极限的计算、证明
函数极限的四则运算法则
函数极限的四则运算法则函数极限是数学中重要的概念之一，它在数学分析和微积分中有着广泛的应用。
四则运算法则指的是对函数进行加减乘除运算时，其极限的运算规则。
在本文中，我们将对四则运算法则进行详细的说明。
1.加法法则：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，且它们的极限都存在，则它们的和的极限等于两个极限的和，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a)f(x) + lim(x→a) g(x)。
证明如下：假设lim(x→a) f(x) = L1，lim(x→a) g(x) = L2，我们需要证明lim(x→a) [f(x) + g(x)] = L = L1 + L2根据极限的定义，我们可以找到两个足够小的正数ε1和ε2，使得当0<，x-a，<δ1时，有，f(x)-L1，<ε1，当0<，x-a，<δ2时，有，g(x)-L2，<ε2取δ = min{δ1, δ2}，则当 0 < ，x-a，< δ 时，有，f(x) - L1，< ε1 且，g(x) - L2，< ε2此时，我们可以将不等式，f(x)-L1，+，g(x)-L2，<ε1+ε2转化为不等式，f(x)+g(x)-(L1+L2)，<ε1+ε2根据极限的定义，当，f(x) + g(x) - (L1 + L2)，< ε1 + ε2 时，有，x - a，< δ，即证明了lim(x→a) [f(x) + g(x)] = L1 +L22.减法法则：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，且它们的极限都存在，则它们的差的极限等于两个极限的差，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
证明方法与加法法则类似，略。
3.乘法法则：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，且它们的极限都存在，则它们的乘积的极限等于两个极限的乘积，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] =lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
用定义证明函数极限方法总结
用定义证明函数极限方法总结函数极限的定义是：对于函数 $f(x)$，如果存在实数 $L$，对于任意给定的正实数 $\varepsilon$，总存在实数 $\delta$，使得当 $0<，x-a，<\delta$ 时，有 $，f(x)-L，<\varepsilon$，则称函数$f(x)$ 在 $x=a$ 处极限为 $L$，记作 $\lim_{x \to a}f(x)=L$。
函数极限的证明方法有以下几种：1. ε-δ极限法：根据函数极限的定义，选择合适的 $L$，对于任意给定的正实数 $\varepsilon$，找到与之对应的正实数 $\delta$，使得当 $0<，x-a，<\delta$ 时，有 $，f(x)-L，<\varepsilon$。
通过构造一个适当的 $\delta$-$\varepsilon$ 语句，利用数学推理的方法来证明函数极限。
这种方法主要适用于一些简单的函数，如多项式函数、三角函数等。
证明过程中需要灵活运用基本不等式、三角不等式、极限的性质等。
2. 夹逼定理：夹逼定理是计算极限的常用方法。
当一个函数$g(x)$ 在 $x=a$ 处极限为 $L$，另一个函数 $h(x)$ 在 $x=a$ 处极限也为 $L$，且对于 $x$ 的取值范围，有 $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$，则 $f(x)$ 在 $x=a$ 处的极限也为 $L$。
通过构造一对函数，使得它们分别从两个方向逼近待求的极限，再利用夹逼定理来证明函数的极限。
3.无穷小定理：无穷小定理是计算极限的一种重要方法。
当$x$趋于一些确定的数值时，如果函数$f(x)$具有性质：无论$x$多么接近这个确定的数值，$f(x)$与它的极限差不多可以忽略不计，就称$f(x)$为无穷小。
使用无穷小定理可以将函数的极限转化为无穷小的极限计算。
常用的无穷小定理有：常数乘以无穷小还是无穷小、无穷小的加减还是无穷小、无穷小的有界函数与无穷小相乘还是无穷小。
极限的四则运算证明
极限的四则运算证明极限是微积分中的重要概念之一，也是数学中的基础概念之一。
而四则运算是我们日常生活中最常见的运算方式。
本文将通过对极限的四则运算进行证明，来展示这两个概念的结合。
我们来证明极限的加法法则。
设有两个函数f(x)和g(x)，当x趋向于某个数a时，我们要证明f(x) + g(x)的极限等于f(a) + g(a)。
首先根据极限的定义，对于任意ε > 0，存在一个δ1 > 0，当0 < |x - a| < δ1时，有|f(x) - f(a)| < ε/2成立；同样地，存在一个δ2 > 0，当0 < |x - a| < δ2时，有|g(x) - g(a)| < ε/2成立。
我们令δ = min(δ1, δ2)，则当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - f(a) + g(x) - g(a)| ≤ |f(x) - f(a)| + |g(x) - g(a)| < ε/2 + ε/2 = ε，即证明了f(x) + g(x)的极限等于f(a) + g(a)。
接下来，我们来证明极限的减法法则。
设有两个函数f(x)和g(x)，当x趋向于某个数a时，我们要证明f(x) - g(x)的极限等于f(a) - g(a)。
同样地，根据极限的定义，对于任意ε > 0，存在一个δ1 > 0，当0 < |x - a| < δ1时，有|f(x) - f(a)| < ε/2成立；同样地，存在一个δ2 > 0，当0 < |x - a| < δ2时，有|g(x) - g(a)| < ε/2成立。
我们令δ = min(δ1, δ2)，则当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - f(a) - g(x) + g(a)| ≤ |f(x) - f(a)| + |g(x) - g(a)| < ε/2 + ε/2= ε，即证明了f(x) -g(x)的极限等于f(a) - g(a)。
高等数学常用极限求法[1]1
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一、求函数极限的方法1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明:1223lim 22=-+-→x x x x 证: 由244122322-+-=--+-x x x x x x()2222-=--=x x x0>∀ε取εδ= 则当δ<-<20x 时,就有ε<--+-12232x x x由函数极限δε-定义有:1223lim 22=-+-→x x x x 2、利用极限的四则运算性质若 A x f x x =→)(lim 0B x g x x =→)(lim 0(I)[]=±→)()(lim 0x g x f x x )(lim 0x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0(II)[]B A x g x f x g x f x x x x x x ⋅=⋅=⋅→→→)(lim )(lim )()(lim 0(III)若 B ≠0 则：BAx g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )(lim )()(lim 000（IV ）cA x f c x f c x x x x =⋅=⋅→→)(lim )(lim 0（c 为常数）上述性质对于时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,,例：求 453lim 22+++→x x x x解: 453lim 22+++→x x x x =254252322=++⋅+3、约去零因式（此法适用于型时0,0x x →）例: 求121672016lim 23232+++----→x x x x x x x解:原式=()())12102(65)2062(103lim2232232+++++--+---→x x x x xx x x x xx =)65)(2()103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x=)65()103(lim 222++---→x x x x x =)3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x =2lim -→x 735-=+-x x4、通分法（适用于∞-∞型） 例: 求 )2144(lim 22xx x ---→解: 原式=)2()2()2(4lim2x x x x -⋅++-→=)2)(2()2(lim2x x x x -+-→=4121lim2=+→x x5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质） 设函数f(x)、g(x) 满足： （I ）0)(lim 0=→x f x x(II) M x g ≤)( (M 为正整数) 则：0)()(lim 0=→x f x g x x例: 求 xx x 1sinlim 0⋅→ 解: 由 0lim 0=→x x 而 11sin≤x故 原式 =01sinlim 0=⋅→xx x6、利用无穷小量与无穷大量的关系。
(完整版)数列极限四则运算法则的证明
数列极限四则运算法则的证明设limAn=A,limBn=B,则有法则1:lim(An+Bn)=A+B法则2:lim(An-Bn)=A-B法则3:lim(An·Bn)=AB法则4:lim(An/Bn)=A/B.法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数)(n→+∞的符号就先省略了,反正都知道怎么回事.)首先必须知道极限的定义:如果数列{Xn}和常数A有以下关系:对于∀ε＞0(不论它多么小),总存在正数N,使得对于满足n＞N的一切Xn,不等式|Xn-A|＜ε都成立,则称常数A是数列{Xn}的极限,记作limXn=A.根据这个定义,首先容易证明:引理1: limC=C.(即常数列的极限等于其本身)法则1的证明:∵limAn=A,∴对任意正数ε,存在正整数N₁,使n＞N₁时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义)同理对同一正数ε,存在正整数N₂,使n＞N₂时恒有|Bn-B|＜ε.②设N=max{N₁,N₂},由上可知当n＞N时①②两式全都成立.此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)|≤|An-A|+|Bn-B|＜ε+ε=2ε.由于ε是任意正数,所以2ε也是任意正数.即:对任意正数2ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|(An+Bn)-(A+B)|＜2ε.由极限定义可知,lim(An+Bn)=A+B.为了证明法则2,先证明1个引理.引理2:若limAn=A,则lim(C·An)=C·A.(C是常数)证明:∵limAn=A,∴对任意正数ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义)①式两端同乘|C|,得:|C·An-CA|＜Cε.由于ε是任意正数,所以Cε也是任意正数.即:对任意正数Cε,存在正整数N,使n＞N时恒有|C·An-CA|＜Cε.由极限定义可知,lim(C·An)=C·A.(若C=0的话更好证)法则2的证明:lim(An-Bn)=limAn+lim(-Bn)(法则1)=limAn+(-1)limBn(引理2)=A-B.为了证明法则3,再证明1个引理.引理3:若limAn=0,limBn=0,则lim(An·Bn)=0.证明:∵limAn=0,∴对任意正数ε,存在正整数N₁,使n＞N₁时恒有|An-0|＜ε.③(极限定义)同理对同一正数ε,存在正整数N₂,使n＞N₂时恒有|Bn-0|＜ε.④设N=max{N₁,N₂},由上可知当n＞N时③④两式全都成立.此时有|An·Bn|=|An-0|·|Bn-0|＜ε·ε=ε².由于ε是任意正数,所以ε²也是任意正数.即:对任意正数ε²,存在正整数N,使n＞N时恒有|An·Bn-0|＜ε².由极限定义可知,lim(An·Bn)=0.法则3的证明:令an=An-A,bn=Bn-B.则liman=lim(An-A)=limAn+lim(-A)(法则1)=A-A(引理2)=0.同理limbn=0.∴lim(An·Bn)=lim[(an+A)(bn+B)]=lim(an·bn+B·an+A·bn+AB)=lim(an·bn)+lim(B·an)+lim(A·bn)+limAB(法则1)=0+B·liman+A·limbn+limAB(引理3、引理2)=B×0+A×0+AB(引理1)=AB.引理4:如果limXn=L≠0,则存在正整数N和正实数ε,使得对任何正整数n>N,有|Xn|≥ε.证明：取ε=|L|/2>0,则存在正整数N,使得对任何正整数n>N,有|Xn-L|<ε.于是有|Xn|≥|L|-|Xn-L|≥|L|-ε=ε引理5:若limAn存在,则存在一个正数M,使得对所有正整数n,有|An|≤M.证明：设limAn=A,则存在一个正整数N,使得对n>N有|An-A|≤1,于是有|An|≤|A|+1,我们取M=max(|A1|,...,|AN|,|A|+1)即可法则4的证明:由引理4,当B≠0时(这是必要条件),∃正整数N1和正实数ε0,使得对∀正整数n>N1,有|Bn|≥ε0.由引理5,又∃正数M,K,使得使得对所有正整数n,有|An|≤M,|Bn|≤K.现在对∀ε>0, ∃正整数N2和N3,使得:当n>N2,有|An-A|<ε0*|B|*ε/(M+K+1)；当n>N3,有|Bn-B|<ε0*|B|*ε/(M+K+1)；现在,当n>max(N1,N2,N3)时,有|An/Bn-A/B|=|An*B-Bn*A|/|B*Bn|=|An(B-Bn)+Bn(An-A)|/|B*Bn|≤(|An|*|B-Bn|+|Bn|*|A-An|)/(|B|*ε0)≤ε(M+K)/((M+K+1)<ε法则5的证明:lim(An的k次方)=limAn·lim(An的k-1次方)(法则3)....(往复k-1次)=(limAn)的k次方=A的k次方.。
数学分析3.4两个重要的极限
第三章函数极限4 两个重要的极限一、证明：limx→0sin xx=1.证：∵sinx<x<tanx(0<x<π2)，∴1<xsin x<1cos x(0<x<π2)，∴cosx<sin xx<1(0<x<π2)，又cos-x=cosx，sin−x−x =sin xx，∴对0<|x|<π2，有cosx<sin xx<1.由limx→0cosx=1，根据极限的迫敛性，limx→0sin xx=1.例1：求limx→πsin x π−x.解：令t=π-x，则sinx=sin(π-t)=sint，且当x→π时，t→0，∴limx→πsin xπ−x=limt→0sin tt=1.例2：求limx→01−cos xx2.解：limx→01−cos xx2=limx2→012sin x2x22=12，二、证明limx→∞1+1xx=e.证：设f(x)=1+1n+1n, g(x)=1+1nn+1, n≤x<n+1, n=1,2,…,则f(x)递增且有上界，g(x)递减且有下界，∴limx→+∞f x与limx→+∞g x都存在，取{x n}={n}，由归结原则得lim x→+∞f x=limn→+∞1+1n+1n=e，limx→+∞g x=limn→+∞1+1nn+1=e，又1+1n+1<1+1x≤1+1n，则1+1n+1n<1+1xx<1+1nn+1，根据迫敛性定理得limx→+∞1+1xx= e.设x=-y，则1+1x x=1−1y−y=1+1y−1y，且当x→-∞，y→+∞，从而有lim x→−∞1+1xx=limy→+∞1+1y−1y−1·1+1y−1=e.∴limx→∞1+1xx=e.注：e的另一种形式：lima→01+a1a=e.证：令a=1x ，则当a→0时，1x→∞，∴lima→01+a1a=lim1x→∞1+1xx=e.例3：求limx→01+2x1x.解：limx→01+2x1x=lim12x→∞1+2x12x2=e2.例4：求limx→01−x1x.解：limx→01−x1x=lim−1x→∞1[1+(−x)]−1x=1e.例5：求limn→∞1+1n−1n2n.解：1+1n −1n2n<1+1nn→e(n→∞)，又当n>1时有1+1n −1n2n=1+n−1n2n2n−1−nn−1≥1+n−1n2n2n−1−2→e(n→∞，即n−1n2→0).由迫敛性定理得：limn→∞1+1n−1n2n=e.习题1、求下列极限： (1)lim x →0sin 2x x；(2)limx →0sin x 3 (sin x)2；(3)lim x →π2cos xx −π2；(4)limx →0tan x x；(5)limx →0tan x −sin xx 3；(6)limx →0arctan xx；(7)lim x →+∞x sin 1x；(8)limx →asin 2 x −sin 2 ax −a；(9)limx → x +1−1(10)limx →0 1−cos x 21−cos x.解：(1)limx →0sin 2x x=lim2x →02sin 2x 2x=2；(2)lim x →0sin x 3(sin x)2=limx →0 x 3sin x 3x 3(sin x )2=limx 3→0sin x 3x3·lim x 2→0xsin x 2·lim x →0x =0； (3)lim x →π2cos x x −π2=lim x −π2→0−sin x −π2x −π2= -1；(4)limx →0tan x x=limx →0sin x x·limx →01cos x=1；(5)lim x →0tan x −sin xx 3=limx →0sinx 1cos x −1x 3=limx →0sin x·1−cos xcos x x 3=limx →02sinx 2cos x 2·2 sin x 2 2cos xx3=limx →04 sinx 2 3·cos x2cos x x3=limx →0sin x 2 3·cos x2cos x 2 x 23=lim x2→0sinx 2x 23·lim x 2→0cosx 22lim x →0cos x =12；(6)令arctan x=y ，则x=tany ，且x →0时，y →0， ∴limx →0arctan xx=limy →0ytan y =limy →0cos ysin y y=1；(7)lim x →+∞x sin 1x =lim 1x→0sin1x1x =1；(8)lim x →asin 2 x −sin 2 ax −a =limx →a sin x −sin a (sin x+sin a)x −a=limx →a2cosx +a 2 sin x −a2x −a·2sin a=limx −a2→0sinx −a2x −a 2·cos a ·2sin a= sin2a ；(9)limx →x +1−1lim x →0( x+1+1)sin 4xx=8lim4x →0sin 4x 4x=8；(10)lim x →0 1−cos x 21−cos x=limx →0 2sin x 222 sin x 22= 2limx →0sinx 22 x 22 sinx 2x 22= 2.2、求下列极限：(1)limx→∞1−2x−x；(2)limx→01+ax1x(a为给定实数)；(3)limx→01+tan x cot x；(4)limx→01+x1−x1x；(5)limx→+∞3x+23x−12x−1；(6)limx→+∞1+αxβx(α,β为给定实数)解：(1)limx→∞1−2x−x=lim−x2→∞1+1−x2−x22=e2；(2)limx→01+ax1x=lima x→01+ax1axa=e a；(3)limx→01+tan x cot x=limtan x→01+tan x1tan x=e；(4)limx→01+x1−x1x=limx→01+x1x1−x1x=limx→01+x1xlim−x→0[1+−x]1−x−1=e2；(5)limx→+∞3x+23x−12x−1=limx→+∞1+33x−16x−33=lim33x−1→0+1+33x−123x−1−13=lim33x−1→0+1+33x−123x−13lim33x−1→0+1+33x−113=e2；(6)limx→+∞1+αxβx=limx→+∞1+αxαβxα=limαx→0+1+αxxααβ=eαβ.3、证明：limx→0limn→∞cos xcos x2cos x22…cos x2n=1.证：∵cos xcos x2cos x22…cos x2n=2n+1cos xcos x2cos x22…cos x2nsin x2n2n+1sin x2n=sin 2x2n+1sin x2n=sin 2x2xsin x2nx2n=x2nsin x2n·sin 2x2x；∴当x≠0时，limn→∞ cos xcos x2cos x22…cos x2n=limx2n→0x2nsin x2n·sin 2x2x=sin 2x2x；lim x→0limn→∞cos xcos x2cos x22…cos x2n=lim2x→0sin 2x2x=1.当x=0时，cos xcos x2cos x22…cos x2n=1，∴limx→0limn→∞cos xcos x2cos x22…cos x2n=1.4、利用归结原则计算下列极限：(1)limn→∞n sinπn；(2)limn→∞1+1n+1n2n.解：(1)∵limx→∞x sinπx=limx→∞sinπxπx·x=limπx→0sinπxπx·limx→∞x=0根据归结原则，limn→∞n sinπn=0.(2)∵当x>0时，1+1x +1x2x>1+1xx→e(x→+∞)，又1+1x +1x2x=1+x+1x2x2x+1+xx+1<1+x+1x2x2x+1→e(x→+∞，即x+1x2→0)，∴limx→+∞1+1x+1x2x=e根据归结原则，limn→∞1+1n+1n2n=e.。
用极限定义证明极限的几种方法
用极限定义证明极限的几种方法在数学中，极限是一个非常重要的概念，它描述了一个函数在某一点的邻近区域内的行为。
极限的定义是严格的，而且它的证明方法多种多样。
在本文中，我们将探讨用极限定义证明极限的几种方法。
一、直接代入法直接代入法是最简单的证明极限的方法之一。
它适用于那些可以直接计算出函数值的情形。
如果我们知道函数在某一点的极限值，那么我们只需要将该点的值代入函数，然后证明该值等于极限值即可。
例如，我们要证明函数f(x)=x^2在x=2处的极限为4，我们可以按照以下步骤进行：1.首先，我们知道f(2)=4。
2.接下来，我们选择一个足够小的正数ε，例如ε=0.1。
3.然后，我们找到一个足够小的正数δ，例如δ=0.1。
4.对于所有满足0<|x-2|<δ的x，我们有|f(x)-4|=|x^2-4|=|x-2||x+2|<δ|x+2|。
5.由于|x-2|<δ=0.1，所以1.9<x<2.1，所以|x+2|<4.1。
6.所以|f(x)-4|<0.1×4.1=0.41<ε=0.1。
7.所以，对于所有满足0<|x-2|<δ的x，我们都有|f(x)-4|<ε，这就证明了f(x)在x=2处的极限为4。
二、利用极限的四则运算法则如果我们要证明的函数是由其他函数通过四则运算得到的，那么我们可以利用极限的四则运算法则来证明该函数的极限。
这些法则包括：1.和差的极限等于极限的和差：lim(f(x)±g(x))=lim f(x)±lim g(x)。
2.乘积的极限等于极限的乘积：lim(f(x)g(x))=lim f(x)×lim g(x)。
3.商的极限等于极限的商：lim(f(x)/g(x))=lim f(x)/lim g(x)，其中limg(x)≠0。
例如，我们要证明函数f(x)=(2x-1)/(3x+2)在x=1处的极限为1/5，我们可以按照以下步骤进行：1.首先，我们知道函数f(x)是由两个函数g(x)=2x-1和h(x)=3x+2通过除法得到的。
(完整版)极限四则运算
§1.5 极限的运算法则极限定义为我们提供了一种求极限的方法,但这种方法使用起来很不方便,并且在大多数情形下也是不可行的.这一节我们将给出极限的若干运算法则,应用这些法则将帮助我们比较方便的进行有关极限的证明和计算. 一 无穷小的运算定理设,,αβγ是0x x →时的无穷小，即0lim ()0,lim ()0,lim ()0,x x x x x x x x x αβγ→→→===下面来叙述有关无穷小的运算定理。
定理1 1）有限个无穷小的和也是无穷小；2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
推论：1）常数与无穷小的乘积是无穷小；2） 有限个无穷小的乘积也是无穷小。
二 极限的四则运算法则利用极限与无穷小的关系及无穷小的运算性质，下面叙述极限的极限的四则运算法则。
定理2 如果()0lim x x f x A →=， ()0lim x x g x B →= 则()()()(),()(),0()f x f xg x f x g x B g x ±≠，的极限都存在，且（1） ()()()()0lim lim lim ;x x x x x x f x g x f x g x A B →→→±=±=±⎡⎤⎣⎦（2） ()()()()0lim lim lim ;x x x x x x f x g x f x g x AB →→→==⎡⎤⎣⎦（3） ()()()()000lim lim(0).lim x xx x x x f x f x A B g x g x B→→→==≠ 证 1因为()0lim x x f x A →=， ()0lim x x g x B →=，所以，当0x x →时，0,01>∃>∀δε，当100δ<-<x x 时，有2)(ε<-A x f ，对此ε，02>∃δ，当200δ<-<x x 时，有2)(ε<-B x g ，取},m in{21δδδ=，当δ<-<00x x 时，有εεε=+<-+-≤-+-=+-+22)()())(())(()())()((B x g A x f B x g A x f B A x g x f 所以B A x g x f x x +=+→))()((lim 0。
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极限的论证计算，其一般方法可归纳如下 1、 直接用定义()等δεε--,N 证明极限 例、试证明01
lim
=∞→n
n 证：要使ε<-01n
，只须ε
1
>n ，故
0>∀ε，11
+⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=∃εN ，N n >∀，有ε<-01
n 2、 适当放大，然后用定义或定理求极限或证明极限
例、证明：0!
lim =∞→n a n
n ，0>a 证：已知0>a 是一个常数 ∃∴正整数k ，使得k a ≤
()ε<⋅≤+⋅==-n a k a n k a a k a n a n a k
k
n
n
!1!!0! ，ε
!1
k a n k +> 1!,01+⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡=∃>∀∴+εεk a N k ，当N n >时，有 ε<-0!
n a n
3、用两边夹定理在判定极限存在的同时求出极限 例、求()()
n
n n n 264212531lim ⋅⋅-⋅⋅∞
→ 解：
()()()()n n n n n 212264212753264212531⋅-⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅ ()()()()n
n n n n n 41
125312642211253264⋅-⋅⋅⋅⋅=⋅-⋅⋅>
∴ ()()n n n 41
2642125312
>⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅⋅-⋅⋅
两边开n 2次方： ()()121
21412642125311222→⋅=>⋅⋅-⋅⋅>n n n n
n
n n n
由两边夹：()()
1264212531lim =⋅⋅-⋅⋅∞
→n
n n n
4、 利用等价性原理把求一般极限的问题化为无穷小量的极限问
题
例、设0≠→l S n ()∞→n ，0>p 为常数，求证：p
p
n l S →()∞→n
证：00→-≤-≤l S l S n n ，得 l S n →()∞→n 记 n n l S α+=，其中 0→n α()∞→n
再记n n l S α+=()n n
l l
l βα+=⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+=11，其中0→=l n n αβ()∞→n 则有()p n p
p
n l S β+=1。
若取定自然数p K >，则当1<n β时 ()()()K
n p n K
n βββ+≤+≤-111
()()()K
n p
p
n p n p
K
n p
l S l l βββ+≤=+≤-111
由两边夹得证。
5、 通过分子有理化或分子分母同时有理化将表达式变形使之易
求极限
例、求极限()
1sin lim
2+∞
→n n π 解：()
1sin lim 2+∞→n n π=()
πππn n n n -++∞
→1sin lim 2 =()()
ππn n n
n -+-∞
→1sin 1lim
2
=()01sin 1lim 2
2
=++-∞
→π
ππn n n
n
6、 换变量后利用复合函数求极限法则求极限 例、求极限()
x
x K
x 1
1lim
10
-+→，其中K 是自然数
解：令 ()111-+=K
x y
当1<x 时，有 ()x x x K
+≤+≤-1111，所以00→⇒→y x 利用复合函数求极限法则可得 ()
x
x K
x 1
1lim
10
-+→()()K
y y K K Ky y
y y
K y K y 112
1
lim
1
1lim
20
=
++-+
=-+=→→ 7、 进行恒等变形化成已知极限进行计算
例、2122sin 21lim 2sin 2lim cos 1lim
2
02
2020=⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅==-→→→x x x x x x x x x 8、用等价无穷小量进行变量替换后求极限 例、求极限2
cos
1cos 1lim
0x x
x --→
解：x cos 1-～221x ，2cos 1x -～2
221⎪⎭⎫
⎝⎛⋅x ()0→x
2cos 1cos 1lim
0x x
x --→422121lim 2
2
0=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⋅=→x x
x 9、利用存在性定理确定极限的存在性并求极限 例、2
11n n n x x x +=
+， ,2,1=n ，01>=a x 证明：n n x ∞
→lim 存在，并求此极限。
证明：0>n x 211n n n x x x +=
+22
12=⋅≥n
n x x 022212
1≤-=-+=-+n
n n n n n n x x x x
x x x ，n
n x x ≤+1
且 2≥n x ，∴n n x ∞
→lim 存在
令 =l n n x ∞
→lim ，有 2
1l l l +=，22=l ，2=l
10、利用海涅定理解决极限问题
例、试证明函数()x
x f 1sin =当0→x 时极限不存在 证：取02
21→+
=
π
πn x n ，021
→=
π
n y n ()∞→n 而 ()1=n x f ，()0=n y f ，得证 11、把求极限问题化为导数问题计算 例、求极限()
x x K
x 1
1lim
10-+→，其中K 是自然数
解：()x
x K
x 1
1lim
10
-+→1'1
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=x x K K 1= 12、利用洛必达法则求极限
例、()π
π
--→x x tgx 202
lim 解：令=A ()π
π
--→x x tgx 202
lim ln ln =A ()ππ--→x x tgx 202
lim ()π
π
--→=x x tgx 20
2
ln lim ()tgx x x ln 2lim 02
ππ-=-→()
1
2
2ln lim --→-=ππ
x tgx
x ()tgx
x x x 2
20
2
22sec lim
--→--=ππ
()21cos sin 221lim 2
02-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-→x x x x ππ02sin 24lim 2
02=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x x x πππ 所以()1lim 0202
===--→e A tgx x x π
π
13、把求极限的表达式化为积分和的形式，用定积分进行计算
例、设n
n n S n 21
2111+
++++=
，求n n S ∞→lim 解：n n n S n 21
2111+++++= n
i n n i +⋅=∑=1111，n n S ∞→lim 2ln 1110=+=⎰dx x
14、利用第一积分中值定理处理定积分的极限问题
例、求⎰+∞→1
01lim
dx x
x n
n 解：由第一积分中值定理
⎰
⎰+=
+1
1
011
1dx x dx x x n n
n ξ1
1
11+⋅+=
n n ξ，()10≤≤n ξ 所以⎰+∞→1
01lim
dx x
x n
n 0= 15、利用收敛级数的必要条件求极限
例、求!
lim n x n
n ∞→ 解：已知指数函数的幂级数展开式∑∞
==0!
n n
x
n x e 对于一切R x ∈收敛
而收敛级数的一般项趋于0，故得!
lim n x n
n ∞→0= 16、用带有皮亚诺余项的泰勒展开式求函数或序列的极限
例、⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-∞
→x x x x 11ln lim 2
解：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x 11ln 2
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅--=22
2101211x x x x x 2
2112
1x x o ⎪⎭⎫
⎝⎛-=
原式2
1
=
17、利用柯西收敛准则处理极限问题
例、用Cauchy 收敛准则证明111
13521
n x n =++++-无极限. 证: 取010,05
N ε=>∀>,任取,n N p n >=,有
211
11
.2123
414144
n p n n n n n x x x x n n n n n ε+-=-=
+++
≥>=>++-- 故由Cauchy 收敛准则知,{}n x 为发散数列.
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
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