6-2第二节 一元二次不等式及其解法练习题(2015年高考总复习)

第二节一元二次不等式及其解法
时间：45分钟分值：75分
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．(2013·浙江卷)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁R S)∪T＝()
A．(－2,1] B．(－∞，－4]
C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
解析T＝{x|－4≤x≤1}，∁R S＝{x|x≤－2}，由集合的运算性质得(∁R S)∪T＝{x|x≤1}．
答案 C
2．(2013·黄冈市期末)已知集合A＝{x∈R||lg|x||≤1}，B＝{x∈Z|x2－2x－8<0}，则A∩B＝()
A．(－2，－1
10)∪(1
10，4) B．(－2,0)∪(0,4) C．{－1,1,2,3}
D．{－1,0,1,2,3}
解析－1<lg|x|<1，1
10<|x|<10，
∴－10<x<－1
10或1
10<x<10.
A＝{x|－10<x<－1
10，或
1
10<x<10}
B＝{x|－2<x<4，x∈Z}＝{－1,0,1,2,3} A∩B＝{－1,1,2,3}，选C.
答案 C
3．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋2，x ≤0，
－x ＋2，x ＞0，则不等式f (x )≥x 2的解集是
( )
A ．[－1,1]
B ．[－2,2]
C ．[－2,1]
D ．[－1,2]
解析 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x ＋2≥x 2或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＞0，
－x ＋2≥x
2⇒－1≤x ≤0或0＜x ≤1⇒－1≤x ≤1.
答案 A
4．若不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是( )
A ．a ≥2或a ≤－3
B ．a ＞2或a ≤－3
C ．a ＞2
D ．－2＜a ＜2
解析 原不等式可化为(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0，显然a ＝－2时不等式不恒成立，所以要使不等式对于任意的x 均成立，必须有a ＋
2＞0，且Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋2＞0，
16－4(a ＋2)(a －1)＜0，
解得a ＞2.
答案 C
5．(2014·郯城调研)已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1
2
，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )
A ．(2,3)
B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，12 D.⎝
⎛⎭
⎪⎫－∞，13∪⎝
⎛⎭
⎪⎫12，＋∞
解析 由题意，知－12，－1
3是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系，得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a .解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)，故选A.
答案 A
6．(2013·重庆卷)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )
A.5
2 B.72 C.154
D.152
解析 本题考查一元二次不等式，根与系数的关系． 由题意知⎩⎪⎨⎪
⎧
x 1＋x 2＝2a ，x 1·x 2＝－8a 2，x 2－x 1＝15⇒a ＝52或a ＝－5
2(舍去)，故选A.
答案 A
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7．已知函数f (x )的定义域为[0,2]，则f (x 2－1)的定义域为__________．
解析 令0≤x 2－1≤2， ∴x ∈[－3，－1]∪[1，3]． 答案 [－3，－1]∪[1，3]
8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x －1，x <2，
x 2，x ≥2，
则满足不等式f (x 2－4)≤f (3x )
的x 的取值范围是________．
解析 作出函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －1，x <2，
x 2，x ≥2，的图象知，函数f (x )在R
上是增函数，则由f (x 2－4)≤f (3x )可得x 2－4≤3x ，解得－1≤x ≤4.
答案 [－1,4]
9．(2013·重庆卷)设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________．
解析 由题意知Δ＝64sin 2α－32cos2α≤0， ∴2sin 2α－cos2α≤0，即1－cos2α－cos2α≤0， ∴cos2α≥12，∴2k π－π3≤2α≤2k π＋π
3，k ∈Z . ∴k π－π6≤α≤k π＋π
6，k ∈Z .又α∈[0，π]． ∴α∈⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π.
答案 ⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦
⎥⎤5π6，π
三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．解下列不等式： (1)8x －1≤16x 2;
(2)2－x x ＋3
>1；
(3)x 2－2ax －3a 2<0(a <0)．
解 (1)原不等式转化为16x 2－8x ＋1≥0，即(4x －1)2≥0，则x ∈R ，故原不等式的解集为R .
(2)原不等式可化为(2－x )－(x ＋3)x ＋3>0⇔－2x －1x ＋3>0⇔2x ＋1
x ＋3<0⇔
(2x ＋1)(x ＋3)<0⇔－3<x <－1
2.
故原不等式的解集为{x |－3<x <－1
2}．
(3)原不等式转化为(x ＋a )(x －3a )<0， ∵a <0，∴3a <－a ，得3a <x <－a . 故原不等式的解集为{x |3a <x <－a }．
11．一个服装厂生产风衣，月销售量x (件)与售价p (元/件)之间的关系为p ＝160－2x ，生产x 件的成本R ＝500＋30x (元)．
(1)该厂月产量多大时，月利润不少于1 300元？
(2)当月产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？ 解 (1)由题意知，月利润y ＝px －R ，
即y ＝(160－2x )x －(500＋30x )＝－2x 2＋130x －500. 由月利润不少于1 300元，得－2x 2＋130x －500≥1 300. 即x 2－65x ＋900≤0，解得20≤x ≤45.
故该厂月产量在20～45件时，月利润不少于1 300元． (2)由(1)得，y ＝－2x 2＋130x －500 ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －6522＋3 2252， 由题意知，x 为正整数．
故当x ＝32或33时，y 最大为1 612(元)．
所以当月产量为32或33件时，可获最大利润，最大利润为1 612元．
12．(2013·安徽卷)设函数f (x )＝ax －(1＋a 2)x 2，其中a >0，区间I ＝{x |f (x )>0}．
(Ⅰ)求I 的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；
(Ⅱ)给定常数k ∈(0,1)，当1－k ≤a ≤1＋k 时，求I 长度的最小值． 解 (Ⅰ)因为方程ax －(1＋a 2)x 2＝0(a >0)有两个实根x 1＝0，x 2＝a
1＋a 2
，
故f (x )>0的解集为{x |x 1<x <x 2}．
因此区间I ＝(0，a 1＋a 2)，I 的长度为a
1＋a 2.
(Ⅱ)设d (a )＝a
1＋a 2，则d ′(a )＝1－a 2(1＋a 2)2(a >0)．
令d ′(a )＝0，得a ＝1.由于0<k <1，故 当1－k ≤a <1时，d ′(a )>0，d (a )单调递增； 当1<a ≤1＋k 时，d ′(a )<0，d (a )单调递减．
所以当1－k ≤a ≤1＋k 时，d (a )的最小值必定在a ＝1－k 或a ＝1＋k 处取得．
而d (1－k )d (1＋k )＝1－k
1＋(1－k )2
1＋k 1＋(1＋k )2＝2－k 2－k 32－k 2＋k 3
<1， 故d (1－k )<d (1＋k )．
因此当a ＝1－k 时，d (a )在区间[1－k,1＋k ]上取得最小值1－k
2－2k ＋k .。