巧用勾股定理解决折叠问题3
利用勾股定理解决折叠问题—课件
8
x
6
4
10
知识讲解
变式1.已知长方形ABCD在平面直角坐标系中，A （0,8）D（10,8），如图AD沿着AE翻折后点D落在 BC上，求点E的坐标.
E(10,3)
10
8 10
8-x
8 8-x x
6
4
10
知识讲解
变式2.在长方形ABCD中，AB=8，AD=10， 如图AD沿着AC翻折， 求CE的长.
10
8x
8
x
10-x
8
10
课堂练习
变式3.在长方形ABCD中，AB=8，AD=10，如
图，翻折长方形ABCD，使点D与点B重合，
求 折痕EAFE 的长.
x 10G10-x
8 10-x
小结
利用勾股定理解决折叠问题的基本步骤： （1）标出已知和问题，明确目标在哪个直角三 角形中，设适当的未知数x； （2）利用折叠找全等； （3）将已知边和未知边（用含x的代数式表示）， 转化到同一个直角三角形中表示出来； （4）利用勾股定理列方程，解方程，得解。
知识ห้องสมุดไป่ตู้解
类型一、直角三角形的折叠
例1.如图，一块直角三角形的纸片，两直角边 AC=6，BC=8，现折叠纸片使A与B重合，折痕为DE， 求CD的长.
解： ∵Rt△ABC，AC=6，BC=8
设观C察D为、x思，考则BD=8-x
由1折.题叠中的已性知质可什得么，求的是什么？
2∴.D折B叠=A过D=程8中-x 你发现了什么？
在3R.观t △察BCDDE在中哪，一由个勾直股定角理三得角形中，
你能x2表6示2 出(这8 个x直)2角三角形的每
解得条x边= ？7
6 8-x
巧用方程思想与勾股定理解决折叠问题
巧用方程思想与勾股定理解决折叠问题【内容提要】：数学思想是数学的灵魂，任何数学问题的解决都是数学思想作用的结果，因此正确理解和掌握数学思想是数学学习的关键。
今天所说的方程思想就是一种十分重要的数学思想。
本文对初中数学中方程思想在勾股定理中的应用作了探讨，并结合具体案例说明了方程的思想与勾股定理解决折叠问题的应用。
关键词：方程思想；勾股定理；折叠问题；方程思想在勾股定理中的应用案例一、方程思想是什么呢？从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。
通过方程里面的已知量求出未知量的过程就是解方程，用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。
这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。
二、勾股定理与方程思想的地位与作用勾股定理是几何中最重要的定理之一，它也是直角三角形的一条重要性质，同时由勾股定理及其逆定理，能够把形的特征转化成数量关系，它把形与数密切地联系起来，因此，它在理论上也有重要地位。
方程思想是初中数学中一种基本的数学思想方法，方程可以清晰的反应已知量和未知量之间的关系，架起沟通已知量和未知量的桥梁。
利用勾股定理作为相等关系建立方程可以解决许多相关问题。
三、初中数学中的折叠问题折叠问题（对称问题）在三大图形变换中是比较重要的，折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180°，使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果。
折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用.在初中数学中经常涉及到折叠的典型问题，只要从中抽象出基本图形的基本规律，就能找到解决这类问题的常规方法。
1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换，折叠重合部分一定全等。
2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等。
勾股定理解析折叠问题含详细的答案
探究五
如图,矩形纸片ABCD中,AB=6cm,AD=10cm，
点E、F仍在矩形ABCD的边AB 、AD上，仍将 △AEF沿EF折叠，使点A′在BC边上, 当折痕EF 移动时，点A′在BC边上也随之移动。则A′C 的范围为 4≤A′C≤8
分析：根据点E、F分别在 AB、AD上移动，可画出两 个极端位置时的图形。
=EF＋EC=8，A
D
B F A2 F A2 B12 0 8 2 6
FC=BC-BF=10-6=4
设EC=x ,则EF=DC－EC=(8－x)
在Rt△EFC中，根据勾股定理得
EC²=FC²=EF²
B
即x²＋4²=（8－x）²，x=3，
∴EC的长为3cm。
精选课件
F
图2
E
C
5
探究二
如图,矩形纸片ABCD中，AB=6cm,AD=8cm，
FD
B
C
精选课件
E
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在BC上找一点F，沿DF折叠矩形ABCD，使C点 落在对角线BD上的点E处，此时折痕DF的长是 多少？
精选课件
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精选课件
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发挥你的想象力
❖ 长方形还可以怎样折叠，要求折叠 一次，给出两个已知条件，提出问题， 并解答问题。
E
A
E
DD
CA
D
F
B F
C
C
A
B
B
E FC
精选课件
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课堂小结
❖ 1、标已知； ❖ 2、找相等； ❖ 3、设未知，利用勾股定理，列方程； ❖ 4、解方程，得解。
勾股定理的应用解有关折叠问题
这节课，你学习到了什么？
解决折叠问题的方法： 1. 找到等量关系，相等线段（折叠，垂直平分线，边
角关系，三角形全等……）， 2.运用勾股定理列方程（方程思想） 3.解方程并求出所求量 作业： 1.完成学案 2.补充练习 3.思考题（选做）
动手操作
• 2.如图，折叠长方形纸片ABCD，使点D落在BC上 一点F处，折痕的两端点分别在AD，CD上(含端 点)，且AB＝6，BC＝10.设CF＝x，
• ①x的取值范围是______________；
• ②当CF取最小值时，折痕与线段CD的交点E与F的
距离为_____________
A
D
B
CБайду номын сангаас
解：由折叠可知
1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB=8,BC=6
⑴如图1将△ABC折叠，使得A、C重合，折痕MN，
求AM；
(2)如图2将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折 痕为MN，求BN；
(3)如图3将△ABC折叠，使直角边AB折叠使它落在斜 边AC上，折痕为AD，求BD。
图2
图3
用勾股定理列方程是解题的关键
• 思考1.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点， 将△ADE沿AE对折至△AFE，延长交BC于点G，连接AG.
• (1)求证：△ABG≌△AFG；
• (2)求BG的长。
思考2：如图，将长方形ABCD沿直线EF折叠
(1) 使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，
连接CE.
①求证：AE=AF=EC=CF； ②设AE=a，ED=b，DC=c，请写出一个a，b， c三者之间的数量关系式。 (2)如图2，当C的对应点C′在线段AD里运动时，C′E、
勾股定理的折叠问题有技巧口诀
勾股定理的折叠问题有技巧口诀
记准记牢基本图形是关键：在折叠问题中，我们常常需要记住一些基本图形的性质和特点，例如直角三角形、等腰三角形等。
这些基本图形的性质和特点是我们解决折叠问题的关键。
抓住折痕特点：在折叠问题中，折痕是重要的线索。
我们需要抓住折痕的特点，例如折痕与边的关系、折痕与角的关系等，这些特点可以帮助我们确定图形的形状和性质。
利用勾股定理：勾股定理是解决折叠问题的关键工具之一。
我们需要利用勾股定理来计算边长和角度，从而确定图形的形状和性质。
利用相似三角形：在折叠问题中，我们常常需要利用相似三角形的性质来解决问题。
相似三角形的性质可以帮助我们计算边长和角度，从而确定图形的形状和性质。
口诀：在解决折叠问题时，我们可以使用一些口诀来帮助我们快速找到解题思路和方法，例如“折大变小、折小变大、折角变直、折直变角”等。
勾股定理在折叠问题中的应用
8-x
4
B S△BFD=5×4÷2=10
85-x
F 3x C
A′
1、标； 2、找相等； 3、设未知，利用勾股定理，列方程； 4、解方程，得解。
A
10
D
心得：先标量和未知量，再找出
8
10
10
8-x
E
xLeabharlann 相等的量，设出未知数把条件集 中到一个Rt△中，依据勾股定理
B
6 F 4 C 得方程。
如图，在矩形ABCD中，BC=8，CD=4，将
矩形沿BD折叠，点A落在A′处，求重叠部
分△BFD的面积。
解：42+x2=(8- A
8
D
x)2 X=3 8-X=5
探究一：折叠三角形问题
如图，小颖同学折叠一个直角三角形的纸片， 使A与B重合，折痕为DE，假设AC=8，BC=6,
你能求出CE的长吗？ 合作沟通：
8-x 6
〔1〕折纸过程中你觉察了什么？ 〔2〕题中什么，求的是什么？
8-x
x
8
〔3〕观看CE在哪一个三角形中，你能表示出这个三角形的每
条边吗？
〔4〕请谈一谈我们解决这个问题的思路和方法。
探究一：折叠三角形问题
如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，
使A与B重合，折痕为DE，假设AC=8，BC=6,
你能求出CE的长吗？ 方法总结：
8-x 6
折叠问题
构建直角三角形
8-x
x
8
数学问题
利用勾股定理建立方程
求出方程的解
解题步骤
1、标，标问题，明确目标在哪个直角三角形 中，设适当的未知数x。 2、利用折叠，找全等。
3、将边和未知边〔用含x的代数式表示〕转 化到同始终角三角形中表示出来。
八年级数学下册第18章勾股定理阶段核心技巧巧用勾股定理解折叠问题习题课件(新版)沪科版
3．【中考·东莞】如图，在边长为6的正方形ABCD 中 ， E 是 边 CD 的 中 点 ， 将 △ADE 沿 AE 对 折 至 △AFE，延长EF交BC于点G，连接AG. (1)求证：△ABG≌△AFG；
证明：在正方形 ABCD 中，AD＝AB，∠D＝∠B＝90°. ∵将△ADE 沿 AE 对折至△AFE， ∴AD＝AF，∠D＝∠AFE＝90°. ∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°. 又∵AG＝AG， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG.
2．如图，将长方形 ABCD 沿直线 BD 折叠，使点 C 落在点 C′ 处，BC′交 AD 于 E，AD＝8，AB＝4，求△ BED 的面积．
解题策略：解决此题的关键是证得ED＝EB， 然后在Rt△ABE中，由BE2＝AB2＋AE2， 利用勾股定理列出方程即可求解．
解：由题意易知 AD∥BC，∴∠2＝∠3. ∵△BC′D 与△BCD 关于直线 BD 对称，∴∠1＝∠2. ∴∠1＝∠3.∴EB＝ED. 设 EB＝x，则 ED＝x，则 AE＝AD－ED＝8－x. 在 Rt△ABE 中，AB2＋AE2＝BE2，∴42＋(8－x)2＝x2.∴x＝5. ∴DE＝5.∴S△BED＝12DE·AB＝12×5×4＝10.
HK版八年级下
第18章 勾股定理
阶段核心技巧 巧用勾股定理解折叠问题
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答案显示
1．【中考·泰安】如图①是一直角三角形纸片，∠A＝30°， BC＝4 cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕 为BD，如图②，再将图②沿DE折叠，使点A落在DC′的延 长线上的点A′处，如图③，则折痕DE的长为( A ) A．83 cm B．2 3 cm C．2 2 cm D．3 cm
2024八年级数学上册提练第14招利用勾股定理巧解折叠问题习题课件新版冀教版
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(2)设 AE ＝ a ， ED ＝ b ， DC ＝ c ，请写出一个 a ， b ， c
三者之间的数量关系式.
【解】由题意知 AE ＝ CE ＝ a .由∠ D ＝90°知 ED2＋
DC2＝ CE2，即 b2＋ c2＝ a2.
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由(1)知△ PDE ≌△ CDF ，∴ CF ＝ PE .
设 CF ＝ x cm，则 PE ＝ AE ＝ BG ＝ x cm， CG ＝
DE ＝( x ＋3)cm.
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∵ AD ∥ BC ，∴∠ DEF ＝∠ BFE .
由折叠的性质得∠ BFE ＝∠ DFE ，
∴∠ DEF ＝∠ DFE ，
∴ DE ＝ DF ＝( x ＋3)cm.
在Rt△ CDF 中，由勾股定理得 DF2＝ CD2＋ CF2，
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∴4 ＋ x ＝( x ＋3) ，∴ x ＝ ，
∴ BC ＝2 x ＋3＝ ＋3＝
(cm).
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巧用折叠探究线段之间的数量关系
3. 如图，将长方形 ABCD 沿直线 EF 折叠，使点 C 与点 A 重
合，点 D 落在点 D '处，折痕交 AD 于点 E ，交 BC 于点
冀教版 八年级上
第14招
利用勾股定理巧解折叠问题
CONTENTS
目
录
01
教你一招
02
分类训练
1. 折叠图形的主要特征是折叠前后的两个图形沿着折痕翻折
能够完全重合，解答折叠问题的关键是巧用轴对称及全等
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巧用勾股定理解决折叠问题3
如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB=6，BC=8，将三角形ABC折叠,使AB落在斜边AC上得到
线段AB’,折痕为AD，求BD的长为．
5.如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD，点D落在BC边的点
F处，已知AB=8cm，BC=10cm．求EC的长．
6.如图，将边长为8 cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC中点E处，点A落在点F处，
折痕为MN，求线段CN的长．(MN的长)
FCDB
A
E