数学三模拟试题(一)参考答案

数学三模拟试题（一）参考答案

一、填空题

(1) 答案 -f(0).

[解] 20

2

1

)()(lim

cos ln )()(lim

x dt

t tf dt t f x x

dt t f t x x x

x x

x --=-⎰⎰⎰→→

=).0(1

)

(lim

)(lim

f x f x

dt t f x x

x -=-=-→→⎰ (2) 答案

2

e . [解] 令u = ln x ，u e u

f +='1)(，x e x f +='1)(，所以，f (x ) = x +x

e + C.

令t = 2x ，⎰

'2

1

)2(dx x f =

2

)]0()1([21)(2110e

f f dt t f =-='⎰. (3) 答案

)258(9

2

-. [解] 原式=

⎰

⎰⎰-==θ

πππππ

πθθθθθcos 20

242

4332

24

]

sin 3

1

[sin 38cos 38d dr r d =

)258(9

2

-. (4) 答案 12.

[解] 由已知，|*

A | =2||A = 36，A = |A |1)(-*A 的特征值为

6

|

|,3||,2||--A A A ， 当|A | = 6时，A 的特征值为3，-2，-1，B - E 的特征值为2，-3，-2，所以，|B - E | = 12； 当|A | = -6时，A 的特征值为-3，2，1，B - E 的特征值为-4，1，0，所以，|B - E | = 0； 因此，|B - E |的最大值为12. (5) 答案 0.5

[解] A={所得三个点都不一样}, B={三个点中有一点}, 则所求概率为 .2

1

4564513)(=⨯⨯⨯⨯⨯=

A B P

或 .2

1

6/4566/4513)()()(3

3=⨯⨯⨯⨯⨯==A P AB P A B P (6) 答案

2

3 [解] 因为

)1,0(~221N X X σ

+, )3(~)(13252

4

232χσX X X ++

且

σ

221X X +与)(12

524232X X X ++σ独立,于是 .2

3)3(~)(23

3

/)(1

225

242321252

4232

2

1=⇒+++=

+++a t X X X X X X X X X X σσ

二、选择题

(1) 答案(C).

[解] 令u = x - t ，F (x ) =⎰⎰⎰-=-x

x x du u uf du u f x du u f u x 000)(2)()()2(，

所以，

⎰x

du u f 0

)(为奇函数，⎰x du u uf 0

)(为偶函数，即F (x )为偶函数.

又0)]()([)()()(0

<-=-=

'⎰⎰x

x

du x f u f x xf du u f x F ，即F (x )单调减少.

因此，选(C).

(2) 答案 (B).

[解] 由已知得0)

()(lim

3

≠--→x

x f x f x ，

又x

x f x f x x f x f x x f x f x x x 6)

()(lim

3)

()(lim

)

()(lim

2

3

-''-''=-'+'=--→→→

=0)0(3

1

6)()(lim

≠'''=-'''+'''→f x f x f x ，所以有0)0(2)]()([lim 0='=-'+'→f x f x f x ，

因此，得到0)0(='f ，而不能确定)0(f ''是否为零，故选(B).

(3) 答案 (B).

[解] 由已知，)(1x V =⎰x

dx x f 0

2)(π

，)(2x V =⎰x

dx x xf 0

)(2π，

所以，21

)(2)(lim 22

10==+→x xf x f V V x ππ，故选(B).

(4) 答案 (D).

[解] 因为向量组III 线性相关，所以，矩阵AB 不可逆，即A 与B 至少有一个不可逆， 即向量组I 与II 至少有一个线性相关，所以，选(D).

(5) 答案 (D)

[解] 对于n 阶矩阵A,有Ax=0只有零解n A r =⇔)(⇔Ax=b 有唯一解⇔A 可逆⇔A 的行向量组线性无关⇔0≠A ⇔A 无零特征值，故5个命题是等价的, 应选(D).

(6) 答案 (A)

[解] 因为

)1,0(~2

4

),

4,0(~44

1

4

1

N X

N X

i i

i i

∑∑==--，

所以 .1,4

1

)1(~]2

4

[

224

1

==

⇒-∑=n k X

i i

χ 三、[解]

曲线y = f (x )在点(1 , 0)处的切线方程为y = )1)(1(-'x f ，令x = 0，

得切线在y 轴上的截距为-)1(f '= -1，所以，)1(f '= 1.

故 e e e

e n

f f n f n f n nf n n n n ====++'-++∞→∞

→∞

→)1(1)

1()1

1(lim

)1

1(lim )]11(1[lim .

四、[解]

⎰

∞+0

2)(dx x f x =⎰⎰∞+-∞

+∞+∞+-='-0

3030303231)(31)(31)(31dx e x x f x dx x f x x f x x

=)(lim 3161)1(61)(313020322x f x e e

x x f x x x x +∞

→∞

+--∞++-=-++ =4

333)

(lim 3161)(lim 3161)(lim 3161-+∞→-+∞→+∞→-'+-=+-=+-

x x f x x f x f x x x x =6

1

3lim 31612

-

=-+-

-+∞→x e x x . 五、[证]

1） 由x x f x )(lim

→=A A x

x f x f x f f f x x ==--='⇒=⇒→→)

(lim 0)0()(lim

)0(0)0(00,即f(x)在x=0处可导.

2）由于0)(lim ='+∞

→x f x ，故,0,0>∃>∀M ε当x>M 时，恒有.2

)(ε

<

'x f 又根据微分

中值定理，),(x M ∈∃ξ，使

).()

()(ξf M

x M f x f '=-- 故当x>M 时，

)(2

)()(2

)()()(M x M f x f f M

x M f x f -+

<⇒<

'=--ε

ε

ξ

所以 x x

M f x

x f ()()(0εε<+<

<

充分大），从而.0)

(lim

=+∞

→x

x f x