函数的解析式及定义域

一．课题：函数的解析式及定义域
二．教学目标：掌握求函数解析式的三种常用方法：待定系数法、配凑法、换元法，能将
一些简单实际问题中的函数的解析式表示出来；掌握定义域的常见求法及
其在实际中的应用．
三．教学重点：能根据函数所具有的某些性质或所满足的一些关系，列出函数关系式；含
字母参数的函数，求其定义域要对字母参数分类讨论；实际问题确定的函
数，其定义域除满足函数有意义外，还要符合实际问题的要求．
四．教学过程：
（一）主要知识：1．函数解析式的求解；2．函数定义域的求解．
（二）主要方法：
1．求函数解析式的题型有：
（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；
（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法；
（3）已知函数图像，求函数解析式；
（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；
（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．
2．求函数定义域一般有三类问题：
（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；
（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；
（3）已知()f x 的定义域求[()]f g x 的定义域或已知[()]f g x 的定义域求()f x 的定义域： ①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域； ②若已知()f x 的定义域[],a b ，其复合函数[]()f g x 的定义域应由()a g x b ≤≤解出．
（三）例题分析：
例1．已知函数1()1x f x x
+=-的定义域为A ，函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为B ，则 ()A A B B = ()B A B ≠
⊂ ()C A B = ()D A B B = （ D ） 解法要点：{}|1A x x =≠，121[()](
)(1)11x y f f x f f x x x +===-+=---， 令2111x
-+≠-且1x ≠，故{}{}|1|0B x x x x =≠≠ ． 例2．（1）已知3311()f x x x x
+=+，求()f x ； （2）已知2(1)lg f x x
+=，求()f x ； （3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；
（4）已知()f x 满足12()()3f x f x x
+=，求()f x ． 解：（1）∵3331111()()3()f x x x x x x x x
+=+=+-+，
∴3()3f x x x =-（2x ≥或2x ≤-）．
（2）令
21t x +=（1t >），则21x t =-，∴2()lg 1f t t =-，∴2()lg (1)1
f x x x =>-． （3）设()(0)f x ax b a =+≠，
则3(1)2(1)3332225217f x f x ax a b ax a b ax b a x +--=++-+-=++=+， ∴2a =，7b =，∴()27f x x =+．
（4）12()()3f x f x x += ①， 把①中的x 换成1x ，得132()()f f x x x
+= ②， ①2⨯-②得33()6f x x x =-，∴1()2f x x x =-． 注：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系数法；第（4）题用方程组法．
例3．设函数2221()log log (1)log ()1
x f x x p x x +=+-+--， （1）求函数的定义域；
（2）问()f x 是否存在最大值与最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明理由．
解：（1）由10
1100x x x p x +⎧>⎪-⎪⎨->⎪->⎪⎩
，解得1x x p >⎧⎨<⎩ ① 当1p ≤时，①不等式解集为φ；当1p >时，①不等式解集为{}|1x x p <<， ∴()f x 的定义域为(1,)(1)p p >．
（2）原函数即2
2221(1)()log [(1)()]log [()]24
p p f x x p x x -+=+-=--+， 当112
p -≤，即13p <≤时，函数()f x 既无最大值又无最小值； 当112
p p -<<，即3p >时，函数()f x 有最大值22log (1)2p +-，但无最小值． 例4．《高考A 计划》考点8，智能训练15：已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，周期5T =，函数()(11)y f x x =-≤≤是奇函数．又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在2x =时函数取得最小值5-．
①证明：(1)(4)0f f +=；②求(),[1,4]y f x x =∈的解析式；③求()y f x =在[4,9]上的解析式．
解：∵()f x 是以5为周期的周期函数，∴(4)(45)(1)f f f =-=-，
又∵()(11)y f x x =-≤≤是奇函数，∴(1)(1)(4)f f f =--=-，
∴(1)(4)0f f +=．
②当[1,4]x ∈时，由题意可设2
()(2) 5 (0)f x a x a =-->，
由(1)(4)0f f +=得22(12)5(42)50a a --+--=，∴2a =，
∴2()2(2)5(14)f x x x =--≤≤．
③∵()(11)y f x x =-≤≤是奇函数，∴(0)0f =，
又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，∴可设()(01f x k x x =≤≤，而
2(1)2(12)53
f =--=-， ∴3k =-，∴当01x ≤≤时，()3f x x =-，
从而当10x -≤<时，()()3f x f x x =--=-，故11x -≤≤时，()3f x x =-． ∴当46x ≤≤时，有151x -≤-≤，∴()(5)3(5)315f x f x x x =-=--=-+．
当69x <≤时，154x <-≤，∴22()(5)2[(5)2]52(7)5f x f x x x =-=---=--
∴2315,46()2(7)5,69
x x f x x x -+≤≤⎧=⎨--<≤⎩． 例5．我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采取价格调控等手段来达到节约用水的目的，某地用水收费的方法是：水费＝基本费＋超额费＋损耗费．若每月用水量不超过最低限量a 3m 时，只付基本费8元和每月每户的定额损耗费c 元；若用水量超过a 3m 时，除了付同上的基本费和定额损耗费外，超过部分每3m 付b 元的超额费．已知每户每月的定额损耗费不超过5元．
解：设每月用水量为x 3m ，支付费用为y 元，则有8,0(1)8(),(2)c x a y b x a c x a +≤≤⎧=⎨+-+>⎩
由表知第二、第三月份的水费均大于13元，故用水量153m ，223m 均大于最低限量a 3m ，
于是就有198(15)338(22)b a c b a c
=+-+⎧⎨=+-+⎩，解之得2b =，从而219 (3)a c =+
再考虑一月份的用水量是否超过最低限量a 3m ，不妨设9a >，将9x =代入（2）式，得
982(9)a c =+-+，即217a c =+，这与（3）矛盾．∴9a ≤．
从而可知一月份的付款方式应选（1）式，因此，就有89c +=，得1c =．
故10a =，2b =，1c =．
（四）巩固练习：
1．已知2()f x 的定义域为[1,1]-，则(2)x f 的定义域为(,0]-∞．
2．函数1sin 21sin 2
x y x +=-的定义域为{|(1),}6k x x k k Z ππ≠+-∈． 五．课后作业：《高考A 计划》考点8，智能训练4，5，10，11，12，13．。