2020-2021学年度广东省深圳市高考数学模拟试题(3)及答案

高考高三数学3月月考模拟试题03第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1、()()=+--321i i i （）A. i +3B.i --3C. i +-3D. i -32、862lim 22+--→x x x x 的值为 ( )A ．0B ．1C ．21- D ．313、有以下四个命题：其中真命题的序号是（ ）①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ； ②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥； ④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ．、A ①②、B ③④、C ① ④、D ②③ 4、设,x y 满足约束条件04312x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则231x y x +++取值范围是（）.A [3,11].B [2,6].C [3,10].D [1,5]5、某次文艺汇演，要将A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个不同节目编排成节目单，如下表：） A ．192种 B ．144种C ．96种D ．72种6、已知→→b a ,为非零向量，命题0:>•→→b a p ，命题→→b 、a q :的夹角为锐角，则命题p 是命题q 的( )A.充分不必要的条件B. 既不充分也不必要的条件C.充要条件D. 必要不充分的条件7、已知圆xx g x x f y x y x C 2)(,log )()0,0(4:222==≥≥=+与函数的图象分别交于22212211),,(),,(x x y x B y x A +则的值为 （ ） 16、A 8、B 4、C 2、D8、在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数()f x 的图象恰好通过()n n N +∈个整点，则称函数()f x 为n 阶整点函数。

有下列函数：① ()sin 2f x x =； ②3()g x x = ③1()();3xh x = ④()ln x x φ=，其中是一阶整点函数的是( )A.①②③④B.①③④C.①④D.④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

把答案填在题中横线上。

9、双曲线221916x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离为______________ 10、若n 为等差数列Λ,0,2,4--中的第8项，则二项式n x x )2(2+展开式中常数项是第项11、如图，棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，M 为BC 中点， 则直线M D 1与平面ABCD 所成角的正切值为；若正方体的八个顶点都在同一球面上，则此球的表面积 为.12、在ABC ∆中，c b a ,,分别为三个内角A 、B 、C 所对的边,设向量→m (),,b c c a =--→n (),b c a =+，若向量→→⊥n m ，则角A 的大小为13、顺义二中对文明班的评选设计了e d c b a ,,,,五个方面的多元评价指标，并通过经验公式ed c b a S 1++=来计算各班的综合得分，S 的值越高则评价效果越好．若某班在自测过程中各项指标显示出a b e d c <<<<<0，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S 的值增加最多，那么该指标应为．（填入e d c b a ,,,,中的某个字母）14、一种计算装置，有一个数据入口A 和一个运算出口B ，执行某种运算程序．（1）当从A 口输入自然数1时，从B 口得到实数31，记为=)1(f 31；（2）当从A 口输入自然数)2(≥n n 时，在B 口得到的结果)(n f 是前一结果3)1(21)1(2)1(+----n n n f 的倍．当从A 口输入3时，从B 口得到；要想从B 口得到23031，则应从A 口输入自然数.三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15．（本小题满分13分）(1)、已知函数.)2sin()42cos(21)(ππ+-+=x x x f 若角).(,53cos αααf 求在第一象限且=（2）函数x x x x f cos sin 32cos 2)(2-=的图象按向量(,)m π=-16平移后,得到一个函数g(x)的图象，求g(x)的解析式.16、（小题满分13分）如图，直角三角形ABC 的顶点坐标(20)A -，，直角顶点(0,B -，顶点C 在x 轴上，点P 为线段OA 的中点（Ⅰ）求BC 边所在直线方程；（Ⅱ）M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M 的方程；（Ⅲ）若动圆N 过点P 且与圆M 内切，求动圆N 的圆心N 的轨迹方程．17、（本小题13分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，CD PD BC PB ⊥⊥,，且2=PA ，E 为PD 中点.（Ⅰ）求证：⊥PA 平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角D AC E --的大小；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在点F ，使得点E 到平 面PAF 的距离为552？若存在，确定点F 的位置； 若不存在，请说明理由.18、（本小题满分13分）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在 下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12．（Ⅰ）求小球落入A 袋中的概率()P A ；（Ⅱ）在容器入口处依次放入4个小球，记ξ为落入A 袋中的小球个数，试求3ξ=的概率和ξ的数学期望E ξ．19、（本小题满分14分）)(x f 对任意R x ∈都有.21)1()(=-+x f x f（Ⅰ）求)21(f 和)( )1()1(+∈-+N n nn f nf 的值． （Ⅱ）数列{}n a 满足：n a =)0(f +)1()1()2()1(f nn f n f n f +-+++ΛΛ，数列}{n a 是等差数列吗？请给予证明； （Ⅲ）令.1632,,1442232221nS b b b b T a b n n n n n -=++++=-=ΛΛ 试比较n T 与n S 的大小．20、（本小题14分）已知：在函数x mx x f -=3)(的图象上，以),1(n N 为切点的切线的倾斜角为4π．（Ⅰ）求m ，n 的值；（Ⅱ）是否存在最小的正整数k ，使得不等式1993)(-≤k x f 对于]3,1[-∈x 恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k ；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）求证：)21(2|)(cos )(sin |tt f x f x f +≤+（R x ∈，0>t ）．参考答案一、选择题本大题共8小题，每小题5分，共40分。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 9、 4 ； 10、 9 ； 11、23,552a π； 12、3π； 13、C; 14、351，24（第一空2分，第二空3分） 三、解答题：15、（1）、由已知条件，得.54)53(1cos 1sin 22=-=-=αα …………2分所以απαπαπαπααcos )4sin 2sin 4cos 2(cos 21)2sin()42cos(21)(++=+-+=f ……6分 αααααααcos cos sin 2cos 2cos 2sin 2cos 12+=++= …………9分.514)sin (cos 2=+=αα …………10分（2）、()cos g x x =2…………13分16、解（Ⅰ）∵AB k =,AB BC ⊥ …………1分∴CB k =…………3分∴:BC y x =- …………5分 （Ⅱ）在上式中，令0,y =得：(4,0),C…………6分 ∴圆心(1,0),M ． …………7分 又∵3,AM =．…………8分∴外接圆的方程为22(1)9.x y -+= …………9分（Ⅲ）∵(1,0),P -(1,0),M∵圆N 过点(1,0),P -，∴PN 是该圆的半径， 又∵动圆N 与圆M 内切， ∴3,MN PN =- 即3,MN PN +=．∴点N 的轨迹是以M ，P 为焦点，长轴长为3的椭圆．…………11分∴32a =，1c=b ==． …………12分 ∴轨迹方程为2219544x y +=．…………13分 17、（本小题满分14分） 解法一：（Ⅰ）证明：∵底面ABCD 为正方形， ∴AB BC ⊥，又PB BC ⊥， ∴⊥BC 平面PAB ，∴PA BC ⊥. ………………2分 同理PA CD ⊥， ………………4分 ∴⊥PA 平面ABCD ．………………5分（Ⅱ）解：设M 为AD 中点，连结EM ， 又E 为PD 中点，可得PA EM //，从而⊥EM 底面ABCD ．过 M 作AC 的垂线MN ，垂足为N ,连结EN ． 由三垂线定理有AC EN ⊥，∴ENM ∠为二面角D AC E --的平面角. ………………7分 在EMN Rt ∆中，可求得,22,1==MN EM ∴2tan ==MNEMENM ．………………9分 ∴二面角D AC E --的大小为2arctan ．………………10分（Ⅲ）解：由E 为PD 中点可知,要使得点E 到平面PAF 的距离为552， 即要点D 到平面PAF 的距离为554. 过 D 作AF 的垂线DG ，垂足为G ,∵⊥PA 平面ABCD ， ∴平面⊥PAF 平面ABCD ， ∴⊥DG 平面PAF ，即DG 为点D 到平面PAF 的距离. ∴554=DG ， ∴552=AG ． ………………12分 设x BF =，由ABF ∆与DGA ∆相似可得GADGBF AB =， ∴22=x，即1=x ． ∴在线段BC 上存在点F ，且F 为BC 中点，使得点E 到平面PAF 的距离为552．……14分 解法二：（Ⅰ）证明：同解法一．（Ⅱ）解：建立如图的空间直角坐标系xyz A -， ………………6分 则，，，)000(A ，，，)022(C )110(，，E .设m ),,(z y x =为平面AEC 的一个法向量， 则m AE ⊥，m AC ⊥．又),1,1,0(=AE ),0,2,2(=AC⎩⎨⎧=+=+∴.022,0y x z y 令,1=x 则,1,1=-=z y得m )1,1,1(-=． ………………8分 又)2,0,0(=AP 是平面ACD 的一个法向量，………………9分设二面角D AC E --的大小为 θ，则33232,cos cos =⋅=>=<=AP AP m θ． ∴二面角D AC E --的大小为33arccos． ………………10分 （Ⅲ）解：设),20()02(≤≤t t F ，，n ),,(c b a =为平面PAF 的一个法向量， 则n AP ⊥，n AF ⊥．又)2,0,0(=AP ，),0,,2(t AF =⎩⎨⎧=+=∴.02,02tb a c 令,t a =则,0,2=-=c b得n )0,2,(-=t ． ………………12分 又),1,1,0(=AE∴点E 到平面PAF的距离422+==t ，∴=+422t 552， 解得1=t ，即 )012(，，F .∴在线段BC 上存在点F ，使得点E 到平面PAF 的距离为552，且F 为BC 中点． ………………14分18、解：（Ⅰ）记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，则事件A 的对立事件为B ，而小球落入B 袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故33111()224P B ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而13()1()144P A P B =-=-=； ………………5分（Ⅱ）显然，随机变量)43,4(~B ξ，故3343127(3)4464P C ξ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭， 3434E ξ=⨯=． ………………13分19、解：（Ⅰ）因为21)21()21()211()21(=+=-+f f f f ．所以41)21(=f ．……2分令n x 1=，得21)11()1(=-+n f n f ，即21)1()1(=-+n n f n f ．……………4分 （Ⅱ）)1()1()1()0(f n n f n f f a n +-+++=Λ 又)0()1()1()1(f nf n n f f a n +++-+=Λ………………5分 两式相加21)]0()1([)]1()1([)]1()0([2+=+++-+++=n f f n n f n f f f a n Λ．所以N n n a n ∈+=,41，………………7分又41414111=+-++=-+n n a a n n ．故数列}{n a 是等差数列．………………9分 （Ⅲ）n a b n n 4144=-= 22221nn b b b T +++=Λ )131211(16222n++++=Λ ])1(13212111[16-++⨯+⨯+≤n n Λ………………10分 )]111()3121()211(1[16nn --++-+-+=Λ………………12分 n S nn =-=-=1632)12(16 所以n n S T ≤…………………………………………………14分20、解：（Ⅰ）13)(2-='mx x f ，依题意，得=')1(f 4tan π，即113=-m ，32=m . ………………………………2分∵n f =)1(，∴31-=n .………………………………3分 （Ⅱ）令012)(2=-='x x f ，得22±=x .………………………………4分 当221-<<-x 时，012)(2>-='x x f ； 当2222<<-x 时，012)(2<-='x x f ； 当322<<x 时，012)(2>-='x x f . 又31)1(=-f ，32)22(=-f ，32)22(-=f ，15)3(=f . 因此，当]3,1[-∈x 时，15)(32≤≤-x f .………………………………7分 要使得不等式1993)(-≤k x f 对于]3,1[-∈x 恒成立，则2008199315=+≥k . 所以，存在最小的正整数2008=k ，使得不等式1993)(-≤k x f 对于 ]3,1[-∈x 恒成立.………………………………9分（Ⅲ）方法一：|)(cos )(sin |x f x f +|)cos cos 32()sin sin 32(|33x x x x -+-= |)cos (sin )cos (sin 32|33x x x x +-+=|]1)cos cos sin (sin 32)[cos (sin |22-+-+=x x x x x x |31cos sin 32||cos sin |--⋅+=x x x x 3|cos sin |31x x +=3|)4sin(2|31π+=x 322≤.…………………11分 又∵0>t ，∴221≥+t t ，14122≥+tt . ∴)21(2t t f +)]21()21(32[23tt t t +-+= ]31)41(32)[21(222-++=tt t t 322)3132(22=-≥. …………………13分 综上可得，)21(2|)(cos )(sin |t t f x f x f +≤+（R x ∈，0>t ）. …………………………14分方法二：由（Ⅱ）知，函数)(x f 在 [-1，22-]上是增函数；在[22-,22]上是减函数；在[22，1]上是增函数. 又31)1(=-f ，32)22(=-f ，32)22(-=f ，31)1(-=f . 所以，当x ∈[-1，1]时，32)(32≤≤-x f ，即32|)(|≤x f . ∵x sin ，x cos ∈[-1，1]，∴32|)(sin |≤x f ，32|)(cos |≤x f . ∴3223232|)(cos ||)(sin ||)(cos )(sin |=+≤+≤+x f x f x f x f . ………………………………11分又∵0>t ，∴1221>≥+tt ，且函数)(x f 在),1[+∞上是增函数. ∴322]2)2(32[2)2(2)21(23=-=≥+f t t f .…………………13分 综上可得，)21(2|)(cos )(sin |tt f x f x f +≤+（R x ∈，0>t ）.……………14分。