4.5常见曲面的参数方程
利用参数方程求解以下问题：
利用参数方程求解以下问题：利用参数方程求解以下问题当我们面对一些复杂的几何问题时，参数方程可以是一种强大的解决工具。
参数方程将几何图形的坐标表示为参数的函数，可以用来描述不规则形状、曲线和曲面。
在这篇文档中，我们将探讨如何使用参数方程解决几个问题。
问题一：曲线的参数方程第一个问题是确定给定曲线的参数方程。
一个常见的例子是圆的参数方程。
我们知道一个圆的方程可以表示为$x^2 + y^2 = r^2$，其中 $r$ 是半径。
现在我们希望找到一个参数方程来描述这个圆。
我们可以参数化圆，使得 $x = r \cos t$ 和 $y = r \sin t$，其中$t$ 是一个参数。
这个参数方程描述了圆上的每个点的坐标。
问题二：曲线的长度第二个问题是求解给定曲线的长度。
我们可以使用参数方程来解决这个问题。
假设我们有一个参数方程 $\mathbf{r}(t) = (x(t),y(t))$ 来描述曲线上的点。
我们可以通过计算参数 $t$ 的导数来得到速度向量 $\mathbf{v}(t)$，即：$$\mathbf{v}(t) = \frac{d\mathbf{r}(t)}{dt} = \left(\frac{dx(t)}{dt}, \frac{dy(t)}{dt}\right)$$然后，我们可以利用速度向量的长度来计算曲线上两点之间的距离。
假设我们选取一个小的时间间隔 $dt$，那么两点之间的距离可以近似为 $|\mathbf{v}(t)| \cdot dt$。
我们可以将所有小的距离相加，得到整个曲线的长度。
问题三：曲面的参数方程接下来，我们将讨论如何确定给定曲面的参数方程。
类似于曲线的情况，一个曲面的参数方程也是将曲面上的坐标表示为参数的函数。
假设我们有一个二次曲面的方程 $ax^2 + by^2 + cz^2 = 1$，我们希望找到一个参数方程来描述这个曲面。
一个常用的参数方程形式是：$$\begin{align*}x &= \frac{1}{\sqrt{a}} \cos(u)\cos(v) \\y &= \frac{1}{\sqrt{b}} \sin(u)\cos(v) \\z &= \frac{1}{\sqrt{c}} \sin(v)\end{align*}$$其中 $u$ 和 $v$ 是两个参数。
常用曲线和曲面的方程及其性质
常用曲线和曲面的方程及其性质曲线和曲面在三维空间中是常见的数学对象。
它们的方程可以通过几何性质描述它们的性质。
本文将介绍一些常用的曲线和曲面方程及其性质。
一、曲线方程1. 直线方程直线是一种最基本的曲线，它的方程可以写成一般式和斜截式两种形式。
一般式：$Ax+By+C=0$；斜截式：$y=kx+b$，其中$k$是直线的斜率，$b$是截距。
直线的斜率表示的是直线倾斜的程度，斜率越大表示直线越陡峭。
斜率等于零表示直线水平，而无限大则表示直线垂直于$x$轴。
2. 圆的方程圆是一种具有球面对称性质的曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径长度。
一般式：$x^2+y^2+Ax+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
圆的标准式方程可以通过圆心和半径来描述圆的几何性质；而一般式方程则可以通过求圆的中心和半径来转化为标准式方程。
3. 椭圆的方程椭圆是一种内离于两个焦点的平面曲线，它的方程可以写成一般式和标准式两种形式。
标准式：$\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1$，其中$(a,b)$为椭圆中心坐标，$a$是横轴半径，$b$是纵轴半径。
一般式：$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$，其中$A,B,C,D,E$是常数。
椭圆的标准式方程中的$a$和$b$决定了椭圆的形状和大小。
当$a=b$时，椭圆变成了圆。
4. 抛物线的方程抛物线是一种开口朝上或朝下的U形曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$y=ax^2$，其中$a$是抛物线的参数。
一般式：$Ax^2+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
抛物线的标准式方程中的参数$a$可以决定抛物线的开口方向，当$a>0$时开口向上，$a<0$时则开口向下。
5. 双曲线的方程双曲线是一种形状类似于抛物线的曲线，但它却有两个分支。
一些曲面的参数方程及图形
双曲柱面
x y 2 1 2 a b
2
2
参数方程：
x a sec y b tan z u
XUXZ 22 July 2010
椭圆柱面
x y 2 1 2 a b
2
2
参数方程：
x a cos y b sin z t
XUXZ 22 July 2010
星形球面
XUXZ 22 July 2010
8字曲面 Eight Surface
参数方程：
x a cos u sin 2v y b sin u sin 2v z c cos v
XUXZ 22 July 2010
Dini 曲面
参数方程：
x a cos u sin v y a sin u sin v v z b(cos v ln tan ) bu 2
椭圆抛物面
z ax by
参数方程：
2
2
u cos t x a u sin t y b z u2
XUXZ 22 July 2010
双曲抛物面
x y z 2 2 a b
参数方程：
2
2
x a( 2 t ) y b( t ) 2 z 2 t
XUXZ 22 July 2010
麻花曲面 Cor cos u cos v y a sin u cos v z a sin v bu
XUXZ 22 July 2010
正弦曲面 Sine Surface
参数方程：
x a sin u y a sin v z a sin(u v )
空间曲线与曲面的参数方程与性质
空间曲线与曲面的参数方程与性质空间曲线和曲面是数学中重要的概念，它们在几何学和物理学等领域中有广泛的应用。
本文将介绍空间曲线和曲面的参数方程以及它们的性质。
一、空间曲线的参数方程与性质空间曲线是指在三维空间中由一组点构成的连续曲线。
为了描述和研究曲线的性质，可以使用参数方程来表示曲线上的点的坐标。
设曲线上的点的坐标为(x, y, z)，曲线的参数为t，则曲线的参数方程可以表示为：x=f(t)y=g(t)z=h(t)其中f(t)，g(t)，h(t)是t的函数，且在t的定义域上连续可导。
空间曲线的参数方程可以灵活地描述曲线的形状，在计算和分析上也更具优势。
根据具体的问题和曲线的特点，可以选择不同的参数方程来表达。
根据参数方程，可以计算曲线上各个点的切向量、曲率、弧长等性质。
切向量表示曲线在该点的切线方向，曲率描述曲线在该点的弯曲程度，而弧长则是曲线上两个点之间的距离。
二、空间曲面的参数方程与性质空间曲面是指在三维空间中由一组点构成的连续曲面。
为了描述和研究曲面的性质，同样可以使用参数方程来表示曲面上的点的坐标。
设曲面上的点的坐标为(x, y, z)，曲面的参数为u和v，则曲面的参数方程可以表示为：x=f(u, v)y=g(u, v)z=h(u, v)其中f(u, v)，g(u, v)，h(u, v)是u和v的函数，且在参数域上连续可导。
空间曲面的参数方程可以将曲面分解成u和v两个变量的函数，对于复杂的曲面，参数方程的使用相对简单和便捷。
通过参数方程可以计算曲面上各个点的法向量、曲率、面积等性质。
法向量表示曲面在该点的法线方向，曲率描述曲面在该点的弯曲程度，而面积则是曲面上某一区域的大小。
三、空间曲线与曲面的参数方程的关系与应用空间曲线和曲面的参数方程之间存在密切的联系。
实际上，曲线可以被看作是曲面上的一条特殊轨迹。
通过曲线的参数方程，可以确定曲线在曲面上的位置和方向。
而通过曲面的参数方程，可以描述曲线所在的曲面的形状和性质。
常见曲面方程总结(一)
常见曲面方程总结(一)前言•引言：曲面是数学中的重要概念，广泛应用于计算机图形学、工程设计等领域。
在形状设计和模拟中，掌握常见曲面方程是非常重要的基础知识。
本文将介绍几种常见的曲面方程，并分析其特性和应用场景。
正文一、球面方程•定义：球面是由到定点距离相等于固定半径的点所组成的曲面。
它的方程一般可以表示为：(x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = r²，其中(a,b,c)为球心坐标，r为半径。
•特性：球面是空间中对称性最高的曲面，具有旋转对称性、轴对称性和平面对称性。
•应用：球面方程广泛应用于计算机图形学中的三维建模，如球体、球形光源等。
二、圆柱面方程•定义：圆柱面是围绕某条直线旋转而形成的曲面。
它的方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
•特性：圆柱面在与旋转轴垂直的方向上是无限延伸的，而在旋转轴方向上是有限长度的。
•应用：圆柱面方程常用于描述圆柱体、柱形物体等实际物体的几何特征。
三、锥面方程•定义：锥面是由定点到平面上所有点的连线所组成的曲面。
它的方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = z²，其中(a,b)为锥顶坐标。
•特性：锥面在平面上形成对称的圆锥形状，而在垂直于平面的方向上是无限延伸的。
•应用：锥面方程常用于描述圆锥体、棱锥体等实际物体的几何特征。
四、椭球面方程•定义：椭球面是由到两个定点的距离之和等于常数的点所组成的曲面。
它的方程可以表示为：(x-a)²/r₁² + (y-b)²/r₂² + (z-c)²/r₃² = 1，其中(a,b,c)为椭球中心坐标，r₁、r₂、r₃为轴长。
•特性：椭球面可以是旋转椭球、扁椭球或球体等不同形状，取决于轴长的比值。
曲率计算公式参数方程
曲率计算公式参数方程曲率计算是在几何学中，用来表示曲面的曲率的一种方法，曲率的计算是学习几何学的一个重要的概念，不仅可以了解曲率的概念，而且也可以理解曲率参数方程（有时也称为曲率表达式）。
曲率参数方程是一种特殊的公式，用来描述曲面上各点的曲率，曲率参数方程经常以μ（曲率系数）的形式出现，其中μ表示曲率系数，其值依赖于曲率的参数r（曲率半径）。
一般来说，曲率半径由曲率公式计算出来，而曲率的参数方程可以用以下的公式表示：μ[](r)=1/r*[1+(1/2)[(d2F/dr2)2-1]1/2]其中，F(r)表示几何形状的角度，r表示曲率半径，d2F/dr2表示几何形状的曲率。
r是曲率参数，很多时候也是可以调节曲率系数μ的参数。
曲率参数方程主要用来描述几何形状，如圆弧、椭圆、抛物线和曲线的曲率。
这些形状的曲率可以准确地用曲率参数方程来计算。
比如，圆弧的曲率参数方程可以用以下公式来表示：μ(r)=1/(r*sin(θ))其中，θ表示圆弧的弧度，r表示圆弧的曲率半径，即圆弧的直径被分割成圆上任意两点之间的角度。
如果r越小，则θ越小，曲率参数方程中的曲率系数μ也会变小，也就是圆弧越来越尖。
此外，曲率参数方程还可以用来求解其他几何形状的曲率，如椭圆的曲率参数方程可以用以下公式来表示：μ(r)=1/[r1*r2]其中，r1和r2分别为椭圆的两个焦点到椭圆上任意点的距离。
曲率参数方程的另一个应用是，可以用来确定物体的曲率是否超出了安全的界限，如在航空运输、航空和汽车制造中，曲率参数方程可以用来确定机翼外形曲率是否超出了安全界限，这样就可以确保机翼安全地运行。
总之，曲率计算公式参数方程是一种特殊的公式，用来表示曲面上各点的曲率，是几何学中重要概念。
它不仅可以用来描述几何形状的曲率，而且还可以用来确定机翼外形曲率是否超出了安全的界限，从而保证机翼的安全运行。
曲线与曲面的参数方程与切线法平面
曲线与曲面的参数方程与切线法平面曲线与曲面的参数方程与切线法平面是数学中重要的概念和工具，它们被广泛应用于几何学和物理学等学科领域。
本文将介绍曲线与曲面的参数方程的基本概念和应用，并探讨切线法平面的相关理论与应用。
一、曲线的参数方程在数学中，曲线是一个连续的、有限长度的线段。
为了更加准确地描述曲线的形状和位置，我们需要引入参数方程的概念。
曲线的参数方程是一组描述曲线上点位置的方程，其中参数是独立的变量。
例如，若要描述一个圆的曲线，可以使用参数方程：x = r * cosθy = r * sinθ其中，r是圆的半径，θ是参数。
通过不同取值的参数θ，我们可以获得圆上的各个点的坐标。
参数方程的优点是可以灵活地描述各种不同形状和大小的曲线。
在实际应用中，曲线的参数方程被广泛用于机械模型的建立、曲线的绘制以及图形的变换等领域。
二、曲面的参数方程与曲线类似，曲面也可以用参数方程来描述。
曲面的参数方程是一组描述曲面上各个点位置的方程，其中参数可以是一个或多个独立的变量。
以球面为例，可以使用参数方程来描述其上的每个点的位置：x = r * sinθ * cosφy = r * sinθ * sinφz = r * cosθ其中，r是球的半径，θ和φ是参数。
通过不同取值的参数θ和φ，我们可以获得球面上的各个点的坐标。
曲面的参数方程不仅可以用于描述几何体，还可以用于建立三维模型、计算空间中的流体流动等实际问题。
通过调整参数的取值范围，我们可以得到各种形状的曲面。
三、切线法平面切线法是研究曲线和曲面的基本方法之一。
在曲线上的每一点，都可以确定一个切线，切线代表了曲线在该点的局部变化趋势。
切线法平面是通过切线法确定的一个平面，该平面与曲线或曲面相切于给定点，并在该点展开。
切线法平面在计算和研究曲线和曲面特性时具有重要作用。
例如，在曲线上的某一点P，假设曲线的参数方程为x = f(t)，y =g(t)，那么曲线在该点的切线的斜率可以通过导数来求得。
参数方程知识点总结
参数方程知识点总结
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，并且对于t的每一个允许的取值，由方程组确定的点(x, y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，而联系变数x、y的变数t叫做参变数，简称参数。
参数方程的一般形式为x=f(t)，y=g(t)，其中x、y是曲线上某一点的坐标，t是参数。
参数t可以是实数也可以是整数。
一些常见的参数方程包括：
圆的参数方程：x=a+r cosθ，y=b+r sinθ，其中(a,b)为圆心坐标，r为圆半径，θ为参数。
椭圆的参数方程：x=a cosθ，y=b
sinθ，其中a为长半轴长，b为短半轴长，θ为参数。
双曲线的参数方程：x=a secθ，y=b tanθ，其中a为实半轴长，b为虚半轴长，θ为参数。
抛物线的参数方程：x=2pt^2，y=2pt，其中p表示焦点到准线的距离，t为参数。
直线的参数方程：x=x'+tcosa，y=y'+tsina，其中x',y'表示直线经过的点，a表示直线的倾斜角，t为参数。
参数方程的应用非常广泛，例如在物理学、工程学、计算机科学等领域中都有重要的应用。
此外，在柯西中值定理的证明中，也运用到了参数方程。
总结来说，参数方程是数学中的一个重要工具，它可以用来表示各种复杂的曲线和曲面，并且在解决实际问题中具有广泛的应用。
学习和掌握参数方程的概念和应用，对于提高数学能力和解决实际问题都具有重要的意义。
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§4.5 常见曲面的参数方程本节重点：掌握空间中的三种坐标系：直角坐标系、球坐标系、柱坐标系。
掌握旋转曲面的参数方程的建立。
掌握直纹面的参数方程。
本节难点：旋转曲面的参数方程。
直纹面的参数方程。
在第二章中，我们已经引进一般曲面与曲线的参数方程的概念、并给出简单曲面与曲线的参数表示，例如球面与圆柱螺旋线，直线的参数方程。
现在再介绍旋转曲面、直纹面的参数方程，同时给出空间中另外两种坐标系：球坐标系与柱坐标系。
（一）旋转曲面的参数方程，球坐标与柱坐标设旋转曲面的轴为Z 轴，母线Γ的参数方程是)()()()(b t a t h Z t g Y t f X ≤≤===则此旋转曲面可由Γ上每一点生成的纬圆所构成的。
由于这纬圆上动点),,(Z Y X P 与它在坐标面XOY 上的投影'P 具有相同的Y X ,坐标，所以Γ上任一点),,(1111Z Y X P 生成的纬圆的参数方程是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=121212121sin cos Z Z Y X Y Y X X θθ )20(πθ<≤ 其中2121Y X +是纬圆半径，即1P 到Z 轴的距离，而参数θ是X 轴到1OP 的转角。
设1P 对应的参数是1t ，则)())(())((1121212121t h Z t g t f Y X =+=+再让1t 在其取值范围内变动，即得这旋转曲面的参数方程 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=)(sin ))(())((cos ))(())((2222t h Z t g t f Y t g t f X θθ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤≤≤πθ20b t a （4.5.1）特别地，当母线P 为坐标面XOZ 上的径线)(0)(t h Z Y t f X ===时,（4.5.1）成为⎪⎩⎪⎨⎧===)(sin )(cos )(t h Z t f Y t f X θθ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤≤≤πθ20b t a （4.5.2）例１、如图，以原点为中心，a 为半径的球面可看作是由坐标面XOZ 上的半圆r ， ϕϕsin 0cos a Z Y a X === （22πϕπ≤≤-）绕Z 轴旋转所生成的，由(4.5.2)得其参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧===ϕθϕθϕsin sin cos cos cos a Z a Y a X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤≤≤-πθππ2022t （4.5.3）它与§2.1中的球面参数方程的形式是相同的。
(4.5.3)中的参数分别叫做经度与纬度，序对),(ϕθ叫做地理坐标。
显然，除两极外，球面上的点),,(Z Y X P 与序对),(ϕθ一一对应。
这种利用曲面参数方程中的两个参数来表示曲面上的点的坐标叫做曲纹坐标，它对于曲面理论的进一步研究有着重要的作用。
利用球面的这种曲纹坐标还可以引入空间的另一种坐标系。
设P 为空间任意一点，它到原点的距离为r ，过P 作以原点为中心，以r 为半径的球面，则P 在这球面上具有地理坐标ϕθ,，可令点P 对应有序数组),,(ϕθr ；反之，由非负实数r 可确定P 所在的球面，再由),(ϕθ在这球面上确定P 点。
空间中点的这种坐标叫做球坐标。
显然，Z 轴上点的球坐标θ可取任意值。
把(4.5.3)中的常数a 换为变数r ，就成为球坐标与直角坐标的变换式，即⎪⎩⎪⎨⎧===ϕθϕθϕsin sin cos cos cos r Z r Y r X ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-<≤≥22200πππθt r （4.5.4） 反之，有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=+=+=++=2222222222arcsin sin cos Z Y X Z Y X X Y X X Z Y X r ϕθθ (4.5.5)当0=Z 时，θ=0，于是，对坐标面XOY 上的点，只需序对),(θr 即可确定。
这里),(θr 不是别的，正是大家熟知的极坐标。
这时原点是极点，X 轴是极轴，因此，球坐标可以看作是平面极坐标在空间中的一种推广。
例２、如图4-17，以Z 轴为对称轴，半径为a 的圆柱面可看作是由坐标面XOZ 上的t Z Y a X ===0，图4—17绕Z 轴旋转所生成的。
由(4.5.2)得其参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧===t Z a Y a X θθsin cos ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞<<∞-<≤t πθ20 （4.5.6）利用参数t ,θ可得圆柱面上的一种曲纹坐标),(t θ，从而我们可引入空间的又一种坐标系。
设P 为空间任意一点，它到Z 轴的距离为r ，过P 作以Z 轴为轴，半径为r 的圆柱面，则P 在这圆柱面上具有曲纹坐标t ,θ，可令P 对应有序数组),,(t r θ；反之，由非负实数r 可确定P 所在的圆柱面，再由),(t θ在这圆柱面上确定P 点。
空间中点的这种坐标叫做柱坐标。
与球坐标一样，Z 轴上点的柱坐标可取任意值。
把(4.5.6)中的常数a 换为变数r ，即得柱坐标与直角坐标间的关系式⎪⎩⎪⎨⎧===t Z r Y r X θθsin cos ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞<<∞-<≤≥t r πθ200 （4.5.7） 反之，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=Z t Y X X Y X X Y X r 222222sin cos θθ (4.5.8)当0=Z 时，0=t ，从而XOY 面上的点也只需),(θr 即可确定，所以柱坐标也是平面极坐标在空间中的另一种推广。
像广义极坐标一样，柱坐标r 也可以推广到负值情形。
在一个坐标系下，若让一个坐标固定而其它坐标变化，则所得轨迹叫做坐标曲面；若一个坐标变化而其它坐标固定，则所得轨迹叫做坐标曲线。
例如在柱坐标系下，坐标曲面，0r r =（常数）是以Z 轴为轴，半径等于||0r 的圆柱面；坐标曲面0θθ=（常数）是过Z 轴的平面（若限定0>r ，则轨迹为半平面）；0Z Z =（常数）是平行于XOY 面的平面。
显然， 坐标曲线可看作是两个不同类的坐标曲面的交线，如坐标曲线0r r =，0Z Z =（叫做θ线）是圆柱面0r r =与XOY 面的平行面0Z Z =的交线，因而是位于平面0Z Z =上，中心在Z 轴，半径为||0r 的圆。
我们已经看到，用球坐标或柱坐标表示曲面或曲线，有时是比较简单明了的。
但要注意，在不同坐标系下，同一方程可能表示不同的图形。
例如方程0r r =，在球坐标系下表示的是球面20222r Z Y X =++，而在柱坐标系下表示的却是圆柱面2022r Y X =+。
（二）直纹面的参数方程因为直纹面的母线是直线，所以其参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=nV Z mV Y lV X ζηξ其中V 是这直线上点的参数。
只因为直纹面是一族单参数直线构成的，族中母线是随着一个参数U 而变动的，即n m l ,,,,,ζηξ均为U 的函数，所以这直母线族方程可以写成⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=V U n U Z V U m U Y V U l U X )()()()()()(ζηξ (4.5.9)其中U 为族的参数，一个U 值对应族中一条直母线。
当曲面看作是运点轨迹时，就是由所有母线上的点构成的，故(4.5.9)即为它的方程。
令0=V 是，得直纹面上一曲线)(),(),(U Z U Y U X ζηξ===。
它与所有的母线都有公共点，可称为直纹面的导线。
特别地，当)(),(),(U n U m U l 分别为常数n m l ,,（即母线互相平行）时，直纹面(4.5.9)为柱面⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=nV U Z mV U Y lV U X )()()(ζηξ (4.5.10)而当)(),(),(U U U ζηξ分别为常数ζηξ,,（即导线只含一点）时，直纹面(4.5.9)为锥面⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=nV Z mV Y lV X ζηξ (4.5.11)平面可以看作以直线为导线的柱面。
设一个平面通过定点),,(0000Z Y X P 平行于两个不共线向量},,{},,,{222111νμλνμλ→→b a ，我们以→a 为方向向量，过0P 引一直线 U Z U Y U X 101010,,νζμηλξ+=+=+=为导线，以→b 为母线的共同的方向向量，则由(4.5.10)得到平面的参数方程 ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=V U X X V U Y Y V U X X 210210210ννμμλλ (4.5.12)例３、求以直线01=--+Z Y X ，03=+-Y X 为导线，母线平行于直线Z Y X ==的柱面的参数方程。
解：将导线方程改写成⎩⎨⎧=+-=--+0301ηξζηξ 并取ζ为参数，得导线的参数方程为U U =+==ζηξ2121 再将它和1,1,1===n m l 一同代入(3.5.10)使得所求柱面的参数方程为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=++=+=VU Z V U Y V X 2121 显然,这柱面是个平面。
习题 4－５１、求下列曲线按指定轴旋转生成的曲面的参数方程：(1) )0(cos ,sin 4,sin 3π≤≤===t t t Z t Y t X 绕Z 轴旋转 (2) t Z t Y t X 3,,2===绕X 轴旋转。
２、已知径线的参数方程与旋转轴，写出旋转曲面的参数方程 (1) 1,0,2-===t Z Y t X 绕Z 轴旋转(2) 0,sin ,===Z t Y t X 绕X 轴旋转。
３、一锥面以)3,0,0(为顶点，以椭圆1,1162522-==+Z Y X 为导线，试求其参数方程。
４、利用直母线的方程，求单叶双曲面与双曲抛物面的参数方程。
５、设以λ为参数的一族直线0112λλ-=-=-Z Y X ，试求： (1) 这族直线所构成的直纹面；(2) 这直纹面的参数方程；(3) 这直纹面的一条导线。
６、设直纹面有一条直导线，且母线平行于一个与导线相交的定平面，则此直纹面叫做劈锥曲面。
今以定平面为XOY 面，它与直导线的交点为原点，试求劈锥曲面的参数方程。
７、试求球坐标系的坐标曲面与坐标曲线。
（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。
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