函数的概念、定义域及解析式

函数的概念、定义域及解析式函数的概念、定义域及解析式一．课题：函数的概念及解析式二．教学目标：了解映射的概念,在此基础上加深对函数概念的理解；能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数；理解分段函数的意义．三．教学重点：函数是一种特殊的映射,而映射是一种特殊的对应；函数的三要素中对应法则是核心，定义域是灵魂．四．教学过程：（一）主要知识：1．对应、映射、像和原像、一一映射的定义；映射----设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中的任意一个元素X，在集合B中都有唯一确定的元素Y与之对应，那么这样的对应关系叫做从集合A到集合B的映射。

记作f:A→B.其中X叫做Y的原象，Y叫做X的象。

映射是特殊的对应，只能一对一或多对一，不能一对多。

一一映射-----在集合A到集合B的映射中，若集合B中的任意一个元素在集合A中都有唯一的元素与之对应，那么就说这样的映射叫做从集合A到集合B的一一映射。

2．函数的概念函数的传统定义和近代定义；传统定义-------如果在某变化过程中有两个变量X、Y，对于X在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，Y都江堰市有唯一的值和它对应，那么Y就是X的函数。

记为Y=f（X）近代定义-----函数是由一个非空数集另一个非空数集的映射。

（或如果A、B 都是非空的数集，那么从A到B的映射f：A→B叫做A到B的函数。

原象的集合Ａ叫做函数的定义域，象的集合Ｃ叫做函数的值域）。

函数是特殊的映射，只能是从非空数集到非空数集的映射。

3．函数的三要素及表示法．函数的三要素-----定义域、值域、对应法则。

（是判断两个是否为同一函数的依据）由于值域可由定义域和对应法则唯一确定，故也可说函数只有两要素，即判两个函数是否为同一函数可用定义域和对应法则来判断。

函数的表示法通常有：解析法、列表法、图象法。

4，函数的解析式：函数的解析式是指用运算符号和等号把数和表示数的字母连结而成的式子。

对应法则是函数的：“核心”它是自变量与因变量沟通的桥梁，它给出了当已知一个自变量的值时，得出对应的函数值的一种算法。

求函数的解析式，本质上就是要弄清函数的对应法则。

分段函数的概念：有些函数在它的定义域中，对于自变量X的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数。

注意分段函数是一个函数而不是几个函数。

故分段函数的定义域是指“各段”对应的X的范围的并集；其值域也是“各段”对应的Y值的范围的并集。

5.函数的定义域----是指使函数有意义的自变量的取值范围。

函数的定义域基本上分为两类：（1）限定定义域（2）自然定义域限定定义域：它是指受应用条件或附加条件的制约的定义域。

（二）主要方法：1．对映射有两个关键点：一是有象，二是象惟一，缺一不可；2．对函数三要素及其之间的关系给以深刻理解，这是处理函数问题的关键； 3．理解函数和映射的关系，函数式和方程式的关系． 4函数的定义域(1)求函数定义域的依据<1>含有分式的，分母不能为零。

如 Y=121x - 由2X –1≠0得X ≠12 所以得函数的定义域为（–∞，12）∪（12，+∞） <2>含有偶次方根的，被开方式大于或等于零；如 Y=21x -由2X–1≥0得X ≥12 所以得函数的定义域为[12，+∞)<3>含有对数式的，真数要大于零；如 Y=log (21)a x - (a>0,且a≠1)由2X –1>0得X>12 所以函数的定义域为（12，+∞）<4>指数式中，若指数为零，则底数不能为零；如 Y=0(21)x - 由2X –1≠0得X ≠12 所 (2)复合函数的定义域<1>已知f(x)的为定义域为[a,b], 求f(x+m)的定义域由a≤x+m≤b 解得a–m≤x≤b–m为f(x+m)的定义域如已知f(x)的为定义域为[1，2], 求f(x+1)的定义域解: 由1≤x+1≤2 解得0≤x≤1 所以f(x+1)的定义域为﹛x∣0≤x≤1﹜<2>已知f(x+m)的定义域为[a,b],求f(x)的定义域解: 由a≤x≤b 解得a+m≤x+m≤b+m 为f(x)的定义域(即求x+m的取值范围或求g(x)=x+m的值域)如已知f(x+2)的为定义域为[0,1], 求f(x)的定义域: 解∵0≤x≤1 ∴ 2≤x+2≤3 所以f(x)的定义域为﹛x∣2≤x≤3﹜<3>已知f(x+m)的定义域为[a,b]求f(x+n)的定义域由f(x+m)的定义域求出f(x)的定义域，再由f(x)的为定义域求出f(x+n)的定义域如已知f(x–2)的为定义域为[1，3], 求f(x+5)的定义域: 解∵1≤x≤3 ∴–1≤x–2≤1 ∴f(x)的定义域为﹛x ∣–1≤x ≤1﹜又由 –1≤x+5≤1 解得–6≤x+5≤–4 所以 f(x+5)的定义域为 ﹛x ∣–6≤x ≤–4﹜4．求函数的解析式的问题常见的有五种情况：（1）有时在解决实际问题时，需建立函数关系式（这种情况下要引入合适的变量）（2）在已知解析式的结构特点的情况下求解板式（可用待定系数法求之）。

（3） 已知f[g(x)]=h(x)，求f(x)（常采用换元法或配凑法求之）（4）已知关于f(x)，f(–x),1()f x等的等式，求（常采用消元法求之）（5）求某些抽象函数的解析式 （三）例题分析：例1．（1）A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=；（2）*{|2,}A x x x N =≥∈，{}|0,B y y y N =≥∈，2:22f x y x x →=-+； （3）{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y x →= 上述三个对应（2）是A 到B 的映射．例2．已知集合{}(,)|1M x y x y =+=，映射:f M N →，在f 作用下点(,)x y 的象是(2,2)x y ，则集合N = （ D ）()A {}(,)|2,0,0x y x y x y +=>> ()B {}(,)|1,0,0x y xy x y =>> ()C {}(,)|2,0,0x y xy x y =<< ()D {}(,)|2,0,0x y xy x y =>>解法要点：因为2x y +=，所以2222x y x y +⋅==．例3．设集合{1,0,1}M =-，{2,1,0,1,2}N =--，如果从M 到N 的映射f 满足条件：对M 中的每个元素x 与它在N 中的象()f x 的和都为奇数，则映射f 的个数是（ D ）()A 8个 ()B 12个 ()C 16个 ()D 18个解法要点：∵()x f x +为奇数，∴当x 为奇数1-、1时，它们在N 中的象只能为偶数2-、0或2，由分步计数原理和对应方法有239=种；而当0x =时，它在N 中的象为奇数1-或1，共有2种对应方法．故映射f 的个数是9218⨯=．例4．矩形ABCD 的长8AB =，宽5AD =，动点E 、F 分别在BC 、CD 上，且CE CF x ==，（1）将AEF ∆的面积S 表示为x 的函数()f x ，求函数()S f x =的解析式；（2）求S 的最大值． 解：（1）2111()408(5)5(8)222ABCD CEF ABE ADFS f x SS S S x x x ∆∆∆==---=--⨯⨯--⨯⨯- 22113113169()22228x x x =-+=--+． ∵CE CB CD ≤≤，∴05x <≤，∴函数()S f x =的解析式：2113169()()(05)228S f x x x ==--+<≤；（2）∵()f x 在(]0,5x ∈上单调递增，∴max (5)20S f ==，即S 的最大值为20． 例5．函数()f x 对一切实数x ，y 均有()()(21)f x y f y x y x +-=++成立，且(1)0f =，（1）求(0)f 的值；（2）对任意的11(0,)2x ∈，21(0,)2x ∈，都有12()2log a f x x +<成立时，求a 的取值范围．(3) 求函数()f x 的解析式；解：（1）由已知等式()()(21)f x y f y x y x +-=++，令1x =，0y =得(1)(0)2f f -=，又∵(1)0f =，∴(0)2f =-．（2）由()()(21)f x y f y x y x +-=++，令0y =得()(0)(1)f x f x x -=+，由（1）知(0)2f =-，∴2()2f x x x +=+．∵11(0,)2x ∈，∴22111111()2()24f x x x x +=+=+-在11(0,)2x ∈上单调递增，∴13()2(0,)4f x +∈．要使任意11(0,)2x ∈，21(0,)2x ∈都有12()2log a f x x +<成立，当1a >时，21log log 2a ax <,显然不成立． 当01a <<时，21log log 2a a x >，∴0113log 24a a <<⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得3414a ≤< ∴a 的取值范围是34[,1)4． (3) 由(1)知f(0)=–2 令x=–y 由()()(21)f x y f y x y x +-=++ 得 f(0)–f(y)=(y+1)(-y) ∴f(y)=22y y +-所以函数的解析式为f(x)=22x x +-例6.1．下列各图中，可表示函数y ＝f （x ）的图象的只可能是（ ）答案：D例72．在下列四组函数中，f （x ）与g （x ）表示同一函数的是（ ） A ．f （x ）＝x －1，g （x ）＝112＋－x xB ．f （x ）＝｜x ＋1｜，g （x ）＝⎩⎨⎧≥1111＜－－－－＋x xx xC ．f （x ）＝x ＋1，x ∈R ，g （x ）＝x ＋1，x ∈ZD ．f （x ）＝x ，g （x ）＝2)(x解析：只有B 选项中函数的定义域与对应法则是相同的． 答案：B例8已知f （x ）＝2x ＋x ＋1，则)2(f ＝______；f［)2(f ］＝______．答案：3＋2 57 例9求下列函数的定义域．（1）2)1(20＋＋－－＝x x x y ；（2）1121－＋＋＝x x y ；（3）xx x y －＋＝2．答案：（1）（－1，1）∪（1，2）；（2）R ；（3）（－∞，0）．例10 设函数f(x)={22(2)x x -≥-<（x 2）则f(lg30–lg3)=_________-2则不等式xf(x –1)<10解集为_______________﹛x ∣-5<x<5﹜ （四）巩固练习：1．给定映射:(,)(2,)f x y x y xy →+，点11(,)66-的原象是11(,)32-或12(,)43-．2．下列函数中，与函数y x =相同的函数是 （ C ）()A 2x y x= ()B 2)y x = ()C lg10x y = ()D 2log 2x y =3．设函数3,(10)()((5)),(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(5)f ＝8．高考试题1．（2006年广东卷）函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是(B) A.),31(+∞- B. )1,31(- C. )31,31(-D.)31,(--∞2..( 2006年湖南卷）函数2log 2y x =-( D )A.(3,+∞)B.[3, +∞)C.(4, +∞)D.[4, +∞)3.(07广东)已知函数xx f -=11)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则=⋂N M （ C ）A.{}1>x xB.{}1<x x C .{}11<<-x x D.φ4. (08全国文)函数1y x x =- D ） A ．{|1}x x ≤B ．{|0}x x ≥C ．{|10}x x x ≥或≤D ．{|01}x x ≤≤5.（湖北卷8） 函数221()1(32)34f x n x x x x x=-++--+的定义域为 (D)A.(,4][2,)-∞-+∞B. (4,0)(0,1)-⋃C.[4,0)(0,1]-D.[4,0)(0,1]-⋃ 6.（08江西文3）若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是BA ．[0,1]B ．[0,1)C ． [0,1)(1,4]D ．(0,1)7．（09江西卷）设函数2()(0)f x ax bx c a =++<的定义域为D ，若所有点(,())(,)s f t s t D ∈构成一个正方形区域，则a的值为 （ B ）A ．2-B ．4-C ．8-D ．不能确定8．(09江西卷理)函数234y x x =--+的定义域为( C ) A ．(4,1)-- B ．(4,1)- C ．(1,1)-D ．(1,1]-9．(09陕西卷理)设不等式2xx -≤的解集为M ，函数()ln(1||)f x x =-的定义域为N ，则M N ⋂为( A ) （A ）[0，1） （B ）（0，1） （C ）[0，1] （D ）（-1，0]10..(09福建文) 下列函数中，与函数y x= 有相同定义域的是( A ) A .()ln f x x = B.1()f x x = C. ()||f x x =D.()xf x e =11. （湖南卷）函数f (x )＝x21-的定义域是（ A ）A ．(－∞，0]B ．[0，＋∞)C ．（－∞，0）D ．（－∞，＋∞）12.（江西卷）函数)34(log1)(22-+-=x x x f 的定义域为（A ）A ．（1，2）∪（2，3）B ．),3()1,(+∞⋃-∞C ．（1，3）D ．[1，3]13.（2010广东文数）2.函数)1lg()(-=x x f 的定义域是A.),2(+∞B. ),1(+∞ C.),1[+∞D. ),2[+∞解：01>-x ，得1>x ，选B. 14.（2010湖北文数）5.函数0.5log (43)y x =-的定义域为二．填空题：1.（08安徽卷理13）函数221()x f x --=的定义域为 ．[3,)+∞2. （09年湖北）. 设集合A=(x ∣log 2x<1),B=(X ∣21+-X X <1), 则A B = . 【答案】{}|01x x << 3.(07重庆)若函数()1222-=--aax xx f 的定义域为R ，则实数a 的取值范围 。