2016-2017学年四川省成都七中实验学校高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)
成都七中高二数学期中复习综合测试题
成都七中高二数学期中复习综合测试题（时间120分钟 总分150分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
每小题只有一个选项符合题意）1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为 ( ) A.12 B. 23 C.34 D.452.已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为 ( )A.2833x y =B. 21633x y = C. 28x y = D. 216x y = 3.（理科） 函数x e x x f -⋅=)(的一个单调递增区间是 ( ) A. []0,1- B. []8,2 C. []2,1 D. []2,03.（文科） 函数x e x x f ⋅-=)(的一个单调递增区间是 ( ) A. []1,2-- B. []8,2 C. []2,1 D. []2,04.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32.双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为 ( )A.22182x y += B.221126x y += C.221164x y += D.221205x y += 5.已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A.5B.42C.3D.56. （理科）方程22ay b x c =+中的,,{2,0,1,2,3}a b c ∈-，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有 ( ) A.28条 B.32条 C.36条 D.48条6. （文科）方程22ay b x c =+中的{}3,2,1,2,,-∈c b a ，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有 ( ) A.18条 B.12条 C.16条 D.20条7.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,点O 是原点,若3AF =， 则AOB ∆的面积为 ( )A.22B.2C.322D.228．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 ( )9．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为 （ ） A ．3 B ．52 C ．2 D ．3210．设2:()e l n 21x p f x x x m x =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ ）Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分,请把答案填在横线上）11．已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -=12. 已知双曲线x 2 －y 2 =1,点F 1,F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若P F 1⊥P F 2,则 ∣P F 1∣+∣P F 2∣的值为13.设P 为直线3b y x a =与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 左支的交点，1F 是左焦点，1PF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率e =14.已知双曲线2222 1 (,0)x y a b a b-=>的左、右两顶点为1A ,2A ,虚轴上、下两端点为1B ,2B ,左、右两焦点为1F ,2F . 若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ,切点分别为,,,A B C D . 则菱形1122F B F B 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S 的比值12SS =15．已知函数53123-++=ax x x y (1)若函数在()+∞∞-,总是单调函数，则a 的取值范围是 . (2)若函数在),1[+∞上总是单调函数，则a 的取值范围 .（3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数a 的取值范围是 . 三、解答题（本大题共6小题，共75分。
成都七中17届高二理科数学下期半期考试试卷答案
22
k )x
2kmx
2
m
4
0.
1
4
4k2m2 4(4 k2)(m2 4) 0, 得 k2 4 m2.
设 M ( x1, y1) ， N (x2, y2 ) ，线段 MN 的中点为 Q (x0, y0) .
则 x1 x2
2 km 4 k2
， x1x2
m2
4 ，所以
2
x0
4k
km 4 k2
， y0
kx0 m
成都七中 2015-2016 学年下期 2017 届半期考试数学（理科）试卷 ( 参考答案）
一．选择题 CBABD ADACD BA 二、填空题
13. 2 3, 2
1 14. y
4
15. 2 3 或 2 5
3
5
16. ①④
三.解答题
17.解：（1）共有 36 个不同的基本事件，列举如下： （ 1， 1），（1，2），（1，3），（1，4），（ 1， 5），（1，6），
6
210 . …… 10 分
3
则d1
1
y
2 0
4y 0
26
2
5
1 10 ( y 0
4) 2
36 ,
当 y 0 4 时,(d 1) min 3. 6 ，此时 x 0
y
2 0
6
8, 3
∴当 P
8 ,
4 时,(d 1) min
3
3. 6 .……６分
3
（ 2）设抛物线的焦点为 F，则 F , 2
0 ，且 d 2
4
4
1 (x1 2)(x2 2)
2,
x1 2 x2 2 x1 2 x2 2 16
2015-2016学年四川省成都七中高二(下)期中考试数学(理)试题(解析版)
2015-2016学年四川省成都七中高二下期中考试数学（理）试题一、选择题1．椭圆22125x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，则点P 到另一个焦点2F 的距离为（ ）A ．10B ．8C ．4D ．3 【答案】C【解析】试题分析：10221==+a PF PF ，所以42=PF ,故选C. 【考点】椭圆的定义2．以下各点，在曲线2210x xy y -++=上的点为（ ） A ．(2,3)- B ．(3,10) C ．(1,0) D ．(2,2) 【答案】B【解析】试题分析：将各点代入只有01102103-32=+⨯+⨯，故选B. 【考点】曲线与方程3．双曲线222x y -=-的离心率为（ ）A ．2 D ．【答案】A【解析】试题分析：化简为双曲线的标准方程是12222=-x y ，为等轴双曲线，所以离心率2==ace ，故选A. 【考点】双曲线的性质4．焦点为(2,0)的抛物线的标准方程为（ ）A ．216y x = B ．28y x = C ．24y x = D ．22y x = 【答案】B【解析】试题分析：2=p ，并且焦点在x 轴，所以抛物线的标准方程是x y 82=，故选B.【考点】抛物线方程5．方程22121x y m m +=++表示双曲线，则m 的取值范围是（ ） A ．(,2)(1,)-∞--+∞B ．(2,)-+∞C ．(,1)-∞-D ．(2,1)-- 【答案】D【解析】试题分析：方程若表示双曲线，则()()012<++m m ，解得12-<<-m ，故选D.【考点】双曲线方程6．抛物线212y x =上与焦点的距离等于9的点的坐标是（ ）A ．或(6,-B ．或(4,-C ．(3,6)或(3,6)-D ．或(9,- 【答案】A【解析】试题分析：设点的横坐标为0x ，那么93200=+=+x px ，解得60=x ，代入抛物线方程得到726122=⨯=y ，解得26±=y ，故选A. 【考点】抛物线的几何性质 7．短轴长等于8，离心率等于35的椭圆的标准方程为（ ） A ．22110064x y += B ．22110064x y +=或22164100x y += C ．2212516x y += D ．2212516x y +=或2211625x y += 【答案】D【解析】试题分析：82=b ，4=b ，53=a c ，解得162=b ，252=a ，若焦点在x 轴，那么方程是1162522=+y x ，若焦点在y 轴，那么方程是1251622=+y x ，故选D. 【考点】椭圆的标准方程8．若(2,2)C --，0CA CB ⋅=，且直线CA 交x 轴于A ，直线CB 交y 轴于B ，则线段AB 中点M 的轨迹方程是（ ）A ．20x y ++=B ．20x y -+=C ．20x y +-=D ．20x y --= 【答案】A【解析】试题分析：设()y x M ,，那么()0,2x A ，()y B 20，，()2,22+=x ，()222+=y ，，而根据条件可得()()0222222=+++y x ，化简为：02=++y x ，故选A.【考点】1.轨迹法；2.向量数量积.9．已知集合{(,)|(,)0}C x y f x y ==，若对于任意11(,)x y C ∈，存在22(,)x y C ∈，使12120x x y y +=成立，则称集合C 是“好集合”. 给出下列4个集合：221{(,)|9}C x y x y =+=，222{(,)|9}C x y x y =-=，223{(,)|29}C x y x y =+=，24{(,)|9}C x y x y =+=，其中为“好集合”的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】试题分析：将问题转化为设()11,y x A ，()22,y x B ，满足条件02121=+y y x x ，即转化为对曲线C 上的任一点A,存在点B,满足OB OA ⊥,则称集合C 是“好集合”，1C 表示圆，满足条件，2C 表示等轴双曲线，渐近线互相垂直，那么对于曲线上的任一点A,都不会存在点B,满足OB OA ⊥，3C 是椭圆，对于椭圆上的任一点A,总存在点B,满足OB OA ⊥，4C 是开口向下的抛物线，同样满足条件，故满足条件的有431,,C C C ,故选C.【考点】1.曲线与方程；2.新定义.【思路点睛】主要考察了曲线与方程，属于基础题型，这类新定义问题，是我们一部分学生的难点，满足条件02121=+y y x x ，即转化为对曲线C 上的任一点A,存在点B,满足OB OA ⊥,则称集合C 是“好集合”，明白题意后，我们只需画出方程的曲线，直接判定即可,所以对于新定义的问题，认真审题是关键.10．若直线10x y +-=与抛物线22y x =交于,A B 两点，则点(1,0)M 到,A B 两点的距离之积为（ ）A ．．．4 D ．2 【答案】D【解析】试题分析：⎩⎨⎧==-+2201x y y x 联立方程得到：0122=-+x x ，解得11-=x 或212=x ，那么设()21，-A ,⎪⎭⎫⎝⎛21,21B ,根据两点间距离()()()22201122=-+--=MA ,2221021122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=MB ,那么2=MB MA ,故选D.【考点】直线与抛物线相交的基本问题11．经过双曲线221916x y -=右焦点F 的直线l 交双曲线于,A B 两点，点M 是直线95x =上任意一点，直线,,MA MF MB 的斜率分别为123,,k k k ，则（ ） A ．132k k k += B ．1322k k k += C ．132k k k = D ．2132k k k =【答案】B【解析】试题分析：()05，F ，设直线l 的方程为5+=my x ，代入双曲线方程14491622=-y x ，可得()025*********=++-my y m ，设()11,y x A ，()22,y x B ，则916160221--=+m m y y ，916256221-=m y y ， 设⎪⎭⎫ ⎝⎛t M ,59，可得1655592t t k -=-=，()()25256516532516251651659592121221212211221131+++-+⎪⎭⎫⎝⎛-+=+-++-=--+--=+y y m y y m ty y m t y m y m y t y m y t y x t y x t y k k ，代入韦达定理，可得()()()859162525625622569165321605162562222231t m m m m t m m t m k k -=-⨯+⨯--⨯--⨯⎪⎭⎫⎝⎛-+⨯=+，所以2312k k k =+，故选B.【考点】1.直线与双曲线的位置关系；2.韦达定理.【一题多解】本题主要考察了直线与双曲线的位置关系，属于中档题型，当以选择题的形式考察圆锥曲线时，有些侧重性质的考察，计算量会少点，而本题，主要考察了直线与双曲线联立，韦达定理，以及代数式的化简能力，计算量比较大，比如本题的方法，或是选择特殊直线和特殊点，比如，直线选择5=x 或是0=y 与双曲线相交于两点，点M 可以是⎪⎭⎫⎝⎛059，或⎪⎭⎫ ⎝⎛159，，代入可得斜率，即可得到选项，这样在考试时避免了大量的计算，快速选出选项.12．已知椭圆2212x y +=，过右焦点F 作一条与x 轴不垂直的直线交椭圆于,A B 两点，线段AB 的中垂线分别交直线2x =-和AB 于,P C ，则||||PC AB 的取值范围是（ ）A ．[2,)+∞B ．[1,)+∞C ．1[,5)2 D ．3[,)2+∞ 【答案】A【解析】试题分析：有直线AB 与x 轴不垂直，设直线方程为：()1-=x k y ，()11,y x A ，()22,y x B ，将直线方程代入椭圆方程可得，()()0124212222=-+-+k x k x k ，则2221214k k x x +=+，()22212112k k x x +-=，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+22221,212k k k k C ，()()222122122112241kk x x x x k AB ++=-+⋅+=，若0=k ，则AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意，若0≠k ，那么直线⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--=++222212121k k x k k k y ，()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-222152,2k k k P ，()()222221113211k k k k x x k PC P C +++=-⋅+=，42442422231622*********k k k k k k k kk k ABPC +++=+++=++=，由()42431kk k k f ++=，令2k t =， ()()03122>++=t t t t t g ，()()()()22231t t t t t g ++-='，令()0='t g ，可得1=t ，当1>t 时，()0>'t g ，()t g 单调递增，当10<<t 时，()0<'t g ，()t g 单调递减，当1=t 即1±=k 时，()t g 取得极小值，也为最小值2，()2≥k f ，所以22622=+≥ABPC ,故选A.【考点】1.直线与椭圆的位置关系；2.导数与最值.【方法点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系以及利用导数求函数的最值，换元等综合问题的考察，属于压轴题，当以选择题的形式考察圆锥曲线时，有些侧重性质的考察，计算量会少点，而本题计算量则比较大，本题入手同样是设直线，得到弦长公式，以及韦达定理，同时根据交点得到两点间的距离，将ABPC 表示为k 的函数，再通过换元化简，根据导数求函数的最值.二、填空题13．点M 的极坐标5(4,)6π化成直角坐标的结果是 .【答案】(-【解析】试题分析：2365cos 4cos -=⨯==πθρx ，265sin 4sin =⨯==πθρy ，故填：(-.【考点】极坐标与直角坐标的互化14．方程sin cos 1sin 2x y θθθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）所表示曲线的准线方程是 .【答案】14y =-【解析】试题分析：()y x =+=+=θθθ2sin 1cos sin 22，所以曲线方程是y x =2，[]2,2-∈x ，那么准线方程是41-=y .【考点】参数方程与普通方程的互化15．已知圆锥曲线221x ay +=的一个焦点坐标为F ，则该圆锥曲线的离心率为 .【答案】3或5【解析】试题分析：当0>a 且1≠a 时，曲线为椭圆，并且焦点在x 轴，标准方程为：1122=+ay x ，那么aa 41-1=，解得5=a ，那么离心率552=e ，当0<a 时，曲线为焦点在y 轴的双曲线，表示方程为：11--22=ay x ，那么a a 41-1-=，解得3-=a ，那么离心率332=e ，故填：552=e 或332=e . 【考点】1.圆锥曲线方程；2.圆锥曲线的性质.【易错点睛】考察了圆锥曲线的性质，属于基础题型，当出现曲线方程时，会误认为其是椭圆方程，这样就会出现丢解的情况，条件出现焦点坐标F ，表示焦点落在x 轴，方程里的a 可以表示正数，也可以表示负数，引导着我们对a 进行分情况讨论，得到结果.16．已知椭圆22:14x C y +=，过点(0,4)D 的直线l 与椭圆C 交于不同两点,M N （M 在,D N 之间），有以下四个结论：①若DN DM λ= ，则λ的取值范围是513λ<≤；②若A 是椭圆C 的右顶点，且MAN ∠的角平分线是x 轴，则直线l 的斜率为2-；③若以MN 为直径的圆过原点O ，则直线l的斜率为±；④若''2x x y y⎧=⎨=⎩，椭圆C 变成曲线E ，点,M N 变成'',M N ，曲线E 与y 轴交于点,P Q ，则直线'PN 与'QM 的交点必在一条定直线上.其中正确的序号是 . 【答案】①④【解析】试题分析：①根据③0>∆得到4152>k ，又根据条件可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=+=+-=+14160413212221221λλx x k x x k k x x ，代入整理为()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+4115256411525612222k k k λλ，整理为()1564142<+<λλ，解得3553<<λ，又1>λ，所以351<<λ，当斜率不存在时，此时35=λ，故351≤<λ;②根据椭圆关于x 轴对称，若角平分线是x 轴，那么N M ,关于x 轴对称，直线斜率不存在，显然错误；③设直线方程4+=kx y ，与椭圆方程联立，得到()()06032414442222=+++⇔=++kx x k kx x ，2214132k kx x +-=+①，2214160kx x +=②，()()()16444212122121+++=++=x x k x x k kx kx y y ，根据条件，当过原点时，满足02121=+y y x x ，代入根与系数的关系，得到19±=k ，故不正确；④根据点的坐标变换，代入椭圆方程12422=⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'y x ，得到422='+'y x ，设()()2211,,,y x N y x M ，()112,y x M '，()222,y x N '，()2,0P ,()20-，Q ,得到直线22222+-='x x y y l N P ：，222:11-+='x x y y l M Q ，两式变形得到11221122+⨯-=+-y x x y y y ()()122211212112535353x k x k x x kx x x kx x kx x kx ++=++=++=③，由以上根与系数的关系①/②得到k x x 1581121-=+代入③得到5322-=+-y y ，解得21=y ，故交点在一条直线21=y 上，正确.故填：①④. 【考点】1.命题；2.圆锥曲线的综合问题.【易错点睛】主要考察了圆锥曲线的命题问题，属于高档题型，比较好判断中间两个命题，而对于第一个命题考察了直线与圆锥曲线的位置关系问题，设直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理，消参后得到关于λ的不等式，计算量比较大，容易出错在忘了当斜率不存在时的情况，导致错误，所以在有限的时间判断此题时也可考虑两个临界情况，一是相切时，1=λ，因为有两个交点，所以1>λ，二是斜率不存在时，此时35=λ，能取到，这样就比较好选择此问.三、解答题17．甲、乙两人各掷一枚骰子，试解答下列各问： （1）列举所有不同的基本事件；（2）求事件“向上的点数之差为3”的概率； （3）求事件“向上的点数之积为6”的概率. 【答案】(1)详见解析；（2）61；（3）91. 【解析】试题分析：(1)每掷一个骰子有6种不同的数字，两个骰子就有3666=⨯种不同的情况组合，以()y x ,的形式列举所有的情况；（2）求3=-y x 所包含的基本事件的个数，并求其概率；（3）求6=xy 所包含的基本事件的个数，并求其概率. 试题解析：（1）共有36个不同的基本事件，列举如下：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)， (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)， (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)， (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)， (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)，(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).（2）组成事件“向上的点数之差为3”的基本事件有(1,4),(2,5),(3,6). (6,3),(5,2),(4,1)共6种.∴向上的点数之差为3的概率为61 366=.（3）组成事件“向上的点数之积为6”的基本事件有(2,3),(3,2),(1,6),(6,1)共4种.∴向上的点数之积为6的概率为41 369=.【考点】1.列举法求基本事件；2.古典概型.18．已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的实轴长为，一个焦点的坐标为(.（1）求双曲线的方程；（2）若斜率为2的直线l交双曲线C交于,A B两点，且||4AB=，求直线l的方程.【答案】（1）12322=-yx；（2）23y x=+或23y x=-.【解析】试题分析：（1）根据待定系数法求双曲线方程，知道322=a，5=c；（2）设直线方程mxy+=2，与双曲线方程联立，得到韦达定理，根据弦长公式2121xxkAB-+=，求出直线方程.试题解析：（1）由2a=a=c=∴2222b c a=-=，∴双曲线C的方程为22132x y-=.（2）设直线l的方程为2y x m=+，1122(,),(,)A x yB x y，由222132y x mx y=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得2210123(2)0x mx m+++=，∴224(10)0m∆=->，得||m∴弦长||4AB==，解得m=∴直线l的方程为2y x =+或2y x = 【考点】1.双曲线的定义；2.弦长公式.【方法点睛】主要考察了双曲线的基本问题，属于基础题型，尤其对于第二问，根据弦长公式求直线方程时，设直线方程，根据弦长公式2121x x k AB -+=()21221241x x x x k -++=，或是21211y y k AB -+=，这样根据直线方程与圆锥曲线方程联立，可以求参数. 19．已知P 为抛物线26y x =上一点，点P 到直线:34260l x y -+=的距离为1d . （1）求1d 的最小值，并求此时点P 的坐标；（2）若点P 到抛物线的准线的距离为2d ，求12d d +的最小值. 【答案】（1）当8(,4)3P 时，1min () 3.6d =；（2）12min () 6.1d d +=.【解析】试题分析：(1)表示点P 到直线l 的距离，表示为坐标的函数，求函数的最小值，以及点P 的坐标，（2）将点P 到焦点的距离转化为点P 到准线的距离，根据图像分析，21d d +的最小值就是点F 到直线的距离.试题解析：（1）设20(,)6y P y ，则2002101|426|12|(4)36|510y y d y -+==-+，当04y =时，1min() 3.6d =，此时200863y x ==， ∴当8(,4)3P 时，1min () 3.6d =.（2）设抛物线的焦点为F ，则3(,0)2F ，且2||d PF =， ∴121||d d d PF +=+，它的最小值为点F 到直线l 的距离9|26|2 6.15+=.∴12min () 6.1d d +=.【考点】抛物线的几何性质【方法点睛】主要考察了抛物线内的距离的最值，属于基础题型，当涉及直线上的点到抛物线px y 22=距离的最小值问题，法一，设点的坐标，代入点到直线的距离，转化为关于坐标的函数，根据函数特点求最值，法二，设与已知直线平行的直线，当直线与抛物线相切时，这时切点到直线的距离最小，所以可以令直线方程与抛物线方程联立，令0=∆，求出参数，即切线方程，再求切点；若是到py x 22=的距离的最小值，可以写成221x py =，设切点坐标，利用切点处的导数就是在这点处的切线的斜率，求切点坐标，对于第二问的最值问题，可以根据抛物线的几何意义转化，将到抛物线准线的距离转化为到焦点的距离.20．在一个盒子中装有6枚圆珠笔，其中4枚一等品，2枚二等品，从中依次抽取2枚，求下列事件的概率. （1）恰有一枚一等品； （2）有二等品. 【答案】(1)158;(2)53. 【解析】试题分析：法一：先将圆珠笔编号，抽取两枚，用()y x ,表示抽取的编号，（1）恰有一枚一等品，表示一枚一等品，一枚二等品，通过列举法求其基本事件的个数，最后除以总的基本事件的个数，（2）有二等品，表示有一个二等品或有两个二等品，也同样列举事件所表示的基本事件的个数，法二：也可用组合数表示以上事件包含的基本事件的个数.试题解析：解法一：把每枚圆珠笔上号码，一等品分别记作,,,A B C D ，二等品分别记作,E F .依次不放回从盒子中取出2枚圆珠笔，得到的两个标记分别为x 和y ，则(,)x y 表示一次抽取的结果，即基本事件. 由于是随机抽取，所以抽取到任何事件的概率相等. 用M 表示“抽到的2枚圆珠笔中有二等品”， 1M 表示“仅第一次抽取的是二等品”， 2M 表示“仅第二次抽取的是二等品”， 3M 表示“两次抽取的都是二等品”. 1M 和2M 中的基本事件个数都为8，3M 中的基本事件为2，全部基本事件的总数为30. （1）由于1M 和2M 是互斥事件，记12N M M = ， ∴恰有一枚一等品的概率12888()()()303015P N P A P A =+=+=. （2）由于1M ，2M 和3M 是互斥事件，且123M M M M = ， ∴1238823()()()()3030305P M P M P M P M =++=++=. 解法二：（1）恰有一枚一等品的概率1142126815C C P C ==. （2）有二等品的概率11242222635C C C P C +==，或24226231155C P C =-=-=. 【考点】古典概型21．已知抛物线C 的顶点在坐标原点O ，其图像关于y 轴对称且经过点(2,1)M . （1）求抛物线C 的方程；（2）若一个等边三角形的一个顶点位于坐标原点，另两个顶点在抛物线上，求该等边三角形的面积；（3）过点M 作抛物线C 的两条弦,MA MB ，设,M AM B所在直线的斜率分别为12,k k ，当122k k =-时，试证明直线AB 恒过定点，并求出该定点坐标.【答案】(1)y x 42=；（2）348=S ；（2）定点()9,2-，证明详见解析.【解析】试题分析：(1)根据对称轴和点的位置，设抛物线方程为)0(22>=p py x ，代入点M 的坐标，得到抛物线方程；（2）设(,),(,)p p Q Q P x y Q x y ，根据OQ OP =,可得到P 与Q 关于x 轴对称，这样得到点的横坐标和纵坐标的关系，代入抛物线方程后，得到点的坐标，并计算面积；（3）设1122(,),(,)A x y B x y ，用坐标表示221-=k k ，并得到12122()36x x x x =-+-和AB k ,根据以上两点，化简直线AB 方程，得到定点坐标.试题解析：（1）设抛物线C 的方程为22(0)x py p =>， 由点(2,1)M 在抛物线C 上，得42p =，则2p =. ∴抛物线C 的方程为24x y =.（2）设该等边三角形OPQ 的顶点,P Q 在抛物线上，且(,),(,)p p Q Q P x y Q x y ， 则24p p x y =，24Q Q x y =，由||||OP OQ =，得2222p p Q Q x y x y +=+，即()(4)0p Q p Q y y y y -++=. 又0,0p Q y y >>，则p Q y y =，||||p Q x x =，即线段PQ 关于y 轴对称. ∴030poy ∠=，p p y =，代入24p p x y =，得p x =∴该等边三角形边长为POQ S ∆=（3）设1122(,),(,)A x y B x y ，则2114x y =，2224x y =，∴22121212121212111111144(2)(2)2222216x x y y k k x x x x x x ----=⋅=⋅=++=-----. ∴12122()36x x x x =-+-①又22212112212111144()4ABx xy y k x x x x x x --===+--， ∴直线AB 方程为：1211()4x x y y x x +-=-， 代入①，化简得：129(2)4x x y x +-=+， 所以直线AB 恒过定点(2,9)-.【考点】1.抛物线方程；2.直线与抛物线的位置关系. 22．已知椭圆C的一个焦点为，且经过点1(2P . （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知(1,0)A ，直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，且AM AN ⊥； （ⅰ）若||||AM AN =，求直线l 的方程； （ⅱ）求MAN ∆面积的最大值.【答案】（1）1422=+x y ；（2）0y +=0y -=，或35x =-.；（ⅱ）2564.【解析】试题分析：（1）根据焦点的位置设出椭圆方程，并且222c b a +=，然后代入点的坐标，解出2a 和2b ；（2）（ⅰ）当直线l 垂直于x 轴时，与椭圆交于两点N M ,；根据等腰直角三角形的斜边的中线是斜边的一半，得到直线方程，当直线l 不垂直于x 轴时，再就是设直线与椭圆方程联立，得到韦达定理，根据⊥,0=⋅,和斜率的中线于斜边垂直，解得直线方程；（ⅱ）由上一问可得直线是过定点⎪⎭⎫⎝⎛053-，的直线，所以设直线方程53-=my x ，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，将面积表示为215821y y S -⨯⨯=，代入韦达定理，可得关于m 的函数，通过换元，令41412≥+=m t ，化简函数后求函数的最大值.试题解析：（1）设椭圆C 为：22221(0)y x a b a b+=>>，∵椭圆C过点1(2P，且一个焦点为，∴222233114a b a b ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩. ∴椭圆C 的标准方程为2214y x +=. （2）（Ⅰ）当l x ⊥轴时，设:l x m =，代入椭圆得y =±，∵||2(1)MN m ==-，解得1m =（舍去）或35m =-， ∴直线l 方程为35x =-.当l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y kx m =+.由2214y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(4)240k x kmx m +++-=.222244(4)(4)0k m k m ∆=-+->，得224k m +>.设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 的中点为00(,)Q x y .则12224km x x k +=-+，212244m x x k-=+，所以024km x k =-+，00244my kx m k =+=+， 由||||AM AN =，得AQ MN ⊥，则1AQ k k ⋅=-，化简得234km k =+（）.由AM AN ⊥，得1212(1)(1)0AM AN x x y y ⋅=--+=，∴1212(1)(1)()()0x x kx m kx m --+++=， 化简得221212(1)(1)()10k x x km x x m ++-+++=.∴22222(1)(4)2(1)1044k m km km m k k+---++=++， 化简得225230m km k +-=，解得m k =-或35m k =. 当m k =-时，（）式不成立. 当35m k =时，代入（）式，得25k =，k =∴直线l的方程为y =+或y =- 综上所述，直线l0y +=0y -=，或35x =-. （Ⅱ）当直线l 与x 轴不垂直时，由（Ⅰ）知，AM AN ⊥时，m k =-或35m k =.当m k =-时，直线l 为(1)y k x =-过点(1,0)A ，矛盾，故舍去.当35m k =时，直线l 为3()5y k x =+， 当l x ⊥轴时，直线l 的方程为35x =-，∴直线l 过定点3(,0)5Q -.设直线l 方程为35x my =-，代入椭圆22:14y C x +=， 化简得：221616()04525m y my +--=， 则1226514my y m +=+，122162514y y m =+，∴1218||25MANS y y ∆=⨯⨯-=令214t m =+，则14t ≥，且214m t =-，∴1)4MAN S t ∆==≥，∴当14t =，即0m =，直线l 的方程为35x =-时，max 64()25MAN S ∆=. 所以MAN S ∆的最大值为6425.【考点】1.椭圆方程；2.直线与椭圆的位置关系.。
四川省成都七中实验学校高二下学期期中考试数学(国际班)试题
七中实验高二（下）国际班期中考试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1．若命题p：∀x∈R，2x2﹣1＞0，则该命题的否定是（）A．∀x∈R，2x2﹣1＜0 B．∀x∈R，2x2﹣1≤0 C．∃x∈R，2x2﹣1≤0 D．∃x∈R，2x2﹣1＞02．不等式x2﹣2x﹣5＞2x的解集是（）A．{x|x≥5或x≤﹣1} B．{x|x＞5或x＜﹣1} C．{x|﹣1＜x＜5} D．{x|﹣1≤x≤5}3．在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．1764．已知M（﹣2，0）、N（2，0），|PM|﹣|PN|=4，则动点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线左边一支C．一条射线D．双曲线右边一支5．“mn＜0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知a，b∈R，下列命题正确的是（）A．若a＞b，则|a|＞|b| B．若a＞b，则C．若|a|＞b，则a2＞b2 D．若a＞|b|，则a2＞b27．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（）A．91.5和91.5 B．91.5和92 C．91和91.5 D．92和928．已知椭圆+=1与双曲线﹣=1有相同的焦点，则动点P（n，m）的轨迹（）A．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分C．抛物线的一部分D．直线的一部分9．已知x与y之间的一组数据x 0 1 2 3y 1 3 5 7则y与x的线性回归方程=bx+必过点（）A．（2，2）B．（1.5，4）C．（1.5，0）D．（1，2）10．已知直线y=kx+1与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围为（）A．m≥1 B．m≥1或0＜m＜1 C．m≥1且m≠5 D．0＜m＜5且m≠111．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为（）A． +=1 B． +=1 C． +=1 D． +=112．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x﹣1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）13．如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是．14．运行下面的程序，如果输入的n是6，那么输出的p是15．一只受伤的丹顶鹤在如图所示（直角梯形）的草原上飞过，其中AD=，DC=2，BC=1，它可能随机在草原上任何一处（点），若落在扇形沼泽区域ADE以外丹顶鹤能生还，则该丹顶鹤生还的概率是．16．方程所表示的曲线为C，有下列命题：①若曲线C为椭圆，则2＜t＜4；②若曲线C为双曲线，则t＞4或t＜2；③曲线C不可能为圆；④若曲线C表示焦点在y上的双曲线，则t＞4；以上命题正确的是（填上所有正确命题的序号）．三、解答题（本大题共6小题，共74分）17．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）和椭圆+=1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的2倍，求双曲线的方程．18．命题p：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集为∅，命题q：函数y=（2a2﹣a）x为增函数．若p∨q为真，p∧q为假，求a的取值范围．19．数数列{a n}是首项为1的等差数列，且公差不为零．a1，a2，a6成等比．（1）求数列{a n}的公差及通项公式a n；（2）若数列{b n}满足b1=a1，b2=a2，且b1+b2+…+b k=85，求正整数k的值．20．某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照60，70），80，90），的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在90，100【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，考查了等比数列的前n项和，是基础题．20．某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照60，70），80，90），的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在90，10080，90）有5人，分别记为a，b，c，d，e，分数在80，90）有5人，分别记为a，b，c，d，e，分数在90，100）有2人，分别记为F，G．从竞赛成绩是8（0分）以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有如下种情形：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，F），（a，G），（b，c），（b，d），（b，e），（b，F），（b，G），（c，d），（c，e），（c，F），（c，G），（d，e），（d，F），（d，G），（e，F），（e，G），（F，G），共有21个基本事件；其中符合“抽取的2名同学来自不同组”的基本事件有（a，F），（a，G），（b，F），（b，G），（c，F），（c，G），（d，F），（d，G），（e，F），（e，G），共10个，所以抽取的2名同学来自不同组的概率．（12分）【点评】本题主要考查等可能事件的概率，频率分布直方图的应用，属于中档题．21．已知椭圆的离心率，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．【分析】（1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0，依题意可得：，由此能求出椭圆的方程．（2）假设存在这样的值．，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，再由根的判别式和根与系数的关系进行求解．【解答】解：（1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0，依题意可得：，解得：a2=3，b=1，∴椭圆的方程为．（2）假设存在这样的值．，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，∴△=（12k）2﹣36（1+3k2）＞0…①，设C（x1，y1），D（x2，y2），则而y1•y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4，要使以CD为直径的圆过点E（﹣1，0），当且仅当CE⊥DE时，则y1y2+（x1+1）（x2+1）=0，∴（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0…③将②代入③整理得k=，经验证k=使得①成立综上可知，存在k=使得以CD为直径的圆过点E．【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．。
2017学年四川省成都七中嘉祥外国语学校高二下学期期中数学试卷及参考答案(理科)
2016-2017学年四川省成都七中嘉祥外国语学校高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）复数+等于（）A．0 B．i C．﹣i D．1+i2．（5分）用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每一个内角都大于60°3．（5分）下列表述正确的是（）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤4．（5分）《论语•学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是（）A．类比推理B．归纳推理C．演绎推理D．一次三段论5．（5分）设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体S﹣ABC的体积为V，则R=（）A．B．C．D．6．（5分）已知函数y=（x﹣1）f′（x）的图象如图所示，其中f′（x）为函数f（x）的导函数，则y=f（x）的大致图象是（）A．B．C．D．7．（5分）观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=（）A．28 B．76 C．123 D．1998．（5分）设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．﹣2 C．﹣ D．9．（5分）用数学归纳法证明不等式的过程中，由n=k递推到n=k+1时，下列说法正确的是（）A．增加了一项B．增加了两项和C．增加了B中两项，但又少了一项D．增加了A中一项，但又少了一项10．（5分）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A．B．C．D．11．（5分）设过曲线f（x）=﹣e x﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．（﹣1，2）C．[﹣2，1]D．（﹣2，1）12．（5分）定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g（x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=x3﹣1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为（）A．α＞β＞γ B．β＞α＞γ C．γ＞α＞β D．β＞γ＞α二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）复数的虚部是．14．（5分）36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为．15．（5分）在曲线y=x2（x≥0）上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为，试求：（1）切点A的坐标；（2）过切点A的切线方程．16．（5分）如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面ABC外的点P 和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知z=1+i，a，b为实数．（1）若ω=z2+3﹣4，求|ω|；（2）若，求a，b的值．18．（12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．19．（12分）（1）已知a＞0，b＞0，﹣＞1．求证：＞．（2）用数学归纳法证明+++…+＞（n∈N*）．20．（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=．（Ⅰ）证明：D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值．21．（12分）设x=m和x=n是函数f（x）=2lnx+x2﹣（a+1）x的两个极值点，其中m＜n，a＞0．（Ⅰ）若a=2时，求m，n的值；（Ⅱ）求f（m）+f（n）的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=1﹣（a为实数）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在点处的切线方程；（Ⅱ）设函数h（a）=3λa﹣2a2（其中λ为常数），若函数f（x）在区间（0，2）上不存在极值，且存在a满足h（a）≥λ+，求λ的取值范围；（Ⅲ）已知n∈N*，求证：ln（n+1）＜1+．2016-2017学年四川省成都七中嘉祥外国语学校高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）复数+等于（）A．0 B．i C．﹣i D．1+i【解答】解：+==，故选：A．2．（5分）用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每一个内角都大于60°【解答】解：∵“三角形的内角中至少有一个不小于60°”的对立事件是：“三角形中每一个内角都小于60°”，∴反证法证明三角形中至少有一个内角不小于60°，应假设三角形中每一个内角都小于60°．故选：B．3．（5分）下列表述正确的是（）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤【解答】解：归纳推理是由部分到整体的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．故①③⑤是正确的故选：D．4．（5分）《论语•学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是（）A．类比推理B．归纳推理C．演绎推理D．一次三段论【解答】解：演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程，演绎推理可以帮助我们发现结论，题目中所给的这种推理符合演绎推理的形式，故选：C．5．（5分）设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体S﹣ABC的体积为V，则R=（）A．B．C．D．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为∴R=故选：C．6．（5分）已知函数y=（x﹣1）f′（x）的图象如图所示，其中f′（x）为函数f（x）的导函数，则y=f（x）的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：结合图象可知当x＞1时，（x﹣1）f'（x）＞0即f'（x）＞0∴y=f（x）在（1，+∞）上单调递增故选：B．7．（5分）观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=（）A．28 B．76 C．123 D．199【解答】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a10+b10=123，．故选：C．8．（5分）设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．﹣2 C．﹣ D．【解答】解：∵y=，∴y′==，∴曲线y=在点（3，2）处的切线的斜率k=﹣，∵曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，∴直线ax+y+1=0的斜率k′=﹣a×=﹣1，即a=﹣2．故选：B．9．（5分）用数学归纳法证明不等式的过程中，由n=k递推到n=k+1时，下列说法正确的是（）A．增加了一项B．增加了两项和C．增加了B中两项，但又少了一项D．增加了A中一项，但又少了一项【解答】解：当n=k时，左端=++…+，那么当n=k+1时左端=+…+++故第二步由k到k+1时不等式左端的变化是增加了两项，同时减少了这一项，故选：C．10．（5分）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意易知正三棱锥的顶点到底面的距离为1．∵底面是正三角形且球半径为1．∴底面边长为，∴底面积为，∴V=××1=．故选：C．11．（5分）设过曲线f（x）=﹣e x﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．（﹣1，2）C．[﹣2，1]D．（﹣2，1）【解答】解：由f（x）=﹣e x﹣x，得f′（x）=﹣e x﹣1，∵e x+1＞1，∴∈（0，1），由g（x）=ax+2cosx，得g′（x）=a﹣2sinx，又﹣2sinx∈[﹣2，2]，∴a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]，要使过曲线f（x）=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则，解得﹣1≤a≤2．即a的取值范围为﹣1≤a≤2．故选：A．12．（5分）定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g（x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=x3﹣1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为（）A．α＞β＞γ B．β＞α＞γ C．γ＞α＞β D．β＞γ＞α【解答】解：∵g′（x）=1，h′（x）=，φ′（x）=3x2，由题意得：α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，①∵ln（β+1）=，∴（β+1）β+1=e，当β≥1时，β+1≥2，∴β+1≤＜2，∴β＜1，这与β≥1矛盾，∴﹣1＜β＜1；②∵γ3﹣1=3γ2，且γ=0时等式不成立，∴3γ2＞0∴γ3＞1，∴γ＞1．∴γ＞α＞β．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）复数的虚部是﹣1．【解答】解：∵==，∴复数的虚部是﹣1．故答案为：﹣1．14．（5分）36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为465．【解答】解：类比36的所有正约数之和的方法，有：200的所有正约数之和可按如下方法得到：因为200=23×52，所以200的所有正约数之和为（1+2+22+23）（1+5+52）=465．可求得200的所有正约数之和为465．故答案为：465．15．（5分）在曲线y=x2（x≥0）上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为，试求：（1）切点A的坐标；（2）过切点A的切线方程．【解答】解：（1）如图示：，设点A 的坐标为（a ，a 2），过点A 的切线的斜率为k=y'|x=a =2a ，故过点A 的切线l 的方程为y ﹣a 2=2a （x ﹣a ），即y=2ax ﹣a 2，令y=0，得x=，则S=S △ABO ﹣S △ABC =﹣（••a 2﹣x 2dx ）=﹣==，∴a=1∴切点A 的坐标为（1，1），（2）由（1）得：A 的坐标为（1，1）， ∴k=2x=2，∴过切点A 的切线方程是y=2x ﹣1．16．（5分）如图，在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD=DA ，PB=BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是．【解答】解：如图，M 是AC 的中点． ①当AD=t ＜AM=时，如图，此时高为P 到BD 的距离，也就是A 到BD 的距离，即图中AE ，DM=﹣t ，由△ADE ∽△BDM ，可得，∴h=，V==，t ∈（0，）②当AD=t ＞AM=时，如图，此时高为P 到BD 的距离，也就是A 到BD 的距离，即图中AH，DM=t﹣，由等面积，可得，∴，∴h=，∴V==，t∈（，2）综上所述，V=，t∈（0，2）令m=∈[1，2），则V=，∴m=1时，V max=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知z=1+i，a，b为实数．（1）若ω=z2+3﹣4，求|ω|；（2）若，求a，b的值．【解答】解：（1）因为ω=z2+3﹣4═（1+i）2+3（1﹣i）﹣4=﹣1﹣i，|ω|==；…（6分）（2）由条件，得，即，∴（a+b）+（a+2）i=1+i，∴，解得．…（12分）18．（12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．【解答】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为．再由C（0）=8，得k=40，因此．而建造费用为C1（x）=6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为（Ⅱ），令f'（x）=0，即．解得x=5，（舍去）．当0＜x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x＜10时，f′（x）＞0，故x=5是f（x）的最小值点，对应的最小值为．当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．19．（12分）（1）已知a＞0，b＞0，﹣＞1．求证：＞．（2）用数学归纳法证明+++…+＞（n∈N*）．【解答】（1）证明要证＞成立，只需证1+a＞，只需证（1+a）（1﹣b）＞1（1﹣b＞0），即1﹣b+a﹣ab＞1，∴a﹣b＞ab，只需证：＞1，即﹣＞1．由已知a＞0，﹣＞1成立，∴＞成立．（2）证明①当n=1时，左边=＞，不等式成立．②假设当n=k（k∈N*，k≥1）时，不等式成立，即+++…+＞，则当n=k+1时，++…+++=+++…+++﹣＞++﹣，∵+﹣==＞0，∴+++…+++﹣＞++﹣＞，∴当n=k+1时，不等式成立．由①②知对于任意正整数n，不等式成立．20．（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=．（Ⅰ）证明：D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABCD是菱形，∴AD=DC，又AE=CF=，∴，则EF∥AC，又由ABCD是菱形，得AC⊥BD，则EF⊥BD，∴EF⊥DH，则EF⊥D′H，∵AC=6，∴AO=3，又AB=5，AO⊥OB，∴OB=4，∴OH==1，则DH=D′H=3，∴|OD′|2=|OH|2+|D′H|2，则D′H⊥OH，又OH∩EF=H，∴D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）解：以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，∵AB=5，AC=6，∴B（5，0，0），C（1，3，0），D′（0，0，3），A（1，﹣3，0），，，设平面ABD′的一个法向量为，由，得，取x=3，得y=﹣4，z=5．∴．同理可求得平面AD′C的一个法向量，设二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角为θ，则|cosθ|=．∴二面角B﹣D′A﹣C的正弦值为sinθ=．21．（12分）设x=m和x=n是函数f（x）=2lnx+x2﹣（a+1）x的两个极值点，其中m＜n，a＞0．（Ⅰ）若a=2时，求m，n的值；（Ⅱ）求f（m）+f（n）的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=+x﹣（a+1）=，∴当a=2时，f′（x）=0可化为x2﹣3x+2=0，故m，n是方程x2﹣3x+2=0的两个根，∴m=1，n=2．（Ⅱ）由已知有m，n是方程x2﹣（a+1）x+2=0的两个根，∴△=（a+1）2﹣8＞0，m+n=a+1＞0，mn=2＞0．∴f（m）+f（n）=2lnm+m2﹣（a+1）m+2lnn+n2﹣（a+1）n=2ln（mn）+（m2+n2）﹣（a+1）（m+n）=2ln2+[（m+n）2﹣2nm]﹣（a+1）（m+n）=2ln2+[（a+1）2﹣4]﹣（a+1）2=﹣（a+1）2﹣2+2ln2．∵（a+1）2＞8，∴f（m）+f（n）＜2ln2﹣6，即f（m）+f（n）的取值范围为（﹣∞，2ln2﹣6）．22．（12分）已知函数f（x）=1﹣（a为实数）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在点处的切线方程；（Ⅱ）设函数h（a）=3λa﹣2a2（其中λ为常数），若函数f（x）在区间（0，2）上不存在极值，且存在a满足h（a）≥λ+，求λ的取值范围；（Ⅲ）已知n∈N*，求证：ln（n+1）＜1+．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当a=1时，，，则，∴函数f（x）的图象在点的切线方程为：，即2x﹣y+ln2﹣2=0…（4分）（Ⅱ），由f'（x）=0⇒x=a由于函数f（x）在区间（0，2）上不存在极值，所以a≤0或a≥2…（5分）由于存在a满足h（a）≥，所以h（a）max≥…（6分）对于函数h（a）=3λa﹣2a2，对称轴①当或，即λ≤0或时，，由h（a）max≥，结合λ≤0或可得：或②当，即时，h（a）max=h（0）=0，由h （a ）max≥，结合可知：λ不存在；③当，即时，h （a ）max =h （2）=6λ﹣8；由h （a ）max≥，结合可知：综上可知：或…（9分）（Ⅲ）当a=1时，，当x ∈（0，1）时，f'（x ）＞0，f （x ）单调递增；当∈（1，+∞）时，f'（x ）＜0，f （x）单调递减，∴在x=1处取得最大值f （1）=0 即，∴，…（11分）令，则，即，∴ln （n +1）=ln （n +1）﹣ln1=[ln （n +1）﹣lnn ]+[lnn ﹣ln （n ﹣1）]+…+（ln2﹣ln1）．故． …（14分）赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
四川省成都市第七中学2016-2017学年高二下学期半期考试数学(理)试题 PDF版含答案
成都七中2016-2017学年度下期半期考试高2018届数学试卷（理科）考试时间：120分钟 总分：150分一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．请将正确选项用2B 铅笔填图在答题卡上）1.欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系.根据欧拉公式可知，表示23i eπ的复数在复平面中位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2. O 为空间任意一点，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则A ，B ，C ，P 四点( )A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断3．用反证法证明命题“设,a b 为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时， 要做的假设是（ ）A.方程30x ax b ++=没有实根B.方程30x ax b ++=至多有一个实根C.方程30x ax b ++=至多有两个实根D.方程30x ax b ++=恰好有两个实根 4. 定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1 5.若函数31()f x x ax x=++在⎝⎛⎭⎫12，＋∞是增函数，则a 的取值范围是( ) A ．1(,)2-+∞ B ．1[,)2-+∞ C ．13(,)4+∞ D ．13[,)4+∞ 6.已知函数()ln f x x x =-，则()f x 的图象大致为 （ ）7. 设不重合的两条直线，、、和三个平面、γβαn m 给出下面四个命题： （1） //////m n m n n αβαβ=⇒，， （2） ααββα//m m m ⇒⊄⊥⊥，，（3） βαβα////m m ⇒⊂， （4） γβγαβα//⇒⊥⊥， 其中正确的命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 8. 设则（ ） A ．都不大于 B ．都不小于 C ．至少有一个不大于 D ．至少有一个不小于 9. 已知函数f (x )＝(2x －x 2)e x ，则( )A ．f (2)是f (x )的极大值也是最大值B ．f (2)是f (x )的极大值但不是最大值C ．f (－2)是f (x )的极小值也是最小值D ．f (x )没有最大值也没有最小值10. 如图，二面角l αβ--的大小是45°，线段AB α⊂.B l ∈，AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是（ ）A ．12 B．4 C ．2 D ．411. 已知函数x x x f 3)(3-=，若过点),2(t M 可作曲线)(x f y =的三条切线，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(6,2)--B ．(4,2)--C ． (6,2)-D ．(0,2)12.函数)(x f 的导函数为)(x f '，对x ∀∈R ，都有2()()f x f x '>成立，若2)4ln (=f ，则不等式2()x f x e >的解是（ ）A ．(ln 4,)+∞B ．(0,ln 4)C ． (,ln 4)-∞D ．(1,ln 4)二、填空题(本大题共5小题，每题4分，共20分.请将答案填在答题卡对应位置.)13. 设a R ∈，若复数(1)()i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =____▲____ 14. 已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为____▲_____,,(,0),a b c ∈-∞111,,a b c b c a+++2-2-2-2-α∙AB∙β15.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦B ·曼德尔布罗特(Benoit B. Mandelbrot )在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统众多领域的难题提供了全新的思路．如图是按照分形的规律生长成的一个树形图，则第10行的空心圆的个数是 ▲ ．三.解答题（17题10分，18-22每小题12分，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. 已知复数满足11z i z i +-=-+，试判断复数在复平面内对应的点的轨迹是什么图形，并求出轨迹方程.18. 如图所示，在三棱柱'''ABC A B C -中，'AA ⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝'AA ，∠ABC ＝90°，O 是侧面''ABB A 的中心，点D 、E 、F 分别是棱'''AC AB BB 、、的中点， （Ⅰ）证明OD ∥平面'ABC ；（Ⅱ）求直线EF 和平面'ABC 所成的角. .z z19.观察下列等式第一个式子第二个式子第三个式子第四个式子照此规律下去（Ⅰ）写出第5个等式；（Ⅱ）试写出第n 个等式，并用数学归纳法验证是否成立． 20.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，∥，，平面⊥底面，为的中点，是棱上的点，，，．（I ）求证：平面⊥平面；（Ⅱ）若二面角大小的为 ，求的长．21.设函数()()()()221ln ,1 , 0,2f x x a xg x x a x x a R =-=-+>∈. （I ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a ≥时，讨论函数()f x 与()g x 的图象的交点个数.22.已知()()()21,.xf x x mx m Rg x e =++∈=（I ）当[]0,2x ∈时，()()()F x f x g x =-为增函数，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）设函数()()()()15,,44f x G x H x xg x ==-+若不等式()()G x H x ≤对[]0,5x ∈ 恒成立，求参数m 的取值范围;（Ⅲ）若()1,0m ∈-，设函数()()()()15,,44f x G x H x xg x ==-+求证：对任意[]12,1,1x x m∈-，()()12Gx H x <恒成立.60成都七中2016-2017学年度下期半期考试高2018届数学试卷（理科）考试时间：120分钟 总分：150分一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．请将正确选项用2B 铅笔填图在答题卡上）1.欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系.根据欧拉公式可知，表示23i eπ的复数在复平面中位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B2. O 为空间任意一点，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则A ，B ，C ，P 四点( )A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断【答案】B3用反证法证明命题“设b a ,为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）A.方程30x ax b ++=没有实根B.方程30x ax b ++=至多有一个实根C.方程30x ax b ++=至多有两个实根D.方程30x ax b ++=恰好有两个实根 【答案】A4. 定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1【答案】C5.若函数31()f x x ax x =++在⎝⎛⎭⎫12，＋∞是增函数，则a 的取值范围是( )A ．1(,)2-+∞ B ．1[,)2-+∞ C ．13(,)4+∞ D ．13[,)4+∞ 【答案】：D【解析】'221()3f x x a x =+-，所以22130x a x +-≥对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞恒成立，分离参数得2213a x x ≥-，令221()3h x xx =-又h (x )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递减，所以113()()24h x h <=，故134a ≥.6.已知函数()ln f x x x =-，则()f x 的图象大致为 （ ）【答案】A【解析】由ln ,0()ln(),0x x x f x x x x ->⎧=⎨--<⎩可得'1()1 (0)f x x x =-≠(,0)(1,)()0;(0,1)()0x f x x f x ∈-∞+∞>∈<时时，可排除B 、C 、D 选项，故选A7. 设不重合的两条直线，、、和三个平面、γβαn m 给出下面四个命题： （1） //////m n m n n αβαβ=⇒，， （2） ααββα//m m m ⇒⊄⊥⊥，，（3） βαβα////m m ⇒⊂， （4） γβγαβα//⇒⊥⊥， 其中正确的命题个数是（ ） 1234A B C D【答案】B【解析】(2)（3）正确 8. 设则（ ） A ．都不大于 B ．都不小于 C ．至少有一个不大于 D ．至少有一个不小于 【答案】C【解析】因为，所以≥，所以,,(,0),a b c ∈-∞111,,a b c b c a+++2-2-2-2-,,(,0)a b c ∈-∞111111()()()()a b c a b c b c a a b c-+++++=--+--+--2226++=，所以的值中至少有一个不大于.9. 已知函数f (x )＝(2x －x 2)e x ，则( )A ．f (2)是f (x )的极大值也是最大值B ．f (2)是f (x )的极大值但不是最大值C ．f (－2)是f (x )的极小值也是最小值D ．f (x )没有最大值也没有最小值 【答案】A【解析】由'2()(2)x f x e x =-易知()f x在(,-∞，)+∞上单减，(单增；f 是()f x 的极大值；(f 是()f x 的极小值.又因为()0f x =的解只有0和2可知0()0x f x <<时作出函数示意图 可知f 是()f x 的极大值也是最大值. （或者可研究函数极限知,()0;+,()x f x x f x →-∞→→∞→-∞）10. 如图，二面角l αβ--的大小是45°，线段AB α⊂.B l ∈，AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是（ ）A ．12B ．4． 2 D ． 4【答案】D【解析】过点A 作AO β⊥于点O, AC l ⊥于点C,连结CO 、BO 则ABO ∠即为所求线面角.又因为45,30ACO ABC ∠=︒∠=︒设AO 长为a ，则,AC AB ∠==在 sin 4AO Rt ABO ABO AB ∆∠===中有. 11. 已知函数x x x f 3)(3-=，若过点),2(t M 可作曲线)(x f y =的三条切线，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(6,2)--B ．(4,2)--C ． (6,2)-D ．(0,2) 【答案】C【解析】设切点为00(,())x f x ，则切线方程为'000()()()y f x f x x x -=-将M 点代入整理得关于0x 的方程32002660x x t -++=有三根.令3200266t x x =-+-作出图象可知当t 介1116a b c b c a +++++≤-111,,a b c b c a+++2-α∙AB∙β于两极值之间时方程有三根.计算可得62t -<<.12.函数)(x f 的导函数为)(x f '，对x ∀∈R ，都有2()()f x f x '>成立，若2)4ln (=f ，则不等式2()x f x e >的解是（ ）A ．(ln 4,)+∞B ．(0,ln 4)C ． (,ln 4)-∞D ．(1,ln 4) 【答案】A【解析】令2()(=x f x g x e ）则'2''2221(()())2()()2(=0()2xx xe f x f x f x f x g x e e -⋅-=>）则2()(=xf xg x e）是R 上的增函数.又ln 42(ln 4)(ln 4=1f g e=）可知2()ln 4(=1xf x xg x e>>时）即2()x f x e >的解集是(ln 4,)+∞.二、填空题(本大题共5小题，每题4分，共20分.请将答案填在答题卡对应位置.)13. 设a R ∈，若复数(1)()i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =____▲____ 【答案】1-14. 已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为____▲_____ 【答案】214a15.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦B ·曼德尔布罗特(Benoit B. Mandelbrot)在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统众多领域的难题提供了全新的思路．如图是按照分形的规律生长成的一个树形图，则第10行的空心圆的个数是 ▲ ．【答案】21【解析】设第n 行空心圆个数为{}n a 则121,0,3a a n ==≥时有12n n n a a a --=+，依次递推可得1021a =三.解答题（17题10分，18-22每小题12分，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. 已知复数满足11z i z i +-=-+，试判断复数在复平面内对应的点的轨迹是什么图形，并求出轨迹方程.解：由1=-1z i z i +-+可知复数z 是复平面内到两定点距离相等的点，其轨迹是这两点连线的垂直平分线（答轨迹是直线不扣分）------------5分这两点坐标分别是（-1，1）和（1，-1），在直线y x =-上且关于原点对称，所以它的垂直平分线方程是y x =，即复数z 的轨迹方程是y x =------10分法二：设(,)x yi x y R =+∈=分化简整理得y x =，这是一条直线-------------10分18. 如图所示，在三棱柱'''ABC A B C -中，'AA ⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝'AA ，∠ABC ＝90°，O 是侧面''ABB A 的中心，点D 、E 、F 分别是棱'''AC AB BB 、、的中点， （Ⅰ）证明OD ∥平面'ABC ；（Ⅱ）求直线EF 和平面'ABC 所成的角.z z z.（Ⅰ）证明：依题意可知侧面''ABB A 为正方形，连结'A B 则O 为'A B 中点，在''A BC ∆中， O 、D 分别是边''A B AC’、的中点，所以'//OD BC '''''////BC ABC OD ABC OD ABC OD BC ⎫⊂⎪⊄⇒⎬⎪⎭面面面 ------------6分（Ⅱ）连结'B C 易得''BC B C ⊥先证明''B C ABC ⊥面''''''''''''''90// ABC AB BC AB BCC B AB B C AA ABC AA AB B C ABC B C BCC B B C BC AA BB ∠=︒⇒⊥⎫⎫⎫⊥⊥⎪⎪⎪⊥⇒⊥⇒⇒⇒⊥⎬⎬⎬⊂⊥⎪⎪⎭⎭⎪⎭由面底面面面 过F 作''//FH B C BC H EH FEH ∠交于，连结，则即为直线EF 和平面'ABC 所成的角 在Rt FEH ∆中，12FH EF =,所以直线EF 和平面'ABC 所成的角为30︒ ------------12分19.观察下列等式第一个式子第二个式子第三个式子第四个式子照此规律下去（Ⅰ）写出第5个等式；（Ⅱ）试写出第n 个等式，并用数学归纳法验证是否成立． 【解析】（Ⅰ）第5个等式567139++++=；加以证明．试题解析：（Ⅰ）第5个等式5671381++++=分分 证明：（1（2分分--------------11分根据（1）（2--------------12分20.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，∥，，平面⊥底面，为的中点，是棱上的点，，，． （Ⅰ）求证：平面⊥平面；（Ⅱ）若二面角大小的为 ，求的长．解：（1）∵AD // BC，BC=AD ，Q 为AD 的中点，∴四边形BCDQ 为平行四边形， ∴CD // BQ ∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD． 又∵平面PAD⊥平面ABCD 且平面PAD∩平面ABCD=AD ，60∴BQ⊥平面PAD ．∵BQ 平面MQB ，∴平面MQ B⊥平面PAD----------5分（Ⅱ）∵PA=PD，Q 为AD 的中点， ∴P Q⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD ，且平面PAD∩平面ABCD=AD ， ∴PQ⊥平面ABCD ． 如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系． 则，，，，由 ，且，得所以又， ∴ 平面MBQ 法向量为由题意知平面BQ C 的法向量为 -------------9分∵二面角M-BQ-C 为60° ∴，∴∴----------------12分21. 设函数()()()()221ln ,1 0,2f x x a xg x x a x x a R =-=-+>∈ （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a ≥时，讨论函数()f x 与()g x 的图象的交点个数.解：（Ⅰ） 函数()f x 的定义域为()()20,,'x af x x-+∞=.当0a ≤时，()'0f x >，所以()f x 的增区间是()0,+∞，无减区间；当0a >时，()('x x f x x+=.当0x <<()'0f x <,函数()f x单调递减；当x >()'0f x >,函数()f x 单调递增. 综上，当0a ≤时，函数()f x 的增区间是()0,+∞,无减区间；当0a >时，()f x 的增区间是)+∞，减区间是(.----------4分（Ⅱ）令()()()()211ln ,02F x f x g x x a x a x x =-=-++->，问题等价于求函数()F x 的零点个数．① 当0a =时，()()21,0,2F x x x x F x =-+>有唯一零点； ----------5分当0a ≠时，()()()1'x x a F x x--=-.② 当1a =时，()'0F x ≤,当且仅当1x =时取等号，所以()F x 为减函数．注意到()()310,4ln 402F F =>=-<,所以()F x 在()1,4内有唯一零点；----------7分③ 当1a >时，当01x <<，或x a >时，()'0;1F x x a <<<时，()'0F x >.所以()F x 在()0,1和(),a +∞上单调递减，在()1,a 上单调递增．注意到()()()110,22ln 2202F a F a a a =+>+=-+<，所以()F x 在()1,22a +内有唯一零点； ----------9分④ 当01a <<时，0x a <<，或1x >时，()'0;1F x a x <<<时，()'0F x >.所以()F x 在()0,a 和()1,+∞上单调递减，在(),1a 上单调递增．注意到()()()()()110,22ln 0,22ln 22022aF a F a a a F a a a =+>=+->+=-+<，所以()F x 在()1,22a +内有唯一零点. ----------11分综上，()F x 有唯一零点，即函数()f x 与()g x 的图象有且仅有一个交点. ----12分22.已知()()()21,.xf x x mx m Rg x e =++∈=（I ）当[]0,2x ∈时，()()()F x f x g x =-为增函数，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）设函数()()()()15,,44f x G x H x x g x ==-+若不等式()()G x H x ≤对[]0,5x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.（Ⅲ）若()1,0m ∈-，设函数()()()()15,,44f x G x H x xg x ==-+，求证：对任意[]12,1,1x x m ∈-，()()12G x H x <恒成立.解：（I ）2'()1()2x x F x x mx e F x x m e =++-∴=+-[0,2]()x F x ∈时为增函数'()20[0,2]x F x x m e x ∴=+-≥∈对恒成立即2x m e x≥-令()2 [0,2]x h x e x x =-∈ 则'() 2 x h x e =-令'()0ln 2h x x ==解得()[0,ln 2)ln 22]h x ∴在单减；（，单增2(0)1,(2)41h h e ==->2max ()(2)4h x h e ∴==-24m e ∴≥- ----------3分（Ⅱ）()()G x H x ≤即2151,44x x mx e x ++≤-+（）令15(),44x x e x ϕ=-+（） '1()1,4xx e x ϕ=-+（）令()04x x ϕ==得(),4)4+)x ϕ∴∞∞在(-单增；（，单减()=0=5x x ϕ又有唯一零点，所以可作出函数()x ϕ的示意图，要满足2()1()[0,5]m x x mx x x ϕ=++≤∈对恒成立只需02(5)0m m -⎧>⎪⎨⎪≤⎩对称轴解得265m ≤-----------7分法二：1x =得2m e ≤-令215()(1),44xx ex x mx ϕ=-+-++（）则'1()(1)24x x e x x m ϕ=--- 令'()()n x x ϕ=则'3()24x x n x e -=⋅- 令'()()r x n x =则'2()4x x r x e -=⋅则2()225](2)204e r x r =-<在[0,）单增，（，单减；故()0[0,5]r x x <∈对恒成立()[0,5]n x x ∴∈在单减(0)10n m =->，无论()[0,5]n x x ∈在有无零点()[0,5]x x ϕ∈在上的最小值只可能为(0)5ϕϕ或（）xO45要215()(1)044xx e x x mx ϕ=-+-++≥（）恒成立(0)0(5)0ϕϕ∴≥≥且 265m ∴≤-（Ⅲ）对任意[]12,1,1x x m ∈-，()()12G x H x <恒成立，只需()()max min G x H x <()'(1)(1)xx x m G x e --+=-[]1,1x m ∈-，()1,0m ∈-()[1,1]G x m ∴-在上单调递增，()()max 121mmG x G m e --=-=()[1,1]H x m -在上单调递减，()()min 151(1)1444mH x G m m =-=--+=+即证1214m m me --<+对()1,0m ∈-恒成立令()11,2m t -=∈即证(5-)-4(1)0(1,2)t e t t t +>∈对恒成立 令()(5-)-4(1)t r x e t t =+则'()(4-)-4240t t r x e t e =>-> 即()(5-)-4(1)12t r x e t t =+在（，）上单调递增()(1)(5-1)-4(11)480r x r e e ∴>=+=->即(5-)-4(1)0(1,2)t e t t t +>∈对 恒成立所以对任意[]12,1,1x x m ∈-，()()12G x H x <恒成立. ---------12分。
四川省成都市第七中学2016-2017学年高二下学期零诊模拟数学(理)试题Word版含答案
成都七中高2018届零诊模拟试题（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，集合{}lg 0B x x =>，则A B =U （ ）A ．{}1x x > B ．{}0x x > C ．{}{}10x x x x ><U D ．∅ 2．在复平面，复数()4211i i --对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约（ ）A ．164石B ．178石C ．189石D ．196石 4．下列选项中说法正确的是（ ）A ．命题“p q ∨为真”是命题“p q ∧为真”的必要条件．B ．若向量a r ，b r 满足0a b ⋅>r r ，则a r 与b r的夹角为锐角．C ．若22am bm ≤，则a b ≤．D ．“0x R ∃∈，2000x x -≤”的否定是“x R ∀∈，20x x -≥”5．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，834S a =，72a =-，则9a =（ ） A ．6- B ．4- C ．2- D ．26．已知双曲线2213y x -=的离心率为2m，且抛物线2y mx =的焦点为F ，点()02,P y （00y >）在此抛物线上，M 为线段PF 的中点，则点M 到该抛物线的准线的距离为（ ）A ．52 B ．2 C ．32D ．1 7．某产品的广告费用x 于销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得线性回归方程ˆybx a =+中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元 8．按照如图的程序框图执行，若输出结果为31，则M 处条件可以是（ ）A ．32k >B ．16k ≥C ．32k ≥D ．16k <9．已知a 为常数，函数()()ln 2f x x x ax =-有两个极值点，则a 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞ B ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．()0,1 D ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭10．一个三棱锥的三视图如图所示，其中正方形的边都是1，则该三棱锥的体积为（ ）A ．14 B ．13C ．4D ．311．已知双曲线C ：221mx ny +=，（0m >，0n <）的一条渐近线与圆226290x y x y +--+=相切，则双曲线C 的离心率等于（ ）A ．43 B ．53 C ．32 D ．5412．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD （含端点）上运动，P 是圆Q 上及内部的动点，设向量AP mAB nAF =+uu u r uu u r uu u r（m ，n 为实数），则m n +的取值范围是（ ）A ．(]1,2B ．[]5,6C ．[]2,5D ．[]3,5第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知点(),P x y 的坐标满足条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则22x y +的最大值为 ．14．已知数列{}n a 满足11a =，112n n n a a ---=（2n ≥），则8a = ．15．已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的球面上，AD ⊥底面ABC ，3AB BC CA ===，2AD =，则球O 的表面积为 ．16．设x ，y R ∈，定义()x y x a y ⊗=-（a R ∈，且a 为常数），若()xf x e =，()22x g x e x -=+，()()()F x f x g x =⊗．①()g x 不存在极值；②若()f x 的反函数为()h x ，且函数y kx =与函数()y h x =有两个交点，则1k e=； ③若()F x 在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是(],2-∞-；④若3a =-，在()F x 的曲线上存在两点，使得过这两点的切线互相垂直． 其中真命题的序号有 （把所有真命题序号写上）．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知()f x a b =⋅r r ，其中()2cos ,2a x x =r ，()cos ,1b x =r，x R ∈．（1）求()f x 的单调递减区间；（2）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()1f A =-，a =且向量()3,sin m B =u r 与()2,sin n C =r共线，求边长b 和c 的值。
2016-2017学年四川省成都市第七中学高二下学期半期考试数学(理)试题(解析版)
2016-2017学年四川省成都市第七中学高二下学期半期考试数学（理）试题一、选择题1．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，表示23i eπ的复数在复平面中位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】B【解析】2πi 32π2π1cosisin 3322e=+=-+ ,对应点12⎛- ⎝⎭,位于第二象限,选B.2．O 为空间任意一点，若311488OP OA OB OC =++，则,,,A B C P 四点 ( )A. 一定不共面B. 一定共面C. 不一定共面D. 无法判断【答案】B【解析】由若OP a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅ ＝ ，当且仅当1a b c ++= 时， P A B C ，，，四点共面．311488OP OA OB OC =++，而3111488++= 故P A B C ，，， 四点共面，故选B 3．用反证法证明命题“设,a b 为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是( )A. 方程30x ax b ++=没有实根B. 方程30x ax b ++=至多有一个实根C. 方程30x ax b ++=至多有两个实根D. 方程30x ax b ++=恰好有两个实根【答案】A【解析】至少有一个实根的反面为没有实根 ,所以选A. 4．定积分()12xx e dx +⎰的值为()A. 2e +B. 1e +C. eD. 1e -【答案】C【解析】试题分析：()()()1212201(2)|xx x x x x ex dx e x e xe x ==+=+=+-+⎰=()11e e +-=.故选C.【考点】1.微积分基本定理；2.定积分的计算.5．若函数()31f x x ax x =++在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数,则a 的取值范围是( ) A. 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B. 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C. 13,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D. 13,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】由题意得()22130f x x a x =+-≥'在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即22ma x13a x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，因为2213y x x =-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以2213131334,444y x a x =-<-=≥，选D. 点睛：已知函数单调性求参数值或取值范围的一般方法：（1）利用导数结合参数讨论函数单调区间取法，根据单调区间与定义区间包含关系，确定参数值或取值范围；（2）利用导数转化为导函数非正或非负恒成立问题，结合变量分离转化为不含参数的函数，利用导数求新函数最值得参数值或取值范围.6．已知函数()ln f x x x =-，则()f x 的图象大致为（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】由题可知()(),0ln {,0x lnx x f x x x x ln x x ->=-=--< ，当0x >时， ()11f x x'=-，故函数()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞上单调递增；，当0x <时，()110f x x=->'在(),0-∞上恒成立，故函数()f x 在(),0-∞上单调递增，故选A 7．设不重合的两条直线m 、n 和三个平面α、β、γ给出下面四个命题：（1）,,m n m n n αβαβ⋂=⇒ （2）,,m m m αββαα⊥⊥⊄⇒ （3）,m m m αβαβ=⊂⇒ （4）,αβαγβγ⊥⊥⇒ 其中正确的命题个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】,m n m αβ⋂= 时，有可能n α⊂ ，A 错； ,l l αβαβ⊥⇒∃⊂⊥ ，而,m β⊥所以//l m ，又m α⊄，所以m α ，B 对；由两平面平行定义知，C 对;,αβαγ⊥⊥时， β、γ有可能相交，D 错；因此选B.8．设(),,,0,a b c ∈-∞则111,,a b c b c a+++（ ） A. 都不大于2- B. 都不小于2-C. 至少有一个不大于2-D. 至少有一个不小于2-【答案】C【解析】试题分析：因为111,,a b c b c a+++相加，利用均值不等式得到，因此至少有一个不小于-2.故选D.【考点】反证法的运用；均值不等式.9．已知函数()()22xf x x x e =-，则( )A. f是()x f 的极大值也是最大值 B. f 是()x f 的极大值但不是最大值C. f是()x f 的极小值也是最小值 D.()x f 没有最大值也没有最小值【答案】A【解析】()()220xf x x e x '=-=⇒= ，图像如下图，当(x ∈ 时()0f x '> ；当)x ∈+∞ 时()0f x '< ；所以f是()f x 的极大值，又当(,x ∈-∞时， ()0f x <，所以f是最大值，选A.10．如图，二面角l αβ--的大小是45 ，线段,l AB B α⊂∈， AB 与l 所成的角为30 ，则AB 与平面β所成的角的正弦值是( )A.12 B. C. D. 【答案】D【解析】如图，过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，在β内过C作l 的垂线，垂足为D ，连接AD ，由三垂线定理可知AD l ⊥， 故ADC ∠ 为二面角l αβ--的平面角，为45︒， 又由已知， 30ABD ∠=︒连接CB ， 则ABC ∠ 为AB 与平面β所成的角，设24AC AD AC CD AB sin ABC AB ====∴∠=，则， 点睛：本题考查了二面角的平面角，考查了线面角，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．解题时关键是要设法构造二面角的平面角以及直线与平面所成的角. 11．已知函数()33f x x x =-，若过点()2,M t 可作曲线()y f x =的三条切线，则实数t 的取值范围是( )A. ()6,2--B. ()4,2--C. ()6,2-D. ()0,2 【答案】C 【解析】设切点为()00,x y ,则方程()()()()2320000000332,3332y t x x x x t x x -=----=--, 32003302tx x -++=有三解, 令3200332t y x x =-++,则2000036002y x x x x =-='⇒==或,因此30,812306222t t t +>-++<⇒-<<,选C. 12．函数()f x 的导函数为()f x '，对x R ∀∈，都有()()2f x f x '>成立，若()ln42f =，则不等式()2xf x e >的解是( )A. ()ln4,+∞B. ()0,ln4C. (),ln4-∞D. ()1,ln4 【答案】A【解析】x R ∀∈ ， 都有2'f x f x （）＞（）成立， 1'02f x f x ∴-（）（）＞ ，于是有()'20x f x e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＞，令()2x g x f x e =（） ，则g x （）在R 上单调递增， ∵不等式2xf x e （）＞ ， 142414g x f ln g ln x ln ∴=∴=∴ （）＞，（），（），＞， 故选A ． 点睛：本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性．二、填空题13．设a R ∈，若复数()()1i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =__________．【答案】1-.【解析】试题分析：由题意得()()()1111i a i a a i R a ++=-++∈⇒=-.【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.14．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点,E F 分别是,BC AD 的中点，则AE AF ⋅的值为__________．【答案】21a 4【解析】由题意可得，224AB AC AD AB AD AC ADAE AF +⋅+⋅⋅=⋅=2606044a a cos a a cos a ⋅⋅︒+⋅⋅︒==，15．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦B·曼德尔布罗特(BenoitB ．Mandelbrot)在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统众多领域的难题提供了全新的思路．如图是按照分形的规律生长成的一个树形图，则第10行的空心圆的个数是__________．【答案】21【解析】第7行为:8实心圆5空心圆 第8行为:13实心圆8空心圆 第9行为:21实心圆13空心圆 第10行为:34实心圆21空心圆16．若定义在()0,+∞上的函数()f x 对任意两个不等的实数12,x x 都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x+>+，则称函数()f x 为“z 函数”.给出下列四个定义在()0,+∞的函数：①21y x =-+；②sinx y x =+；③()21x y e x =-；④()2212ln x y x x x-=-+，其中“z 函数”对应的序号为__________． 【答案】②③④【解析】由题定义在()0,+∞上的函数()f x 对任意两个不等的实数12,x x 都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，即()()()()11220x fx f x⎡⎤⎡⎤--->⎣⎦⎣⎦ ()()()12120x x f x f x ⎡⎤⇒-->⎣⎦，即在()0,+∞上的函数()f x 为增函数，由此可知，①21y x =-+；显然不符合题意； 对于②sinx,1cosx o y x y =+'=+≥ 恒成立，即sinx y x =+在()0,+∞上为增函数； 对于③()()()21,212210xx x x y ex y e x e e x '=-=-+=+> 在()0,+∞上恒成立，即()21x y e x =-在()0,+∞上为增函数；对于()2212ln x y x x x -=-+定义域为()0,+∞，()()()2233332221112222210x x x x x x y x x x x x --+--⎛⎫=--=-=≥ ⎪⎝⎭'在()0,+∞上恒成立，即()2212ln x y x x x -=-+在()0,+∞上为增函数； 故选②③④三、解答题17．已知复数z 满足11z i z i +-=-+．试判断复数z 在复平面内对应的点的轨迹是什么图形，并求出轨迹方程． 【答案】y x =【解析】试题分析:先设(),z x y i x y R=+∈,再根据复数的模得=平方化简得y x =，最后确定曲线形状.试题解析:由11z i z i +-=-+可知复数z 是复平面内到两定点距离相等的点， 其轨迹是这两点连线的垂直平分线.这两点坐标分别是()1,1-和()1,1-，在直线y x =-上且关于原点对称， 所以它的垂直平分线方程是y x =，即复数z 的轨迹方程是y x =.法二：设(),z x yi x y R =+∈=化简整理得y x =，这是一条直线.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()()(),,,.a b i c d ia cb d a d bc i a b c dR++=-++∈. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(),a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、对应点为(),a b 、共轭为.a bi -18．如图所示，在三棱柱A B CA B C '-''中， AA '⊥底面ABC , AB BC AA ==',90ABC ∠= , O 是侧面ABA'B'的中心，点D 、E 、F 分别是棱A'C'、AB 、BB'的中点.(1)证明OD 平面ABC'； (2)求直线EF 和BC '所成的角．【答案】（1）详见解析（2）60【解析】试题分析：（1）先根据三角形中位线性质得OD BC ' ，再利用线面平行判定定理得OD A BC ' 面.（2）线线角找平行，先取B C ''中点M ,则由三角形中位线性质得FM BC ' ，则EFM ∠即为异面直线EF 和BC '所成角(或其补角),再在三角形MNE 中，求出EFM ∠，即得异面直线EF 和BC '成的角.试题解析：(1)证明：依题意可知侧面AA'B'B 为正方形，连结A B '则O 为A B '中点，在A BC ∆''中， O 、D 分别是边A B '、A C ''的中点，所以OD BC 'A OD A }OD A OD BC BC BC BC BC ⊂⊄⇒'''''面面面. (2)取B C ''中点M , BC 中点N .连结FM EM MN 、、,则EFM ∠即为异面直线EF 和BC '所成角(或其补角),设2AB =,在Rt MNE ∆中,ME =,在MFE ∆中，ME EF == 由余弦定理可得120EFM ∠= ， 所以异面直线EF 和BC '成的角为60 .19．观察下列等式11= 第一个式子 2349++= 第二个式子 3456725++++= 第三个式子 4567891049++++++= 第四个式子照此规律下去(1)写出第5个等式；(2)试写出第n 个等式，并用数学归纳法验证是否成立. 【答案】（1）5671381+++⋅⋅⋅+=（2）见解析【解析】 试题分析：(1)观察各式发现一般性规律，即可写出第5个等式；(2)由(1) 发现的一般性规律，可猜测第n 个等式为()()()()2123221n n n n n +++++⋅⋅⋅+-=-.用数学归纳法易证 试题解析：(1)第5个等式5671381+++⋅⋅⋅+=.(2)猜测第n 个等式为()()()()2123221n n n n n +++++⋅⋅⋅+-=-. 证明：(1)当1n =时显然成立； (2)假设()*1,n k k k N =≥∈时也成立，即有()()()()2123221k k k k k +++++⋅⋅⋅+-=-，那么当1n k =+时左边()()()()()()123231331k k k k k k =++++⋅⋅⋅+-+-+++()()()()123221331k k k k k k k =+++++⋅⋅⋅+-+-+++()()22121331k k k k =-+-+++()()222441821211k k k k k ⎡⎤=-++=+=+-⎣⎦.而右边()2211k ⎡⎤=+-⎣⎦, 这就是说1n k =+时等式也成立． 根据(1)(2)知，等式对任何*n N ∈都成立．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形， AD ∥BC ，90ADC ∠= ，平面PAD ⊥底面ABCD ， Q 为AD 的中点， M 是棱PC 上的点， 2PA PD ==， 112BC AD ==， CD .(1)求证：平面MQB ⊥平面PAD ；(2)若二面角M BQ C --大小的为60 ，求QM 的长．【答案】（1）见解析（2）QM =【解析】试题分析：（1）证明CD ∥BQ ，推出QB ⊥AD ．得到BQ ⊥平面PAD ，然后证明平面MQB ⊥平面PAD ．（2）证明PQ ⊥AD ．推出PQ ⊥平面ABCD ，以Q 为原点建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，求出平面MBQ 法向量，平面BQC 的法向量，然后利用利用空间向量的数量积求解即可试题解析： (1)∵AD ∥BC ， 12BC AD =， Q 为AD 的中点， ∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD ∥BQ ． ∵90ADC ∠= ，即QB AD ⊥.又∵平面PAD ⊥底面ABCD 且平面PAD ⋂平面ABCD AD =， ∴BQ ⊥平面PAD .∵BQ ⊂平面MQB ，∴平面MQB ⊥平面PAD . (2)∵PA PD =， Q 为AD 的中点，∴PQ AD ⊥.∵平面PAD ⊥底面A B C D ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =，∴PQ ⊥平面A B C D .如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系，则()()(()()0,0,0,1,0,0,,,Q A P B C -,由(PM PC λλ==-，且01λ≤≤，得()M λ-，所以()QM λ=-，又()QB =，∴平面MBQ 法向量为1m λλ-⎫=⎪⎭， 由题意知平面BQC 的法向量为()0,0,1n =．∵二面角M BQ C --大小的为60，∴11cos60,22n m n m λ⋅==∴= ，∴QM =. 本题考查二面角的平面角的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查转化思想以及计算能力．证明平面MQB ⊥平面PAD 时证明BQ ⊥平面PAD 是关键，为了求出QM 的长，可建立空间直角坐标系，利用空间向量求解． 21．设函数()21ln 2f x x a x =-, ()()21(0,)g x x a x x a R =-+>∈. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)当0a ≥时，讨论函数()f x 与()g x 的图象的交点个数.【答案】（1）当0m ≤时，函数()f x 的单调增区间是()0,+∞，无减区间，当0m >时，函数()f x的单调增区间是)+∞，减区间是(；（2）两函数图象总有一个交点.【解析】试题分析：（1）在定义域的前提下对函数求导,对m 分类: 0m ≤, 0m >.可函数的单调区间；（2）设()()()()()211ln 2F x f x g x f x x m x m x =-==++-,本题可转化为求()F x 的零点个数问题,对m 分类讨论即可.试题解析：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞， ()2'x mf x x-=，当0m ≤时， ()'0f x ≥，所以函数()f x 的单调增区间是()0,+∞，无减区间；当0m >时，()('x x f x x+-=；当0x <<()'0f x <，函数()f x 单调递减；当x >时， ()'0f x >，函数()f x 单调递增.综上，当0m ≤时，函数()f x 的单调增区间是()0,+∞，无减区间； 当0m >时，函数()f x的单调增区间是)+∞，减区间是(.（2）解：令()()()()()211ln 2F x f x g x f x x m x m x =-==++-， 0x >，问题等价于求函数()F x 的零点个数. 当0m =时， ()212F x x x =-+， 0x >，有唯一零点； 当0m ≠时， ()()()1'x x m F x x--=-；当1m =时， ()'0F x ≤，函数()F x 为减函数，注意到()3102F =>， ()4ln40F =-<，所以()F x 有唯一零点；当1m >时， 01x <<或x m >时， ()'0F x <， 1x m <<时()'0F x >，所以函数()F x 在()0,1和(),m +∞单调递减，在()1,m 单调递增，注意到()1102F m =+>， ()()22ln 220F m m m +=-+<，所以()F x 有唯一零点；当01m <<时， 0x m <<或1x >时()'0F x <， 1m x <<时()'0F x >，所以函数()F x 在()0,m 和()1,+∞单调递减，在(),1m 单调递增，注意到ln 0m <，所以，而()()22l n 220F m m m +=-+<，所以()F x 有唯一零点.综上，函数()F x 有唯一零点，即两函数图象总有一个交点. 【考点】函数的单调性与导数；函数与方程；分类讨论思想. 22．已知()21(f x x mx m R =++∈）, ()xg x e =.(1)当[]0,2x ∈时， ()()()F x f x g x =-为增函数，求实数m 的取值范围； (2)设函数()()()()15,44f x G x H x xg x ==-+，若不等式()()G x H x ≤对[]0,5x ∈恒成立，求实数m 的取值范围； (3)若[]1,0m ∈-，设函数()()()()15,44f x G x H x xg x ==-+，求证：对任意[]12,1,1x x m ∈-， ()()12G x H x ≤恒成立.【答案】（1）24m e ≥-（2）265m ≤-(3)见解析 【解析】试题分析：(1)由题()21xF x x mx e =++-，∵[]0,2x ∈时()F x 为增函数，∴()20xF x x m e =+-≥'对[]0,2x ∈恒成立即2xm e x ≥-.令()x 2xh e x =-,[]0,2x ∈,，求得()max x h 即可；(2) ()()G x H x ≤，即215144x x mx e x ⎛⎫++≤-+ ⎪⎝⎭，令()1544x x e x φ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()()21m x x mx x φ=++≤对[]0,5x ∈恒成立只需()0{250mm ->≤对称轴解之即可； (3)对任意[]12,1,1x x m ∈-， ()()12G x H x ≤恒成立，只需()()max min G x H x <. 试题解析：（1）∵()21xF x x mx e =++-，∴()2xF x x m e '=+-.∵[]0,2x ∈时()F x 为增函数，∴()20x F x x m e =+-≥'对[]0,2x ∈恒成立，即2x m e x ≥-.令()x 2xh e x =-, []0,2x ∈,则()x 2xh e '=-，令()x 0h '=解得ln2x =.∴()x h 在[]0,ln2单减； (]ln2,2单增，∵()()201,241h h e ==->，()()2max x 24h h e ==-，∴24m e ≥-.(2) ()()G x H x ≤，即215144x x mx e x ⎛⎫++≤-+ ⎪⎝⎭，令()1544x x e x φ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()114x x e x φ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭'，令()0x φ'=得4x =，∴()x φ在(),4-∞单增； ()4,+∞单减， 又∵()0x φ=有唯一零点5x =，所以可作出函数()x φ的示意图，要满足()()21m x x mx x φ=++≤对[]0,5x ∈恒成立只需()0{250mm ->≤对称轴解得265m ≤-. 法二：∵()()G x H x ≤对[]0,5x ∈恒成立，令1x =得2m e ≤-， 令()()215144x x e x x mx φ⎛⎫=-+-++ ⎪⎝⎭，则()1124x x e x x m φ⎛⎫=-+-- ⎪'⎝⎭，令()()n x x φ='，则()324xxn x e -=⋅-' ， 令()()r x n x ='，则()2'4x x x e -=⋅，则()r x 在[)0,2单增， (]2,5单减； ()22204e r =-<，故()0r x <对[]0,5x ∈恒成立.∴()n x 在[]0,5x ∈单减，∵()010n m =->，无论()n x 在[]0,5x ∈有无零点，()x φ在[]0,5x ∈上的最小值只可能为()0φ或()5φ，要()()2151044x x e x x mx φ⎛⎫=-+-++≥ ⎪⎝⎭恒成立，∴()00φ≥且()50φ≥ ，∴265m ≤-.(3)对任意[]12,1,1x x m ∈-， ()()12G x H x ≤恒成立，只需()()max min G x H x <. ∵()()()[]()11,1,1,1,0xx x m G x x m m e--+∈-∈-'=-，∴()G x 在[]1,1m -上单调递增， ()()max 121m mG x G m e --=-=． ∵()H x 在[]1,1m -上单调递减， ()()()min 15111444mH x H m m =-=--+=+，即证1214m m me --<+对()1,0m ∈-恒成立，令()11,2m t -=∈即证()()5410te t t --+>对()1,2t ∈恒成立，令()()()541tr x e t t =--+，则()()44240ttr x e t e =-->->'，即()()()541tr x e t t =--+在()1,2上单调递增，∴()()()()151411480r x r e e >=--+=->即()()5410te t t --+>对()1,2t ∈恒成立所以对任意[]12,1,1x x m ∈-， ()()12G x H x ≤恒成立.点睛：本题考查函数恒成立问题，考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．属难题.。
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2016-2017学年四川省成都七中实验学校高二下学期期中考试数学（理）试题一、选择题1．在三棱柱111A B C A B C -中，若1,,C A a C B b C C c ===，则1A B 等于( ) A. a b c +- B. a b c -+ C. a b c -++ D. a b c -+- 【答案】D【解析】∵直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中, 1,,C A a C B b C C c ===， ∴1A B =1A A +A B =1C C +()C B C A -=1C C C B C A a b c -+-=-+-. 故选：D.2．函数()sin xf x x e =+，则()0f ' 的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 0 【答案】B【解析】解答： f ( x )=sin x +e x ， ∴f ′( x )=cos x +e x ，∴f ′(0)=cos0+e 0=1+1=2， 故选：B3．已知,m n 表示两条不同的直线， α表示平面，下列说法正确的是 （ ） A. 若,m n αα，则mn B. 若,m n αα⊥⊂，则m n ⊥C. 若,m m n α⊥⊥，则n αD. 若,m m n α⊥，则n α⊥【答案】B【解析】如图, ,A DE F G H D CE F G H 平面平面,但,A D D C 相交, A 错;,D G E F G H D G F G ⊥⊥平面 ,但F G E F G H ⊂平面, C 错; ,D CE F G H D C B C ⊥平面 ,但B CE F G H 平面 , D 错;故本题选B4．函数()()1ln x f x x x=>的单调递减区间是( )A. ()1,+∞B. ()21,eC. ()1,eD. (),e +∞ 【答案】C【解析】解答： f ′(x )=()2ln x 1ln x -，令f ′(x )<0，解得：1<x <e ， 故f (x )在(1,e )递减， 故选：D.5．如图，在棱长为2的正方体1111A B C D A B C D -中， O 是底面A B C D 的中心， ,E F 分别是1,C C A D 的中点，那么异面直线O E 与1F D 所成角的余弦值等于（ ）A. 5B.5C.45 D. 23【答案】A【解析】试题分析：取B C 的中点G ，连接11//G C F D ，再取G C 的中点H ，连接,H E O H，则O E H ∠为异面直线所成的角，在O E H∆中，22O E H E O H ===c o s 5O E H ∠=，故选A ．【考点】异面直线所成的角的求解．6．已知函数()sin f x x x =-，若12,-22x x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且()()120f x f x +>，则下列不等式中正确的是（ ）A. 12x x >B. 12x x <C. 120x x +>D. 120x x +< 【答案】C【解析】()f x 为奇函数，所以()()110f x f x +-=；因为()()120f x f x +>，所以()()21fx fx >-，由()'1co s 0f x x =-≥可知函数()f x 单调递增，所以21x x >-，移项可得120x x +>7．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是（ ）A. 3B. 92C.32D. 2【答案】A【解析】试题分析：该几何体是四棱锥， ()11122332V x =⨯+⨯⨯=， 3x =．【考点】三视图，棱锥的体积．8．若对任意的0x >，恒有()ln 10x px p ≤->成立，则p 的取值范围是（ ） A. ()0,1 B. (]0,1 C. ()1,+∞ D. [)1,+∞ 【答案】D【解析】解答：因为对任意的x >0,恒有ln x ⩽px −1⇒p ⩾ln x 1x+恒成立，设f (x )=ln x 1x +只须求其最大值， 因为f ′(x )=2ln x x-,令f ′(x )=0⇒x =1，当0<x <1时,f ′(x )>0， 当x >1时,f ′(x )<0，故f (x )在x =1处取最大值且f (1)=1. 故p 的取值范围是[1,+∞). 故选D.9．甲、乙两人约定在下午4:305:00~间在某地相见，且他们在4:305:00~之间到达的时刻是等可能的，约好当其中一人先到后一定要等另一人20分钟，若另一人仍不到则可以离去，则这两人能相见的概率是（ ） A.34B.89C.716D.1112【答案】B【解析】因为两人谁也没有讲好确切的时间，故样本点由两个数(甲乙两人各自到达的时刻)组成。
以4:30点钟作为计算时间的起点建立如图所示的平面直角坐标系,设甲乙各在第x 分钟和第y 分钟到达,则样本空间为Ω:{(x ,y )|0⩽x ⩽30,0⩽y ⩽30}，画成图为一正方形。
会面的充要条件是|x −y |⩽20,即事件A ={可以会面}所对应的区域是图中的阴影线部分,∴由几何概型公式知所求概率为面积之比,即P (A )=900100900-=89；故选B.点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．10．如图在一个60︒的二面角的棱上有两个点A B 、，线段A C 、B D 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱A B ，且1,2A B A C B D ===，则C D 的长为( )A. 2B.C.D. 1【答案】A【解析】∵C D = C A + A B + B D ，∴2C D =2C A + A B +2B D +2C A ⋅A B +2C A ⋅BD +2A B ⋅B D ,∵C A ⊥A B ,B D ⊥A B ，∴C A ⋅A B =0, B D ⋅A B =0，C A ⋅BD =|C A ||B D |cos120∘=−12×1×2=−1.∴2C D =1+1+4−2×1=4， ∴|C D |=2， 故选：A.11．已知函数()32f x a x b x cx d =+++的图象如图所示，则12b a ++的取值范围是( )A. 21,52⎛⎫-⎪⎝⎭ B. 13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. 35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由图象可知：经过原点,∴f (0)=0=d ， ∴()32f x ax bx cx =++.由图象可得：函数f (x )在[−1,1]上单调递减,函数f (x )在x =−1处取得极大值。
∴f ′(x )=3ax 2+2bx +c ⩽0在[−1,1]上恒成立,且f ′(−1)=0. 得到3a −2b +c =0，即c =2b −3a ， ∵f ′(1)=3a +2b +c <0， ∴4b <0，即b <0， ∵f ′(2)=12a +4b +c >0， ∴3a +2b >0， 设k =b 12a ++,则k =()()b 12a ----，建立如图所示的坐标系,则点A (−1,−2)， 则k =b 12a ++式中变量a 、b 满足下列条件320{a b b +><，作出可行域如图：∴k 的最大值就是k AB =12,k 的最小值就是kCD ,而kCD 就是直线3a +2b =0的斜率,k CD =32-，∴32-<k <12.∴故选D.点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 12．已知曲线()21:0,0C y tx y t =>>在点4,2M t ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与曲线12:1x C y e+=-也 相切，则24lne t t的值为（ ）A. 24eB. 8eC. 8D. 2 【答案】C【解析】解答： 曲线C 1:y 2=tx (y >0,t >0),y⋅t ，x =4t,y ′=t 4,∴切线方程为y −2=t 4(x −4t)设切点为(m ,n ),则曲线C 2:y =e x +1−1,y ′=e x +1,e m +1=t 4,∴m =lnt 4−1,n =t 4−1，代入t 4−1−2=t 4(lnt 4−1−4t)，解得t =4，∴24lne t t=4ln e 2=8.故选D.点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点()00,P x y 及斜率，其求法为：设()00,P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为： ()()000'y y f x x x -=-．若曲线()y f x =在点()()00,P x f x 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．二、填空题13．12x d x =⎰_______.【答案】13【解析】11320133xx d x ==⎰,故答案为13.14．已知椭圆22122:1(0)x y C a b ab+=>>与双曲线222:4C x y-=有相同的右焦点2F ，点P 是椭圆1C 与双曲线2C 在第一象限的公共点，若22P F =，则椭圆1C 的离心率等于_______.2【解析】由题意，不妨设P 在第一象限，由双曲线222:4C x y -=的方程知|PF 1|−|PF 2|=4,c∵|PF 2|=2,∴|PF 1|=6， ∴2a =|PF 2|+|PF 2|=8， ∴a =4. ∵椭圆22122:1(0)x y C a b ab+=>>与双曲线222:4C x y-=有相同的右焦点2F ,c∴椭圆C 1的离心率为e =c a=2，故答案为：2.15．已知函数()()f x x R ∈的导函数为()f x '，满足()37f =， ()2f x '<，则()21fx x <+的解集为_______.【答案】()3,+∞【解析】解答： 设g (x )=f (x )−(2x +1)， 因为f (3)=7,f ′(x )<2，所以g (3)=f (3)−(2×3+1)=0，g ′(x )=f ′(x )−2<0，所以g (x )在R 上是减函数,且g (3)=0.所以f (x )<2x +1的解集即是g (x )<0=g (3)的解集。