m 的值，代入两平行线距离公式，即可求解. 【详解】因为两直线平行，所以361m ⨯=⨯，解得m =2， 将6x +2y +1=0化为3x +y +12=0， 由两条平行线间的距离公式得d===20， 故选：D .5、直线l 经过原点，且经过另两条直线2380x y ++=，10x y --=的交点，则直线l 的方程为（ ） A ．20x y += B ．20x y -=C ．20x y +=D ．20x y -=【答案】B 【分析】联立方程可解交点，进而可得直线的斜率，可得方程，化为一般式即可. 【详解】联立方程238010x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得：12x y =-⎧⎨=-⎩所以两直线的交点为()1,2--，所以直线的斜率为20210--=--，则直线l 的方程为：2y x =，即20x y -=. 故选：B6、若直线0kx y -=和直线2360x y +-=的交点在第一象限，则k 的取值范围为__________．【答案】⎫+∞⎪⎪⎝⎭【分析】由0,2360,kx y x y ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩解得交点坐标为x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩根据交点位置得到0,0,>>解出即可. 【详解】由0,2360,kx y x y ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又∵直线0kx y --=和直线2360x y +-=的交点在第一象限，∴60,230,k ⎧+>⎪⎪+>解得3k >．故答案为3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭. 7、已知直线1:l 3250x y +-=与直线2:l 4110x ay +-=，且12l l ⊥，则直线1l 与直线2l 的交点坐标是______． 【答案】12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】由12l l ⊥得3420a ⨯+=，求出a ，再解方程组求交点坐标． 【详解】因为12l l ⊥，所以3420a ⨯+=，所以6a =-．联立3250,46110,x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得2,1,2x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，故直线1l 与直线2l 的交点坐标是12,2⎛⎫-⎪⎝⎭． 故答案为：12,2⎛⎫-⎪⎝⎭8、点(,6)P m 到直线3420x y --=的距离不大于4，则m 的取值范围是________．【答案】462,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据点到直线的距离公式即可列出不等式，解出即可．【详解】 依题意可知，()223462434m -⨯-≤+-，解得4623m ≤≤． 故答案为：462,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 9、已知直线l 在两坐标轴上的截距相等，且P （4，3）到直线l 的距离为3，求直线l 的方程．【答案】y=x ，或x +y ﹣1=0，或 x +y ﹣13=0． 【解析】 试题分析：当直线经过原点时，设直线方程为y=kx ，再根据P （4，3）到直线l 的距离为3，求得k 的值，可得此时直线的方程．当直线不经过原点时，设直线的方程为x+y ﹣a=0，由P （4，3）到直线l 的距离为3，求得a 的值，可得此时直线方程，综合可得结论．解：当直线经过原点时，设直线方程为y=kx ，再根据P （4，3）到直线l 的距离为3， 可得 =3，求得k=，故此时直线的方程为 y= x ．当直线不经过原点时，设直线的方程为x+y ﹣a=0，由P （4，3）到直线l 的距离为3， 可得 =3，求得a=1，或a=13，故此时直线的方程为x+y ﹣1=0或x+y ﹣13=0．综上可得，所求直线的方程为y=x ，或x+y ﹣1=0，或x+y ﹣13=0．10、已知直线方程为()()221340m x m y m -++++=.（1）证明：直线恒过定点；（2）m 为何值时，点()3,4Q 到直线的距离最大，最大值为多少？（3）若直线分别与x 轴，y 轴的负半轴交于,A B 两点，求AOB 面积的最小值及此时直线的方程.【答案】（1）证明见解析（2）47=m ；2133）最小值为4；此时直线的方程240x y ++= 【分析】（1）证明：利用直线是直线系求出直线恒过定点，即可；（2）点(3,4)Q 到直线的距离最大，转化为两点间的距离，求出距离就是最大值．（3）若直线分别与x 轴，y 轴的负半轴交于A ．B 两点，设出直线的方程，求出A ，B ，然后求出AOB ∆面积，利用基本不等式求出的最小值及此时直线的方程．【详解】（1）证明：直线方程为()()221340m x m y m -++++=，可化为()()24230x y m x y +++-++=，对任意m 都成立，所以230240x y x y -++=⎧⎨++=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，所以直线恒过定点()1,2--； （2）解：点()3,4Q 到直线的距离最大，可知点Q 与定点()1,2P --的连线的距离就是所求最大值，=423312PQ k +==+， ()()221340m x m y m -++++=的斜率为23-， 可得22321m m --=-+，解得47=m . （3）解：若直线分别与x 轴，y 轴的负半轴交于,A B 两点，直线方程为()21y k x +=+，k 0<，则21,0A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,2B k -，()121221212224222AOB k S k k k k k -⎛⎫⎛⎫=--=--=++≥+= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭△，当且仅当2k =-时取等号，面积的最小值为4.此时直线的方程240x y ++=.。
新教材高中数学直线的交点坐标与距离公式：两条直线的交点坐标pptx课件新人教A版选择性必修第一册
＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系是________．
l1∥l2
[方程组无解，则l1与l2无公共点，从而l1∥l2．]
3．直线l1 ：4x－y＋3＝0与直线l2 ：3x＋12y－11＝0的位置关系是
l1⊥l2
________．
l1⊥l2
[由4×3＋(－1)×12＝0得l1⊥l2．]
15x＋5y＋16＝0
的直线方程为_________________．
2
因此l1与l2的斜率相等，但截距不相等，所以它们平行．
(2)l1：x－2y＋1＝0，l2：x＋2y＋5＝0．
[解]
− 2 + 1 = 0，
解方程组ቊ
可得x＝－3，y＝－1，
+ 2 + 5 = 0，
因此，l1与l2相交，而且交点坐标为(－3，－1)．
类型3 直线系过定点问题
【例3】 (1)直线mx－3y＋2m＋3＝0，当m变动时，所有直线都经
l1
l2
设这两条直线的交点为P，则点P既在直线__上，也在直线__上．所
以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的
1 + 1 + 1 = 0，
方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组 ቊ + + = 0
2
2
2
的解．
知识点2 两直线的位置关系和方程组解的个数的关系
第二章
直线和圆的方程
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.1 两条直线的交点坐标
1．会用解方程的方法求两条相交直线的交点坐标．(数学
学习 运算)
任务 2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．(数学
高三数学直线的交点坐标与距离公式
• 当 F 与 B 重合时， F 点坐标为 (2,0) ，由①式
得k＝－2＋
• 当k∈[－2＋ 大值为f(－2＋
，0]时，f(k)递减，f(k)的最 )＝32－16 ；
• 当k∈[－1，－2＋
－ • 在 [－ 2<f(－2＋ ]上递减； ，－2＋
• 2．点到直线距离公式
• 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
为： • 3．两平行线间的距离公式 • 已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：
• 1．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与直线y ＝x＋m平行，则|AB|的值为( )
•
A． 6 D．不能确定
B.
C．2
•
)时，可证f(k)在[－1，
)上递增，f(－1)＝ .
)＝32－16
【分析点评】
• 本题对直线方程，两点间的距离公式和分段 函数问题进行了综合考查，在考查
• 直线方程时是以折叠为背景，实质是考查对 称问题．
• (1)点与点关于点对称，图形与图形关于点对 称，主要利用中点坐标公式解决． • (2)图形与图形对称问题可转化为点与点对称 解决，对于点与点关于直线x＝0，
B2y＋C2＝0的交点：
• 1．可通过解方程组 若方程组有唯一解，则l1与l2相 • 交；若方程组无解，则直线 l ∥l ；若方 求得，
• 【例 1】 直线 l 被两条直线 l1 ： 4x ＋ y ＋ 3 ＝ 0
和 l2 ： 3x － 5y － 5 ＝ 0 截得的线段的中点为
P(－1,2)，求直线l的方程． • 解 答 ： 解 法 一 ： 设 直 线 l 与 l1 的 交点为 A(x0 ， y0) ，由已知条件，则直线 l 与 l2 的交
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解:(1)方程组
2x-y-7=0,
3x+2y-7=0.的解为 x=3,
2
22
即x 2y 2 0
答案:B
12.(上海高考)直线y=x关于直线x=1对称的直线方程是 ___________________.
x+2y-2=0
解析 : 如图所示,Q y 1 x的斜率为 1 ,
2
2
所求直线l的斜率k
1 2
.由y x
1 2
1,
x
得交点(1, 1),该点应在l上,故l的方程为y 1 1 (x 1),
解:∵点P在直线l上, ∴可设P(a,2-4a). 又A(4,-3)､B(2,-1), ∴由|PA|=|PB|可得 (a-4)2+(5-4a)2=(a-2)2+(3-4a)2,
解得a 7 . P(7 , 18). 5 55
易错探究
例4:当实数m为何值时,三条直线l1:3x+my-1=0,l2:3x-2y5=0,l3:6x+y-5=0不能围成三角形. 错解:当三条直线两两相交,且过同一点时,不能构成三角形, ∴当l2,l3相交于一点时,由 3x-2y-5=0,
4.已知△ABC的顶点A(2,3)､B(-1,0),C(2,0)则△ABC的周长 是( )
A.2 3 B.3 2 3 C.6 3 2 D.6 10 解析 : AB (1 2)2 (0 3)2 3 2. | BC | 3,| AC | (2 2)2 (0 3)2 3. VABC的周长为6 3 2.
| AB | (1 2)2 (2 0)2 5, | PQ | (0 1)2 (3 1)2 5, | MN ||1 4 | 5.
∵|AB|+|PQ|=
<5=|MN|,
∴线段AB,PQ,M2N不5 能围成一个三角形.
规律技巧:三条线段构成三角形的条件是:任两条线段之和大 于第三条线段,任两条线段之差小于第三条线段. 变式训练2:已知点A(1,2),B(3,4),C(5,0),求证:△ABC是等腰 三角形.
解:(1)当m=1且n≠7时,l1平行于x轴; (2)7x-y+15=0化为斜截式:y=7x+15, ∴k2=7,b=15,当l1∥l2时,应有k1=7且b1≠15即m-1=7且n+7≠15,∴m=8,n≠-8; (3)当(m-1)\57=-1,即 m 6 , n∈R时,l1⊥l2.
7
10.已知四边形ABCD的顶点A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0),试 判断其形状.
∴k2=36,即k=±3 6.
3
答案:C
7.甲船在某港口的东50 km,北30 km处,乙船在同一港口的东 14 km,南18 km处,那么甲､乙两船的距离是__6_0_k_m___.
解析:以港口为坐标原点建立直角坐标系.则甲船位置为 (50,30),乙船的位置为(14,-18),甲､乙两船的距离为
2.两点间距离公式的推导 两点间的距离公式的推导要依靠数轴上两点的距离的求法, 因而在推导任意两点间距离公式之前,应熟悉下面两种情况:
(1)直线P1P2平行于x轴时,|P1P2|=|x2-x1|; (2)直线P1P2平行于y轴时,|P1P2|=|y2-y1|. 在此基础上,运用勾股定理就很容易得出平面上任意两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式:|P1P2|=
解:解方程组
2x+3y+8=0,
x-y-1=0,得 x=-1,
y=-2.
∴两条直线2x+3y+8=0和x-y-1=0的交点坐标为(-1,-2).
又直线l经过原点,
∴直线l的方程为 即2x-y=0.
y0 x0 , 2 0 1 0
题型二 两点间距离公式的应用
例2:已知点A(1,2),B(2,0),P(0,3),Q(-1,1),M(1,0),N(-4,0),线 段AB,PQ,MN能围成一个三角形吗?为什么? 解:不能. 由两点间距离公式,有
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 .
3.用解析法证几何题的注意事项 (1)用解析法证明几何题时,首先要根据题设条件建立适当的 直角坐标系,然后根据题中所给的条件,设出已知点的坐标. (2)再根据题设条件及几何性质推出未知点的坐标. (3)另外,在证题过程中要不失一般性.
题型一 两直线的交点的求法及应用
(3,-1).
y=-1,因此直线l1和l2相交,交点坐标为
(2)方程组 2x-6y+4=0,
4x-12y+8=0.有无数组解,这表明直线l1和l2重合.
(3)方程组 l1∥l2.
4x+2y+4=0, 2x+y-3=0.无解,这表明直线l1和l2没有公共点,故
规律技巧:求两直线的交点,就是解由两条直线方程组成的方 程组,若方程组有一解,则两直线相交;若方程组无解,则两直线 平行;若方程组有无数组解,则两直线重合. 变式训练1:直线l经过原点,且经过另两条直线2x+3y+8=0和 x-y-1=0的交点,求直线l的方程.
解 :Q
k AB
35 4 2
1 3
,
kCD
30 63
1, 3
k AD
30 4 3
3,
由kAB kCD得AB / /CD,由kAB gkAD 1,
得AD AB.又 AB (5 3)2 (2 4)2 2 10,
| CD | (6 3)2 32 3 10,即 AB CD . 四边形ABCD为直角梯形.
§3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离
1.了解两条直线的交点是由它们对应的方程组的解来确定的; 会根据方程组的解的个数来判断两直线的位置关系. 2.能利用两条直线交点的概念解决某些应用问题. 3.掌握平面上任意两点间的距离公式应用它处理相关的数学 问题.
6x+y-5=0, 得l2与l3的交点(1,-1).将交点(1,-1)代入l1的方程,得3×1-m1=0,∴m=2. ∴当m=2时,三线共点,不能围成三角形.
错因分析:错因是由于思维不严密造成的,一般容易想到三直 线共点而忽视了三条直线任两条平行或重合时也不能围成三 角形这个条件.
正解:当三条直线交于一点或其中有两条互相平行时,它们不 能围成三角形. 由 3x-2y-5=0,
5
即所求点P为( 9 , 0)且 | PA | ( 9 3)2 (0 4)2 2 109 .
5
5
5
(2)题意得 MN (x 2)2 (4 3)2 7 2,平方得x2 4x 45 0,
解得x1 9或x2 5,故所求x值为9或 5.
变式训练3:已知A(4,-3)､B(2,-1)和直线l:4x+y-2=0,求点P使 |PA|=|PB|,且点P在直线l上.
答案:C
3.已知点M(-1,3),N(5,1),P(x,y)到M､N的距离相等,则x,y满足
的条件是( )
A.x+3y-8=0
B.x-3y+8=0
C.x-3y+9=0
D.3x-y-4=0
解析:由|PM|=|PN|,得(x+1)2+(y-3)2=(x-5)2+(y-1)2,化简得3xy-4=0.
答案:D
证明:由两点间距离公式可得:
| AB | (4 2)2 (3 1)2 2 2, | BC | (5 3)2 (0 4)2 2 5, | AC | (5 1)2 (0 2)2 2 5,
∴|AC|=|BC|, 又∵A､B､C三点不共线, ∴△ABC是等腰三角形.
题型三 综合问题
例3:(1)已知点A(-3,4),B(2, 3 ),在x轴上找一点P,使
时|距P1|离PP12公P|=2式_|=_.____||y__x2__2--_y_x_1_1|_|_______;.若显y然1=,上y2述,则两P种1P情2与形y轴都垂适直合,两此点时间的
1.关于两条直线相交的判定
(1)解两直线的方程组成的方程组,若只有一个公共解,则两 直线相交. (2)在两直线的斜率都存在的条件下,若斜率不等,则两直线 相交.
答案:C
5.直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0(k∈R)所经过的定点是( )
A.(5,2)
C.(- 1 ,3)
2
B.(2,3) D.(5,9)
解析:将含有待定系数的项放在一起,不含有待定系数的项 放在一起,可得
k(2x-y-1)-(x+3y-11)=0. ∴直线经过2x-y-1=0和x+3y-11=0的交点. 解得x=2,
6x+y-5=0,解得 x=1. y=-1.
将x=1,y=-1代入l1方程中,得m=2. ∴当m=2时三条直线共点.
又m=-2时,l1∥l2; 又m=时,l1∥l3. ∴当m=±2或m=时,l1,l2和l3不能围成三角形.
基ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ强化
1.直线3x+5y-1=0与4x+3y-5=0的交点是( )
A.(-2,1)
y=3.
答案:B
6.两条直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上,那么k的 值是( ) A.-24 B.6 C.±6 D.不同于A､B､C的答案
解析:两直线的交点在y轴上,可设交点的坐标为(0,y0),
则有3y0-k=0,
①
-ky0+12=0.
②