数学期望(二维)
概率论与数理统计：数学期望的性质
数学期望的性质利用4.1.3中的定理可以得到数学期望的几条重要性质： 性质1 设C 为常数, 则()E C C =.性质2 设C 为常数,X 为随机变量, 则()()E CX CE X =. 证明 设X 的概率密度为()f x ,则()()d E CX Cxf x x +∞-∞=⎰()d C xf x x +∞-∞=⎰().CE X =性质3 设,X Y 为任意两个随机变量,则()()()E X Y E X E Y +=+.证明 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y ,边缘概率密度分别为()X f x 和()Y f y ,则()()(,)d d E X Y x y f x y x y +∞+∞-∞-∞+=+⎰⎰(,)d d xf x y x y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰(,)d d yf x y x y +∞+∞-∞-∞+⎰⎰()d X xf x x +∞-∞=⎰()d Y yf y y +∞-∞+⎰()()E X E Y =+.性质4 设,X Y 为相互独立的随机变量,则()()()E XY E X E Y =.证明 因为X 与Y 相互独立,其联合概率密度与边缘概率密度满足(,)()()X Y f x y f x f y =,所以()(,)d d E XY xyf x y x y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰()()d d X Y xyf x f y x y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰()d ()d X Y xf x x yf y y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰()()E X E Y =.性质5 若,X Y 相互独立，则()()()E XY E X E Y =； 这一结论推广到有限多个，若12,,,n X X X 相互独立，则1212()()()()n n E X X X E X E X E X =。
例4.22 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为21(1)1,1,(,)40x y x y f x y ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩，，其他.试验证()()()E XY E X E Y =,但X 和Y 是不独立的.解 因为()(,)d d E XY xyf x y x y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰112111(1)d d 4xy x y x y --=⋅-⎰⎰0=， ()E X =112111(1)d d 4x x y x y --⋅-⎰⎰0=， ()E Y =112111(1)d d 4y x y x y --⋅-⎰⎰19=-，所以()()()E XY E X E Y =.X和Y的边缘概率密度()X f x 和()Y f y 分别为12111(1)d 11,11()(,)d 4200X x y y x x f x f x y y +∞--∞⎧⎧--<<-<<⎪⎪===⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰⎰，，，，其他，，其他， 121111(1)11(1)d ,11()(,)d 23400,Y y y x y x y f y f x y x +∞--∞⎧⎧--<<--<<⎪⎪===⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰⎰，，，，其他，其他，由于(,)()()X Y f x y f x f y ≠,因而X和Y 不独立.例4.23 设i X ～n i p B ,,2,1),,1( =，i X 的分布律为：其中10<<p ，且n X X X ,,,21 相互独立。
《概率论与数理统计》第四章考点手册
《概率论与数理统计》第四章 随机变量的数字特征考点33 离散型随机变量的数学期望（★★二级考点，选择、填空、计算、综合）1.设X 是离散型随机变量,概率分布为P {X =x i }=p i ,i =1,2,…。
则∑∞==1)(i i ip x X E 为X 的数学期望(或均值)。
2.常用离散型随机变量的数学期望（1）两点分布：X ∼B(1,p),0<p<1，则E(X)=p 。
（2）二项分布：X ∼B(n,p)，其中0<p<1，则E(X)=np 。
（3）泊松分布:X ∼P(λ)，其中λ>0，则E(X)=λ。
考点34 连续型随机变量的数学期望（★★二级考点，选择、填空、计算、综合）1.设X 是连续型随机变量，则称⎰∞∞-=dx x f x X E )()(为X 的数学期望。
2. 常用连续型随机变量的数学期望（1）均匀分布若X~U[a,b],即X 服从[a,b]上的均匀分布,则； 21)()(b a dx a b x dx x xf X E b a +=-==⎰⎰+∞∞- （2）指数分布若X 服从参数为λ的指数分布，则 ； /1)(0λλλ⎰+∞-==dx e x X E x 正态分布若X 服从),(2s µN ，则.)(μ=X E考点35 二维随机变量的数学期望（★★二级考点，选择、填空、计算、综合）1.二维离散型随机变量的数学期望：设二维离散型随机向量(X,Y)的概率分布为p ij ,i=1,2,⋯，j=1,2,⋯.则：.),()],([11åå¥=¥==i j ij j i p y x g Y X g E2. 二维连续型随机变量的数学期望：设二维连续型随机向量(X,Y)的密度函数为f(x,y),则:. ),(),()],([dxdy y x f y x g Y X g E òò¥¥-¥¥-=考点36 数学期望的性质（★★★一级考点，选择、填空）(1).设C 是常数，则E(C)=C;E(C)=C ×1=C(2).若k 是常数，则E(kX)=kE(X);(3).E(X+Y)=E(X)+E(Y);(4).设X,Y 相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y);考点37 方差的概念（★★二级考点，选择、填空）1.方差的概念:设X 是一随机变量，若E [X -E (X )]2 存在,则称其为X 的方差，记成Var(X )，即Var(X )=E {[X -E (X )]2} 并称)(X Var 为X 的标准差。
概率论课程第四章
第四章 数字特征前面我们介绍了随机变量及其分布，对于一个随机变量，只要知道了它的分布（分布函数或分布律、分布密度），它取值的概率规律就全部掌握了。
但在实际问题中，一个随机变量的分布往往不易得到，且常常只需知道随机变量的某几个特征就够了。
例如检查棉花的质量时，我们关心的是棉花纤维的平均长度和纤维长度与平均长度的偏差大小，这些数字反映了随机变量的一些特性，我们称能够反映随机变量特征的数字为随机变量的数字特征。
本章将介绍几个最常用的数字特征：数学期望、方差、协方差和相关系数。
第一节 数学期望一、离散型随机变量的数学期望数学期望反映的是随机变量取值的集中位置的特征，能够满足这一要求的自然是随机变量的平均取值，那么这个平均取值如何得到呢？怎样定义，我们先看一个例题例1：全班40名同学，其年龄与人数统计如下：该班同学的平均年龄为：4092115201519118⨯+⨯+⨯+⨯=a8.194092140152040151940118=⨯+⨯+⨯+⨯=若令X 表示从该班同学中任选一同学的年龄，则X 的分布律为于是，X 取值的平均值，即该班同学年龄的平均值为4092140152040151940118)(⨯+⨯+⨯+⨯==a X E8.19==∑ii i p x定义1：设X 为离散型随机变量，其分布律为i i p x X P ==}{， ,2,1=i如果级数 绝对收敛，则此级数为X 的数学期望（或均值），记为 E(X)，即 ∑=ii i p x X E )(意义：E(X)表示X 取值的（加权）平均值。
如果级数 不绝对收敛，则称数学期望不存在。
例2：甲、乙射手进行射击比赛，设甲中的环数为X1，乙中的环数为X2，已知 X1和X2的分布律分别为：问谁的平均击中环数高？解：甲的平均击中环数为 E(X1)=8 0.3+9 0.1+10 0.6=9.3 乙的平均击中环数为 E(X2)=8 0.2+9 0.5+10 0.3=9.1 可见E(X1)> E(X2)，即甲的平均击中环数高于乙的平均击中环数。
数字特征：数学期望（均值）
数字特征：数学期望（均值）随机变量的数学期望【引⼊】⼀射⼿进⾏打靶练习，规定射⼊区域e2得2分，射⼊区域e1得1分，脱靶，即射⼊区域e0，得0分。
射⼿⼀次射击得分数X是⼀随机变量。
设X的分布律为P{X=k}=p k,k=1,2,…现在射击N次，其中得0分的有a0次，得1分的有a1次，得2分的有a2次，a0+a1+a2=N。
他射击N次得分的总和为a0×0+a1×1+a2×2 。
于是平均⼀次射击的得分数为总分总次数=a0×0+a1×1+a2×2N=0a0N+1a1N+2a2N=2∑k=0ka kN这⾥，a k/N是事件X=k的频率。
在第五章将会讲到，当N很⼤时，a k/N在⼀定意义下接近于事件{X=k}的概率p k。
就是说，在试验次数很⼤时，随机变量X的观察值的算术平均2∑k=0ka kN在⼀定意义下接近于2∑k=0kp k，我们称2∑k=0kp k为随机变量X的数学期望或均值，⼀般有以下的定义。
【定义】设离散性随机变量X的分布律为P{X=x k}=p k,k=1,2,… 若级数∞∑k=1x k p k绝对收敛，则称级数∞∑k=1x k p k的和为随机变量X的数学期望，记为E(X) 。
即：E(X)=∞∑k=1x k p k设连续型随机变量X的概率密度为f(x) ，若积分∫∞−∞xf(x)dx绝对收敛，则称积分∫∞−∞xf(x)dx的值为随机变量X的数学期望，记为E(X) 。
即：E(X)=∫∞−∞xf(x)dx数学期望简称期望，⼜称为均值。
数学期望E(X) 完全由随机变量X的概率分布所确定。
若X服从某⼀分布，也称E(X) 是这⼀分布的数学期望。
【例1】【例2】【例3】【例4】【例5】【例6】泊松分布设X∼π(λ) ，求E(X) 。
解：X的分布律为P{X=k}=λk e−λk!,k=0,1,2,…,λ>0X的数学期望为E(X)=∞∑k=0kλk e−λk!=λe−λ∞∑k=1λk−1(k−1)!=λe−λ·eλ=λ即E(X)=λ【例7】均匀分布设X∼U(a,b) ，求E(X) 。
§4.1数学期望 (1)
E(X) a b 2
若X服从参数为 的泊松分布，则 E(X)
若X服从 N (, 2),则 E(X)
若X~b(n,p), 则X 的数学期望是 np.
三、随机变量函数的数学期望
1. 问题的提出：
设已知随机变量X的分布，我们需要计 算的不是X的期望，而是X的某个函数的期 望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算 呢？
g( x, y) f ( x, y)dxdy.
例11 设国际市场上对我国某种出口商品的每年需
求量是随机变量 X (单位:吨), 它服从区间 [2000,
4000] 上的均匀分布, 每销售出一吨商品, 可为国
家赚取外汇 3 万元; 若销售不出, 则每吨商品需贮
存费 1 万元, 问应组织多少货源, 才能使国家收益
i 1
为随机变量 X 的数学期望（又称均值）
例1 甲, 乙两人进行打靶, 所得分数分别记为 X1, X2 , 它们的分布律分别为
X1 0 1
2 ,
X2
0
1
2
pk 0 0.2 0.8 pk 0.6 0.3 0.1
试评定他们的成绩的好坏.
解 我们来计算 X1的数学期望, 得 E( X1 ) 0 0 1 0.2 2 0.8 1.8 (分).
最大?
解 设组织货源 t 吨, 显然应要求 2000 t 4000,
国家收益 Y (单位:万元)是 X 的函数 Y g( X ), 表
达式为
g(
X
)
4
3t, X
t,
X t .
X t
设 X 的概率密度函数为 f ( x), 则
f
(
x)
1
数学期望与方差
第四章 随机变量Biblioteka 数字特征第一节 随机变量的 数学期望
一、数学期望的概念
二、随机变量函数的数学期望 三、数学期望的性质
四、应用实例
下 回
停
一、数学期望的概念
1. 问题的提出 1654年, 一个名叫德.梅尔的贵族就“两个 赌徒约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若 在一赌徒胜a局 (a<c), 另一赌徒胜b局(b<c)时便 终止赌博, 问应如何分赌本” 为题求教于帕斯 卡, 帕斯卡与费马通信讨论这一问题, 于1654 年 共同建立了概率论的第一个基本概念 — 数学 期望
0 . 3 0 .1 0 . 6
8 9 10
乙射手
0 .2 0 .5 0 .3
试问哪个射手技术较好?
解 运动员的水平是通过其平均水平来衡量的, 因而甲、乙两射手的平均水平分别为
甲 : 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环) , 乙 : 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环), 故甲射手的技术比较好.
若级数 xk pk 绝对收敛, 即 xk pk , 则称
级数 xk pk 的和为随机变量 X 的数学期望,
k 1 k 1
k 1
PX xk pk , k 1,2,.
记为EX, 即 E X
k 1
xk pk .
比如
X的分布律为
正态分布 指数分布
1 λ
λe λx , x 0 p x x0 0,
4.1数学期望
k 1 p kx k 1 x1 p
1 p
11
k p x k 1
'
x 1 p
1 p (1 x) 2
x 1 p
常见 r.v. 的数学期望
分布
参数为p 的 0-1分布 B(n,p) P()
E (Y ) g ( x) f ( x)dx
16
3、 r.v.函数的数学期望 3.2、二维r.v.函数Y=g(X)的数学期望 定理4.1（3）设离散 r.v. (X ,Y ) 的概率分布为
P( X xi , Y y j ) pij , i, j 1,2, Z = g(X ,Y ),
21
k 2
3、 r.v.函数的数学期望
例8. 设 X ~ E( ), 求 E( X2 ) .
解:由于 可得：
e x , x 0 f ( x) 。 0, 其它
EX x f ( x)dx x e
2 2 2 0 0
x
dx
2
2
22
§4.1随机变量的数学期望
5
§4.1随机变量的数学期望
例1 设X ~ B ( 1 , p ), 求 E( X ) .
解
X 0 1
pk 1 p p
E( X )= 0×（1-p）+1×p=p
6
§4.1随机变量的数学期望
例2： 解 X ~ B ( n , p ), 求 E( X ) .
E ( X ) kC p (1 p)
若级数 g ( xi , y j ) pij 绝对收敛 , 则 i , j 1
考研资料——概率论基础知识4
概率论基础知识(4)第四章 随机变量的数字特征 一 数学期望§4.1.1离散型随机变量的数学期望例1：全班40名同学，其年龄与人数统计如下： 该班同学的平均年龄为：若令x 表示从该班同学中任选一同学的年龄，则x 的分布律为于是，x 取值的平均值，即该班同学年龄的平均值为定义1：设x 为离散型随机变量，其分布律为如果级数绝对收敛，则此级数为x 的数学期望（或均值）既为 E(X)，即 E(X)=意义：E(X)表示X 取值的（加权）平均值例2：甲、乙射手进行射击比赛，设甲中的环数位X1，乙中的环数为X2，已知X1和X2的分布律分别为：问谁的平均中环数高？ 解：甲的平均中环数为 E(X 1)=8 0.3+90.1+10 0.6=9.3乙的平均中环数为 E(X 2)=8 0.2+9 0.5+10 0.3=9.1可见E(X 1)> E(X 2)，即甲的平均中环数高于乙的平均中环数。
例3：设 ，求E(X)解：由于，其分布律为，k=0,1,2…,所以例4：一无线电台发出呼唤信号被另一电台收到的概率为0.2，发方每隔5秒拍发一次呼唤信号，直到收到对方的回答信号为止，发出信号到收到回答信号之间需经16秒钟，求双方取得联系时，发方发出呼唤信号的平均数？解：令X 表示双方取得联系时，发方发出呼唤信号的次数。
X 的分布律为于是，双方取得联系时，发方发出的呼唤信号的平均数为由于,求导数将x=0.8代如上式，便得将此结果代入原式便得：（次）§4.1.2连续型随机变量的数学期望绝对收敛，则称此积分为X 的数学期望，记为E(X)，即，例7：设风速V是一个随机变量，且V~U[0,a]，又设飞机的机翼上所受的压力W是风速V的函数：这里a,k均为已知正数。
试求飞机机翼上所受的平均压力E(W)。
W的分布函数为两边求导，使得进而便可求得W的数学期望由此运算过程可以看到，不必求出W的概率密度ƒw(z)，而根据V的概率密度ƒv(v)也可直接求出W 的数学期望值，即§4.1.3随机变量函数的数学期望值1.一维随机变量函数的数学期望定理1：设X为随机变量，Y=g(X),(1)如果X，且级数(2)如果Xƒ(X)，且积分绝对收敛，则有证略求：例8：已知X的分布律为解：例9：设，求解：（令 m=k-2）例10：设，求解：由于X的概率密度为于是例11：国际市场上每年对我国某种商品的需求量为一个随机变量X（单位：吨），且已知，并已知每售出一吨此种商品，可以为国家挣得外汇3万美元，但若售不出去，而屯售于仓库，每年需花费保养费每吨为一万美元，问应组织多少货源可使国家的平均收益达到最大？解：设a为某年准备组织出口此种商品的数量（单位：吨）Y为国家收益，于是Y是X的函数，即其概率密度为令解得 a=3500（吨）但，故E(Y)在a=3500时，E（Y）最大，即组织货源为3500吨时，可是国家的收益达到最大。
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求 随 机 变 量 函 数 Y X 2的 数 学 期 望 .
解 : (法 一 ) 先 求 Y的 分 布 律 为
E(Y )
4
y p
k 1 k k
0 0.25 1 0.40 4 0.25 9 0.10
2.30
(法 二 )
E(Y )
E( X
2)
x p 6
k 1
2 k
k
(2) 2 0.10 (1)2 0.10 02 0.25
)]
k
1
g
(
x
k
)
pk
（2）设X是连续型随机变量，其概率密度为f (x).
若
广
义
积
分
g(x)
f
(x)dx绝
对
收
敛
，
则
E ( Y ) E [ g ( X )] g ( x ) f ( x ) d x
Note：此定理简单易用！若先求出Y的分布,很多题目要复杂的多．
例 2 设 随 机 变 量 X的 分 布 律 为
数学期望（二维）
二维随机变量的数学期望
定义1 对 二 维 随 机 变 量 （ X , Y ） , 它 的 数 学 期 望 为
E（X ,Y） E ( X ), E ( Y )
离散型 P { X xi , Y y j } pij ,
E ( X ) x i p i•
xi p ij ,
i1
i1 j1
连续型 （ X ,Y）, f ( x , y )
i, j 1, 2,
哦 E ( Y )
j 1
y j p j
该公式可y p接i 应1 用j 1
直
ij
！j
E ( X )
x f X ( x)dx
x f (x, y)dxdy
E (Y )
y fY ( y )dx
随机变量函数的数学期望
定理
设 Y g ( X )是 随 机 变 量 函 数 X的 函 数 ， g ( x ) 连 续 .
1 （1）设 X 是 离 散 型 随 机 变 量 ， 其 分 布 律 为
P{X xk } pk ,
(k 1,2,)
若
级
数
(xk
)
pk绝
对
收
敛
，
则
k 1
E(Y )
E[g( X
y f (x, y)dxdy
例1
解
设 ( X , Y )的 密 度 函 数 为
12 y 2, 0 y x 1
f (x, y)
0, 其 他
求 E ( X ).
E( X
)
x
fX (x)dx
x
f
(x, y)dydx
1
x
x
12
y 2dydx
1
4x4dx 4 5
0
0
0
Note：此处也可先求出X的边缘概率密度再求E(X).
12 0.20 22 0.15 32 0.10 2.30