2014年辽宁省高考理科数学试卷含答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项
是符合题目要求的.
1.已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C A B = （ ）
A ．{|0}x x ≥
B ．{|1}x x ≤
C ．{|01}x x ≤≤
D ．{|01}x x <<
2.设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ）
A ．23i +
B ．23i -
C ．32i +
D ．32i -
3.已知1
32a -=，21211log ,log 33
b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>
4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）
A ．若//,//,m n αα则//m n
B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥
C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α
D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥
5.设,,a b c 是非零向量，学科 网已知命题P ：若0a b ∙= ，0b c ∙= ，则0a c ∙= ；命题q ：
若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）
A ．p q ∨
B ．p q ∧
C ．()()p q ⌝∧⌝
D ．()p q ∨⌝
6.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ）
A ．144
B ．120
C ．72
D ．24
7.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．82π-
B ．8π-
C ．82π-
D ．84
π-
8.设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a 为递减数列，则（ ）
A ．0d <
B ．0d >
C ．10a d <
D ．10a d >
9.将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间7[,]1212
ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212
ππ上单调递增 C ．在区间[,]63ππ-
上单调递减 D ．在区间[,]63
ππ-上单调递增 10.已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，学 科网过点A 的直线与C 在第一象限相
切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ）
A ．12
B ．23
C ．34
D ．43
11.当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．[5,3]--
B ．9[6,]8--
C ．[6,2]--
D ．[4,3]--
12.已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足：
①(0)(1)0f f ==；
②对所有,[0,1]x y ∈，且x y ≠，有1|()()|||2
f x f y x y -<-. 若对所有,[0,1]x y ∈，|()()|f x f y k -<，则k 的最小值为（ ）
A ．12
B ．14
C ．12π
D ．18
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.执行右侧的程序框图，若输入9x =，则输出y = .
14.正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x =-和2
y x =上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在阴影区域的概率是 .
15.已知椭圆C ：22
194
x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .
16.对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，3
45a b c
-+的最小值为 .
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ∙= ，1cos 3
B =，3b =，求：
（1）a 和c 的值；
（2）cos()B C -的值.
18. （本小题满分12分）
一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.
（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；
（2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X .
19. （本小题满分12分）
如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，
E 、
F 分别为AC 、DC 的中点.
（1）求证：EF BC ⊥；
（2）求二面角E BF C --的正弦值.
20. （本小题满分12分）
圆22
4x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切
点为P （如图），双曲线22
122:1x y C a b
-=过点P （1）求1C 的方程；
（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程.
21. （本小题满分12分） 已知函数8
()(cos )(2)(sin 1)3
f x x x x x π=-+-+，2()3()cos 4(1sin )ln(3)x
g x x x x x π=--+-
. 证明：（1）存在唯一0(0,
)2x π∈，使0()0f x =； （2）存在唯一1(,)2x π
π∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+<.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.
22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F.
（1）求证：AB 为圆的直径；
（2）若AC=BD ，求证：AB=ED.
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
将圆22
1x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
（1）写出C 的参数方程；
（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建
立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N.
（1）求M ；
（2）当x M N ∈ 时，证明：221()[()]4
x f x x f x +≤.。
(辽宁省)2014年高考真题数学(理)试题(WORD高清精校版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，{|0}A x x =≤，{|1}B x x =≥，则集合()U C A B = A.{|0}x x ≥ B.{|1}x x ≤ C.{|01}x x ≤≤ D.{|01}x x <<2.设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =A.23i +B.23i -C.32i +D.32i -3.已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则 A.a b c >> B.a c b >> C.c a b >>D.c b a >> 4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是 A.若//m α，//n α，则//m n B.若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C.若m α⊥，m n ⊥，则//n α D.若//m α，m n ⊥，则n α⊥5.设a ，b ，c 是非零向量，已知命题P ：若0a b ⋅=，0b c ⋅=，则0a c ⋅=；命题q ：若//a b ，//b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是A.p q ∨B.p q ∧C.()()p q ⌝∧⌝D.()p q ∨⌝ 6.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为 A.144 B.120 C.72 D.24 7.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为A.82π-B.8π-C.82π-D.84π-8.设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则 A.0d <B.0d >C.10a d <D.10a d >9.将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数 A.在区间[12π，7]12π上单调递减 B.在区间[12π，7]12π上单调递增 C.在区间[6π-，]3π上单调递减D.在区间[6π-，]3π上单调递增10.已知点(2A -，3)在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为A.12 B.23C.34 D.4311.当[2x ∈-，1]时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是A.[5-，3]-B.[6-，9]8-C.[6-，2]-D.[4-，3]- 12.已知定义在[0，1]上的函数()f x 满足： ①(0)(1)0f f ==；②对所有x ，[0y ∈，1]，且x y ≠，有1|()()|||2f x f y x y -<-.若对所有x ，[0y ∈，1]，|()()|f x f y k -<，则k 的最小值为 A.12 B.14 C.12π D.18二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.执行如图所示的程序框图，若输入9x =，则输出y =___________.14.正方形的四个顶点(1A -，1)-，(1B ，1)-，(1C ，1)，(1D -，1)分别在抛物线2y x =-和2y x =上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在阴影区域的概率是____________.15.已知椭圆C ：22194x y+=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN +=_____________.16.对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为____________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=，1cos 3B =，3b =，求：⑴a 和c 的值； ⑵cos()B C -的值.18.（本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立. ⑴求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率； ⑵用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X .19.（本小题满分12分）如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，120ABC DBC ∠=∠=︒，E 、F 分别为AC 、DC 的中点. ⑴求证：EF BC ⊥；⑵求二面角E BF C --的正弦值.20.（本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线1C ：22221x y a b-=过点P 且离心率为3.⑴求1C 的方程；⑵椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程.21.（本小题满分12分）已知函数8()(cos )(2)(sin 1)3f x x x x x π=-+-+，2()3()cos 4(1sin )ln(3)xg x x x x ππ=--+-.证明：⑴存在唯一0(0x ∈，)2π，使0()0f x =； ⑵存在唯一1(2x π∈，)π，使1()0g x =，且对⑴中的0x ，有01x x π+<. 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F . ⑴求证：AB 为圆的直径；⑵若AC BD =，求证：AB ED =.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . ⑴写出C 的参数方程；⑵设直线l ：220x y +-=与C 的交点为1P ，2P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N .⑴求M ；⑵当x MN ∈时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科数学答案1. D2. A3. C4. B5. A6. D7. B8. C9. B 10. D 11. C 12. B 13.299C 14. 2315. 12 16. 2- 17.（Ⅰ）由2BA BC ⋅=得，cos 2c a B ⋅=，又1cos 3B =，所以ac =6.由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+.又b =3，所以2292213ac +=+⨯=.解22613ac a c =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得a =2，c =3或a =3，c =2. 因为a >c ,∴ a =3，c =2. （Ⅱ）在ABC ∆中，22122sin 1cos 1().33B B =-=-=由正弦定理，得22242sin sin 339c CB b ==⋅=，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此22427cos 1sin 1()99C C =-=-=. 于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+=17224223393927⋅+⋅=. 18.（Ⅰ）设1A 表示事件“日销售量不低于100个”，2A 表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此1()(0.0060.0040.002)500.6P A =++⨯= . 2()0.003500.15P A =⨯=.()0.60.60.1520.108P B =⨯⨯⨯=.（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为33(0)(10.6)0.064P X C ==⋅-=, 123(1)0.6(10.6)0.288P X C ==⋅-=,223(2)0.6(10.6)0.432P X C ==⋅-=,333(3)0.60.216P X C ==⋅=,分布列为X 0 1 2 3 P0.0640.2880.4320.216因为X ~B (3,0.6),所以期望为E (X )=3×0.6=1.8，方差D （X ）=3×0.6×（1-0.6）=0.72 19.（Ⅰ）证明：（方法一）过E 作EO ⊥BC ，垂足为O ，连OF ，由△ABC ≌△DBC 可证出△EOC ≌△FOC ，所以∠EOC =∠FOC =2π，即FO ⊥BC ， 又EO ⊥BC ，因此BC ⊥面EFO ， 又EF ⊂面EFO ，所以EF ⊥BC .（方法二）由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 左垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.易得B （0,0,0），A (0，-1，3),D (3,-1,0)，C (0,2,0),因而1331(0,,),(,,0)2222E F ,所以33(,0,),(0,2,0)22EF BC =-=，因此0EF BC ⋅=,从而EF BC ⊥，所以EF BC ⊥. （Ⅱ）（方法一）在图1中，过O 作OG ⊥BF ，垂足为G ，连EG ，由平面ABC ⊥平面BDC ，从而EO ⊥平面BDC ，又OG ⊥BF ，由三垂线定理知EG 垂直BF . 因此∠EGO 为二面角E -BF -C 的平面角； 在△EOC 中，EO =12EC =12BC ·cos 30°=32，由△BGO ∽△BFC 知，34BO OG FC BC =⋅=,因此tan ∠EGO =2EO OG =,从而sin ∠EGO =255，即二面角E -BF -C 的正弦值为255. （方法二）在图2中，平面BFC 的一个法向量为1(0,0,1)n =，设平面BEF 的法向量2(,,)n x y z =，又3113(,,0),(0,,)2222BF BE ==,由220n BF n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得其中一个2(1,3,1)n =-，设二面角E -BF -C 的大小为θ，且由题意知θ为锐角，则1212121cos |cos ,|||||||5n n n n n n θ⋅=<>==⋅，因sin θ=25=255，即二面角E -BF -C 的正弦值为255. 20.（Ⅰ）设切点坐标为0000(,)(0,0)x y x y >>，则切线斜率为0x y -，切线方程为0000()x y y x x y -=--，即004x x y y +=，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为000014482S x y x y =⋅⋅=.由22000042x y x y +=≥知当且仅当002x y ==时00x y 有最大值，即S 有最小值，因此点P 得坐标为(2,2) ， 由题意知222222213a ba b a ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩解得221,2a b ==，故1C 方程为2212y x -=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知2C 的焦点坐标为(3,0),(3,0)-，由此2C 的方程为22221113x y b b +=+，其中10b >.由(2,2)P 在2C 上，得22112213b b +=+， 解得b 12=3，因此C 2方程为22163x y += 显然，l 不是直线y =0.设l 的方程为x =my +3，点1122(,),(,)A x y B x y由223163x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 得22(2)2330m y my ++-=，又12,y y 是方程的根，因此12212223232m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩①②，由11223,3x m y x m=+=+得1212222121212243()232663()32x x m y y m m x x m y y m y y m ⎧+=++=⎪⎪+⎨-⎪=+++=⎪+⎩③④因1122(2,2),(2,2)AP x y BP x y =--=--由题意知0A P B P ⋅=，所以121212122()2()40x x x x y y y y -++-++=⑤ ，将①，②，③，④代入⑤式整理得222646110m m -+-=，解得3612m =-或3612m =-+，因此直线l 的方程为36(1)302x y ---=，或36(1)302x y +--=. 21.（Ⅰ）当(0,)2x π∈时，2'()(1sin )(2)2cos 03f x x x x x π=-++--<，函数()f x 在(0,)2π上为减函数，又2816(0)0,()0323f f πππ=->=--<，所以存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =. （Ⅱ）考虑函数3()cos 2()4ln(3),[,]1sin 2x x h x x x x ππππ-=--∈+，令t x π=-，则[,]2x ππ∈时，[0,]2t π∈， 记3cos 2()()4ln(1)1sin t t u t h t t t ππ=-=-++，则3()'()(2)(1sin )f t u t t t π=++ ，由（Ⅰ）得，当0(0,)t x ∈时，'()0u t >，当0(,)2t x π∈时，'()0u t <.在0(0,)x 上()u t 是增函数，又(0)0u =，从而当0(0,]t x ∈时，()0u t >，所以()u t 在0(0,]x 上无零点. 在0(,)2x π上()u t 是减函数，由0()0,()4ln 202u x u π>=-<，存在唯一的10(,)2t x π∈ ，使1()0u t =.所以存在唯一的10(,)2t x π∈使1()0u t =.因此存在唯一的11(,)2x t πππ=-∈，使111()()()0h x h t u t π=-==.因为当(,)2x ππ∈时，1sin 0x +>，故()(1sin )()g x x h x =+与()h x 有相同的零点，所以存在唯一的1(,)2x ππ∈，使1()0g x =.因1110,x t t x π=->，所以01x x π+<请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22.（Ⅰ）因为PD =PG ,所以∠PDG =∠PGD .由于PD 为切线，故∠PDA =∠DBA ,又由于∠PGD =∠EGA ,故∠DBA =∠EGA ,所以∠DBA +∠BAD =∠EGA +∠BAD ,从而∠BDA =∠PF A .由于AF 垂直EP ，所以∠PF A =90°，于是∠BDA =90°，故AB 是直径. (Ⅱ)连接BC ，DC.由于AB 是直径，故∠BDA =∠ACB =90°， 在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB =BA ,AC =BD ， 从而Rt △BDA ≌Rt △ACB ，于是∠DAB =∠CBA . 又因为∠DCB =∠DAB ,所以∠DCB =∠CBA ，故DC ∥AB . 由于,,AB EP DC EP DCE ⊥⊥∠所以为直角 于是ED 是直径，由（Ⅰ）得ED =AB .23.（Ⅰ）设11(,)x y 为圆上的点，在已知变换下位C 上点（x ，y ），依题意，得112x x y y =⎧⎨=⎩ 由22111x y +=得22()12y x +=，即曲线C 的方程为2214y x +=.，故C 得参数方程为 cos 2sin x t y t ⎧⎨⎩＝＝ （t 为参数）.(Ⅱ)由2214220y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得：10x y =⎧⎨=⎩，或02x y =⎧⎨=⎩. 不妨设12(1,0),(0,2)P P ,则线段12PP 的中点坐标为1(,1)2,所求直线的斜率为12k =，于是所求直线方程为111()22y x -=-， 化极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3ρθρθ-=-，即34sin 2cos ρθθ=-.24.（Ⅰ）33,[1,)()1,(,1)x x f x x x -∈+∞⎧=⎨-∈-∞⎩当1x ≥时，由()331f x x =-≤得43x ≤，故413x ≤≤； 当1x <时，由()11f x x =-≤得0x ≥，故01x ≤<； 所以()1f x ≤的解集为4{|0}3M x x =≤≤.(Ⅱ)由2()16814g x x x =-+≤得2116()4,4x -≤解得1344x -≤≤，因此13{|}44N x x =-≤≤，故3{|0}4MN x x =≤≤.当x MN ∈时，()1f x x =-，于是22()[()]()[()]x f x x f x xf x x f x +⋅=+2111()(1)()424x f x x x x =⋅=-=--≤.。
2014年辽宁省高考数学试卷(理科)
2014年辽宁省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（A∪B）=（）1．（5分）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁UA．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}2．（5分）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i，c=log，则（）3．（5分）已知a=，b=log2A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a4．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α5．（5分）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）6．（5分）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．247．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8﹣2πB．8﹣πC．8﹣D．8﹣8．（5分）设等差数列{an}的公差为d，若数列{}为递减数列，则（）A．d＜0 B．d＞0 C．a1d＜0 D．a1d＞09．（5分）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增10．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A．B．C．D．11．（5分）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，﹣3] B．[﹣6，﹣] C．[﹣6，﹣2] D．[﹣4，﹣3]12．（5分）已知定义在[0，1]上的函数f（x）满足：①f（0）=f（1）=0；②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．若对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，则m的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2014年辽宁省高考数学试卷(理科)
2014年辽宁省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（A∪B）=（）1．（5分）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁UA．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}2．（5分）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i，c=log，则（）3．（5分）已知a=，b=log2A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a4．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α5．（5分）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）6．（5分）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．247．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8﹣2πB．8﹣πC．8﹣D．8﹣8．（5分）设等差数列{an}的公差为d，若数列{}为递减数列，则（）A．d＜0 B．d＞0 C．a1d＜0 D．a1d＞09．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递增B．在区间[，]上单调递减C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增10．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A．B．C．D．11．（5分）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，﹣3] B．[﹣6，﹣] C．[﹣6，﹣2] D．[﹣4，﹣3]12．（5分）已知定义在[0，1]上的函数f（x）满足：①f（0）=f（1）=0；②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．若对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，则m的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2014年辽宁省高考数学试卷(理科)(含解析版)
2014年辽宁省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合U（A∪B）=（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1} 2．（5分）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）A．2+3i 3．（5分）已知a= A．a＞b＞c B．2﹣3i，b=log2，c=logB．a＞c＞bC．3+2i，则（）C．c＞a＞b D．c＞b＞aD．3﹣2i4．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥αB．若m⊥α，nα，则m⊥n D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α5．（5分）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）6．（5分）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144B．120C．72D．247．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．8﹣2πB ．8﹣πC ．8﹣D ．8﹣8．（5分）设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{A ．d ＜09．（5分）将函数应的函数（）A ．在区间[C ．在区间[﹣，，]上单调递增]上单调递减B ．在区间[B ．d ＞0C ．a 1d ＜0的图象向右平移}为递减数列，则（）D ．a 1d ＞0个单位长度，所得图象对，，]上单调递减]上单调递增D ．在区间[﹣10．（5分）已知点A （﹣2，3）在抛物线C ：y 2=2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（）A ．B ．C ．D ．11．（5分）当x ∈[﹣2，1]时，不等式ax 3﹣x 2+4x +3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[﹣5，﹣3]B ．[﹣6，﹣]C ．[﹣6，﹣2]D ．[﹣4，﹣3]12．（5分）已知定义在[0，1]上的函数f （x ）满足：①f （0）=f （1）=0；②对所有x ，y ∈[0，1]，且x ≠y ，有|f （x ）﹣f （y ）|＜|x ﹣y |．若对所有x ，y ∈[0，1]，|f （x ）﹣f （y ）|＜m 恒成立，则m 的最小值为（）A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2014年辽宁省高考数学试卷(理科)答案与解析
2014年辽宁省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•辽宁）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（）A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：先求A∪B，再根据补集的定义求C U（A∪B）．解答：解：A∪B={x|x≥1或x≤0}，∴C U（A∪B）={x|0＜x＜1}，故选：D．点评：本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法．2．（5分）（2014•辽宁）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数代数形式的除法运算化简，则z可求．解答：解：由（z﹣2i）（2﹣i）=5，得：，∴z=2+3i．故选：A．点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题．3．（5分）（2014•辽宁）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a考点：对数的运算性质．专题：计算题；综合题．分析：利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞1，则答案可求．解答：解：∵0＜a=＜20=1，b=log2＜log21=0，c=log=log23＞log22=1，∴c＞a＞b．故选：C．点评：本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题．4．（5分）（2014•辽宁）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B．运用线面垂直的性质，即可判断；C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．解答：解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选B．点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．5．（5分）（2014•辽宁）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）考点：复合命题的真假；平行向量与共线向量．专题：简易逻辑．分析：根据向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．解答：解：若•=0，•=0，则•=•，即（﹣）•=0，则•=0不一定成立，故命题p为假命题，若∥，∥，则∥平行，故命题q为真命题，则p∨q，为真命题，p∧q，（￢p）∧（￢q），p∨（￢q）都为假命题，故选：A．点评：本题主要考查复合命题之间的判断，利用向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假是解决本题的关键．6．（5分）（2014•辽宁）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．24考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法．根据分步计数原理可得结论．解答：解：使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法．根据分步计数原理，6×4=24．故选：D．点评：本题考查排列知识的运用，考查乘法原理，先排人，再插入椅子是关键．7．（5分）（2014•辽宁）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8﹣2πB．8﹣πC．8﹣D．8﹣考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算．解答：解：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，∴几何体的体积V=23﹣2××π×12×2=8﹣π．故选：B．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．8．（5分）（2014•辽宁）设等差数列{a n}的公差为d，若数列{}为递减数列，则（）A．d＜0 B．d＞0 C．a1d＜0 D．a1d＞0考点：数列的函数特性．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：由于数列{2}为递减数列，可得=＜1，解出即可．解答：解：∵等差数列{a n}的公差为d，∴a n+1﹣a n=d，又数列{2}为递减数列，∴=＜1，∴a1d＜0．故选：C．点评：本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性、指数函数的运算法则等基础知识与基本技能方法，属于中档题．9．（5分）（2014•辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间[，]上单调递增，则答案可求．解答：解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x﹣）+]．即y=3sin（2x﹣）．当函数递增时，由，得．取k=0，得．∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：B．点评：本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．10．（5分）（2014•辽宁）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意先求出准线方程x=﹣2，再求出p，从而得到抛物线方程，写出第一象限的抛物线方程，设出切点，并求导，得到切线AB的斜率，再由两点的斜率公式得到方程，解出方程求出切点，再由两点的斜率公式求出BF的斜率．解答：解：∵点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，即准线方程为：x=﹣2，∴p＞0，=﹣2即p=4，∴抛物线C：y2=8x，在第一象限的方程为y=2，设切点B（m，n），则n=2，又导数y′=2，则在切点处的斜率为，∴即m=2m，解得=2（舍去），∴切点B（8，8），又F（2，0），∴直线BF的斜率为，故选D．点评：本题主要考查抛物线的方程和性质，同时考查直线与抛物线相切，运用导数求切线的斜率等，是一道基础题．11．（5分）（2014•辽宁）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）C．[﹣6，﹣2]D．[﹣4，﹣3] A．[﹣5，﹣3]B．[﹣6，﹣]考点：函数恒成立问题；其他不等式的解法．专题：综合题；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：分x=0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集．解答：解：当x=0时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；当0＜x≤1时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥，令f（x）=，则f′（x）==﹣（*），当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；当﹣2≤x＜0时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤，由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]．故选：C．点评：本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集；若按照参数讨论则取并集．12．（5分）（2014•辽宁）已知定义在[0，1]上的函数f（x）满足：①f（0）=f（1）=0；②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．若对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，则m的最小值为（）A．B．C．D．考点：函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：依题意，构造函数f（x）=（0＜k＜），分x∈[0，]，且y∈[0，]；x∈[0，]，且y∈[，1]；x∈[0，]，且y∈[，1]；及当x∈[，1]，且y∈[，1]时，四类情况讨论，可证得对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜恒成立，从而可得m≥，继而可得答案．解答：解：依题意，定义在[0，1]上的函数y=f（x）的斜率|k|＜，依题意，k＞0，构造函数f（x）=（0＜k＜），满足f（0）=f（1）=0，|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．当x∈[0，]，且y∈[0，]时，|f（x）﹣f（y）|=|kx﹣ky|=k|x﹣y|≤k|﹣0|=k×＜；当x∈[0，]，且y∈[，1]，|f（x）﹣f（y）|=|kx﹣（k﹣ky）|=|k（x+y）﹣k|≤|k（1+）﹣k|=＜；当y∈[0，]，且x∈[，1]时，同理可得，|f（x）﹣f（y）|＜；当x∈[，1]，且y∈[，1]时，|f（x）﹣f（y）|=|（k﹣kx）﹣（k﹣ky）|=k|x﹣y|≤k×（1﹣）=＜；综上所述，对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜，∵对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，∴m≥，即m的最小值为．故选：B．点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查构造函数思想、分类讨论思想、函数方程思想与等价转化思想的综合运用，考查分析、推理及运算能力，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2014年辽宁省高考数学试卷理科
2014年辽宁省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1}2．（5分）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i3．（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a4．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α5．（5分）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）6．（5分）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．247．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8﹣2πB．8﹣πC．8﹣D．8﹣8．（5分）设等差数列{a n}的公差为d，若数列{}为递减数列，则（）A．d＜0 B．d＞0 C．a1d＜0 D．a1d＞09．（5分）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增10．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A．B．C．D．11．（5分）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，﹣3]B．[﹣6，﹣] C．[﹣6，﹣2]D．[﹣4，﹣3]12．（5分）已知定义在[0，1]上的函数f（x）满足：①f（0）=f（1）=0；②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．若对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，则m的最小值为（）A．B．C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2014辽宁高考数学理科
14高考辽宁（理）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C AB =（ ）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x << 2.设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ） A ．23i + B ．23i - C ．32i + D ．32i - 3.已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥5.设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0a b ∙=，0b c ∙=，则0a c ∙=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝6.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ） A ．144 B ．120 C ．72 D ．247.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．82π- B ．8π- C ．82π-D ．84π-8.设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（ ） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d >9.将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 10.已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．4311.当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[5,3]-- B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]-- 12.已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足：①(0)(1)0f f ==；②对所有,[0,1]x y ∈，且x y ≠，有1|()()|||2f x f y x y -<-. 若对所有,[0,1]x y ∈，|()()|f x f y k -<，则k 的最小值为（ ） A ．12 B ．14 C ．12π D ．18二、填空题13.执行右侧的程序框图，若输入9x =，则输出y = .14.正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x =-和2y x=上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在阴影区域的概率是 .15.已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .16.对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ∙=，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值. 18. （本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X .频率组距 /个19. （本小题满分12分）如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 分别为AC 、DC 的中点.（1）求证：EF BC ⊥；（2）求二面角E BF C --的正弦值.C20. （本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22122:1x y C a b-=过点P （1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程.21. （本小题满分12分）已知函数8()(cos )(2)(sin 1)3f x x x x x π=-+-+，2()3()cos 4(1sin )ln(3)xg x x x x x π=--+-.证明：（1）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；（2）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+<.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F. （1）求证：AB 为圆的直径； （2）若AC=BD ，求证：AB=ED.PA23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N. （1）求M ； （2）当x MN ∈时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.参考答案一、选择题： 1. D解析： ∵A ∪B={x|x ≥1或x ≤0}，∴()U C A B ={|01}x x <<.故选D.考点：（1）1.1.3集合的基本运算. 难度：A 备注：高频考点2. A解析：∵(2)(2)5z i i --=，∴522z i i -=-，∴()()55(2)2223222iz i i iii i +=+=+=+--+.解析2： ∵(2)(2)5z i i --=，∴5(2)(2)242z i i z z i i =--=---，∴472i z z i +=-，∴()()()()4724723222i i i z i i i i +++===+--+.解析3：设z a bi =+，代入到已经中(2)(2)5a bi i i +--=，整理2(24)5a b b a i +-+--=，根据复数相等的概念得25240a b b a +-=⎧⎨--=⎩，解得a=2，b=3，所以z =23i +. 考点：（1）11.2.2复数的代数运算；（2）13.1.1函数与方程思想. 难度：A 备注：高频考点 3. C解析：∵1030221a -<=<=，22122211log log 10,log log 3log 2133b c =<===>=， ∴c ＞a ＞b解析2：首先将c 化简：1221log log 33c ==.画函数22,log x y y x ==的图像，如图所示：通过观察图像得：c ＞a ＞b考点：（1）2.4.3指数函数的性质及应用；（2）2.5.2对数函数的图象与性质；（3）13.1.1函数与方程思想；（4）13.1.5特殊与一般思想.备注：易错题. 4. B 解析:A ．若m ∥α，n ∥α，则m ，n 相交或平行或异面，故A 错；xB ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n ，故B 正确；C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，故C 错；D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α或n ⊥α，故D 错． 考点：（1）9.4.1直线与平面平行的判定与性质；（2）9.5.1直线与平面垂直的判定与性质. 难度：B 备注：易错题. 5. A解析:若0a b ∙=，0b c ∙=，则0a c ∙=”是个假命题，理由如下：若0a b ∙=，0b c ∙=，则a b b c ∙=∙，所以0a b b c ∙-∙=，即()0a c b -∙=，则不能说明0a c ∙=成立；“若//,//a b b c ，则//a c ”为真命题，理由如下：若//,//a b b c ，设,a b b c λμ==（0λμ⋅≠），所以()()a c c λμλμ==，可得//a c .则p ∨q ，为真命题，p ∧q ，（￢p ）∧（￢q ），p ∨（￢q ）都为假命题.考点：（1）1.2.1四种命题的关系及真假判断；（2）5.1.3平面向量的共线问题；（3）5.3.1平面向量的数量积运算. 难度：B 备注：易错题. 6.D解析：第一步：3人全排，有33A =6种方法，第二步：3人全排形成4个空，在前3个或后3个或中间两个空中插入椅子，有4种方法，第三步：根据乘法原理可得所求坐法种数为6×4=24种．解析2：将6把椅子依次编号为1，2,3，，4,5,6，故任何两人不相邻的做法，可安排：“1,3,5,”，“1,3,6”，“1,4,6”，“2,4,6”号位置就坐，故总数为433A =24.考点：（1）10.6.1分类加法计数原理的应用；（2）10.6.2分步乘法计数原理的应用；（3）10.6.4排列问题. 难度：B备注：高频考点. 7. D解析: 由三视图知：几何体是正方体切去两个14圆柱， 正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，∴几何体的体积V=23﹣2×14×π×12×2=8﹣π．考点：（1）9.2.3由三视图求几何体的表面积、体积. 难度：B备注：高频考点 8.C解析：根据题意可得∵数列1{2}na a 为递减数列,∴111111111()()0222,22122nnn n n n a a a a a a a a a a d a a +++-->∴==>=，10a d ∴<.解析 2 ：由数列1{2}n a a 为递减数列,根据指数函数n y a =的性质，知10n a a <，得10,0n a a ><，或10,0n a a <>，当10,0n a a ><时，0d <，所以10a d <，，当10,0n a a <>时，0d >，所以10a d <，综上：10a d <.考点：（1）2.4.3指数函数的性质及应用；（2）6.2.2等差数列的基本量的计算；（3）13.1.3分类与整合思想.难度：B 备注：高频考点 9. B解析： 将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得函数为 23sin 23sin 2233y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以23222232k x k πππππ+≤-≤+，解得7131212k x k ππππ+≤≤+，所以函数在区间713[,]1212k k ππππ++上单调递减 ，所以A,C 都不正确；2222232k x k πππππ-+≤-≤+，解得71212k x k ππππ+≤≤+，所以函数在区间7,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上单调递增 ，当k=0时，函数在在区间7[,]1212ππ上单调递增. 考点：（1）4.4.1作y=Asin(wx+φ）的图象及图像变换（2）；4.3.2三角函数的单调性与周期性. 难度：B 备注：高频考点 10. D解析：抛物线C ：22y px =的准线方程为2px =-，焦点F （2,0），而点(2,3)A -在准线上，所以解得p=4，设B （m ，n ），抛物线在第一象限的方程为y =12y -'=，所以过点B的切线斜率为12k -=，而切线又过点A ，所以33n m -=+12-①，而点B 又在满足方程y =n =m=n=8，所以BF 的斜率为804823-=-.解析2：22y px =的准线方程为2px =-，焦点F （2,0），而点(2,3)A -在准线上，所以解得p=4，设直线AB 的方程为(3)2x k y =--，与方程22y px =联立，得22(3)2y pxx k y ⎧=⎨=--⎩，化简2824160y ky k -++=，26496640k k ∆=--=，所以k=2，（或k=-1舍去），将k=2代入2824160y ky k -++=中，可求得y=8，从而解得x=8，故B （8,8），所以BF 的斜率为804823-=-. 考点：（1）8.7.3直线与抛物线的位置关系；（2）3.1.3导数的几何意义. 难度：B备注：高频考点 11. C 解析:当0≤x ≤1时，ax 3-x 2+4x+3≥0可化为32341a x x x≥--+， 令()32341f x x x x =--+，则()432981f x x x x'=+-，当0≤x ≤1时，f ′（x ）＞0，f （x ）在（0，1]上单调递增，f （x ）max =f （1）=-6，∴a ≥-6；当-2≤x ＜0时，ax 3-x 2+4x+3≥0可化为32341a x x x≤--+， 当-2≤x ＜-1时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，当-1＜x ＜0时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，f （x ）min =f （-1）=-2，∴a ≤-2；综上所述，实数a 的取值范围是-6≤a ≤-2，即实数a 的取值范围是[-6，-2]．考点：（1）3.2.2导数与函数单调性；（2）7.2.2一元二次不等式恒能恰成立问题. 难度：C备注：高频考点解析2:先证4k ≤.不妨设01y x ≤<≤，（1） 若12x y -≤ ，则1111|(x)()||x |2224f f y y -<-≤⨯=；（2） 若12x y ->，有12x y -+<-，则|(x)()||(x)(1)(0)()||(x)(1)|f f y f f f f y f f -=-+-≤-|(0)()|f f y +-1111111111|x 1||0|(1x)(x )()2222222224y y y <-+-=-+=+-+<+⨯-= 所以14k ≤.由于对称性，同理可证明当01x y ≤<≤时，14k ≤；故：14k ≤再证14k ≥.为了证明这一点，我们需要构造一族函数.我们构造如下函数：11(),[0,]22(x)11()(1),(,1]22x x f x x εε⎧-∈⎪⎪=⎨⎪--∈⎪⎩ （其中ε 是远小于12 的正数）显然有(0)(1)0f f ==.接下来再验证条件（2）.同样不妨设01y x ≤<≤.（i ）当1,[0,]2x y ∈ 时，11|(x)()|()|x ||x |22f f y y y ε-=--<-（ii ）当1,[,1]2x y ∈时，11|(x)()||()(1x)()(1)|22f f y y εε-=-----11|()()||x |22y x y ε=--<-；（iii ）当11[,1],[0,]22x y ∈∈时，11|(x)()||()(1x)()|22f f y y εε-=----11|()(1x y)||x |22y ε=---<-（因为此时有1x y x y --<-和1x y x y -++<-，所以(1x y)||x |y --<-）.又因为11111|()(0)||()0|22242f f εε-=--=-，所以1142k ε>-，由于ε的任意性，令ε趋近与0，可得14k ≥. 由于对称性，同理可证明当01x y ≤<≤时，14k ≥； 综合14k ≤，所以只有14k =. 解析3 :依题意，由1|()()|||2f x f y x y -<-，得|()()|()()1||2f x f y f x f y x y x y --=<--，如图所示的函数y=f （x ）满足的条件函数之一（函数y=f （x ）的图像位于直线1l解析4：依题意，由1|()()|||2f x f y x y -<-，得|()()|()()1||2f x f y f x f y x y x y --=<--，13.1.3分类与整合思想.难度：D 备注：高频考点二、填空题 13.299解析：由程序框图知：第一次循环x=9，y=93+2=5，|5﹣9|=4＞1； 第二次循环x=5，y=53+2=113，|113﹣5|=43＞1；第三次循环x=113，y=119+2．|119+2﹣113|=49＜1，满足条件|y ﹣x|＜1，跳出循环，输出y=299．考点：（1）11.1.3程序框图的识别及应用. 难度：B 备注：高频考点 14.23解析：∵A （﹣1，﹣1），B （1，﹣1），C （1，1），D （﹣1，1）， ∴正方体的ABCD 的面积S=2×2=4，根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积()11231111182122113333S x dx x x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-=---+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰，则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是82343=．考点：（1）10.5.5与面积、体积有关的几何概型（2）3.4.3利用定积分求曲线所围图形的面积. 难度：B 备注：高频考点 15.12解析：如图：由M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，得12,F F 分别是线段MA ，MB 的中点，而MN 的中点为Q ，根据中位线定义，易得212QF BN =，112QF AN = ∵Q 在椭圆C 上，∴|QF 1|+|QF 2|=2a=6，∴|AN|+|BN|=2×6=12．解析2：设M ，N 的中点坐标为P ，(),M M M x y ，(),N N N x y ，(),P P P x y ,(),A A A x y ,(),B B B x y ,则M A x x +=-M B x x +=2M A P x x x +=，0M A y y +=，0M B y y +=,2M N P y y y +=,所以AN BN +=6=，所以|AN|+|BN|=2×6=12．考点：（1）8.5.1椭圆的定义；（2）8.5.3椭圆的几何性质. 难度：C备注：高频考点 16. -2解析：∵224240a ab b c -+-=，∴222211542416c b a ab b a b ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，由柯西不等式得，22222152224164b b a b a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++≥-=+⎢⎥⎢⎥⎢ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎣⎦⎣⎦， 故当|2a+b|最大时，有4462b a -=，∴32a b =，代入已知得210c b =，∴2223453451121122310222a b c b b b b b b ⎛⎫⎛⎫-+=-+=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当12b =时，取得最小值为-2. 类似的，还可以这样构造式子：22532232b b c a ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2222253332122232522b b ba ab a b ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++≥-+=+⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，剩下的步骤和解析1相同.解析2：∵224240a ab b c -+-=，∴()()225322388c a b a b =++-， 则()()225322388a b c a b c +=--≤，当32a b =时，取到等号，即|2|a b +取到最大值，将32a b =代入22424c a ab b =-+中，解得210c b =，下面步骤与解析1步骤一样.解析3：设t=2a+b ，则b=t-2a ，代入式子224240a ab b c -+-=中，整理可得22241840,a ta t c -+-=要保证关于a 的方程有解，则△=()()221842440t t c -⋅-≥，整理解t，t ≤|2|a b +≤，而只有△=0时，等号成立，即使|2|a b +最大，此时，()()1832322488t a b t a --+===⋅，即32a b =， 又()()22225552310888c t a b a b b ==+=+=， 所以223452411122222a b c b b b b ⎛⎫-+=-+=--≥- ⎪⎝⎭，当12b =时，上式取得最小值，解得3324a b ==，25102c b ==，所以当12b = ，34a =，52c =时，345a b c-+的最小值为-2.解析4：∵224240a ab b c -+-=，∴2215224b b c a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，设22b a θ-=，2θ=，则i n b θ=，2a θθ=，代入式子|2|a b +中，所以|2|c o ss i 1s i n ()a b θθθϕ+==+≤.当tan θ=时，等号成立，即2tan 22b a θ=-，整理得32a b =，代入到已知等式中解得210c b =， 所以223452411122222a b c b b b b ⎛⎫-+=-+=--≥- ⎪⎝⎭，当12b =时，上式取得最小值，解得33,24a b ==，25102c b ==，所以当12b = ，34a =，52c =时，345a b c-+的最小值解析5：令222244t a b a ab b =+=++，由已知可得22424c a ab b =-+，所以22222244144424424a a t a ab b b bc a ab b a a b b ⎛⎫++ ⎪++⎝⎭==-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，设a x b =，则 ()()()()2222321441633111442442421(21)421121x t x x x c x x x x x x x x -++-==+=+=+-+-+-+-+-++-381415≤+=+.当且仅当42121x x -=-即32x =或12x =-（舍）时，等式成立，所以32b a =，即32a b =时，|2|a b +取到最大值，将32a b =代入22424c a ab b =-+中，解得210c b =，下面步骤与其他解析步骤一样.考点：（1）12.3.4柯西不等式与排序不等式的简单应用；（2）2.6.5二次函数的图象与性质；（3）13.1.4化归与转化思想. 难度：D备注：典例. 三、解答题 17.（1）a=3，c=2；（2）2327解析：（1）2BA BC ∙=，1cos 3B =，cos 2BA BC B ∴∙=，即6a c ⋅=①，由余弦定理可得2221cos 23a cb B ac +-==，化简整理得2213a c +=②，①②联立，解得，a=3，c=2；（2）1cos ,sin 33B B =∴=因为a=3，3b =，c=2，由余弦定理可得2227cos 29ac b C ab -+==，sin 9C∴==，7123cos()cos cos sin sin 9327B C B C B C ∴-=+=⋅=.（2）在△ABC 中，1cos ,sin 3B B =∴==sin sin b c B C =可得sinsin 9c B C b ==，a b c =>，C ∴为锐角，7cos 9C ∴==，7123cos()cos cos sin sin 9327B C B C B C ∴-=+=⋅=. 考点：（1）5.3.1平面向量的数量积运算；（2）4.6.2利用余弦定理求解三角形； 难度：B备注：高频考点 18.（1）0.108；（2）1.8，0.72．解析：（1）设A 1表示事件“日销售量不低于100个”，A 2表示事件“日销售量低于50个” B 表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此P （A 1）=（0.006+0.004+0.002）×50=0.6，P （A 2）=0.003×50=0.15， P （B ）=0.6×0.6×0.15×2=0.108，（Ⅱ）X 可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：()33(0)10.60.064P X C ==-=，()213(1)0.610.60.288P X C ==-=，()1223(2)0.610.60.432P X C ==-=,333(3)0.60.216P X C ===，随机变量X 的分布列为因为X ～B （3，0.6），所以期望E （X ）=3×0.6=1.8，方差D （X ）=3×0.6×（1﹣0.6）=0.72． 考点：（1）0.9.5二项分布的均值、方差；（2）13.1.7或然与必然思想. 难度：B 备注：典例19. （1）见解析；（2解析：（1）证明：由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系， 易得B （0，0，0），A （0，﹣1，D1，0），C （0，2，0），因而E （0，12，F12，0），所以EF =）， BC =（0，2，0），因此EF BC ⋅=0，所以EF ⊥BC ． （2）在图中，设平面BFC 的法向量1n =（0，0，1），平面BEF 的法向量2n =（x ，y ，z ）， 又BF =（12，0），BE =（0，12）， 由120n BF n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 解得其中一个法向量2n =（11）， 设二面角E ﹣BF ﹣C 的大小为θ，由题意知θ为锐角，则cos θ=|cos ＜1n ，2n ＞|=12125n n n n ⋅=因此sin θ解析2： （几何法）（1）延长CB ，过点A 作AG ⊥BC 交G ，连接DG ，因为2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=所以ABC ∆≅BCD ∆ 所以AC=DC ，又因为030ACB DCB ∠=∠=，GB=BGG所以AGC ∆≅GCD ∆，所以090AGC DGC ∠=∠=，即DB ⊥CG 而AG ⊥CG ，所以CG ⊥平面AGD ， 因为AD ⊂平面AGD ，所以CG ⊥AD因为E 、F 分别为AC 、DC 的中点. 所以EF//AD 所以CG ⊥EF （2）如图所示：过点E 分别作EO ⊥平面BDC ，交点O ，EH ⊥BF ，垂足H ，EM ⊥DC ，垂足M ，连接OH ，OM ， 则四边形HOMF 是矩形，根据三垂线定理可得，EHO ∠是二面角E BF C --所求的平面角，因为2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=所以由余弦定理可得AC=DC=在直角三角形AGB 和直角三角形BGD 中，AG=GD=sin60AB ⋅=因为E 、F 分别为AC 、DC 的中点， 所以EF=12AD= 由三角形面积公式可得4EF EF h EM FC⋅====,所以4FM ==即4HO =. 在△EBF 中GHO M4EFEF H EH BF⋅===cos HO EHO EH ∠===. 因为cos 0EHO ∠>，所以EHO ∠为锐角所以sin 5EHO ∠==. 即二面角E BF C --所求的平面角EHO ∠考点：（1）9.5.1直线与平面垂直的判定与性质；（2）.8.3求二面角. 难度：B备注：高频考点20. （1）221:12y C x -=；（2）102x y ⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭或102x y ⎛+-= ⎝⎭．解析：（1）设切点P （x 0，y 0），（x 0＞0，y 0＞0），则切线的斜率为0x y -， 可得切线的方程为0000()x y y x x y -=--，化为x 0x+y 0y=4． 令x=0，可得04y y =；令y=0，可得04x x =． ∴切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形的面积000014482S y x x y =⋅⋅=⋅ ∵2222000042x y x y =+≥⋅，当且仅当00x y =时取等号． ∴842S ≥=．此时P ．由题意可得22221a b -=，c e a ===a 2=1，b 2=2．故双曲线C 1的方程为221:12y C x -=．（2）由（Ⅰ）可知双曲线C 10），即为椭圆C 2的焦点．可设椭圆C 2的方程为22221113x y b b +=+（b 1＞0）． 把P代入可得22112213b b +=+ 22112213b b +=+，解得213b =, 因此椭圆C 2的方程为22163x y +=．由题意可设直线l 的方程为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立2226x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩()22230m y ++-=，∴1212232y y y y m-+==+．∴1212()x x m y y +=++=()2212121226632m x x m y y y y m-=++=+()()11222,2,2,AP x y BPx y =--=-∵AP BP ⊥，∴0AP BP ⋅=，∴))1212121240x x x x y y y y ++++=，∴22110m-+=，解得1-或m=1-，因此直线l的方程为：102x y ⎛⎫---=⎪ ⎪⎝⎭或102x y ⎛+--= ⎝⎭． 考点：（1）8.5.2椭圆的标准方程；（2）5.4.3平面向量与解析几何的综合问题；（3）7.3.2利用基本不等式求最值；（4）13.1.2数形结合思想；（5）13.1.4化归与转化思想.难度：D 备注：典例21.（1）见解析；（2）见解析.解析:根据题意可得，f′（x ）=﹣（1+sinx ）（π+2x ）﹣2x ﹣23cosx （Ⅰ）∵当x ∈（0，2π）时，f′（x ）＜0， ∴函数f （x ）在（0，2π）上为减函数，又f （0）=π﹣83＞0，f （2π）=﹣π2-163＜0；∴存在唯一的x 0∈（0，2π），使f （x 0）=0；（Ⅱ）考虑函数h （x ）=3()cos 1sin x xx π-+﹣4ln （3﹣2πx ），x ∈[2π，π]，令t=π﹣x ，则x ∈[2π，π]时，t ∈[0，2π]，记u （t ）=h （π﹣t ）=3cos 1sin t tt +﹣4ln （1+2πt ），则u′（t ）=3()(2)(1sin )f t t t π++，由（Ⅰ）得，当t ∈（0，x 0）时，u′（t ）＜0；在（0，x 0）上u （x ）是增函数，又u （0）=0，∴当t ∈（，x 0]时，u （t ）＞0， ∴u （t ）在（0，x 0]上无零点；在（x 0，2π）上u （t ）是减函数，由u （x 0）＞0，u （2π）=﹣4ln2＜0， ∴存在唯一的t 1∈（x 0，2π），使u （t 1）=0；∴存在唯一的t 1∈（0，2π），使u （t 1）=0；∴存在唯一的x 1=π﹣t 1∈（2π，π），使h （x 1）=h （π﹣t 1）=u （t 1）=0；∵当x ∈（2π，π）时，1+sinx ＞0，∴g （x ）=（1+sinx ）h （x ）与h （x ）有相同的零点，∴存在唯一的x 1∈（2π，π），使g （x 1）=0，∵x 1=π﹣t 1，t 1＞x 0，∴x 0+x 1＜π．考点：（1）3.1.2导数的运算；（2）3.2.2导数与函数单调性；（3）3.2.3导数与函数极值；（4）3.2.4导数与函数最值；（5）3.2.6导数与函数零点、方程的根. 难度：D备注：典例22. （1）见解析；（2）见解析.解析：（1）∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD，∵PD为切线，∴∠PDA=∠DBA，∵∠PGD=∠EGA，∴∠DBA=∠EGA，∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BDA，∴∠NDA=∠PFA，∵AF⊥EP，∴∠PFA=90°．∴∠BDA=90°，∴AB为圆的直径；（2）连接BC，DC，则∵AB为圆的直径，∴∠BDA=∠ACB=90°，在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，∴Rt△BDA≌Rt△ACB，∴∠DAB=∠CBA，∵∠DCB=∠DAB，∴∠DCB=∠CBA，∴DC∥AB，∵AB⊥EP，∴DC⊥EP，∴∠DCE为直角，∴ED为圆的直径，∵AB为圆的直径，∴AB=ED．考点：（1）12.1.5圆的切线的性质与判定；难度：B备注：高频考点23. （1）cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（0≤θ＜2π，θ为参数）；（2）34sin 2cos ραα=-.解析：（1）在曲线C 上任意取一点（x ，y ），由题意可得点（x ，2y）在圆x 2+y 2=1上， ∴x 2+24y =1，即曲线C 的方程为 x 2+24y =1，化为参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（0≤θ＜2π，θ为参数）．（2）由2214220y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，可得10x y =⎧⎨=⎩，02x y =⎧⎨=⎩，不妨设P 1（1，0）、P 2（0，2）， 则线段P 1P 2的中点坐标为（12，1）， 再根据与l 垂直的直线的斜率为12，故所求的直线的方程为y-1=12（x-12），即x-2y+32=0．再根据x=ρcos α、y=ρsin α 可得所求的直线的极坐标方程为ρcos α-2ρsin α+32=0，即34sin 2cos ραα=-．考点：（1）12.2.3极坐标方程的综合应用；（2）12.2.4参数方程与普通方程的互化；12.2.1极坐标和直角坐标的互化. 难度：B 备注：典例 24. （1）[0，43]；（2）见解析. 解析：（1）由f （x ）=2|x ﹣1|+x ﹣1≤1 可得1331x x ≥⎧⎨-≤⎩①，或111x x <⎧⎨-≤⎩②．解①求得1≤x≤43，解②求得 0≤x＜1．综上，原不等式的解集为[0，43]． （2）由g （x ）=16x 2﹣8x+1≤4，求得14-≤x≤34，∴N=[14-，34]，∴M∩N=[0，34]．∵当x ∈M∩N 时，f （x ）=1﹣x ，x 2f （x ）+x[f （x ）]2 =xf （x ）[x+f （x ）]=21142x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤14，故要证的不等式成立．考点：（1）1.1.3集合的基本运算；（2）12.3.2绝对值不等式的证明. 难度：C 备注：典例.。
2014年辽宁省高考数学试卷(理科)附送答案
2014年辽宁省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1}2．（5分）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i3．（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a4．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α5．（5分）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）6．（5分）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．247．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8﹣2πB．8﹣πC．8﹣D．8﹣8．（5分）设等差数列{a n}的公差为d，若数列{}为递减数列，则（）A．d＜0 B．d＞0 C．a1d＜0 D．a1d＞09．（5分）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增10．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A．B．C．D．11．（5分）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，﹣3]B．[﹣6，﹣] C．[﹣6，﹣2]D．[﹣4，﹣3]12．（5分）已知定义在[0，1]上的函数f（x）满足：①f（0）=f（1）=0；②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．若对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，则m的最小值为（）A．B．C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2014年辽宁高考数学理科试卷(带详解)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集,{|U R A x x ==≤0},{|B x x =≥1}，则集合()U A B = ð（ ） A ．{|x x ≥0} B ．{|x x ≤1} C ．{|0x ≤x ≤1} D ．{|01}x x <<【测量目标】集合的基本运算. 【考查方式】集合的并集、补集. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题分析】由题意可知，A B ＝{|01}x x x ≤或≥，所以()U A B = ð{|01}x x <<．故选D. 2.设复数z 满足(2i)(2i)5z --=，则z =（ ） A ．23i + B ．23i - C ．32i + D ．32i - 【测量目标】复数的基本性质和运算.【考查方式】复数的基本运算. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题分析】由(2i)(2i)5z --=，得52i 2iz -=-，故z ＝23i +.故选A. 3.已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 【测量目标】对数的基本运算.【考查方式】对数的大小比较. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题分析】因为13021a -<=<，21log 03b =<，121log 3c =>121log 2c =＝1，所以c a b >>.故选C.4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥【测量目标】空间直线与直线，直线与平面的位置关系. 【考查方式】线线平行、垂直，线面平行、垂直的判定. 【难易程度】容易 【参考答案】B 【试题分析】由题可知，若//,//,m n αα则m 与n 平行、相交或异面，所以A 错误；若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥，故B 正确；若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n α⊂，故C 错误．若//m α，m n ⊥，则//n α或n α⊥或n 与α相交，故D 错误．故选B.5.设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0⋅=a b ，0⋅=b c ，则0⋅=a c ；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝⌝∧D ．()p q ⌝∨【测量目标】向量的平行与垂直，真假命题的判定. 【考查方式】利用向量之间的位置关系对命题的真假进行判定. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题分析】由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当0≠b 时，,a c 一定共线，故命题q 是真命题．故p q ∨为真命题．故选A.6.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ） A ．144 B ．120 C ．72 D ．24 【测量目标】排列组合.【考查方式】利用插空法进行排列组合. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题分析】这是一个元素不相邻问题，采用插空法，3334A C 24=.故选D.7.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．82π- B ．8π- C ．π82-D ．π84-第7题图 【测量目标】几何体的体积、三视图.【考查方式】利用三视图对体积的考查. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题分析】根据三视图可知，该几何体是正方体减去两个体积相等的圆柱的一部分（占柱的14）后余下的部分，故该几何体体积为2×2×2－2×14×π×2＝8－π.故选B.8.设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a 为递减数列，则（ ） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d >【测量目标】等差数列的基本性质.【考查方式】利用等差数列的性质对首项和公差的正负进行判断. 【难易程度】容易 【参考答案】C 【试题分析】令12n n b a a =，因为数列{}12n a a 为递减数列，所以111111122()212n n n n n nb a a a a a a d b a a +++==-=<，所得10a d <.故选C.9.将函数π3sin(2)3y x =+的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间π7π[,]1212上单调递减 B ．在区间π7π[,]1212上单调递增 C ．在区间ππ[,]63-上单调递减 D ．在区间ππ[,]63-上单调递增 【测量目标】三角函数的平移及性质.【考查方式】求正弦型三角函数平移后的单调区间. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题分析】由题可知，将函数π3sin(2)3y x =+的图像向右平移π2个单位长度得到函数2π3sin(2)3y x =-的图像，令π2π2k -+≤2π23x -≤π2π2k +，k ∈Z ，即ππ12k +≤x ≤7ππ12k +，k ∈Z 时，函数单调递增，即函数2π3sin(2)3y x =-的单调递增区间为π7ππ,π1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，可知当0k =时，函数在区间π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增．故选B.10.已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．43【测量目标】抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系.【考查方式】求过抛物线准线并与抛物线相切的直线的斜率. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题分析】因为抛物线C ：22y px =的准线为2px =-，且点(2,3)A -在准线上，所以p ＝4.设直线AB 的方程为2(3)x m y +=-，与抛物线方程28y x =联立得到2824160y my m -++=，由题易知 ＝0，解得m ＝12- (舍)或者m ＝2，这时B 点的坐标为(8，8)，而焦点F 的坐标为(2，0)，故直线BF 的斜率804823BF k -==-.故选D.11.当[2,1]x ∈-时，不等式3243ax x x -++≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[5,3]-- B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]--【测量目标】函数的导函数、单调区间、最值. 【考查方式】通过给定函数值的范围，利用导函数求函数的单调区间并找出未知量的范围. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题分析】当2-≤0x <时，不等式转化为a ≤2343x x x --，令2343()(2x x f x x--=-≤0)x <， 则24489(9)(1)'()x x x x f x x x -++--+==，故()f x 在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增，此时有a ≤14321+-=--.当0x =时，()g x 恒成立．当0x <≤1时，a ≥2343x x x --，令2343()(0x x g x x x --=<≤1)，则24489(9)(1)'()x x x x g x x x-++--+==， 故()g x 在(0，1]上单调递增，此时有a ≥14361--=-. 综上，6-≤a ≤2-.故选C.12.已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足： ①(0)(1)0f f ==；②对所有,[0,1]x y ∈，且x y ≠，有1|()()|||2f x f y x y -<-. 若对所有,[0,1]x y ∈，|()()|f x f y k -<，则k 的最小值为（ ） A ．12 B ．14 C ．12πD ．18 【测量目标】函数概念的新定义，不等式的性质.【考查方式】给出新定义的函数，利用给定条件求解未知量的范围. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题分析】不妨设0≤y ≤x ≤1.当x y -≤12时，11|()()|||()22f x f y x y x y -<-=-≤14. 12x y ->时，|()()|()(1)(()(0))f x f y f x f f y f -=---≤1()(1)()(0)2f x f f y f -+-< 111110()2224x y x y -+-=--+<.故min 14k =.故选B.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.执行右侧的程序框图，若输入9x =，则输出y = .第13题图 【测量目标】程序框图的运算.【考查方式】利用程序框图进行基本运算. 【难易程度】容易 【参考答案】299【试题分析】当9x =时，5y =，则4y x -=；当5x =时，113y =，则43y x -=；当113x =时，299y =，则419y x -=<.故输出299y =.14.正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x =-和2y x =上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在阴影区域的概率是 .第14题图 【测量目标】定积分的求解，随机事件的概率.【考查方式】利用定积分求出面积比，进而求出随机事件的概率. 【难易程度】容易 【参考答案】23【试题分析】正方形ABCD 的面积S ＝2×2＝4，阴影部分的面积1231111182(1)d 2()33S x x x x --=-=-=⎰，故质点落在阴影区域的概率82343P ==.15.已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .【测量目标】椭圆的定义及几何性质.【考查方式】椭圆的焦点以及椭圆的几何性质求解相关弧长. 【难易程度】中等 【参考答案】12【试题分析】取MN 的中点为G ，点G 在椭圆C 上．设点M 关于C 的焦点1F 的对称点为A ，点M 关于C 的焦点2F 的对称点为B ，则有112G F A N =，212GF BN =，所以122()412AN BN GF GF a +=+==.16.对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为 .【测量目标】基本不等式的基本应用.【考查方式】利用基本不等式求最值. 【难易程度】较难 【参考答案】－2【试题分析】由题知2222(2)3(43)c a b a b =-+++．221(43)(1)3a b ++≥222(2)43a b a b +⇔+≥23(2)4a b +，即2c ≥25(2)4a b +，当且仅当2243113a b =，即236a b λ==(同号)时， 2a b +取得最大值85c ，此时240c λ=. 223451111(4)288a b c λλλ-+=-=--≥2-， 当且仅当315,,422a b c ===时，345a b c-+取最小值2-.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在△ABC 中，内角,,A B C 的对边,,a b c 且a c >，已知2BA BC ⋅= ，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.【测量目标】两角差的余弦公式、向量的数量积.【考查方式】利用正弦定理和余弦定理解三角形中的边和角. 【难易程度】中等【试题分析】（1）由2BA BC ⋅= 得，cos 2c a B ⋅=，又1cos 3B =，所以6ac =.由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+.又3b =，所以2292213ac +=+⨯=.解22613ac a c =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2,33,2a c a c ====或. 因为a c >,3,2a c ∴==. （2）在△ABC 中，22122sin 1cos 1().33B B =-=-=由正弦定理，得22242sin sin 339c CB b ==⋅=，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此22427cos 1sin 1()99C C =-=-=. 于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+=17224223393927⋅+⋅=. 18. （本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：第18题图将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X .【测量目标】频率分布直方图，随机事件的概率随机变量的期望和方差. 【考查方式】以频率分布直方图为载体计算事件的概率、分布列、期望、方差. 【难易程度】中等 【试题分析】（Ⅰ）设1A 表示事件“日销售量不低于100个”，2A 表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此1()(0.0060.0040.002)500.6P A =++⨯= ， 2()0.003500.15P A =⨯=，()0.60.60.1520.108P B =⨯⨯⨯=.（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为033(0)(10.6)0.064P X C ==⋅-=, 123(1)0.6(10.6)0.288P X C ==⋅-=, 223(2)0.6(10.6)0.432P X C ==⋅-=, 333(3)0.60.216P X C ==⋅=,分布列为X0 1 2 3P 0.064 0.288 0.432 0.216因为(3,0.6)X B ,所以期望为()30.6 1.8E X =⨯=，方差()30.6(10.6)0.72D X =⨯⨯-=. 19. （本小题满分12分）如图，△ABC 和BCD △所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E F 、分别为AC 、DC 的中点.（1）求证：EF BC ⊥；（2）求二面角E BF C --的正弦值.第19题图1【测量目标】线线垂直的判定，二面角的正弦值.【考查方式】通过找线、面之间的位置关系，证明线线垂直，求二面角的三角函数值. 【难易程度】中等 【试题分析】（1）证明： （方法一）过E 作EO BC ⊥，垂足为O ，连OF ，第19题图2由△ABC ≌△DBC 可证出△FOC ≌△EOC ，所以π2EOC FOC ∠=∠=，即FO BC ⊥， 又EO BC ⊥，因此BC ⊥平面EFO ， 又EF ⊂平面EFO ，所以EF BC ⊥.（方法二）由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.第19题图3易得(0,0,0),(0,1,3)B A -,(3,1,0)D -，(0,2,0)C ,因而1331(0,,),(,,0)2222E F ,所以33(,0,),(0,2,0)22EF BC =-=，因此0EF BC ⋅= ,从而EF BC ⊥ ，所以EF BC ⊥.（2）（方法一）在图2中，过O 作OG BF ⊥，垂足为G ，连EG ，由平面ABC ⊥平面BDC ，从而EO ⊥平面BDC ，又OG BF ⊥，由三垂线定理知EG 垂直BF . 因此EGO ∠为二面角E BF C --的平面角； 在△EOC 中，113cos30222EO EC BC ==⋅= ，由△BGO ∽△BFC 知，34BO OG FC BC =⋅=,因此tan 2EO EGO OG ∠==,从而sin EGO ∠=255，即二面角E BF C --的正弦值为255. （方法二）在图3中，平面BFC 的一个法向量为1(0,0,1)=n ，设平面BEF 的法向量2(,,)x y z =n ，又3113(,,0),(0,,)2222BF BE == ,由220BF BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得其中一个2(1,3,1)=-n ，设二面角E BF C --的大小为θ，且由题意知θ为锐角，则121212,1cos |cos ,|||||||5θ=<>==⋅n n n n n n ，因sin θ=25=255，即二面角E BF C --的正弦值为255.20. （本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线22122:1x y C a b-=过点P 且离心率为3.（1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程.第20题图1【测量目标】直线与圆的位置关系，双曲线的标准方程及几何性质，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系.【考查方式】利用圆的切线的关系，双曲线的离心率求双曲线方程，通过椭圆与双曲线的的几何性质求解椭圆方程求出直线方程. 【难易程度】较难【试题分析】（1）设切点坐标为0000(,)(0,0)x y x y >>，则切线斜率为0x y -，切线方程为0000()x y y x x y -=--，即004x x y y +=，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为000014482S x y x y =⋅⋅=.由22000042x y x y +=≥知当且仅当002x y ==时00x y 有最大值，即S 有最小值，因此点P 得坐标为(2,2) ，由题意知222222213a ba b a ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩解得221,2a b ==，故1C 方程为2212y x -=. （2）由（1）知2C 的焦点坐标为(3,0),(3,0)-，由此2C 的方程为22221113x y b b +=+，其中10b >. 由(2,2)P 在2C 上，得22112213b b +=+，解得213b =，因此2C 方程为22163x y +=. 显然，l 不是直线0y =.设l 的方程为3x my =+，点1122(,),(,)A x y B x y由223163x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 得22(2)2330m y my ++-=，又12,y y 是方程的根，因此12212223232my y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩①②，由11223,3x my x my =+=+得1212222121212243()232663()32x x m y y m m x x m y y m y y m ⎧+=++=⎪⎪+⎨-⎪=+++=⎪+⎩③④ 因1122(2,2),(2,2)AP x y BP x y =--=--由题意知0AP BP ⋅= ，所以121212122()2()40x x x x y y y y -++-++=⑤ ，将①，②，③，④代入⑤式整理得222646110m m -+-=，解得3612m =-或3612m =-+，因此直线l 的方程为 36(1)302x y ---=，或36(1)302x y +--=.21. （本小题满分12分）已知函数8()(cos )(π2)(sin 1)3f x x x x x =-+-+，2()3(π)cos 4(1sin )ln(3)πx g x x x x =--+-. 证明：（1）存在唯一0π(0,)2x ∈，使0()0f x =；（2）存在唯一1π(,π)2x ∈，使1()0g x =，且对（1）中的0x 有01πx x +<. 【测量目标】函数的零点.【考查方式】利用函数导函数的性质求解三角函数中的零点问题. 【难易程度】较难【试题分析】（1）当π(0,)2x ∈时，2'()(1sin )(π2)2cos 03f x x x x x =-++--<，函数()f x 在π(0,)2上为减函数，又28π16(0)π0,()π0323f f =->=--<，所以存在唯一0π(0,)2x ∈，使0()0f x =. （2）考虑函数3(π)cos 2π()4ln(3),[,π]1sin π2x x h x x x x -=--∈+，令πt x =-，则π[,π]2x ∈时，π[0,]2t ∈，记3cos 2()(π)4ln(1)1sin πt t u t h t t t =-=-++，则3()'()(π2)(1sin )f t u t t t =++ ，由（1）得，当0(0,)t x ∈时，'()0u t >，当0π(,)2t x ∈时，'()0u t <.在0(0,)x 上()u t 是增函数，又(0)0u =，从而当0(0,]t x ∈时，()0u t >，所以()u t 在0(0,]x 上无零点.在0π(,)2x 上()u t 是减函数，由0π()0,()4ln 202u x u >=-<，存在唯一的10π(,)2t x ∈ ，使1()0u t =.所以存在唯一的10π(,)2t x ∈使1()0u t =.因此存在唯一的11ππ(,π)2x t =-∈，使111()()()h x h t u t π=-==. 因为当π(,π)2x ∈时，1sin 0x +>，故()(1s i n )()g x x h x =+与()h x 有相同的零点，所以存在唯一的1π(,π)2x ∈，使1()0g x =.因1110π,x t t x =->，所以01πx x +<请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于,D G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F . （1）求证：AB 为圆的直径； （2）若AC BD =，求证:AB ED =.第22题图1【测量目标】几何证明选讲.【考查方式】利用圆的性质证明相关结论. 【难易程度】中等 【试题分析】（1）因为PD PG =,所以PDG PGD ∠=∠.由于PD 为切线，故P D A D B A ∠=∠,又由于PGD EGA ∠=∠,故DBA EGA ∠=∠,所以D B A B A DE G A B A ∠+∠=∠+∠,从而BDA PFA ∠=∠. 由于AF 垂直EP ，所以90PFA ∠=，于是90BDA ∠=，故AB 是直径. (2)连接BC ，DC.第22题图2由于AB 是直径，故∠BDA =∠ACB =90°，在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB =BA ,AC =BD ， 从而Rt △BDA ≌Rt △ACB ，于是∠DAB =∠CBA .又因为∠DCB =∠DAB ,所以∠DCB =∠CBA ，故DC ∥AB .由于,AB EP ⊥所以,DC EP DCE ⊥∠为直角，于是ED 是直径，由（1）得ED =AB .23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】参数方程与极坐标方程转化为普通方程进行求解. 【难易程度】中等【试题分析】（1）设11(,)x y 为圆上的点，在已知变换下位C 上点（x ，y ），依题意，得112x x y y =⎧⎨=⎩ 由22111x y += 得22()12y x +=，即曲线C 的方程为2214y x +=，故C 得参数方程为 cos 2sin x t y t⎧⎨⎩＝＝ （t 为参数）.(2)由2214220y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得10x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩. 不妨设12(1,0),(0,2)P P ,则线段12PP 的中点坐标为1(,1)2,所求直线的斜率为12k =，于是所求直线方程为111()22y x -=-，化极坐标方程，并整理得 2cos 4sin 3ρθρθ-=-，即34sin 2cos ρθθ=-.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()f x ≤1的解集为M ，()g x ≤4的解集为N .（1）求M ；（2）当x M N ∈ 时，证明：22()[()]x f x x f x +≤14. 【测量目标】不等式选讲，集合的简单运算.【考查方式】函数与集合结合证明不等式. 【难易程度】中等【试题分析】（1）33,[1,)()1,(,1)x x f x x x -∈+∞⎧=⎨-∈-∞⎩当x ≥1时，由()33f x x =-≤1得x ≤43，故1≤x ≤43； 当1x <时，由()1f x x =-≤1得x ≥0，故0≤1x <； 所以()f x ≤1的解集为{|0M x =≤x ≤4}3.(2)由2()1681g x x x =-+≤4得2116()4x -≤4,解得14-≤x ≤34，因此1{|4N x =-≤x ≤3}4，故{|0M N x = ≤x ≤3}4.当x M N ∈ 时，()1f x x =-，于是22()[()]()[()]x f x x f x xf x x f x +⋅=+211()(1)()42x f x x x x =⋅=-=--≤14.。
2014年高考(辽宁卷)理科数学
2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供理科考生使用)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2014辽宁，理1)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合U(A∪B)＝()．A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}答案：D解析：∵A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，∴U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}．故选D.2．(2014辽宁，理2)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝()．A．2＋3i B．2－3i C．3＋2i D．3－2i答案：A解析：∵(z－2i)(2－i)＝5，∴52i2iz-=-.∴z＝2i＋52i-＝2i＋52i2i2i(+)(-)(+)＝2i＋2＋i＝2＋3i.故选A.3．(2014辽宁，理3)已知132a-=，21log3b=，121log3c=，则()．A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a 答案：C解析：∵130221a-<=<=，221log log103b=<=，112211log log132c=>=，∴c＞a＞b.故选C.4．(2014辽宁，理4)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是()．A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α答案：B解析：对A：m，n还可能异面、相交，故A不正确．对C：n还可能在平面α内，故C 不正确．对D：n还可能在α内，故D不正确．对B：由线面垂直的定义可知正确．5．(2014辽宁，理5)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是()．A．p∨q B．p∧qC．(p)∧(q) D．p∨(q)答案：A解析：对命题p中的a与c可能为共线向量，故命题p为假命题．由a，b，c为非零向量，可知命题q为真命题．故p∨q为真命题．故选A.6．(2014辽宁，理6)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()．A．144 B．120 C．72 D．24答案：D解析：插空法．在已排好的三把椅子产生的4个空档中选出3个插入3人即可．故排法种数为34A＝24.故选D.7．(2014辽宁，理7)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．8－2πB ．8－πC ．π82-D ．π84- 答案：B解析：由三视图知，原几何体是棱长为2的正方体挖去两个底面半径为1，高为2的四分之一圆柱，故几何体的体积为8－2×π×2×14＝8－π.故选B. 8．(2014辽宁，理8)设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{}12n a a为递减数列，则( )．A ．d ＜0B ．d ＞0C ．a 1d ＜0D ．a 1d ＞0 答案：C 解析：∵数列{}12na a 为递减数列，∴11122nn a a a a >＋，n ∈N *，∴a 1a n ＞a 1a n ＋1，∴a 1(a n ＋1－a n )＜0.∵{a n }为公差为d 的等差数列，∴a 1d ＜0.故选C. 9．(2014辽宁，理9)将函数π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )．A ．在区间π7π1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减 B ．在区间π7π1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增C ．在区间ππ63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递减D ．在区间ππ63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增答案：B解析：设平移后的函数为f (x )，则()ππ3sin 223f x x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π3sin 2π3x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭π3sin 23x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.令πππ2π22π232k x k -≤+≤+，k ∈Z ，解得f (x )的递减区间为5ππππ+1212k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，k ∈Z ，同理得递增区间为π7πππ+1212k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，，k ∈Z .从而可判断得B 正确． 10．(2014辽宁，理10)已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )．A ．12 B ．23 C ．34 D ．43答案：D解析：由题意可知准线方程x ＝2p-＝－2，∴p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝8x .由已知易得过点A 与抛物线y 2＝8x 相切的直线斜率存在，设为k ，且k ＞0，则可得切线方程为y －3＝k (x＋2)．联立方程23=2,=8,y k x y x -(+)⎧⎨⎩消去x 得ky 2－8y ＋24＋16k ＝0.(*)由相切得Δ＝64－4k (24＋16k )＝0，解得12k =或k ＝－2(舍去)，代入(*)解得y ＝8，把y＝8代入y 2＝8x ，得x ＝8，即切点B 的坐标为(8,8)，又焦点F 为(2,0)，故直线BF 的斜率为43.11．(2014辽宁，理11)当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )．A ．[－5，－3]B ．96,8⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[－6，－2]D ．[－4，－3] 答案：C解析：∵当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，即当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3≥x 2－4x －3(*)恒成立．(1)当x ＝0时，a ∈R .(2)当0＜x ≤1时，由(*)得232343143x x a x x x x--≥=--恒成立． 设()23143f x x x x =--，则()2234441898991x x x x f x x x x x x -++-(-)(+)'=-++=+.当0＜x ≤1时，x －9＜0，x ＋1＞0，∴f ′(x )＞0， ∴f (x )在(0,1]上单调递增．当0＜x ≤1时，可知a ≥f (x )max ＝f (1)＝－6. (3)当－2≤x ＜0时，由(*)得23143a x x x≤--. 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝9(舍)．∴当－2≤x ＜－1时，f ′(x )＜0，当－1＜x ＜0时，f ′(x )＞0，∴f (x )在[－2，－1)上递减，在(－1,0)上递增．∴x ∈[－2,0)时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－4＋3＝－2.∴可知a ≤f (x )min ＝－2. 综上所述，当x ∈[－2,1]时，实数a 的取值范围为－6≤a ≤－2.故选C.12．(2014辽宁，理12)已知定义在[0,1]上的函数f (x )满足：①f (0)＝f (1)＝0；②对所有x ，y ∈[0,1]，且x ≠y ，有|f (x )－f (y )|＜1||2x y －. 若对所有x ，y ∈[0,1]，|f (x )－f (y )|＜k 恒成立，则k 的最小值为( )． A ．12 B ．14 C ．12π D ．18答案：B解析：不妨令0≤x ＜y ≤1，则|f (x )－f (y )|＜1||2x y －. 法一：2|f (x )－f (y )|＝|f (x )－f (0)＋f (x )－f (y )－[f (y )－f (1)]|≤|f (x )－f (0)|＋|f (x )－f (y )|＋|f (y )－f (1)|＜1111111|0||||1|()(1)2222222x x y y x y x y ++=++=－－－－－，即得()()1||4f x f y <－，对所有x ，y ∈[0,1]，|f (x )－f (y )|＜k 恒成立，只需k 大于|f (x )－f (y )|的最大值即可．故14k ≥.因此k 的最小值为14.法二：当1||2x y ≤－时，()()11||||24f x f y x y ≤≤－－，当1||2x y >－时，|f (x )－f (y )|＝|[f (x )－f (1)]－[f (y )－f (0)]|≤|f (x )－f (1)|＋|f (y )－f (0)|＜1111|1||0|(1)2222x y x y +=+－－－ 111()224y x =+<－，对所有x ，y ∈[0,1]，|f (x )－f (y )|＜k 恒成立，只需k 大于|f (x )－f (y )|的最大值即可．故k ≥14.因此k 的最小值为14.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．(2014辽宁，理13)执行下面的程序框图，若输入x ＝9，则输出y ＝__________.答案：299解析：输入x ＝9，则y ＝5，|y －x |＝4＞1，执行否，x ＝5，113y =，|y －x |＝43＞1，执行否，113x =，299y =，|y －x |＝49＜1，执行是，输出299y =. 14．(2014辽宁，理14)正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1,1)，D (－1,1)分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是__________．答案：23解析：由题意可知空白区域的面积为()122311124d 33x x x x --⎡⎤--==⎣⎦⎰.又正方形的面积为4，∴阴影部分的面积为48433-=，∴所求概率为82343=.15．(2014辽宁，理15)已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝__________.答案：12解析：如图，设MN 的中点为P ，则由F 1是AM 的中点，可知|AN |＝2|PF 1|.同理可得可知|BN |＝2|PF 2|． ∴|AN |＋|BN |＝2(|PF 1|＋|PF 2|)． 根据椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|AN |＋|BN |＝12.16．(2014辽宁，理16)对于c ＞0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，345a b c-+的最小值为__________． 答案：－2解析：要求|2a ＋b |最大值，只需求(2a ＋b )2的最大值． ∵4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0，∴4a 2＋b 2＝c ＋2ab －3b 2.∴(2a ＋b )2＝4a 2＋b 2＋4ab ＝c ＋2ab －3b 2＋4ab ＝c ＋6ab －3b 2＝c ＋3b (2a －b )＝c ＋32·2b (2a －b )≤c ＋322222b a b +(-)⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝c ＋32222a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭， 即(2a ＋b )2≤85c ，当且仅当2b ＝2a －b ，即3b ＝2a 时取到等号，即(2a ＋b )2取到最大值．故3b ＝2a 时，|2a ＋b |取到最大值． 把3b ＝2a ，即23a b =代入4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0，可得2409c a =. ∴222234534536991891422408838339a b c a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-+=-+=-+=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴当143a =时，345a b c -+取到最小值－2.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)(2014辽宁，理17)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知2BA BC ⋅=，1cos 3B =，b ＝3.求： (1)a 和c 的值；(2)c os(B －C )的值．分析：(1)将条件中的2BA BC ⋅=，转化为边角的量表示，可得a 与c 的关系，再结合余弦定理列方程组求解．(2)由(1)及正弦定理可得sin C ，进而求出c os C ，再由两角差的余弦公式求出c os(B －C )的值．解：(1)由2BA BC ⋅=，得c ·ac os B ＝2. 又1cos 3B =，所以ac ＝6. 由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2acc os B . 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.解226,13,ac a c =⎧⎨+=⎩得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2. 因a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2. (2)在△ABC 中，sin 3B ===，由正弦定理，得2sin sin 339c C B b ==⋅=. 因a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此7cos 9C ===.于是c os(B－C)＝c os Bc os C＋sin B sin C1723=⋅+=.392718．(本小题满分12分)(2014辽宁，理18)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．分析：(1)先由频率分布直方图计算出日销售量不低于100和日销售量低于50的概率．再由3天中连续2天日销售量不低于100，可分为第1,2天或第2,3天日销售量不低于100两种情况，从而由独立事件概率公式求值．(2)由题意知随机变量X服从二项分布，则可列出分布列及求出期望、方差．解：(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”．因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为C·(1－0.6)3＝0.064，P(X＝0)＝03C·0.6(1－0.6)2＝0.288，P(X＝1)＝13C·0.62(1－0.6)＝0.432，P(X＝2)＝23C·0.63＝0.216.P(X＝3)＝33分布列为因为X～B(3,0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.19．(本小题满分12分)(2014辽宁，理19)如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．(1)求证：EF ⊥BC ；(2)求二面角E －BF －C 的正弦值． 分析：法一：几何法．(1)证明线线垂直，可由线面垂直证得，可寻求过EF 的平面与BC 垂直即可．(2)由面面垂直可得线面垂直，再利用线面垂直性质构造二面角求解．法二：建立空间直角坐标系．(1)求各点坐标，利用向量垂直的条件证明线线垂直．(2)平面BFC 的法向量易求出，平面BEF 的法向量可运用法向量条件求得，再运用公式求出两法向量夹角的余弦值，进而求出所求正弦值．(1)证明：(方法一)过E 作EO ⊥BC ，垂足为O ，连OF ，由△ABC ≌△DBC 可证出△EOC ≌△FOC .图1所以∠EOC ＝∠FOC ＝π2，即FO ⊥BC . 又EO ⊥BC ， 因此BC ⊥面EFO . 又EF ⊂面EFO ， 所以EF ⊥BC .(方法二)由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．易得B (0,0,0)，(0,A -，)1,0D -，C (0,2,0)，因而10,2E ⎛ ⎝⎭，1,02F ⎫⎪⎪⎝⎭，所以，3EF ⎛= ⎝⎭，BC ＝(0,2,0)，因此0EF BC ⋅=.图2从而EF ⊥BC ，所以EF ⊥BC .(2)解：(方法一)在图1中，过O 作OG ⊥BF ，垂足为G ，连EG . 由平面ABC ⊥平面BDC ，从而EO ⊥面BDC . 又OG ⊥BF ，由三垂线定理知EG ⊥BF . 因此∠EGO 为二面角E －BF －C 的平面角．在△EOC中，11·cos30222EO EC BC ==︒=， 由△BGO ∽△BFC 知，BO OG BC =·4FC =， 因此tan 2EOEGO OG ∠==.从而sin EGO ∠=E －BF －C(方法二)在图2中，平面BFC 的一个法向量为n 1＝(0,0,1)． 设平面BEF 的法向量n 2＝(x ，y ，z )． 又31,02BF ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，10,2BE ⎛= ⎝⎭. 由220,BF BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得其中一个2(1n =． 设二面角E －BF －C 大小为θ，且由题意知θ为锐角，则co s θ＝|co s 〈n 1，n 2〉|＝1212||||⋅n n n n因此sin θ5，即所求二面角正弦值为5.20．(本小题满分12分)(2014辽宁，理20)圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图)．双曲线C 1：22221x y a b-=过点P(1)求C 1的方程；(2)椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点．若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．分析：(1)设出切点P 的坐标，利用直线和圆相切的性质，求出切线，进而求出切线与坐标轴的交点，运用基本不等式求出取最值时P 的坐标代入双曲线方程求得结果．(2)运用待定系数法求出椭圆方程，将以AB 为直径的圆过点P 转化为0PA PB ⋅=，运用韦达定理求解．解：(1)设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)，则切线斜率为0x y -，切线方程为y －y 0＝000()x x x y -－，即x 0x ＋y 0y ＝4.此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为000014482S x y x y =⋅⋅=.由22000042x y x y +=≥，知当且仅当00x y ==时x 0y 0有最大值，即S 有最小值．因此点P的坐标为．由题意知22222221,3.a b a b a ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩解得a 2＝1，b 2＝2.故C 1方程为2212y x -=. (2)由(1)知C 2的焦点坐标为()，)，由此设C 2的方程为22221113x y b b +=+，其中b 1＞0.由P在C 2上，得22112213b b +=+， 解得213b =.因此C 2方程为22163x y +=. 显然，l 不是直线y ＝0.设l的方程为x my =A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由22163x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得22(2)30m y +-=＋.又y 1，y 2是方程的根，因此122122,23. 2y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩①②由11x my =22x my =2121221212122() 66()32x x m y y m x x m y y y ym ⎧+=++=⎪⎪⎨-⎪=+++=⎪+⎩③.④ 因为()112AP x y =，()222BP x y =． 由题意知0AP BP ⋅=，所以12121212))40x x x x y yy y ++++=.⑤将①，②，③，④代入⑤式整理，得22110m -+=.解得1m =或1m =+. 因此直线l 的方程为102x y ⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭或102x y ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭.21．(本小题满分12分)(2014辽宁，理21)已知函数f (x )＝(cos x －x )(π＋2x )－8(sin 1)3x ＋，g (x )＝3(x －π)cos x －4(1＋sin x )2ln 3πx ⎛⎫-⎪⎝⎭.证明： (1)存在唯一0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使f (x 0)＝0； (2)存在唯一1π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1＜π. 分析：(1)先判断f (x )的单调性，再运用根的存在性定理证明．(2)可构造函数()1sin g x h x x()+＝，再换元后，结合(1)可求出x 0与x 1的关系． 证明：(1)当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，f ′(x )＝－(1＋sin x )(π＋2x )－2x －2cos 3x ＜0，函数f (x )在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数．又()80π03f =->，2π16π023f ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭， 所以存在唯一0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使f (x 0)＝0. (2)考虑函数()3πcos 24ln 31sin πx x h x x x (-)⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭，π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.令t ＝π－x ，则π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π0,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 记u (t )＝h (π－t )＝3cos 24ln 11sin πt t t t ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭，则u ′(t )＝3π+21sin f t t t ()()(+). 由(1)得，当t ∈(0，x 0)时，u ′(t )＞0. 当0π,2t x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，u ′(t )＜0. 在(0，x 0)上u (t )是增函数．又u (0)＝0，从而当t ∈(0，x 0]时，u (t )＞0.所以u (t )在(0，x 0]上无零点． 在0π,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上u (t )为减函数，由u (x 0)＞0，π2u ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝－4ln 2＜0，知存在唯一10π,2t x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使u (t 1)＝0. 所以存在唯一的1π0,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使u (t 1)＝0. 因此存在唯一的11ππ,π2x t ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，使h (x 1)＝h (π－t 1)＝u (t 1)＝0. 因为当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1＋sin x ＞0， 故g (x )＝(1＋sin x )h (x )与h (x )有相同的零点， 所以存在唯一的1π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使g (x 1)＝0， 因为x 1＝π－t 1，t 1＞x 0，所以x 0＋x 1＜π.请考生在第22,23,24三题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．22．(本小题满分10分)(2014辽宁，理22)选修4—1：几何证明选讲如图，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .(1)求证：AB 为圆的直径；(2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED .分析：(1)证明AB 是直径，即证明∠BDA ＝90°.由∠PF A ＝90°，从而寻求∠BDA ＝∠PF A 就可证明． (2)要证AB ＝DE ，即证DE 为直径，连DC ，即证∠DCE ＝90°，从而只需证明AB ∥DC 即可．证明：(1)因为PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD .由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA .又由于∠PGD ＝∠EGA ，故∠DBA ＝∠EGA ，所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD ，从而∠BDA ＝∠PF A .由于AF ⊥EP ，所以∠PF A ＝90°.于是∠BDA ＝90°.故AB 是直径．(2)连接BC ，DC.由于AB 是直径，故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ，从而Rt △BDA ≌Rt △ACB .于是∠DAB ＝∠CBA .又因为∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB .由于AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角．于是ED 为直径．由(1)得ED ＝AB .23．(本小题满分10分)(2014辽宁，理23)选修4—4：坐标系与参数方程将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．分析：(1)利用相关点法先求出直角坐标方程，再写出参数方程．(2)先联立方程求出P 1，P 2两点的坐标，进而求出P 1P 2的中点坐标，得到与l 垂直的直线方程，再化为极坐标方程．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得11,2.x x y y =⎧⎨=⎩ 由22111x y +=，得2212y x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即曲线C 的方程为2214y x +=. 故C 的参数方程为cos 2sin x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)． (2)由221,4220,y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得10x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩ 不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，所求直线斜率为12k =， 于是所求直线方程为111=22y x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 化为极坐标方程，并整理得 2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即34sin 2cos ρθθ=-. 24．(本小题满分10分)(2014辽宁，理24)选修4—5：不等式选讲设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N .(1)求M ；(2)当x ∈M ∩N 时，证明：()()2214x f x x f x +≤⎡⎤⎣⎦. 分析：(1)分类讨论去绝对值符号即可．(2)在x ∈M ∩N 的条件下，先化简x 2f (x )＋x [f (x )]2，再配方求其最大值即可．解：(1)()[]()33,1,,1,,1,x x f x x x ⎧-+∞⎪=⎨-∈-∞⎪⎩ 当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得43x ≤， 故413x ≤≤； 当x ＜1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x ＜1.所以f (x )≤1的解集为M ＝403x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭. (2)证明：由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4， 得211644x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，解得1344x -≤≤. 因此N ＝1344x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭. 故M ∩N ＝304x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭. 当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，于是x 2f (x )＋x ·[f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )]＝x ·f (x )＝x (1－x )＝2111424x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭.。