结构力学：第4章 静定结构影响线2
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第四章 影响线
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5
2）对于给定的移动荷载组，简支梁AB上哪 个截面的弯矩当移动荷载在什么位置时取得最 大值？该问题是简支梁绝对最大弯矩的求解问 题。
此外，还要讨论简支梁和连续梁的内力包 络图的画法等问题。
为求解以上问题，首先要讨论结构影响线的 求解。实际移动荷载是由若干集中力及均布荷 载组成的，而且每个集中力的大小也不同。但 我们首先要讨论的是具有共性的问题，即单个 移动荷载FP=1在结构上移动时结构内力和位移 的变化规律。
可以通过简支梁内力图与影响线的比较讨论加深对影响线概 念的理解。
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§5-2 静力法作简支梁影响线
M C 影响线
弯矩M图
＝M 1C 影沿响结线构表移示动单时位，荷截载面PC
的弯矩值的变化情况。影 响线上所有竖标都是表示 截面C的弯矩值。
弯矩图 M 则表示在固定荷载P
＝1作用下，梁上各个截面弯矩 的分布情况。弯矩图上的竖标 表示所在截面的弯矩值，不同 截面的竖标表示不同截面的弯 矩值。
当 当
FP FP
1 1
在C点以左时（EC段），可得 在C点以右时（CF段），可得
FQC FQC
FRB FRA l
l
x xl
FP FP
由图可知：只要将相应简支梁的剪力、弯矩影响线向左、 右两边延长，即可得到外伸梁的剪力、弯矩影响线。
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§5-2 静力法作简支梁影响线
(3)作剪力 FQD 的影响线 当 FP 1 在D点以左时，取D的右边为隔离体，得 F QD 0 当 FP 1 在D点以右时，取D的左边为隔离体，得F QD 1
3）当移动荷载FP=1作用在C﹑D截面之间时，根 据叠加原理可得（图c)：
d x
x
M K d yC d yD
5
2）对于给定的移动荷载组，简支梁AB上哪 个截面的弯矩当移动荷载在什么位置时取得最 大值？该问题是简支梁绝对最大弯矩的求解问 题。
此外，还要讨论简支梁和连续梁的内力包 络图的画法等问题。
为求解以上问题，首先要讨论结构影响线的 求解。实际移动荷载是由若干集中力及均布荷 载组成的，而且每个集中力的大小也不同。但 我们首先要讨论的是具有共性的问题，即单个 移动荷载FP=1在结构上移动时结构内力和位移 的变化规律。
可以通过简支梁内力图与影响线的比较讨论加深对影响线概 念的理解。
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§5-2 静力法作简支梁影响线
M C 影响线
弯矩M图
＝M 1C 影沿响结线构表移示动单时位，荷截载面PC
的弯矩值的变化情况。影 响线上所有竖标都是表示 截面C的弯矩值。
弯矩图 M 则表示在固定荷载P
＝1作用下，梁上各个截面弯矩 的分布情况。弯矩图上的竖标 表示所在截面的弯矩值，不同 截面的竖标表示不同截面的弯 矩值。
当 当
FP FP
1 1
在C点以左时（EC段），可得 在C点以右时（CF段），可得
FQC FQC
FRB FRA l
l
x xl
FP FP
由图可知：只要将相应简支梁的剪力、弯矩影响线向左、 右两边延长，即可得到外伸梁的剪力、弯矩影响线。
返回
§5-2 静力法作简支梁影响线
(3)作剪力 FQD 的影响线 当 FP 1 在D点以左时，取D的右边为隔离体，得 F QD 0 当 FP 1 在D点以右时，取D的左边为隔离体，得F QD 1
3）当移动荷载FP=1作用在C﹑D截面之间时，根 据叠加原理可得（图c)：
d x
x
M K d yC d yD
结构力学第四章 静定结构的影响线
327243用机动法作静定梁的影响线二采用机动法作影响线的概念和步骤拟求支座b反力frb的影响线撤去b支杆代以未知量z体系成为一个自由度的机构加虚位移写出虚功方程dp向下为正dz与未知量z方向一致为正fp1移动时dp随x的位置变化dz不变ablfp1abcxabzfp1xdpdz0ppfzzzzpxxzzp1337243用机动法作静定梁的影响线二采用机动法作影响线的概念和步骤1函数x函数x确定影响线各竖距的数值将虚位移dp图除以dz或在虚位移图中设dz1即可从形状和数值上确定z的影响线ablfp1abcxabzdz1fp1xdpdzxxzzpzp表示z的影响线表示荷载作用点的竖向位移虚位移关系图347243用机动法作静定梁的影响线二采用机动法作影响线的概念和步骤机动法作静定内力或支座反力的影响线的步骤如下1撤去与z相应的约束代之以未知力z2使体系沿z正方向发生位移作出荷载作用点的竖向位移图dp图由此确定影响线的轮廓
第四章 静定结构的影响线
Last Edit: 2009.8.8
本章主要内容：
1 影响线的概念；
2 用静力法作静定梁的影响线;
3 用机动法作静定梁的影响线; 4 影响线的应用; 5 简支梁的包络图和绝对最大弯矩。 课后作业
2/72
4-1 影响线的概念
3/72
4-1 影响线的概念
一、移动荷载对结构的作用 固定荷载：荷载的位置是固定的
5/72
4-1 影响线的概念
二、解决移动荷载作用问题的途径 采用叠加原理(无论有几个FP)
A B
进一步采用单位力
—— 一个方向保持不变的单位荷载 FP＝l在结构上移动时，对结构中某一 量值(反力，内力等)所产生的影响。
FP1 A
FA
FP2 B
x
第四章 静定结构的影响线
Last Edit: 2009.8.8
本章主要内容：
1 影响线的概念；
2 用静力法作静定梁的影响线;
3 用机动法作静定梁的影响线; 4 影响线的应用; 5 简支梁的包络图和绝对最大弯矩。 课后作业
2/72
4-1 影响线的概念
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4-1 影响线的概念
一、移动荷载对结构的作用 固定荷载：荷载的位置是固定的
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4-1 影响线的概念
二、解决移动荷载作用问题的途径 采用叠加原理(无论有几个FP)
A B
进一步采用单位力
—— 一个方向保持不变的单位荷载 FP＝l在结构上移动时，对结构中某一 量值(反力，内力等)所产生的影响。
FP1 A
FA
FP2 B
x
结构力学-第四章-结构位移计算-2
M ( x) x (0 x a )
位移状态 (实际状态)
MP A ql 2
（2）写出各杆单位力作用下的弯矩方程式，画出弯矩图 横梁BC 竖柱CA
M ( x) a (0 x a )
ΔBV
o a
a B C
力状态 (虚设状态)
MMP dx EI 5 qa 4 1 1 4 1 3 x a x () 4 2 2 8 EI o
F N FNP Δ dx EA
桁架各杆均为等截面直杆则
F N FNP l Δ EA
§4-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
（3）组合结构
F N FNP l MMP Δ ds EI EA
(4) 跨度较大的薄拱，其轴力和弯矩的影响相当，剪力 的影响不计，位移计算公式为
ql / 4
§4-5 图乘法
例9.图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位 移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。 Pl P yc P ABY 对称结构的对称弯矩图与 EI A B 其反对称弯矩图图乘 ,结果 l 1 1 2 MP ( 为零 l Pl . l 4 l Pl l 2) EI 2 3 反对称弯矩图 l l 10 Pl3 1 1 () l 3 EI yc y c Mi 0 AB 0 ABX EI EI
C
§4-5 图乘法
ql2 / 2
MP
q ql2 / 8
A
B
A y c C l/2 l/2 c EI l/2 1 1 2 l ql 2 1 l 1 l ql 2 2 l ( M C EI 3 2 32 2 2 2 2 2 3 2 q 2 2 2 1 l ql 1 l ql / 2 ql / 8 ) 2 2 8 3 2 4 2 17 ql ql / 32 () 2 ql / 2 384 EI ql2 / 8
位移状态 (实际状态)
MP A ql 2
（2）写出各杆单位力作用下的弯矩方程式，画出弯矩图 横梁BC 竖柱CA
M ( x) a (0 x a )
ΔBV
o a
a B C
力状态 (虚设状态)
MMP dx EI 5 qa 4 1 1 4 1 3 x a x () 4 2 2 8 EI o
F N FNP Δ dx EA
桁架各杆均为等截面直杆则
F N FNP l Δ EA
§4-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
（3）组合结构
F N FNP l MMP Δ ds EI EA
(4) 跨度较大的薄拱，其轴力和弯矩的影响相当，剪力 的影响不计，位移计算公式为
ql / 4
§4-5 图乘法
例9.图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位 移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。 Pl P yc P ABY 对称结构的对称弯矩图与 EI A B 其反对称弯矩图图乘 ,结果 l 1 1 2 MP ( 为零 l Pl . l 4 l Pl l 2) EI 2 3 反对称弯矩图 l l 10 Pl3 1 1 () l 3 EI yc y c Mi 0 AB 0 ABX EI EI
C
§4-5 图乘法
ql2 / 2
MP
q ql2 / 8
A
B
A y c C l/2 l/2 c EI l/2 1 1 2 l ql 2 1 l 1 l ql 2 2 l ( M C EI 3 2 32 2 2 2 2 2 3 2 q 2 2 2 1 l ql 1 l ql / 2 ql / 8 ) 2 2 8 3 2 4 2 17 ql ql / 32 () 2 ql / 2 384 EI ql2 / 8
结构力学4-4联合法作影响线
对于需要考虑动力荷载效应的 情况，还需要在静力荷载影响 线的基础上，叠加动力荷载引 起的附加效应。
刚架结构影响线绘制
分析刚架结构特点
刚架结构通常由多个刚架单元组成，具有较大的刚度和稳定性。在绘制影响线时，需要考 虑结构的整体性和各刚架单元之间的相互作用。
确定影响线的控制点和分区
对于刚架结构，需要确定影响线的控制点和分区。控制点通常包括荷载作用点、支座点和 刚架节点等。分区则是根据结构的受力特点和变形情况，将结构划分为若干个区域，每个 区域内的量值变化规律相对独立。
02
联合法作影响线基本原理
联合法概述
联合法是一种通过结合静力法和机动法来求解结构 影响线的方法。
它充分利用了静力法和机动法的优点，同时避免了 各自的缺点，使得影响线的求解更加准确和高效。
联合法适用于各种复杂的结构形式，包括超静定结 构、动力结构等。
影响线绘制方法
静力法
通过计算结构在单位荷载作用下的内力或位移，得 到影响线的形状和大小。
严格遵守实验室规章制度和操作规程，确保实验安全顺利进行；
如遇设备故障或异常情况，应立即停止实验并报告指导教师处理 。
05
数据处理与结果分析
数据采集和处理方法
80%
数据采集
通过实验或数值模拟获取结构在 不同荷载作用下的响应数据，包 括位移、应力、应变等。
100%
数据处理
对采集到的数据进行整理、筛选 和归纳，提取出与结构力学4-4 联合法相关的关键信息。
机动法
通过假设结构发生微小的刚体位移，利用虚功原理 求解影响线。
联合法
结合静力法和机动法，先利用静力法确定影响线的 形状和大小，再利用机动法进行修正和调整。
联合法作影响线步骤
刚架结构影响线绘制
分析刚架结构特点
刚架结构通常由多个刚架单元组成，具有较大的刚度和稳定性。在绘制影响线时，需要考 虑结构的整体性和各刚架单元之间的相互作用。
确定影响线的控制点和分区
对于刚架结构，需要确定影响线的控制点和分区。控制点通常包括荷载作用点、支座点和 刚架节点等。分区则是根据结构的受力特点和变形情况，将结构划分为若干个区域，每个 区域内的量值变化规律相对独立。
02
联合法作影响线基本原理
联合法概述
联合法是一种通过结合静力法和机动法来求解结构 影响线的方法。
它充分利用了静力法和机动法的优点，同时避免了 各自的缺点，使得影响线的求解更加准确和高效。
联合法适用于各种复杂的结构形式，包括超静定结 构、动力结构等。
影响线绘制方法
静力法
通过计算结构在单位荷载作用下的内力或位移，得 到影响线的形状和大小。
严格遵守实验室规章制度和操作规程，确保实验安全顺利进行；
如遇设备故障或异常情况，应立即停止实验并报告指导教师处理 。
05
数据处理与结果分析
数据采集和处理方法
80%
数据采集
通过实验或数值模拟获取结构在 不同荷载作用下的响应数据，包 括位移、应力、应变等。
100%
数据处理
对采集到的数据进行整理、筛选 和归纳，提取出与结构力学4-4 联合法相关的关键信息。
机动法
通过假设结构发生微小的刚体位移，利用虚功原理 求解影响线。
联合法
结合静力法和机动法，先利用静力法确定影响线的 形状和大小，再利用机动法进行修正和调整。
联合法作影响线步骤
结构力学课件 第四章 影响线
FP C
ab F l
MC的变化规律
• 分析：
A
a
D
B b
1. 该图线的含义：每一纵坐标值都是MC的值；不同点的纵坐标值代表FP移
动到不同位置时MC的大小。（举例说明） 2. 每一点的MC与FP均成正比，其比例系数称为MC的影响系数，用 M C 表
示，即 M C
MC 。 若将该影响系数的变化规律用图线来表示，则该图线 F
d 3
5d 12
MD影响线
1 6
5d 6
FQD影响线
2 3
5 6
1 3
x
FP=1
F
d d
1 3 2 3 1 3
d
d
d
FQF影响线
1 2
1 3
1 3
1 2
1 6
1 3
FQF左影响线
2 3
5 6
1 3
FQF右影响线
x
FP=1
2d 3
E
d d d d d
1
FQE影响线
2d 3
ME影响线
§4-4 静力法作桁架的影响线
就称为MC的影响线。
二、 影响线
F P=1
A
a
C
ab ab F ll
b
B
M 的影响线 M 的变化规律 C C • 定义：在单位移动荷载FP=1作用下，表示结构上某量值Z的变化规律的图线， 称为Z的影响线。 • 说明：1. Z可以是反力、弯矩、剪力、轴力 2. 求Z的影响线，就是求在单位移动荷载FP=1作用下Z的大小。 3. 在Z的影响线中，横坐标表示的是FP=1的作用位置； 纵坐标表示 的是影响系数 Z 的大小。 （比较：弯矩图、弯矩影响线） • 计算方法：1.静力法 2.机动法（虚功原理）
ab F l
MC的变化规律
• 分析：
A
a
D
B b
1. 该图线的含义：每一纵坐标值都是MC的值；不同点的纵坐标值代表FP移
动到不同位置时MC的大小。（举例说明） 2. 每一点的MC与FP均成正比，其比例系数称为MC的影响系数，用 M C 表
示，即 M C
MC 。 若将该影响系数的变化规律用图线来表示，则该图线 F
d 3
5d 12
MD影响线
1 6
5d 6
FQD影响线
2 3
5 6
1 3
x
FP=1
F
d d
1 3 2 3 1 3
d
d
d
FQF影响线
1 2
1 3
1 3
1 2
1 6
1 3
FQF左影响线
2 3
5 6
1 3
FQF右影响线
x
FP=1
2d 3
E
d d d d d
1
FQE影响线
2d 3
ME影响线
§4-4 静力法作桁架的影响线
就称为MC的影响线。
二、 影响线
F P=1
A
a
C
ab ab F ll
b
B
M 的影响线 M 的变化规律 C C • 定义：在单位移动荷载FP=1作用下，表示结构上某量值Z的变化规律的图线， 称为Z的影响线。 • 说明：1. Z可以是反力、弯矩、剪力、轴力 2. 求Z的影响线，就是求在单位移动荷载FP=1作用下Z的大小。 3. 在Z的影响线中，横坐标表示的是FP=1的作用位置； 纵坐标表示 的是影响系数 Z 的大小。 （比较：弯矩图、弯矩影响线） • 计算方法：1.静力法 2.机动法（虚功原理）
结构力学 绘制影响线
制悬臂梁上任意截面 C 的弯矩 MC 和剪力 QC 的影响线时，建立坐标系如图 4 – 12a 所示，以 B 点为坐标原点，并规定 x 以右为正。
通过分析可知，当单位移动荷载 P =1在 AC 范围内移动时（b ≤ x ≤ l），取 CB 段为隔离体（图 4–12b），计算得MC = 0 ，QC = 0 (b ≤ x ≤ l) 当单位移动荷载 P =1在 CB 范围内移动时 ( 0≤ x≤ b )，取 CB 段为隔离体（图 4–12c），
QK = 1 MK= - X （0≤x≤d ') 当 P=1 在 K' 截面以左移动时，仍取 K 截面以左部分为隔离体，得
QK = 0 Mk=0
情景一 绘制单跨静定梁的反力和内力影响线 项目实施
情景一 绘制单跨静定梁的反力和内力影响线 项目实施
3．悬臂梁影响线的绘制 （1）支座反力影响线 绘制悬臂梁支座反力 VA 和 MA 的影响线时，建立如图 4 – 11a 所示坐 标系，以 B 点为坐标原点，并规定 x 以右为正。
情景一 绘制单跨静定梁的反力和内力影响线 知识链接
情景一 绘制单跨静定梁的反力和内力影响线
知识链接
（2）移动的均布荷载 指作用位置可以变动或断续分布的均布荷载，如图 4 – 3 所示。如履带式起重 机、拖拉机，材料的任意堆放，人群的任意走动。
情景一 绘制单跨静定梁的反力和内力影响线
知识链接 2．影响线的概念
对于支座处截面的弯矩影响线，截面 A 可视为外伸部分上的截面，此 时d=l1 。所以绘制MA 的影响线时，在 MK 的影响线方程中令x=l1 即可。绘 制的 MA 影响线如图 4 – 13d 所示。
情景一 绘制单跨静定梁的反力和内力影响线 能力拓展
情景一 绘制单跨静定梁的反力和内力影响线
通过分析可知，当单位移动荷载 P =1在 AC 范围内移动时（b ≤ x ≤ l），取 CB 段为隔离体（图 4–12b），计算得MC = 0 ，QC = 0 (b ≤ x ≤ l) 当单位移动荷载 P =1在 CB 范围内移动时 ( 0≤ x≤ b )，取 CB 段为隔离体（图 4–12c），
QK = 1 MK= - X （0≤x≤d ') 当 P=1 在 K' 截面以左移动时，仍取 K 截面以左部分为隔离体，得
QK = 0 Mk=0
情景一 绘制单跨静定梁的反力和内力影响线 项目实施
情景一 绘制单跨静定梁的反力和内力影响线 项目实施
3．悬臂梁影响线的绘制 （1）支座反力影响线 绘制悬臂梁支座反力 VA 和 MA 的影响线时，建立如图 4 – 11a 所示坐 标系，以 B 点为坐标原点，并规定 x 以右为正。
情景一 绘制单跨静定梁的反力和内力影响线 知识链接
情景一 绘制单跨静定梁的反力和内力影响线
知识链接
（2）移动的均布荷载 指作用位置可以变动或断续分布的均布荷载，如图 4 – 3 所示。如履带式起重 机、拖拉机，材料的任意堆放，人群的任意走动。
情景一 绘制单跨静定梁的反力和内力影响线
知识链接 2．影响线的概念
对于支座处截面的弯矩影响线，截面 A 可视为外伸部分上的截面，此 时d=l1 。所以绘制MA 的影响线时，在 MK 的影响线方程中令x=l1 即可。绘 制的 MA 影响线如图 4 – 13d 所示。
情景一 绘制单跨静定梁的反力和内力影响线 能力拓展
情景一 绘制单跨静定梁的反力和内力影响线
结构力学—影响线
0.75 1.0
P1
P2
RB P1 y1 P2 y2
l
RB
定义：当单位荷载（P=1）在结构上移动时，表示结构某一指
定2截021/面6/24中某项内力变化规律的曲线，称为该项内力的影响线6 。
无论是研究结构在移动荷载作用下的内力变化规律或最不利荷载 位置，内力影响线都是最基本的工具。
影响线有两种画法；静力法和机动法。
B
dx
b
l
a
y
l
QC P1 y1 P2 y2 P3 y3
I.L QC
B
QC
q dx y
A
B
qA ydx
I.L QC
q AB
AB－影响线面积代数和
24
二、求荷载的最不利位置
如果荷载移到某一个位置，使某一指定内力达到最大值（＋、－）， 则此荷载所在位置称为最不利位置。
我们可以利用影响线来确定最不利位置，对比较简单的情况可以直观 地判断最不利位置。
c
5.6m
3m
6m
3m
14m
1.8m
3.36m
d
4m
8m
1.6m
I .L M C
设 PK 15kN 置于截面C处由判别式有：
x
0,
Ri
tgi
10
15
3.36 5.6
5
20
3.36 8.4
5
0
x
0,
Ri
tg i
10
3.36 5.6
15
5
20
3.36 8.4
10
0
Mmax 83kN m
2）确定内力的最大值及相应的荷载位置——最不利荷载位置。 方法：在各种荷载中抽象出单位荷载（P =1）。
结构力学-第4章影响线
简要介绍某大桥的工程背景，包括桥梁类型、跨度、设计荷载等。
影响线和包络图在该桥设计中的应用
详细阐述影响线和包络图在该桥设计中的应用过程，包括影响线和包络图的绘制、最不利位置的确定、最大内力的计 算等。
设计结果分析与评价
对该桥的设计结果进行分析和评价，包括结构安全性、经济性等方面的评估。同时，可以与其他设计方 案进行对比分析，以进一步验证影响线和包络图在工程设计中的有效性和优越性。
通过绘制建筑结构的包络图，可以找到结构在地震作用下的最大变形和位移，为结构的刚 度设计和稳定性分析提供依据。
影响线和包络图在建筑结构优化设计中的作用
利用影响线和包络图，可以对建筑结构进行优化设计，如调整结构布置、改变构件截面等 ，以提高结构的抗震性能和经济效益。
工程案例分析：某大桥设计过程剖析
工程背景介绍
结构优化设计
根据影响线的形状和分布，对结 构进行优化设计，以改善结构的 受力性能。
80%
工程实例分析
结合具体工程实例，利用影响线 理论进行结构分析和设计，验证 理论的正确性和实用性。
03
超静定结构影响线绘制与应用
超静定梁影响线绘制实例
实例一
实例三
一次超静定梁的影响线绘制。通过选取 基本体系和基本未知量，利用力法方程 求解多余未知力，并绘制影响线。
影响线用于确定桥梁结构在移动荷载作用下的最不利位置
通过绘制桥梁结构的影响线，可以确定移动荷载在桥梁上的最不利位置，从而进行结构分析和设 计。
包络图用于确定桥梁结构的最大内力
通过绘制桥梁结构的包络图，可以找到桥梁在移动荷载作用下的最大内力，为桥梁的强度设计和 稳定性分析提供依据。
影响线和包络图在桥梁优化设计中的作用
影响线在结构优化中的应用
影响线和包络图在该桥设计中的应用
详细阐述影响线和包络图在该桥设计中的应用过程，包括影响线和包络图的绘制、最不利位置的确定、最大内力的计 算等。
设计结果分析与评价
对该桥的设计结果进行分析和评价，包括结构安全性、经济性等方面的评估。同时，可以与其他设计方 案进行对比分析，以进一步验证影响线和包络图在工程设计中的有效性和优越性。
通过绘制建筑结构的包络图，可以找到结构在地震作用下的最大变形和位移，为结构的刚 度设计和稳定性分析提供依据。
影响线和包络图在建筑结构优化设计中的作用
利用影响线和包络图，可以对建筑结构进行优化设计，如调整结构布置、改变构件截面等 ，以提高结构的抗震性能和经济效益。
工程案例分析：某大桥设计过程剖析
工程背景介绍
结构优化设计
根据影响线的形状和分布，对结 构进行优化设计，以改善结构的 受力性能。
80%
工程实例分析
结合具体工程实例，利用影响线 理论进行结构分析和设计，验证 理论的正确性和实用性。
03
超静定结构影响线绘制与应用
超静定梁影响线绘制实例
实例一
实例三
一次超静定梁的影响线绘制。通过选取 基本体系和基本未知量，利用力法方程 求解多余未知力，并绘制影响线。
影响线用于确定桥梁结构在移动荷载作用下的最不利位置
通过绘制桥梁结构的影响线，可以确定移动荷载在桥梁上的最不利位置，从而进行结构分析和设 计。
包络图用于确定桥梁结构的最大内力
通过绘制桥梁结构的包络图，可以找到桥梁在移动荷载作用下的最大内力，为桥梁的强度设计和 稳定性分析提供依据。
影响线和包络图在桥梁优化设计中的作用
影响线在结构优化中的应用
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首先，由直觉判断 只有 FP2或 FP3 作用 于影响线顶点时，FyB 可能达到最大值。
先考虑 FP2作用于
B点的情况，如
右图所示。
此时有：
426.6kN 426.6kN 289.3kN
6m
6mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
426.6kN 426.6kN 289.3kN
6m
6m
故 FyB 是临界荷载
此时有
FyB 426.6kN 0.125 426.6kN 1 289.3kN 0.758 699.20kN
再考虑 FP3作用于B点的情况，如下图所示
有
426.6kN 289.3kN 289.3kN
6m
6m
426.6kN 289.3kN 289.3kN
6m
6m
故 FP3也是临界荷 载。 此时有
FyB 426.6kN 0.758 289.3kN 1 289.3kN 0.20 670.52kN
比较得： FyB(max) 699.20kN
例11 试求下图所示梁在汽—15级标准荷载作 用下K截面处的最大弯矩。
查附录A汽—15级标准荷载可知,最不利荷载位置 应是在重车驶于梁上时才有可能发生,此时FP1 70kN FP2 130kN ，FP3 50kN ，FP4 100kN 先作 M K的影响线
A0 表示S影响线在均布荷
载范围内面积的代数和
A0 A1 A2
例9 试用影响线求下图所示伸臂梁截面C的剪力。
首先作出FQC 的影响线
注意： 因为C处有集中荷载, 所以 FQC突变。
所以因分截面C的 左右,分别求出 FQLC 和 FQRC 。
求 FQLC时，C点的35kN处于正号区
FQLC
(35kN 3 15kN 1 15kN 2) 8kN
8
8
8
m ( 2m 2 5m 5 3m 3) 28 28 28
15kN 6kN 9kN
在求 FQRC 时，35kN作用于负号区
FQRC
(35kN
5 8
15kN
1 8
15kN
2) 6kN 8
26kN
4-5-2 确定最不利荷载位置
1. 可以任意布置的均布荷载 在工程设计中，一般将楼面活荷载简化成可 以任意间断布置的均布荷载来考虑。
当均布荷载满布相应的 影响线的正号时,S取得 最大正号值
当均布荷载满布相应的 影响线的负号时,S取得 最大负号值 如右图所示，图中的两种布置分别取得 M D的 最大正号值和最大负号值。
2. 移动荷载组（三角形影响线）
左图为一组间距 不变的移动集中 荷载组和某一量 值S的影响线
S随荷载的移动 而变化，当荷载 组移动一微小距 离 x时，S的变 化量为
其中 tan1 0.625 ，tan2 0.125 ，tan3 0.375
先考虑重车后轴 FP2置于D点的情况，如图所示
FP2在D点
FPi tani FP1 tan1 FP2 tan2 FP3 tan3
左侧： 70kN 0.625 130kN 0.125 50kN 0.375 41.25kN 0
若将 FP2 置于C点，如图所示
FP2在C点 左侧：
FP2在C点 右侧：
FPi tani FP2 tan1 FP3 tan3 FP4 tan3
130kN 0.625 50kN 0.375 100kN 0.375 25kN 0
当 FPcr 在影响线顶点左侧 当 FPcr 在影响线顶点右侧
FRi tan i 0
FRi tan i 0
例10 试求下图所示吊车梁在图示吊车竖向荷载 作用下B支座的最大反力。设其中一台吊车轮压为 FP1 FP2 426.6kN ，另一台轮压为 FP3 FP4 289.3kN 轮距及车挡限位的最小车距如图所示。
S FP1y1 FP2y2 FPiyi FPnyn
(FP1 FP2
FPi
)
h a
x
( FPi 1
FPn
)
h b
x
（a）
S (FP1 FP2
FPi
)
h a
x
(
FPi1
FPn
)
h b
x
(a)
由式(a)可以看出，要使S处于极值，则 S变号,则
必有一集中荷载作用于影响线顶部。
如果某一集中荷载作用于顶部时，S取得极值,则称 该集中荷载为量值S的一个临界荷载，记为FPcr 。
于是可得使S取得极大值的临界荷载的判别式为：
FPL FPcr a
FPR b
FPL a
FPR
FPcr
b
式中FPL 和 FPR 分别表
示 FPcr以左和以右的荷
载之和。
注意：临界荷载可能有多个，这时将相应的极值 算出，其中最大的极值就是S的最不利值。
相关概念： (1)无论移动荷载左移或右移,临界荷载和S的最不 利值相同,但移动荷载调头，临界荷载和S的最不 利值可能不同。
FRnx tan n
与三角形影响线同理，可以得到结论：
量值S取得极值的必要条件是有一个集中荷载 作用于影响线的某一个顶点。
同理可得多边形影响线使S取得极大值的临界荷载 判别式：
当 FPcr 在影响线顶点左侧 当 FPcr 在影响线顶点右侧
FRi tan i 0
FRi tan i 0
同理可，使S取得极小值的临界荷载判别式为：
(2) 判别式之一为等号仍为临界荷载。
(3)影响线为单折线时,判别式仍适用，当a、b值 应按下图所示取值。
多边荷载线的最不利位置
S FR1y1 FR2y2 FRiyi FRnyn
FR1x tan 1 FR2x tan 2 FRix tan i
n
x FRi tani i 1
§4- 5 影响线的应用
4-5-1 应用影响线计算影响量
1. 集中荷载组作用
如左图所示，集中荷载组 的影响量S等于各荷载影 响量的代数和。
即
n
S FPi yi i 1
2. 分布荷载作用
分布荷载的影响线计算 原理和集中荷载组是相 同的。 根据积分原理得
B
S A q(x)dx
当为均布荷载时
B
S q A ydx qA0
FP2在D点 FPi tani FP1 tan2 FP2 tan3 FP3 tan3
右侧： 70kN 0.125 130kN 0.375 50kN 0.375 58.75kN 0
FPi tani 变号,所以此为一临界位置，相应极值为
MK FPi yi 70kN 2.5m 130kN 3m 50kN 1.125m 621.25kN m