内蒙古巴彦淖尔市第一中学2014届高三下学期第六次模拟考试数学(理)试题Word版含答案

第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1．已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,3,4}A =，集合{2,4}B =，则()U C A B 为A ．{2,4,5}B ．{1,3,4}C ．{1,2,4}D ．{2,3,4,5}2．已知i 是虚数单位，则i i+-221等于（ ） A ．i - B ．i -54 C ．i 5354- D ．i3. 已知{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 表示{}n a 的前n 项的和，若13a =，24144a a =，则5S 的值是 A ．692B ．69C ．93D ．1894. 设αβγ、、为平面，l n m 、、为直线，以下四组条件，可以作为β⊥m 的一个充分条件的是 A ．,,l m l αβαβ⊥=⊥B ．,,m αγαγβγ=⊥⊥C ．,,m αγβγα⊥⊥⊥D ．,,n n m αβα⊥⊥⊥5．在92)1(xx -的二项式展开式中，常数项是 （A ）504（B ） 84 （C ）84-（D ）504-6．执行如图所示的程序框图，若输出的5k =，则输入的整数p 的最大值为A. 7B. 15C. 31D. 637．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为（ ） A.B.C.D.8. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝6，则a 的值等于 ( )A ．－1B ．1C ．2D ．49．已知实数x 、y 满足约束条件22,24,41x y x y x y +≥+≤-≥-⎧⎪⎨⎪⎩．若),(y x =，)1,3(-=，设z 表示向量a 在b 方向上的投影，则z 的取值范围是A ．3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]1,6- C．[ D．[10. 从6名同学中选4人分别到A 、B 、C 、D 四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去D 城市游览，则不同的选择方案共有 A ．96种B ．144种C ．240种D ．300种11．已知直线)2(+=x k y （k ＞0）与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若||2||FA FB =，则k 的值为A ．13B．3C ．23D．312. 设函数()1f x xx=-+ )(R x ∈，集合{},),(M x x f y y N ∈==其中[]b a M ,=a (＜)b ，则使N M =成立的实数对),(b a 有A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数多个第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知12e e 、是两个单位向量，若向量12122346a e e b e e a b =-=+⋅=-且，　，，则向量1e 与2e 的夹角是________. 14．若4sin()5πθ-=，(0,)2πθ∈，则2sin 2cos 2θθ-的值等于________.15．已知半径为l 的球，若以其一条半径为正方体的一条棱作正方体，则此正方体内部的球面面积为________16. 已知圆22:12,C x y +=直线:4325.l x y +=圆C 上的点A 到直线l 的距离小于2的概率为________.三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且.cos 3cos )32(C a A c b =- （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若角BC B ,6π=边上的中线AM 的长为7，求△ABC 的面积．18．（本小题满分12分）学生的数学学习水平按成绩可分成8个等级，等级系数X 依次为1，2，…，8，其中5≥x 为标准A ，3≥x 为标准B .已知甲学校执行标准A 考评学生，学生平均用于数学的学习时间为3.5小时/天；乙学校执行标准B 考评学生，学生平均用于数学的学习时间为2.5小时/天.假定甲、乙两学校都符合相应的执行标准.且X 1的数学期望EX 1=6，求a 、b 的值；（Ⅱ）为分析乙学校学生的数学学习水平的等级系数X 2，从该校随机选取了30名学生，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 46 3 4 75 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 56 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X 2的数学期望； （Ⅲ）在（Ⅰ）、（Ⅱ）的条件下，哪个学校的数学学习效率更高？说明理由.(注：=数学学习水平的等级系数的数学期望平均每天用于学习数学的时间数学学习效率)19．（本小题满分12分)平行四边形ABCD 中，1AB =，AD =，且45BAD ∠=，以BD 为折线，把△ABD 折起，ABD BCD⊥使平面平面，连接AC . （Ⅰ）求证：ABDC ⊥； （Ⅱ）求二面角B-AC-D 的大小.20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y E ab+=（a ＞b ＞0）的离心率为212）． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设直线l:y=kx+t 与圆222:C x yR +=（1＜R ＜2）相切于点A ，且l 与椭圆E 只有一个公共点B .①求证：22214R k R-=-；②当R 为何值时，AB 取得最大值？并求出最大值．CAD B AC D21. （本小题满分12分）已知21(),()2f x lnxg x ax bx ==+　(0),()()().a h x f x g x ≠=-　（Ⅰ）当42a b ==，时，求()h x 的极大值点；（Ⅱ）设函数()f x 的图象1C 与函数()g x 的图象2C 交于P 、Q 两点，过线段PQ 的中点做x 轴的垂线分别交1C 、2C 于点M 、N ，证明：1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线不平行.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

22．（本小题满分10分）如图：AB 是⊙O 的直径，C 是弧BD 的中点， CE ⊥AB ，垂足为E ， BD 交CE 于点F . （Ⅰ）求证：CF =BF ;（Ⅱ）若AD =4，⊙O 的半径为6，求BC 的长.23．（本小题满分10分）已知曲线1C 的参数方程是cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2cos ρθ=-. （Ⅰ）写出1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点1M 、2M 的极坐标分别是),1(π、)2,2(π，直线12M M 与曲线2C 相交于P 、Q 两点，射线OP 与曲线1C 相交于点A ，射线OQ 与曲线1C 相交于点B ，求2211||||OA OB +的值． 24．（本小题满分10分）已知()2()f x x a a a R =--∈　，不等式()2f x ≤的解集为{|13}x x -≤≤. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若|()(2)|f x f x m -+≤对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.巴彦淖尔市一中高考模拟考试参考答案选择题（每题5分，共60分）填空题（每题5分，共20分） 13．3π 14．425 15． 2π 16. 16解答题（共70分）18．解：（Ⅰ）50.46780.160.30.50.24a b a a b b ⨯+++⨯==+==⎧⎧⎨⎨⎩⎩由 解得分.（Ⅱ）………………………………………………………………7分230.340.250.260.170.180.1 4.8.EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∴……………9分（Ⅲ）甲学校学生的数学学习效率112;3.57=EX=X 23 4 5 6 7 8 频数 9 6 6 3 3 3 P 0.3 0.2 0.2 0.1 0.10.1x乙学校学生的数学学习效率2 1.922.512=.7EX =>∴.乙学校学生的数学学习效率更高………………………………………12分19． 证明： （Ⅰ）在ABD∆中，2222cos 4511o BD AB AD AB AD BD =+-⋅=⇒=,易得AB BD ⊥．面ABD ⊥面BDC∴AB ⊥面BDC∴AB DC ⊥ …………………………4分（Ⅱ）法一：在四面体ABCD 中，以D 为原点，DB 为x 轴，DC 为y 轴，过D 垂直于平面BDC 的直线为z 轴，建立如图空间直角坐标系. 则D （0，0，0），B （1，0，0），C（0，1，0），A （1，0，1）.……………………………………………………………6分22AD DC DE DF DE DFE AC DF ⋅===∠==, ∴60oDFE ∠=. ...... . ...... ................ ...... .............. ...... ................... .12分 法三：补成正方体．20．解: (Ⅰ) 椭圆E 的方程为2214x y +=. ...... ...................... ...... .............4分 （Ⅱ） ①因为直线l 与圆C : 222(12)x y R R +=<<相切于A ,得R =,即 222(1)t R k =+ ① ..... ..... ...... .............. ..... ...... .... ............5分21．（I ）2()ln 22,h x x x x =--21421'()42x x h x x x x--+=--=…………………………………………2分令h ’(x )=0，则4x 2+2x -1=0，解出x 1=14-, x 2=14- ………………………………………………3分110,'()0,()044x h x h x -∴<<>当时则在（，）上为增函数；………4分11,'()0,()44x h x h x -∴><∞当时则在（,+）上为减函数．……… 5分 所以()h x6分 （II ）设P 、Q 的坐标分别是112212(,),(,),0x y x y x x <<且.则M 、N 的横坐标122x x x +=. ∴C 1在点M 处的切线斜率为1122k x x =+ ，C 2在点N 处的切线斜率为122()2a x x kb +=+.………………………………7分 假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行，则12k k =， 即12122().2a x xb x x +=++……………………………………………………8分则222221212121211221212()()()()()222ln ln x x a x x ax ax b x x bx bx x x y y x x --=+-=+-++=-=- 2212112(-1).1+x x x ln x x x ∴=……………………………………………………………10分设t=21x x , 则211+-t t lnt t =>（）(1)…………① 令2-1()1+t r t lnt t t =->（）(1) 则22214(1)'()(1+)(1+)t r t t t t t -=-= 1,'()0t r t >> ∴r (t )在[1,+∞）上单调递增，故r (t )> r (1)=0.∴2-11+tlntt（），这与①矛盾，假设不成立，故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.……………………12分()()22122222223. 1 (14)sin :cos 1...................................................341y C x C x ρθρθI +=+=++曲线的普通方程:分 化为极坐标方程分 曲线的直角坐标方程:()()()()2122202 1......................................................51,0,0,211=90......................................................6 y M M PQ x y POQ OP OQ OA OB A B x =II -++=∴∠⊥⊥分在直角坐标系下， 线段是圆的一条直径，， 由，有分，是椭圆()222221214sin cos 124y A B πρθρθρθρθ+=⎛⎫++= ⎪⎝⎭上的两点，在极坐标系下， 设，，，分别代入中，222222222112sin sin 2cos 1cos 1................8424πρθρθπρθρθ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+=++= ⎪⎝⎭ 有，分222222121sin 1cos cos sin 44θθθθρρ=+=+ 解得：，． 222222122211sin cos 15cos sin 1.................................94444115...........................................................................................104OA OBθθθθρρ+=+++=+=+= 则分 即分24．解法一：（Ⅰ）由不等式｜2x －a ｜－a ≤ 2，得｜2x －a ｜≤ 2＋a ， ∵解集不空，∴2＋a ≥ 0.解不等式可得{x ∣－1≤ x ≤ 1＋a }.………………………………………3分 ∵－1≤ x ≤ 3， ∴1＋a ﹦3，即a =2.………………………………5分 （Ⅱ）记g (x )= f (x ) －f (x ＋2)=｜2x －2｜－｜2x ＋2｜，…………………6分 4,（x ≤ －1）则g (x )= －4x ,（-1﹤x ﹤1）.………………………………………8分 -4,（x ≥ 1）所以-4 ≤ g (x ) ≤ 4，∴｜g (x )｜≤ 4, 因此m ≥ 4.……………10分 解法二：∵f (x ) －f (x ＋2)=｜2x －2｜－｜2x ＋2｜，∵｜2x －2｜－｜2x ＋2｜≤｜(2x －2)－(2x ＋2)｜= 4.……………7分｜2x－2｜－｜2x＋2｜≥｜2x｜－2－（｜2x｜＋2）=－4.……9分∴－4 ≤｜2x－2｜－｜2x＋2｜≤ 4.∴｜f(x) －f(x＋2)｜≤ 4.∴m ≥ 4.…………………………………………………10分。