2014年辽宁省高考数学试卷(理科)答案与解析
2014年辽宁省高考数学试卷理科
2014年辽宁省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1}2．（5分）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i3．（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a4．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α5．（5分）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）6．（5分）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．247．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8﹣2πB．8﹣πC．8﹣D．8﹣8．（5分）设等差数列{a n}的公差为d，若数列{}为递减数列，则（）A．d＜0 B．d＞0 C．a1d＜0 D．a1d＞09．（5分）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增10．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A．B．C．D．11．（5分）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，﹣3]B．[﹣6，﹣] C．[﹣6，﹣2]D．[﹣4，﹣3]12．（5分）已知定义在[0，1]上的函数f（x）满足：①f（0）=f（1）=0；②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．若对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，则m的最小值为（）A．B．C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
高考真题——理科数学(辽宁卷)解析版
2014 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
理科数学
第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题 ：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，
只有一项 是符合题目要求的 .
1. 已知全集 U R, A { x | x 0}, B { x | x 1} ，则集合 CU ( A B) （
3
3
9
29 ∴ y=
9
14.正方形的四个顶点 A( 1, 1), B (1, 1),C (1,1),D ( 1,1)分别在抛物线 y x2 和 y x2 上，
如图所示，若将一个质点随机投入正方形
ABCD中，则质点落在阴影区域的概率是
.
2 【答案】 3
【解析】
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【答案】 C 【解析】
a
=
1 -
23
∈
(
1 ，1),
2
b=
log2
1 3
∈ (-2，- 1),
c
=
log
1 3 1 2
∈ (1,2).∴ c >
a>
b.选C.
4.已知 m ， n 表示两条不同直线，
A．若 m / / , n / / , 则 m / /n
C．若 m
【答案】 B 【解析】
，m
n ，则 n / /
及方差 D ( X ) .
【答案】 （ 1） 0.108 （ 2） 1.8,0.72 【解析】 （ 1）
用 Y表示日销售量，则 a = p(Y ≥100) = (0.006+ 0.004+ 0.002) ?50 = 0.6, b = p(Y < 50) = 0.003?50 = 0.15. A表示连续 2日销量不低于 100且一日销量低于 50，则 p( A) = aab+ baa = 2a2b = 0.108.所以，所求事件概率为 0.108
2014年高考真题(理科数学)辽宁卷 纯Word版解析可编辑
2014·辽宁卷(理科数学)1．[2014·辽宁卷] 已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝( )A ．{x |x ≥0}B ．{x |x ≤1}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0<x <1}1．D [解析] 由题意可知，A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}，所以∁U (A ∪B )＝{x |0＜x ＜1}． 2．[2014·辽宁卷] 设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( ) A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2i D ．3－2i2．A [解析] 由(z －2i)(2－i)＝5，得z －2i ＝52－i，故z ＝2＋3i.3．、[2014·辽宁卷] 已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a3．C [解析] 因为0<a ＝2－13<1，b ＝log 213<0，c ＝log 1213>log 1212＝1，所以c >a >b .4．[2014·辽宁卷] 已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α4．B [解析] B [解析] 由题可知，若m ∥α，n ∥α，则m 与n 平行、相交或异面，所以A 错误；若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n ，故B 正确；若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，故C 错误．若m ∥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊥α或n 与a 相交，故D 错误．5．、[2014·辽宁卷] 设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0，命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q ) 5．A [解析] 由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当b ≠0时，a ，c 一定共线，故命题q 是真命题．故p ∨q 为真命题．6．[2014·辽宁卷] 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ) A ．144 B ．120 C ．72 D ．246．D [解析] 这是一个元素不相邻问题，采用插空法，A 33C 34＝24. 7．、[2014·辽宁卷] 某几何体三视图如图1-1所示，则该几何体的体积为( )A ．8－2πB ．8－πC ．8－π2D ．8－π4图1-17．B [解析] 根据三视图可知，该几何体是正方体减去两个体积相等的圆柱的一部分⎝⎛⎭⎫占圆柱的14后余下的部分，故该几何体体积为2×2×2－2×14×π×2＝8－π.8．[2014·辽宁卷] 设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d <0 B ．d >0 C ．a 1d <0 D ．a 1d >08．C [解析] 令b n ＝2a 1a n ，因为数列{2a 1a n }为递减数列，所以b n ＋1b n ＝2a 1a n ＋12a 1a n＝2a 1(a n ＋1－a n )＝2a 1d <1，所得a 1d <0.9．[2014·辽宁卷] 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增9．B [解析] 由题可知，将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的图像，令－π2＋2k π≤2x －23π≤π2＋2k π，k ∈Z ，即π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z 时，函数单调递增，即函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，可知当k ＝0时，函数在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增．10．[2014·辽宁卷] 已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )A.12B.23C.34D.4310．D [解析] 因为抛物线C ：y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，且点A (－2，3)在准线上，所以p ＝4.设直线AB 的方程为x ＋2＝m (y －3)，与抛物线方程y 2＝8x 联立得到y 2－8my ＋24m＋16＝0，由题易知Δ＝0，解得m ＝－12(舍)或者m ＝2，这时B 点的坐标为(8，8)，而焦点F 的坐标为(2，0)，故直线BF 的斜率k BF ＝8－08－2＝43.11．[2014·辽宁卷] 当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3] B.⎣⎡⎦⎤－6，－98 C ．[－6，－2] D ．[－4，－3]11．C [解析] 当－2≤x <0时，不等式转化为a ≤x 2－4x －3x 3，令f (x )＝x 2－4x －3x 3(－2≤x <0)，则f ′(x )＝－x 2＋8x ＋9x 4＝－（x －9）（x ＋1）x 4，故f (x )在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增，此时有a ≤1＋4－3－1＝－2.当x ＝0时，g (x )恒成立．当0<x ≤1时，a ≥x 2－4x －3x 3，令个g (x )＝x 2－4x －3x 3(0<x ≤1)，则g ′(x )＝－x 2＋8x ＋9x 4＝－（x －9）（x ＋1）x 4，故g (x )在(0，1]上单调递增，此时有a ≥1－4－31＝－6.综上，－6≤a ≤－2. 12．、[2014·辽宁卷] 已知定义在[0，1]上的函数f (x )满足： ①f (0)＝f (1)＝0；②对所有x ，y ∈[0，1]，且x ≠y ，有|f (x )－f (y )|<12|x －y |.若对所有x ，y ∈[0，1]，|f (x )－f (y )|<k 恒成立，则k 的最小值为( ) A.12 B.14 C.12πD.18 12．B [解析] 不妨设0≤y <x ≤1.当x －y ≤12时，|f (x )－f (y )|<12|x －y |＝12(x －y )≤14.当x －y >12时，|f (x )－f (y )|＝|f (x )－f (1)－(f (y )－f (0))|≤|f (x )－f (1)|＋|f (y )－f (0)|<12|x －1|＋12|y －0|＝－12(x －y )＋12<14.故k min ＝14.13．[2014·辽宁卷] 执行如图1-2所示的程序框图，若输入x ＝9，则输出y ＝________．图1-213.299 [解析] 当x ＝9时，y ＝5，则|y －x |＝4；当x ＝5时，y ＝113，则|y －x |＝43；当x ＝113时，y ＝299，则|y －x |＝49<1.故输出y ＝299. 14．[2014·辽宁卷] 正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1，1)，D (－1，1)分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图1-3所示．若将—个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．图1-314.23 [解析] 正方形ABCD 的面积S ＝2×2＝4，阴影部分的面积S 1＝2⎠⎛－11(1－x 2)d x ＝2⎝⎛⎭⎫x －13x 31－1＝83，故质点落在阴影区域的概率P ＝834＝23. 15．[2014·辽宁卷] 已知椭圆C ：x 29＋y24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝______．15．12 [解析] 取MN 的中点为G ，点G 在椭圆C 上．设点M 关于C 的焦点F 1的对称点为A ，点M 关于C 的焦点F 2的对称点为B ，则有|GF 1|＝12|AN |，|GF 2|＝12|BN |，所以|AN |＋|BN |＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12.16．、[2014·辽宁卷] 对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a －4b ＋5c的最小值为________．16．－2 [解析] 由题知2c ＝－(2a ＋b )2＋3(4a 2＋3b 2)．(4a 2＋3b 2)⎝⎛⎭⎫1＋13≥(2a ＋b )2⇔4a 2＋3b 2≥34(2a ＋b )2，即2c ≥54(2a ＋b )2， 当且仅当4a 21＝3b213，即2a ＝3b ＝6λ(同号)时，|2a ＋b |取得最大值85c ，此时c ＝40λ2.3a －4b ＋5c ＝18λ2－1λ＝18⎝⎛⎭⎫1λ－42－2≥－2， 当且仅当a ＝34，b ＝12，c ＝52时，3a －4b ＋5c取最小值－2.17．、[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c .已知BA →·BC→＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．17．解：(1)由BA →·BC →＝2得c ·a ·cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ， 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13. 解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2. 因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23·2 23＝ 4 29.因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4 292＝79.所以cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋2 23×4 29＝2327.18．、、[2014·辽宁卷] 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图1-4所示．图1-4将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E (X )及方差D (X )．18．解：(1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”，A 2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另1天销售量低于50个”．因此P (A 1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P (A 2)＝0.003×50＝0.15，P (B )＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X 可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为P (X ＝0)＝C 03·(1－0.6)3＝0.064，P (X ＝1)＝C 13·0.6(1－0.6)2＝0.288，P (X ＝2)＝C 23·0.62(1－0.6)＝0.432，P (X ＝3)＝C 33·0.63＝0.216. X 的分布列为X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216因为X ～B (3，0.6)，所以期望E (X )＝3×0.6＝1.8，方差D (X )＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72. 19．、[2014·辽宁卷] 如图1-5所示，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F 分别为AC ，DC 的中点．(1)求证：EF ⊥BC ； (2)求二面角E -BF -C 的正弦值．图1-519．解：(1)证明：方法一，过点E 作EO ⊥BC ，垂足为O ，连接OF .由△ABC ≌△DBC可证出△EOC ≌△FOC ，所以∠EOC ＝∠FOC ＝π2，即FO ⊥BC .又EO ⊥BC ，EO ∩FO ＝O ，所以BC ⊥平面EFO .又EF ⊂平面EFO ，所以EF ⊥BC .图1方法二，由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线，并将其作为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线，并将其作为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得B (0，0，0)，A (0，－1，3)，D (3，－1，0)，C (0，2，0)，因而E (0，12，32)，F (32，12，0)，所以EF →＝(32，0，－32)，BC →＝(0，2，0)，因此EF →·BC →＝0，从而EF →⊥BC →，所以EF ⊥BC .图2(2)方法一，在图1中，过点O 作OG ⊥BF ，垂足为G ，连接EG .因为平面ABC ⊥平面BDC ，所以EO ⊥面BDC ，又OG ⊥BF ，所以由三垂线定理知EG ⊥BF ，因此∠EGO 为二面角E -BF -C 的平面角．在△EOC 中，EO ＝12EC ＝12BC ·cos 30°＝32.由△BGO ∽△BFC 知，OG ＝BO BC ·FC ＝34，因此tan ∠EGO ＝EOOG＝2，从而得sin ∠EGO＝255，即二面角E -BF -C 的正弦值为2 55.方法二，在图2中，平面BFC 的一个法向量为n 1＝(0，0，1)． 设平面BEF 的法向量n 2＝(x ，y ，z )，又BF →＝(32，12，0)，BE →＝(0，12，32)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BF →＝0，n 2·BE →＝0，得其中一个n 2＝(1，－3，1)．设二面角E -BF -C 的大小为θ，且由题知θ为锐角，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝15，因此sin θ＝25＝2 55，即所求二面角正弦值为2 55.20．、[2014·辽宁卷] 圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成—个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图1-6所示)．双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1过点P 且离心率为 3.图1-6(1)求C 1的方程；(2)椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点．若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．20．解：(1)设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则切线斜率为－x 0y 0，切线方程为y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0)，即x 0x ＋y 0y ＝4，此时两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为⎝⎛⎭⎫4x 0，0，⎝⎛⎭⎫0，4y 0.故其围成的三角形的面积S ＝12·4x 0·4y 0＝8x 0y 0.由x 20＋y 20＝4≥2x 0y 0知，当且仅当x 0＝y 0＝2时x 0y 0有最大值2，此时S 有最小值4，因此点P 的坐标为(2，2)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－2b 2＝1，a 2＋b 2＝3a 2，解得a 2＝1，b 2＝2，故C 1的方程为x 2－y 22＝1.(2)由(1)知C 2的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，由此可设C 2的方程为x 23＋b 21＋y 2b 21＝1，其中b 1>0.由P (2，2)在C 2上，得23＋b 21＋2b 21＝1， 解得b 21＝3，因此C 2的方程为x 26＋y 23＝1.显然，l 不是直线y ＝0.设直线l 的方程为x ＝my ＋3，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋3，x 26＋y 23＝1，得(m 2＋2)y 2＋2 3my －3＝0. 又y 1，y 2是方程的根，因此⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2 3mm 2＋2， ①y 1y 2＝－3m 2＋2，②由x 1＝my 1＋3，x 2＝my 2＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m （y 1＋y 2）＋2 3＝4 3m 2＋2， ③x 1x 2＝m 2y 1y 2＋3m （y 1＋y 2）＋3＝6－6m2m 2＋2. ④因为AP →＝(2－x 1，2－y 1)，BP →＝(2－x 2，2－y 2)，由题意知AP →·BP →＝0， 所以x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0，⑤ 将①②③④代入⑤式整理得 2m 2－2 6m ＋4 6－11＝0，解得m ＝3 62－1或m ＝－62＋1.因此直线l 的方程为x －(3 62－1)y －3＝0或x ＋(62－1)y －3＝0.21．、[2014·辽宁卷] 已知函数f (x )＝(cos x －x )(π＋2x )－83(sin x ＋1)，g (x )＝3(x －π)cos x－4(1＋sin x )ln⎝⎛⎭⎫3－2x π.证明：(1)存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使f (x 0)＝0；(2)存在唯一x 1∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1<π.21．证明：(1)当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＝－(1＋sin x )·(π＋2x )－2x －23cos x <0，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数．又f (0)＝π－83>0，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2－163<0，所以存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使f (x 0)＝0.(2)记函数h (x )＝3（x －π）cos x 1＋sin x－4ln ⎝⎛⎭⎫3－2πx ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π.令t ＝π－x ，则当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，t ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.记u (t )＝h (π－t )＝3t cos t 1＋sin t －4 ln ⎝⎛⎭⎫1＋2πt ，则u ′(t )＝3f （t ）（π＋2t ）（1＋sin t ）. 由(1)得，当t ∈(0，x 0)时，u ′(t )>0，当t ∈⎝⎛⎭⎫x 0，π2时，u ′(t )<0.故在(0，x 0)上u (t )是增函数，又u (0)＝0，从而可知当t ∈(0，x 0]时，u (t )>0，所以u (t )在(0，x 0]上无零点．在⎝⎛⎭⎫x 0，π2上u (t )为减函数，由u (x 0)>0，u ⎝⎛⎭⎫π2＝－4ln 2<0，知存在唯一t 1∈⎝⎛⎭⎫x 0，π2，使u (t 1)＝0，故存在唯一的t 1∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使u (t 1)＝0.因此存在唯一的x 1＝π－t 1∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使h (x 1)＝h (π－t 1)＝u (t 1)＝0.因为当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，1＋sin x >0，故g (x )＝(1＋sin x )h (x )与h (x )有相同的零点，所以存在唯一的x 1∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使g (x 1)＝0.因为x 1＝π－t 1，t 1>x 0，所以x 0＋x 1<π. 22．[2014·辽宁卷] 选修4-1：几何证明选讲 如图1-7所示，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上—点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .(1)求证：AB 为圆的直径；(2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED .图1-722．证明：(1)因为PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD . 由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA ，又因为∠PGD ＝∠EGA ，所以∠DBA ＝∠EGA ， 所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD ， 从而∠BDA ＝∠PF A .又AF ⊥EP ，所以∠PF A ＝90°，所以∠BDA ＝90°，故AB 为圆的直径． (2)连接BC ，DC .由于AB 是直径，故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ，从而得Rt △BDA ≌Rt △ACB ， 于是∠DAB ＝∠CBA .又因为∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB . 因为AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角，所以ED 为直径，又由(1)知AB 为圆的直径，所以ED ＝AB . 23．[2014·辽宁卷] 选修4-4：坐标系与参数方程将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．23．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1，由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1. 故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，所求直线的斜率k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎫x －12， 化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.24．[2014·辽宁卷] 选修4-5：不等式选讲设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N .(1)求M ；(2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14.24．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －3，x ∈[1，＋∞），1－x ，x ∈（－∞，1）.当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得x ≤43，故1≤x ≤43；当x <1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x <1.所以f (x )≤1的解集M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0≤x ≤43.(2)由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4得16⎝⎛⎭⎫x －142≤4，解得－14≤x ≤34，因此N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －14≤x ≤34，故M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0≤x ≤34.当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，于是x 2f (x )＋x ·[f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )]＝xf (x )＝x (1－x )＝14－⎝⎛⎭⎫x －122≤14.。
2014年辽宁高考理科数学试题及答案(Word版)
2014 年一般高等学校招生全国一致考试（辽宁卷）理科数学第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题 ：本大题共 12 个小题 ,每题 5 分 ,共 60 分 .在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的 .1. 已知全集 U R, A { x | x 0}, B { x | x 1} ，则会合 C U ( A B) （）A ． { x | x 0}B ． { x | x 1}C ． { x | 0 x 1}D ． { x |0 x 1}2.设复数 z 知足 ( z 2i )(2i ) 5 ，则 z （ ） A ． 2 3iB ． 2 3iC ． 3 2iD ． 3 2i11, c1，则（3.已知 a2 3 ， b log 2 log 1）323A ． a b cB ． a c bC ． c a bD ． c b a4.已知 m ， n 表示两条不一样直线， 表示平面，以下说法正确的选项是（ ）A ．若 m / / , n / / , 则 m / /nB ．若 m ， n ，则 m nC ．若 m， m n ，则 n / /D ．若 m / / ， m n ，则 n5.设 a, b, c 是非零向量，学科 网已知命题 P ：若 a b 0 ， b c 0 ，则 a c 0 ；命题 q ：若 a / /b, b / / c ，则 a / /c ，则以下命题中真命题是（ ）A ． p qB ． p qC ． ( p) ( q)D ． p ( q)6.6 把椅子摆成一排， 3 人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ）A ． 144B ． 120C ． 72D ． 24 7.某几何体三视图如下图，则该几何体的体积为（ ） A ．8 2B ． 8C ． 8D ． 82 48.设等差数列 { a n } 的公差为 d ，若数列 {2 a 1 a n } 为递减数列，则（ ）A ． d 0B ． d 0C ． a 1d 0D ． a 1d 09.将函数 y3sin(2 x ) 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数（ ）, 732A ．在区间 [] 上单一递减12 12 B ．在区间 [, 7] 上单一递加12 12 C ．在区间 [, ] 上单一递减6 3D ．在区间 [, ] 上单一递加6 310.已知点 A( 2,3) 在抛物线 C ： y22 px 的准线上，学 科网过点 A 的直线与 C 在第一象限相 切于点 B ，记 C 的焦点为 F ，则直线 BF 的斜率为（ ）1B ．2C ．34A ．D ．2 3 4 311.当 x [ 2,1] 时，不等式 ax 3 x 24x 3 0 恒建立，则实数 a 的取值范围是（）A ．[ 5,3]B ．[ 6,9] C ．[ 6, 2]D ．[ 4, 3]812.已知定义在 [0,1] 上的函数 f ( x) 知足： ① f (0) f (1) 0 ；②对全部 x, y[0,1] ，且 xy ，有 | f ( x)1 y |.f ( y) | | x2若对全部 x, y [0,1] ， | f (x)f ( y) |k ，则 k 的最小值为（）A ．1B ．1C ．1D ．12428第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.履行右边的程序框图，若输入x 9 ，则输出 y.14.正方形的四个极点A( 1, 1), B(1, 1),C (1,1),D ( 1,1)分别在抛物线 yx 2 和 yx 2 上，如下图，若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中，则质点落在暗影地区的概率是.15.x 2 y 2 A ，已知椭圆 C ：1 ，点 M 与 C 的焦点不重合， 若 M 对于 C 的焦点的对称点分别为94B ，线段 MN 的中点在C 上，则 | AN | | BN |.16. 对于 c0 ，当非零实数 a ，b 知足 4a 2 2ab 4b 2c 0 ，且使 | 2a b | 最大时， 3 4 5.a b c 的最小值为三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）。
辽宁高考数学理科试卷(带详解)教学内容
2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集,{|U R A x x ==≤0},{|B x x =≥1}，则集合()U A B =U ð（ ） A ．{|x x ≥0} B ．{|x x ≤1} C ．{|0x ≤x ≤1} D ．{|01}x x <<【测量目标】集合的基本运算. 【考查方式】集合的并集、补集. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题分析】由题意可知，A B U ＝{|01}x x x ≤或≥，所以()U A B =U ð{|01}x x <<．故选D. 2.设复数z 满足(2i)(2i)5z --=，则z =（ ） A ．23i + B ．23i - C ．32i + D ．32i - 【测量目标】复数的基本性质和运算.【考查方式】复数的基本运算. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题分析】由(2i)(2i)5z --=，得52i 2iz -=-，故z ＝23i +.故选A. 3.已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 【测量目标】对数的基本运算.【考查方式】对数的大小比较. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题分析】因为13021a -<=<，21log 03b =<，121log 3c =>121log 2c =＝1，所以c a b >>.故选C.4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥【测量目标】空间直线与直线，直线与平面的位置关系. 【考查方式】线线平行、垂直，线面平行、垂直的判定. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题分析】由题可知，若//,//,m n αα则m 与n 平行、相交或异面，所以A 错误；若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥，故B 正确；若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n α⊂，故C 错误．若//m α，m n ⊥，则//n α或n α⊥或n 与α相交，故D 错误．故选B.5.设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0⋅=a b ，0⋅=b c ，则0⋅=a c ；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝⌝∧D ．()p q ⌝∨【测量目标】向量的平行与垂直，真假命题的判定. 【考查方式】利用向量之间的位置关系对命题的真假进行判定. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题分析】由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当0≠b 时，,a c 一定共线，故命题q 是真命题．故p q ∨为真命题．故选A.6.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ） A ．144 B ．120 C ．72 D ．24 【测量目标】排列组合.【考查方式】利用插空法进行排列组合. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题分析】这是一个元素不相邻问题，采用插空法，3334A C 24=.故选D.7.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．82π- B ．8π- C ．π82-D ．π84-第7题图 【测量目标】几何体的体积、三视图.【考查方式】利用三视图对体积的考查. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题分析】根据三视图可知，该几何体是正方体减去两个体积相等的圆柱的一部分（占柱的14）后余下的部分，故该几何体体积为2×2×2－2×14×π×2＝8－π.故选B.8.设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a 为递减数列，则（ ）A ．0d <B ．0d >C ．10a d <D ．10a d > 【测量目标】等差数列的基本性质.【考查方式】利用等差数列的性质对首项和公差的正负进行判断. 【难易程度】容易 【参考答案】C 【试题分析】令12n n b a a =，因为数列{}12n a a 为递减数列，所以111111122()212n n n n n nb a a a a a a d b a a +++==-=<，所得10a d <.故选C.9.将函数π3sin(2)3y x =+的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间π7π[,]1212上单调递减 B ．在区间π7π[,]1212上单调递增 C ．在区间ππ[,]63-上单调递减 D ．在区间ππ[,]63-上单调递增 【测量目标】三角函数的平移及性质.【考查方式】求正弦型三角函数平移后的单调区间. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题分析】由题可知，将函数π3sin(2)3y x =+的图像向右平移π2个单位长度得到函数2π3sin(2)3y x =-的图像，令π2π2k -+≤2π23x -≤π2π2k +，k ∈Z ，即ππ12k +≤x ≤7ππ12k +，k ∈Z 时，函数单调递增，即函数2π3sin(2)3y x =-的单调递增区间为π7ππ,π1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，可知当0k =时，函数在区间π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增．故选B.10.已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．43【测量目标】抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系.【考查方式】求过抛物线准线并与抛物线相切的直线的斜率. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题分析】因为抛物线C ：22y px =的准线为2px =-，且点(2,3)A -在准线上，所以p ＝4.设直线AB 的方程为2(3)x m y +=-，与抛物线方程28y x =联立得到2824160y my m -++=，由题易知V ＝0，解得m ＝12- (舍)或者m ＝2，这时B 点的坐标为(8，8)，而焦点F 的坐标为(2，0)，故直线BF 的斜率804823BF k -==-.故选D.11.当[2,1]x ∈-时，不等式3243ax x x -++≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[5,3]-- B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]--【测量目标】函数的导函数、单调区间、最值. 【考查方式】通过给定函数值的范围，利用导函数求函数的单调区间并找出未知量的范围. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题分析】当2-≤0x <时，不等式转化为a ≤2343x x x --，令2343()(2x x f x x--=-≤0)x <， 则24489(9)(1)'()x x x x f x x x -++--+==，故()f x 在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增，此时有a ≤14321+-=--.当0x =时，()g x 恒成立．当0x <≤1时，a ≥2343x x x --，令2343()(0x x g x x x --=<≤1)，则24489(9)(1)'()x x x x g x x x-++--+==， 故()g x 在(0，1]上单调递增，此时有a ≥14361--=-.综上，6-≤a ≤2-.故选C.12.已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足： ①(0)(1)0f f ==；②对所有,[0,1]x y ∈，且x y ≠，有1|()()|||2f x f y x y -<-. 若对所有,[0,1]x y ∈，|()()|f x f y k -<，则k 的最小值为（ ） A ．12 B ．14 C ．12πD ．18【测量目标】函数概念的新定义，不等式的性质.【考查方式】给出新定义的函数，利用给定条件求解未知量的范围. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题分析】不妨设0≤y ≤x ≤1.当x y -≤12时，11|()()|||()22f x f y x y x y -<-=-≤14. 12x y ->时，|()()|()(1)(()(0))f x f y f x f f y f -=---≤1()(1)()(0)2f x f f y f -+-< 111110()2224x y x y -+-=--+<.故min 14k =.故选B.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.执行右侧的程序框图，若输入9x =，则输出y = .第13题图 【测量目标】程序框图的运算.【考查方式】利用程序框图进行基本运算. 【难易程度】容易 【参考答案】299【试题分析】当9x =时，5y =，则4y x -=；当5x =时，113y =，则43y x -=；当113x =时，299y =，则419y x -=<.故输出299y =.14.正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x =-和2y x =上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在阴影区域的概率是 .第14题图 【测量目标】定积分的求解，随机事件的概率.【考查方式】利用定积分求出面积比，进而求出随机事件的概率. 【难易程度】容易 【参考答案】23【试题分析】正方形ABCD 的面积S ＝2×2＝4，阴影部分的面积1231111182(1)d 2()33S x x x x --=-=-=⎰，故质点落在阴影区域的概率82343P ==.15.已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .【测量目标】椭圆的定义及几何性质.【考查方式】椭圆的焦点以及椭圆的几何性质求解相关弧长. 【难易程度】中等 【参考答案】12【试题分析】取MN 的中点为G ，点G 在椭圆C 上．设点M 关于C 的焦点1F 的对称点为A ，点M 关于C 的焦点2F 的对称点为B ，则有112GF AN =，212GF BN =，所以122()412AN BN GF GF a +=+==.16.对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为 .【测量目标】基本不等式的基本应用.【考查方式】利用基本不等式求最值. 【难易程度】较难 【参考答案】－2【试题分析】由题知2222(2)3(43)c a b a b =-+++．221(43)(1)3a b ++≥222(2)43a b a b +⇔+≥23(2)4a b +，即2c ≥25(2)4a b +，当且仅当2243113a b =，即236a b λ==(同号)时， 2a b +240c λ=.223451111(4)288a b c λλλ-+=-=--≥2-， 当且仅当315,,422a b c ===时，345a b c-+取最小值2-.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在△ABC 中，内角,,A B C 的对边,,a b c 且a c >，已知2BA BC ⋅=u u u r u u u r ，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.【测量目标】两角差的余弦公式、向量的数量积.【考查方式】利用正弦定理和余弦定理解三角形中的边和角. 【难易程度】中等【试题分析】（1）由2BA BC ⋅=u u u r u u u r 得，cos 2c a B ⋅=，又1cos 3B =，所以6ac =.由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+.又3b =，所以2292213ac +=+⨯=.解22613ac a c =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2,33,2a c a c ====或. 因为a c >,3,2a c ∴==. （2）在△ABC中，sin 3B ===由正弦定理，得2sin sin 339c CB b ==⋅=，又因为a b c =>，所以C为锐角，因此7cos 9C ===. 于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+=1723393927⋅+⋅=. 18. （本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：第18题图将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X .【测量目标】频率分布直方图，随机事件的概率随机变量的期望和方差. 【考查方式】以频率分布直方图为载体计算事件的概率、分布列、期望、方差. 【难易程度】中等 【试题分析】（Ⅰ）设1A 表示事件“日销售量不低于100个”，2A 表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此1()(0.0060.0040.002)500.6P A =++⨯= ， 2()0.003500.15P A =⨯=，()0.60.60.1520.108P B =⨯⨯⨯=.（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为033(0)(10.6)0.064P X C ==⋅-=,123(1)0.6(10.6)0.288P X C ==⋅-=,223(2)0.6(10.6)0.432P X C ==⋅-=,333(3)0.60.216P X C ==⋅=,分布列为X 0 1 2 3 P0.0640.2880.4320.21619. （本小题满分12分）如图，△ABC 和BCD △所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E F 、分别为AC 、DC 的中点.（1）求证：EF BC ⊥；（2）求二面角E BF C --的正弦值.第19题图1【测量目标】线线垂直的判定，二面角的正弦值.【考查方式】通过找线、面之间的位置关系，证明线线垂直，求二面角的三角函数值. 【难易程度】中等 【试题分析】（1）证明： （方法一）过E 作EO BC ⊥，垂足为O ，连OF ，第19题图2由△ABC ≌△DBC 可证出△FOC ≌△EOC ，所以π2EOC FOC ∠=∠=，即FO BC ⊥， 又EO BC ⊥，因此BC ⊥平面EFO ， 又EF ⊂平面EFO ，所以EF BC ⊥.（方法二）由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.第19题图3易得(0,0,0),(0,3)B A -,3,1,0)D -，(0,2,0)C ,因而1331(0,,0)22E F ,所以33((0,2,0)EF BC ==u u u r u u ur ，因此0EF BC ⋅=u u u r u u u r ,从而EF BC ⊥u u u r u u u r ，所以EF BC ⊥.（2）（方法一）在图2中，过O 作OG BF ⊥，垂足为G ，连EG ，由平面ABC ⊥平面BDC ，从而EO ⊥平面BDC ，又OG BF ⊥，由三垂线定理知EG 垂直BF . 因此EGO ∠为二面角E BF C --的平面角； 在△EOC 中，113cos30222EO EC BC ==⋅=o ，由△BGO ∽△BFC知，34BO OG FC BC =⋅=,因此tan 2EOEGO OG∠==,从而sin EGO ∠=255，即二面角E BF C --的正弦值为255. （方法二）在图3中，平面BFC 的一个法向量为1(0,0,1)=n ，设平面BEF 的法向量2(,,)x y z =n ，又3113(,,0),(0,,)22BF BE ==u u u r u u u r ,由220BF BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r n n 得其中一个2(1,3,1)=-n ，设二面角E BF C --的大小为θ，且由题意知θ为锐角，则121212,cos |cos ,|||||||5θ=<>==⋅n n n n n n ，因sin θ=5=255，即二面角E BF C --的正弦值为255.20. （本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线22122:1x y C a b-=过点P 且离心率为3.（1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程.第20题图1【测量目标】直线与圆的位置关系，双曲线的标准方程及几何性质，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系.【考查方式】利用圆的切线的关系，双曲线的离心率求双曲线方程，通过椭圆与双曲线的的几何性质求解椭圆方程求出直线方程. 【难易程度】较难【试题分析】（1）设切点坐标为0000(,)(0,0)x y x y >>，则切线斜率为0x y -，切线方程为000()x y y x x y -=--，即004x x y y +=，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为000014482S x y x y =⋅⋅=.由22000042x y x y +=≥知当且仅当00x y =时00x y 有最大值，即S 有最小值，因此点P得坐标为 ，由题意知222222213a ba b a ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩解得221,2a b ==，故1C 方程为2212y x -=. （2）由（1）知2C的焦点坐标为(，由此2C 的方程为22221113x y b b +=+，其中10b >.由P 在2C 上，得22112213b b +=+，解得213b =，因此2C 方程为22163x y +=. 显然，l 不是直线0y =.设l的方程为x my =+1122(,),(,)A x y B x y由22163x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得22(2)30m y ++-=，又12,y y 是方程的根，因此122122232y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩①②，由1122x my x my ==1212221212122()66()32x x m y y m x x m y y y y m ⎧+=++=⎪⎪⎨-⎪=+++=⎪+⎩③④因1122),)AP x y BP x y ==u u u r u u u r由题意知0AP BP ⋅=u u u r u u u r ，所以12121212))40x x x x y y y y ++++=⑤ ，将①，②，③，④代入⑤式整理得22110m -+=，解得12m =-或12m =-+，因此直线l 的方程为1)0x y --=，或1)0x y +=.21. （本小题满分12分）已知函数8()(cos )(π2)(sin 1)3f x x x x x =-+-+，2()3(π)cos 4(1sin )ln(3)πx g x x x x =--+-. 证明：（1）存在唯一0π(0,)2x ∈，使0()0f x =；（2）存在唯一1π(,π)2x ∈，使1()0g x =，且对（1）中的0x 有01πx x +<. 【测量目标】函数的零点.【考查方式】利用函数导函数的性质求解三角函数中的零点问题. 【难易程度】较难【试题分析】（1）当π(0,)2x ∈时，2'()(1sin )(π2)2cos 03f x x x x x =-++--<，函数()f x 在π(0,)2上为减函数，又28π16(0)π0,()π0323f f =->=--<，所以存在唯一0π(0,)2x ∈，使0()0f x =. （2）考虑函数3(π)cos 2π()4ln(3),[,π]1sin π2x x h x x x x -=--∈+，令πt x =-，则π[,π]2x ∈时，π[0,]2t ∈，记3cos 2()(π)4ln(1)1sin πt t u t h t t t =-=-++，则3()'()(π2)(1sin )f t u t t t =++ ， 由（1）得，当0(0,)t x ∈时，'()0u t >，当0π(,)2t x ∈时，'()0u t <.在0(0,)x 上()u t 是增函数，又(0)0u =，从而当0(0,]t x ∈时，()0u t >，所以()u t 在0(0,]x 上无零点.在0π(,)2x 上()u t 是减函数，由0π()0,()4ln 202u x u >=-<，存在唯一的10π(,)2t x ∈ ，使1()0u t =.所以存在唯一的10π(,)2t x ∈使1()0u t =.因此存在唯一的11ππ(,π)2x t =-∈，使111()()()0h x h t u t π=-==.因为当π(,π)2x ∈时，1sin 0x +>，故()(1sin )()g x x h x =+与()h x 有相同的零点，所以存在唯一的1π(,π)2x ∈，使1()0g x =.因1110π,x t t x =->，所以01πx x +<请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于,D G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F . （1）求证：AB 为圆的直径；（2）若AC BD =，求证:AB ED =.第22题图1【测量目标】几何证明选讲.【考查方式】利用圆的性质证明相关结论. 【难易程度】中等 【试题分析】（1）因为PD PG =,所以PDG PGD ∠=∠.由于PD 为切线，故PDA DBA ∠=∠,又由于PGD EGA ∠=∠,故DBA EGA ∠=∠,所以DBA BAD EGA BAD ∠+∠=∠+∠,从而BDA PFA ∠=∠.由于AF 垂直EP ，所以90PFA ∠=o，于是90BDA ∠=o，故AB 是直径. (2)连接BC ，DC .第22题图2由于AB 是直径，故∠BDA =∠ACB =90°，在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB =BA ,AC =BD ， 从而Rt △BDA ≌Rt △ACB ，于是∠DAB =∠CBA .又因为∠DCB =∠DAB ,所以∠DCB =∠CBA ，故DC ∥AB .由于,AB EP ⊥所以,DC EP DCE ⊥∠为直角，于是ED 是直径，由（1）得ED =AB .23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】参数方程与极坐标方程转化为普通方程进行求解. 【难易程度】中等【试题分析】（1）设11(,)x y 为圆上的点，在已知变换下位C 上点（x ，y ），依题意，得112x x y y =⎧⎨=⎩ 由22111x y += 得22()12y x +=，即曲线C 的方程为2214y x +=，故C 得参数方程为 cos 2sin x t y t⎧⎨⎩＝＝ （t为参数）.(2)由2214220y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得10x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩. 不妨设12(1,0),(0,2)P P ,则线段12P P 的中点坐标为1(,1)2,所求直线的斜率为12k =，于是所求直线方程为111()22y x -=-，化极坐标方程，并整理得 2cos 4sin 3ρθρθ-=-，即34sin 2cos ρθθ=-.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()f x ≤1的解集为M ，()g x ≤4的解集为N .（1）求M ；（2）当x M N ∈I 时，证明：22()[()]x f x x f x +≤14. 【测量目标】不等式选讲，集合的简单运算.【考查方式】函数与集合结合证明不等式. 【难易程度】中等 【试题分析】（1）33,[1,)()1,(,1)x x f x x x -∈+∞⎧=⎨-∈-∞⎩当x ≥1时，由()33f x x =-≤1得x ≤43，故1≤x ≤43； 当1x <时，由()1f x x =-≤1得x ≥0，故0≤1x <； 所以()f x ≤1的解集为{|0M x =≤x ≤4}3.(2)由2()1681g x x x =-+≤4得2116()4x -≤4,解得14-≤x ≤34，因此1{|4N x =-≤x ≤3}4，故{|0M N x =I ≤x ≤3}4.当x M N ∈I 时，()1f x x =-，于是22()[()]()[()]x f x x f x xf x x f x +⋅=+211()(1)()42x f x x x x =⋅=-=--≤14.。
2014年全国高考辽宁省数学(理)试卷及答案【精校版】
2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C AB =（ ）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x << 2.设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ） A ．23i + B ．23i - C ．32i + D ．32i - 3.已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥5.设,,a b c 是非零向量，学科 网已知命题P ：若0a b ∙=，0b c ∙=，则0a c ∙=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ） A ．p q ∨ B ．p q ∧ C ．()()p q ⌝∧⌝ D ．()p q ∨⌝6.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ） A ．144 B ．120 C ．72 D ．247.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．82π- B ．8π- C ．82π-D ．84π-8.设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（ ） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d > 9.将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 10.已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，学 科网过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．4311.当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[5,3]-- B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3] 12.已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足： ①(0)(1)0f f ==；②对所有,[0,1]x y ∈，且x y ≠，有1|()()|||2f x f y x y -<-. 若对所有,[0,1]x y ∈，|()()|f x f y k -<，则k 的最小值为（ ） A ．12 B ．14 C ．12π D ．18第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.执行右侧的程序框图，若输入9x =，则输出y = . 14.正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x =-和2y x=上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中， 则质点落在阴影区域的概率是 .15.已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += . 16.对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ∙=，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值. 18. （本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X .19. （本小题满分12分）如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 分别为AC 、DC 的中点.（1）求证：EF BC ⊥；（2）求二面角E BF C --的正弦值.20. （本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22122:1x y C a b-=过点P （1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程.21. （本小题满分12分）已知函数8()(cos )(2)(sin 1)3f x x x x x π=-+-+，2()3()cos 4(1sin )ln(3)xg x x x x ππ=--+-.证明：（1）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；（2）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的x 0有01x x π+<.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F. （1）求证：AB 为圆的直径； （2）若AC=BD ，求证：AB=ED.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N. （1）求M ； （2）当x MN ∈时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科数学答案1. D2. A3. C4. B5. A6. D7. B8. C9. B 10. D 11. C 12. B 13.299C 14. 2315. 12 16. 2- 17.（Ⅰ）由2BA BC⋅=得，cos 2c a B ⋅=，又1cos 3B =，所以ac =6.由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+.又b =3，所以2292213ac +=+⨯=.解22613ac a c =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得a =2，c =3或a =3，c =2. 因为a >c ,∴ a =3，c =2. （Ⅱ）在ABC ∆中，sin 3B ===由正弦定理，得2sin sin 339c CB b ==⋅=，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此7cos 9C ===. 于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+=1723393927⋅+⋅=. 18.（Ⅰ）设1A 表示事件“日销售量不低于100个”，2A 表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此1()(0.0060.0040.002)500.6P A =++⨯= . 2()0.003500.15P A =⨯=.()0.60.60.1520.108P B =⨯⨯⨯=.（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为033(0)(10.6)0.064P X C ==⋅-=,123(1)0.6(10.6)0.288P X C ==⋅-=,223(2)0.6(10.6)0.432P X C ==⋅-=,333(3)0.60.216P X C ==⋅=,分布列为因为X ~B (3,0.6),所以期望为E (X )=3×0.6=1.8，方差D （X ）=3×0.6×（1-0.6）=0.72 19.（Ⅰ）证明：（方法一）过E 作EO ⊥BC ，垂足为O ，连OF ，由△ABC ≌△DBC 可证出△EOC ≌△FOC ，所以∠EOC =∠FOC =2π，即FO ⊥BC ， 又EO ⊥BC ，因此BC ⊥面EFO ， 又EF ⊂面EFO ，所以EF ⊥BC .（方法二）由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 左垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.易得B （0,0,0），A (0，-1D ，C (0,2,0),因而11(0,,0)22E F ,所以33(,0,),(0,2,0)EF BC =-=，因此0EF BC ⋅=,从而EF BC ⊥，所以EF BC ⊥. （Ⅱ）（方法一）在图1中，过O 作OG ⊥BF ，垂足为G ，连EG ，由平面ABC ⊥平面BDC ，从而EO ⊥平面BDC ，又OG ⊥BF ，由三垂线定理知EG 垂直BF . 因此∠EGO 为二面角E -BF -C 的平面角；在△EOC 中，EO =12EC =12BC ·cos 30°由△BGO ∽△BFC 知，BO OG FC BC =⋅=,因此tan ∠EGO =2EOOG=,从而sin ∠EGO，即二面角E -BF -C. （方法二）在图2中，平面BFC 的一个法向量为1(0,0,1)n =，设平面BEF 的法向量2(,,)n x y z =，又31(,,0),(,)2B F B E ==,由220n BF n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得其中一个2(1,n =，设二面角E -BF -C 的大小为θ，且由题意知θ为锐角，则121212cos |cos ,|||||||5n nn n n n θ⋅=<>==⋅，因sin θ，即二面角E -BF -C 的正弦值为5. 20.（Ⅰ）设切点坐标为0000(,)(0,0)x y x y >>，则切线斜率为0x y -，切线方程为0000()x y y x x y -=--，即004x x y y +=，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为000014482S x y x y =⋅⋅=.由22000042x y x y+=≥知当且仅当00x y ==时00x y 有最大值，即S 有最小值，因此点P 得坐标为 ， 由题意知222222213a ba b a ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩解得221,2a b ==，故1C 方程为2212y x -=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知2C 的焦点坐标为(，由此2C 的方程为22221113x y b b +=+，其中10b >.由P 在2C 上，得22112213b b +=+， 解得b 12=3，因此C 2方程为22163x y +=显然，l 不是直线y =0.设l 的方程为x =my，点1122(,),(,)A x y B x y由22163x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得22(2)30m y ++-=，又12,y y 是方程的根，因此1212232y y y y m ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪+⎩①②，由122,3x y m y=+得12122221212122()266()32x x m y y m m x x m y y y y m ⎧+=++=⎪⎪+⎨-⎪=+++=⎪+⎩③④因1122(2,2),(2)AP x y BP x y =--=-由题意知0A PB P ⋅=，所以1212112()2()40x x x x yy y ++++=⑤ ，将①，②，③，④代入⑤式整理得22110m -+=，解得1m =-或1m =，因此直线l 的方程为(1)02x y --=，或(1)02x y +-=. 21.（Ⅰ）当(0,)2x π∈时，2'()(1sin )(2)2cos 03f x x x x x π=-++--<，函数()f x 在(0,)2π上为减函数，又2816(0)0,()0323f f πππ=->=--<，所以存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =. （Ⅱ）考虑函数3()cos 2()4ln(3),[,]1sin 2x x h x x x x ππππ-=--∈+，令t x π=-，则[,]2x ππ∈时，[0,]2t π∈， 记3cos 2()()4ln(1)1sin t t u t h t t t ππ=-=-++，则3()'()(2)(1sin )f t u t t t π=++ ，由（Ⅰ）得，当0(0,)t x ∈时，'()0u t >，当0(,)2t x π∈时，'()0u t <.在0(0,)x 上()u t 是增函数，又(0)0u =，从而当0(0,]t x ∈时，()0u t >，所以()u t 在0(0,]x 上无零点.在0(,)2x π上()u t 是减函数，由0()0,()4ln 202u x u π>=-<，存在唯一的10(,)2t x π∈ ，使1()0u t =.所以存在唯一的10(,)2t x π∈使1()0u t =.因此存在唯一的11(,)2x t πππ=-∈，使111()()()0h x h t u t π=-==.因为当(,)2x ππ∈时，1sin 0x +>，故()(1sin )()g x x h x =+与()h x 有相同的零点，所以存在唯一的1(,)2x ππ∈，使1()0g x =.因1110,x t t x π=->，所以01x x π+<请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22.（Ⅰ）因为PD =PG ,所以∠PDG =∠PGD .由于PD 为切线，故∠PDA =∠DBA ,又由于∠PGD =∠EGA ,故∠DBA =∠EGA ,所以∠DBA +∠BAD =∠EGA +∠BAD ,从而∠BDA =∠PF A .由于AF 垂直EP ，所以∠PF A =90°，于是∠BDA =90°，故AB 是直径. (Ⅱ)连接BC ，DC .由于AB 是直径，故∠BDA =∠ACB =90°， 在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB =BA ,AC =BD ， 从而Rt △BDA ≌Rt △ACB ，于是∠DAB =∠CBA . 又因为∠DCB =∠DAB ,所以∠DCB =∠CBA ，故DC ∥AB . 由于,,AB EP DC EP DCE ⊥⊥∠所以为直角 于是ED 是直径，由（Ⅰ）得ED =AB .23.（Ⅰ）设11(,)x y 为圆上的点，在已知变换下位C 上点（x ，y ），依题意，得112x x y y =⎧⎨=⎩ 由22111x y += 得22()12y x +=，即曲线C 的方程为2214y x +=.，故C 得参数方程为 cos 2sin x ty t⎧⎨⎩＝＝ （t 为参数）.(Ⅱ)由2214220y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得：10x y =⎧⎨=⎩，或02x y =⎧⎨=⎩. 不妨设12(1,0),(0,2)P P ,则线段12P P 的中点坐标为1(,1)2,所求直线的斜率为12k =，于是所求直线方程为111()22y x -=-， 化极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3ρθρθ-=-，即34sin 2cos ρθθ=-.24.（Ⅰ）33,[1,)()1,(,1)x x f x x x -∈+∞⎧=⎨-∈-∞⎩当1x ≥时，由()331f x x =-≤得43x ≤，故413x ≤≤； 当1x <时，由()11f x x =-≤得0x ≥，故01x ≤<； 所以()1f x ≤的解集为4{|0}3M x x =≤≤.(Ⅱ)由2()16814g x x x =-+≤得2116()4,4x -≤解得1344x -≤≤，因此13{|}44N x x =-≤≤，故3{|0}4MN x x =≤≤.当x MN ∈时，()1f x x =-，于是22()[()]()[()]x f x x f x xf x x f x +⋅=+2111()(1)()424x f x x x x =⋅=-=--≤.。
2014年辽宁省数学(理)科(有答案)试卷
1 3
,c
=
log 1
2
1 3
，则（
）
A． a b c B． a c b C． c a b D． c b a
4.已知 m，n 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（ ）
A．若 m / /, n / /, 则 m / /n
B．若 m ⊥ ， n ，则 m ⊥ n
C．若 m ⊥ ， m ⊥ n ，则 n / / D．若 m / / ， m ⊥ n ，则 n ⊥
解
ac a2
= +
6 c2
=
13
，得
a=2，c=3
或Байду номын сангаас
a=3，c=2.
因为 a>c,∴ a=3，c=2.
（Ⅱ）在 ABC 中， sin B = 1− cos2 B = 1− (1)2 = 2 2 .
3
3
由正弦定理，得 sin C = c sin B = 2 2 2 = 4 2 ，又因为 a = b c ，所以 C 为锐角，因此
又 EO⊥BC，因此 BC⊥面 EFO，
又 EF 面 EFO，所以 EF⊥BC.
（方法二）由题意，以 B 为坐标原点，在平面 DBC 内过 B 左垂直 BC 的直线为 x 轴，BC 所在直线为 y 轴，在平面 ABC 内过 B 作垂直 BC 的直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
易 得 B （ 0,0,0 ）， A(0 ， -1 ， 3 ),D( 3 ,-1,0) ， C(0,2,0), 因 而 E(0, 1 , 3 ), F( 3 , 1 , 0) , 所 以
b
33 9
cosC =
1− sin2 C =
1− (4
2014年辽宁高考数学理科试卷(带详解)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集,{|U R A x x ==≤0},{|B x x =≥1}，则集合()U A B = ð（ ） A ．{|x x ≥0} B ．{|x x ≤1} C ．{|0x ≤x ≤1} D ．{|01}x x <<【测量目标】集合的基本运算. 【考查方式】集合的并集、补集. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题分析】由题意可知，A B ＝{|01}x x x ≤或≥，所以()U A B = ð{|01}x x <<．故选D. 2.设复数z 满足(2i)(2i)5z --=，则z =（ ） A ．23i + B ．23i - C ．32i + D ．32i - 【测量目标】复数的基本性质和运算.【考查方式】复数的基本运算. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题分析】由(2i)(2i)5z --=，得52i 2iz -=-，故z ＝23i +.故选A. 3.已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 【测量目标】对数的基本运算.【考查方式】对数的大小比较. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题分析】因为13021a -<=<，21log 03b =<，121log 3c =>121log 2c =＝1，所以c a b >>.故选C.4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥【测量目标】空间直线与直线，直线与平面的位置关系. 【考查方式】线线平行、垂直，线面平行、垂直的判定. 【难易程度】容易 【参考答案】B 【试题分析】由题可知，若//,//,m n αα则m 与n 平行、相交或异面，所以A 错误；若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥，故B 正确；若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n α⊂，故C 错误．若//m α，m n ⊥，则//n α或n α⊥或n 与α相交，故D 错误．故选B.5.设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0⋅=a b ，0⋅=b c ，则0⋅=a c ；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝⌝∧D ．()p q ⌝∨【测量目标】向量的平行与垂直，真假命题的判定. 【考查方式】利用向量之间的位置关系对命题的真假进行判定. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题分析】由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当0≠b 时，,a c 一定共线，故命题q 是真命题．故p q ∨为真命题．故选A.6.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ） A ．144 B ．120 C ．72 D ．24 【测量目标】排列组合.【考查方式】利用插空法进行排列组合. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题分析】这是一个元素不相邻问题，采用插空法，3334A C 24=.故选D.7.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．82π- B ．8π- C ．π82-D ．π84-第7题图 【测量目标】几何体的体积、三视图.【考查方式】利用三视图对体积的考查. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题分析】根据三视图可知，该几何体是正方体减去两个体积相等的圆柱的一部分（占柱的14）后余下的部分，故该几何体体积为2×2×2－2×14×π×2＝8－π.故选B.8.设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a 为递减数列，则（ ） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d >【测量目标】等差数列的基本性质.【考查方式】利用等差数列的性质对首项和公差的正负进行判断. 【难易程度】容易 【参考答案】C 【试题分析】令12n n b a a =，因为数列{}12n a a 为递减数列，所以111111122()212n n n n n nb a a a a a a d b a a +++==-=<，所得10a d <.故选C.9.将函数π3sin(2)3y x =+的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间π7π[,]1212上单调递减 B ．在区间π7π[,]1212上单调递增 C ．在区间ππ[,]63-上单调递减 D ．在区间ππ[,]63-上单调递增 【测量目标】三角函数的平移及性质.【考查方式】求正弦型三角函数平移后的单调区间. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题分析】由题可知，将函数π3sin(2)3y x =+的图像向右平移π2个单位长度得到函数2π3sin(2)3y x =-的图像，令π2π2k -+≤2π23x -≤π2π2k +，k ∈Z ，即ππ12k +≤x ≤7ππ12k +，k ∈Z 时，函数单调递增，即函数2π3sin(2)3y x =-的单调递增区间为π7ππ,π1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，可知当0k =时，函数在区间π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增．故选B.10.已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．43【测量目标】抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系.【考查方式】求过抛物线准线并与抛物线相切的直线的斜率. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题分析】因为抛物线C ：22y px =的准线为2px =-，且点(2,3)A -在准线上，所以p ＝4.设直线AB 的方程为2(3)x m y +=-，与抛物线方程28y x =联立得到2824160y my m -++=，由题易知 ＝0，解得m ＝12- (舍)或者m ＝2，这时B 点的坐标为(8，8)，而焦点F 的坐标为(2，0)，故直线BF 的斜率804823BF k -==-.故选D.11.当[2,1]x ∈-时，不等式3243ax x x -++≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[5,3]-- B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]--【测量目标】函数的导函数、单调区间、最值. 【考查方式】通过给定函数值的范围，利用导函数求函数的单调区间并找出未知量的范围. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题分析】当2-≤0x <时，不等式转化为a ≤2343x x x --，令2343()(2x x f x x--=-≤0)x <， 则24489(9)(1)'()x x x x f x x x -++--+==，故()f x 在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增，此时有a ≤14321+-=--.当0x =时，()g x 恒成立．当0x <≤1时，a ≥2343x x x --，令2343()(0x x g x x x --=<≤1)，则24489(9)(1)'()x x x x g x x x-++--+==， 故()g x 在(0，1]上单调递增，此时有a ≥14361--=-. 综上，6-≤a ≤2-.故选C.12.已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足： ①(0)(1)0f f ==；②对所有,[0,1]x y ∈，且x y ≠，有1|()()|||2f x f y x y -<-. 若对所有,[0,1]x y ∈，|()()|f x f y k -<，则k 的最小值为（ ） A ．12 B ．14 C ．12πD ．18 【测量目标】函数概念的新定义，不等式的性质.【考查方式】给出新定义的函数，利用给定条件求解未知量的范围. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题分析】不妨设0≤y ≤x ≤1.当x y -≤12时，11|()()|||()22f x f y x y x y -<-=-≤14. 12x y ->时，|()()|()(1)(()(0))f x f y f x f f y f -=---≤1()(1)()(0)2f x f f y f -+-< 111110()2224x y x y -+-=--+<.故min 14k =.故选B.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.执行右侧的程序框图，若输入9x =，则输出y = .第13题图 【测量目标】程序框图的运算.【考查方式】利用程序框图进行基本运算. 【难易程度】容易 【参考答案】299【试题分析】当9x =时，5y =，则4y x -=；当5x =时，113y =，则43y x -=；当113x =时，299y =，则419y x -=<.故输出299y =.14.正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x =-和2y x =上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在阴影区域的概率是 .第14题图 【测量目标】定积分的求解，随机事件的概率.【考查方式】利用定积分求出面积比，进而求出随机事件的概率. 【难易程度】容易 【参考答案】23【试题分析】正方形ABCD 的面积S ＝2×2＝4，阴影部分的面积1231111182(1)d 2()33S x x x x --=-=-=⎰，故质点落在阴影区域的概率82343P ==.15.已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .【测量目标】椭圆的定义及几何性质.【考查方式】椭圆的焦点以及椭圆的几何性质求解相关弧长. 【难易程度】中等 【参考答案】12【试题分析】取MN 的中点为G ，点G 在椭圆C 上．设点M 关于C 的焦点1F 的对称点为A ，点M 关于C 的焦点2F 的对称点为B ，则有112G F A N =，212GF BN =，所以122()412AN BN GF GF a +=+==.16.对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为 .【测量目标】基本不等式的基本应用.【考查方式】利用基本不等式求最值. 【难易程度】较难 【参考答案】－2【试题分析】由题知2222(2)3(43)c a b a b =-+++．221(43)(1)3a b ++≥222(2)43a b a b +⇔+≥23(2)4a b +，即2c ≥25(2)4a b +，当且仅当2243113a b =，即236a b λ==(同号)时， 2a b +取得最大值85c ，此时240c λ=. 223451111(4)288a b c λλλ-+=-=--≥2-， 当且仅当315,,422a b c ===时，345a b c-+取最小值2-.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在△ABC 中，内角,,A B C 的对边,,a b c 且a c >，已知2BA BC ⋅= ，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.【测量目标】两角差的余弦公式、向量的数量积.【考查方式】利用正弦定理和余弦定理解三角形中的边和角. 【难易程度】中等【试题分析】（1）由2BA BC ⋅= 得，cos 2c a B ⋅=，又1cos 3B =，所以6ac =.由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+.又3b =，所以2292213ac +=+⨯=.解22613ac a c =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2,33,2a c a c ====或. 因为a c >,3,2a c ∴==. （2）在△ABC 中，22122sin 1cos 1().33B B =-=-=由正弦定理，得22242sin sin 339c CB b ==⋅=，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此22427cos 1sin 1()99C C =-=-=. 于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+=17224223393927⋅+⋅=. 18. （本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：第18题图将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X .【测量目标】频率分布直方图，随机事件的概率随机变量的期望和方差. 【考查方式】以频率分布直方图为载体计算事件的概率、分布列、期望、方差. 【难易程度】中等 【试题分析】（Ⅰ）设1A 表示事件“日销售量不低于100个”，2A 表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此1()(0.0060.0040.002)500.6P A =++⨯= ， 2()0.003500.15P A =⨯=，()0.60.60.1520.108P B =⨯⨯⨯=.（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为033(0)(10.6)0.064P X C ==⋅-=, 123(1)0.6(10.6)0.288P X C ==⋅-=, 223(2)0.6(10.6)0.432P X C ==⋅-=, 333(3)0.60.216P X C ==⋅=,分布列为X0 1 2 3P 0.064 0.288 0.432 0.216因为(3,0.6)X B ,所以期望为()30.6 1.8E X =⨯=，方差()30.6(10.6)0.72D X =⨯⨯-=. 19. （本小题满分12分）如图，△ABC 和BCD △所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E F 、分别为AC 、DC 的中点.（1）求证：EF BC ⊥；（2）求二面角E BF C --的正弦值.第19题图1【测量目标】线线垂直的判定，二面角的正弦值.【考查方式】通过找线、面之间的位置关系，证明线线垂直，求二面角的三角函数值. 【难易程度】中等 【试题分析】（1）证明： （方法一）过E 作EO BC ⊥，垂足为O ，连OF ，第19题图2由△ABC ≌△DBC 可证出△FOC ≌△EOC ，所以π2EOC FOC ∠=∠=，即FO BC ⊥， 又EO BC ⊥，因此BC ⊥平面EFO ， 又EF ⊂平面EFO ，所以EF BC ⊥.（方法二）由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.第19题图3易得(0,0,0),(0,1,3)B A -,(3,1,0)D -，(0,2,0)C ,因而1331(0,,),(,,0)2222E F ,所以33(,0,),(0,2,0)22EF BC =-=，因此0EF BC ⋅= ,从而EF BC ⊥ ，所以EF BC ⊥.（2）（方法一）在图2中，过O 作OG BF ⊥，垂足为G ，连EG ，由平面ABC ⊥平面BDC ，从而EO ⊥平面BDC ，又OG BF ⊥，由三垂线定理知EG 垂直BF . 因此EGO ∠为二面角E BF C --的平面角； 在△EOC 中，113cos30222EO EC BC ==⋅= ，由△BGO ∽△BFC 知，34BO OG FC BC =⋅=,因此tan 2EO EGO OG ∠==,从而sin EGO ∠=255，即二面角E BF C --的正弦值为255. （方法二）在图3中，平面BFC 的一个法向量为1(0,0,1)=n ，设平面BEF 的法向量2(,,)x y z =n ，又3113(,,0),(0,,)2222BF BE == ,由220BF BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得其中一个2(1,3,1)=-n ，设二面角E BF C --的大小为θ，且由题意知θ为锐角，则121212,1cos |cos ,|||||||5θ=<>==⋅n n n n n n ，因sin θ=25=255，即二面角E BF C --的正弦值为255.20. （本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线22122:1x y C a b-=过点P 且离心率为3.（1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程.第20题图1【测量目标】直线与圆的位置关系，双曲线的标准方程及几何性质，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系.【考查方式】利用圆的切线的关系，双曲线的离心率求双曲线方程，通过椭圆与双曲线的的几何性质求解椭圆方程求出直线方程. 【难易程度】较难【试题分析】（1）设切点坐标为0000(,)(0,0)x y x y >>，则切线斜率为0x y -，切线方程为0000()x y y x x y -=--，即004x x y y +=，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为000014482S x y x y =⋅⋅=.由22000042x y x y +=≥知当且仅当002x y ==时00x y 有最大值，即S 有最小值，因此点P 得坐标为(2,2) ，由题意知222222213a ba b a ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩解得221,2a b ==，故1C 方程为2212y x -=. （2）由（1）知2C 的焦点坐标为(3,0),(3,0)-，由此2C 的方程为22221113x y b b +=+，其中10b >. 由(2,2)P 在2C 上，得22112213b b +=+，解得213b =，因此2C 方程为22163x y +=. 显然，l 不是直线0y =.设l 的方程为3x my =+，点1122(,),(,)A x y B x y由223163x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 得22(2)2330m y my ++-=，又12,y y 是方程的根，因此12212223232my y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩①②，由11223,3x my x my =+=+得1212222121212243()232663()32x x m y y m m x x m y y m y y m ⎧+=++=⎪⎪+⎨-⎪=+++=⎪+⎩③④ 因1122(2,2),(2,2)AP x y BP x y =--=--由题意知0AP BP ⋅= ，所以121212122()2()40x x x x y y y y -++-++=⑤ ，将①，②，③，④代入⑤式整理得222646110m m -+-=，解得3612m =-或3612m =-+，因此直线l 的方程为 36(1)302x y ---=，或36(1)302x y +--=.21. （本小题满分12分）已知函数8()(cos )(π2)(sin 1)3f x x x x x =-+-+，2()3(π)cos 4(1sin )ln(3)πx g x x x x =--+-. 证明：（1）存在唯一0π(0,)2x ∈，使0()0f x =；（2）存在唯一1π(,π)2x ∈，使1()0g x =，且对（1）中的0x 有01πx x +<. 【测量目标】函数的零点.【考查方式】利用函数导函数的性质求解三角函数中的零点问题. 【难易程度】较难【试题分析】（1）当π(0,)2x ∈时，2'()(1sin )(π2)2cos 03f x x x x x =-++--<，函数()f x 在π(0,)2上为减函数，又28π16(0)π0,()π0323f f =->=--<，所以存在唯一0π(0,)2x ∈，使0()0f x =. （2）考虑函数3(π)cos 2π()4ln(3),[,π]1sin π2x x h x x x x -=--∈+，令πt x =-，则π[,π]2x ∈时，π[0,]2t ∈，记3cos 2()(π)4ln(1)1sin πt t u t h t t t =-=-++，则3()'()(π2)(1sin )f t u t t t =++ ，由（1）得，当0(0,)t x ∈时，'()0u t >，当0π(,)2t x ∈时，'()0u t <.在0(0,)x 上()u t 是增函数，又(0)0u =，从而当0(0,]t x ∈时，()0u t >，所以()u t 在0(0,]x 上无零点.在0π(,)2x 上()u t 是减函数，由0π()0,()4ln 202u x u >=-<，存在唯一的10π(,)2t x ∈ ，使1()0u t =.所以存在唯一的10π(,)2t x ∈使1()0u t =.因此存在唯一的11ππ(,π)2x t =-∈，使111()()()h x h t u t π=-==. 因为当π(,π)2x ∈时，1sin 0x +>，故()(1s i n )()g x x h x =+与()h x 有相同的零点，所以存在唯一的1π(,π)2x ∈，使1()0g x =.因1110π,x t t x =->，所以01πx x +<请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于,D G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F . （1）求证：AB 为圆的直径； （2）若AC BD =，求证:AB ED =.第22题图1【测量目标】几何证明选讲.【考查方式】利用圆的性质证明相关结论. 【难易程度】中等 【试题分析】（1）因为PD PG =,所以PDG PGD ∠=∠.由于PD 为切线，故P D A D B A ∠=∠,又由于PGD EGA ∠=∠,故DBA EGA ∠=∠,所以D B A B A DE G A B A ∠+∠=∠+∠,从而BDA PFA ∠=∠. 由于AF 垂直EP ，所以90PFA ∠=，于是90BDA ∠=，故AB 是直径. (2)连接BC ，DC.第22题图2由于AB 是直径，故∠BDA =∠ACB =90°，在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB =BA ,AC =BD ， 从而Rt △BDA ≌Rt △ACB ，于是∠DAB =∠CBA .又因为∠DCB =∠DAB ,所以∠DCB =∠CBA ，故DC ∥AB .由于,AB EP ⊥所以,DC EP DCE ⊥∠为直角，于是ED 是直径，由（1）得ED =AB .23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】参数方程与极坐标方程转化为普通方程进行求解. 【难易程度】中等【试题分析】（1）设11(,)x y 为圆上的点，在已知变换下位C 上点（x ，y ），依题意，得112x x y y =⎧⎨=⎩ 由22111x y += 得22()12y x +=，即曲线C 的方程为2214y x +=，故C 得参数方程为 cos 2sin x t y t⎧⎨⎩＝＝ （t 为参数）.(2)由2214220y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得10x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩. 不妨设12(1,0),(0,2)P P ,则线段12PP 的中点坐标为1(,1)2,所求直线的斜率为12k =，于是所求直线方程为111()22y x -=-，化极坐标方程，并整理得 2cos 4sin 3ρθρθ-=-，即34sin 2cos ρθθ=-.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()f x ≤1的解集为M ，()g x ≤4的解集为N .（1）求M ；（2）当x M N ∈ 时，证明：22()[()]x f x x f x +≤14. 【测量目标】不等式选讲，集合的简单运算.【考查方式】函数与集合结合证明不等式. 【难易程度】中等【试题分析】（1）33,[1,)()1,(,1)x x f x x x -∈+∞⎧=⎨-∈-∞⎩当x ≥1时，由()33f x x =-≤1得x ≤43，故1≤x ≤43； 当1x <时，由()1f x x =-≤1得x ≥0，故0≤1x <； 所以()f x ≤1的解集为{|0M x =≤x ≤4}3.(2)由2()1681g x x x =-+≤4得2116()4x -≤4,解得14-≤x ≤34，因此1{|4N x =-≤x ≤3}4，故{|0M N x = ≤x ≤3}4.当x M N ∈ 时，()1f x x =-，于是22()[()]()[()]x f x x f x xf x x f x +⋅=+211()(1)()42x f x x x x =⋅=-=--≤14.。
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2014年辽宁省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•辽宁）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（）A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：先求A∪B，再根据补集的定义求C U（A∪B）．解答：解：A∪B={x|x≥1或x≤0}，∴C U（A∪B）={x|0＜x＜1}，故选：D．点评：本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法．2．（5分）（2014•辽宁）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数代数形式的除法运算化简，则z可求．解答：解：由（z﹣2i）（2﹣i）=5，得：，∴z=2+3i．故选：A．点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题．3．（5分）（2014•辽宁）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a考点：对数的运算性质．专题：计算题；综合题．分析：利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞1，则答案可求．解答：解：∵0＜a=＜20=1，b=log2＜log21=0，c=log=log23＞log22=1，∴c＞a＞b．故选：C．点评：本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题．4．（5分）（2014•辽宁）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B．运用线面垂直的性质，即可判断；C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．解答：解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选B．点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．5．（5分）（2014•辽宁）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）考点：复合命题的真假；平行向量与共线向量．专题：简易逻辑．分析：根据向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．解答：解：若•=0，•=0，则•=•，即（﹣）•=0，则•=0不一定成立，故命题p为假命题，若∥，∥，则∥平行，故命题q为真命题，则p∨q，为真命题，p∧q，（￢p）∧（￢q），p∨（￢q）都为假命题，故选：A．点评：本题主要考查复合命题之间的判断，利用向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假是解决本题的关键．6．（5分）（2014•辽宁）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．24考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法．根据分步计数原理可得结论．解答：解：使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法．根据分步计数原理，6×4=24．故选：D．点评：本题考查排列知识的运用，考查乘法原理，先排人，再插入椅子是关键．7．（5分）（2014•辽宁）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8﹣2πB．8﹣πC．8﹣D．8﹣考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算．解答：解：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，∴几何体的体积V=23﹣2××π×12×2=8﹣π．故选：B．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．8．（5分）（2014•辽宁）设等差数列{a n}的公差为d，若数列{}为递减数列，则（）A．d＜0 B．d＞0 C．a1d＜0 D．a1d＞0考点：数列的函数特性．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：由于数列{2}为递减数列，可得=＜1，解出即可．解答：解：∵等差数列{a n}的公差为d，∴a n+1﹣a n=d，又数列{2}为递减数列，∴=＜1，∴a1d＜0．故选：C．点评：本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性、指数函数的运算法则等基础知识与基本技能方法，属于中档题．9．（5分）（2014•辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间[，]上单调递增，则答案可求．解答：解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x﹣）+]．即y=3sin（2x﹣）．当函数递增时，由，得．取k=0，得．∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：B．点评：本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．10．（5分）（2014•辽宁）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意先求出准线方程x=﹣2，再求出p，从而得到抛物线方程，写出第一象限的抛物线方程，设出切点，并求导，得到切线AB的斜率，再由两点的斜率公式得到方程，解出方程求出切点，再由两点的斜率公式求出BF的斜率．解答：解：∵点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，即准线方程为：x=﹣2，∴p＞0，=﹣2即p=4，∴抛物线C：y2=8x，在第一象限的方程为y=2，设切点B（m，n），则n=2，又导数y′=2，则在切点处的斜率为，∴即m=2m，解得=2（舍去），∴切点B（8，8），又F（2，0），∴直线BF的斜率为，故选D．点评：本题主要考查抛物线的方程和性质，同时考查直线与抛物线相切，运用导数求切线的斜率等，是一道基础题．11．（5分）（2014•辽宁）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）C．[﹣6，﹣2]D．[﹣4，﹣3] A．[﹣5，﹣3]B．[﹣6，﹣]考点：函数恒成立问题；其他不等式的解法．专题：综合题；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：分x=0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集．解答：解：当x=0时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；当0＜x≤1时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥，令f（x）=，则f′（x）==﹣（*），当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；当﹣2≤x＜0时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤，由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]．故选：C．点评：本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集；若按照参数讨论则取并集．12．（5分）（2014•辽宁）已知定义在[0，1]上的函数f（x）满足：①f（0）=f（1）=0；②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．若对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，则m的最小值为（）A．B．C．D．考点：函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：依题意，构造函数f（x）=（0＜k＜），分x∈[0，]，且y∈[0，]；x∈[0，]，且y∈[，1]；x∈[0，]，且y∈[，1]；及当x∈[，1]，且y∈[，1]时，四类情况讨论，可证得对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜恒成立，从而可得m≥，继而可得答案．解答：解：依题意，定义在[0，1]上的函数y=f（x）的斜率|k|＜，依题意，k＞0，构造函数f（x）=（0＜k＜），满足f（0）=f（1）=0，|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．当x∈[0，]，且y∈[0，]时，|f（x）﹣f（y）|=|kx﹣ky|=k|x﹣y|≤k|﹣0|=k×＜；当x∈[0，]，且y∈[，1]，|f（x）﹣f（y）|=|kx﹣（k﹣ky）|=|k（x+y）﹣k|≤|k（1+）﹣k|=＜；当y∈[0，]，且x∈[，1]时，同理可得，|f（x）﹣f（y）|＜；当x∈[，1]，且y∈[，1]时，|f（x）﹣f（y）|=|（k﹣kx）﹣（k﹣ky）|=k|x﹣y|≤k×（1﹣）=＜；综上所述，对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜，∵对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，∴m≥，即m的最小值为．故选：B．点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查构造函数思想、分类讨论思想、函数方程思想与等价转化思想的综合运用，考查分析、推理及运算能力，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。