高一数学必修二《直线的交点坐标与距离公式》
第二节直线的交点坐标与距离公式
第二节直线的交点坐标与距离公式直线的交点坐标与距离公式是平面解析几何中非常基础的内容。
它们可以帮助我们确定两条直线的交点坐标以及一个点到直线的距离，是解决许多几何问题的重要工具。
在本篇文章中，我将详细介绍直线的交点坐标与距离公式。
一、直线的交点坐标公式假设有两条直线L1和L2，分别表示为:L1:y=m1x+c1L2:y=m2x+c2其中m1、m2分别是L1和L2的斜率，c1、c2分别是L1和L2的截距。
我们可以通过解以上两个方程组来求解直线L1和L2的交点的坐标(x0,y0)。
解法一：代入法将L1的方程代入L2的方程中，得到：y=m2x+c2m1x+c1=m2x+c2整理得到：x=(c1-c2)/(m2-m1)将x的值带入L1或L2的方程中，即可得到y的值。
根据这个方法，我们可以求得两条直线的交点坐标。
解法二：消元法将L1和L2的方程相减，可以消去y，得到：m1x+c1-(m2x+c2)=0整理得到：(m1-m2)x+(c1-c2)=0解方程可以得知：x=(c2-c1)/(m1-m2)将x的值带入L1或L2的方程中，即可得到y的值。
通过以上两种解法，我们可以求得直线L1和L2的交点的坐标(x0,y0)。
二、点到直线的距离公式同时，我们也可以通过公式求解一个点P(x1,y1)到直线L1: y = mx+ c的距离。
有一种基本的方法是绘制垂线。
首先，我们可以找到点P到直线L1的垂线的方程，将其表示为L2、L2的斜率是m的相反数(-1/m)，并且通过点P(x1,y1)。
垂线L2的方程为：L2:y=(-1/m)x+(y1+x1/m)我们可以通过求解L1和L2的交点坐标来确定点P到直线L1的距离。
交点的坐标为(x0,y0)。
距离点P到直线L1的距离利用勾股定理可以得到：d=√((x0-x1)²+(y0-y1)²)将交点的坐标(x0,y0)带入上式即可求得点P到直线L1的距离。
总结：直线的交点坐标与距离公式是解析几何中重要的工具。
高中数学-直线的交点坐标与距离公式
解:(1)方程组
2x-y-7=0,
3x+2y-7=0.的解为 x=3,
2
22
即x 2y 2 0
答案:B
12.(上海高考)直线y=x关于直线x=1对称的直线方程是 ___________________.
x+2y-2=0
解析 : 如图所示,Q y 1 x的斜率为 1 ,
2
2
所求直线l的斜率k
1 2
.由y x
1 2
1,
x
得交点(1, 1),该点应在l上,故l的方程为y 1 1 (x 1),
解:∵点P在直线l上, ∴可设P(a,2-4a). 又A(4,-3)､B(2,-1), ∴由|PA|=|PB|可得 (a-4)2+(5-4a)2=(a-2)2+(3-4a)2,
解得a 7 . P(7 , 18). 5 55
易错探究
例4:当实数m为何值时,三条直线l1:3x+my-1=0,l2:3x-2y5=0,l3:6x+y-5=0不能围成三角形. 错解:当三条直线两两相交,且过同一点时,不能构成三角形, ∴当l2,l3相交于一点时,由 3x-2y-5=0,
4.已知△ABC的顶点A(2,3)､B(-1,0),C(2,0)则△ABC的周长 是( )
A.2 3 B.3 2 3 C.6 3 2 D.6 10 解析 : AB (1 2)2 (0 3)2 3 2. | BC | 3,| AC | (2 2)2 (0 3)2 3. VABC的周长为6 3 2.
人教课标版高中数学必修二《直线的交点坐标与距离公式》教案-新版
直线的交点坐标与距离公式一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，学会通过直线方程把握直线上的点，用代数方法研究直线上的点，学会对直线进行代数研究，掌握简单的坐标法思想，学会用代数方法解决简单的几何问题，体会数形结合这种解析几何最核心的思想方法． （二）学习目标1．能用解方程组的方法求两直线交点坐标，会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系． 2．探索并掌握两点间的距离公式并会简单应用，了解坐标法处理几何问题的基本步骤． （三）学习重点1．利用解方程组的方法求两直线交点坐标，及过两直线交点的直线系方程． 2．两点间距离公式的证明与应用． （四）学习难点1．掌握过两直线交点的直线系方程． 2．两点间距离公式的应用．3．解析几何问题中数形结合思想的应用． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第102页至第106页，填空：用代数方法求两条直线的交点坐标，只需写出这两条直线的方程，然后 联立求解 ．联立两直线方程：11122200A x B y C A x B y C ì++=ïí++=ïî，若方程组有唯一解，则两条直线 相交 ，此解就是 交点 的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线 平行 ；若方程组中两方程可以化为同一个方程，，此时两条直线 重合 ．平面上两点111222(,),(,)P x y P x y平面上点(,)P x y 到原点(0,0) 平行四边形的四条边的平方和等于 两条对角线的平方和 ．用解析法处理平面几何问题的基本步骤可以概括为：2．预习自测1.直线12:0,:20l x y l x y -=+-=的交点坐标为（ ） A ．(0,1) B ．(1,0) C ． (1,1) D ．(1,1)-- 答案：C ．解析：【知识点】直线交点． 【解题过程】联立求解． 点拨：联立求解．2.直线12:10,:2220l x y l x y --=--=的位置关系为（ ） A ．相交 B ．平 C ．重合 D ．不确定 答案：C ．解析：【知识点】直线位置关系． 【解题过程】直线方程相同，直线重合． 点拨：直线方程相同．3.两点(1,1),(3,4)-间的距离为（ ） A ．5 B ．C ．3D．答案：A ．解析：【知识点】两点间距离公式．【解题过程】利用两点间距离公式直接求解． 点拨：利用两点间距离公式直接求解． (二)课堂设计 1．问题探究探究一 结合联立直线方程，认清几何与代数间的联系，体验坐标法的思想★ ●活动① 认清二元一次方程组的解及其几何意义看下表，并填空：【设计意图】通过对二元一次方程组的认识，体会直线方程的解为直线上的点（坐标形式），所以两条直线方程所组成的方程组的解即为两条直线的交点坐标．●活动② 分类讨论，理清直线位置关系研究方程组：11122200A x B y C A x B y C ì++=ïí++=ïî的解的个数，解的个数不同对应着直线的不同的位置关系．若方程组没有解，说明两条直线没有交点，则这两条直线平行； 若方程组有唯一解，说明两条直线有唯一交点，则这两条直线相交；若方程组无数解，此时两个方程为同一方程，则这两条直线为同一直线，则这两条直线重合． 【设计意图】分类讨论，从方程的角度再次清楚认识直线间关系．●活动③拓展直线交点问题，研究过已知两直线交点的直线系方程判断直线12:3420,:220l x y l x y +-=++=的位置关系． 两条直线相交，交点为(2,2)-．拓展：当l 变化时，方程342(22)0x y x y l +-+++=表示什么图形？该图形有何特点？ 表示直线，且过定点(2,2)-． 该直线有可能恰好是12,l l 吗？ 可以表示1l ，不能表示2l ． 那你可以得到更一般的结论么？结论：若直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=相交，交点为P ，则过点P 的直线系为：111222()0A x B y C A x B y C l +++++=（2l 除外）．【设计意图】由特殊到一般，认识过定点的直线的方程的共有形式． 探究二 初步认识坐标法，探索两点间距离公式 ●活动① 从特殊到一般、分类讨论研究两点间距离平面上两点111222(,),(,)P x y P x y 间的距离：（1）若12||PP x 轴（即12y y =时），两点12,P P 间的距离为多少呢？ 1212PP x x =-．（2）若12PP y 轴（即12x x =时），两点12,P P 间的距离为多少呢？1212PP y y =-．（3）那一般情况下，两点12,P P 间的距离为多少呢？过12,P P 两点，分别做x 轴，y 轴的垂线，得到垂线的交点为,A B ，则为矩形12P AP B 的对角线，矩形的边长分别为1212,x x y y --，由勾股定理，所以；（4）点(,)P x y 到原点的距离为d ．【设计意图】通过从特殊到一般，不仅要掌握两点间距离公式的一般形式，还应掌握一些特殊形式．●活动② 温故知新，体会向量方法在解析几何中的应用呢？（讨论） （向量方法）122121(,)PP x x y y =--(PP x =【设计意图】初步体会向量方法在解析几何中的应用．探究三 平面几何问题坐标化，利用数形结合处理平面几何问题★▲ ●活动① 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．为将此问题进行坐标化处理，应该如何建立坐标系呢？又该如何处理各点的坐标呢？建立如图所示的坐标系，利用平行四边形的性质设出各点坐标，则四边平方和为222222222()AB AD a b c +=++，由两点间距离公式，得对角线的平方和为222222()()AC BD a b c a b c +=+++-+，所以平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．【设计意图】对两点间距离公式进行简单应用，体会坐标法给证明带来的简洁思路，并让学生体会解析法处理平面几何问题的一般步骤． ●活动② 互动交流、一问多解在向量的学习中，我们学习过平行四边形法则，是否可以用向量方法完成活动①中的证明呢？由平行四边形法则可知AB AD AC +=，平方2222AB AD AB AD AC ++=，AB AD DB -=，平方2222AB AD AB AD DB +-=，将两式相加可得，222222AB AD DB AC +=+，进而命题得证．【设计意图】通过一问多解，拓展学生思维，体会向量方法在平几问题中的强大作用，达到温故而知新的目的． 探究四 师生共研，巩固提升●活动① 巩固基础，检查反馈例1 已知三条直线280,4310,210ax y x y x y ++=+=-=交于一点，则a 的值为（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．-2【知识点】联立方程组求直线交点． 【数学思想】【解题过程】联立4310210x y x y ì+=ïí-=ïî得交点为(4,2)-，代入280ax y ++=，解得1a =-．【思路点拨】方程组的解即为交点坐标．【答案】B ．同类训练 对任意的实数l ，直线2(22)0y x y l -+++=恒过定点 ． 【知识点】恒过已知两直线交点的直线系． 【数学思想】方程的观点处理几何问题．【解题过程】联立20220y x y ì-=ïí++=ïî，可得定点(2,2)-．【思路点拨】用方程的观点处理直线过定点问题． 【答案】(2,2)-．例2 求经过直线240,50x y x y -+=-+=的交点，且垂直于直线20x y -=的直线方程为（ ） A ．280x y +-=B ．280x y --=C ．280x y ++=D ．280x y -+=【知识点】直线方程的综合应用． 【数学思想】整体处理．【解题过程】法一、联立直线方程可得交点坐标为(1,6)，所求直线方程可设为20x y m ++=，将(1,6)代入可得8m =-；法二、将直线方程设为24(5)0x y x y l -++-+=，直线斜率221k λλ+=-=+，可得43λ=-，代入化简直线方程为280x y +-=． 【思路点拨】可先整体处理设直线方程可规避解方程组．【答案】A ．同类训练 求经过直线240,50x y x y -+=-+=的交点，且过原点的直线方程为（ ） A ．20x y += B ．20x y -=C ．60x y +=D ．60x y -=【知识点】过两直线交点的直线系方程． 【数学思想】整体处理．【解题过程】将直线方程设为24(5)0x y x y l -++-+=，将原点坐标代入，可得45λ=-，代入化简直线方程为60x y -=． 【思路点拨】整体设置直线方程． 【答案】C ．【设计意图】巩固训练．●活动② 强化提升、灵活应用例3 已知两点(1,1),A B -（2,3），在x 轴上求一点P ，（1）使得PB PA +最小； （2）使得PB PA -最大． 【知识点】对称点的坐标的求解，三角形的基本性质，两点间距离公式． 【数学思想】数形结合．【解题过程】点(1,1)A -关于x 轴的对称点为'(1,1)A --，连接'A B ，在三角形'A BP 中，三边基本关系，''PA PB A B +≥,即'PA PB A B +≥，（当三点',,A P B 共线时取等），所以PB PA +的5=，此时P 的坐标为1(,0)4P -；连接BA 并延长x 轴交于点0P ，在三角形ABP 中，三边基本关系，PB PA AB -≤,（当三点,,A P B共线时取等），所以PB PA -的最大值为=，此时P 的坐标为( 2.5,0)P -．【思路点拨】通过对称将距离的最值问题转化为共线问题，再利用两点间距离公式求得最值． 【答案】（1）1(,0)4P -；（2）( 2.5,0)P -．同类训练 已知两点(1,0),(1,3)A B -，在直线y x =上求一点P ，使得PB PA +最小，并求出此时的坐标P ．，11(,)33P ．解析：【知识点】对称点的求解，两点间距离公式，两点间直线距离最短原理． 【数学思想】数形结合．【解题过程】点(1,0)A -关于直线y x =的对称点为'(0,1)A -，，当三点'A PB 共线时取得，此时直线'A B 的方程为41y x =-，联立41y x y x =-⎧⎨=⎩，可得11(,)33P ．点拨：利用对称转化为两点间距离的问题．【设计意图】直线交点与两点间距离公式的综合应用． 3. 课堂总结 知识梳理（1）联立两直线方程：1112220A x B y C A x B y C ì++=ïí++=ïî，若方程组有唯一解，此解就是交点的坐标；（2）平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ．（3）平面上点(,)P x y 到原点(0,0) 重难点归纳（1）将平面几何问题坐标化，并能用本课所学处理简单的平几问题． （2）在求解距离和最值的问题上，要注意利用对称变换将问题进行转化．（三）课后作业 基础型 自主突破1．直线3y x =+与直线2y x =的交点坐标为_________. 答案：(3,6)．解析：【知识点】直线的交点坐标． 【数学思想】方程的思想【解题过程】联立方程解方程组得(3,6)． 点拨：联立方程．2．两点(2,3),(1,)a 间距离的最小值为_______. 答案：1．解析：【知识点】两点间距离公式． 【数学思想】函数思想【解题过程】2222(21)(3)(3)1d a a =-+-=-+，所以距离的最小值为1． 点拨：求二次函数的最值．3．点,A B 分别在坐标轴上，若AB 的中点坐标为(1,1)答案：解析：【知识点】中点坐标公式与两点间距离公式． 【数学思想】方程思想．【解题过程】设(,0),(0,)A x B y ，则1,122x y==，所以(2,0),(0,2)A B ，可得AB =． 点拨：利用中点坐标公式求出,A B 坐标，再利用距离公式求解．4．若两条直线2,y x y x m =-=-+的交点在第一象限，则实数m 的取值范围为_______． 答案：2m >．解析：【知识点】直线交点． 【数学思想】方程思想．【解题过程】联立方程，直线的交点坐标为22(,)22m m+-，在第一象限2222mm+⎧>⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩，解得2m>．点拨：联立方程求交点．5．已知平行四边形ABCD的两组对边分别长1,2，若对角线3AC=，则BD=________．答案：1．解析：【知识点】平行四边形四边长与对角线长关系．【解题过程】有平行四边形性质可得222222112210AC BD+=+++=，所以1BD=．点拨：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．6．已知三条直线2380,10,0x y x y x ky++=--=+=交于一点，则k=________．答案：12k=-．解析：【知识点】直线交点．【数学思想】方程思想．【解题过程】联立238010x yx y++=⎧⎨--=⎩可得交点为(1,2)--，代入0x ky+=，可得12k=-．点拨：联立解方程然后代入求解．能力型师生共研7．()f x=）A．1 B．2C．D．4答案：C．解析：【知识点】两点间距离公式．【数学思想】数形结合．【解题过程】()f x=，所以()f x的几何意义为(,0)x到点(1,1),(1,1)--的距离之和，由数形结合可得()f x=．点拨：将问题转化为几何问题，利用两点间直线距离最短求得．8．点(cos ,sin ),(1,2)θθ之间距离的最小值为_______．1-．解析：【知识点】两点间距离公式．【数学思想】函数思想．【解题过程】d ===所以d 的最小值为1d ==-．点拨：将问题转化为三角函数的最值问题．探究型 多维突破9．求过直线20,60x y x y -=+-=的交点且与直线3x y =垂直的直线方程．答案：310y x =-+．解析：【知识点】直线交点．【数学思想】方程思想，待定系数．【解题过程】由于直线与直线3x y =垂直，所以它的斜率为3-，法一，直线20,60x y x y -=+-=的交点为(2,4)，由点斜式可得43(2)y x -=--，即310y x =-+；法二，设所求直线方程为2(6)0x y x y λ-++-=，它的斜率为231k λλ+==--，解得52λ=，代入化简得310y x =-+．点拨：可考虑整体设置方程，待定系数求解． 10．已知平行四边形的两条边所在直线方程为10,340x y x y +-=-+=，且它的对角线的交点是(3,3)M ，求这个平行四边形的其他两边所在直线的方程．答案：:3160BC x y --=，:110CD x y +-=．解析：【知识点】直线交点，直线方程．【数学思想】方程思想．【解题过程】如图，联立10,340x y x y +-=-+=，求得37(,)44A -，又由M 为AC 中点，由中点坐标公式解得2717(,)44C ，由平行关系可得1727:3()44BC y x -=-，化简得:3160BC x y --=，同理，可解得:110CD x y +-=．点拨：结合平行关系，利用斜率相等和交点求解．自助餐1．已知点(,5),(0,10)A a B -间的距离为17，则a 的值为_______．答案：8a =．解析：【知识点】两点间距离公式．17=，解得8a =．点拨：列式求解．2．经过两条直线30,230x y x y -+=+-=的交点，且过原点的直线方程为________． 答案：20x y +=．解析：【知识点】过两直线交点的直线系．【数学思想】待定系数．【解题过程】设所求直线方程3(23)0x y x y λ-+++-=，将原点坐标代入得1λ=，所求直线方程为20x y +=．点拨：整体设置直线，求解待定系数．3.经过两条直线23100,3420x y x y -+=+-=的交点，且垂直于直线3240x y -+=的直线方程为________．答案：2320x y +-=．解析：【知识点】直线间位置关系，直线交点．【数学思想】待定系数．【解题过程】设所求直线方程2310(342)0x y x y λ-+++-=，化简(23)(43)+10x λλ++- 20λ-=，由垂直关系可得3(23)2(43)0x λλ+--=，解得12λ=-，代入整理得直线2320x y +-=．点拨：整体设置直线，求解待定系数．4．点(1,1)P --到曲线1(0)xy x =>上任意一点距离的最小值为________．答案：解析：【知识点】两点间距离公式．【数学思想】不等式思想．【解题过程】在曲线上任意取点1(,)x x ，则d ==≥1x =时取得．点拨：列式，利用均值不等式求最值．5．已知,a b 为单位向量，则a b a b -++的最大值为__________．答案：解析：【知识点】平行四边形的四边平方和等于对角线的平方和．【数学思想】不等式．【解题过程】由向量的平行四边形法则和平行四边形的四边平方和等于对角线的平方和可知224a b a b -++=，由不等式,2a b a b +>≥，可得a b a b -++的最大值为． 点拨：由平行四边形的四边平方和等于对角线的平方和得到定值条件，再利用均值不等式求解．6．已知(0,1),(0,1)x y ∈∈，求证：≥． 答案：见解题过程．解析：【知识点】两点间距离公式．【数学思想】转化思想．【解题过程】如图所示，(,)P x y 为正方形内任意一点，由根式的几何意义可知，，所以问题转化为求证2PO PA PC PB +++≥，在三角形POB OB上取得，同理，在三角形PAC AC 上取得，所以当P 在,OB AC 交点处11(,)22时，PO PA PC PB +++取得最小值，所以≥． 点拨：利用根式的几何意义将问题转化为几何最值求解．。
2.3 直线的交点坐标与距离公式 2.3.1 两条直线的交点坐标
()
√A.－24
C.6
B.24 D.±6
【解析】 (2)设交点坐标为(a，0)，
则有2a＋a－12k＝＝00，，解得ak＝＝－－2142，，故选 A.
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题型二 过两条直线交点的直线系方程应用
例 2 求经过两直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y＋2＝0 的交点，且与直线 3x＋y －1＝0 平行的直线 l 的方程.
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(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；
【解析】 (2)解方程组x2＋x＋y＋2y2＋＝30＝①0，②， ①×2－②得 1＝0，矛盾. 由此可知方程组无解，因此直线 l1 与 l2 平行.
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(3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0. 【解析】 (3)解方程组x2－x－y＋2y1＋＝20＝①0，②， ①×2 得 2x－2y＋2＝0. 说明方程②是方程①的 2 倍，方程①的解都是方程②的解. 因此直线 l1 与 l2 重合.
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方法三：∵直线 l 过直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y＋2＝0 的交点， ∴可设直线 l 的方程为 2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0，即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ －3＝0. ∵直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行，
∴λ＋ 3 2＝λ1－3≠2λ－－1 3，解得 λ＝121.
A.2
B.3
C.4
√D.5
【解析】 (1)解方程组54xx－ ＋63yy－ ＋127＝＝00，，
得xy＝ ＝－ 1，2，
则直线 x＋by＋9＝0 经过点(1，－2)，
所以 1－2b＋9＝0，解得 b＝5，故选 D.
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(2)直线 2x＋3y－k＝0 和直线 x－ky＋12＝0 的交点在 x 轴上，则 k 的值为
直线的交点坐标与距离公式
合．
预习导学
2．过定点的直线系方程 已知直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 交于点 P(x0，y0)，则方程 A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)
过点P ＝0 表示__________ 的直线系，不包括直线 l2.
3．两点间的距离 平面上的两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式 x2－x12＋y2－y12 |P1P2|＝____________________________.
2 ∵直线过坐标原点，∴其斜率 k＝ ＝－1. －2 故直线方程为 y＝－x，即 x＋y＝0. 法二 ∵l2 不过原点，∴可设 l 的方程为 3x＋4y－2＋ λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，即(3＋2λ)x＋ (4＋λ)y＋2λ－2＝0.将 原点坐标(0,0)代入上式，得 λ＝1，∴直线 l 的方程为 5x＋ 5y＝0，即 x＋y＝0.
课堂讲义
跟踪演练3 已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对 角线为 AC和BD. 求证：|AC|＝|BD|.
证明 如图所示， 建立直角坐标系， 设 A(0,0)， B(a,0)， C(b， c)，则点 D 的坐标是(a－b，c)． ∴|AC|＝ b－02＋c－02＝ b2＋c2， |BD|＝ a－b－a2＋c－02＝ b2＋c2. 故|AC|＝|BD|.
(1)解 设点 M 的坐标为(x，y)，因为点 M 为 BC 的中点， 3＋1 －3＋7 所以 x＝ ＝2， y＝ ＝2， 即点 M 的坐标为(2,2)． 由 2 2 两点间的距离公式得|AM|＝ －3－22＋1－22＝ 26，所 以 BC 边上的中线 AM 的长为 26.
课堂讲义
(2)证明 根据题意可得， |AB|＝ －3－32＋1＋32＝2 13， |BC|＝ 1－32＋7＋32＝2 26， |AC|＝ －3－12＋1－72＝2 13， 所以|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2， 所以△ABC 为等腰直角三角形．
直线的交点坐标与距离公式
直线的交点坐标与距离公式在平面几何中，直线是直角坐标系中的基本图形之一、直线的交点坐标和距离公式在解决直线的相关问题时非常有用。
接下来，我将详细介绍直线的交点坐标和距离公式。
1.直线的交点坐标公式：设直线L1的方程为y=k1x+b1，直线L2的方程为y=k2x+b2、若L1和L2有交点，则交点的坐标(x0,y0)满足以下等式：k1x0+b1=k2x0+b2解上述等式可以得到交点的横坐标x0。
将x0带入其中一个直线的方程，可以求得交点的纵坐标y0。
如果两条直线平行，则它们没有交点。
2.直线的距离公式：设点P到直线L的距离为d。
L的一般方程为Ax+By+C=0。
点P的坐标为(x0,y0)。
则点P到直线L的距离d可以由以下公式计算：d=，Ax0+By0+C，/√(A^2+B^2)以上就是直线的交点坐标和距离公式的基本内容。
下面我们将通过具体的例子来进一步理解和应用这些公式。
例1：求直线y=2x+3和y=-x+4的交点坐标。
解：将两个方程相等，得到：2x+3=-x+43x=1x=1/3将x=1/3带入其中一个方程，可以求得y的值：y=2*(1/3)+3=7/3因此，这两条直线的交点坐标为(1/3,7/3)。
例2：求点(1,-2)到直线3x-4y+5=0的距离。
解：由于A=3，B=-4，C=5，将这些值代入距离公式中，可以得到：d=，3*1-4*(-2)+5，/√(3^2+(-4)^2)=，3+8+5，/√(9+16)=16/√25=16/5因此，点(1,-2)到直线3x-4y+5=0的距离为16/5通过以上两个例子，我们可以看到直线的交点坐标和距离公式在解决直线相关问题时的重要性。
它们能够帮助我们简单、快速地求解直线的交点和距离，为我们的几何计算提供便利。
除了直线的交点坐标和距离公式，还有其他的直线相关的公式和定理，如直线的斜率公式、两直线垂直的判定等等。
通过深入学习和理解这些公式和定理，我们将能够更好地应用它们解决各种几何问题，提高我们的数学能力。
直线的交点坐标与距离公式
直线的交点坐标与距离公式首先，我们来看两条直线的交点坐标公式。
假设有两条直线L1和L2，它们的方程分别是：L1: ax + by = cL2: dx + ey = f其中a、b、c、d、e、f为已知常数，x和y为未知变量。
为了求解L1和L2的交点坐标(x0,y0)，我们可以通过以下步骤进行计算：1.将L1和L2的方程联立，得到以下方程组：ax + by = cdx + ey = f2.使用消元法或代入法解方程组，求解出x和y的值。
-对于消元法，我们可以通过消去x或y来求解另一个变量。
例如，可以通过将L1的方程乘以e，将L2的方程乘以b，然后将它们相减，得到可解的方程。
-对于代入法，我们可以先求解出一个变量，然后将它代入到另一个方程中求解另一个变量。
3.将求解得到的x和y的值代入L1或L2中，验证它们是否满足直线的方程。
通过上述步骤，我们可以求解出直线L1和L2的交点坐标(x0,y0)。
接下来，我们来看点到直线的距离公式。
假设有一条直线L，它的方程为：L: ax + by + c = 0其中a、b、c为已知常数，x和y为未知变量。
设点P的坐标为(x1,y1)，我们希望求出点P到直线L的距离d。
为了求解点到直线的距离d = ，ax1 + by1 + c，/ √(a^2 + b^2)使用上述公式，我们可以按照以下步骤来计算点到直线的距离：1. 将点P的坐标代入直线L的方程，计算得到ax1 + by1 + c的值。
2.将步骤1中计算得到的值代入到距离公式中，计算得到点P到直线L的距离d。
通过上述步骤，我们可以求解出点P到直线L的距离d。
总结起来，直线的交点坐标与距离公式是数学和几何问题求解的基本工具。
对于直线的交点坐标，我们通过联立直线的方程，并使用消元法或代入法来求解变量的值，从而得到交点的坐标。
对于点到直线的距离，我们使用距离公式，将点的坐标代入直线的方程，并进行运算，最后得到点到直线的距离。
这两个公式广泛应用于解决直线相关的几何和数学问题，例如计算两条直线的交点、判断点是否在直线上以及计算点到直线的最短距离等。
【高中数学必修二】3.3直线的交点坐标与距离公式(1)
第一课时
已知两条直线 l1 : A1 x B1 y C1 0 l2 : A2 x B2 y C2 0 相交, 如何求这两条直线交点 的坐标?
讨论下列二元一次方程组解的情况:
x y 1 0 1 x y 1 0
x y 1 0 2 x y 1 0
x y 1 0
7 x 2 y 5 2
即：
, 故直线恒过 7 5 2 2
例3.求证：无论m取何实数时，直线 (m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点， 并求出定点的坐标。
解法2： 令m=1，m= -3代入方程，得：
4 y 10 0 4x 14 0
一组解 x0 y 1 无数组 无解
相交
(0,1)
重合 平行
x y 1 0 3 x y 1 0
几何元素及关系
代数表示
点A
直线 l
A(a, b)
l : Ax By C 0
点 A在直线 l上
Aa Bb C 0
A a B b C 0 A x B y C 0 1 1 1 1 1 1 直线 l1与直线 l2的交点 A A a B B b C2 0 0 2x A 2 22y C2
x 2 y 4 ( x y 2) 0
(1 ) x ( 2) y (4 2 ) 0
31 4 2 0 11
所以直线的方程为： 4x 3 y 6 0
例2: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点， 且满足下列条件的直线l的方程。 (3)和直线2x-y+6=0平行
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3.3 直线的交点坐标与距离公式
3.3.1 两条直线的交点坐标
3.3.2 两点间的距离
1．直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是
( )
A ．(4,1)
B ．(1,4) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，43 答案 C
解析 由方程组⎩⎨
⎧
x ＋2y －2＝0，2x ＋y －3＝0，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝43，y ＝1
3.
即直线x ＋2y －2＝0与直线
2x ＋y －3＝0的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫
43，13.
2．已知M (2,1)，N (－1,5)，则|MN |等于 ( )
A ．5 B.37 C.13 D ．4
答案 A
解析 |MN |＝(2＋1)2＋(1－5)2＝5.
3．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是
( )
A ．2x ＋y －8＝0
B ．2x －y －8＝0
C ．2x ＋y ＋8＝0
D ．2x －y ＋8＝0
答案 A
解析 首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0.
4．已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0，若l 1与l 2相交，则实数a 满足的条件是________． 答案 a ≠2
解析 l 1与l 2相交则有：a 4≠3
6，∴a ≠2.
5．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于________． 答案 2 5
解析 设A (x,0)，B (0，y )，∵AB 中点P (2，－1)， ∴x 2＝2，y
2＝－1，
∴x ＝4，y ＝－2，即A (4,0)，B (0，－2)， ∴|AB |＝42＋22＝2 5.
1．方程组⎩⎨⎧
A 1x ＋
B 1y ＋
C 1＝0
A 2x ＋
B 2y ＋
C 2＝0有唯一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.亦即两条直
线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝ 0(λ∈R )是过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线(不含l 2)．
2．解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法．
3．两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想.。