结构力学：第4章 静定结构影响线2
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§4- 5 影响线的应用
4-5-1 应用影响线计算影响量
1. 集中荷载组作用
如左图所示，集中荷载组 的影响量S等于各荷载影 响量的代数和。
即
n
S FPi yi i 1
2. 分布荷载作用
分布荷载的影响线计算 原理和集中荷载组是相 同的。 根据积分原理得
B
S A q(x)dx
当为均布荷载时
B
S q A ydx qA0
比较得： FyB(max) 699.20kN
例11 试求下图所示梁在汽—15级标准荷载作 用下K截面处的最大弯矩。
查附录A汽—15级标准荷载可知,最不利荷载位置 应是在重车驶于梁上时才有可能发生,此时FP1 70kN FP2 130kN ，FP3 50kN ，FP4 100kN 先作 M K的影响线
于是可得使S取得极大值的临界荷载的判别式为：
FPL FPcr a
FPR b
FPL a
FPR
FPcr
b
式中FPL 和 FPR 分别表
示 FPcr以左和以右的荷
载之和。
注意：临界荷载可能有多个，这时将相应的极值 算出，其中最大的极值就是S的最不利值。
相关概念： (1)无论移动荷载左移或右移,临界荷载和S的最不 利值相同,但移动荷载调头，临界荷载和S的最不 利值可能不同。
(2) 判别式之一为等号仍为临界荷载。
(3)影响线为单折线时,判别式仍适用，当a、b值 应按下图所示取值。
多边荷载线的最不利位置
S FR1y1 FR2y2 FRiyi FRnyn
FR1x tan 1 FR2x tan 2 FRix tan i
n
x FRi tani i 1
若将 FP2 置于C点，如图所示
FP2在C点 左侧：
FP2在C点 右侧：
FPi tani FP2 tan1 FP3 tan3 FP4 tan3
130kN 0.625 50kN 0.375 100kN 0.375 25kN 0
A0 表示S影响线在均布荷
载范围内面积的代数和
A0 A1 A2
例9 试用影响线求下图所示伸臂梁截面C的剪力。
首先作出FQC 的影响线
注意： 因为C处有集中荷载, 所以 FQC突变。
所以因分截面C的 左右,分别求出 FQLC 和 FQRC 。
求 FQLC时，C点的35kN处于正号区
FQLC
(35kN 3 15kN 1 15kN 2) 8kN
首先，由直觉判断 只有 FP2或 FP3 作用 于影响线顶点时，FyB 可能达到最大值。
先考虑 FP2作用于
B点的情况，如
右图所示。
此时有：
426.6kN 426.6kN 289.3kN
6m
6m
426.6kN 426.6kN 289.3kN
6m
6m
故 FyB 是临界荷载
此时有
FyB 426.6kN 0.125 426.6kN 1 289.3kN 0.758 699.20kN
FRnx tan n
与三角形影响线同理，可以得到结论：
量值S取得极值的必要条件是有一个集中荷载 作用于影响线的某一个顶点。
同理可得多边形影响线使S取得极大值的临界荷载 判别式：
当 FPcr 在影响线顶点左侧 当 FPcr 在影响线顶点右侧
FRi tan i 0
FRi tan i 0
同理可，使S取得极小值的临界荷载判别式为：
其中 tan1 0.625 ，tan2 0.125 ，tan3 0.375
先考虑重车后轴 FP2置于D点的情况，如图所示
FP2在D点
FPi tani FP1 tan1 FP2 tan2 FP3 tan3
左侧： 70kN 0.625 130kN 0.125 50kN 0.375 41.25kN 0
再考虑 FP3作用于B点的情况，如下图所示
有
426.6kN 289.3kN 289.3kN
6m
6m
426.6kN 289.3kN 289.3kN
6m
6m
故 FP3也是临界荷 载。 此时有
FyB 426.6kN 0.758 289.3kN 1 289.3kN 0.20 670.52kN
当均布荷载满布相应的 影响线的正号时,S取得 最大正号值
当均布荷载满布相应的 影响线的负号时,S取得 最大负号值 如右图所示，图中的两种布置分别取得 M D的 最大正号值和最大负号值。
2. 移动荷载组（三角形影响线）
左图为一组间距 不变的移动集中 荷载组和某一量 值S的影响线
S随荷载的移动 而变化，当荷载 组移动一微小距 离 x时，S的变 化量为
8
8
8
m ( 2m 2 5m 5 3m 3) 28 28 28
15kN 6kN 9kN
在求 FQRC 时，35kN作用于负号区
FQRC
(35kN
5 8
15kN
1 8
15kN
2) 6kN 8
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26kN
4-5-2 确定最不利荷载位置
1. 可以任意布置的均布荷载 在工程设计中，一般将楼面活荷载简化成可 以任意间断布置的均布荷载来考虑。
FP2在D点 FPi tani FP1 tan2 FP2 tan3 FP3 tan3
右侧： 70kN 0.125 130kN 0.375 50kN 0.375 58.75kN 0
FPi tani 变号,所以此为一临界位置，相应极值为
MK FPi yi 70kN 2.5m 130kN 3m 50kN 1.125m 621.25kN m
S FP1y1 FP2y2 FPiyi FPnyn
(FP1 FP2
FPi
)
h a
x
( FPi 1
FPn
)
h b
x
（a）
S (FP1 FP2
FPi
)
h a
x
(
FPi1
FPn
)
h b
x
(a)
由式(a)可以看出，要使S处于极值，则 S变号,则
必有一集中荷载作用于影响线顶部。
如果某一集中荷载作用于顶部时，S取得极值,则称 该集中荷载为量值S的一个临界荷载，记为FPcr 。
当 FPcr 在影响线顶点左侧 当 FPcr 在影响线顶点右侧
FRi tan i 0
FRi tan i 0
例10 试求下图所示吊车梁在图示吊车竖向荷载 作用下B支座的最大反力。设其中一台吊车轮压为 FP1 FP2 426.6kN ，另一台轮压为 FP3 FP4 289.3kN 轮距及车挡限位的最小车距如图所示。
4-5-1 应用影响线计算影响量
1. 集中荷载组作用
如左图所示，集中荷载组 的影响量S等于各荷载影 响量的代数和。
即
n
S FPi yi i 1
2. 分布荷载作用
分布荷载的影响线计算 原理和集中荷载组是相 同的。 根据积分原理得
B
S A q(x)dx
当为均布荷载时
B
S q A ydx qA0
比较得： FyB(max) 699.20kN
例11 试求下图所示梁在汽—15级标准荷载作 用下K截面处的最大弯矩。
查附录A汽—15级标准荷载可知,最不利荷载位置 应是在重车驶于梁上时才有可能发生,此时FP1 70kN FP2 130kN ，FP3 50kN ，FP4 100kN 先作 M K的影响线
于是可得使S取得极大值的临界荷载的判别式为：
FPL FPcr a
FPR b
FPL a
FPR
FPcr
b
式中FPL 和 FPR 分别表
示 FPcr以左和以右的荷
载之和。
注意：临界荷载可能有多个，这时将相应的极值 算出，其中最大的极值就是S的最不利值。
相关概念： (1)无论移动荷载左移或右移,临界荷载和S的最不 利值相同,但移动荷载调头，临界荷载和S的最不 利值可能不同。
(2) 判别式之一为等号仍为临界荷载。
(3)影响线为单折线时,判别式仍适用，当a、b值 应按下图所示取值。
多边荷载线的最不利位置
S FR1y1 FR2y2 FRiyi FRnyn
FR1x tan 1 FR2x tan 2 FRix tan i
n
x FRi tani i 1
若将 FP2 置于C点，如图所示
FP2在C点 左侧：
FP2在C点 右侧：
FPi tani FP2 tan1 FP3 tan3 FP4 tan3
130kN 0.625 50kN 0.375 100kN 0.375 25kN 0
A0 表示S影响线在均布荷
载范围内面积的代数和
A0 A1 A2
例9 试用影响线求下图所示伸臂梁截面C的剪力。
首先作出FQC 的影响线
注意： 因为C处有集中荷载, 所以 FQC突变。
所以因分截面C的 左右,分别求出 FQLC 和 FQRC 。
求 FQLC时，C点的35kN处于正号区
FQLC
(35kN 3 15kN 1 15kN 2) 8kN
首先，由直觉判断 只有 FP2或 FP3 作用 于影响线顶点时，FyB 可能达到最大值。
先考虑 FP2作用于
B点的情况，如
右图所示。
此时有：
426.6kN 426.6kN 289.3kN
6m
6m
426.6kN 426.6kN 289.3kN
6m
6m
故 FyB 是临界荷载
此时有
FyB 426.6kN 0.125 426.6kN 1 289.3kN 0.758 699.20kN
FRnx tan n
与三角形影响线同理，可以得到结论：
量值S取得极值的必要条件是有一个集中荷载 作用于影响线的某一个顶点。
同理可得多边形影响线使S取得极大值的临界荷载 判别式：
当 FPcr 在影响线顶点左侧 当 FPcr 在影响线顶点右侧
FRi tan i 0
FRi tan i 0
同理可，使S取得极小值的临界荷载判别式为：
其中 tan1 0.625 ，tan2 0.125 ，tan3 0.375
先考虑重车后轴 FP2置于D点的情况，如图所示
FP2在D点
FPi tani FP1 tan1 FP2 tan2 FP3 tan3
左侧： 70kN 0.625 130kN 0.125 50kN 0.375 41.25kN 0
再考虑 FP3作用于B点的情况，如下图所示
有
426.6kN 289.3kN 289.3kN
6m
6m
426.6kN 289.3kN 289.3kN
6m
6m
故 FP3也是临界荷 载。 此时有
FyB 426.6kN 0.758 289.3kN 1 289.3kN 0.20 670.52kN
当均布荷载满布相应的 影响线的正号时,S取得 最大正号值
当均布荷载满布相应的 影响线的负号时,S取得 最大负号值 如右图所示，图中的两种布置分别取得 M D的 最大正号值和最大负号值。
2. 移动荷载组（三角形影响线）
左图为一组间距 不变的移动集中 荷载组和某一量 值S的影响线
S随荷载的移动 而变化，当荷载 组移动一微小距 离 x时，S的变 化量为
8
8
8
m ( 2m 2 5m 5 3m 3) 28 28 28
15kN 6kN 9kN
在求 FQRC 时，35kN作用于负号区
FQRC
(35kN
5 8
15kN
1 8
15kN
2) 6kN 8
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26kN
4-5-2 确定最不利荷载位置
1. 可以任意布置的均布荷载 在工程设计中，一般将楼面活荷载简化成可 以任意间断布置的均布荷载来考虑。
FP2在D点 FPi tani FP1 tan2 FP2 tan3 FP3 tan3
右侧： 70kN 0.125 130kN 0.375 50kN 0.375 58.75kN 0
FPi tani 变号,所以此为一临界位置，相应极值为
MK FPi yi 70kN 2.5m 130kN 3m 50kN 1.125m 621.25kN m
S FP1y1 FP2y2 FPiyi FPnyn
(FP1 FP2
FPi
)
h a
x
( FPi 1
FPn
)
h b
x
（a）
S (FP1 FP2
FPi
)
h a
x
(
FPi1
FPn
)
h b
x
(a)
由式(a)可以看出，要使S处于极值，则 S变号,则
必有一集中荷载作用于影响线顶部。
如果某一集中荷载作用于顶部时，S取得极值,则称 该集中荷载为量值S的一个临界荷载，记为FPcr 。
当 FPcr 在影响线顶点左侧 当 FPcr 在影响线顶点右侧
FRi tan i 0
FRi tan i 0
例10 试求下图所示吊车梁在图示吊车竖向荷载 作用下B支座的最大反力。设其中一台吊车轮压为 FP1 FP2 426.6kN ，另一台轮压为 FP3 FP4 289.3kN 轮距及车挡限位的最小车距如图所示。