四年级奥数第一讲 数的整除问题

第一讲数的整除问题

一、基本概念和知识：

1、整除：

定义：一般地，如果a，b，c为整数，且a÷b=c，我们就说，a能被b整除（或者说b 能整除a）。用符号“b| a”表示。

2、因数和倍数：

如果a能被b整除，即a÷b=c

由a÷b=c得：a=b×c，我们就说b（c）是a的因数（或约数），a是b（c）的倍数.提醒：一个数的因数个数是有限的，最小因数是１，最大因数是它本身。

练习：

写出下面每个数的所有的因数：

1的因数：__________________； 7的因数：__________________；

2的因数：__________________； 8的因数：__________________；

3的因数：__________________； 9的因数：__________________；

4的因数：__________________； 10的因数：__________________；

5的因数：__________________； 11的因数：__________________；

6的因数：__________________； 12的因数：__________________；

公因数（公约数）：几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数（公约数）。如：3和4的公因数是：___________，6和8的公因数是：___________，

3、质数与合数：

在上面的题目中，我们发现，1只有1个因数，有些数只有2个因数，还有些数有很多因数。根据因数的多少，我们可以把大于1的自然数分为两类：质数与合数。

（１）质数：一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做质数（素数）。（２）合数：一个数，除了１和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。

（３）0和１既不是质数，也不是合数。、

请写出20以内的所有质数：_____________________________________________________ 注意：最小的质数是____，质数里面除了______是偶数外，其它都是______数。

4、互质数：公因数只有1的两个自然数，叫做互质数。

这里所说的“两个数”是指除0外的所有自然数。“公因数只有1”，不能误说成“没有公因数。”

例如，2与7、13与19、3与10、5与 26等等

4、质因数

每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,其中每个质数都是这个合数的因数,它们叫做这个合数的质因数

练习：

13×4=52,13和4都是52的因数吗？13和4都是52的质因数吗？

分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数

练习---把下列各数分解质因数

（1）21 （2）42 （3）36

当数字比较大的时候，我们用短除法可以快速的分解质因数

例题---用短除法把下列各数分解质因数

（1）180 （2）630

练习

1、把下列各数分解质因数

（1）960 （2）2520

2、（第九届小学希望杯全国数学邀请赛）在小于30的质数中，加3以后是4的倍数的是

3、（2012年第十届希望杯试题）只能被1和他本身整除的自然数叫做质数, 如：2,3,5,7等，那么，比40大并且比50小的质数是，小于100的最大的质数是。

4、（第七届希望杯试题）若用G（a）表示自然数a的约数的个数，如：自然数6的约数有1、2、3、6，共4个，记作G（6）=4，则G(36)+G(42)= .

5、(2016年第十四届希望杯)已知a,b,c都是质数，若a×b+b×c=119，则a+b+c= .

二、数的整除性：

1、能被2整除的数的特征：个位数一定是0，2，4，6或8。

偶数：能被2整除的整数称为偶数，如：0，2，4，6，8，10，12，14，…

奇数：不能被2整除的整数称为奇数。如：1，3，5，7，9，11，13，15，…

偶数和奇数有如下运算性质：

偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数，偶数±奇数=奇数，

偶数×偶数=偶数，偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数。

提醒：

（1）如果两个整数的和（或者差）是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；

（2）如果两个整数的和（或者差）是奇数数，那么这两个整数的奇偶性相反；

2、能被5整除的数的特征是：个位是0或5

3、能被3整除的数的特征是：各个数位数字之和能被3整除

如：27, 215等等

4、能被9整除的数的特征是：各个数位数字之和能被9整除

如：81, 216等等

5、能被4或25整除的数的特征是：末两位数能被4或25整除

如：264能被4整除，150能被25整除

6、能被8或125整除的数的特征是：末三位数能被8或125整除。

如：2168能被8整除，不能被125整除

7、能被7（11或13 ）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字组成的数之差，（大减小）能被7（11或13 ）整除

例如：判断1540是否是7的倍数？

解：把1540分成1和540两个数，因为540-1=539，由539能被7整除，所以1540能被7整除，因此1540是7的倍数

例题1、已知六位数能被3整除，数字a=？

解：2+5+7+a+3+8=25+a ，要使25+a 能被3整除，数字a 只能是2，5或8。即符合题意的a 是2，5或8。

例题2、五位数48A1B 能同时被2,3,5整除，则A=______，B=______。

例题3、（2012年第十届希望杯决赛）如果六个连续奇数的乘积是135135，则这六个数的和是 。

练习：

1、（第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛）若9位数2008□2008能够被3整除，则□里的数是

2、（第十一届中环杯初赛）已知a24b8是一个五位数，且是8的倍数，则a24b8 最大是__________，最小是________

3、四位数8A1B 能同时被2,3,5整除，则这个四位数是______________.

4、（第十一届2013年“希望杯”全国数学邀请赛）在2013的质因数中，最大的质因数与最小的质因数的乘积是（ ）。

5、（第十一届2013年“希望杯”全国数学邀请赛）喜羊羊打开一本书，发现左右两页的页码数的乘积是420，则这两页的页码数的和是（ ）。

6、（2014年第十二届希望杯初赛试题）自然数a 是3的倍数，1a -是4的倍数，2a -是5的倍数，则a 最小是 57 。

分析：从题目中可以看出，这个数a 是3的倍数，也是4的倍数余1，也是5的倍数余2. 可以用枚举法，先从5的倍数余2考虑，末尾应该是2或者7.末尾是2，不符合4的倍数余1，所以末尾肯定是7.从小到大枚举：7,17,27,37,47,57.只有57符合。

三、整除的性质：

1、如果a 、b 都能被c 整除，那么他们的和与差也能被c 整除.

例如：9能被3整除，81也能被3整除，那么81+9=90,81-9=72都能被3整除。