结构力学影响线

直线的交点即三角形的顶点就在截面C的下方，其纵距为ab/l。
通常称截面C以左的直线为左直线，截面C以右的直线为右直 线。
由上述弯矩影响线方程可知，左直线可由反力FB的影响线乘
以常数b所取AC段而得到；而右直线可由反力FA的影响线乘以 常数a并取CB段而得到。这种利用已知量值的影响线来作其他
未知量值影响线的方法，常会带来很大的方便，以后常用到。
影响线的纵距亦是量纲是一的量。以后利用影响线研究实际荷 载对某一量值的影响线时，应乘上荷载的相应单位。
（2）弯矩影响线
设要绘制任一截面C(如图11-4(a)所示)的弯矩影响线。仍以
A点为坐标原点，荷载F=1距A点的距离为x。当F=1在截面C以
左的梁段AC上移动时(0≤x≤a)，为计算简便起见，可取CB段为 隔离体，并规定使梁的下侧纤维受拉的弯矩为正，由平衡方程 ΣMC=0，得
3. 掌握用影响线求量值和最不利荷载位置的确定。
4. 掌握连续梁影响线形状的确定和最不利活荷载位置的确定。
§11-1
概
述
1．移动荷载作用下结构计算特点
固定荷载、移动荷载。 在移动荷载作用下，结构的反力、内力及位移都将随荷载位置 的移动而变化，它们都是荷载位置的函数。结构设计中必须求出各 量值(如某一反力、某一截面内力或某点位移)的最大值。因此，寻 求产生与该量值最大值对应的荷载位置，即最不利荷载位置，并进 而求出该量值的最大值，就是移动荷载作用下结构计算中必须解决 的问题。
影响线
可知此直线是联结纵距yD及yE的 直线 ，如图11-8(b)所示 。
图11-8
影响线
同理，当F=1在其他各纵梁上移动时，主梁对应的各段的影响线也 应是各段两结点处影响线纵距的联线。 综上所述，可得出如下结论： (1) 主梁上结点处影响线量值等于直接荷载作用下的量值。
(2) 两结点之间影响线呈直线变化。
对该量值的影响。为了更直观地描述上述问题，可把某量值随荷载
F=1的位置移动而变化的规律(即函数关系)用图形表示出来，这种图 形称为该量值的影响线。 由此可得影响线的定义如下：当一个指向不变的单位集中荷载 (通常其方向是竖直向下的)沿结构移动时，表示某一指定量值变化 规律的图形，称为该量值的影响线。 若某量值的影响线绘出后，即可借助于叠加原理及函数极值的
即可绘出反力FA的影响线，如图
11-3(b)所示。
绘影响线图形时，通常规定
纵距为正时画在基线的上方，反之 画在下方。 图11-3
并要求在图中注明正、负号。根据影响线的定义，FA影响线中的
中的任一纵距 yk 即代表当荷载 F=1 移动至梁上 K 处时反力 FA的大 小。 绘制FB的影响线时，利用平衡方程ΣMA=0，可得
值为1。当F=1恰好作用在C点时，FSC的值是不确定的。剪力
影响线的纵距为量纲一的量。 2．伸臂梁的响线 （1）支座反力影响线 图11-5(a)所示伸臂梁，取A支座为坐标原点，
x
FA
l x l x FB l
(a)
D A
F=1 C B E FB l2
(l1 x l l2 )
C点时的弯矩图。两图形状相似，但各纵距代表的含义却截然不同。
§11-3 间接荷载作用下的影响线
1．间接荷载 在桥梁及房屋建筑中的某些主梁计算时，常假定纵梁简支在横梁 上，横梁再简支在主梁上，荷载直接作用在纵梁上，通过横梁传 给主梁，如图11-8 (a)所示。主梁只在放横梁处(结点处)受到集中
力作用。主梁而言这种荷载称为间接荷载(或称结点荷载)
弯矩影响线的纵距的量纲是长度的量纲。
（3）剪力影响线
设要绘制截面C(如图11-4(a)所示)的剪力影响线。当F=1在AC 段移动时(0≤x＜a)，可取CB部分为隔离体，由ΣFy=0，得
FSC+FB=0
FSC=-FB
由此可知，在AC段内，FSC的影响线与反力FB的影响线相同，但 正负号相反。因此，可先把 FB 影响线画在基线下面，再取其中 的AC部分。C点的纵距由比例关系可知为。该段称为FSC影响线 的左直线，如图11-4(c)所示。
概念，将该量值在实际移动荷载作用下的最大值求出。下面首先讨
论影响线的绘制。
图11-1
图11-2
§11-2 用静力法作单跨静定梁的影响线
绘制影响线有两种方法，即静力法和机动法。静力法是以移
动荷载的作用位置x为变量，然后根据平衡条件求出所求量值与
荷载位置x之间的函数关系式，即影响线方程。再由方程作出图 形即为影响线。
当 F=1 在 CB 段 移 动 时 (a<x≤l) ， 可 取 AC 段 为 隔 离 体 ， 由 ΣFy=0，得
FA- FSC =0 FSC=FA 此式即为FSC影响线的右直线方程，它与FA影响线完全相同。 画图时可先作出FA影响线，而后取其CB段，如图11-4(c)所示。 C点的纵距由比例关系知为b/l。显然，FSC影响线由两段互相 平行的直线组成，其纵距在C处有突变(由-a/l变为b/l)，突变
2．影响线的概念
工程结构中所遇到的荷载通常都是由一系列间距不变的竖向荷 载组成的。由于其类型很多，不可能对它们逐一加以研究。为了使 问题简化，可从各类移动荷载中抽象出一个共同具有的最基本、最 简单的单位集中荷载F=1，首先研究这个单位集中荷载F=1在结构上
移动时对某一量值的影响，然后再利用叠加原理确定各类移动荷载
yD yD Mc 影响线
Fab l
M图
图11-7
图11-7(a)表示简支梁的弯矩MC影响线，图11-7(b)表示荷载F作用在 例如D点的纵距，在MC影响线中yD代表F=1移动至D点时引起的截 面C的弯矩的大小。而弯矩图中yD代表固定荷载F作用在C点时产生 的截面D的弯矩值MD。其他内力图与内力影响线的区别也与上相 同。
（3）伸臂截面的内力影响线
为了求伸臂部分任一截面K(如图11-6(a)所示)的内力影响线，为计算
方便，可取K点为坐标原点，x仍以向右为正。当F=1在K点以左移
动时，取截面K的右边为隔离体，由平衡方程得 MK=0 FSK=0 当F=1在K点右边移动时，仍取截面K的右边为隔离体，得 MK=-x FSK=+1 (0≤x≤d)
纵距。
其次，当荷载F=1在任意两相邻结点D、E之间的
纵梁上移动时，主梁将只在D、E两点处分别受到结点荷载
(d-x)/d及x/d的作用，如图11-8(c)所示。由影响线的定义及叠加原
理可知，在上述两结点荷载共同作用下MC值应为
纵梁 横梁（结点）
y
dx x yD yE d d
主梁
这便是F=1在纵梁DE段时，主梁 DE段的影响线方程。 上式是x的一次式，表明在DE段 内 MC 的影响线是一直线。且由 当x=0时， y=yD;当x=d时，y=yE
(b) 1+ l1 l
FA l1
a l
b
+
l2 l
FA影响线
(c)
当F=1在A点以左时，x为负值，故
(d) 以上两方程在全梁范围内均适用。
+ l1 l a + bl1 l l1 l 1 b l + 1 a l ab l
1+
l2 l
FB影响线
b al2 MC影响线 l l2 l
由于方程与相应简支梁的反力影响
当F=1在截面C以右部分移动时，取截面C以左部分为隔离
体，由平衡条件得 MC=FA·a， FSC =FA 由此可知，MC和FSC的影响线方程和简支梁相应截面的相同。 因而与作反力影响线一样，只需将相应简支梁截面 C的弯矩 和剪力影响线的左、右两直线向两伸臂部分延长，即可
得到伸臂梁的MC和FSC影响线，如图11-5(d)、(e)所示。
2．纵横梁系中主梁内力的影响线
下面讨论在间接荷载作用下，主梁各种量值影响线的作法。现 以主梁上截面C的弯矩影响线为例说明如下： 首先，当荷载F=1移动到各结点处，如A、D、E、F、B处时， 则与荷载直接作用在主梁上的情况完全相同。因此，荷载直接 作用在主梁上时MC影响线(如图11-8(b)所示)中各结点处的纵距yA、 yD、yE、yF、yB也是主梁在间接荷载作用下各结点处MC影响线的
(e)
FSC影响线
线方程完全相同，故只需将简支梁
图11-5
反力影响线向两伸臂部分延长，即可得到伸臂梁的反力影响线， 如图11-5(b)、(c)所示。
（2）跨内截面内力影响线
为求两支座间任一截面 C的弯矩和剪力影响线，首先应写 出影响线方程。当F=1在截面C以左移动时，取截面C以右部 分为隔离体，由平衡条件得 MC=FB·b， FSC =-FB
由此可作出MK和FSK的影响线，如图11-6(b)、(c)所示。
x (a) D A B K l1 l d l2 F=1 E
(b) 1 (c) 1
d
MK影响线 FSK 影响线
FR SB影响线 (d) l1 (e) l 1 l2 FSB影响线 l
L
图11-6
绘支座两侧截面的剪力影响线时，应分清是属于跨内截面还是 伸臂部分截面。例如，支座 B的左侧截面剪力 FSBL的影响线，可 由跨内截面C的FSC影响线(见图11-5(e)所示)使截面C趋近于支座B 的左侧而得到，如图 11-6(e) 所示。而支座 B 右侧截面的剪力 FSBR 的影响线可由FSK的影响线使截面 F趋近于B支座右侧而得到，如 图11-6(d)所示。 最后需要指出，对于静定结构，由于其反力和内力影响线方程 均为x的一次式，故影响线都是由直线所组成的。
M C FA a 0 M C FA a lx a l (a x l )
上式表明，MC的影响线在截面C以右部分也是一直线。 当x=a时， MC=ab/l 当x=l时， MC=0 即可绘出当F=1在截面C以右移动时MC的影响线。MC影响线如 图11-4(b)所示。MC的影响线由两段直线组成，呈一三角形，两