含根式函数值域的求法
函数值域的13种求法
函数值域十三种求法1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1. 求函数x 1y =的值域解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用)例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域 解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵2x 0≤≤0)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +==∴代入方程（1）解得：]2,0[22222x 41∈-+=即当22222x 41-+=时，原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
巧用三角换元法解含根式的函数值域题
ö ø
≤
1
，
∴ f (x) = x +
1 - x2的值域 为 éêë
2 2
，1ùú û
.
解答形如 f (x) = kx + a - bx2 的函数值域问题，需首
先设 x =
a b
cos2
θ
,将原函数化为
y
=
k
a b
cos
θ
+
a sin θ
的形式，然后利用辅助角公式将三角函数式化简，再
根据三角函数的有界性来求得函数的值域.
sin
α2∙2
sin
β 2
+
2
cos
α2∙2
cos
β 2
= 2 cos （α2 - 2β） ≤ 2 ，
(x - z)(y - z) + (x + z)(y + z)
即
xy
≤2.
该函数式较为复杂，需首先将不等式进行变形，
然后令
z x
= cos α,
z y
= cos β
，通过三角换元，将问题转
化为三角函数最值问题，通过三角恒等变换将三角函
例 2.试求 f (x) = x - 4 + 15 - 3x 的值域.
解：设 x = 4 + cos2θ(0 ≤ θ ≤ π) ，
∴原函数为 y = 4 + cos2θ - 4 + 15 - 3(4 + cos2θ)
=
cos2θ +
3 sin2θ = cos θ +
3 sin
θ
=
2
sinæè
θ
+
几类根式函数的值域(或最值)求法
— 二＝ —— ＿ ＝＝＝ 的函数的值域 均可用分子 ） （ 或分母 ） 有理化化简后再 结合函数单调性求
得．
＿ ） ＝２为常数 ， 『 可考 虑用分 子有理 化
达 到 目的．
Ｙ ＝ ｘ七１ 一 ２
一
二 、 元 法 换
ｘ一 １
例 ２ 求下列函数的值域 ： （ ） ＋１一 ／ １，＝ ｘ一１ ；
到 目的 ；
、
分子 、 母 有 理 化 法 分
例 １ 求函数ｙ＝
一 ＿＿的值 战 Ｉ ＿
③ 求形如 Ｙ＝
／ ｘ＋ａ 一 ／ ｘ＋ｂ
＋ｎ一
＋ｂ 或 Ｙ＝ （
分析 直接求解 比较困难 ， 用导数法 求
解 又 比 较 麻 烦． 注 意 到 （ ＋１ 一 ）
高中数学教 与学
２１ ０１置
几类稂式函数硇值域 （ 或最值 ） 求法
王 亚
（ 湖北 省孝感 高级 中学 ， ２０ ） ４ １０ ３
函数的值域 （ 或最值 ）是高考 常考题型 ， 在最 近几年高考试题 中经常 涉及到求 根式 函 数的值域 （ 或最值 ）问题． 本文就 考试 中常 出
４Ｒ ・
一
解 为 圆 程 化 詈＋ １ 因 椭 方 可 为 等＝，
所 以可设椭 圆上任一点 Ｍ的坐标为 （ ｏ ， √ ｃｓ ｓ ） 其中 ∈ ［ ，￣） 代人直线 方程 ， ｉ ｎ妒 ， ０２ｒ ．
．
１≤ｓ （ ＋ ≤ １ ｉ ） ｎ 即可 ， 即
＋４ ｏ ｃｓ０≥
２ 从而推出 ｃｓ０≥ ｉ ． ， ｏ １ 答案为 Ｃ ．
Ｈ Ⅱ ／ ２＋４ ｏ。 ｓ （ ＋ ｃ ｓ ｉ ）＝２ Ｏｎ ，
（ ０ 寻或 ｐ ｃ ≤ ≤ ≤ ≤ ）
高中数学：求函数值域的方法十三种(二)
高中数学：求函数值域的方法十三种（二）五、判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =；通过方程有实数根，判别式0∆≥，从而求得原函数的值域，形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++（1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。
（解析式中含有分式和根式。
）【例1】求函数2211x x y x ++=+的值域。
【解析】原函数化为关于x 的一元二次方程,由于x 取一切实数，故有（1）当时，解得：（2）当y=1时，，而故函数的值域为【例2】求函数y x =+的值域。
【解析】两边平方整理得：（1）∵∴解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
解法二：2(2)1(x 1)y x x x x =+-=+--]2,2[sin 1ππθθ-∈=-x )4sin(21cos sin 1πθθθ++=++=y 4344ππθπ≤+≤-14sin(22≤+≤-πθ原函数的值域为：【例3】已知函数222()1x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。
【解析】2221x ax by x ++=+22(2)04(y 2)(y b)0y x ax y b a ⇒--+-=⇒∆=---≥2244(2b)y 8b a 0y -++-≤。
由于222()1x ax bf x x ++=+的值域为[1，3]，故上式不等式的解集为{y|1≤y≤3}1221221328234y y b a b ab y y +=+=+⎧=±⎧⎪⇒⇒⎨⎨-===⎩⎪⎩【例4】求函数2212+++=x x x y 的值域。
破解根式函数的三大值域问题
２
ａｒ ｃ ｔ ａ ｎ—
Ｄ 、 ／ｄ 因为一 ＜ ＜ ， 所 以 可得 一 ＋
２ ２
综 上 所述 ．所 求 函数 的值 域 为
解 答 ｓ ｉ ｎ ｔ ／ 一 号 ≤ ｔ ≤ 詈 ） ，
即口 、 ／ ＝
ａ ２ ｄ — ｂ ｃ
— — — —
佩 ＝ 俘 ＿ ｃ ｏ ｓ ・
ｓ ｉ ｎ ＝
俘
一
≥ ０ ， 黼
ｂ ｃ ＋ ａ ｄ 于是ｙ ： 、 ／ ｍ ＋ 、 ／ 了 ．
，
— ａ — ＋ — — ｃ — — ） — 。 ａｃ （
由线性规划 （ 如 图 １） 可得ｙ 一：
可知 当￡ ＋ ＝ 时， 函数 有 最 大
值ｙ 一＝
ｊ ｝ ６ Ｉ ｃ ｏ ｓ ｔ Ｉ ＝ ａ ｋ ｓ ｉ ｎ ｔ ＋ ｋ ｂ ｃ ｏ ｓ ｔ ＝ ｋ Ｘ ／ ａ Ｙ ￣ ．
＝
ｓ ｉ ｎ （ ｔ ＋ ￣ ｖ ） ．
解答１ （ 三角换元法 ） 令佰
ｃ ｏ ｓ ０￣ ＞ ０， ＝ ｓ ｉ ｎ ≥ ０，
时， 函数 取得 最 小值 ，
法二 （ 三角换 元法 ） ： 由 已知 得
解 答 法一 （ 求导法 ） ： 由 已知
得 ｛ 似 ＋ ６ ≥ ０ ， 所 以 原 函 数 的 定 义 域 【 － ｃ ｘ＋ ｄ≥ ０．
为
（ 俘 ） ＋ （
＼ Ｉ ／ 一 一 ｂ ｃ ∞ ＋ ａ ｄ ’
一
∈
、 ／５］ ．
点评
．
换 元 法 是 实现 转化 问 题
解 答
一
的 重要 手段 ，常 用 的 换 元 方 法 有 代
函数求值域15种方法
函数求值域15种方法在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。
研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。
确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。
对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。
本文就函数值域求法归纳如下，供参考。
基本知识1.定义：因变量y的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。
2.函数值域常见的求解思路：⑴划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。
⑵反解函数，将自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y的不等式，解不等式即可获解。
⑶可以从方程的角度理解函数的值域，从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x的方程y=f(x)在定义域内有解的y得取值范围。
特别地，若函数可看成关于x的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。
⑷可以用函数的单调性求值域。
⑸其他。
1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域例1. 求函数的值域。
解：∵∴显然函数的值域是：2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例2. 求函数的值域。
解：将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1时，，当x=-1时，故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法例3. 求函数的值域。
解：两边平方整理得：（1）∵∴解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵∴∴代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
函数专题：函数值域的6种常用求法-【题型分类归纳】
函数专题：函数值域的6种常用求法一、函数的最大（小）值1、最大值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作y max＝f(x0)．2、最小值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作y min＝f(x0)．3、几何意义：函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个．二、求函数值域的6种常用求法1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．（1）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则y max＝f(b)，y min＝f(a)．（2）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则y max＝f(a)，y min＝f(b)．（3）若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．2、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合．（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域．（2）()f x的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下(或靠上)的部分为该()f x函数的图象，从而利用图象求得函数的值域．3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x 的部分表达式视为一个整体，并用新元t 代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围． （2）换元的作用有两个：①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的．②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理 5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，形如+=+ax b y cx d或2++=+ax bx e y cx d （a ，c 至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法以+=+ax by cx d为例，解题步骤如下： 第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成=++a ey c cx d的形式， 第二步，求出函数=+e y cx d 在定义域范围内的值域，进而求出+=+ax by cx d的值域。
函数值域的求法典例精讲
函数值域的求法典例精讲1、换元法：例1：函数()2f x x =-的值域是（）A.[)0,+∞ B.17,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.15,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭思路：解析式中只含一个根式，所以可将其视为一个整体换元，从而将解析式转为二次函数，求得值域即可。
解：()f x 的定义域为[)1,+∞令t =0t ∴≥，则21x t =+()2211521248y t t t ⎛⎫∴=+-=-+⎪⎝⎭[)0,t ∈+∞ ()f x ∴的值域为15,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭例2（1）函数113x y -=的值域为（）A.()0,+∞ B.()()0,11,+∞ C.{}|1x x ≠ D.()1,+∞（2）函数()[]1428,2,2xx f x x +=--∈-的值域为__________（3）函数1ln 1x x e y e +=-的值域为__________思路：（1）本题可视为()3f x y =的形式，所以可将指数进行换元，从而转化为指数函数值域问题：令11t x =-，则()(),00,t ∈-∞+∞ ，所以可得()()30,11,ty =∈+∞ （2）如前文所说，()()214282228xx x x f x +=--=-⋅-，将2x视为一个整体令2x t =，则可将其转化为二次函数求得值域解：()()214282228xx xx f x +=--=-⋅-令2xt =[]2,2x ∈- 1,44t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦()222819y t t t =--=--()f x ∴的值域为[]9,0-（3）所求函数为()ln f x ⎡⎤⎣⎦的形式，所以求得11x x e e +-的范围，再取对数即可。
对11x x e e +-进行变形可得：12111x x xe e e +=+--，从而将1x e -视为一个整体，即可转为反比例函数，从而求得范围解：定义域：()100,xe x ->⇒∈+∞12111x x xe e e +=+-- 令1xt e =-()0,t ∴∈+∞()211,t ∴+∈+∞()1ln 0,1x x e y e +∴=∈+∞-答案：（1）B（2）[]9,0-（3）()0,+∞例3：已知函数()[]23log ,1,4f x x x =+∈，则()()()22g x f x f x =-⎡⎤⎣⎦的值域为（）A.[]18,2-- B.[]11,6-- C.[]18,6- D.[]11,2--思路：依题意可知()()()22222223log 3log log 4log 6g x x x x x =+-+=---，所以可将2log x 视为一个整体换元，从而将问题转化为求二次函数值域，但本题要注意的是()g x 的定义域，由已知()f x 的定义域为[]1,4，则()()()22g x f xf x =-⎡⎤⎣⎦的定义域为：21414x x ⎧≤≤⎨≤≤⎩，解得：[]1,2x ∈，而不是[]1,4解：()()22223log 3log g x x x =+-+()222232log log 6log 9x x x ⎡⎤=+-++⎣⎦()222log 4log 6x x =---()f x 的定义域为[]1,4，且()()()22g x f x f x =-⎡⎤⎣⎦21414x x ⎧≤≤∴⎨≤≤⎩，解得：[]1,2x ∈令2log t x =，则[]0,1t ∈()224622y t t t ∴=---=-+-[]11,6y ∴∈--，即()g x 的值域为[]11,6--答案：B 2、数形结合例4：（1）设函数()y f x =定义域为R ，对给定正数M ，定义函数()()()(),,M f x f x M f x M f x M≤⎧⎪=⎨>⎪⎩则称函数()M f x 为()f x 的“孪生函数”，若给定函数()22,20,121,0x x x f x M x ⎧--≤≤⎪==⎨->⎪⎩，则()M y f x =的值域为（）A.[]2,1- B.[]1,2- C.(],2-∞ D.(],1-∞-（2）定义{}min ,,a b c 为,,a b c 中的最小值，设(){}2min 23,1,53f x x x x =++-，则()f x 的最大值是__________思路：（1）根据“孪生函数”定义不难发现其图像特点，即以y M =为分界线，()f x 图像在y M =下方的图像不变，在M 上方的图像则变为y M =，通过作图即可得到()M f x 的值域为[]2,1-（2）本题若利用{}min ,,a b c 的定义将()f x 转为分段函数，则需要对三个式子两两比较，比较繁琐，故考虑进行数形结合，将三个解析式的图像作在同一坐标系下，则()f x为三段函数图像中靠下的部分，从而通过数形结合可得()f x 的最大值点为21y x =+与53y x =-在第一象限的交点，即211253x y x y y x=⎧=+⎧⇒⎨⎨==-⎩⎩，所以()max 2f x =答案：（1）A（2）2例5：已知函数()()()()222222,228f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+，设()()(){}()()(){}12max ,,min ,H x f x g x H x f x g x ==，（其中{}max ,p q 表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值）记()1H x 的值域为A ，()2H x 的值域为B ，则A B = ______________思路：由()()12,H x H x 的定义可想到其图像特点，即若将()(),f x g x 的图像作在同一坐标系中，那么()1H x 为()(),f x g x 图像中位于上方的部分，而()2H x 为()(),f x g x 图像中位于下方的部分。
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含根式函数值域的几何求法
函数值域和最大值、最小值问题是高中数学中重要的问题，其求解的方法很多，常见的解法有：观察法、配方法、均值不等式法、反函数法、换元法、判别式法、单调函数法、图解法等。
其中，利用数形结合来求函数的值域，尤其是含根式函数的值域，具有其独特的效果，它能够把满足题意的几何图形画出来，生动形象的直观图，提示和启发我们的解题思路，有时，图形式直接提供了我们寻求的答案，因此，几何法既可以使题意更加明确，又可以使运算得到简化。
例1 求函数312+-+=x x y 的最小值.
解：由03≥+x 得：3-≥x .
令⎩⎨⎧≥+=-≥+=)
0(3)5(12v x v u x u ，消去x 得：)0,5()5(212≥-≥+=v u u v 则点()v u ,在)5(2
12+=
u v 的抛物线段上，又在直线y u v -=上，如图1，易知，当直线与抛物线相切时，－y 取最大值，取y 最小值。
联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+=y
u v u v )5(212， 消去u 整理得： 0522=---y v v ，由△=0，
即：0)5(24)1(2=--⨯⨯--y
解得：=y 841-. ∴ 原函数的最小值为8
41-
. 评注：本题可以利用代数换元法，将含根式函数的值域问题转化为二次型函数在某区间上的值域问题，其解题过程中运算量并不大，而且不难接受理解。
因此，本题利用构造直线与抛物线进行求解，并没有真正体现出几何解法的优越性。
例2 求函数131-++-=x x y 的值域.
分析：本题不能用换元法进行求解，因此，我们也来尝试利用几何解法。
解：由⎩
⎨⎧≥+≥-0301x x 解得：13≤≤-x . 令⎩⎨⎧≤≤+=≤≤-=)20(3)20(1v x v u x u ，消去x 得：)20,20(422≤≤≤≤=+v u v u
则点()v u ,在422=+v u 的园弧上，又在直线1++-=y u v 上，
图2
图1
图4 u 如图2，显然OB y OA ≤+≤1 又 ∵ 22,2==OB OA ∴ 1221-≤≤y 即为原函数所求的值域。
例3 求函数106422+-++=x x x y 的最小值.
分析：当我们把106422+-++=x x x y 化为：
y 2222)10()3()20()0(-+-+-+-=x x 时，容易联想到两点间距离。
解：
106422+-++=x x x y 2222)10()3()20()0(-+-+-+-=x x
设P （x , 0），A （0, 2），B （3, 1），则问题转化
为在x 轴上找一点P ，使得P 到A 、B 两点的
距离之和最小。
如图3，易求得点A 关于x 轴
的对称点A / 的坐标为（0, －2），则：
B A BP P A BP AP //=+=+即为最小.
∴ 32)12()30(22/min =--+-==B A y .
评注：本题可用判别式法以及构造复数由模的重 要不等式进行求解，但是判别式法计算量很大，不易
求解，而复数法实质上就是上述解法的另一种形式，可见，利用数形结合求解含根式函数的值域，不但简化了解题过程，而且在思维上提高了认识，对培养学生的创造力具有重要的意义。
例4 求函数2214401016x x x x y -+--+=的值域.
解：由2214401016x x x x y -+--+=得：
)
2(]5)2[(9)5(9222--------=x x x x y . 我们可以看到上式的右边表示过函数2)5(9--=x u 上自变量x 相差2的任意两点的直线的斜率，如图4，
∴ AB CD k y k ≤≤2
∵ B ，C 两点的坐标分别为()()
22,6,22,4
∴ 2,2=-=AB CD k k
图3
∴ 222≤≤-y 即：2222≤≤-y . ∴ 原函数的值域为[]22,22-. 例5 求函数113632424+--+--=x x x x x y 的最大值.
解：由已知函数得：222222)0()1()3()2(-+---+-=x x x x y
上式可看作抛物线2v u =上的点P 到点A （3，2），B （0，1）距离之差的最大值，如图5.
由AB PB PA ≤-可知：当点P 在AB
的延长线上的P / 处时，y 取最大值AB .
∴ 10)12()03(22max =-+-=y .
例6 求函数7)2(4222+---=x x y 的值域. 解：令⎩⎨⎧≤≤--=≤≤=)20()2(4)40(2v x v u x u ，
消去x 整理得：4)2(22=+-v u ，
则2222)2(2722)2(2722-++-⋅
-+=+-=v u v u y ， 其中22)2(27
22-++-v u 是半园A ：4)2(22=+-v u （20≤≤v ）上点到直线l ：0722=+-v u 的
距离，如图6，从圆心A 作AC ⊥l 于C 交半园A 于E ，BD ⊥l 于D ，则BD v u CE ≤-++-≤22)2(27
22
∵ 22211
2-=
-=AC CE ， 2215
=BD ∴ BD y CE ⋅-+≤≤⋅-+2222)2(2)2(2
∴ 152411≤≤-y 即为所求函数的值域.
图5
图6
例7 求函数2212+-=x x y 的最大值. 分析：把原函数化为)2(0212----=x x y 时，我们就容易联想到两点的斜率公式。
解：由⎩⎨⎧≠+≥-0
20212x x 解得：2222≤≤-x . .
令⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤-=≤≤-=)10(21)2222(2v x v u x u ，
消去x 整理得：1222=+v u ，
则2212+-=x x y )
2(0212----=x x . 其中)
2(0212----x x 可看作是椭圆弧1222=+v u )2222(≤≤-u 上点P 与点Q （－2，0）连线的斜率k ，如图7易知：当直线过点Q 且与椭圆弧相切时，其斜率取最大值。
联立方程组⎩
⎨⎧+==+)2(1222u k v v u ，消去v 化简整理得： 0144)2(2222=-+++k u k u k ，
由△=0，即：
0)14()2(4)4(2222=-⨯+⨯-k k k
解得：=k 714或=k －7
14（舍去）. ∴ 原函数的最大值为
714.
图7。