点线面位置关系例题与练习含答案
高一数学点线面的位置关系试题
高一数学点线面的位置关系试题1.在长方体中，，过，，三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，这个几何体的体积为。
（1）证明：直线∥平面;（2）求棱的长;（3）在线段上是否存在点，使直线与垂直，如果存在，求线段的长，如果不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）4 （3）【解析】（1）根据长方体的性质推断出平面平面平面．进而根据线面平行的判定定理推断出∥平面．设，进而根据几何体的体积关系求得棱柱的体积，进而利用体积公式求得．（3）在平面中作交于，过作交于点，根据线面垂直的性质推断出，进而根据，推断出，利用线面垂直的性质证明出．通过∽.利用比例关系求得，最后利用平方关系求得．试题解析：（1）∵是长方体，∴平面平面．∵平面，平面，∴平面．（2）解：设，∵几何体的体积为，∴，即，即，解得．∴的长为4．（3）在平面中作交于，过作交于点，则．因为，而，又，且．∽.为直角梯形，且高.【考点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算．2.在正方体ABCD—A1B1C1D1各个表面的对角线中，与直线异面的有__________条【答案】.【解析】如图可知：与直线异面的面对角线总共有，.，，，，，∴总共有条【考点】空间中直线与直线的位置关系.3.教室内有一把直尺，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线 ()．A．平行B．异面C．垂直D．相交但不垂直【答案】C【解析】由题意，直尺所在直线若与地面垂直，则在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线垂直；若直尺所在直线若与地面不垂直，则其必在地面上有一条投影线，在平面中一定存在与此投影线垂直的直线，由三垂线定理知，与投影垂直的直线一定与此斜线垂直；综上，教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线垂直，故选B．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．4.以下四个命题中，正确的有几个（）①直线a，b与平面a所成角相等，则a∥b；②两直线a∥b，直线a∥平面a，则必有b∥平面a；③一直线与平面的一斜线在平面a内的射影垂直，则该直线必与斜线垂直；④两点A，B与平面a的距离相等，则直线AB∥平面aA0个 B1个 C2个 D3个【答案】A【解析】本题考查点线面位置关系①直线a，b与平面a所成角相等，则a∥b或相交或异面三种情况②两直线a∥b，直线a∥平面a，则b∥平面a或；③不正确,必须是平面内的一条直线与平面的一斜线在平面a内的射影垂直，则该直线必与斜线垂直；④两点A，B与平面a的距离相等，则直线AB∥平面a或AB与相交.【考点】点线面位置关系5.已知不同直线、和不同平面、，给出下列命题：①②③异面④其中错误的命题有（）个A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】①，正确；②，当时不成立，故②错误；③异面，，故③错误；④，有可能，故④错误【考点】直线与平面（平行）垂直的判定和性质定理，平面与平面（平行）垂直的判定和性质定理6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．（1）求证：EF∥平面CB1D1；（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）通过借助中间量——直线，易得，，可得直线，从而证得平面；（2）通过证明平面，即可征得平面平面．试题解析：（1）连结．在长方体中，对角线，又∵、为棱、的中点，∴，∴．又∵平面，平面，∴平面．（2）在长方体中，平面，而平面，∴．又在正方形中，，∴平面．又∵平面，∴平面平面．【考点】1.直线与平面平行的证明；2.面面垂直的证明．7.正方体-中，与平面ABCD所成角的余弦值为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为平面所以与平面所成角为求线面角关键找垂线，找出垂线就能在直角三角形中研究线面角大小.另外需熟悉正方体中面对角线与体对角线量的关系.【考点】直线与平面所成角.8.下列命题中正确的个数是()①若直线a不在α内，则a∥α；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；④若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；⑤平行于同一平面的两直线可以相交．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】①若直线a不在α内，则a∥α或a与α相交，故此命题错误；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α或a与α相交，故此命题错误；③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线平行或异面，故此命题错误；④若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点，正确；⑤平行于同一平面的两直线可以相交，正确．故选B【考点】本题考查了空间中的线面关系点评：熟练运用线面平行的概念、判定及性质是解决此类问题的关键，属基础题9.如图，若是长方体被平面截去几何体后得到的几何体，其中E为线段上异于的点，F为线段上异于的点，且∥，则下列结论中不正确的是（）A．∥B．四边形是矩形C．是棱台D．是棱柱【答案】C【解析】因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，所以EH∥B1C1，又EH⊄平面BCC1B1，平面EFGH∩平面BCC1B1=FG，所以EH∥平面BCB1C1，又EH⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面BCB1C1=FG，所以EH∥FG，故EH∥FG∥B1C1，所以选项A、D正确；因为A1D1⊥平面ABB1A1，EH∥A1D1，所以EH⊥平面ABB1A1，又EF⊂平面ABB1A1，故EH⊥EF，所以选项B也正确，故选C．【考点】长方体的几何特征，直线与平面平行、垂直的判定与性质。
点线面之间的位置关系练习题
点线面之间的位置关系练习题(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--点、线、面之间的位置关系及线面平行应用练习1、 平面L =⋂βα，点βαα∈∈∈C B A ,,，且L C ∈，又R L AB =⋂，过A 、B 、C 三点确定的平面记作γ，则γβ⋂是（ ）A ．直线ACB ．直线BC C ．直线CRD ．以上都不对2、空间不共线的四点，可以确定平面的个数是（ ）A ．0B ．1C ．1或4D ．无法确定3、在三角形、四边形、梯形和圆中，一定是平面图形的有 个4、正方体1111D C B A ABCD -中，P 、Q 分别为11,CC AA 的中点，则四边形PBQ D 1是（ ）A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．空间四边形5、在空间四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，若AC=BD ，且BD AC ⊥，则四边形EFGH 为6、下列命题正确的是（ ）A ． 若βα⊂⊂b a ,，则直线b a ,为异面直线B ． 若βα⊄⊂b a ,，则直线b a ,为异面直线C ．若∅=⋂b a ，则直线b a ,为异面直线D ． 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线7、在空间中：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线，以上两个命题中为真命题的是8、过直线L 外两点作与直线L 平行的平面，可以作（ ）A ．1个B ．1个或无数个C ．0个或无数个D ．0个、1个或无数个 9、b a //，且a 与平面α相交，那么直线b 与平面α的位置关系是（ ）A ．必相交B ．有可能平行C ．相交或平行D ．相交或在平面内10、直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的（ ）A ．一条直线不相交B ．两条直线不相交C ．任意一条直线不相交D ．无数条直线不相交11、如果两直线b a //，且//a 平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ）A ．相交B ．α//bC ．α⊂bD ．α//b 或α⊂b12、已知直线a 与直线b 垂直，a 平行于平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ）A ．α//bB ．α⊂bC ．b 与平面α相交D ．以上都有可能13、若直线a 与直线b 是异面直线，且//a 平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ）A ．α//bB ．b 与平面α相交C ．α⊂bD ．不能确定14、已知//a 平面α，直线α⊂b ，则直线a 与直线b 的关系是（ ）A ．相交B ．平行C ．异面D ．平行或异面15、平面⋂α平面a =β，平面⋂β平面b =γ，平面⋂γ平面c =α，若b a //，则c 与b a ,的位置关系是（ ）A ．c 与b a ,异面B ．c 与b a ,相交C ．c 至少与b a ,中的一条相交D ．c 与b a ,都平行16、b a ,是异面直线，则过a 且与b 平行的平面有____个17、正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a ，求异面直线1BD 和11C B 所成的角的余弦值18、已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM //面EFG19、在正方体1111D C B A ABCD -中，E 为1DD 的中点，求证：1BD ∥面AEC20、在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为BC 、11D C 的中点，求证：EF//平面11B BDD21、已知在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是11,CC AA 的中点，求证：平面//BDF 平面E D B 1122、过正方体1111D C B A ABCD -的棱1BB 作一平面交平面11C CDD 于1EE ，求证：1BB //1EE23、如图，四边形ABCD是矩形，P面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP于F，求证：四边形BCFE点、线、面之间的位置关系及线面平行应用练习答案1、C2、C3、34、B5、正方形6、D7、①8、D （提示：当α⊂L 时，就为0个） 9、A 10、C 11、D 12、D 13、D 14、D 15、D 16、1 17、33 18、提示：连结MD 交GF 于H ，则点H 为MD 的中点19、提示：连接BD 交AC 于点O ，连接EO ，则EO//1BD ，又⊂EO 面AEC ， 故1BD //面AEC20、提示：取11D B 的中点为1O ，连接11,BO FO ，则BE FO //1且BE FO =1，则 四边形1BEFB 是平行四边形，故EF BO //121、提示：11//D B BD ，取1BB 的中点H ，连接EH ，H C 1，有EH D C EH D C =1111,// 所以四边形11D EHC 是平行四边形，所以E D H C 11//，又BF H C //1， 所以BF E D //122、分析：因为1BB //⊄11,BB CC 面11C CDD ，所以1BB //面11C CDD23、分析：因为AD BC //，所以BC//面ADP ，所以BC//EF ，所以EF//AD ，但EF 的长度小于AD 的长度，而AD BC =，所以EF 的长度小于BC 的长度。
07点线面的位置关系
第七讲 立体几何—点线面的位置关系【知识要点归纳】1. 平面图形知识总结2. 立体图形总结3. 总结线线的位置关系4. 总结线面的位置关系5. 总结面面的位置关系【经典例题】例1：（07广东高考）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）例2：请根据三视图，还原图形，并求体积 （1）（09山东高考改）侧(左)视图俯视图（2）（07山东高考改）（3）（07宁夏高考改）例3：某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a + b 的最大值为（ ）A. 22B. 32C. 4D. 52例4：在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，哪些棱与AA 1平行？异面？垂直？例5：在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的中，哪些面与AB 平行？垂直？正视图侧视图俯视图例6：判断下列说法是否正确？（1）若,m n α⊥∥β，αβ⊥，则m n ⊥（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行 （3）垂直于同一直线的两条直线相互平行 （4）若αα//,//,n n m m 则⊂（5）如果m n m ,,αα⊄⊂、α//,n n 那么是异面直线 （6）若平面α内有不共线三点到平面β的距离相等，则βα// （7）若βαγβγα//,,则⊥⊥（8）若m 、n 与α所成的角相等，则n ∥m例7：已知一个平面α，那么对于空间内的任意一条直线a ，在平面α内一定存在一条直线b ，使得a 与b （ ）A. 平行B. 相交C. 异面D. 垂直【课堂练习】1.将装有水的长方体的水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽的水形成的几何体是（ ） A.棱柱 B.棱台 C.棱柱与棱锥组合体 D.不能确定2.若P 是两条异面直线,l m 外的任意一点，则（ ） A ．过点P 有且仅有一条直线与,l m 都平行 B ．过点P 有且仅有一条直线与,l m 都垂直C ．过点P 有且仅有一条直线与,l m 都相交D ．过点P 有且仅有一条直线与,l m 都异面3.（09浙江理）若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 3cm ．4.（09宁夏海南理）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c 2m ）为（ ）A ．B ．C ．D ．5.长方体1111ABCD A B C D −中，5,3,41===BB BC AB ，一只蚂蚁从点A 出发沿表面爬行到点1C ，求蚂蚁爬行的最短路线的长.答案：1.A 2.B 3.18 4. 5. 74。
点线面位置关系典型例题
点线面位置关系典型例题一，直线与平面平行的判定与性质典型例题一例1简述下列问题的结论，并画图说明：（1）直线a平面，直线b a A,则b和的位置关系如何?（2）直线a，直线b//a，则直线b和的位置关系如何？分析：（1）由图（1）可知：b 或b A；说明：此题是考查直线与平面位置关系的例题，要注意各种位置关系的画法与表示方法. 典型例题二例2 P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点，求证：PC//平面BDQ .分析：要证明平面外的一条直线和该平面平行，只要在该平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了.证明：如图所示，连结AC ,交BD于点0 ,•.•四边形ABCD是平行四边形AO CO，连结0Q，则0Q在平面BDQ0Q是APC的中位线，PC // 0Q•/ PC在平面BDQ外,... PC//平面BDQ .说明：应用线面平行的判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，怎样找这一直线呢？由于两条直线首先要保证共面，因此常常设法过已知直线作一平面与已知平面相交，如果能证明已知直线和交线平行，那么就能够马上得到结论•这一个证明线面平行的步骤可以总结为：过直线作平面，得交线，若线线平行，则线面平行.典型例题三例3经过两条异面直线a, b之外的一点P，可以作几个平面都与a, b平行？并证明你的结论.分析：可考虑P点的不同位置分两种情况讨论.解：（1）当P点所在位置使得a, P （或b, P ）本身确定的平面平行于b （或a）时，过P 点再作不出与a, b都平行的平面；（2）当P点所在位置a, P （或b , P ）本身确定的平面与b （或a）不平行时，可过点P 作alia , b //b •由于a, b异面，则a , b不重合且相交于P •由于a b P, a , b 确定的平面，则由线面平行判定定理知：a//, b//•可作一个平面都与a, b平行.故应作“ 0个或1个”平面.说明：本题解答容易忽视对P点的不同位置的讨论，漏掉第（1）种情况而得出可作一个平面的错误结论•可见，考虑问题必须全面，应区别不同情形分别进行分类讨论.典型例题四例4平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另已知：直线a//b , a//平面，b求证：b// •证明：如图所示，过a及平面内一点A作平面••/ a//a//c又all b ,:.b//c .• b , c , ：.b// .说明：根据判定定理，只要在内找一条直线c//b ，根据条件a// ，为了利用直线和平面平行的性质定理，可以过 a 作平面 与 相交，我们常把平面 称为辅助平面，它可以起到桥梁作用，把空间问题向平面问题转化.和平面几何中添置辅助线一样，在构造辅助平面时，首先要确认这个平面是存在的，例如， 本例中就是以“直线及直线外一点确定一个平面”为依据来做出辅助平面的.典型例题五例5已知四面体S ABC 的所有棱长均为a •求:(1)异面直线SC 、AB 的公垂线段EF 及EF 的长; (2)异面直线EF 和SA 所成的角.分析：依异面直线的公垂线的概念求作异面直线SC 、AB的公垂线段，进而求出其距离；对于异面直线所成的角可 采取平移构造法求解.解: (1)如图，分别取 sc 、AB 的中点E 、F ,连结SF 、CF .•: SF CF , E 是SC 的中点,：.EF SC 同理可证EF AB：.EF 是SC 、AB 的公垂线段.由已知，得SAB B CABE占GEF 45 .故异面直线EF 和SA 所成的角为45 说明：对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决，同时要将转化过程简要地写出来, 然后再求值.典型例题六例6如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内的一点且与这条直线平行的直线必在 这个平面内. 已知：直线 a// , B , B b , b//a .求证：b .分析：由于过点 B 与a 平行的直线是惟一存在的，因此，本题就是要证明，在平面 夕卜，不 存在过B 与a 平行的直线，这是否定性命题，所以使用反证法.SF在Rt SEF 中，SE.• EF SF 2 SE 23 2 1 2 _a - a4 4(2)取AC 的中点G ,连结EG ,则EG//SA ..EF 和GE 所成的锐角或直角就是异面直线EF 和SA 所成的角.1 EG -a GF 连结FG ,在Rt EFG 中，2 ,由余弦定理，得1aEFcos GEFEG 2 EF 2 GF 2 2 EG EF证明：如图所示，设b ，过直线a和点B作平面，且•/ all b //这样过B点就有两条直线b和b'同时平行于直线a,与平行公理矛盾.••• b必在内.说明：(1)本例的结论可以直接作为证明问题的依据.(2)本例还可以用同一法来证明，只要改变一下叙述方式.I如上图，过直线a及点B作平面，设b.•.• a//, • b'〃.这样，b'与b都是过B点平行于a的直线，根据平行公理，这样的直线只有一条,• b 与b'重合.••• b' ,.•• b典型例题七例7下列命题正确的个数是( ).(1)若直线I上有无数个点不在平面内，则I 〃；(2)若直线1平行于平面内的无数条直线，则1〃；(3)若直线I与平面平行，则I与平面内的任一直线平行；⑷若直线1在平面夕卜，则1〃 .A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个分析：本题考查的是空间直线与平面的位置关系•对三种位置关系定义的准确理解是解本题的关键•要注意直线和平面的位置关系除了按照直线和平面公共点的个数来分类，还可以按照直线是否在平面内来分类.解：(1)直线1上有无数个点不在平面内，并没有说明是所在点都不在平面内，因而直线可能与平面平行亦有可能与直线相交.解题时要注意“无数”并非“所有”.⑵直线I虽与内无数条直线平行，但 I 有可能在平面 内，所以直线I 不一定平行 平面平行的性质时常见错误，借助教具我们很容易看到•当 在平面 内，除了与 m 平行的直线以外的每一条直线与 I 都是异面直线.（4）直线I 在平面 外，应包括两种情况：I 〃 和I 与 相交，所以I 与 不一定平行. 故选A .说明：如果题中判断两条直线与一平面之间的位置关系，解题时更要注意分类要完整，考虑要全面•如直线I 、m 都平行于 ，则I 与m 的位置关系可能平行，可能相交也有可能异面； 再如直线I //m 、I// ，则m 与 的位置关系可能是平行，可能是 m 在 内. 典型例题八例8如图，求证：两条平行线中的一条和已知平面相交，则另一条也与该平面相交. 已知：直线a//b ,a平面 P .求证：直线b 与平面 相交.分析：利用a//b 转化为平面问题来解决，由 a//b 可确定一辅助平面，这样可以把题中相关元素集中使用，既创造了新的线面关系，又将三维降至二维，使得平几知识能够运用. 解：a//b••• a 和b 可确定平面…a P• ?•平面 和平面相交于过点P 的直线I .•在平面 内I 与两条平行直线a 、b 中一条直线a 相交， • I 必定与直线b 也相交，不妨设b I Q ,又因为b 不在平面 内（若b 在平面 内，则 和 都过相交直线b 和I ，因此 与 重合，a 在 内，和已知矛盾） 所以直线b 和平面相交.说明：证明直线和平面相交的常用方法有：证明直线和平面只有一个公共点；否定直线在平 面内以及直线和平面平行；用此结论：一条直线如果经过平面内一点，又经过平面外一点， 则此直线必与平面相交（此结论可用反证法证明）典型例题九 例9如图，求证：经过两条异面直线中的一条，有且仅有一个平面与另一条直线平行. 已知：a 与b 是异面直线•求证：过 b 且与a 平行的平面有且只有一个.（3）这是初学直线与 I// 时，若m 且m//l ，则分析：本题考查存在性与唯一性命题的证明方法•解题时要理解“有且只有”的含义. “有”就是要证明过直线b存在一个平面，且a〃, “只有”就是要证满足这样条件的平面是唯一的.存在性常用构造法找出（或作出）平面，唯一性常借助于反证法或其它唯一性的结论.证明：（1）在直线b上任取一点A，由点A和直线a可确定平面在平面内过点A作直线a'，使a'//a，则a'和b为两相交直线，I所以过a和b可确定一平面.••• b, a与b为异面直线，a .I I又a//a , a ,.a// .故经过b存在一个平面与a平行.（2）如果平面也是经过b且与a平行的另一个平面，由上面的推导过程可知也是经过相交直线b和a'的.由经过两相交直线有且仅有一个平面的性质可知，平面与重合，即满足条件的平面是唯一的.说明：对于两异面直线a和b，过b存在一平面且与a平行，同样过a也存在一平面且与b平行•而且这两个平面也是平行的（以后可证）•对于异面直线a和b的距离，也可转化证明：在平面 内取点P ，使P \，过P 和直线a 作平面交于b .•/ all , aallb同理过a 作平面...a|| , aallc -bllc• bll又.b ,blll又all b ,alll为直线a 到平面 的距离，这也是求异面直线的距离的一种方法. 典型例题十例10如图，求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行. 分析：本题考查综合运用线面平行的判定定理和性质定理的能力.利用线面平行的性质定理， 可以先证明直线a 分别和两平面的某些直线平行，即线面平行可得线线平行.然后再用线面平行的判定定理和性质定理来证明 a与1平行.另证：如图，在直线I 上取点M , 过M 点和直线a 作平面和相交于直线11，和 相交于直线12 .已知:1, all , a// ，求证：all\... a// a〃h ,--a// - a//12. ，… ,但过一点只能作一条直线与另一直线平行.• ••直线l1和l2重合.又. l1 , l2 ,•直线11、12都重合于直线1,a//l .说明：“线线平行”与“线面平行”在一定条件下是可以相互转化的，这种转化的思想在立体几何中非常重要.典型例题十一例11正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各取一点P、Q,且AP DQ •求证：PQ//面BCE .分析：要证线面平行，可以根据判定定理，转化为证明线线平行•关键是在平面BCE中如何找一直线与PQ平行.可考察过PQ的平面与平面BCE的交线，这样的平面位置不同，所找的交线也不同. 证明一：如图，在平面ABEF内过P作PM 〃AB交BE于M ,在平面ABCD内过Q作QN//AB交BC于N，连结MN .EPM PE•/PM//AB AB AE又QN // AB // CD ,QN BQ QN BQDC BD，即AB BD .•正方形ABEF与ABCD有公共边AB ,AE DB ...AP DQ . PE BQ• ，…... PM QN .又• PM //AB , QN //AB ,... PM //QN ....四边形PQNM为平行四边形.PQ//MN又• MN 面BCE ,PQ//面BCE .证明二：如图，连结AQ并延长交BC于S，连结ES .AQ DQ•- BS//AD - QS QB* ? ■■ •又••正方形ABEF与正方形ABCD有公共边AB , AE DB ,AP DQ... PE QBAP DQ AQPE QB QS .PQ//ES.ES面BEC ,PQ〃面BEC .说明：从本题中我们可以看出，证线面平行的根本问题是要在平面内找一直线与已知直线平行，此时常用中位线定理、成比例线段、射影法、平行移动、补形等方法，具体用何种方法要视条件而定•此题中我们可以把“两个有公共边的正方形”这一条件改为“两个全等的矩形”，那么题中的结论是否仍然成立？典型例题十二例12三个平面两两相交于三条交线，证明这三条交线或平行、或相交于一点.已知:求证：a、b、c互相平仃或相交于一点.分析：本题考查的是空间三直线的位置关系，我们可以先从熟悉的两条交线的位置关系入手, 根据共面的两条直线平行或相交来推论三条交线的位置关系.证明:••• a与b平行或相交.又c, a a//ca//b//c.又••• a又•••a、b、c交于同一点O.说明：这一结论常用于求一个几何体的截面与各面交线问题, 如正方体ABCD 中,M、N分别是CCi、AiBi的中点，画出点D、M、N的平面与正方体各面的交线，并说明截面多边形是几边形?典型例题十三例13已知空间四边形ABCD , AB AC , AE是ABC的BC边上的高, DF 是BCD 的BC边上的中线，求证: AE和DF是异面直线.证法一：（定理法）如图证法二：(反证法) 若 AE 和 DF 不是异面直线，则 AE 和 DF 共面，设过 AE 、 DF 的平面为⑴若E 、F 重合，则E 是BC 的中点，这与题设AB AC 相矛盾.(2) 若 E 、 F 不重合， •/ B EF , C EF , EFBC..AD• , ,••• A 、B 、C 、D 四点共面，这与题设 ABCD 是空间四边形相矛盾.综上，假设不成立． 故 AE 和 DF 是异面直线．说明：反证法不仅应用于有关数学问题的证明，在其他方面也有广泛的应用． 首先看一个有趣的实际问题：“三十六口缸，九条船来装，只准装单，不准装双，你说怎么装？” 对于这个问题，同学们可试验做一做．也许你在试验几次后却无法成功时，觉得这种装法的可能性是不存在的．那么你怎样才能清 楚地从理论上解释这种装法是不可能呢？ 用反证法可以轻易地解决这个问题．假设这种装法是可行的，每条船装缸数为单数，则 单数之和仍为单数，与 36 这个双数矛盾．只须两句话就解决了这个问题． 典型例题十四例14已知AB 、BC 、CD 是不在同一平面内的三条线段， E 、F 、G 分别是AB 、CD 的中点，求证：平面EFG 和AC 平行，也和BD 平行.分析：欲证明 AC // 平面 EFG ，根据直线和平面平等的判定定理只须证明 内的一条直线，由图可知，只须证明 AC// EF ．DF AE DFAE 和DF 是异面直线.9个BC 、AC 平行平面 EFG证明：如图，连结AE、EG、EF、GF 在ABC中，E、F分别是AB、BC的中点..• AC//EF •于是AC // 平面EFG同理可证，BD II平面EFG .说明：到目前为止，判定直线和平面平行有以下两种方法：（1）根据直线和平面平行定义；（2）根据直线和平面平行的判定定理.典型例题十五例15已知空间四边形ABCD , P、Q分别是ABC和BCD的重心，求证：PQ〃平面ACD .分析：欲证线面平行，须证线线平行，即要证明PQ与平面ACD中的某条直线平行，根据条件，此直线为AD，如图.证明：取BC的中点E .P是ABC的重心，连结AE ,则AE：PE 3：1，连结DE ,•/ Q为BCD的重心，.DE ：QE 3： 1•••在AED 中, PQ II AD又AD 平面ACD , PQ 平面ACD ,... PQ// 平面ACD .说明：(1)本例中构造直线AD与PQ平行，是充分借助于题目的条件：P、Q分别是ABC和BCD的重心，借助于比例的性质证明PQ//AD，该种方法经常使用，望注意把握.(2) “欲证线面平行，只须证线线平行”.判定定理给我们提供了一种证明线面平等的方法. 根据问题具体情况要熟练运用.典型例题十六例16正方体ABCD A1B1C1D1中，E、G分别是BC、Cl D1的中点如下图.求证：EG//平面BB1D1D分析：要证明EG//平面BBQQ，根据线面平等的判定定理，需要在平面BBDD内找到与EG平行的直线，要充分借助于E、G为中点这一条件.证明：取BD的中点F ,连结EF、D1F.E为BC的中点，1EF -CDEF为BCD的中位线，则EF // DC，且2 .G为GD的中点，1 D1G —CD... D1G//CD 且12,... EF//DG 且EF D1G•••四边形EFDG为平行四边形,... EG //平面 BDD i B i典型例题十七解：根据直线和平面平行定义，易知排除 A 、B.对于C ,无数条直线可能是一组平行线，也 可能是共点线，.C 也不正确，应排除 C. 与平面 内任意一条直线都不相交，才能保证直线 a与平面 平行，D 正确..应选D.说明：本题主要考查直线与平面平行的定义. 典型例题十八例18分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（ ）.A. —定平行B . —定相交解：如图中的甲图，分别与异面直线a 、b 平行的两条直线 C 、d 是相交关系;如图中的乙图，分别与异面直线 a 、b 平行的两条直线C 、d 是相交关系. 综上，可知应选 D.说明：本题主要考查有关平面、线面平行等基础知识以及空间想象能力. 典型例题十九例19 a 、b 是两条异面直线，下列结论正确的是（）. A .过不在a 、b 上的任一点，可作一个平面与 a、b 平行B. 过不在a 、b 上的任一点，可作一个直线与 a 、b 相交 C.过不在a 、b 上的任一点，可作一个直线与 a 、b 都D i F //EG ，而 D i F平面 BDD 1B 1 EG 平面 BDD i B i例17如果直线a //平面 ，那么直线a 与平面内的（ )•A. —条直线不相交B .两条相交直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线都不相交平行D.过a可以并且只可以作一平面与b平行解：A错，若点与a所确定的平面与b平行时，就不能使这个平面与平行了.B错，若点与a所确定的平面与b平等时，就不能作一条直线与a，b相交.C错，假如这样的直线存在，根据公理4就可有a//b，这与a, b异面矛盾.D正确，在a上任取一点A,过A点做直线c//b,则c与a确定一个平面与b平行，这个平面是惟一的.应选D.说明：本题主要考查异面直线、线线平行、线面平行等基本概念. 典型例题二十例20 ⑴ 直线a//b, a//平面，则b与平面的位置关系是________________________ .⑵ A是两异面直线a、b外的一点，过A最多可作 ______________ 个平面同时与a、b平行. 解：(1) 当直线b在平面外时, b//；当直线b在平面内时, b.应填：b//或b .(2)因为过A点分别作a, b的平行线只能作一条，I I I I(分别称a , b)经过a , b的平面也是惟一的.所以只能作一个平面；还有不能作的可能，当这个平面经过a或b时，这个平面就不满足条件了..应填：1 .说明：考虑问题要全面,各种可能性都要想到,是解答本题的关键. 典型例题二十一例21如图，a//, A是的另一侧的点，B，C,D a，线段AB , AC, AD交于E ,F ，G ，若BD 4 ，CF 4，AF 5 ，则EG = ________________ .a//EG ,即卩 BD//EG ,EFFGAF EFFG EGAFBC CD ACBC CD BD AF FC EG 则 AF BD 5 420AF FC5 49 .20•••应填：9 .说明：本题是一道综合题，考查知识主要有：直线与平面平行性质定理、相似三角形、比例 性质等•同时也考查了综合运用知识，分析和解决问题的能力.二，面面平行的性质与判定典型例题一例1：已知正方体ABCD - A I B I C I D I 求证：平面AB I D I //平面GBD . 证明：••• ABCD - A 1B 1C 1D 1为正方体,D .A//GB故 D 1A// 平面 C 1BD • 同理 D 1 Bi //平面C 1BD 又 D 1A D 1B 1 D 1平面ABD平面 C 1BD平面AB i D i //平面C i BD说明：上述证明是根据判定定理1实现的•本题也可根据判定定理2证明，只需连接AC即可，此法还可以求出这两个平行平面的距离.典型例题二a〃例2:如图，已知〃，A a , A求证：a•证明：过直线a作一平面，设b...//...a j 〃b又a〃a//b在同一个平面内过同一点A有两条直线a，ai与直线b平行.a与ai重合，即a•说明：本题也可以用反证法进行证明.典型例题三例3 :如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它和另一个也相交.已知：如图，〃，丨A.求证：1与相交.，由于证明：在上取一点B，过1和B作平面 .与、都相交.设a, b.•- //a//b又I、a、b都在平面内，且I和a交于A .I与b相交.所以I与相交.典型例题四例4 :已知平面〃，AB, CD为夹在a,中占1八求证EF // EF //• ? .证明:连接AF并延长交于G .AG CD F且AC , AG , CD确定平面,DG .〃，所以AC//DG,ACF GDF又AFC DFG , CF DF△ ACF 也厶DFG .AF FG .又AE BE ,EF//BG BG故EF〃同理EF //说明：本题还有其它证法，要点是对异面直线的处理.典型例题六例6如图，已知矩形ABCD的四个顶点在平面上的射影分别为A、B i、C i、D i，且A、B1、C1、D1互不重合，也无三点共线. 求证：四边形A iB iC iD i是平行四边形. 证明：AAi, DDiAA i // DD i不妨设AAi和D Di确定平面. 同理BB i和CC i确定平面 .又AA）// BB i且BB i... AA i //同理AD //又AA AD A//B i CA i D iA i D i //B iC i同理A i B i //C i D i.•••四边形ABICQ是平行四边形.典型例题七例7设直线I、m，平面、，下列条件能得出〃的是（）.A. I，且l//m〃B. I m，且l〃mc. I , m，且l//m D. I// , m//，且l〃m分析：选项A是错误的，因为当l〃m时，与可能相交•选项B是错误的，理由同A.选项C是正确的，因为1, m//l，所以m ，又••• m〃•选项D也是错误的，满足条件的可能与相交.答案：C说明：此题极易选A,原因是对平面平行的判定定理掌握不准确所致.本例这样的选择题是常见题目要正确得出选择，需要有较好的作图能力和对定理、公理的准确掌握、深刻理解，同时要考虑到各种情况.典型例题八例8设平面平面，平面平面，且、分别与相交于a、b, a//b .求证：平面〃平面 . 分析：要证明两平面平行，只要设法在平面上找到两条相交直线，或作出相交直线，它们证明：在平面内作直线PQ直线a,在平面内作直线MN 直线b.•••平面平面，••• PQ平面，MN平面，... PQ//MN .又a// p , PQ a Q , MN b N ,•平面〃平面 .说明：如果在、内分别作PQ, MN,这样就走了弯路，还需证明PQ、MN在、内，如果直接在、内作a、b的垂线，就可推出PQ〃M N .由面面垂直的性质推出“线面垂直”，进而推出“线线平行”、“线面平行”，最后得到“面面平行”，最后得到“面面平行” •其核心是要形成应用性质定理的意识，在立体几何证明中非常重要.典型例题九例9如图所示，平面〃平面，点A、C ，点B、D ，AB a是、的公垂线，CD是斜线.若AC BD b, CD c , M、N分别是AB和CD的中点，⑴求证：MN // ；⑵求MN的长.分析：(1)要证MN〃，取AD的中点P,只要证明MN所在的平面PMN //•为此证明PM // ,PN//即可.⑵要求MN之长，在CMA中，CM、CN的长度易知，关键在于证明MN CD，从而由勾股定理可以求解.证明：⑴连结AD，设P是AD的中点，分别连结PM、PN .•/ M 是AB 的中点，••• PM //BD .又BD ... PM //同理••• N是CD的中点，••• PN//AC .•/ AC PN //// , PN PM P•.平面PMN // .•/ MN 平面PMN MN // .(2)分别连结MC、MD .1AM BM —a•/ AC BD b 2又AB 是、的公垂线，••• CAM DBM 90 ,Rt ACM 也Rt BDM , • CM DM ,• DMC是等腰三角形.又N是CD的中点，• MN CD •MN JCM2 CN2丄—a2 c2在Rt CMN 中， 2 •说明：(1)证“线面平行”也可以先证“面面平行”，然后利用面面平行的性质，推证“线面平行”，这是一种以退为进的解题策略.(2)空间线段的长度，一般通过构造三角形、然后利用余弦定理或勾股定理来求解.⑶面面平行的性质：①面面平行，则线面平行；②面面平行，则被第三个平面所截得的交线平行. 戏线干行线面平行面面干行典型例题十例10如果平面内的两条相交直线与平面所成的角相等，那么这两个平面的位置关系是分析：按直线和平面的三种位置关系分类予以研究.解：设a、b是平面内两条相交直线.(1)若a、b都在平面内，a、b与平面所成的角都为°，这时与重合，根据教材中规定，此种情况不予考虑.⑵若a、b都与平面相交成等角，且所成角在(°，90 )内；•••a、b与有公共点，这时与相交.若a、b都与平面成90角，贝y a〃b，与已知矛盾•此种情况不可能.(3)若a、b都与平面平行，则a、b与平面所成的角都为0, 内有两条直线与平面平行，这时〃•综上，平面、的位置关系是相交或平行.典型例题十一例11 试证经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行．已知：A 平面，求证：过A 有且只有一个平面//．分析：“有且只有”要准确理解，要先证这样的平面是存在的，再证它是惟一的，缺一不可．证明：在平面内任作两条相交直线a和b，则由A 知，A a , A b .点A和直线a可确定一个平面M，点A和直线b可确定一个平面N .在平面M、N内过A分别作直线a //a、b'//b，故a'、b'是两条相交直线，可确定一个平面．I I I•••a, a, a//a,•••a //.同理 b '// ．又 a ' b ' a ' b ' A • //所以过点 A 有一个平面 // ．假设过A 点还有一个平面 〃，则在平面内取一直线c , A c ,点A 、直线c 确定一个平面，由公理2知：m， n ，• m//c , n//c ,又 A m , A n , 这与过一点有且只有一条直线与已知直线平行相矛盾,因此假设不成立, 所以平面 只有一个．所以过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． 典型例题十二例12已知点S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，且 SA SB SC , SG 为高，D 、E 、F 分别是AC 、BC 、SC 的中点，试判断SG 与平面DEF 内的位置关系，并 给予证明 分析1：如图，观察图形，即可判定 SG//平面DEF ，要证明结论成立，只需证明 SG 与平面DEF 内的一条直线平行.观察图形可以看出：连结 CG 与DE 相交于H ，连结FH , FH 就是适合题意的直线. 怎样证明SG//FH ?只需证明H 是CG 的中点.证法1 ：连结CG 交DE 于点H,SAB 上的••• DE是ABC的中位线,DE // AB .在ACG中，D是AC的中点，且DH // AG ,••• H为CG的中点.•/ FH 是SCG 的中位线，• FH //SG .又SG 平面DEF , FH 平面DEF ,• SG// 平面DEF .分析2：要证明SG//平面DEF，只需证明平面SAB//平面DEF，要证明平面DEF //平面SAB，只需证明SA// DF , SB// EF而SA// DF , SB// EF可由题设直接推出.证法2: EF为SBC的中位线，... EF //SB.•/ EF 平面SAB, SB 平面SAB ,EF// 平面SAB.同理：DF //平面SAB, EF DF F平面SAB//平面DEF，又:SG平面SAB••• SG// 平面DEF .典型例题十三例13如图，线段PQ分别交两个平行平面、于A、B两点，线段PD分别交、于C、D两点，线段QF分别交、于F、E两点，若PA 9，AB 12，BQ 12，ACF 的面积为72,求BDE 的面积.分析：求BDE的面积，看起来似乎与本节内容无关，事实上，已知ACF的面积，若BDE与ACF的对应边有联系的话，可以利用ACF的面积求出BDE的面积.解：•••平面QAF AF，平面QAF BE ,又•••// AF // BE .同理可证：AC// BD FAC与EBD相等或互补，即sin FAC sin EBD .由FA//BE，得BE : AF QB ： QA 12 : 24 1：2 ,1BE -AF2BD - AC由BD // AC，得：AC： BD PA： PB 9： 21 3：7 ,•. 3 .1AF AC sin FAC 72又ACF的面积为72,即2 .1S DBE BE BD sin EBD21 1 7AF —AC sin FAC2 2 37 1AF AC sin FAC62772 846BDE的面积为84平方单位.说明：应用两个平行的性质一是可以证明直线与直线的平行，二是可以解决线面平行的问题•注意使用性质定理证明线线平行时，一定第三个平面与两个平行平面相交，其交线互相平行.典型例题十四例14在棱长为a的正方体中，求异面直线BD和B i C之间的距离.分析：通过前面的学习，我们解决了如下的问题：若a和b是两条异面直线，则过a且平行于b的平面必平行于过b且平行于a的平面.我们知道，空间两条异面直线，总分别存在于两个平行平面内•因此，求两条异面直线的距离，有时可以通过求这两个平行平面之间的距离来解决.具体解法可按如下几步来求：①分别经过BD和B J C找到两个互相平等的平面；②作出两个平行平面的公垂线；③计算公垂线夹在两个平等平面间的长度.解：如图，根据正方体的性质，易证:AB//DQ 平面AB"平面CB1D1连结AC1，分别交平面A1B D和平面CBP于M和N因为CC1和AC1分别是平面ABCD的垂线和斜线，AC在平面ABCD内，AC BD 由三垂线定理：A C1 BD，同理：AG A1DAC1平面A1BD，同理可证：AC1平面CB1D1...平面ABD和平面CB F D1间的距离为线段MN长度.如图所示：在对角面AC1中，Ol为AlCl的中点，°为AC的中点AM MN NC1- AC1—a3 3.3 a ••• BD和B I C的距离等于两平行平面A i BD和CB i D i的距离为3说明：关于异面直线之间的距离的计算，有两种基本的转移方法：①转化为线面距.设。
点线面位置关系练习(有详细答案)
【空间中的平行问题】（1）直线与平面平行的判定及其性质①线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。
（线线平行→线面平行）②线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
（线面平行→线线平行）（2）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理：①如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行→面面平行） ②如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。
（线线平行→面面平行） ③垂直于同一条直线的两个平面平行两个平面平行的性质定理：①如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。
（面面平行→线面平行） ②如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
（面面平行→线线平行）【空间中的垂直问题】（1）线线、面面、线面垂直的定义①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。
②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。
③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。
（2）垂直关系的判定和性质定理①线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
②面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。
【空间角问题】（1）直线与直线所成的角①两平行直线所成的角：规定为 ②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。
2020年高考数学必刷题《34 空间点、线、面的位置关系》(解析版)
专题八 立体几何34 空间点、线、面的位置关系1．空间中可以确定一个平面的条件是 A ．三个点 B ．四个点 C ．三角形D ．四边形【答案】C【解析】在A 中，不共线的三个点能确定一个平面，共线的三个点不能确定一个平面，故A 错误； 在B 中，不共线的四个点最多能确定四个平面，故B 错误；在C 中，由于三角形的三个顶点不共线，因此三角形能确定一个平面，故C 正确； 在D 中，四边形有空间四边形和平面四边形，空间四边形不能确定一个平面，故D 错误. 2．已知异面直线,a b 分别在平面,αβ内，且c αβ=，那么直线c 一定A ．与a b ，都相交B ．只能与a b ，中的一条相交C ．至少与a b ，中的一条相交D ．与a b ，都平行【答案】C【解析】若 与 ， 都不相交，则 与 ， 都平行. 根据公理4，则 ，与 ， 异面矛盾. 故直线c 一定至少与a b ，中的一条相交.3．已知 ， 是异面直线，直线 平行于直线 ，那么 与 A ．一定是异面直线 B ．一定是相交直线 C ．不可能．．．是相交直线 D ．不可能．．．是平行直线 【答案】D【解析】∵直线a 与b 是异面直线，直线c ∥a ，∴直线b 和c 有可能在同一平面上，也有可能不在同一平面上， 如果b 和c 在同一平面上，二者的位置关系为相交； 如果b 和c 不在同一平面上，二者的位置关系为异面．如果b ∥c ，则a ∥b ，与已知a ，b 是异面直线矛盾，故答案为D. 4．已知直线 和平面 ，若 ， ，则过点 且平行于 的直线 A ．只有一条，不在平面 内 B ．只有一条，且在平面 内 C ．有无数条，一定在平面 内 D ．有无数条，不一定在平面 内【答案】B【解析】假设过点P 且平行于l 的直线有两条m 与n ，则m ∥l 且n ∥l ， 由平行公理得m ∥n ，这与两条直线m 与n 相交于点P 相矛盾， 故过点 且平行于 的直线只有一条，又因为点P 在平面内，所以过点P 且平行于l 的直线只有一条且在平面内． 故选B.5．如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是A ．直线AA 1B ．直线A 1B 1C ．直线A 1D 1 D ．直线B 1C 1【答案】D【解析】只有11B C 与EF 在同一平面内，是相交的，其他A ，B ，C 选项中的直线与EF 都是异面直线，故选D ．6．如图所示，平面 平面 ， ， ， ， ，则平面 和平面 的交线是A ．直线B ．直线C ．直线D ．直线ABC D E F A 1B 1C 1D 1【答案】D【解析】∵l α⊂， ，∴ ， 又 ，∴CD α⊂．又 在平面 内，∴ 为平面 与平面 的交线．故选D. 7．设直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上，那么 A ．直线l 不平行于直线m B ．直线l 与直线m 异面 C ．直线l 与直线m 没有公共点 D ．直线l 与直线m 不垂直【答案】C【解析】∵直线l 与平面α平行，∴由线面平行的定义可知：直线l 与平面α无公共点， 又直线m 在平面α上， ∴直线l 与直线m 没有公共点， 故选C ．8．在空间四边形 的边 ， ， ， 上分别取 ， ， ， 四点，如果 ， 交于一点 ，则 A ． 一定在直线 上 B ． 一定在直线 上C ． 一定在直线 或 上D ． 既不在直线 上，也不在直线 上 【答案】B【解析】由题意， ， 相交于点 ，则点 ，且 ， 又 平面 ， 平面 ，则 平面 ，且 平面 ， 则点 必在平面 与平面 的交线上，即点 一定在直线 上． 故选 ．9．空间中A B C D E ，，，，五点不共面，已知A B C D ，，，在同一平面内，B C D E ，，，在同一平面内，那么B C D ，，三点 A ．一定构成三角形 B ．一定共线 C ．不一定共线D ．与AE ，共面 【答案】B【解析】设平面ABCD 为α，平面BCDE 为β，且A B C D E ，，，，不共面，则,BC CD αα⊂⊂，,BC CD ββ⊂⊂，则,αβ必相交于直线l ，且,,B l C l D l ∈∈∈，故B C D ，，三点一定共线且位于平面ABCD 与平面BCDE 的交线上. 故选B.10．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为A ．23-B ．53 C ．23D ．255【答案】C【解析】如图，连结BE ，∵在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点， ∴CD AB ∥，∴BAE ∠是异面直线AE 与CD 所成的角（或所成角的补角）， 设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2， 则2AB =，415BE =+=，AB BE ⊥，则22453AE AB BE =+=+=，∴异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为2cos 3AB BAE AE ∠==. 故异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为23． 故选C ．11．平面 内有不共线的三点到平面 的距离相等且不为零，则 与 的位置关系为 _____ .【答案】平行或相交【解析】若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行； 若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交． 故 与 的位置关系为平行或相交.12．若直线 和平面 平行,且直线 ,则两直线 和 的位置关系为 _____ . 【答案】平行或异面【解析】由条件可知直线 和 没有公共点,故直线 和 的位置关系为平行或异面.13．若直线l 1与l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是A ．l 与l 1,l 2都不相交B ．l 与l 1,l 2都相交C ．l 至多与l 1,l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1,l 2中的一条相交【答案】D【解析】可用反证法. 假设l 与1l ，2l 都不相交，因为l 与1l 都在平面 内，于是1l l ∥，同理2l l ∥，于是12l l ∥，与已知矛盾，故l 至少与1l ，2l 中的一条相交，故选D ．14．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是A ．若 ， ，则B ．若 ， ，则C ．若 ， ，则D ．若 ， ，则【答案】D【解析】对于A ，若 ，则m ，n 可能相交、平行、异面，A 错； 对于B ，若 ，则 、 可能相交、平行，B 错； 对于C ，若 ，则 、 可能相交、平行，C 错；对于D ，若 ，根据线面垂直的性质定理可得 ，D 正确. 故选D.15．设,a b 是异面直线，则以下四个命题：①存在分别经过直线,a b 的两个互相垂直的平面；②存在分别经过直线,a b 的两个平行平面；③经过直线a 有且只有一个平面垂直于直线b ；④经过直线a 有且只有一个平面平行于直线b ，其中正确的个数有 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】对于①，可以在两个互相垂直的平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断①正确；对于②，可在两个平行平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断②正确；对于③，当这两条直线不是异面垂直时，不存在这样的平面满足题意，可判断③错误；对于④，假设过直线a有两个平面α、β与直线b平行，则平面α、β相交于直线a，过直线b作一平面γ与平面α、β相交于两条直线m、n，则直线m、n相交于一点，且都与直线b平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，所以假设不成立，所以④正确.故选C．16．我国古代《九章算术》里，记载了一个例子：今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？”该问题中的羡除是如图所示的五面体，其三个侧面皆为等腰梯形，两个底面为直角三角形，其中尺，尺，尺，间的距离为尺，间的距离为尺，则异面直线与所成角的正弦值为A．9130130B．7130130C．97D．79【答案】B【解析】过点作，如图：根据题意知，所以是异面直线与所成的角，又因为 尺， 尺，且侧面为等腰梯形，则 尺， 间的距离为 尺，故 尺，由勾股定理得 尺， 所以77130sin 130130FDC ∠==. 故选B.17．在长方体1111ABCD A B C D -中，O 是DB 的中点，直线1A C 交平面1C BD 于点M ，则下列结论正确的是①1C 、M 、O 三点共线； ②1C 、M 、A 、C 四点共面； ③1C 、O 、1B 、B 四点共面；④1D 、D 、O 、M 四点共面．A ．①②③B ．①②③④C ．①②D ．③④【答案】C【解析】∵O AC ∈，AC ⊂平面11ACC A ，∴O ∈平面11ACC A ， ∵O BD ∈，BD ⊂平面1C BD ，∴O ∈平面1C BD ， ∴O 是平面11ACC A 和平面1C BD 的公共点；同理可得，点M 和1C 都是平面11ACC A 和平面1C BD 的公共点，根据公理3可得1C 、M ，O 在平面11ACC A 和平面1C BD 的交线上，因此①正确． ∵11AA BB ∥，11BB CC ∥，∴11AA CC ∥,1AA ，1CC 确定一个平面，又1M A C ∈，1AC ⊂平面11ACC A ，∴M ∈平面11ACC A ，故②正确． 根据异面直线的判定定理可得1BB 与1C O 为异面直线，故1C 、O 、1B 、B 四点不共面，故③不正确． 根据异面直线的判定定理可得1DD 与MO 为异面直线， 故1D 、D 、O 、M 四点不共面，故④不正确． 故选C ．18．不在同一条直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ∉α，给出以下三个命题：①△ABC 中至少有一条边平行于α；②△ABC 中至多有两边平行于α；③△ABC 中只可能有一条边与α相交.其中真命题是_____________.（填序号） 【答案】①【解析】如图，三点A 、B 、C 可能在α的同侧，也可能在α两侧，其中真命题是①.19．如图所示，若,,,G H M N 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线,GH MN 是异面直线的图形有_____________.（填序号）【答案】②④【解析】①中，GH MN ∥，③中，连接GM ，则GM HN ∥且GM HN ≠，故GH ，MN 必相交，②④符合题意.20．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD 是菱形且23AB BC ==，120ABC ∠=︒，若异面直线1A B 和1AD 所成的角为90︒，则1AA 的长为_____________.【答案】6【解析】如图，连接1CD AC ，.由题意得四棱柱1111ABCD A B C D -中，11∥A D BC ，11A D BC =， ∴四边形11A BCD 是平行四边形，11A B CD ∴∥，1AD C ∴∠（或其补角）为1A B 和1AD 所成的角.∵异面直线1A B 和1AD 所成的角为90︒，190AD C ∴∠=︒.∵四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD 是菱形，1△ACD ∴是等腰直角三角形，122AD AC ∴=.∵底面四边形ABCD 是菱形且23AB BC ==，120ABC ∠=︒，23sin 6026AC ∴=⨯︒⨯=，12322AD AC ==， ()()2222111132236AA AD A D ∴=-=-=.21．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 【答案】B【解析】如图所示，作EO CD ⊥于O ，连接ON ，BD ，易得直线BM ，EN 是三角形EBD 的中线，是相交直线.过M 作MF OD ⊥于F ，连接BF ，平面CDE ⊥平面ABCD ，,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，MFB ∴△与EON △均为直角三角形．设正方形边长为2，易知3,12EO ON EN ===,，35,,722MF BF BM ==∴=，BM EN ∴≠. 故选B ．【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形.解答本题时，先利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．22．（2018新课标全国Ⅱ理科）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15B ．56C ．55D ．22【答案】C【解析】用一个与原长方体相同的长方体拼到原长方体的前面， 如图，则11B P AD ∥，连接DP ，易求得1=5DB DP =，12B P =，则1DB P ∠是异面直线1AD 与1DB 所成的角，由余弦定理可得222111115455cos 2545DB B P DP DB P DB PB +-+-∠===⋅. 故选C.23．（2017新课标全国Ⅱ理科）已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．32B ．155 C ．105D ．33【答案】C【解析】如图所示，补成直四棱柱1111ABCD A B C D -， 则所求角为21111,2,21221cos603,5BC D BC BD C D AB ∠==+-⨯⨯⨯︒===，易得22211C D BD BC =+，因此111210cos 55BC BC D C D ∠===. 故选C ．【名师点睛】平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,]2π，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．24．（2015安徽理科）已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 【答案】D【解析】由A ，若α，β垂直于同一平面，则α，β可以相交、平行，故A 不正确； 由B ，若m ，n 平行于同一平面，则m ，n 可以平行、重合、相交、异面，故B 不正确；由C ，若α，β不平行，但α平面内会存在平行于β的直线，如α平面中平行于α，β交线的直线，故C 不正确；由D ，其逆否命题为“若m 与n 垂直于同一平面，则m ，n 平行”是真命题，故D 项正确. 所以选D.25．（2016新课标全国Ⅰ理科）平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α//平面CB 1D 1，αI 平面ABCD =m ，αI 平面ABB 1 A 1=n ，则m ，n 所成角的正弦值为A ．32B ．22C ．33D ．13【答案】A【解析】如图，设平面11CB D 平面ABCD ='m ，平面11CB D 平面11ABB A ='n ，因为α∥平面11CB D ，所以','m m n n ∥∥，则,m n 所成的角等于','m n 所成的角. 过1D 作11D E B C ∥，交AD 的延长线于点E ,连接CE ，则CE 为'm . 连接1A B ，过B 1作111B F A B ∥，交1AA 的延长线于点1F ，则11B F 为'n . 连接BD ，则111,BD CE B F A B ∥∥，则','m n 所成的角即为1,A B BD 所成的角，为60︒， 故,m n 所成角的正弦值为32， 选A.【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成的角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形、解形求角、得钝求补.26．(2017新课标全国Ⅲ理科) a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60°.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号） 【答案】②③【解析】设1AC BC ==.由题意，AB 是以AC 为轴,BC 为底面半径的圆锥的母线，由,AC a AC b ⊥⊥，又AC ⊥圆锥底面，所以在底面内可以过点B ，作BD a ∥，交底面圆C 于点D ，如图所示，连接DE ，则DE ⊥BD ，DE b ∴∥，连接AD ，等腰ABD △中，2AB AD ==,当直线AB 与a 成60°角时，60ABD ∠=，故2BD =，又在Rt BDE △中，2,2BE DE =∴=，过点B 作BF ∥DE ，交圆C于点F ，连接AF ，由圆的对称性可知2BF DE ==,ABF ∴△为等边三角形，60ABF ∴∠=，即AB 与b 成60°角，②正确，①错误.由图可知③正确；很明显，可以满足平面ABC ⊥直线a ，则直线AB 与a 所成角的最大值为90°，④错误.故正确的是②③.【名师点睛】（1）平移直线法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是π0,2⎛⎤⎥⎝⎦，可知当求出的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角.（2）求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围.。
高中数学必修二 点线面间的位置关系检测题及参考答案
高中数学必修二阶段质量检测（二）点、直线、平面之间的位置关系(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．分别在两个平行平面内的两条直线间的位置关系不可能为()A．平行B．相交C．异面D．垂直【答案】B。
【解析】因为两平行平面没有公共点，所以两直线没有公共点，所以两直线不可能相交．2．设BD1是正方体ABCD-A1B1C1D1的一条对角线，则这个正方体中面对角线与BD1异面的有()A．0条B．4条C．6条D．12条【答案】C。
【解析】每个面中各有一条对角线与BD1异面，它们是：AC，A1C1，B1C，A1D，AB1，DC1.3．下列说法不正确的是()A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直【答案】D。
【解析】如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥平面DCC1D1，因此平面ABCD、平面AA1D1D均与平面DCC1D1垂直，而且平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，显然选项D不正确，故选D.4．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是() A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面【答案】D。
【解析】A项，α，β可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故正确．5．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．AC B．BD C．A1D D．A1D1【答案】选B【解析】CE⊂平面ACC1A1，而BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥平面ACC1A1，∴BD⊥CE.6．已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB＝2，CD＝4，EF ⊥AB，则EF与CD所成的角的度数为()A．90°B．45°C．60°D．30°【答案】D【解析】取BC的中点G，连接EG，FG，则EG＝1，FG＝2，EF⊥EG，则EF与CD所成的角等于∠EFG，为30°.7.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，D，E分别是棱BC，AB的中点，点F在棱CC1上，AB＝BC＝CA＝CF＝2，AA1＝3，则下列说法正确的是() A．设平面ADF与平面BEC1的交线为l，则直线EC1与l相交B．在棱A1C1上存在点N，使得三棱锥N-ADF的体积为3 7C．设点M在BB1上，当BM＝1时，平面CAM⊥平面ADFD．在棱A1B1上存在点P，使得C1P⊥AF【答案】C【解析】连接CE交AD于点O，则O为△ABC的重心，连接OF.由已知得OF∥EC1，则EC1∥l，故A错；若在A1C1上存在点N，则V N-ADF＝V D-AFN，当N与C1重合时，V D-AFN取最小值为36，故B错；当BM＝1时，可证得△CBM≌△FCD，则∠BCM＋∠CDF＝90°，即CM⊥DF.又∵AD⊥平面CBB1C1，CM⊂平面CBB1C1，∴AD⊥CM.∵DF∩AD＝D，∴CM⊥平面ADF.∵CM⊂平面CAM，∴平面CAM⊥平面ADF，故C正确；过C1作C1G∥FA交AA1于点G.若在A1B1上存在点P，使得C1P⊥AF，则C1P⊥C1G.又∵C1P⊥GA1，C1G∩GA1＝G，∴C1P⊥平面A1C1G.∵A1C1⊂平面A1GC1，∴C1P⊥A1C1，矛盾，故D错．故选C.8．在四面体ABCD 中，已知棱AC 的长为 2 ，其余各棱长都为1，则二面角A -CD -B 的余弦值为( ) A.12 B.13 C.33 D.23【答案】C【解析】取AC 的中点E ，CD 的中点F ，则EF ＝12，BE ＝22，BF ＝32， ∴△BEF 为直角三角形，cos θ＝EF BF ＝33. 9.如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与平面α，β所成的角分别为45°和30°，过A ，B 分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，若AB ＝12，则A ′B ′等于( )A ．4B ．6C ．8D ．9【答案】B【解析】连接AB ′，BA ′，则∠BAB ′＝45°，∠ABA ′＝30°.在Rt △ABB ′中，AB ＝12，可得BB ′＝6 2.在Rt △ABA ′中，可得BA ′＝6 3.故在Rt △BA ′B ′中，可得A ′B ′＝6.10．矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B -AC -D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为( )A.125π12B.125π9C.125π6D.125π3【答案】C【解析】球心O 为AC 中点，半径为R ＝12AC ＝52，V ＝43πR 3＝125π6. 11．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成四面体ABCD ，则在四面体ABCD 中，下列结论正确的是( )A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC【答案】D【解析】易知△BCD中，∠DBC＝45°，∴∠BDC＝90°，又平面ABD⊥平面BCD，而CD⊥BD，∴CD⊥平面ABD，∴AB⊥CD，而AB⊥AD，CD∩AD＝D，∴AB⊥平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD.12．(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线【答案】B【解析】如图，取CD的中点F，DF的中点G，连接EF，FN，MG，GB.∵△ECD是正三角形，∴EF⊥CD.∵平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，EF⊂平面ECD，∴EF⊥平面ABCD.∴EF⊥FN.不妨设AB＝2，则FN＝1，EF＝3，∴EN＝FN2＋EF2＝2.∵EM＝MD，DG＝GF，∴MG∥EF且MG＝12EF，∴MG⊥平面ABCD，∴MG⊥BG.∵MG＝12EF＝32，BG＝CG2＋BC2＝2235222⎛⎫+=⎪⎝⎭，∴BM＝MG2＋BG2＝7，∴BM≠EN.连接BD，BE，∵点N是正方形ABCD的中心，∴点N在BD上，且BN＝DN，∴BM，EN是△DBE的中线，∴BM，EN必相交．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设正三角形ABC的边长为a，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则A到平面PBC的距离为________． 【答案】217a 【解析】如图所示，取BC 中点E ，连接AE ，PE ，则AE ⊥BC ，又BC ⊥PA ，∴BC ⊥平面PAE .∴平面PAE ⊥平面PBC .在平面PAE 内过A 作AF ⊥PE ，垂足为F ，则AF ⊥平面PBC .则AF ＝PA ·AE PE ＝217a . 14．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN 等于________．【答案】90°【解析】∵B 1C 1⊥平面A 1ABB 1，MN ⊂平面A 1ABB 1，∴B 1C 1⊥MN ，又∠B 1MN 为直角．∴B 1M ⊥MN ，而B 1M ∩B 1C 1＝B 1.∴MN ⊥平面MB 1C 1，又MC 1⊂平面MB 1C 1，∴MN ⊥MC 1，∴∠C 1MN ＝90°.15．如图，圆锥SO 中，AB 、CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，且AB ⊥CD ，SO ＝OB ＝2，P 为SB 的中点，则异面直线SA 与PD 所成角的正切值为________．【答案】 2【解析】连接PO ，则PO ∥SA ，∴∠OPD 即为异面直线SA 与PD 所成的角，且△OPD 为直角三角形，∠POD 为直角，∴tan ∠OPD ＝OD OP ＝22＝ 2. 16．(2019·全国卷Ⅰ)已知∠ACB ＝90°，P 为平面ABC 外一点，PC ＝2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为________．【答案】 2【解析】如图，过点P 作PO ⊥平面ABC 于O ，则PO 为P 到平面ABC 的距离．再过O 作OE ⊥AC 于E ，OF ⊥BC 于F ，连接PC，PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC.又PE＝PF＝3，所以OE＝OF，所以CO为∠ACB的平分线，即∠ACO＝45°.在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝3，所以CE＝1，所以OE＝1，所以PO＝PE2－OE2＝(3)2－12＝ 2.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)EF∥平面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD.证明：(1)∵E，F分别是AB，BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∵EF⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，∴EF∥平面ACD.(2)∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.∵CB＝CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD.又EF∩CF＝F，∴BD⊥平面EFC.∵BD⊂平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD.18．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅰ)如图，直四棱柱ABCD -A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离．解：(1)证明：连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝12B1C.又因为N为A1D的中点，所以ND＝12A1D.由题设知A1B1綊DC，可得B1C綊A1D，故ME綊ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED.又MN⊄平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.(2)过点C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，所以DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH.从而CH⊥平面C1DE，故CH的长即为点C到平面C1DE的距离．由已知可得CE＝1，C1C＝4，所以C1E＝17，故CH＝41717.从而点C到平面C1DE的距离为41717.19．(本小题满分12分)矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，沿AE将△DAE折起到△D1AE的位置，使平面D1AE⊥平面ABCE.(1)若F为线段D1A的中点，求证：EF∥平面D1BC；(2)求证：BE⊥D1A.证明：(1)取AB的中点G，连接EG、FG，则EG∥BC，FG∥D1B，且EG∩FG＝G，EG、FG⊂平面EFG；D1B∩BC＝B，D1B、BC⊂平面D1BC.∴平面EFG∥平面D1BC，注意到EF⊂平面EFG，∴EF∥平面D1BC.(2)易证BE⊥EA，平面D1AE⊥平面ABCE，平面D1AE∩平面ABCE＝AE，∴BE⊥平面D1AE，且D1A⊂平面D1AE，∴BE⊥D1A.20．(本小题满分12分)在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC、SC于D、E，又SA＝AB，SB＝BC.(1)求证：BD⊥平面SAC；(2)求二面角E-BD-C的大小．解：(1)证明：如图，∵DE⊥SC，且E为SC的中点，又SB＝BC，∴BE⊥S C.又DE∩BE＝E，根据直线与平面垂直的判定定理知SC⊥平面BDE，BD⊂平面BDE，∴SC⊥BD.又SA⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴SA⊥BD.又SA∩SC＝S，∴BD⊥平面SAC.(2)由(1)知∠EDC为二面角E-BD-C的平面角，又△SAC∽△DEC，∴∠EDC＝∠ASC.在Rt△SAB中，∠SAB＝90°，设SA＝AB＝1，则SB＝ 2.由SA⊥BC，AB⊥BC，AB∩SA＝A，∴BC⊥平面SAB，SB⊂平面SAB，∴BC⊥SB.在Rt△SBC中，SB＝BC＝2，∠SBC＝90°，则SC＝2.在Rt△SAC中，∠SAC＝90°，SA＝1，SC＝2.∴cos∠ASC＝SASC＝12.∴∠ASC＝60°，即二面角E-BD-C的大小为60°.21．(本小题满分12分)如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF ∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.证明：(1)设AC与BD交于点O，连接EO，∵EF∥AC，且EF＝1，AO＝12AC＝1，∴四边形AOEF为平行四边形，∴AF∥OE.∵OE⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，∴AF∥平面BDE.(2)连接FO，∵EF∥CO，EF＝CO＝1，且CE＝1，∴四边形CEFO为菱形，∴CF⊥EO.∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC.又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，∴BD⊥平面ACEF，∴CF⊥BD. 又BD∩EO＝O，∴CF⊥平面BDE.22．(本小题满分12分)如图，已知空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形，△ABC为腰长为3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC ⊥平面BCD.(1)试在平面BCD内作一条直线，使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行，并给出详细证明；(2)求三棱锥E-ABC的体积．解：(1)取DC的中点N，取BD的中点M，连接MN，EN，EM，则直线MN即为所求．取BC的中点H，连接AH，∵△ABC为腰长为3的等腰三角形，H为BC的中点，∴AH⊥BC.又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AH⊂平面ABC，∴AH⊥平面BCD，同理，可证EN⊥平面BCD，∴EN∥AH.∵EN⊄平面ABC，AH⊂平面ABC，∴EN∥平面ABC.又M，N分别为BD，DC的中点，∴MN∥BC.∵MN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN∩EN＝N，MN⊂平面EMN，EN⊂平面EMN，∴平面EMN∥平面ABC.又EF⊂平面EMN，∴EF∥平面ABC.(2)连接DH，取CH的中点G，连接NG，则NG∥DH，NG＝12DH，由(1)可知，EN∥平面ABC，∴点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等．又△BCD是边长为2的等边三角形，∴DH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，DH⊂平面BCD，∴DH⊥平面ABC，∴NG⊥平面ABC.又DH＝3，∴NG＝3 2.又AC＝AB＝3，BC＝2，∴AH＝22，∴S△ABC＝12·BC·AH＝22，∴V E-ABC＝V N-ABC＝13·S△ABC·NG＝63.。
高二数学点线面的位置关系试题答案及解析
高二数学点线面的位置关系试题答案及解析1.如图，在直三棱柱中，，，分别为和的中点.（1）求证：平面；（5分）（2）求三棱锥的体积.（7分）【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）这是常规题，只要在平面寻找到一条直线与平行即可，通常是通过再取中点构造中位线和平行四边形来达到证题目的，这题就是如此；（2）经常是通过体积计算来考查等积变换思想，三棱锥的体积，关键是三棱椎的高，直接求有难度，可通过变换顶点达到有利于求高的目的，这里就是转化为求三棱锥的体积来实现的.试题解析：（1）取边中点，连、，则，且，所以四边形是平行四边形，，且平面，平面. 5分（2）在等腰三角形中，易知⊥，又，∴平面由（1），平面又，，. 12分【考点】1.立体几何中线面位置关系的证明；2.几何体的体积计算，3.等积变换的思想.2.如图，斜三棱柱的底面是直角三角形，,点在底面内的射影恰好是的中点，且(1)求证:平面平面;(2)若，求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】解题思路：（1）作出辅助线，利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）合理转化三棱锥的顶点和底面，利用体积法求所求的点到平面的距离.规律总结：对于空间几何体中的垂直、平行关系的判定，要牢牢记住并灵活进行转化，线线关系是关键；涉及点到平面的距离问题，往往转化三棱锥的顶点，利用体积法求距离.试题解析：(1)取中点，连接，则面，，（2）设点到平面的距离，,【考点】1.空间中垂直的判定；2.点到平面的距离.3.如图所示，正三棱锥中，分别是的中点，为上任意一点，则直线与所成的角的大小是 ( )A．B．C．D．随点的变化而变化.【答案】B【解析】连接,因为为正三棱锥，所以，则有,所以，即直线与所成的角的大小是.【考点】（1）线面垂直的判定与性质应用；（2）线线角.4.设m，n是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，给出下列命题，正确的是（）. A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，，则【答案】B.【解析】对于A选项，可能m与相交或平行，对于选项B，由于，则在内一定有一直线设为与平行，又，则，又，根据面面垂直的判定定理，可知，故B选项正确，对于C选项，可能有，对于D选项，可能与相交.【考点】线面间的位置关系5.如图,在四棱锥中,⊥底面,四边形是直角梯形,⊥,∥,,.(1)求证:平面⊥平面；(2)求点C到平面的距离；(3)求PC与平面PAD所成的角的正弦值。
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点、线、面的位置关系●知识梳理（一）.平面公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。
公理2：不共线的三点确定一个平面. ．．．推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 推论2：两条相交直线确定一个平面. 推论3：两条平行直线确定一个平面.公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（二）空间图形的位置关系1.空间直线的位置关系：相交，平行，异面1.1平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
1.2等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
1.3异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；????,900??；1.4异面直线所成的角：（1）范围：（2）作异面直线所成的角：平移法.2.直线与平面的位置关系：包含，相交，平行3.平面与平面的位置关系：平行，相交（三）平行关系（包括线面平行，面面平行）1.线面平行：①定义：直线与平面无公共点.?//a?a//b??②判定定理：③性质定理：???a?//ba??//?aa???????b???b??2.线面斜交：①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面????,900??内射影的夹角。
范围：????//???；面面平行：①定义： 3.②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；?????////?,b//,b?b,a?O,aa符号表述：????//?,a?a?.符号表述：判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.??//???//??????a//?ab//a?））；（2③面面平行的性质：（1????a????b??（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）1.线面垂直①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。
???,?a?l?al?l.，则符号表述：若任意都有，且??,ba??O?ab????????l?l al?a,?l??（②判定：1（）；2）③性质：??al??b?l?????a//b?a?b,；3.2面面斜交①二面角：（1）定义：【如图】??的平面角?－lOA?l??AOB是二面角OB?l,?AOB?[0?,180?] 范围：②作二面角的平面角的方法：（1）定义法；（2）三垂线法（常用）；（3）垂面法.?????l???90；的平面角为3.3面面垂直（1）定义：若二面角，则??a????? 2）判定定理：（???a???????ABa???????a??MON?90MON??，则②，二面角的一个平面角为（3）性质：①若；???a??ABa??●热点例析【例1】热点一有关线面位置关系的组合判断ababl，则( )β＝．?α，?β若，，α是两条异面直线，α，β是两个不同平面，∩lab分别相交，A．与lab都不相交．，与 B lab中一条相交．，至多与 C lab中的一条相交．，至少与D lablalbababl至少与∥解析：假设与与，从而，是异面直线矛盾，故均不相交，则∥∥，，ab 中的一条相交．选，D.热点二线线、线面平行与垂直的证明ABCDABCDDDABCDABCDABADAD，－⊥平面＝，底面中，【例2】如图，在四棱台2是平行四边形，11111ABBAD ＝60°. ＝，∠11BDAA⊥(1)证明：；1．BDCCA∥平面(2)证明：11BDDDDDABCDBDABCD. ⊥平面⊥，且方法一：因为，所以?平面 (1)11ABDADBADAB，∠中，由余弦定理得又因为＝2＝60°，在△2222ADADBDABADAB －23＝·，＋cos 60°＝222DDADDADBDABADBD＋∩＝，.所以⊥＝.所以又1ABDADD.⊥平面所以11BDAAADDAAA.又?平面，故⊥1111ABCDABCDBDDD，(方法二：因为如图⊥平面)，且?平面1DDBD.所以⊥1DGGAB．)如图(，连接的中点取．ABDABADAGAD. 中，由得＝2在△＝BAD＝60°，又∠ADGGDGB，所以△＝为等边三角形，因此DBGGDB.故∠＝∠AGDGDB＝30°，＝60°，所以∠又∠ADBADGGDB＝60°＋30°＝90°，故∠＋∠＝∠BDAD.所以⊥ADDDDBDADDA. ＝又⊥平面∩，所以111AAADDAAABD. ⊥平面又，故?1111ACAC.(2)如图，连接，11EABDEAC.＝∩设，连接11ABCDECAC.因为四边形＝为平行四边形，所以2ABADABACECACEC，知由棱台定义及∥＝2＝＝2且111111AECC 为平行四边形．所以四边形11CCEA.因此∥11 ABDABDCCEA，，平面平面又因为?1111CCABD.∥平面所以11热点三面面平行与垂直的证明ABCDADBCABBCADBCPABCDPAPB，为平面＝＝2，【例3】在直角梯形外一点，且中，＝∥，4⊥，，PDPCNCD的中点．为，＝ABCDPCD⊥平面；求证：平面(1)EABPPCENE点的位置；若不存上是否存在一点∥平面在线段使得？若存在，说明理由并确定(2) 在，请说明理由．MNPNMPMAB，连接，， (1)证明：取，中点CDABPNPM.，⊥则⊥ABMNBCABCDAB. 又，∴为直角梯形，⊥⊥PMNABMNMPM. ＝∩⊥平面，∴∵PNPMNABPN.，∴⊥又?平面ABCDPNABCD.与∵相交，∴⊥平面ABCDPCDPNPCD.⊥平面，∴平面平面?又．11PCPBEFBFBPCECPEFMFNE，＝上分别取点，，使，连接＝，，(2)解：假设存在．在，，443EFBCEFBC＝则3.∥＝且可求得4MNMNBCEFMNEFMN. ，∴且∵＝3且∥∥＝MNEFENFM. 为平行四边形，∴∴四边形∥FMPAB，?又∵平面1PCENEABPCEPC.∥平面∴在线段＝上存在一点，此时使得 4热点四折叠问题?AB，中，AP//BC，AP例4如图所示，在直角梯形ABCP1AP?2?PCD、、，，沿CDCBGAB=BC=分别为PC的中点，将PD，D是AP的中点，E折起，使F2PD?平面ABCD得．（Ⅰ）求证：AP//平面EFG；PD?G?EF的大小．) (Ⅱ求二面角F P D AFEDAECBGG B C．AC,BD:连交于O点,连GO,FO,EO:解(Ⅰ)证明11CDCD GOGOEF?EF同理// //, 分别为PC,PD的中点,∴// ,∵E,F22?EO??平面EFOG．四边形EFOG是平行四边形, ?PA//EO,PC,AC的中点又在三角形PAC中,E,O分别为??EO平面EFOG,平面EFOG,PA?PA//平面EFOG,即PA//平面EFG．方法二)连AC,BD交于O点,连GO,FO,EO．11CDPB GEEF //,∴同理//,PC,PDE,F∵分别为的中点221AB CDEF?又//AB,// 2?B,EEG?EF?,PB?AB? PAB,平面EFG//平面?//PA?平面EFGPA又．平面PAB,xyz?D DPDA,DC,为方向向量建立空间直角坐标系为原点D,以．方法三)如图以:则有关点及向量的坐标为????????????.2,00,0,1,1C,0,2,0F,G1,2,0A,EP0,0,10,0,2,??????1,EG?10,1,,2,EF???0,1AP?,?2,0??zn?,x,y EFG的法向量为设平面?0?0?ynx?z?EF????.??????0??0yx?y?z???0EG?n????10n?,1,取．?AP?0?,?2n?0?0?1?2An??1, ∵?AP?平面又EFG．平面EFG．AP//DCAD??PD?ABCDABCD ,Ⅱ)由已知底面又∵是正方形面(DCD?PD?PD?AD?又?DDA0,2,0??AD?PCDPCD平面, ,的一个法向量向量=是平面??n01,,?EFG的法向量为又由(Ⅰ)方法三)知平面2Dn.?cosDA,n???222n?DA0.45DEF?G?结合图知二面角的平面角为热点五线线角线面角面面角●6ABCDABCD?PPA与底面中，侧棱例5正四棱锥所成角的正切值为。
2ABCDPAD所成二面角的大小；（1）求侧面与底面AE所成角的正切值；中点，求异面直线PD与E（2）若是PB?PAD的位置，并加以证明。
试确定点EFF，使得F侧面PBC（3）在侧面上寻找一点BDAC,ABCDOPA所成的角，∠ PAO就是与底面，∴⊥面）连（1，则交于点，连POPOABCD6。
PAO= tan∴∠2．3。
tan∠PAO =设AB=1，则PO=AO?2ABCD?PFOPAD与底面就是侧面，则OF⊥AD，所以，PF⊥AD，所以，设F为AD中点，连FO、PO所成二面角的平面角。
?PO?PFO?tan??3?PFOPFO?中，，∴在Rt。
3FO?ABCDPAD与底面所成二面角的大小为即面31//PDEO）的作法可知：O为BD中点，又因为E为PD中点，所以，。
（2）由（1?2EOD?所成的角。
就是异面直线PD与∴AE5522??ODPOPD??EO PDO?在Rt中，。
∴。
24EO?POAO?AOAO?BDAO?PBD。
所以，由面。
可知：，AOE?，中在Rt P10AO2?tan?AEO?。
5EO成的角的与AE所∴异面直线PD102正切是。
H 5E GFOBC连接交于点（3）延长，PGPGH中点，连接。
设为CD GH,EH。
G ABCD?P 为四棱锥∵正四棱锥OFK GBCADF为且中点，中为所以，BA点，FG?PGBCBC?，。
∴PFG面面PFGBC?PBC∴面⊥。
∴??PFO?PFGPG?PF?，，∴为正三角形。
∵3PBC 面?FH PG?FH。
，∴∴FH////FKKEHEHEKFHE?FK。
为平行四边形，及得四边形所以，，连EK，则由 K取AF中点为PBC?KE面。
∴学生练习●一、选择题???nm,,, 1．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：????????nm??m////?/n?m/m，则，，②若，则，①若????????//??n//m//m//n，则，，则③若④若，其中正确命题的序号是( )A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④a,b,c，则长方体体对角线长为（2．若长方体的三个面的对角线长分别是）1222222c?a?bca??b A．B ．232222222c?ba?c?ab?．．DC220,?ABC?30BCD,BD?DC,BD?DC,AC?a?ACA?BCDC底面,中到平面3,则点．在三棱锥ABD的距离是( )11．D A．B．5355ABCD?ABCDAC CEE垂直于（中，若）是4．在正方体的中点，则直线111111ADAD ACBD．C．D A．B．111P?ABCABCPHH 的（的高为），若三个侧面两两垂直，则5．三棱锥为△A．内心B．外心C．垂心D．重心2A?CD?BABCDAC1的余弦值为（在四面体中，已知棱的长为），其余各棱长都为，则二面角6．2311． D C A．． B ．3323aE,F SCABCS?AB的中点，和中，各个侧面都是边长为四面体分别是的正三角形，则异面直线7．SAEF所成的角等于（）与000030456090． D C．A．B．二、填空题??BA,cm64cmMAB为平面别分为的和距则，线段的中点到离离点1．面到平的距．_________________ _______。