河北省定兴第三中学15—16学年高二3月月考数学(文)试题(附答案)

2015-2016学年第二学期3月月考高二文科数学试卷（考试时间：120分钟；分值：150分）第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知复数z 的实部为－1，虚部为2，则2－iz (i 为虚部单位)在复平面内对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．命题：“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( ) A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1 B ．若－1<x <1，则x 2<1 C ．若x >1或x <－1，则x 2>1 D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1 3．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21 4．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归直线方程 y ^＝0.67x ＋54.9.表中一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为( )A ．5．在极坐标系中，过点⎝⎛⎭⎫2，π2且与极轴平行的直线方程是( ) A ．ρ＝2 B ．θ＝π2C ．ρcos θ＝2D ．ρsin θ＝26．若命题“存在x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m －3<0”为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[－6,2]C ．(2,6)D ．(－6，－2)7．已知直线l 的参数方程为122t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数)，则其直角坐标方程为( )A.3x ＋y ＋2－3＝0B.3x －y ＋2－3＝0C ．x －3y ＋2－3＝0D ．x ＋3y ＋2－3＝08．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p 且q ；②p 或q ；③p 且(非q )；④(非p )或q 中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④9．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为3x －y ＋1＝0，则( )A ．f ′(x 0)<0B ．f ′(x 0)>0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在10．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线y 25－x 24＝1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是( )A ．x 2＝4yB ．x 2＝－4yC ．y 2＝－12xD ．x 2＝±12y11．在R 上可导的函数f (x )的图像如图所示，则关于x 的不等式x ·f ′(x )>0的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0,1) B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－2，－1)∪(1,2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 12．如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把最简答案填在答题卡横线上） 13. 在极坐标系中，ρ＝4sin θ是圆的极坐标方程，则点A (4，π6)到圆心C 的距离是________．14．1F 、2F 是双曲线2211620x y -=的焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点1F 的距离等于9，则点P 到焦点2F 的距离等于________.15．直线⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t(t 为参数)上与点A (－2,3)的距离等于2的点的坐标是________．16．“x ∈{3，a }”是不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 。

三．解答题（本大题共６小题，70分.请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 17．(本题满分10分)为贯彻“咬文嚼字抓理解，突出重点抓记忆”的学习思想．某校从高一年级和高二年级各选取100名同学进行现学段基本概念知识竞赛．图(1)和图(2)分别是对高一年级和高二年级参加竞赛的学生成绩按[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，得到的频率分布直方图．(1)分别计算参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩；(注：统计方法中， 同一组数据常用该组区间的中点值作为代表)(2)完成下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为“两个年级学生现学段对基本知识的了解有差异”？附： K 2＝n ad －bc a ＋b c ＋d a ＋c b ＋d.临界值表：18．(本题满分12分) 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．(1)将C 1的方程化为普通方程；(2)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设曲线C 2的极坐标方程是θ＝π3，求曲线C 1与C 2的交点的极坐标．19．(本题满分12分) 若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数的解析式；(2)若g (x )＝f (x )－k 有三个零点，求实数k 的取值范围．20．(本题满分12分) 已知直线l 的极坐标方程为，圆C 的参数方程为：．（1）判断直线l 与圆C 的位置关系； （2）若椭圆的参数方程为（φ为参数），过圆C 的圆心且与直线l 垂直的直线l′与椭圆相交于两点A ，B ，求|CA|•|CB|的值．21．(本题满分12分) 设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点．(1)设l 的斜率为1，求|AB |的大小； (2)求证：OA →·OB →是一个定值．22．(本题满分12分) 已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．高二文科数学参考答案1．【答案】选C 依题意得2－i z ＝2－i －1＋2i ＝ 2－i －1－2i －1＋2i －1－2i ＝－4－3i5，因此该复数在复平面内对应的点的坐标是⎝⎛⎭⎫－45，－35，位于第三象限． 2、【答案】选D x 2<1的否定为：x 2≥1；－1<x <1的否定为x ≥1或x ≤－1，故原命题的逆否命题为：若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1.3、【答案】选C 若a 2＝9， b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45，即5－k 3＝45，得k ＝－1925；若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5，由c a ＝45，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21.4．【答案】C 设表中模糊看不清的数据为m ，由表中数据得：x －＝30，y －＝m ＋3075，由于由最小二乘法求得回归方程y ＝0.67x ＋54.9，将x －＝30，y －＝m ＋3075代入回归直线方程，得m ＝68，故选C ．5．【答案】 D 先将极坐标化成直角坐标表示，⎝⎛⎭⎫2，π2化为(0，2)，过(0，2)且平行于x 轴的直线为y ＝2，再化成极坐标表示，即ρsin θ＝2.故选D.6．【答案】选A 因命题“存在x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m －3<0”为假命题，故其否命题“任意x ∈R ，x 2＋mx ＋2m －3≥0恒成立”为真命题，由二次函数开口向上，故Δ＝m 2＋4(2m －3)≤0，∴m ∈[2,6]．7．【答案】选B 解析 ∵⎩⎨⎧x －1＝t 2，y －2＝32t ， ∴3x －y ＋2－3＝0.8．【答案】选C 由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p 且q 为假命题，②p 或q 为真命题，③非q 为真命题，则p 且(非q )为真命题，④非p 为假命题，则(非p )或q 为假命题，所以选C .9．【答案】选B 由导数的几何意义可知曲线在(x 0，f (x 0))处的导数等于曲线在该点处的切线的斜率，故f ′(x 0)＝3.故选B ．10．【答案】选D 由题意得c ＝5＋4＝3，∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，－3)．∴该抛物线的标准方程为x 2＝12y 或x 2＝－12y .（也可观察出有两条，直接选D ）11、【答案】选B 在(－∞，－1)和(1，＋∞)上f (x )递增，所以f ′(x )>0，使xf ′(x )>0的范围为(1，＋∞)；在(－1,1)上f (x )递减，所以f ′(x )<0，使xf ′(x )<0的范围为(－1,0) ．12.【答案】选A 解析：该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是A ．(也可观察单黑的那一个的规律)13.【答案】2 3. 解析：将圆的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，圆心坐标为(0,2)．又易知点A (4，π6)的直角坐标为(23，2)，故点A 到圆心的距离为0－23 2＋ 2－2 2＝2 3.14．【答案】 17 解析：∵双曲线2211620x y -=得：a=4，由双曲线定义知 ||1PF |-|2PF ||=8，|1PF |=9，∴|2PF |=1（舍去）或|2PF |=17，故|2PF |=17．15.【答案】(－3,4)或(－1,2) 解析：由题意知(－2t )2＋(2t )2＝(2)2，所以t 2＝12，t＝±22，代入⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t(t 为参数)，得所求点的坐标为(－3,4)或(－1,2)．16.【答案】a ≤－12或a >3. 解析：由2x 2－5x －3≥0得x ≤－12或x ≥3.∵x ∈{3，a }是不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件，又根据集合元素的互异性a ≠3，∴a ≤－12或a >3.17.解：(1)高一年级学生竞赛平均成绩为(45×30＋55×40＋65×20＋75×10)÷100＝56(分)，…………2分 高二年级学生竞赛平均成绩为(45×15＋55×35＋65×35＋75×15)÷100＝60(分)．…………4分 (2)2×2列联表如下：∴K 2＝200× 50×30－50×70 100×100×120×80≈8.333>6.635，…………11分∴有99%的把握认为“两个年级学生现学段对基本知识的了解有差异” …12分 18、解： (1)C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4. ……4分(2)设C 1的圆心为A ，∵原点O 在圆上，设C 1与C 2相交于O ，B ，取线段OB 的中点C ，∵直线OB 倾斜角为π3，OA ＝2，∴OC ＝1，从而OB ＝2，∴O ，B 的极坐标分别为O (0，0)，B ⎝⎛⎭⎫2，π3.…………12分 19．解：f ′(x )＝3ax 2－b ．…………1分(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′ 2 ＝12a －b ＝0f 2 ＝8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13b ＝4，故所求函数的解析式为f (x )＝13x 3－4x ＋4. …………6分(2)由(1)得f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)，令f ′ (x )＝0，得x ＝2或x ＝－2. ……8分 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值283，当x ＝2时，f (x )有极小值－43，故要使g (x )＝f (x )－k 有三个零点，实数k 的取值范围为－43<k <283.…………12分20．解:（1）∵直线l 的极坐标方程为，即，即ρsinθ+ρcosθ=4，………2分故直线l 的直角坐标方程为：x+y ﹣4=0，…………3分 ∵圆C 的参数方程为：．∴圆C 的普通方程为：x 2+（y+2）2=4，…………5分 圆心（0，﹣2）到直线l 的距离d==3＞2，故直线l 与圆C 相离；…………6分 （2）∵椭圆参数方程（φ为参数），∴标准方程，…8分过C （0，﹣2）点直线l 垂直的直线l′的方程为：x ﹣y ﹣2=0，…………9分联立方程得：或，…………11分故|CA|•|CB|=X =87…………12分 21．解：(1) (1)∵F (1,0)，∴直线l 的方程为y ＝x －1，……1分设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x 得x 2－6x ＋1＝0，……3分∴x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1. ………4分∴|AB |＝ x 2－x 1 2＋ y 2－y 1 2＝2· x 1＋x 2 2－4x 1x 2 ＝2·36－4＝8. …………6分(2)设直线l 的方程为x ＝ky ＋1，…………7分由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋1，y 2＝4x 得y 2－4ky －4＝0. …………9分 ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 …………10分＝(ky 1＋1)(ky 2＋1)＋y 1y 2＝k 2y 1y 2＋k (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2 ＝－4k 2＋4k 2＋1－4＝－3.∴OA →·OB →是一个定值． …………12分22．解： (1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8.从而a ＝4，b ＝4. …………4分 (2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ，f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)(e x －12)．…………6分令f ′(x )＝0得，x ＝－ln2或x ＝－2. …………7分从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln2)时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)单调递增，在(－2，－ln2)单调递减．……10分 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．…………12分。