公开课平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示和应用
平面向量的坐标表示和应用在数学中，向量是一种包含大小和方向的量，常用来表示物理量。
而平面向量则是指位于同一平面上的向量。
为了便于描述和计算，我们通常使用坐标来表示平面向量。
本文将探讨平面向量的坐标表示及其应用。
一、平面向量的坐标表示平面向量可以用有序数对表示，例如向量AB可以表示为(AB)，其中A和B是平面上的两个点。
而这个有序数对的坐标表示即为平面向量的坐标。
对于平面上的点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，向量AB的坐标表示为：(AB) = (x₂ - x₁, y₂ - y₁)这样，我们就可以用有序数对表示平面向量，并通过坐标的差值表示向量的方向和大小。
二、平面向量的坐标运算在进行平面向量的坐标运算时，我们可以类比于进行普通的数学运算。
主要涉及到向量的加法、减法和数乘。
1. 向量的加法设有两个向量AB和CD，它们的坐标分别为(AB) = (x₁, y₁)和(CD) = (x₂, y₂)。
那么这两个向量的和为：(AB + CD) = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)向量的加法相当于分别对向量的x轴和y轴分量进行相加。
2. 向量的减法向量的减法可以通过向量的加法和数乘来表示。
设有两个向量AB 和CD，那么它们的差为：(AB - CD) = (AB + (-CD))其中(-CD)是向量CD的相反向量，其坐标为=(-x₂, -y₂)。
将其带入上式，可得：(AB - CD) = (x₁ - x₂, y₁ - y₂)向量的减法相当于向量的加法和数乘的结合运算。
3. 向量的数乘设有向量AB，那么它与一个实数k的数乘表示为：k(AB) = (kx, ky)其中kx和ky分别为向量AB的x轴和y轴分量乘以k。
三、平面向量的坐标表示应用平面向量的坐标表示在解决实际问题中有着广泛的应用。
下面介绍两个常见的应用。
1. 向量的平移平面向量的坐标表示可以用于描述平面上的点的平移，即将一个点沿着一个向量进行移动。
平面向量坐标表示公式
平面向量坐标表示公式1. 介绍平面向量是二维空间中的有向线段，由模长和方向唯一确定。
平面向量可以使用坐标表示，这样可以方便地进行向量运算和表达。
2. 坐标表示公式平面向量的坐标表示公式如下：\(\vec{v} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\)其中，\(x\) 和 \(y\) 分别表示平面向量在 x 轴和 y 轴上的分量。
3. 向量加法平面向量的加法可以通过分别相加各个分量来实现。
设有两个平面向量 \(\vec{u} = \begin{bmatrix} u_x \\ u_y \end{bmatrix}\) 和\(\vec{v} = \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix}\)，它们的和向量为 \(\vec{w} = \begin{bmatrix} w_x \\ w_y \end{bmatrix}\)，则有：\(\vec{w} = \vec{u} + \vec{v} = \begin{bmatrix} u_x + v_x \\ u_y + v_y \end{bmatrix}\)4. 向量数量乘法平面向量的数量乘法可以通过分别乘以常数来实现。
设有一个平面向量 \(\vec{v} = \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix}\)，常数为 \(k\)，则数量乘积为 \(k\vec{v} = \begin{bmatrix} kv_x \\ kv_y \end{bmatrix}\)。
5. 向量点积平面向量的点积可以用分别相乘各个对应分量再求和的方式来计算。
设有两个平面向量 \(\vec{u} = \begin{bmatrix} u_x \\ u_y\end{bmatrix}\) 和 \(\vec{v} = \begin{bmatrix} v_x \\ v_y\end{bmatrix}\)，它们的点积为 \(u \cdot v = u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y\)。
平面向量的坐标表示课件
CHAPTER 04
平面向量坐标表示的几何意义
向量的长度和方向
总结词
向量的长度表示向量的大小，方向表示向量的指向。
详细描述
在平面上，一个向量可以用坐标表示为起点和终点的坐标差值。向量的长度可 以通过勾股定理计算，方向可以通过起点和终点的位置确定。
向量的夹角和向量的数量积
总结词
向量的夹角表示两个向量之间的 角度，向量的数量积表示两个向 量之间的相似度。
应用
在物理和工程中，数乘运算常用于描述力的合成与分解、速度和加速度 的计算等。
CHAPTER 03
平面向量坐标表示的应用
向量模的计算
总结词
详细描述
总结词
详细描述
向量模是衡量向量大小的一 个重要指标，通过坐标表示 可以方便地计算向量的模。
向量模的计算公式为 $sqrt{x^2 + y^2}$，其中 $x$和$y$分别为向量在x轴和 y轴上的分量。通过坐标表示 ，我们可以直接使用这个公
总结词
详细描述
总结词
详细描述
向量的投影是向量在某个方向 上的分量，通过坐标表示可以 方便地计算向量的投影。
向量的投影公式为 $frac{xcostheta + ysintheta}{sqrt{x^2 + y^2}}$，其中$(x, y)$为向量 的坐标，$theta$为投影方向 与x轴的夹角。使用这个公式 可以计算出向量在任意方向上 的投影。
overset{longrightarrow}{F_{1}} + overset{longrightarrow}{F_{2}}$。
速度和加速度的合成与分解
速度的合成
当物体同时参与两个方向上的运动时，其合 速度可以通过平面向量的加法运算得到。例 如，向量 $overset{longrightarrow}{v_{1}}$和 $overset{longrightarrow}{v_{2}}$分别表 示两个方向上的速度，合速度 $overset{longrightarrow}{v}$可以通过向 量加法$overset{longrightarrow}{v} = overset{longrightarrow}{v_{1}} + overset{longrightarrow}{v_{2}}$得到。
平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。
为了表示和计算平面向量，我们常常使用坐标表示法。
本文将介绍平面向量的坐标表示方法，以及如何进行向量的加法、减法和数量乘法运算。
1. 坐标表示法简介在平面直角坐标系中，我们可以用有序数对表示一个点的坐标。
同样地，我们也可以用有序数对$(x,y)$来表示一个平面向量。
其中，$x$表示向量在$x$轴上的分量，$y$表示向量在$y$轴上的分量。
2. 向量的加法对于平面向量$\mathbf{a}=(x_1,y_1)$和$\mathbf{b}=(x_2,y_2)$，它们的和可以通过分别将它们的$x$分量相加，$y$分量相加得到：$$\mathbf{a}+\mathbf{b}=(x_1+x_2, y_1+y_2)$$3. 向量的减法平面向量的减法可以通过将被减向量取负后与减向量相加得到。
对于向量$\mathbf{a}=(x_1,y_1)$和$\mathbf{b}=(x_2,y_2)$，它们的差可以表示为：$$\mathbf{a}-\mathbf{b}=\mathbf{a}+(-\mathbf{b})=(x_1-x_2, y_1-y_2)$$4. 向量的数量乘法向量的数量乘法即将向量的每个分量都乘以一个实数。
对于平面向量$\mathbf{a}=(x,y)$和实数$k$，其数量乘积为：$$k\mathbf{a}=(kx, ky)$$5. 向量的坐标表示在几何上的意义通过坐标表示法，我们可以将平面向量转化为有向线段。
以原点$(0,0)$为起点，平面向量$(x,y)$的终点坐标为$(x,y)$。
直观地，这个有向线段从原点指向$(x,y)$，表示向量的大小和方向。
6. 向量的线性组合由于向量的加法和数量乘法运算，我们可以进行向量的线性组合。
给定平面向量$\mathbf{a}=(x_1,y_1)$和$\mathbf{b}=(x_2,y_2)$以及实数$k_1$和$k_2$，它们的线性组合可以表示为：$$k_1\mathbf{a}+k_2\mathbf{b}=(k_1x_1+k_2x_2,k_1y_1+k_2y_2)$$线性组合的几何意义是将$k_1$倍的$\mathbf{a}$和$k_2$倍的$\mathbf{b}$相加得到一个新的向量。
平面向量的坐标表示和向量方程
平面向量的坐标表示和向量方程平面向量是在平面上可平移的有向线段，用来表示平面上的大小和方向。
在解决平面向量问题时，我们常常需要使用坐标来表示向量和向量方程。
一、平面向量的坐标表示一般情况下，我们使用平面直角坐标系来表示平面向量。
在二维平面直角坐标系中，一个平面向量可以由其水平和垂直方向的分量表示。
假设有一个向量AB，它的起点为A(x1, y1)、终点为B(x2, y2)，则向量AB的表示形式为：AB = (x2 - x1, y2 - y1)这里，x2 - x1表示水平方向的分量，y2 - y1表示垂直方向的分量。
这种表示方式也被称为坐标表示。
二、向量方程向量方程是通过向量的起点和终点表示的方程，通常用于描述平面上的直线、曲线等几何问题。
对于平面向量的方程，一般形式如下：r = a + λb其中，r是位于平面上的任意一点的位置向量，a是向量的起点位置向量，b是平面上的一个固定向量，λ是实数。
解析上述向量方程，可以得到点P(x, y)的坐标表示：OP = a + λb这里，P(x, y)是位于平面上的任意一点，O是坐标系的原点。
a是向量的起点位置向量，b是平面上的一个固定向量，λ是实数。
通过这种向量方程的表示方法，我们可以方便地描述平面上的直线、曲线以及其他几何形状。
三、平面向量的基本运算1. 向量加法：对于平面上的两个向量a(x1, y1)和b(x2, y2)，它们的和记作a + b，其坐标表示为(x1 + x2, y1 + y2)。
2. 向量减法：对于平面上的两个向量a(x1, y1)和b(x2, y2)，它们的差记作a - b，其坐标表示为(x1 - x2, y1 - y2)。
3. 数乘运算：对于平面上的一个向量a(x, y)和一个实数k，它们的数乘记作k * a，其坐标表示为(kx, ky)。
通过以上基本运算，我们可以对平面向量进行加法、减法和数乘运算，从而解决各种与平面向量相关的问题。
四、平面向量的应用平面向量在几何学和物理学中有广泛的应用，尤其是在力学、动力学和几何形状的描述中。
平面向量的坐标表示和几何意义
平面向量的坐标表示和几何意义平面向量是研究平面上的运动和力学性质的重要工具。
为了描述和计算平面向量，我们需要掌握坐标表示和几何意义。
一、平面向量的坐标表示平面向量可以通过坐标表示来描述。
假设平面上有一个点P(x, y)，我们可以将其与原点O(0, 0)之间的有向线段表示为向量OP。
在直角坐标系中，向量OP的坐标表示为OP = <x, y>，其中x为横坐标分量，y为纵坐标分量。
二、平面向量的几何意义平面向量的几何意义主要包括长度和方向两个方面。
1. 长度：平面向量OP的长度可以用勾股定理计算，即|OP| = √(x² + y²)。
2. 方向：平面向量OP的方向可以通过与坐标轴的夹角来确定。
- 当x > 0且y = 0时，向量OP与x轴正向平行。
- 当x < 0且y = 0时，向量OP与x轴负向平行。
- 当x = 0且y > 0时，向量OP与y轴正向平行。
- 当x = 0且y < 0时，向量OP与y轴负向平行。
- 当x > 0且y > 0时，向量OP位于第一象限。
- 当x < 0且y > 0时，向量OP位于第二象限。
- 当x < 0且y < 0时，向量OP位于第三象限。
- 当x > 0且y < 0时，向量OP位于第四象限。
三、平面向量的运算平面向量还可以进行加法、减法和数量乘法等运算。
1. 加法：设有向线段A和有向线段B分别对应平面向量OA和平面向量OB，则两个向量的和为平面向量OC，记作OC = OA + OB。
向量OC的坐标表示为OC = <x₁ + x₂, y₁ + y₂>，即将对应分量分别相加。
2. 减法：设有向线段A和有向线段B分别对应平面向量OA和平面向量OB，则两个向量的差为平面向量OD，记作OD = OA - OB。
向量OD的坐标表示为OD = <x₁ - x₂, y₁ - y₂>，即将对应分量分别相减。
平面向量的坐标表示和应用
平面向量的坐标表示和应用平面向量是我们在平面上研究几何和物理问题时经常遇到的重要概念。
平面向量有多种表示方法，其中坐标表示是最常用和最方便的一种。
本文将介绍平面向量的坐标表示方法以及其在实际问题中的应用。
一、平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示是指使用带方向的有序数对来表示一个向量。
在二维平面中，一个向量可以表示为矩阵形式：AB = (x, y)其中，(x, y)表示向量AB在x轴和y轴上的投影长度。
x表示向量在x轴上的投影长度，y表示向量在y轴上的投影长度。
这种表示方法相对简洁明了，方便计算和应用。
在直角坐标系中，我们可以利用两点的坐标来确定一个向量的坐标表示。
考虑两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，可以得到向量AB的坐标表示：AB = (x2 - x1, y2 - y1)这里的(x2 - x1)表示向量在x轴上的投影长度，(y2 - y1)表示向量在y轴上的投影长度。
二、平面向量的应用平面向量的坐标表示不仅仅是一种数学工具，也是解决实际问题的重要手段。
下面我们将介绍平面向量坐标表示的一些具体应用。
1. 位移问题平面向量的坐标表示可以用于描述位移问题。
假设一个物体在平面上从点A(x1, y1)移动到点B(x2, y2)，我们可以用向量表示物体的位移：AB = (x2 - x1, y2 - y1)这个向量就表示了物体从A点到B点的位移情况。
通过计算向量的模长和方向，我们可以得到具体的位移距离和方向角度。
2. 力的合成平面向量的坐标表示还可以用于描述力的合成问题。
假设一个物体受到两个力F1和F2的作用，我们可以用向量表示这两个力的合力：F = F1 + F2通过将两个力的向量相加，我们可以得到其合力的坐标表示。
这个合力向量可以帮助我们确定物体受力的大小和方向。
3. 速度和加速度问题平面向量的坐标表示在描述速度和加速度问题时也非常有用。
假设一个物体在平面上沿着某个路径运动，我们可以用向量表示物体的速度和加速度：速度 V = (v1, v2)加速度 A = (a1, a2)其中v1和v2表示速度在x轴和y轴上的分量，a1和a2表示加速度在x轴和y轴上的分量。
公开课平面向量的坐标表示课件
2023
PART 04
平面向量坐标表示的实例 分析
REPORTING
力的合成与分解的实例分析
力的合成
当有两个力同时作用在一个物体上时，其总作用力可以用向量表示。例如，当一个物体受到两个力$F_1$和 $F_2$的作用，其合力的向量表示为$F = F_1 + F_2$。
力的分解
一个力可以分解为两个或多个分力。分力的大小和方向可以通过向量的分解得到。例如，一个力$F$可以分解为 两个分力$F_1$和$F_2$，其向量表示为$F = F_1 + F_2$。
练习题 三
总结词
理解向量的数量积与坐标之间的 关系
详细描述
通过计算给定向量的数量积，理 解数量积的计算方法，掌握数量
积与坐标之间的关系。
答案
给定向量$vec{a}=(x_1, y_1)$和 $vec{b}=(x_2, y_2)$，其数量积
的坐标表示为$x_1x_2 + y_1y_2$。
2023
REPORTING
力的矩的实例分析
定义
力矩是一个向量，表示力对物体转动效果的影响。在二维平面中，如果一个力$F$作用 在一个点上，其力矩向量表示为$M = F times d$，其中d是该点到转动轴的距离。
实例
假设有一个门，我们想打开它。作用在门上的推力可以看作是一个力$F$，而门轴到推 力作用点的距离可以看作是d。如果我们知道推力和门轴的距离，就可以计算出打开门
加速度的向量表示
物体的加速度可以表示为速度向量的时间导数。在二维平面中，如果物体的速度向量为 $overset{longrightarrow}{v} = x' vec{i} + y' vec{j}$，则其加速度向量为 $overset{longrightarrow}{a} = x'' vec{i} + y'' vec{j}$。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
教学目标
1．理解平面向量的坐标含义，会求向量的坐标
2．掌握平面向量的坐标运算；
一、知识网络图
实际 背景 向量
几何表示 符号表示
向量的运算 加法、减法、数乘
数量积
坐标表示
向量 的应 用
复
习
1、平面向量基本定理的内容是什么？
2、什么是向量的正交分解？
平面向量基本定理: 如果 e1 , e2是同一平面内的两个不共 线的向量，那么对于这一平面内的任 一向量 a ，有且只有一对实数 λ1 , λ2 使得a = λ1 e1+ λ2 e2
例题解析
uuur 写出以 A(x1, y1) 为起点, B(x2, y2 ) 为终点的向量 AB的坐标.
uuur uuur uuur
AB OB OA
r r rr
y
x2i y2 j (x1i y1 j)
r
r
(x2 x1)i ( y2 y1) j
A(x1, y1)
uuur
AB (x2 x1, y2 y1)
r2
yj
a
1
j
-2
uuur r rO i
OA xi y j -1 向量a
uuur
-2
OA (x, y)
-3
A（x，y）
r 2
4
6
xi
一 一 对 应 A点坐标（x ，y）
说明：
y a
A(x, y)
（1）从原点引出的向量OA 的坐标 (x, y)就是点 A的坐标． a j
（2）相等向量的坐标也相同；
r
ur
rr
已知 a (x1, y1) ，b (x2, y2)，a b
坐标如何求？
y
，ar
r b
，
r a
A(x1, y1)
B(x2 , y2 )
x
O
向量的坐标运算 a (x1, y1),b (x2 , y2 ) 则：a b (x1 x2 , y1 y2 ) a b (x1 x2 , y1 y2 )
2已知A (2, 1), B (4,8), 若AB 3BC 0, 求OC的坐标.
苏教版必修四教材P79 T9
思考： 1、已知向量 AB ＝（6，1），
BC ＝u（uur1 ,－3），CD ＝（－1,－2），
求向量 DA 的坐标
教材改编
2 在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若
uuur
O
D
C x
四边形OCDA是平行四边形？ B
已知
uuur AB
r a
求下列点的坐标
r
1 a 4,5, A 2,3,求B的坐标
r
2 a 4,5, B 2,3,求A的坐标
课堂练习
1已知向量a (x 3, x 3y-4)与 AB相等，其中A（1，2），B（3，2），求x，y
苏教版必修四 P79 T8
uuur
uuur
AB 2,0, AC 1,3,则BD
08高考
【知识回顾】
已知
r a
( x1 ,
y1 )
，br
(x2 ,
y2 )
，你能得出r a源自br ，arr b，
r a
的坐标吗？
y
A(x1, y1)
OA (x1, y1)
B(x2 , y2 )
AB (x2 x1, y2 y1)
x
a
b
1
B(x2, y2 )
O1
x
一个重要结论：
已知点A(x1, y1), B(x2 , y2 ), 则向量AB （x2 x1，y2 y1）
说明：一个向量的坐标等于表示此向量的终
点的坐标减去起点的坐标． (终点减起点)
y
例2 如图，已知
A(1,3), B(1, 3)，C(4,1)， A
D(3, 4)，求向量OA,OB, AO, CD的坐标。
向量的正交分解: 基底e1 , e2互相垂直
探索1: 以O为起点，A为终点的向量能
否用坐标表示？如何表示？
yA a
o
x
4
3
P（3，2）
2
r 2j
1
j
-2
r2
4
6
Oi
3i
-1
uuur r r
OP 3i 2 j
-2
uuur 记
OP = (3, 2)
-3
探索1:
uuur 4 向量OA的坐标表示
3
O
( x1
x2 ,
y1
y2
)
a b (x1 x2 , y1 y2 )
a(x1, y1)
a (x1, y1)
练习，已知a (2,1),b (3, 4), 求-2a, a b, a b,3a 4b的坐标。
解：-2a 4, 2
a b (2,1) (3, 4) （1，5） a b (2,1) (3, 4) （5， 3） 3a 4b 3(2,1) 4(3, 4) （ 6，19）
Oi
x
r
r
rr
a x1, y1 ,b x2, y2 , a b x1 x2且y1 y2
向量基底形式 向量的坐标形式
uuur r r OA xi y j uuur OA (x, y)
探索2:
在平面直角坐标系内，起点不在坐标 原点O的向量又如何处理呢?
y
o
x
探索3：
平面向量可以用坐标表示，向量的 运算可以用坐标来运算吗？