6-2第二节 一元二次不等式及其解法练习题(2015年高考总复习)
第二节一元二次不等式及其解法
时间：45分钟分值：75分
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．(2013·浙江卷)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁R S)∪T＝()
A．(－2,1] B．(－∞，－4]
C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
解析T＝{x|－4≤x≤1}，∁R S＝{x|x≤－2}，由集合的运算性质得(∁R S)∪T＝{x|x≤1}．
答案 C
2．(2013·黄冈市期末)已知集合A＝{x∈R||lg|x||≤1}，B＝{x∈Z|x2－2x－8<0}，则A∩B＝()
A．(－2，－1
10)∪(1
10，4) B．(－2,0)∪(0,4) C．{－1,1,2,3}
D．{－1,0,1,2,3}
解析－1<lg|x|<1，1
10<|x|<10，
∴－10<x<－1
10或1
10<x<10.
A＝{x|－10<x<－1
10，或
1
10<x<10}
B＝{x|－2<x<4，x∈Z}＝{－1,0,1,2,3} A∩B＝{－1,1,2,3}，选C.
答案 C
3．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋2，x ≤0，
－x ＋2，x ＞0，则不等式f (x )≥x 2的解集是
( )
A ．[－1,1]
B ．[－2,2]
C ．[－2,1]
D ．[－1,2]
解析 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x ＋2≥x 2或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＞0，
－x ＋2≥x
2⇒－1≤x ≤0或0＜x ≤1⇒－1≤x ≤1.
答案 A
4．若不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是( )
A ．a ≥2或a ≤－3
B ．a ＞2或a ≤－3
C ．a ＞2
D ．－2＜a ＜2
解析 原不等式可化为(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0，显然a ＝－2时不等式不恒成立，所以要使不等式对于任意的x 均成立，必须有a ＋
2＞0，且Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋2＞0，
16－4(a ＋2)(a －1)＜0，
解得a ＞2.
答案 C
5．(2014·郯城调研)已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1
2
，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )
A ．(2,3)
B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，12 D.⎝
⎛⎭
⎪⎫－∞，13∪⎝
⎛⎭
⎪⎫12，＋∞
解析 由题意，知－12，－1
3是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系，得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a .解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)，故选A.
答案 A
6．(2013·重庆卷)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )
A.5
2 B.72 C.154
D.152
解析 本题考查一元二次不等式，根与系数的关系． 由题意知⎩⎪⎨⎪
⎧
x 1＋x 2＝2a ，x 1·x 2＝－8a 2，x 2－x 1＝15⇒a ＝52或a ＝－5
2(舍去)，故选A.
答案 A
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7．已知函数f (x )的定义域为[0,2]，则f (x 2－1)的定义域为__________．
解析 令0≤x 2－1≤2， ∴x ∈[－3，－1]∪[1，3]． 答案 [－3，－1]∪[1，3]
8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x －1，x <2，
x 2，x ≥2，
则满足不等式f (x 2－4)≤f (3x )
的x 的取值范围是________．
解析 作出函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －1，x <2，
x 2，x ≥2，的图象知，函数f (x )在R
上是增函数，则由f (x 2－4)≤f (3x )可得x 2－4≤3x ，解得－1≤x ≤4.
答案 [－1,4]
9．(2013·重庆卷)设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________．
解析 由题意知Δ＝64sin 2α－32cos2α≤0， ∴2sin 2α－cos2α≤0，即1－cos2α－cos2α≤0， ∴cos2α≥12，∴2k π－π3≤2α≤2k π＋π
3，k ∈Z . ∴k π－π6≤α≤k π＋π
6，k ∈Z .又α∈[0，π]． ∴α∈⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π.
答案 ⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦
⎥⎤5π6，π
三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．解下列不等式： (1)8x －1≤16x 2;
(2)2－x x ＋3
>1；
(3)x 2－2ax －3a 2<0(a <0)．
解 (1)原不等式转化为16x 2－8x ＋1≥0，即(4x －1)2≥0，则x ∈R ，故原不等式的解集为R .
(2)原不等式可化为(2－x )－(x ＋3)x ＋3>0⇔－2x －1x ＋3>0⇔2x ＋1
x ＋3<0⇔
(2x ＋1)(x ＋3)<0⇔－3<x <－1
2.
故原不等式的解集为{x |－3<x <－1
2}．
(3)原不等式转化为(x ＋a )(x －3a )<0， ∵a <0，∴3a <－a ，得3a <x <－a . 故原不等式的解集为{x |3a <x <－a }．
11．一个服装厂生产风衣，月销售量x (件)与售价p (元/件)之间的关系为p ＝160－2x ，生产x 件的成本R ＝500＋30x (元)．
(1)该厂月产量多大时，月利润不少于1 300元？
(2)当月产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？ 解 (1)由题意知，月利润y ＝px －R ，
即y ＝(160－2x )x －(500＋30x )＝－2x 2＋130x －500. 由月利润不少于1 300元，得－2x 2＋130x －500≥1 300. 即x 2－65x ＋900≤0，解得20≤x ≤45.
故该厂月产量在20～45件时，月利润不少于1 300元． (2)由(1)得，y ＝－2x 2＋130x －500 ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －6522＋3 2252， 由题意知，x 为正整数．
故当x ＝32或33时，y 最大为1 612(元)．
所以当月产量为32或33件时，可获最大利润，最大利润为1 612元．
12．(2013·安徽卷)设函数f (x )＝ax －(1＋a 2)x 2，其中a >0，区间I ＝{x |f (x )>0}．
(Ⅰ)求I 的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；
(Ⅱ)给定常数k ∈(0,1)，当1－k ≤a ≤1＋k 时，求I 长度的最小值． 解 (Ⅰ)因为方程ax －(1＋a 2)x 2＝0(a >0)有两个实根x 1＝0，x 2＝a
1＋a 2
，
故f (x )>0的解集为{x |x 1<x <x 2}．
因此区间I ＝(0，a 1＋a 2)，I 的长度为a
1＋a 2.
(Ⅱ)设d (a )＝a
1＋a 2，则d ′(a )＝1－a 2(1＋a 2)2(a >0)．
令d ′(a )＝0，得a ＝1.由于0<k <1，故 当1－k ≤a <1时，d ′(a )>0，d (a )单调递增； 当1<a ≤1＋k 时，d ′(a )<0，d (a )单调递减．
所以当1－k ≤a ≤1＋k 时，d (a )的最小值必定在a ＝1－k 或a ＝1＋k 处取得．
而d (1－k )d (1＋k )＝1－k
1＋(1－k )2
1＋k 1＋(1＋k )2＝2－k 2－k 32－k 2＋k 3
<1， 故d (1－k )<d (1＋k )．
因此当a ＝1－k 时，d (a )在区间[1－k,1＋k ]上取得最小值1－k
2－2k ＋k .。
(完整)高中数学一元二次不等式练习题
一元二次不等式及其解法1．形如)0)(0(02≠<>++a c bx ax 其中或的不等式称为关于x 的一元二次不等式．2．一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>判别式ac b 42-=∆ 0>∆ 0=∆0<∆ 二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象()002>=++a c bx ax的解集)0(02>>++a c bx ax的解集)0(02><++a c bx ax 1、把二次项的系数变为正的。
（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正）2、解对应的一元二次方程。
（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根）3、求解一元二次不等式。
（根据一元二次方程的根及不等式的方向）不等式的解法---穿根法一．方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点. ②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立.例1:解不等式(1) (x+4)(x+5)2(2-x)3<0 x 2-4x+1 3x 2-7x+2 ≤1 解:(1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0根据穿根法如图不等式解集为{x ∣x>2或x<-4且x ≠5}.(2) 变形为 (2x-1)(x-1) (3x-1)(x-2) ≥0 根据穿根法如图不等式解集为{x |x< 1 3 或 1 2 ≤x ≤1或x>2}. 2-4 -5 2 21 1 3 1一、解下列一元二次不等式：1、0652>++x x2、0652≤--x x3、01272<++x x4、0672≥+-x x5、0122<--x x6、0122>-+x x7、01282≥+-x x 8、01242<--x x 9、012532>-+x x10、0121632>-+x x 11、0123732>+-x x 12、071522≤++x x13、0121122≥++x x 14、10732>-x x 15、05622<-+-x x16、02033102≤+-x x 17、0542<+-x x 18、0442>-+-x x19、2230x x --+≥ 20、0262≤+--x x 21、0532>+-x x22、02732<+-x x 23、0162≤-+x x 24、03442>-+x x25、061122<++x x 26、041132>+--x x 27、042≤-x28、031452≤-+x x 29、0127122>-+x x 30、0211122≥--x x31、03282>--x x 32、031082≥-+x x 33、041542<--x x34、02122>--x x 35、021842>-+x x 36、05842<--x x1．(2012年高考上海卷)不等式2－x x ＋4＞0的解集是________． 2．已知不等式ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)的解集是R ，则( )A ．a ＜0，Δ＞0B ．a ＜0，Δ＜0C ．a ＞0，Δ＜0D ．a ＞0，Δ＞03．不等式x 2x ＋1＜0的解集为( ) A ．(－1,0)∪(0，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－1,0)D ．(－∞，－1)4．已知集合P ＝{0，m }，Q ＝{x |2x 2－5x ＜0，x ∈Z }，若P ∩Q ≠∅，则m 等于( )A ．1B ．2C ．1或25D ．1或2X k b 1 . c o m 5．如果A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的集合为( )A ．{a |0＜a ＜4}B ．{a |0≤a ＜4}C ．{a |0＜a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4}6．不等式x ＋1x －2≥0的解集是( ) A ．{x |x ≤－1或x ≥2} B ．{x |x ≤－1或x >2} C ．{x |－1≤x ≤2} D ．{x |－1≤x <2}二.填空题1、不等式(1)(12)0x x -->的解集是 ；2．不等式2654x x +<的解集为____________. 3、不等式2310x x -++>的解集是 ； 4、不等式2210x x -+≤的解集是 ； 5、不等式245x x -<的解集是 ；9、已知集合2{|4}M x x =<，2{|230}N x x x =--<，则集合M N = ； 10、不等式220mx mx +-<的解集为R ，则实数m 的取值范围为 ；11、不等式9)12(2≤-x 的解集为__________. 12、不等式0＜x 2+x -2≤4的解集是___________ .13、若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x R ∈恒成立,则a 的取值范围是______________. 三、典型例题：1、已知对于任意实数x ，22kx x k -+恒为正数，求实数k 的取值范围．（1）03222<--a ax x （2）0)1(2<--+a x a x。
一元二次不等式及其解法(高考题)
一元二次不等式及其解法链接高考1.(2016浙江杭州中学期中,★☆☆)下列不等式中,与不等式<2解集相同的是()A.(x+8)(x2+2x+3)<2B.(x+8)<2(x2+2x+3)C.<D.>2.(2015天津南开中学月考,★☆☆)不等式≥2的解集是()A. B. C.∪(1,3] D.∪(1,3]3.(2013江西,6,5分,★☆☆)下列选项中,使不等式x<<x2成立的x的取值范围是()A.(-∞,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+∞)4.(2012重庆,2,5分,★☆☆)不等式≤0的解集为()A. B. C.∪[1,+∞) D.∪[1,+∞)5.(2012江西,11,5分,★☆☆)不等式>0的解集是________.6.(2015课标Ⅱ,1,5分,★★☆)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B=()A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}7.(2015山东,1,5分,★★☆)已知集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2<x<4},则A∩B=()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)8.(2015浙江,1,5分,★★☆)已知集合P={x|x2-2x≥0},Q={x|1<x≤2},则(∁R P)∩Q=()A.[0,1)B.(0,2]C.(1,2)D.[1,2]9.(2014课标Ⅰ,11,5分,★★☆)已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则A∩B=()A.[-2,-1]B.[-1,2)C.[-1,1]D.[1,2)10.(2016河北石家庄一中期中,★★☆)若不等式x2+2x+2>|a-2|对于一切实数x 均成立,则实数a的取值范围是________.11.(2012福建,15,4分,★★☆)已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立,则实数a的取值范围是________.12.(2015辽宁大连期末,★★☆)已知f(x)=ax2+x-a.(1)若函数f(x)有最大值,求实数a的值;(2)若不等式f(x)>-2x2-3x+1-2a对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围.三年模拟1.(2016四川雅安中学月考,★☆☆)不等式-x2+3x+4<0的解集为()A.{x|-1<x<4}B.{x|x>4或x<-1}C.{x|x>1或x<-4}D.{x|-4<x<1}2.(2016河南洛阳统考,★☆☆)已知集合A={x|x2<2-x},B={x|-1<x<2},则A∪B=()A.(-1,1)B.(-2,2)C.(-1,2)D.(-2,1)3.(2016 宁夏银川一中月考,★☆☆)不等式(1+x)(1-|x|)>0的解集是()A.{x|-1<x<1}B.{x|x<1}C.{x|x<-1或x>1}D.{x|x<1且x≠-1}4.(2016福建师大附中模块考试,★★☆)若关于x的方程x2+(m-1)x+m2-2=0的一个实根小于-1,另一个实根大于1,则实数m的取值范围是()A.(-,)B.(-2,0)C.(-2,1)D.(0,1)5.(2015山东日照一中校际联检,★☆☆)在R上定义运算:x*y=x(1-y).若关于x 的不等式x*(x-a)>0的解集是集合{x|-1≤x≤1}的子集,则实数a的取值范围是()A.[0,2]B.[-2,-1)∪(-1,0]C.[0,1)∪(1,2]D.[-2,0]6.(2015河北“五个一名校联盟”质检,★☆☆)设集合M={x|x2+2x-15<0},N={x|x2+6x-7≥0},则M∩N=()A.(-5,1]B.[1,3)C.[-7,3)D.(-5,3)7.(2016四川雅安中学月考,★☆☆)一元二次不等式x2+ax+b>0的解集为(-∞,-3)∪(1,+∞),则一元一次不等式ax+b<0的解集为________.8.(2015广东广州模拟,★☆☆)不等式x2-2x-3<0的解集是________.9.(2016山东潍坊一中月考,★☆☆)已知集合B=,C={x|a<x<a+1}.若B∪C=B,求实数a的取值范围.10..(2015天津南开中学月考,★★☆)解关于x的不等式>0(a∈R).。
2015届高考数学总复习(基础过关+能力训练)：不 等 式 一元二次不等式及其解法(含答案)
第六章 不 等 式第1课时 一元二次不等式及其解法1. 若不等式(m ＋1)x 2－(m ＋1)x ＋3(m －1)<0对一切实数x 均成立、则m 的取值范围为________。
答案：(－∞、－1]解析：当m ＋1＝0、即m ＝－1时、不等式变为－6<0恒成立；当m ＋1≠0时、由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，Δ＝（m ＋1）2－12（m ＋1）（m －1）<0，解不等式组得m<－1、从而知m ≤－1. 2. 不等式x>1x的解集为 ________.答案：(－1、0)∪(1、＋∞)解析：∵ x －1x >0、∴ x 2－1x>0、∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1>0，x>0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1<0，x<0， ∴ 解集为{x|x>1或－1<x<0}。
3. 若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集为(1、m)、则实数m ＝________ . 答案：2解析：由题意易知1、m 为ax 2－6x ＋a 2＝0的根且a ＞0、m ＞1、∴ a ＝2、m ＝2. 4. 已知集合A ＝{x|x 2－3x －4>0}、B ＝{x||x －3|>4}、则A ∩(∁R B)＝________。
答案：(4、7]解析：A ＝{x|x<－1或x>4}、B ＝{x|x<－1或x>7}、∁R B ＝{x|－1≤x ≤7}、A ∩(∁R B)＝(4、7]。
5. 当x ∈(1、3)时、不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立、则m 的取值范围是________。
答案：(－∞、－5]解析：(解法1)设f(x)＝x 2＋mx ＋4或不等式x 2＋mx ＋4＜0在x ∈(1、3)时恒成立、则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0，f （3）≤0，解得m ≤－5. (解法2)m<－⎝⎛⎭⎫x ＋4x 在x ∈(1、3)恒成立、故m ≤－5. 6. 不等式x(x －a ＋1)>a 的解集是{x|x<－1或x>a}、则实数a 的取值范围是________。
一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题(含答案)
一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题(含答案)一元二次不等式及其解法1.一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax>b(a≠0)的形式。
当a>0时，解集为x>b/a；当a<0时，解集为x<b/a。
2.一元二次不等式及其解法1) 我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。
2) 使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的解集。
3) 一元二次不等式的解：对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0(a>0)，我们可以先求出其对应的一元二次方程ax^2+bx+c=0的解集，然后根据一元二次函数的图像，判断不等式的解集。
3.分式不等式解法对于分式不等式f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0，我们可以先化为标准型，即将右边化为0，左边化为分母的符号，然后将分式不等式转化为整式不等式求解。
对于分式不等式f(x)/g(x)≥0或f(x)/g(x)≤0，我们可以先求出f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0的解集，然后根据分式函数的图像判断不等式的解集。
例题1：已知集合A={x|x^2-2x-3≥0}，B={x|-2≤x＜2}，则A∩B＝[-2,-1]。
例题2：设f(x)=x^2+bx+1且f(-1)=f(3)，则f(x)>0的解集为{x|x≠1，x∈R}。
例题3：已知-2<x/11<1/2，则x的取值范围是-22<x<11.解：首先求出方程2x2－8x－4＝0的解为x1＝－1，x2＝2.根据题意，不等式在(1，4)内有解，即在x1和x2之间有解，则2x2－8x－4－a的图像必定开口向上，且在x1和x2处有两个零点。
又因为a>0时，图像整体上移，不可能在(1，4)内有解，故a<0.又因为当a＝－4时，2x2－8x－4＝0在(1，4)内有解，故a的取值范围是a<－4.故选A.1) 给定不等式 $2x^2-8x-4-a>0$ 在区间 $(1,4)$ 内有解，即$a<2x^2-8x-4$ 在区间 $(1,4)$ 内有解。
6-2第二节 一元二次不等式及其解法(2015年高考总复习)
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x－1 2．不等式 ≤0的解集为( 2x＋1
1 A.－2，1 1 B.－2，1 1 C.－∞，－2∪[1，＋∞) 1 D.－∞，－2∪[1，＋∞)
)
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答案 C
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4．函数y＝ x2＋x－12的定义域是________．
解析 由x2＋x－12≥0得(x－3)(x＋4)≥0， ∴x≤－4或x≥3.
答案 (－∞，－4]∪[3，＋∞)
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基 础 自 评 1．不等式2x2－x－1＞0的解集是(
1 A.－2，1
)
B．(1，＋∞) C．(－∞，1)∪(2，＋∞)
1 D.－∞，－2∪(1，＋∞)
综上，可知－4＜m≤0.
1 2 3 (2)要使f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立，就是要使m x－2 ＋ 4
m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法：
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第六章
第二节
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12 3 方法1：令g(x)＝mx－2 ＋4m－6，x∈[1,3]．
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（完整版）一元二次不等式及其解法练习题
（完整版）一元二次不等式及其解法练习题预览说明:预览图片所展示的格式为文档的源格式展示,下载源文件没有水印,内容可编辑和复制一元二次不等式及其解法练习班级：姓名：座号：1 比较大小：（1）2 6+ （2）2 21)-；（3；（4）当0a b >>时，12log a _______12log b .2. 用不等号“>”或“<”填空：（1）,____a b c d a c b d >><（3）0a b >>? （4）22110___a b a b>>?.3. 已知0x a <<，则一定成立的不等式是（）.A ．220x a <<B ．22x ax a >>C ．20x ax <<D ．22x a ax >>4. 如果a b >，有下列不等式：①22a b >，②11a b<，③33a b >，④lg lg a b >，其中成立的是 .5. 设0a <，10b -<<，则2,,a ab ab 三者的大小关系为 .6.比较(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-的大小.7. 若2()31f x x x =-+，2()21g x x x =+-，则()f x 与()g x 的大小关系为（）. A ．()()f x g x > B ．()()f x g x = C ．()()f x g x < D ．随x 值变化而变化8.（1）已知1260,1536,aa b a b b<<<<-求及的取值范围.（2）已知41,145a b a b -≤-≤--≤-≤，求9a b -的取值范围.9. 已知22ππαβ-≤<≤，则2αβ-的范围是（）.A ．(,0)2π-B ．[,0]2π-C ．(,0]2π-D ．[,0)2π- 10.求下列不等式的解集.（1）2230x x +->；（2）2230x x -+-> （3）2230x x -+-≤.（4）24410x x -+> （5）24415x x -> （6）21340x ->（7）23100x x --> （8）2450x x -+< （9）23710x x -≤（10）2250x x -+-< （11）23100x x --+> （12）(9)0x x ->11.（1）不等式230x x -<的解集是 . （2）不等式2524x x -<的解集是 . （3）不等式(5)(2)0x x --<的解集为 . 12.不等式12--x x ≥0的解集是（） A.［2,＋∞］ B.(－∞,1)∪［2,＋∞） C.(－∞,1) D.(－∞,1)∪［2,＋∞) 13、不等式13+-x x ≤ 3的解集为 .14 y =的定义域为 .15. 函数y =的定义域是（）.A ．{|4x x <-或3}x >B ．{|43}x x -<<C ．{|4x x ≤-或3}x ≥D ．{|43}x x -≤≤ 16. 集合A ={2|540}x x x -+≤，B =2{|560}x x x -+≥，则A B I =（）. A ．{|12x x ≤≤或34}x ≤≤ B ．{|12x x ≤≤且34}x ≤≤ C ．{1，2，3，4} D ．{|41x x -≤≤-或23}x ≤≤17.2{|430}A x x x =-+<，2{|280}B x x x a =-+-≤，且A B ?，求a 的取值范围.18.不等式2223931711()()33x x x x --+-≤的解集是（）.A ．[2，4]B ．(,2][4,)-∞+∞UC ．RD ．(,2][4,)-∞-+∞U19.(1)若关于x 的一元二次方程2(1)0x m x m -+-=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围.(2)当m 是什么实数时，关于x 的一元二次方程2(1)0mx m x m --+=没有实数根.20. 已知方程20ax bx c ++=的两根为12,x x ，且12x x <，若0a <，则不等式20ax bx c ++<的解为（）.A ．RB ．12x x x <<C ．1x x <或2x x >D ．无解21若不等式220ax bx +->的解集为1{|1}4x x -<<-，则,a b 的值分别是 .22设关于x 的不等式210ax bx ++>的解集为1{|1}3x x -<<，求a b g .23.不等式220ax bx ++>的解集是11{|}23x x -<<，则a b +等于（）.A ．-14B ．14C ．-10D ．1024.若方程20ax bx c ++=（0a <）的两根为2，3，那么20ax bxc ++>的解集为（）. A ．{|3x x >或2}x <- B ．{|2x x >或3}x <- C ．{|23}x x -<< D ．{|32}x x -<< 25已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<,则不等式250bx x a -+>的解集为（） A ．11{|}32x x -<< B ．11{|}32x x x <->或 C ．{|32}x x -<< D ．{|32}x x x <->或 26已知二次不等式20ax bx c ++<的解集为1{|3x x <或1}2x >，求关于x 的不等式20cx bx a -+>的解集.27.二次不等式的解集是全体实数的条件是（1）20ax bx c ++>对一切x R ∈都成立的条件为（）（2）20ax bx c ++<对一切x R ∈都成立的条件为（）A ．00a >>?B ．00a >C ．00a ?D ．00a28.关于x 的不等式20x x c ++>的解集是全体实数的条件是（）.A ．14c <B ．14c ≤C ．14c >D ．14c ≥29.若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x R ∈恒成立,则a 的取值范围是 30. 在下列不等式中，解集是?的是（）.A ．22320x x -+>B ．2440x x ++≤C ．2440x x --<D ．22320x x -+-> 31. 关于x 的不等式2(1)10x a x ---<的解集为?，则实数a 的取值范围是（）.A ．3(,1]5-B ．(1,1)-C ．(1,1]-D ．3(,1)5-32. 若关于m 的不等式2(21)10mx m x m -++-≥的解集为空集，求m 的取值范围.33. 解关于x 的不等式2(2)20x a x a +--<（a ∈R ）.34（1）. 设2280x x a -+-≤对于一切(1,3)x ∈都成立，求a 的范围.（2）若方程2280x x a -+-=有两个实根12,x x ，且13x ≥，21x ≤，求a 的范围.35.设函数2()(8),f x ax b x a ab =+---的两个零点分别是－3和2；（1）求()f x ；（2）当函数()f x 的定义域是[0，1]时，求函数()f x 的值域.1< < < < 2.> < > < 3B 4 ③5.ab ab a <<26 <7 A 8.35、解：(1)∵f(x)的两个零点是－3和2，∴函数图象过点(－3，0)、(2，0)∴有9a －3(b －8)－a －ab ＝0 ……⑴ 4a ＋2(b －8)－a －ab ＝0 ……⑵ ⑴ －⑵得：b ＝a ＋8 … ⑶ ⑶代入⑵得：4a ＋2a －a －a(a ＋8)＝0即a 2＋3a ＝0∵a≠0 ∴a ＝－3 ∴b ＝a ＋8＝5 ∴f(x)＝－3x 2－3x ＋18 (2)由(1)得f(x)＝－3x 2－3x ＋18，图象的对称轴方程是：21-=x ，且10≤≤x ∴12)1()(min ==f x f ，18)0()(max ==f x f ∴f(x)的值域是[12,18]。
2015高考数学一轮复习一元二次不等式及其解法
(2)分离参数法
如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边，那么这时可以 通过求出不等式另一边式子的最值(或范围)来得到不等式恒成 立时参数的取值范围.一般地，a≥f(x)恒成立时，应有 a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立时，应有a≤f(x)min.
【加固训练】若函数f(x)=
【规范解答】(1)选A.不等式f(x)>0，
即(ax-1)(x+b)>0，其解集是(-1，3)，所以 a 0， ， a 1 1 ，解得 1 b 3， a b 3， 于是f(x)=(-x-1)(x-3)，所以不等式f(-2x)<0即为 (2x-1)(-2x-3)<0， 解得 x 1 或 x 3 . 2 2 (2)x2+x-2=(x-1)(x+2)<0,解得-2<x<1,解集为{x|-2<x<1}. 答案:{x|-2<x<1}
(3)①当a=0时，原不等式变为-x+1<0，此时不等式的解集为 {x|x>1}.
1 ②当a≠0时，原不等式可化为 a x 1 (x ) 0. a 1 若a<0，则上式即为 x 1 (x ) 0， a 又因为 1 1， 所以此时不等式的解集为{x|x>1或 x 1 }. a a 若a>0，则上式即为 (x 1)(x 1 ) 0. a 1 (ⅰ)当 1 1， 即a>1时，原不等式的解集为 {x | x 1}； a a (ⅱ)当 1 1， 即a=1 a 1 (ⅲ)当 1， 即0<a<1时，原不等式的解集为 {x |1 x 1}. a a
【解析】(1)正确.由不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2)可知函 数对应的抛物线开口向上，因此必有a>0. (2)正确.由一元二次不等式的解集与相应方程的根的关系可知 结论是正确的.
2015届高考数学总复习第六章 第二节一元二次不等式及其解法课件 理
由于x2－2x＋1＝(x－1)2≥0.
所以原不等式等价于
所以原不等式的解集为{x|－2≤x<1或1<x≤4} 点评:(1)解分式不等式的指导思想是将分式不等式转化为整 式不等式 , (2)解分式不等式或高次不等式常用穿根法．利用穿根法解不
等式时，分解因式后各因式中x的最高次项系数须为正．
变式探究
给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函
数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．
变式探究
4．已知f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a
恒成立，则a的取值范围是__________．
解析：由已知得x2－2ax＋2－a≥0在x∈[－1，＋∞)上恒成 立，令g(x)＝x2－2ax＋2－a， Δ＞0， 2 即Δ＝4a －4(2－a)≤0或a≤－1， 解得－3≤a≤1. g－1≥0， 答案：[－3,1]
－6<0，可以用一次函数的单调性求解．
解析：将f(x)<－m＋5变为m(x2－x＋1)－6<0，则命题 等价于m∈[－2,2]时，g(m)＝m(x2－x＋1)－6<0恒成立． ∵x2－x＋1＞0，∴g(m)在[－2,2]上单调递增， ∴只要g(2)＝2(x2－x＋1)－6<0， 即x2－x－2<0，解得－1<x<2. 答案：(－1,2)
第六章
第二节 一元二次不等式及其解法
解一元二次不等式
【例1】 解下列不等式：
(1)19x－3x2≥6； (2)0＜x2－x－2≤4.
自主解答：
解析：(1)(法一)原不等式可化为3x2－19x＋6≤0，
方程3x2－19x＋6＝0的解为x1＝
，x2＝6.
函数y＝3x2－19x＋6的图象开口向上且与x轴有两个交点
2015届高考数学热点题型训练：第6章 第2节 一元二次不等式及其解法含解析
第二节 一元二次不等式及其解法1．一元二次不等式的解法是高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，难度适中，属中档题．2．高考对一元二次不等式解法的考查常有以下几个命题角度：(1)直接考查一元二次不等式的解法；(2)与函数的奇偶性等相结合，考查一元二次不等式的解法；(3)已知一元二次不等式的解集求参数．[例1] (1)(2013·广东高考)不等式x 2＋x －2<0的解集为______________．(2)(2013·江苏高考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________________．(3)(2013·重庆高考)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )A.52B.72C.154D.152[自主解答] (1)由x 2＋x －2<0，得(x －1)(x ＋2)<0，∴－2<x <1，即不等式x 2＋x －2<0的解集为{x |－2<x <1}．(2)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0，又当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝x 2＋4x .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－x 2－4x (x <0)， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ，0，－x 2－4x ， x >0，x ＝0，x <0. ①当x >0时，由f (x )>x ，得x 2－4x >x ，解得x >5；②当x ＝0时，f (x )>x 无解；③当x <0时，由f (x )>x ，得－x 2－4x >x ，解得－5<x <0.综上得不等式f (x )>x 的解集用区间表示为(－5,0)∪(5，＋∞)．(3)法一：∵不等式x 2－2ax －8a 2<0的解集为(x 1，x 2)，∴x 1，x 2是方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根．由韦达定理知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2， ∴x 2－x 1＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝a 2－－8a 2＝15，又∵a >0，∴a ＝52. 法二：由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，∵a >0，∴不等式x 2－2ax －8a 2<0的解集为(－2a,4a )，又∵不等式x 2－2ax －8a 2<0的解集为 (x 1，x 2)，∴x 1＝－2a ，x 2＝4a .∵x 2－x 1＝15，∴4a －(－2a )＝15，解得a ＝52. [答案] (1){x |－2<x <1} (2)(－5,0)∪(5，＋∞) (3)A一元二次不等式的解法问题的常见类型及解题策略(1)直接求解一元二次不等式．①对于常系数一元二次不等式，可以用因式分解法或判别式法求解；②对于含参数的不等式，首先需将二次项系数化为正数，若二次项系数不能确定，则需讨论它的符号，然后判断相应的方程有无实根，最后讨论根的大小，即可求出不等式的解集．(2)与函数的奇偶性相结合的一元二次不等式的解法．先借助函数的奇偶性确定函数的解析式，然后求解，或直接根据函数的性质求解．(3)已知一元二次不等式的解集求参数．根据根与系数的关系求解．1．已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，即Δ＝(－a )2－8a <0，∴0<a <8，即a 的取值范围是(0,8)．答案：(0,8)2．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析：∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝0，∴b －a 24＝0，∴f (x )＝x 2＋ax ＋a 24＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 22. 又∵f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，∴m ，m ＋6是方程x 2＋ax ＋a 24－c ＝0的两根． 由一元二次方程根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋6＝－a ，m m ＋＝a 24－c ，解得c ＝9.答案：93．解关于x 的不等式：x 2－(3＋a )x ＋3a >0.解：∵x 2－(3＋a )x ＋3a >0，∴(x －3)(x －a )>0.①当a <3时，x <a 或x >3，不等式的解集为{x |x <a 或x >3}；②当a ＝3时，不等式为(x －3)2>0，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠3}；③当a >3时，x <3或x >a ，不等式的解集为{x |x <3或x >a }．[例2] 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围；(2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．[自主解答] (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0. 所以m 的取值范围为(－4,0]．(2)要使f (x )<－m ＋5在[1,3]上恒成立，只需mx 2－mx ＋m <6恒成立(x ∈[1,3])，又因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0， 所以m <6x 2－x ＋1. 令y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34， 因为t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上是增函数， 所以y ＝6x 2－x ＋1在[1,3]上是减函数． 因此函数的最小值y min ＝67. 所以， m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67. 【互动探究】在本例条件下，求使f (x ) <0，且|m |≤1恒成立的x 的取值范围．解：将不等式f (x )<0整理成关于m 的不等式为(x 2－x )m －1<0.令g (m )＝(x 2－x )m －1，m ∈[－1,1]．则⎩⎪⎨⎪⎧ g －，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x －1<0，x 2－x －1<0， 解得1－52<x <1＋52， 即x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1－52，1＋52. 【方法规律】不等式恒成立问题的求解方法(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最值．已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解：法一：f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a .①当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3. 要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a ＜－1；②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围为[－3,1]．法二：令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立， 即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，a <－1，g －解得－3≤a≤1.故a的取值范围是[－3,1]．[例3] 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品每件销售价每提高1元，销售量就要减少10件，则他将销售价每件定为多少元时，才能使得每天所获的利润最大？销售价每件定为多少元时，才能保证每天所获的利润在300元以上？[自主解答] 设每件提高x元(0≤x≤10)，则每件获利润(2＋x)元，每天可销售(100－10x)件，又设每天获的利润为y元，由题意有y＝(2＋x)(100－10x)＝－10x2＋80x＋200.当x＝4时，y取得最大值360.∴当售价定为每件14元时，每天所获利润最大，为360元．要使每天所获的利润在300元以上，则有－10x2＋80x＋200>300，即x2－8x＋10<0，解得4－6<x<4＋ 6.故每件定价在(4－6)元到(4＋6)元之间[不含(4－6)元和(4＋6)元]时，才能保证每天所获的利润在300元以上．【方法规律】求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义．(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．某农贸公司按每担200元收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．(1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．解：(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元．依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝150a(100＋2x)·(10－x)(0<x<10)．(2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元)．依题意得150a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，化简得x2＋40x－84≤0，解得－42≤x≤2.又∵0<x<10，∴0<x≤2.即x的取值范围为(0,2]．———————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————个过程——一元二次不等式的求解过程解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符号)，二算(计算判别式，判断方程根的情况)，三写(写出不等式的解集)．种思想——分类讨论和转化思想(1)分类讨论的思想：含有参数的一元二次不等式一般需要分类讨论．在判断方程根的情况时，判别式是分类的标准；需要表示不等式的解集时，根的大小是分类的标准．(2)转化思想：不等式在指定范围的恒成立问题，一般转化为求函数的最值或值域问题．个注意点——解含参数不等式应注意的问题(1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数为零的情况．(2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．(3)不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．。
2015届高考数学(理)一轮复习真题汇编模拟训练6-2《一元二次不等式及其解法》
1. [2014·许昌模拟]若不等式ax 2＋bx －2<0的解集为{x |－2<x <14}，则ab ＝( ) A ．－28B ．－26C ．28D ．26解析：∵－b a ＝－74，－2a ＝－12， ∴a ＝4，b ＝7，ab ＝28.选C 项．答案：C2. [2014·皖南八校联考]不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. [－1,4]B. (－∞，－2]∪[5，＋∞)C. (－∞，－1]∪[4，＋∞)D. [－2,5]解析：x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4，故选A.答案：A3. [2013·浙江高考]已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( )A. a >0,4a ＋b ＝0B. a <0,4a ＋b ＝0C. a >0,2a ＋b ＝0D. a <0,2a ＋b ＝0解析：∵f (0)＝f (4)>f (1)，∴c ＝16a ＋4b ＋c >a ＋b ＋c ，∴16a ＋4b ＝0，即4a ＋b ＝0，且15a ＋3b >0，即5a ＋b >0，而5a ＋b ＝a ＋4a ＋b ，∴a >0.故选A.答案：A4. [2014·大连模拟]若关于x 的不等式ax －b >0的解集为(－∞，1)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)>0的解集为________．解析：由题意可得a ＝b <0，故(ax ＋b )(x －2)>0等价于(x ＋1)(x －2)<0，解得－1<x <2，故所求不等式的解集为(－1,2)．答案：(－1,2)5. [2013·天津调研]设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈[32，＋∞)，f (x m)－4m 2f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：依据题意得x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈[32，＋∞)上恒成立， 即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x ∈[32，＋∞)上恒成立． 即(1m 2－4m 2)≤(－3x 2－2x＋1)min ， 当x ＝32时函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53， 所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0， 解得m ≤－32或m ≥32. 答案：(－∞，－32]∪[32，＋∞)。