华师版数学八年级上册 同步测试：14.1《勾股定理》(无答案)
华师版八年级上册数学 第14章 勾股定理 勾股定理 第1课时 直角三角形三边的关系
第14章 勾股定理
14．1 勾股定理
1．直角三角形三边的关系 第1课时 直角三角形三边的关系
知识点：勾股定理 1．下列说法正确的是( D) A．若a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2 B．若a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2 C．若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则a2＋b2＝c2 D．若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠C＝90°，则a2＋b2＝c2
解：(1)∵AE＝BE，∴S△ABE＝12AE·BE＝12AE2.又∵AE2＋BE2＝ AB2，∴2AE2＝AB2，∴S△ABE＝14AB2＝14×32＝94.
(2)同理可得 S△AHC＋S△BCF＝14AC2＋14BC2. 又∵AC2＋BC2＝AB2，∴阴影部分的面积为14AB2＋14AB2＝12AB2＝12 ×32＝92.
易错点：斜边不确定时，应用勾股定理求边长漏解 9．已知直角三角形两边长分别为3和5，则第三边的长为____3_4_或__4_．
10．如图，直线l同侧有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别为5 和11，则b的面积为( C ) A．4 B．6 C．16 D．55
11．(2016·荆门)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分 线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( C) A．5 B．6 C．8 D．10
2．利用如图所示的两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学 中一个十分著名的定理，这个定理称为___勾__股__定__理____，该定理中结 论的数学表达式是____a_2_＋__b_2_＝__c_2 _____．
3．求图中直角三角形中未知边的长度：c＝___1_5__，b＝___1_2__．
16．如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AD＝13，BC⊥AB， 对角线AC⊥CD，求CD的长．
华师大版八年级上册数学第14章 勾股定理含答案
华师大版八年级上册数学第14章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、直线l上有三个正方形A、B、C放置如图所示，若正方形A、C的面积分别为1和12，则正方形B的面积为（）．A.11B.12C.13D.2、三角形各边（从小到大）长度的平方比，如下列各组，其中不是直角三角形的是（）A.9∶25∶26B.1∶3∶4C.1∶1∶2D.25∶144∶1693、下列各组数中，是勾股数的为（）A.1.5，2，2.5B.7，24，25C.0.3，0.4，0.5D.n，， n+14、已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足（a﹣5）2+|b﹣12|+c2﹣26c+169=0，则三角形的形状是（）A.底与边不相等的等腰三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.直角三角形5、若等腰三角形中相等的两边长为10 cm，第三边长为16 cm，那么第三边上的高为 ( )A.12 cmB.10 cmC.8 cmD.6 cm6、如图所示的一块地，已知∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=25m，BC=20m，则这块地的面积为（）平方米．A.96B.204C.196D.3047、如图，在矩形中，，点E是边上一动点，将沿直线对折，点A的落点为，当为直角三角形时，线段的长为（）A.3B.4C.6或3D.3或48、以线段a、b、c 的长为边长能构成直角三角形的是（）A.3、4、6B.5、6、8C. 、2、D.1、、9、如图，四边形，四边形，四边形都是正方形．则图中与相似的三角形为（）A. B. C. D.10、如图，在平面直角坐标系中，，，，点P为的外接圆的圆心，将绕点O逆时针旋转，点P的对应点P’的坐标为（）A. B. C. D.11、如图，△ABC中，AC＝4，BC＝3，AB＝5，AD为△ABC的角平分线，则CD 的长度为（）A.1B.C.D.12、说明“若a是实数，则a2＞0”是假命题，可以举的反例是（）A.a=﹣1B.a=1C.a=0D.a=213、直角三角形两直角边的长分别为3和4，则此直角三角形斜边上的中线长为（）A.1.5B.2C.2.5D.514、“勾股图”有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣.1955年希腊发行了以“勾股图”为背景的邮票（如图1），欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究.如图2，在中，，分别以的三条边为边向外作正方形，连结，，，分别与，相交于点P，Q.若，则的值为（）A. B. C. D.15、以长度分别为下列各组数的线段为边，其中能构成直角三角形的是（）．A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，二、填空题(共10题，共计30分)16、一直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为________17、如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC= ∠BAC，则tan∠BPC=________．18、若的三边长分别是6、8、10，则最长边上的中线长为________.19、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB于点E，若CD＝1，则BD＝________．20、已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，弦PQ∥AB交弦CD于点M，BE=18，CD=PQ=24，则OM的长为________．21、如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E在CD边上，EC＝3DE，点F在AD 边上（异于点C），且∠AFE＝∠AFB，则BF长为________．22、已知，在 Rt△ABC中，∠ABC=90°， BD平分∠ ABC，∠CAD=45， AC=4，点E是线段BD的中点，则CE的最小值为________．23、如图为正三角形ABC与正方形DEFG的重叠情形，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD=BE．若AC=18，GF=6，则F点到AC的距离为________．24、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别为8cm2， 10cm2，14cm2，则正方形D的面积是________ cm2．25、如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，方格纸上每个小正方形的面积为1．⑴在方格纸上，以线段AB为边画正方形ABCD，并计算所画正方形ABCD的面积．⑵请你在图上分别画出面积为5正方形A1B1C1D1和面积为10的正方形A 2B2C2D2，正方形的各个顶点都在方格纸的格点上．27、有一架秋千,当它静止时，踏板离地的垂直高度DE=1m，将它往前推送5m(水平距离BC=5m)时，秋千的踏板离地的垂直高度BF=3m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度?28、如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，DA＝3．求∠BCD的度数．29、如图，Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，CD⊥AB交AB于D，以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E=30°，∠DCE=90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG=90°，继续用同样的方法作Rt△HIC，∠HCI=90°．若AC=a，求CI的长．30、将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如右图. 求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形（单位：cm）.参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、A3、B4、D5、D6、A7、C8、D9、B10、A11、D12、C13、C14、D15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、。
00i%swkq(华师版初中数学教案及随堂练习全)第十四章 勾股定理
、.~①我们‖打〈败〉了敌人。
②我们‖〔把敌人〕打〈败〉了。
第十四章：勾股定理§14.1勾股定理一．知识点：1.对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a2＋b2＝c2，这种关系我们称为勾股定理．（我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系．2.直角三角形的判定：如果三角形的三边长a、b、c有关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
二．学习过程：1．按教材的思路讲解，带领同学一起做推导的例子，并归纳相关的知识点。
2. 和学生一起完成课后习题。
3. 讲下关于勾股定理的史话。
三．例题及习题：教材中的题目。
§14.2 勾股定理的应用一．知识点：1.能够用勾股定理解决涉及直角三角形的实际问题。
二．学习过程：1．按教材的思路讲解，带领同学一起做推导的例子，并归纳相关的知识点。
2. 和学生一起完成课后习题。
三．例题及习题：教材中的题目。
勾股定理经典例题1．勾股定理是把形的特征（三角形中有一个角是直角），转化为数量关系（a2＋b2=c2），不仅可以解决一些计算问题，而且通过数的计算或式的变形来证明一些几何问题，特别是证明线段间的一些复杂的等量关系. 在几何问题中为了使用勾股定理，常作高（或垂线段）等辅助线构造直角三角形.2．勾股定理的逆定理是把数的特征（a2＋b2=c2）转化为形的特征（三角形中的尤新教育辅导学校一个角是直角），可以有机地与式的恒等变形，求图形的面积，图形的旋转等知识结合起来，构成综合题，关键是挖掘“直角”这个隐含条件.△ABC 中 ∠C ＝Rt ∠⇔a 2＋b 2=c 23．为了计算方便，要熟记几组勾股数： ①3、4、5； ②6、8、10； ③5、12、13； ④8、15、17； ⑤9、40、41.4．勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一.一般地说，在平面几何中，经常利用直线间的位置关系，角的相互关系而判定直角，从而判定直角三角形，而勾股定理则是通过边的计算的判定直角三角形和判定直角的. 利用它可以判定一个三角形是否是直角三角形，一般步骤是： （1）确定最大边；（2）算出最大边的平方，另外两边的平方和；（3）比较最大边的平方与另外两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形； 5．勾股数的推算公式① 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）任取两个正整数m 和n(m>n),那么m 2-n 2，2mn, m 2+n 2是一组勾股数。
华师大版初二数学上册单元测试第14章勾股定理
华师大版初二数学上册单元测试第14章勾股定理第14章勾股定理班级姓名第一卷(选择题共30分)一、选择题(每题3分，共30分)1．在Rt△ABC中，其两条直角边长a＝1，b＝3，那么斜边c 的长为(D)A．2 B．4 C.8 D.102．以下各组线段能构成直角三角形的一组是(A)A．30，40，50 B．7，12，13C．5，9，12 D．3，4，63．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边区分为a、b、c，且(a ＋b)(a－b)＝c2，那么(A)A．∠A为直角B．∠C为直角C．∠B为直角D．不是直角三角形4．〝：在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B<90°.〞下面写出了用反证法证明这个命题进程中的四个推理步骤：①∴∠B＋∠C＋∠A>180°，这与三角形内角和定理相矛盾；②∴∠B<90°；③假定∠B≥90°；④那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°.这四个步骤正确的顺序应是(C)A．①②③④B．③④②①C．③④①②D．④③②①5．放学以后，小红和小颖从学校分手，区分沿西南方向和西南方向回家，假定小红和小颖行走的速度都是40m/min，小红用15min 到家，小颖用20min到家，小红和小颖家的直线距离为(C) A．600m B ．800mC．1000m D．不能确定6．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝40，CB＝9，点M、N在AB上且AM＝AC，BN＝BC，那么MN的长为(C) A．6 B．7 C．8 D．97．如图是两个大小、外形相反的△ABC和△A′B′C′拼在一同，其中点A与A′重合，点C落在边AB上，连结B′C.假定∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，那么B′C的长为(A)A．3 3 B．6 C．3 2 D.218．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC与BC 相交于点D，假定BD＝4，CD＝2，那么AC的长是(C) A．4 B．3 C．2 3 D. 39．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高区分为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶面匍匐到点B 的最短路程为(B)A．20dm B．25dm C．30dm D．35dm10．如图，将一边长为a的正方形(最中间的小正方形)与四块边长为b的正方形(其中b＞a)拼接在一同，那么四边形ABCD的面积为(A)A．b2＋(b－a)2B．b2＋a2C．(b＋a)2D．a2＋2ab第二卷(非选择题共70分)二、填空题(每题3分，共18分)11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，AD⊥BC 于点D，那么AD＝__8__cm.12．如图，长方体长、宽、高区分为4cm，3cm，12cm，那么BD′＝__13__cm__．13．如图，在蜿蜒的铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等．那么E 应建在距A__15__km.14．如图，某消防队员停止消防演练，在模拟现场，有一修建物发作了火灾，消防车抵达后，发现最多只能接近修建物12m，即AD ＝BC＝12m，此时修建物中距离空中11.8m高的P处有一被困人员需求救援，消防云梯底部A距离空中2.8m，即AB＝2.8m，那么消防车的云梯至少要伸长__15__m.15．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅〝弦图〞(图1)，先人称其为〝赵爽弦图〞，由弦图变化失掉图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积区分为S 1、S 2、S 3.假定S 1＋S 2＋S 3＝12，那么S 2的值为__4__．,图1) ,图2)16．在如下图的圆柱体中，底面圆的半径是3π，高为4，BC 是上底面的直径，假定一只小虫从点A 动身，沿圆柱体正面匍匐到点C ，那么小虫匍匐的最短路程是__5__．三、解答题(共52分)17．(6分)在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b.(1)假设a ＝6，b ＝8，求c ；(2)假设a ＝12，c ＝13，求b ；(3)假设b ＝40，c ＝41，求a.解：(1)∵c 2＝a 2＋b 2＝62＋82＝100，∴c ＝10.(2)∵b 2＝c 2－a 2＝132－122＝25，∴b ＝5.(3)∵a 2＝c 2－b 2＝412－402＝81，∴a ＝9.18．(6分)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，CD ＝6，AD＝25，假定AC⊥BC，求证：AD∥BC.证明：∵AC⊥BC，∴AC2＝AB2－BC2＝52－32＝16.∵在△ACD中，AC2＋AD2＝16＋20＝36，CD2＝36，∴AC2＋AD2＝CD2，∴△ACD为直角三角形，∴AC⊥AD，∴AD∥BC.19．(7分)如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，DE是BC的垂直平分线，DE区分交BC、AB于点D、E.(1)求证：△ABC为直角三角形．(2)求AE的长．答图(1)证明：∵△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，又∵42＋32＝52，即AB2＋AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形．(2)解：连结CE，如答图．∵DE是BC的垂直平分线，∴EC＝EB.设AE ＝x ，那么EC ＝BE ＝4－x.∴x 2＋32＝(4－x)2.解得x ＝78，即AE 的长是78.20．(7分)甲、乙两只轮船同时从港口动身，甲以16海里/时的速度向北偏东75°的方向飞行，乙以12海里/时的速度向南偏东15°的方向飞行，计算它们动身1.5小时后两船的距离．解：如答图所示，∵∠1＝75°，∠2＝15°，答图∴∠AOB ＝90°，即△AOB 是直角三角形．∵OA ＝16×1.5＝24(海里)，OB ＝12×1.5＝18(海里)，∴由勾股定理得，AB ＝OA 2＋OB 2＝242＋182＝30(海里)．答：它们动身1.5小时后两船的距离为30海里．21．(8分)如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BD ＝AD ，DG ＝DC ，E 、F 区分是BG 、AC 的中点．(1)求证：DE ＝DF ，DE ⊥DF ；(2)连结EF ，假定AC ＝10，求EF 的长．解：(1)∵AD ⊥BC 于D ，∴∠BDG ＝∠ADC ＝90°.∵BD ＝AD ，DG ＝DC ，∴△BDG ≌△ADC(S .A .S .)，∴BG ＝AC.∵AD ⊥BC 于D ，E 、F 区分是BG 、AC 的中点，∴DE ＝12BG ，DF ＝12AC ，∴DE ＝DF.∵DE ＝DF ，BD ＝AD ，BE ＝AF ，∴△BDE ≌△ADF(S .S .S .)，∴∠BDE ＝∠ADF ，∴∠EDF ＝∠EDG ＋∠ADF ＝∠EDG ＋∠BDE ＝∠BDG ＝90°， ∴DE ⊥DF.(2)∵AC ＝10，∴DE ＝DF ＝12AC ＝12×10＝5.∵∠EDF ＝90°，∴EF ＝DE 2＋DF 2＝52＋52＝5 2.22．(8分)如图，在△ABC 中，D 是AB 的中点，假定AC ＝12，BC ＝5，CD ＝6.5.求证：△ABC 是直角三角形． 答图证明：如答图，延伸CD 到E ，使DE ＝CD ，连结BE.∵AD ＝BD ，CD ＝ED ，∠ADC ＝∠BDE ，∴△ADC ≌△BDE(S .A .S .)，∴BE ＝AC ＝12，∴∠CAD ＝∠DBE ，∴AC ∥BE.在△BCE 中，∵BC 2＋BE 2＝52＋122＝169，CE 2＝4CD 2＝169， ∴BC 2＋BE 2＝CE 2，∴∠EBC ＝90°.又∵AC ∥BE ，∴∠ACB ＝180°－∠EBC ＝90°，∴△ABC 是直角三角形．23．(10分)我们运用图1中大正方形的面积可表示为(a ＋b)2，也可表示为c 2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫12ab ，即(a ＋b)2＝c 2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫12ab ，由此推导出一个重要的结论a 2＋b 2＝c 2，这个重要的结论就是著名的〝勾股定理〞．这种依据图形可以极复杂地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称〝无字证明〞．图1图2图3(1)请你用图2(2021年国际数学家大会会标)的面积表达式验证勾股定理(其中四个直角三角形的较大的直角边长都为a ，较小的直角边长都为b ，斜边长都为c)．(2)请你用图3中的图形停止组合，用组合图形的面积表达式验证：(x ＋2y)2＝x 2＋4xy ＋4y 2.解：(1)S 阴影＝4×12ab ，S 阴影＝c 2－(a －b)2，∴4×12ab ＝c 2－(a －b)2，即2ab ＝c 2－a 2＋2ab －b 2，那么a 2＋b 2＝c 2.(2)如答图所示，答图大正方形的面积为x 2＋4y 2＋4xy ，也可以为(x ＋2y)2， 那么(x ＋2y)2＝x 2＋4xy ＋4y.。
华师大版八年级数学上册第14章 勾股定理 反证法 专题检测题.docx
华东师大版数学版八年级上册第14章勾股定理反证法专题检测题1．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＝∠C.当用反证法证明时，第一步应假设( )A．AB≠AC B．∠B≠∠C C．∠A＋∠B＋∠C≠180°D．ABC不是一个三角形2．用反证法证明“a＞b”时，应假设( )A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a≤b3．用反证法证明：“三角形三个内角中最多有一个直角”的第一步应假设：________________________. 4．用反证法证明命题时，用假设进行推理得出的结论应该与____________________________相矛盾，才能推翻假设．5．完成下面的证明，用反证法证明“两条直线被第三条直线所截，如果同位角不相等，那么这两条直线不平行”．已知：如图，直线a，b被直线c所截，∠1≠∠2.求证：直线a不平行于直线b.证明：假设________，那么∠1＝∠2( )，这与已知的________矛盾，∴假设________不成立，∴直线a与直线b不平行6．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中( ) A．有一个内角大于60°B．有一个内角小于60°C．每一个内角都大于60°D．每一个内角都小于60°7．已知直线a，b，c，且a∥b，c与a相交，用反证法证明：c与b也相交．8．反证法证明：如果实数a，b满足a2＋b2＝0，那么a＝0且b＝0.9．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设( )A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于cC．a⊥b D．a与b相交10．用反证法证明“如果ab≠0，那么a与b都不等于0”时，要假设__________________________________．11．用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补．已知：如图，l1∥l2，l1，l2都被l3所截．求证：∠1＋∠2＝180°.证明：假设∠1＋∠2________180°，∵l1∥l2( )，∴∠1________∠3( )∵∠1＋∠2________180°，∴∠3＋∠2≠180°，这与________________________矛盾，∴假设∠1＋∠2________180°不成立，即∠1＋∠2＝180°.12．如图，求证在同一平面内过直线l外一点A，只能作一条直线垂直于l.证明：假设过直线l外一点A，可以作直线AB，AC垂直于l，垂足分别为点B，C，那么∠A＋∠ABC＋∠ACB________180°，这与________________________矛盾，∴__________________，∴结论成立．13．用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．14．用反证法证明：两直线相交有且只有一个交点．已知直线a，b，求证：直线a，b相交时只有一个交点P.15．用反证法证明：在一个三角形中，至少有两个内角是锐角．16．(用反证法证明)已知：a<|a|，求证：a必为负数．答案：1. B2. D3. 三角形中有两个或三个直角4. 已知、基本事实、定理、定义等5. a∥b两直线平行，同位角相等∠1≠∠2a∥b6. C7. 假设c∥b；∵a∥b，∴c∥a，这与c和a相交相矛盾，假设不成立，所以c与b也相交8. 假设如果实数a，b满足a2＋b2＝0，那么a≠0且b≠0，∵a≠0，b≠0，∴a2＞0，b2＞0，∴a2＋b2＞0，∴与a2＋b2＝0出现矛盾，故假设不成立，原命题正确9. D10. a与b至少有一个等于011. ≠已知＝两直线平行，同位角相等≠邻补角之和等于180°≠12. >三角形内角和为180°假设不成立13. 假设等腰三角形的底角不是锐角，则大于或等于90°.根据等腰三角形的两个底角相等，则两个底角的和大于或等于180°.则该三角形的三个内角的和一定大于180°，这与三角形的内角和定理相矛盾，故假设不成立.所以等腰三角形的底角是锐角14. 证明：假设a，b相交时不止一个交点P，不妨设其他交点中有一个为P′，则点P和点P′在直线a上又在直线b上，那么经过P和P′的直线就有两条，这与“两点决定一条直线”相矛盾，因此假设不成立，所以两条直线相交只有一个交点15. ①假设△ABC中只有一个角是锐角，不妨设∠A＜90°，∠B≥90°，∠C≥90°；于是，∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾；②假设△ABC中没有一个角是锐角，不妨设∠A≥90°，∠B≥90°，∠C≥90°；于是，∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾.所以假设不成立，则原结论是正确的16. 假设a不是负数，那么a为零或正数.(1)如果a为零，那么a＝|a|，这与题论a<|a|矛盾，那么a不能为零；(2)如果a是正数，那么a＝|a|，这与a<|a|也矛盾，所以a也不可能是正数，综合(1)，(2)知a不可能是零和正数，所以a必为负数初中数学试卷桑水出品。
华师大版八年级数学上册第十四章同步测试题课件版
C)
2．一个等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则底边上的高 为( ) D A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm
3．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则在网格上的
三角形ABC中，边长为无理数的边数有( A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 D)
八年级上册数学（华师版）
第14章
14．1
第2课时
勾股定理
勾股定理
1．直角三角形三边的关系
勾股定理的简单应用
知识点：勾股定理的简单应用 1．由于台风的影响，一棵树在离地面6 m处折断(如图)，树顶落在离
树干底部8 m处，则这棵树在折断前(不包括树根)的高度是(
A ．8 m B．10 m C．16 m D．18 m
证明勾股定理，请你完成证明过程．
1 解：∵S△ADE×2＋S△CDE＝S 梯形 ABCD，∴ ab 2 1 1 ×2＋ c2＝ (a＋b)2，整理得 a2＋b2＝c2. 2 2
8．在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c. (1)若b＝2，c＝3，求a的值； (2)若a∶c＝3∶5，b＝28，求a，c的值．
2
(2)在 Rt△ACD 中，AD＝ AC2－CD2＝ 16 9 AB＝AD＋BD＝ ＋ ＝5. 5 5
12 16 42－（ ）2＝ .∴ 5 5
16．如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AD＝13，BC⊥AB，
对角线AC⊥CD，求CD的长．
解：在 Rt△ABC 中，AC＝ AB2＋BC2＝ 32＋42＝5，在 Rt△ ACD 中，CD＝ AD2－AC2＝ 132－52＝12.
10．如图，直线l同侧有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别为5 和11，则b的面积为( C ) A．4 B．6 C．16 D．55
华师大版初中数学八年级上册专题训练14.1 勾股定理(含答案)
第14章勾股定理14.1勾股定理专题一勾股定理与方程1.如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC=3，AB=6，∠BCA=90°，在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为（）A．6B．3C．23D．32.一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A＝30°,∠B＝90°,BC＝6米.当正方形DEFH运动到什么位置,即当AE＝米时,有DC2＝AE2＋BC2.专题二构造直角三角形3.如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝23，求AB的长．4.如图所示，在△ABC中，已知AB=13cm，AC=5cm，BC边上的中线AD=6cm，求BC.5.如图，在四边形ABCD中，AB:BC:CD:DA=2:2:3:1，且∠ABC=90°，求∠DAB的度数.专题三勾股定理中的分类讨论思想6.在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是．7.在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为_______.8.在△ABC中，AB=25，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．状元笔记【知识要点】1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边a，b，c，满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.【温馨提示】在直角三角形中知道任意两边都可以利用勾股定理求出第三边.【方法技巧】1.当图形中没有直角三角形时，有时可以通过作高构造直角三角形.2.判定一个三角形是直角三角形有两种方法：①借助三角形内角和求出一个角是直角；②利用勾股定理的逆定理.()参考答案1.C【解析】由折叠可知BD=BA=6，DE=AE.∵BC=3，∴CD=BC=3，∴BE=DE=AE，由勾股定理可得AC=33，设DE=AE=BE=x，在△Rt BCE中，32＋33-x2=x2，解得x=23，即DE的长度为23.2.143【解析】因∠A＝30°,∠B＝90°,BC＝6米，所以AC＝12米.设当AE为x时，所以EC＝12－x，由DC2＝AE2＋BC2.及DC2＝DE2＋EC2，所以有22＋（12－x）2＝x2＋36，解得：x＝143.3.解：过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.∵∠B＝45°，∴∠BCD＝∠B＝45°.∴CD＝BD.∵∠A＝30°，AC＝23，∴CD＝3，∴BD＝CD＝3.由勾股定理得：AD＝AC2-CD2＝3，∴AB＝AD＋BD＝3＋3.答：AB的长是3＋3．4.解：延长AD到E，使DE=AD，连接BE.在△ADC与△EDB中.∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，∴△ADC≌△EDB，∴EB=AC=5cm.在△AEB中，∵AB=13cm，EB=5cm，AE=2AD=12cm，∴AB2=EB2+AE2，∴∠E=90°.在△Rt BED中，由勾股定理得BD=EB2+DE2=61，∴CD=1∴BC=2BD=261cm.5.解：连结AC.设AB、BC、CD、DA分别为2x，2x，3x，x，则AC2=8x2,AD2=x2,CD2=9x2，∴AC2+AD2=CD2，∴∠DAC=90°，∴∠DAB=90°+45°=135°.6.43或43或4【解析】（1）如图①，当AB=AC时，3∵∠A=30°，1AC=×8=4；22（2）如图②，当AB=BC时，则∠A=∠ACB=30°，∴∠ACD=60°，∴∠BCD=30°，∴BD=1BC=4，2∴CD=BC2-BD2=43；（3）如图③，当AC=BC时，则AD=4.设CD=x，则AC=2x.则（2x)2-x2=42，解得x=433.故答案为433或43或4．7.42或32【解析】当△ABC是锐角三角形时，如图①，根据勾股定理可得BD=9，DC=5,∴BC=14,此时当△ABC的周长为15+13+14=42.当△ABC是钝角三角形时，如图②，根据勾股定理可得BD=9，DC=5,∴BC=9-5=4,此时当△ABC的周长为15+13+4=32.8.解：∵AC=4，BC=2，AB=25，∴AC2+BC2=AB2，∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°．分三种情况如图(1)，过点D作DE⊥CB，垂足为点E．易证△ACB≌△BED，易求CD=210如图(2)，过点D作DE⊥CA，垂足为点E．易证△ACB≌△DEA，易求CD=213．如图(3)，过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点F．易证△AFD≌△DEB，易求CD=32.∴CD的长为210或213或32.。
八年级数学上册《第十四章勾股定理》单元测试卷及答案-华东师大版
八年级数学上册《第十四章勾股定理》单元测试卷及答案-华东师大版（考试时间：60分钟 总分：100分）一、选择题1．以下四组数中，是勾股数的是（ ）A ．1，2，3B ．12，13，4C ．8，15，17D ．4，5，62．在下列以线段a 、b 、c 的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ）A ． 1.5a = 2b = 3c =B ．7a = 24b = 25c =C ．345a b c =：：：：D ．9a = 12b = 15c =3．如图，一根长为5m 的竹竿AB 斜靠在竖直的墙壁上，竹竿底端B 离墙壁距离3m ，则该竹竿的顶端A 离地竖直高度为（ ）A ．2mB ．3mC ．4mD 3m4．如图，在△ABC 中，△B=90°，AB=1，BC=2．四边形ADEC 是正方形，则正方形ADEC 的面积是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．如图，在ABC 中5AB AC ==，按以下步骤作图：①以C 为圆心，CB 的长为半径作弧，交AB 于点D ；②分别以点D ，B 为圆心，大于12BD 的长为半径作弧，两弧交于点E ；③作射线CE ，交边AB 于点F ．若4CF =，则线段AD 的长为（ ）A 3B ．1C ．22D ．126．由下列各组线段围成的三角形中，是直角三角形的是（）A ．1，2，2B ．2，3，4C ．12 3 D ．22 37．用反证法证明“a b <”时应假设（ ）A ．a b >B ．a b ≥C ．a b =D ．a b ≤8．我国明代有一位杰出的数学家提出一道“荡秋千”的数学问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”其意思为：如图所示，当秋千静止在地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺（1CE =尺），将秋千的踏板往前推两步（每一步合五尺，即10EF =尺），秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺（5DF =尺），求这个秋千的绳索AC 有多长？（ ）A ．12尺B ．13.5尺C ．14.5尺D ．15.5尺二、填空题9．在Rt ABC 中1390BC AC B ==∠=︒，，，则AB 的长是 ．10．在△ABC 中，AB=5，BC=a ，AC=b ，如果a ，b 满足（a+5）(a-5)-b 2=0，那么△ABC 的形状是 ．11．用反证法证明：一个三角形中至少有一个角不小于60°，应先假设 ．12．如图，长方体木箱的长、宽、高分别为12cm ，4cm ，3cm ，则能放进木箱中的直木棒最长为cm ．三、解答题13．如图，在ABC 中，CD 是高，BC=7，BD=6．若DE BC ，DEC DCB ∠=∠求CE 的长．14．已知ABC 的三边长为a 、b 、c ，且a-b=8，ab=2，17c =ABC 的形状，并说明理由．15．已知：如图，直线a ，b 被c 所截，△1，△2是同位角，且△1≠△2.求证：a 不平行于b.16．在Rt ABC 中90C ∠=︒，若34a b =：：，10c =求a ，b 的长．四、综合题17．如图，在四边形ABCD 中=60A ∠︒，=90B D ∠=∠︒和BC=6，CD=4，求：（1）AB 的长；（2）四边形ABCD 的面积．18．如图，在ABC 中，AB 长比AC 长大1，15BC =，D 是AB 上一点9BD =和12CD =．（1）求证：CD AB ⊥； （2）求AC 长．19．如图，点A 是网红打卡地诗博园，市民可在云龙湖边的游客观光车站B 或C 处乘车前往，且AB＝BC，因市政建设，点C到点A段现暂时封闭施工，为方便出行，在湖边的H处修建了一临时车站（点H在线段BC上），由H处亦可直达A处，若AC＝1km，AH＝0.8km，CH＝0.6km．（1）判断△ACH的形状，并说明理由；（2）求路线AB的长．20．阅读材料，解答下面问题：我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方2倍的三角形叫做奇异三角形．（1）理解并填空：①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定（填“是”或“不是”）奇异三角形；②若某三角形的三边长分别为17，2，则该三角形（填“是”或“不是”）奇异三角形；（2）探究：在Rt ABC中，两边长分别是a，c，且250c=则这个三角形是否是奇异a=，2100三角形？请说明理由．参考答案与解析1．【答案】C【解析】【解答】解：A 、12+22=5，32=9，5≠9，故不是勾股数；B 、42+122=160，132=169，160≠169，故不是勾股数；C 、82+152=189=172，故是勾股数；D 、42+52=41，62=36，41≠36，故不是勾股数. 故答案为：C.【分析】勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，据此判断.2．【答案】A【解析】【解答】解：A 、∵a=1.5，b=2，c=3∴a 2+b 2=1.52+22=6.25≠c 2=9∴以线段a 、b 、c 的长为三边的三角形不是直角三角形，故此选项符合题意； B 、∵a=7，b=24，c=25 ∴a 2+b 2=72+242=625=c 2=252=625∴以线段a 、b 、c 的长为三边的三角形是直角三角形，故此选项不符合题意； C 、∵a△b△c=3△4△5，设a=3x ，b=4x ，c=5x ∴a 2+b 2=（3x ）2+（4x ）22=25x 2=c 2=（5x ）2=25x 2∴以线段a 、b 、c 的长为三边的三角形是直角三角形，故此选项不符合题意； B 、∵a=9，b=12，c=15 ∴a 2+b 2=92+122=225=c 2=152=225∴以线段a 、b 、c 的长为三边的三角形是直角三角形，故此选项不符合题意. 故答案为：A.【分析】根据勾股定理的逆定理，如果三条线段的长度满足较小两条长的平方和等于最大一条长的平方，则该三角形就是直角三角形，据此一一判断得出答案.3．【答案】C【解析】【解答】解：由题意得：5m AB = 3m BC = AC BC ⊥则224m AC AB BC =-=即该竹竿的顶端A 离地竖直高度为4m 故答案为：C ．【分析】直角利用勾股定理计算即可.4．【答案】C【解析】【解答】解：在△ABC 中，△B=90°由勾股定理得：AC 2=AB 2+BC 2=12+22=5 ∵四边形ADEC 是正方形 ∴S 正方形ADEC =AC 2=5 故答案为：C ．【分析】利用勾股定理求出AC 2=AB 2+BC 2=12+22=5，再利用正方形的面积公式可得S 正方形ADEC =AC 2=5。
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旗开得胜
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勾股定理测试题
一、选择题（每小题4分，共40分）
1、下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A：4，5，6 B：1，1，2 C：6，8，11 D：5，12，23
2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，则c的长为（ ）
A：26 B：18 C：20 D：21
3、在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是(3,4)，则OP的长为（ ）
A：3 B：4 C：5 D：7
4、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°,c＝10，则a的长为（ ）
A：5 B：10 C：25 D：5
5、下列定理中,没有逆定理的是（ ）
A：两直线平行，内错角相等 B：直角三角形两锐角互余
C：对顶角相等 D：同位角相等，两直线平行
6、△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，AB＝8，BC＝15，CA＝17，则下
列结论不正确的是（ ）
A：△ABC是直角三角形，且AC为斜边 B：△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°
C：△ABC的面积是60 D：△ABC是直角三角形，且∠A＝60°
7、等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ）
A：43 B：3 C：23 D：3
8、已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足2(6)8100abc，则三
角形的形状是（ ）
A：底与边不相等的等腰三角形 B：等边三角形
C：钝角三角形 D：直角三角形
9、如图一艘轮船以16海里∕小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船12
海里∕小时从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，则两船相距（ ）
A：36 海里 B：48 海里 C：60海里 D：84海里
10、若ABC中，13,15ABcmACcm，高AD=12,则BC的长为（ ）
旗开得胜
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3
2
20
B
A
CBA
D
A：14 B：4 C：14或4 D：以上都不对
二、填空题（每小题4分，共40分）
11、木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，
则这个桌面 （填“合格”或“不合格”）；
12、如图所示，以RtABC的三边向 外作正方形，其面积分别
为123,,SSS,且1234,8,SSS则 ；
13、将长为10米的梯子斜靠在墙上，若梯子的上端到梯子的底端的
距离为6米，则梯子的底端到墙的底端的距离为 ；
14、如图，90,4,3,12CABDACBCBD,则AD= ；
15、若三角形的三边满足::5:12:13abc，则这个三角形中最大的角为 ；
16、已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm、8cm，那么这个直角三角形斜边上
的高为 ；
17、写出一组全是偶数的勾股数是 ；
18、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为
20dm、3dm、2dm，•A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B
点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是 ；
19、如图，已知一根长8m的竹杆在离地3m处断裂，竹杆顶部抵着地
面，此时，顶部距底部有 m；
20、一艘小船早晨8：00出发，它以8海里/时的速度向东航行，1小时后，另一艘小
船以12海里/时的速度向南航行，上午10：00，两小相距 海里。
三、解答题（每小题10分，共70分）
21、如图，为修通铁路凿通隧道AC，量出∠A=40°∠B＝50°，AB＝5公里，BC＝4公
里，若每天凿隧道0.3公里，问几天才能把隧道AB凿通？
22、如图，每个小方格的边长都为1．求图中格点四边形ABCD的面积。