云南省德宏州芒市一中_学年高一数学上学期期末试卷(含解析)

2015-2016学年云南省德宏州芒市一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（每题5分，共60分）1．已知U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，3，5，7}，B={2，4，5}则∁U（A∪B）（）A．{6，8} B．{5，7} C．{4，6，7} D．{1，3，5，6，8}2．函数y=的定义域是（）A．（1，2] B．（1，2）C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）3．已知sinα=，则cos（﹣α）=A．﹣B．﹣C．D．4．函数的最小正周期是（）A．4πB．2πC．πD．5．函数f（x）=log2x+2x﹣1的零点所在的区间为（）A．B．C．D．（1，2）6．已知α为第二象限角，且，则tan（π+α）的值是（）A．B．C． D．7．要得到的图象，只需将y=3sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位8．已知a=log0.60.5，b=ln0.5，c=0.60.5．则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a9．若f（x）=，则f（f（3））=（）A．1 B．﹣1 C．﹣D．10．函数y=log2（x+1）的图象大致是（）A．B．C．D．11．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=B．y=e﹣x C．y=﹣x2+1 D．y=lg|x|12．已知函数f（x）=sin（x﹣）（x∈R），下面结论错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）在区间[0，]上是增函数C．函数f（x）的图象关于直线x=0对称D．函数f（x）是奇函数二、填空题（每题5分，共20分）13．若，则= ．14．log35•log56•log69= ．15．函数y=cos（2x﹣）的单调递减区间为．16．一种新款手机的价格原来是a元，在今后m个月内，价格平均每月减少p%，则这款手机的价格y元随月数x变化的函数解析式：．三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17．设U=R，A={x|1≤x≤3}，B={x|2＜x＜4}，C={x|a≤x≤a+1}，a为实数，（1）分别求A∩B，A∪（∁U B）；（2）若B∩C=C，求a的取值范围．18．已知f（α）=．（1）化简f（α）；（2）若角α终边上一点的坐标为（5a，12a），a≠0，求f（α）的值．19．某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值．20．函数y=Asin（ωx+ϕ），（A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π）在一个周期内的图象如图所示．（1）求该函数的解析式．（2）当时，求该函数的值域．21．已知函数f（x）=log a（1+x），g（x）=log a（1﹣x），其中（a＞0且a≠1），设h（x）=f （x）﹣g（x）．（1）判断h（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若f（3）=2，求使h（x）＞0成立的x的集合．22．已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）=2，f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）当x∈[﹣1，2]时，求函数的最大值和最小值．2015-2016学年云南省德宏州芒市一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1．已知U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，3，5，7}，B={2，4，5}则∁U（A∪B）（）A．{6，8} B．{5，7} C．{4，6，7} D．{1，3，5，6，8}【考点】补集及其运算；并集及其运算．【专题】计算题．【分析】由已知中U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，3，5，7}，B={2，4，5}，我们根据集合并集的运算法则求出A∪B，再利用集合补集的运算法则即可得到答案．【解答】解：∵U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，3，5，7}，B={2，4，5}∴A∪B={1，2，3，4，5，7}，∴C u（A∪B）={6，8}故选A【点评】本题考查的知识点是集合补集及其运算，集合并集及其运算，属于简单题型，处理时要“求稳不求快”2．函数y=的定义域是（）A．（1，2] B．（1，2）C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）【考点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．【专题】计算题．【分析】由函数的解析式知，令真数x﹣1＞0，根据，得出x≤2，又在分母上不等于0，即x≠2最后取交集，解出函数的定义域．【解答】解：∵log2（x﹣1），∴x﹣1＞0，x＞1根据，得出x≤2，又在分母上不等于0，即x≠2∴函数y=的定义域是（1，2）故选B．【点评】本题主要考查对数及开方的取值范围，同时考查了分数函数等来确定函数的定义域，属基础题．3．已知sinα=，则cos（﹣α）=A．﹣B．﹣C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】原式利用诱导公式化简，将sinα的值代入即可求出值．【解答】解：∵sinα=，∴cos（﹣α）=sinα=．故选C【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．4．函数的最小正周期是（）A．4πB．2πC．πD．【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】直接利用三角函数y=Asin（ωx+φ）的周期公式T=进行求解，求出函数的周期即可．【解答】解：由三角函数的周期公式可知，函数的最小正周期是=4π．故选：A．【点评】本题考查三角函数的周期公式的应用，熟练掌握三角函数y=Asin（ωx+φ）的周期公式T=是解题的关键，属于基础题，是送分题．5．函数f（x）=log2x+2x﹣1的零点所在的区间为（）A．B．C．D．（1，2）【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题．【分析】由于连续函数f（x）=log2x+2x﹣1 满足 f（）=﹣1＜0，f（1）=1＞0，根据函数零点判定定理，由此求得函数的零点所在的区间．【解答】解：由于连续函数f（x）=log2x+2x﹣1 满足 f（）=﹣1＜0，f（1）=1＞0，且函数在区间上单调递增，故函数f（x）=log2x+2x﹣1的零点所在的区间为．故选B．【点评】本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于基础题．6．已知α为第二象限角，且，则tan（π+α）的值是（）A．B．C． D．【考点】诱导公式的作用；同角三角函数间的基本关系．【专题】三角函数的求值．【分析】由α为第二象限角，根据sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，进而求出tanα的值，原式利用诱导公式化简，将tanα的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵α为第二象限角，sinα=，∴cosα=﹣=﹣，∴tanα==﹣，则tan（π+α）=tanα=﹣．故选D【点评】此题考查了诱导公式的作用，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．7．要得到的图象，只需将y=3sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题．【分析】根据左加右减的原则进行左右平移即可．【解答】解：∵，∴只需将y=3sin2x的图象向左平移个单位故选C．【点评】本题主要考查三角函数的平移．三角函数进行平移时的原则是左加右减上加下减．8．已知a=log0.60.5，b=ln0.5，c=0.60.5．则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据指数函数和对数函数的性质即可得到结论．【解答】解：log0.60.5＞1，ln0.5＜0，0＜0.60.5＜1，即a＞1，b＜0，0＜c＜1，故a＞c＞b，故选：B【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用指数函数和对数函数的单调性是解决本题的关键．9．若f（x）=，则f（f（3））=（）A．1 B．﹣1 C．﹣D．【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数由里及外逐步求解即可．【解答】解：f（x）=，则f（f（3））=f（1﹣6）=f（﹣5）=sin（﹣）=﹣．故选：C．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．10．函数y=log2（x+1）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】对数函数的图像与性质；函数的图象与图象变化．【专题】计算题．【分析】函数y=log2（x+1）的图象是把函数y=log2x的图象向左平移了一个单位得到的，由此可得结论．【解答】解：函数y=log2（x+1）的图象是把函数y=log2x的图象向左平移了一个单位得到的，定义域为（﹣1，+∞），过定点（0，0），在（﹣1，+∞）上是增函数，故选B．【点评】本题主要考查对数函数的图象与性质，函数图象的变换，属于基础题．11．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=B．y=e﹣x C．y=﹣x2+1 D．y=lg|x|【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D 在区间（0，+∞）上单调递增，可得结论．【解答】解：根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D在区间（0，+∞）上单调递增，故选：C．【点评】本题考查奇偶性与单调性的综合，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．12．已知函数f（x）=sin（x﹣）（x∈R），下面结论错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）在区间[0，]上是增函数C．函数f（x）的图象关于直线x=0对称D．函数f（x）是奇函数【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性．【专题】常规题型．【分析】先利用三角函数的诱导公式化简f（x），利用三角函数的周期公式判断出A对；利用余弦函数图象判断出B；利用三角函数的奇偶性判断出C，D．【解答】解：∵y=sin（x﹣）=﹣cosx，∴T=2π，A正确；y=cosx在[0，]上是减函数，y=﹣cosx在[0，]上是增函数，B正确；由图象知y=﹣cosx关于直线x=0对称，C正确．y=﹣cosx是偶函数，D错误．故选D【点评】本题考查三角函数的诱导公式；三角函数的周期公式；三角函数的奇偶性．二、填空题（每题5分，共20分）13．若，则= ．【考点】同角三角函数基本关系的运用；弦切互化．【专题】计算题．【分析】分式的分子、分母同除cosα，利用已知条件求出分式的值．【解答】解：．故答案为：【点评】本题考查同角三角函数基本关系的应用，弦切互化，考查计算能力，是基础题．14．log35•log56•log69= 2 ．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用．【分析】直接利用导数的运算法则化简求解即可．【解答】解：log35•log56•log69=2=2．故答案为：2．【点评】本题考查对数运算法则的应用，考查计算能力．15．函数y=cos（2x﹣）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z ．【考点】余弦函数的单调性．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用余弦函数的单调性求得函数y=cos（2x﹣）的单调递减区间．【解答】解：对于函数y=cos（2x﹣），令2kπ≤2x﹣≤2kπ+π，求得kπ+≤x≤kπ+，故函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，故答案为：[kπ+，kπ+]，k∈Z．【点评】本题主要考查余弦函数的单调性，属于基础题．16．一种新款手机的价格原来是a元，在今后m个月内，价格平均每月减少p%，则这款手机的价格y元随月数x变化的函数解析式：y=a（1﹣p%）x（0≤x≤m）．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】应用题；规律型；函数的性质及应用．【分析】分别取x=1，2，3，得出相应的价格表达式，归纳出，经过x个月后，价格为：a（1﹣p%）x，x≤m．【解答】解：根据题意，因为原价为a元，价格每月减少p%，因此，经过以一个月后（x=1），价格为：a（1﹣p%），再过一个月后（x=2），价格为：a（1﹣p%）（1﹣p%），再过一个月后（x=3），价格为：a（1﹣p%）（1﹣p%）（1﹣p%），…经过x个月后，价格为：a（1﹣p%）x，x≤m，所以，价格y元随月数x变化的函数解析式为：y=a（1﹣p%）x（0≤x≤m）．故答案为：y=a（1﹣p%）x（0≤x≤m）．【点评】本题主要考查了函数解析式的求解及常用方法，通过自变量x=1，2，3，观察出表达式的特征，归纳出函数的解析式，属于基础题．三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17．设U=R，A={x|1≤x≤3}，B={x|2＜x＜4}，C={x|a≤x≤a+1}，a为实数，（1）分别求A∩B，A∪（∁U B）；（2）若B∩C=C，求a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】函数的性质及应用．【分析】本题（1）先求出集合B的补集，再求出A∪（∁U B），得到本题结论；（2）由B∩C=C 得到C⊆B，再比较区间的端点，求出a的取值范围，得到本题结论．【解答】解：（1）∵A={x|1≤x≤3}，B={x|2＜x＜4}，∴∁u B={x|x≤2或x≥4}，∴A∩B={x|2＜x≤3}，A∪（∁U B）={x|x≤3或x≥4}．（2）∵B∩C=C，∴C⊆B．∵B={x|2＜x＜4}，C={x|a≤x≤a+1}，∴2＜a，a+1＜4，∴2＜a＜3．【点评】本题考查了集合运算的知识，本题难度不大，属于基础题．18．已知f（α）=．（1）化简f（α）；（2）若角α终边上一点的坐标为（5a，12a），a≠0，求f（α）的值．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】（1）f（α）利用诱导公式化简，约分即可得到结果；（2）由角α终边上一点的坐标，利用任意角的三角函数定义求出cosα的值，即可确定出f （α）的值．【解答】解：（1）f（α）==cosα；（2）∵r==13|a|，当a＞0时，cosα===，此时f（α）=cosα=；当a＜0时，cosα==﹣=﹣，此时f（α）=cosα=﹣．【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，以及同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．19．某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值．【考点】根据实际问题选择函数类型；二次函数的性质．【专题】应用题．【分析】设每个提价x元（x≥0），利润为y元，根据每天的利润=每天销售总额﹣进货总额建立函数关系，然后根据二次函数在闭区间上求值域的方法求出函数的最值．【解答】解：设每个提价x元（x≥0），利润为y元；…（1分）日销量（100﹣10x）个；…（2分）每天销售总额为（10+x）（100﹣10x）元；…（3分）进货总额为8（100﹣10x）元．…（4分）显然100﹣10x＞0，x＜10．…（5分）y=（10+x）（100﹣10x）﹣8（100﹣10x）…（7分）=﹣10x2+80x+200…（8分）=﹣10（x﹣4）2+360（0≤x＜10）…（10分）当x=4时，y取得最大值360，…（11分）故销售单价为14元，最大利润为360元．…（12分）【点评】本题主要考查了根据实际问题选择函数类型，以及二次函数的性质，同时考查了建模的能力，属于中档题．20．函数y=Asin（ωx+ϕ），（A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π）在一个周期内的图象如图所示．（1）求该函数的解析式．（2）当时，求该函数的值域．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数的值域．【专题】数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由图可知A=2，由周期公式可得ω=2，代入点（﹣，2）可得ϕ=，可得y=2sin（2x+）；（2）由，可得2x+∈[，π]，结合正弦函数的图象可得．【解答】解：（1）由图可知A=2，T=﹣（﹣）=，解得ω=2，∴y=2sin（2x+ϕ），代入点（﹣，2）可得2=2sin（﹣+ϕ），∴sin（﹣+ϕ）=1，﹣+ϕ=+2kπ，k∈Z，∵0＜ϕ＜π，∴当k=时，ϕ=，∴函数的解析式为y=2sin（2x+）；（2）∵，∴2x+∈[，π]，∴当2x+=即x=时，函数取最小值﹣；当2x+=即x=﹣时，函数取最大值2，故函数的值域为[﹣，2]．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的解析式求解和值域，属基础题．21．已知函数f（x）=log a（1+x），g（x）=log a（1﹣x），其中（a＞0且a≠1），设h（x）=f （x）﹣g（x）．（1）判断h（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若f（3）=2，求使h（x）＞0成立的x的集合．【考点】函数奇偶性的判断；对数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】（1）由对数的意义，确定函数h（x）的定义域，再验证h（﹣x）与h（x）的关系，即可得到结论；（2）确定函数h（x）的解析式，从而可得对数不等式，利用对数函数的单调性，即可求得使h（x）＞0成立的x的集合．【解答】解：（1）由题意得1+x＞0，即x＞﹣1，∴函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），1﹣x＞0，即x＜1，∴函数g（x）的定义域为（﹣∞，1），∴函数h（x）的定义域为（﹣1，1）．∵对任意的x∈（﹣1，1），﹣x∈（﹣1，1），h（﹣x）=f（﹣x）﹣g（﹣x）=log a（1﹣x）﹣log a（1+x）=g（x）﹣f（x）=﹣h（x），∴h（x）是奇函数．…（6分）（2）由f（3）=2，得a=2．此时h（x）=log2（1+x）﹣log2（1﹣x），由h（x）＞0即log2（1+x）﹣log2（1﹣x）＞0，∴log2（1+x）＞log2（1﹣x）．由1+x＞1﹣x＞0，解得0＜x＜1．故使h（x）＞0成立的x的集合是{x|0＜x＜1}．…（12分）【点评】本题考查函数奇偶性的判断，考查解不等式，考查对数的运算法则，属于中档题．22．已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）=2，f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）当x∈[﹣1，2]时，求函数的最大值和最小值．【考点】函数单调性的判断与证明；函数的最值及其几何意义；抽象函数及其应用．【专题】计算题；函数思想；方程思想；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）利用已知条件列出方程组，即可求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）利用二次函数的对称轴，看看方向即可求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）利用函数的对称轴与x∈[﹣1，2]，直接求解函数的最大值和最小值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由f（0）=2，得c=2，又f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1得2ax+a+b=2x﹣1，故，解得：a=1，b=﹣2，所以f（x）=x2﹣2x+2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）f（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，图象对称轴为x=1，且开口向上所以，f（x）单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（﹣∞，1）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅲ）f（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，对称轴为x=1∈[﹣1，2]，故f min（x）=f（1）=1，又f（﹣1）=5，f（2）=2，所以f max（x）=f（﹣1）=5．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题考查二次函数的最值，函数的解析式以及单调性的判断，考查计算能力．。