空间点线面位置关系例题训练
2023版高考数学一轮总复习8-2空间点线面的位置关系习题
8.2 空间点、线、面的位置关系基础篇固本夯基考点一点、线、面的位置关系1.(2022届湘豫名校联盟11月联考,7)已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,给出下列命题:①若α∥β,m⊥α,则m⊥β;②若m∥n,m⊥α,则n⊥α;③若α⊥β,m⊥α,则m∥β;④若m⊥n,m⊥α,则n∥α.其中真命题有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案 B2.(2022届山东青岛期中,7)已知a,b,c,d是四条直线,如果a⊥c,a⊥d,b⊥c,b⊥d.则结论“a∥b”与“c∥d”中成立的情况是( )A.一定同时成立B.至多一个成立C.至少一个成立D.可能同时不成立答案 C3.(2022届南宁摸底,8)如图是长方体的展开图,AD=2AB,四边形ABFE为正方形,P、Q分别为AD、HI的中点,给出下列判断:①AM∥CG,②AF∥DK,③BP∥JQ,④BP⊥QJ.其中正确的个数为( )A.0B.1C.2D.3答案 C4.(20215·3原创题)中国文化源远流长,折纸文化传承已久,如图1所示,六个等边三角形沿虚线折起得到的几何体如图2所示,则异面直线的对数为( )A.6对B.9对C.12对D.15对答案 C5.(2021安徽江南十校一模,7)设a、b为两条直线,则a∥b的充要条件是( )A.a、b与同一个平面所成角相等B.a、b垂直于同一条直线C.a、b平行于同一个平面D.a、b垂直于同一个平面答案 D6.(2020四川九市二诊,5)已知m,n是两条不重合的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m∥α,n⊂α,则m∥nC.若m⊥n,m⊥α,则n∥αD.若m⊥α,n∥α,则m⊥n答案 D7.(2021河南洛阳二模,12)在正四棱柱(侧面为矩形,底面为正方形的棱柱)ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1的中点,则以下结论中不成立的是( )A.EF⊥BB1B.EF⊥BDC.EF与CD为异面直线D.EF与A1C1为异面直线答案 D8.(2021东北三省四市联考,16)已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2BC=4,E是C1D1的中点,且异面直线AD1与CE所成的角是60°.则在此长方体的表面上从A1到C的路径中,最短路径的长度为.答案4√29.(2020新高考Ⅰ,16,5分)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°.以D1为球心,√5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为.答案√2π2考点二异面直线所成的角1.(2022届新疆克拉玛依检测三,4)我们打印用的A4纸的长与宽的比约为√2,之所以是这个比值,是因为把纸张对折,得到的纸的长与宽之比仍约为√2,纸张的形状不变.已知圆柱的母线长小于底面圆的直径长(如图所示),它的轴截面ABCD为一张A4纸大小,若点E为上底面圆上弧AB的中点,则异面直线DE与AB所成的角约为( )A.π6B.π4C.π3D.2π3答案 C2.(2022届河南洛阳期中,9)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,D1、E1分别是A1B1、A1C1的中点,CA=CB=CC1,则AE1与BD1所成角的余弦值为( )A.√1515B.√3015C.√1510D.√3010答案 D3.(2018课标Ⅱ,9,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )A.√22B.√32C.√52D.√72答案 C4.(2021东北三省四市联考,8)长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=4,AA1=4√3.过BC的平面分别交线段AA1,DD1于M、N两点,四边形BCNM为正方形,则异面直线D1M与BD所成角的余弦值为( )A.√1414B.√2114C.√144D.4√3535答案 D5.(2021山西晋中二模,6)如图,圆锥的轴截面ABC为正三角形,其面积为4√3,D为AA⏜的中点,E为母线BC的中点,则异面直线AC,DE所成角的余弦值为( )A.√24B.√22C.√63D.√33答案 B综合篇知能转换考法一点、线、面位置关系的判定及应用1.(2021河南九师联盟1月联考,11)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为底面ABCD的中心,E 为线段A1D1上的动点(不包括两个端点),Q为线段AE的中点.现有以下结论:①PE与QC是异面直线;②过A、P、E三点的正方体的截面与正方体表面的交线围成的图形是等腰梯形;③平面APE⊥平面BDD1B1;④PE∥平面CDD1C1.其中正确结论的序号是( )A.①④B.②③C.②④D.①③答案 B2.(2019课标Ⅲ,8,5分)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则( )A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线答案 B3.(2020吉林4月联考,11)我国古代的数学著作《九章算术·商功》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,M、N分别是BB1和A1C1的中点,则平面AMN截“堑堵”ABC-A1B1C1所得截面图形的面积为( )A.2√213B.4√213C.2√73D.4√73答案 A4.(2022届黑龙江大庆实验中学月考,11)给出下列命题:①若△ABC的三条边所在直线分别交平面α于P,Q,R三点,则P,Q,R三点共线;②若直线a,b是异面直线,直线b,c是异面直线,则直线a,c是异面直线;③若三条直线a,b,c两两平行且分别交直线l于A,B,C三点,则这四条直线共面;④对于三条直线a,b,c,若a⊥c,b⊥c,则a∥b.其中所有真命题的序号是( )A.①②B.①③C.③④D.②④答案 B5.(2022届成都期中,12)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P是空间中任意一点,有下列结论:;①若P为棱CC1中点,则异面直线AP与CD所成角的正切值为√52;②若P在线段A1B上运动,则AP+PD1的最小值为√6+√22③若P在以CD为直径的球面上运动,当三棱锥P-ABC体积最大时,三棱锥P-ABC外接球的表面积为2π;④若过点P的平面α与正方体每条棱所成角相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为3√3.4其中正确结论的个数为( )A.4B.3C.2D.1答案 B6.(2022届山西长治第二中学月考,15)已知两条不同的直线m,n,两个不重合的平面α,β,给出下列5个命题:①m∥n,m⊥α⇒n⊥α;②α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥n;③m∥n,m∥α⇒n∥α;④m⊥α,m∥β⇒α⊥β;⑤α∥β,m∥n,m⊥α⇒n⊥β.其中正确命题的序号是.答案①④⑤7.(2021内蒙古赤峰2月月考,16)如图,在棱长为2的正方体中,点M、N在棱AB、BC上,且AM=BN=1,P在棱AA1上,α为过M、N、P三点的平面,则下列说法正确的是.①存在无数个点P,使面α与正方体的截面为五边形;②当A1P=1时,面α与正方体的截面面积为3√3;③只有一个点P,使面α与正方体的截面为四边形;④当面α交棱CC1于点H时,PM、HN、BB1三条直线交于一点.答案①②④考法二异面直线所成角的求解方法1.(2022届黑龙江模拟,8)如图,某圆锥SO的轴截面SAC是等边三角形,点B是底面圆周上的一点,且∠BOC=60°,点M是SA的中点,则异面直线AB与CM所成角的余弦值是( )A.13B.√74C.34D.√32答案 C2.(2020湖北重点高中联考,8)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为等腰直角三角形,且斜边BC=2,D是BC的中点,若AA1=√2,则异面直线A1C与AD所成角的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案 C3.(2021全国乙,10,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为( )A.π2B.π3C.π4D.π6答案 D4.(2021全国重点中学领航高考冲刺卷(九),9)已知SA,SB,SC是圆锥SO的三条母线,如图为圆锥SO的正视图,点S,A,B,C在圆锥SO的正视图中分别对应点S',A',B',C',其中C'为A'B'的中点,若D为母线SB的中点,则异面直线SC与OD所成角的余弦值为( )A.√34B.√23C.34D.23答案 C5.(20215·3原创题)沿正三角形ABC的中线AD翻折,使点B与点C间的距离等于中线AD的长,若三棱锥A-BCD的体积为2,则异面直线AC与BD所成角的余弦值为.答案14。
空间点、直线、平面之间的位置关系练习题(基础、经典、好用)
空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1．以下四个命题中①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．32．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定()A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行3．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是()图7－3－74．(2013·揭阳模拟)如图7－3－7，正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是()A.55B.255C.12D．25．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是()A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC二、填空题图7－3－86．(2013·深圳质检)如图7－3－8是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．7．(2013·韶关模拟)设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中正确的命题是________(只填序号)．图7－3－98．如图7－3－9所示，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝2∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．三、解答题图7－3－109．如图7－3－10所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为CC1，AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线．图7－3－1110．如图7－3－11所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为A1A，C1C的中点，求证：四边形EBFD1是菱形．图7－3－1211．如图7－3－12，三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．(1)求异面直线AE和PB所成角的余弦值；(2)求三棱锥A—EBC的体积．解析及答案一、选择题1．【解析】①中显然是正确的；②中若A、B、C三点共线则A、B、C、D、E五点不一定共面．③构造长方体或正方体，如图显然b、c异面故不正确．④中空间四边形中四条线段不共面，故只有①正确．【答案】B2．【解析】若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，则a∥b与a，b异面相矛盾．【答案】C3．【解析】在A图中分别连接PS，QR，易证PS∥QR，∴P，Q，R，S共面；在C图中分别连接PQ，RS，易证PQ∥RS，∴P，Q，R，S共面．在B图中过P，Q，R，S可作一正六边形，故四点共面；D图中PS与QR为异面直线，∴四点不共面，故选D.【答案】D4．【解析】如图，取AC中点G，连FG、EG，则FG∥C1C，FG＝C1C；EG∥BC，EG＝12BC，故∠EFG即为EF与C1C所成的角，在Rt△EFG中，cos∠EFG＝FGFE＝25＝255.【答案】B5．【解析】由公理1知，命题A正确．对于B，假设AD与BC共面，由A正确得AC与BD共面，这与题设矛盾，故假设不成立，从而结论B正确．对于C，如图，当AB＝AC，DB＝DC，使二面角A—BC—D的大小变化时，AD与BC不一定相等，故不正确．对于D，如图，取BC的中点E，连接AE，DE，则由题设得BC⊥AE，BC⊥DE.根据线面垂直的判定定理得BC⊥平面ADE，从而AD⊥BC.故D正确．【答案】C二、填空题6．【解析】还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.【答案】②③④7．【解析】由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行，或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．【答案】①8．【解析】取A1C1的中点D1，连接B1D1，因为D是AC的中点，所以B1D1∥BD，所以∠AB1D1即为异面直线AB1与BD所成的角．连接AD1，设AB＝a，则AA1＝2a，所以AB1＝3a，B1D1＝32a，AD1＝14a2＋2a2＝32a.所以cos∠AB1D1＝3a2＋34a2－94a22×3a×32a＝12，所以∠AB1D1＝60°.【答案】60°三、解答题9．【解】在平面AA1D1D内，延长D1F，∵D1F与DA不平行，∴D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈D1F，P∈DA.又∵D1F⊂平面BED1F，AD⊂平面ABCD，∴P∈平面BED1F，P∈平面ABCD.又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，连接PB，∴PB即为平面BED1F与平面ABCD 的交线．如图所示．10．【证明】如图所示，取B1B的中点G，连接GC1，EG，∵GB∥C1F，且GB＝C1F，∴四边形C1FBG是平行四边形，∴FB∥C1G，且FB＝C1G，∵D1C1∥EG，且D1C1＝EG，∴四边形D1C1GE为平行四边形．∴GC1∥D1E，且GC1＝D1E，∴FB∥D1E，且FB＝D1E，∴四边形EBFD1为平行四边形．又∵FB＝FD1，∴四边形EBFD1是菱形．11．【解】(1)取BC的中点F，连结EF，AF，则EF∥PB.所以∠AEF就是异面直线AE和PB所成的角或其补角．∵∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，∴AF＝3，AE＝2，EF＝2，cos∠AEF＝2＋2－32×2×2＝14.(2)因为E是PC中点，所以E到平面ABC的距离为12PA＝1，V A—EBC＝V E—ABC＝13×34×4×1＝33.。
立体几何第二章空间点线面的位置关系单元测试题(含详细答案解析)
第二章综合素能检测本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线l1∥l2，在l1上取3个点，在l2上取2个点，由这5个点能确定平面的个数为错误!（)A．5B．4C．9D．1［答案] D［解析]由经过两条平行直线有且只有一个平面可知分别在两平行直线上的5个点只能确定一个平面．2．教室内有一直尺,无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线错误!()A．平行B．垂直C．相交D．异面[答案] B[解析］当直尺垂直于地面时，A不对；当直尺平行于地面时，C不对；当直尺位于地面上时,D不对．3．已知m、n是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则下列命题正确的是错误!(）A．若α、β垂直于同一平面,则α与β平行B．若m、n平行于同一平面，则m与n平行C．若α、β不平行．．．与β平行的直线．．．,则在α内不存在D．若m、n不平行．．．垂直于同一平面．．．，则m与n不可能［答案］ D［解析]A项,α、β可能相交，故错误；B项，直线m、n的位置关系不确定,可能相交、平行或异面,故错误；C项，若m⊂α,α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误;D项,假设m、n垂直于同一平面，则必有m∥n,所以原命题正确，故D项正确．4．已知α、β是两个平面，直线l⊄α，l⊄β,若以①l⊥α;②l∥β；③α⊥β中两个为条件,另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有导学号 92180600（) A．①③⇒②；①②⇒③B．①③⇒②；②③⇒①C．①②⇒③；②③⇒①D．①③⇒②；①②⇒③；②③⇒①［答案] A［解析]因为α⊥β，所以在β内找到一条直线m，使m⊥α，又因为l⊥α,所以l∥m.又因为l⊄β，所以l∥β，即①③⇒②;因为l∥β，所以过l可作一平面γ∩β＝n，所以l∥n,又因为l⊥α，所以n⊥α，又因为n⊂β，所以α⊥β，即①②⇒③。
立体几何高考专题之空间点线面的位置关系(原卷版含解析)
专题08 立体几何第二十讲空间点线面的位置关系2019年1.(2019全国III文8）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则A．BM=EN，且直线BM、EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM=EN，且直线BM、EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线2.（2019全国1文19）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．3.（2019全国II文7）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面4.（2019北京文13）已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．5.（2019江苏16）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ． 求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1； （2）BE ⊥C 1E ．6.（2019全国II 文17）如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C -的体积．7.(2019全国III 文19）图1是由矩形ADEB 、Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°.将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2.（1）证明图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的四边形ACGD 的面积.8.（2019北京文18）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底部ABCD 为菱形，E 为CD 的中点． （Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若∠ABC =60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；（Ⅲ）棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面PAE ？说明理由．9.（2019天津文17）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD 为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =，（Ⅰ）设G H ，分别为PB AC ，的中点，求证：GH ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：PA ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值.10.（2019江苏16）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ． 求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1； （2）BE ⊥C 1E ．11.（2019浙江19）如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点. （1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.12.（2019北京文18）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底部ABCD 为菱形，E 为CD 的中点． （Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若∠ABC =60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；（Ⅲ）棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面PAE ？说明理由．13.（2019全国1文16）已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为___________．14.（2019全国1文19）如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点.（1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求点C 到平面C 1DE 的距离．15.（2019天津文17）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD 为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =，（Ⅰ）设G H ，分别为PB AC ，的中点，求证：GH ∥平面PAD ；（Ⅱ）求证：PA ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值.16.（2019浙江8）设三棱锥V -ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P -AC -B 的平面角为γ，则 A ．β<γ，α<γB ．β<α，β<γC ．β<α，γ<αD ．α<β，γ<β17.（2019浙江19）如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点. （1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.2015-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅱ)在正方体1111-ABCD A B C D 中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为A ．22B ．32C ．52D ．722．(2018浙江)已知平面α，直线m ，n 满足m α⊄，n α⊂，则“m ∥n ”是“m ∥α”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2017新课标Ⅰ）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是4．（2017新课标Ⅲ）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥5．（2016年全国I 卷）平面α过正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α平面ABCD =m ，α平面ABB 1 A 1=n ，则m ，n 所成角的正弦值为A 3B ．22 C3 D ．136．（2016年浙江）已知互相垂直的平面αβ， 交于直线l ．若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则 A ．m ∥l B ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n三、解答题7．（2018全国卷Ⅱ）如图，在三棱锥-P ABC 中，22==AB BC4====PA PB PC AC ，O 为AC 的中点．O MPCBA(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且2=MC MB ，求点C 到平面POM 的距离．8．（2018全国卷Ⅲ）如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．ABCD M9（2018北京）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA =PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．PFEDCBA(1)求证：PE ⊥BC ；(2)求证：平面PAB ⊥平面PCD ； (3)求证：EF ∥平面PCD ．10．（2018天津）如图，在四面体ABCD 中，ABC ∆是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，2AB =，AD =90BAD ∠=．(1)求证：AD ⊥BC ；(2)求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； (3)求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．M A BCD11．(2018江苏)在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，111AB B C ⊥．D 11B 1A 1DCBA求证：(1)AB ∥平面11A B C ；(2)平面11ABB A ⊥平面1A BC ．12．(2018浙江)如图，已知多面体111ABCA B C ，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．C 1B 1A 1CBA(1)证明：1AB ⊥平面111A B C ；(2)求直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值．13．（2017新课标Ⅱ）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=． DCBA P(1)证明：直线BC ∥平面PAD ；(2)若PCD ∆的面积为P ABCD -的体积。
空间几何计算练习题求点线面的位置关系
空间几何计算练习题求点线面的位置关系一、点、线、面的定义在空间几何中，点、线、面是最基本的概念。
点是空间中的一个位置；线是由无数个点按照一定规律排列而成的；面是由无数个线按照一定规律排列而成的。
二、求点、线、面的位置关系在空间中，点、线、面可能存在不同的位置关系。
下面通过一些具体的计算练习题，来求解它们之间的位置关系。
1. 点与线的位置关系设空间中有一条直线L，以及一个点P，求点P与直线L的位置关系。
解题步骤：1) 判断点P是否在直线L上。
通过判断点P是否满足直线L的方程来确定。
若点P满足直线L的方程，则点P在直线L上；若点P不满足直线L的方程，则点P不在直线L上。
2. 点与面的位置关系设空间中有一个平面面，以及一个点P，求点P与平面面的位置关系。
解题步骤：1) 判断点P是否在平面面上。
通过判断点P是否满足平面面的方程来确定。
若点P满足平面面的方程，则点P在平面面上；若点P不满足平面面的方程，则点P不在平面面上。
3. 线与线的位置关系设空间中有两条直线L1和L2，求直线L1与直线L2的位置关系。
解题步骤：1) 判断直线L1是否与直线L2重合。
通过判断直线L1和L2是否满足同一方程来确定。
若直线L1和L2满足同一方程，则直线L1与L2重合；若直线L1和L2不满足同一方程，则直线L1与L2不重合。
4. 线与面的位置关系设空间中有一条直线L和一个平面面，求直线L与平面面的位置关系。
解题步骤：1) 判断直线L是否与平面面平行。
通过判断直线L的方向向量是否与平面面的法向量平行来确定。
若直线L的方向向量与平面面的法向量平行，则直线L与平面面平行；若直线L的方向向量与平面面的法向量不平行，则直线L与平面面不平行。
5. 面与面的位置关系设空间中有两个平面面1和面2，求面1与面2的位置关系。
解题步骤：1) 判断面1是否与面2平行。
通过判断面1的法向量是否与面2的法向量平行来确定。
若面1的法向量与面2的法向量平行，则面1与面2平行；若面1的法向量与面2的法向量不平行，则面1与面2不平行。
点线面的位置关系练习题计算与判断
点线面的位置关系练习题计算与判断在几何学中，点、线、面是基本的几何概念，它们之间的位置关系是我们学习几何学的基础。
本文将通过一系列的练习题，来帮助我们更好地理解和计算点线面之间的位置关系，并进行判断。
练习题一：点与线的位置关系计算1. 以点A(2, 3)和线段AB为例，线段AB的两个端点分别是A(2, 3)和B(4, 5)。
现在需要计算点A与线段AB的位置关系。
解答：首先，我们可以计算线段AB的斜率k，公式为k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (5 - 3) / (4 - 2) = 1。
然后，计算点A到线段AB的垂直距离h，公式为h = |k * x - y + kx1 - y1| / √(k^2 + 1) = |1 * 2 - 3 + 1 * 2 - 3| / √(1^2 + 1^2) = 0。
当垂直距离h等于0时，表示点A在线段AB上。
2. 现在考虑点A(2, 3)与直线y = 2x的位置关系。
解答：首先，直线y = 2x的斜率为2。
然后，计算点A到直线的垂直距离h，h = |k * x - y + kx1 - y1| / √(k^2 + 1) = |2 * 2 - 3 + 2 * 0 - 3| / √(2^2 + 1^2) = 1。
当垂直距离h不等于0时，表示点A不在直线y = 2x上。
练习题二：点与面的位置关系判断3. 现有一个平面P：2x + 3y + 5z = 10和点A(2, 1, 0)，判断点A是否在平面P上。
解答：将点A(2, 1, 0)的坐标代入平面P的方程，判断是否满足2 * 2 +3 * 1 + 5 * 0 =4 + 3 + 0 = 7 ≠ 10。
当点A的坐标代入平面P的方程不满足等式时，表示点A不在平面P上。
4. 考虑平面Q：x + 2y + 3z = 6和点A(1, 2, 0)，判断点A是否在平面Q上。
解答：将点A(1, 2, 0)的坐标代入平面Q的方程，判断是否满足1 +2 * 2 +3 * 0 = 1 +4 + 0 =5 ≠ 6。
空间点、直线、平面之间的位置关系跟踪训练
8.4空间点、直线、平面之间的位置关系跟踪训练一、选择题1、下列命题是真命题的是( )A．空间任意三个点确定一个平面B．一条直线和直线外一点确定一个平面C．两两相交的三条直线确定一个平面D．两两平行的三条直线确定三个平面2、如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法不正确的是( )A．AB与CD是异面直线B．GH与CD相交C．EF∥CDD．EF与AB异面3、a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是( )A.若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B.若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C.若a∥b，则a，b与c所成的角相等D.若a⊥b，b⊥c，则a∥c4、已知α，β，γ是平面，a，b，c是直线，α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，若a∩b ＝P，则( )A．P∈c B．P∉cC．c∩a＝∅D．c∩β＝∅5、在三棱锥A-BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF∩HG＝P，则点P( )A．一定在直线BD上B．一定在直线AC上C．在直线AC或BD上D．不在直线AC上，也不在直线BD上6、已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n 两两相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7、如图，点E，F，G，H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中棱AA1，AB，BC，C1D1的中点，则( )A．GH＝2EF，且直线EF，GH是相交直线B．GH＝2EF，且直线EF，GH是异面直线C．GH≠2EF，且直线EF，GH是相交直线D．GH≠2EF，且直线EF，GH是异面直线8、如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的图是( )9、如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是( )A．直线AC B．直线ABC．直线CD D．直线BC10、如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为( )A．30°B．45°C．60°D．90°11、若平面α和直线a，b满足a∩α＝A，b⊂α，则a与b的位置关系是( )A．相交B．平行C．异面D．相交或异面12、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是( )A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C113、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，下列结论正确的是( )A．AP与CM是异面直线B．AP，CM，DD1相交于一点C．MN∥BD1D．MN与平面BB1D1D相交14、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为( )A．π2B．π3C．π4D．π615、如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE＝14SB，则异面直线SC与OE所成角的正切值为( )A．222B．53C．1316D．11316、如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则直线GH，MN是异面直线的图形有( )A．①②B．①③C．②③D．②④17、已知平面α∩平面β＝直线l，点A，C∈平面α，点B，D∈平面β，且A，B，C，D∉l，点M，N分别是线段AB，CD的中点，则下列说法正确的是( ) A．当CD＝2AB时，M，N不可能重合B．M，N可能重合，但此时直线AC与l不可能相交C．当直线AB，CD相交，且AC∥l时，BD可与l相交D．当直线AB，CD异面时，MN可能与l平行二、填空题18、已知a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列说法中正确的序号为________．①若a平行于α内的无数条直线，则a∥α；②若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；③若α∥β，a⊂α，则a∥β；④若α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交．19、已知在棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是________．20、如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________．21、如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中：①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN是异面直线．以上结论中，正确结论是________．(填序号)三、解答题22、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1，H，O三点共线．23、如图，已知在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，且直线BC 与MN 所成的角为30°，求BC 与AD 所成的角．24、在四棱锥O -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点．(1)求四棱锥O -ABCD 的体积；(2)求异面直线OC 与MD 所成角的正切值．25、如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点. (1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？。
空间点、直线、平面之间的位置关系和平行判定习题
1.点A 在直线上,记作 ；点A 在平面α内,记作 ；直线α在平面α内,记作 .2.平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下：3.公理的作用：（1）公理1作用：判断直线是否在平面内；（2）公理2作用：确定一个平面的依据；（3）公理3作用：判定两个平面是否相交的依据. 4. 空间两条直线的位置关系：5. 等角定理：6. 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）. 所成的角的大小与点的选择无关，为了简便，点通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作. 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算.7. 公理4：8. 公理4作用：判断空间两条直线 的依据.9.直线与平面有三种位置关系：（1） —— 有无数个公共点（2）——有且只有一个公共点（3）——没有公共点10. 两个平面之间有两种位置关系：（1）——没有公共点（2）——有且只有一条公共直线2.2 直线、平面平行的判定及其性质11.判定定理的符号表示为：.12. 证明线面平行的根本问题是要在平面内找一直线与已知直线平行，此时常用中位线定理、成比例线段、射影法、平行移动、补形等方法，具体用何种方法要视条件而定.13.面面平行判定定理：．用符号表示为：.14. 垂直于同一条直线的两个平面平行.15. 平面α上有不在同一直线上的三点到平面β的距离相等，则α与β的位置关系是.16.线面平行的性质定理：符号语言：18. 面面平行的性质：. 用符号语言表示为：.19. 其它性质：①；②；③夹在平行平面间的平行线段相等.1．四面体ABCD中，AB＝CD＝2，E、F分别是AC、BD的中点，且EF＝3，则AB与CD所成的角为__________．3 / 72．在空间四边形ABCD 中，已知AD ＝1，BC ＝3，且AD ⊥BC ，对角线BD ＝213，AC ＝23，求AC 和BD 所成的角．3．已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 各边AB 、AD 、CB 、CD 上的点，并且有GB CG EB AB ＝，HD CH FD AF ＝，试证EF 、GH 、BD 共点或两两平行．4 已知异面直线a 、b 所成的角为60°，在过空间一定点P 的直线中，与a ，b 所成的角均为60°的直线有多少条？过P 与a 、b 所成角均为50°，或均为70°的直线又各有多少呢？希望读者通过对上述三个具体问题的求解，总结解题方法，然后再探讨关于与异面直线成等角的直线的存在性问题的一般性情况：已知异面直线a ，b 所成的角为θ0且θ0＜90°，过空间一点P 的直线中与a ，b 所成的角均为θ的直线有多少条？5．已知长方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别是1BB 和BC 的中点，AB=4，AD=2，1521=BB ，求异面直线D B 1与MN 所成角的余弦值。
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空间点、线、面的位置关系【基础回顾】1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过____________的一条直线．公理3：经过____________________的三点，有且只有一个平面．推论1：经过____________________，有且只有一个平面．推论2：经过________________，有且只有一个平面．推论3：经过________________，有且只有一个平面．2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线判定定理过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内______________的直线是异面直线．(3)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的____________叫做异面直线a，b所成的角．②范围：____________.3．公理4平行于____________的两条直线互相平行．4．定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角________．自我检测1．若直线a与b是异面直线，直线b与c是异面直线，则直线a与c的位置关系是____________．2．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对．3．三个不重合的平面可以把空间分成n部分，则n的可能取值为________．4．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成角的大小为________．5．下列命题：①空间不同三点确定一个平面；②有三个公共点的两个平面必重合；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④三角形是平面图形；⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；⑥垂直于同一直线的两直线平行；⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；⑧两组对边相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题是________(填序号).【例题讲解】1、平面的基本性质例1如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，AH∶HD=3∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连结EH.求证：EH、FG、BD三线共点．变式迁移1如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG 相交于点O.求证：B、D、O三点共线．2、异面直线的判定例2如图所示，直线a、b是异面直线，A、B两点在直线a上，C、D两点在直线b上．求证：BD和AC是异面直线．变式迁移2如图是正方体或四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的是________(填序号)．3、异面直线所成的角例3已知三棱柱ABC—A 1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为____________________________________________________________________ ____．变式迁移3在空间四边形ABCD中，已知AD＝1，BC＝，且AD⊥BC，对角线BD＝，AC ＝，求AC和BD所成的角．二、空间的平行关系基础回顾1．空间直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线a和平面α的位置关系有三种：________、__________、__________.(2)两个平面的位置关系有两种：________和________．2．直线与平面平行的判定与性质(1)判定定理：如果平面外一条直线和这个________________平行，那么这条直线与这个平面平行．(2)性质定理：一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．3．平面与平面平行的判定与性质(1)判定定理：如果一个平面内有________________都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(2)性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线________．自我检测1．下列各命题中：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个相交；④垂直于同一直线的两个平面平行．不正确的命题个数是________．2．经过平面外的两点作该平面的平行平面，可以作______个．3．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是________．4．已知α、β是不同的两个平面，直线a?α，直线b?β，命题p：a与b没有公共点；命题q：α∥β，则p是q的________条件．【例题讲解】1、线面平行的判定例1已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P、Q分别是对角线AE、BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.变式迁移1在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN∥平面PAD.2、面面平行的判定例2在正方体ABCD—A 1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.变式迁移2已知P为△ABC所在平面外一点，G1、G2、G3分别是△PAB、△PCB、△PAC的重心．求证：平面G1G2G3∥平面ABC；3、平行中的探索性问题例3如图所示，在四棱锥P—ABCD中，CD∥AB，AD⊥AB，AD＝DC＝AB，BC⊥PC.(1)求证：PA⊥BC；(2)试在线段PB上找一点M，使CM∥平面PAD，并说明理由．变式迁移3如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P 是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?三、空间的垂直关系基础回顾1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法．②利用判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条________直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也________这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内________直线．②垂直于同一个平面的两条直线________．③垂直于同一直线的两个平面________．2．直线与平面所成的角平面的一条斜线与它在这个平面内的________所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，说它们所成的角为________；直线l∥α或l?α，说它们所成的角是______角．3．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法．②利用判定定理：如果一个平面经过另一个平面的____________，那么这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的性质如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们________的直线垂直于另一个平面．4．二面角的平面角以二面角的棱上的任意一点为端点，在两个面内分别作________棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．自我检测1．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是________(填序号)．①若l⊥m，m?α，则l⊥α；②若l⊥α，l∥m，则m⊥α；③若l∥α，m?α，则l∥m；④若l∥α，m∥α，则l∥m.2．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；②存在平面γ，使得α，β都平行于γ；③存在直线l?α，直线m?β，使得l∥m；④存在异面直线l、m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.其中，可以判定α与β平行的条件有________个．【例题讲解】1、线面垂直的判定与性质例1Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC.求证：BD⊥平面SAC.变式迁移1四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD.已知∠ABC＝45°，SA＝SB.证明：SA⊥BC.2、面面垂直的判定与性质例2如图所示，已知四棱柱ABCD—A 1B1C1D1的底面为正方形，O1、O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD内的射影是O.求证：平面O1DC⊥平面ABCD.变式迁移2如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.3、直线与平面、平面与平面所成的角例3如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝2a，AD＝a，点E是SD上的点，且DE＝λa(0<λ≤2)．(1)求证：对任意的λ∈(0,2]，都有AC⊥BE；(2)设二面角C—AE—D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若tanθtanφ＝1，求λ的值．变式迁移3如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面PAC.(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成角的正弦值．(3)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．。