非线性规划问题难点突破

类型2 题．
斜率型：求解目标是分式型的，根据两点连线的斜率公式，
把问题转化为已知的平面区域内的点与某个定点连线的斜率的范围问
例2 定义在R上的函数f(x)满足f(4)＝1，f′(x)为f(x)的导函数，已知 b＋1 y＝f′(x)的图象如图所示，若两个正数a、b满足f(2a＋b)<1，则 的 a＋1 取值范围是( 1 1 A．( ， ) 5 3 1 B．(－∞， )∪(5，＋∞) 3 1 C．( ，5) 3 D．(－∞，3) )
＝kx＋1将区域D分成面积相等的两部分，则实数k的值是(
)
【分析】
方程y＝kx＋1表示过定点(0,1)的直线系，画出不等式组
表示的平面区域，根据直线系的特点进行计算．
【解析】
区域D为图中的阴影部分，直线y＝kx＋1恒过定点
x＋y－1＝0， 3x－y－3＝0，
C(0,1)，如果要把区域D划分为面积相等的两个部分，则直线y＝kx＋1 只要经过AB的中点即可．由方程组
【答案】 C
本题在知识交汇处命制，要求考生对各个部分的知识有较为全面 的掌握，需要有较强的分析问题、解决问题的能力．
类型3 值．
距离型：当求解目标是二元二次式时，可以通过配方的方
法把其化为关于x，y的平方和的形式，根据两点间的距离公式求解其最
x＋y－1≤0， 例3 已知 x－y＋1≥0， y≥－1，
【答案】
[－1,20]
对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，可以用三个函数值把系数a， b，c表示出来，这样在知道其中三个函数值范围的情况下，就可以求其 他函数值的范围，本题中的二次函数只含有两个待定的系数，故只要知 道其中两个函数值就可以把其系数表示出来，然后表示出f(3)，再根据 不等式的性质确定其取值范围．本题常犯的错误是把a，c的取值范围独 立地求出来，再根据这个范围确定f(3)的范围，这样实际上是扩大了a， c在整体上的取值范围，在本题中已知条件是－4≤a－c≤－1，－1≤4a－c
利用定义、性质转化，利用平面几何中的结论求解
根据圆锥曲线的定义，把所求的最值与范围问题灵活转化，利用 平面几何的有关结论直接求解，如利用平面内两点之间线段最短、点到 直线的垂线段最短等直接判断，或者利用圆锥曲线的有关性质确定最值 与范围等，关键是灵活利用圆锥曲线的定义或性质进行转化．
例 1 已知点 P 在抛物线 y 2＝4x 上，那么点 P 到点 Q(2， －1)的距离 与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 P 的坐标为( 1 A．( ，－1) 4 C．(1,2) 1 B．( ，1) 4 D．(1，－2) )
突破方向二 求解
引入参数，建立目标函数，转化为函数的有关问题
解决解析几何问题最主要的方法就是坐标法，然后利用代数方法 解决有关问题．在解决有关最值、范围问题时，最主要的方法就是通过 设参数利用已知条件建立所求问题的目标函数，将问题转化为该函数的 最值或值域，这是求解最值与范围问题最为普遍的方法，其关键是准确 建立函数关系．
5 8 故f(3)＝9a－c＝－ f(1)＋ f(2)． 3 3
5 5 20 因为－4≤f(1)≤－1，所以 ≤－ f(1)≤ ， 3 3 3 8 8 40 因为－1≤f(2)≤5，所以－ ≤ f(2)≤ . 3 3 3 两式相加得－1≤f(3)≤20，故f(3)的取值范围是[－1,20]． 故填[－1,20]．
(对应学生用书P141)
聚焦5类非线性规划问题 所谓线性规划问题是指在约束条件是线性的情形下求线性目标函 数的最大值或最小值的问题，这类试题虽然是高考考查的重点，但更多 的试题并不是单纯考查线性规划的试题，如给出二元一次不等式组表示 的平面区域，求解区域的面积、求解非线性目标函数的最值等．本文就 谈谈这些类型的问题和解决方法．
当|m|>1时，设切线l的方程为y＝k(x－m)，
y＝kx－m， 2 由x 得(1＋4k2)x2－8k 2mx＋4k 2m 2－4＝0， ＋y2＝1， 4
8k2m 设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝ ， 1＋4k2 4k2m2－4 x1x2＝ . 1＋4k2 |km| 又由l与圆x ＋y ＝1相切，得 2 ＝1，即m2k2＝k2＋1. k ＋1
【分析】
把f(1)，f(2)作为一个整体，使用它们表示a，c，即可
a－c＝f1， 由题意得 4a－c＝f2，
把f(3)用f(1)，f(2)表示出来，然后使用不等式的性质求解．
【解析】
a＝1[f2－f1]， 3 解得 c＝－4f1＋ 1f2. 3 3
度较大的一个题目．
求解范围与最值问题的关键是构造目标函数或构造与所求问题相 关的不等式，利用函数的性质或解不等式求解相应的最值与范围，常用 的方法有：转化法、参数法、函数法和基本不等式法等．在处理过程中 要注意题中的一些隐含条件，如直线和曲线相交于不同的两点，需要转 化为二次方程的判别式大于零．
突破方向一
【解】 (1)由已知，得a＝2，b＝1，所以c＝ a2－b2 ＝ 3 ，所以 c 3 椭圆G的焦点坐标为(－ 3，0)，( 3，0)，离心率e＝ ＝ . a 2 (2)由题意，知|m|≥1. 当m＝1时，切线l的方程为x＝1，点A、B的坐标分别为(1， 3 (1，－ )，此时|AB|＝ 3， 2 当m＝－1时，同理可得|AB|＝ 3. 3 )， 2
内，即右图中的△ABC内，根据题意可知点
3 (2,2)到直线x＋y－1＝0的距离最小，这个最小值是 ，故所求的最小 2 9 值是 .故选B. 2
【答案】
B
本题求解的基本思想就是根据目标函数的几何意义进行解题，由 于目标函数不是线性的，而平面区域是由线性约束条件构成的，在解决 这类问题时要注意根据目标函数的变化情况选择其取得最大值或最小值 的位置．
2 2
所以|AB|＝ x2－x12＋y2－y12 ＝ 64k 4m 2 44k 2m 2－4 1＋k2[ － ] 1＋4k2 1＋4k2 2
4 3|m| ＝ 2 . m ＋3 4 3|m| 4 3 因为|AB|＝ 2 ＝ ≤2， 3 m ＋3 |m|＋ |m| 且当m＝± 3时，|AB|＝2， 又当m＝± 1时，|AB|＝ 3， 所以|AB|的最大值为2.
为( ) 3 2 A. 2 9 B. 2
且u＝x2＋y 2－4x－4y＋8，则u的最小值
2 C. 2
1 D. 2
【解析】
求解目标u＝x2＋y2－4x－4y＋8＝(x－2)2＋(y－2)2，其
几何意义是坐标平面内的点P(x，y)到点(2,2)的距离的平方，而点P在平
x＋y－1≤0， 面区域 x－y＋1≥0， y≥－1，
x－y＋1＝0， 程组 3x－y－3＝0，
解得A(1,0)；由方
3 3 解得B(2,3)．所以AB的中点为E( ， )，代入直线 2 2
1 方程y＝kx＋1，得k＝ .故选C. 3
【答案】 C
在含有参数的直线中首先要确定直线系的特点，然后再根据题目 的具体设问确定参数的取值或者取值范围．
)
3 3 B．[－ ， ] 2 2 D．[－1,1]
【分析】
y y x 1 令t＝ ，则 － ＝t－ ，只要求出t的取值范围，再根据 x x y t
1 函数f(t)＝t－ 的性质即可求出其取值范围． x＋y－3≤0， t x－y＋1≥0， y y x 1 【解析】 令t＝ ，则 － ＝t－ .不等式组 x x y t x≥1，
组表示的平面区域是图中的矩形AB′CD′(包含边界)，显然前一个区 域是后面这个区域的真子集．
直线与圆锥曲线位置关系中的
最值与范围问题 直线与圆锥曲线位置关系中的最值与范围问题是历年高考必考的
热点，在选择题、填空题与解答题中均有体现，尤其是在解答题中，命
题者往往结合其他知识将其设计为考查的核心内容，成为高考试题中的 一个难点，对考生的意志和数学知识都是一种考验，是高考试题中区分
表示
y≥1
的平面区域如图中阴影部分所示，根据t的几何意义可知t值为区域内的 1 点与坐标原点连线的斜率，显然直线OA的斜率 最小，直线OB的斜率2 2 1 1 1 3 最大，即 ≤t≤2.由于函数f(t)＝t－ 在[ ，2]上单调递增，故－ 2 2 2 t 3 ≤f(t)≤ .故选B. 2
【答案】
【分析】
由抛物线的定义，可知抛物线上任意一点到焦点的距
离等于其到准线的距离，所以可结合图形直接判断最值，从而确定点P
的坐标．
【解析】 点 P 到抛物线焦点的距离等于点 P 到抛物线准线的距离， 如图所示，|PF|＋|PQ|＝|PS|＋|PQ|，故最小值是在 S，P，Q 三点共线时 1 取得，此时 P，Q 的纵坐标都是－1，代入 y ＝4x，得 x＝ ，故点 P 的 4
2
1 坐标为( ，－1)，故选 A. 4
【答案】
A
解决平面解析几何问题最主要的方法就是坐标法，最值与范围问 题如果直接将其坐标化，用代数的方法求解，思路往往会受阻，要结合 图形，灵活利用圆锥曲线的定义和性质进行转化，利用已有的有关结论 直接进行判断、求解，特别适合求曲线上的点到焦点距离有关的最值、 范围问题，这也是数形结合思个基本量表示时，把这个
基本量的范围求出，把求解目标化为这个基本量的函数，通过函数的值 域得到求解目标的范围．
x＋y－3≤0， x－y＋1≥0， 例4 设点P(x，y)满足 x≥1， y≥1，
3 A．[ ，＋∞) 2 3 C．[－ ，1] 2
y x 则 － 的取值范围是( x y
类型1
区域面积型：二元一次不等式组表示平面上的区域，根据
给出的二元一次不等式组求解与区域面积相关的问题，主要考查数形结 合思想和分析问题、解决问题的能力．
x－y＋1≥0， 例1 已知不等式组 x＋y－1≥0， 3x－y－3≤0