大学数学c1练习题及答案
大学数学试题题库及答案
大学数学试题题库及答案# 大学数学试题题库及答案一、选择题1. 极限的定义中，\( \lim_{x \to c} f(x) = L \) 表示：A. 当 \( x \) 无限接近 \( c \) 时，\( f(x) \) 无限接近\( L \)B. \( f(c) = L \)C. \( x = c \) 时，\( f(x) = L \)D. 以上都不是答案：A2. 以下哪个函数是周期函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = e^x \)C. \( f(x) = \sin x \)D. \( f(x) = \ln x \)答案：C3. 微分方程 \( y'' - y' - 6y = 0 \) 的特征方程为：A. \( r^2 - r - 6 = 0 \)B. \( r^2 + r + 6 = 0 \)C. \( r^2 - r + 6 = 0 \)D. \( r^2 + r - 6 = 0 \)答案：A二、填空题1. 若 \( \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = a \)，则 \( a \) 的值为 __________。
答案：82. 函数 \( f(x) = \ln(x + 1) \) 的导数是 __________。
答案：\( \frac{1}{x + 1} \)3. 曲线 \( y = x^3 - 6x^2 + 9x \) 在 \( x = 3 \) 处的切线斜率为 __________。
答案：0三、简答题1. 请解释什么是连续函数，并给出一个例子。
答案：连续函数是指在其定义域内，函数值无限接近于极限值的函数。
例如，函数 \( f(x) = x^2 \) 是一个连续函数，因为它在任意点 \( x \) 处的极限值都等于其函数值。
2. 解释什么是泰勒级数，并给出 \( e^x \) 的泰勒级数展开。
大学数学精选试题及答案
大学数学精选试题及答案一、选择题1. 设函数f(x)在区间(a, b)内连续，且满足f(a)f(b) < 0，则下列结论正确的是：A. 函数f(x)在(a, b)内至少有一个零点B. 中值定理在(a, b)内不成立C. 函数f(x)在(a, b)内单调递增D. 函数f(x)在(a, b)内单调递减答案：A2. 已知数列{an}满足a1 = 1，且an+1 = an + 2n，求数列的通项公式an。
A. an = n^2B. an = n(n+1)C. an = 2n - 1D. an = 2^n - 1答案：B二、填空题3. 计算定积分∫(0到1) x^2 dx 的值为 ________。
答案：1/34. 设矩阵A为3阶方阵，且|A| = 2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为________。
答案：1/2三、解答题5. 证明：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则f(x)在该区间上一定存在最大值和最小值。
证明：根据连续函数的性质，我们知道如果函数在闭区间上连续，那么它在该区间上必定有最大值和最小值。
首先，由于f(x)在[a, b]上连续，根据闭区间上连续函数的性质，f(x)在[a, b]上也连续。
因此，根据极值定理，f(x)在[a, b]上必定存在最大值和最小值。
6. 求解二元一次方程组：\[\begin{cases}x + y = 5 \\2x - y = 1\end{cases}\]解：将方程组写成增广矩阵形式，通过高斯消元法求解。
首先，我们有\[\begin{bmatrix}1 & 1 & | & 5 \\2 & -1 & | & 1\end{bmatrix}\]通过行变换，我们得到\[\begin{bmatrix}1 & 0 & | & 3 \\0 & 1 & | & -1\end{bmatrix}\]因此，方程组的解为 x = 3，y = -1。
大学高数c试题及答案
大学高数c试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)在点x=a处可导，且f'(a)=2，则下列说法正确的是：A. f(x)在点x=a处连续B. f(x)在点x=a处可微C. f(x)在点x=a处不可导D. f(x)在点x=a处的导数为0答案：A2. 函数y=x^2在区间[0,2]上的定积分为：A. 4B. 8C. 6D. 2答案：B3. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值为：A. 0B. 1C. 2D. 不存在答案：B4. 微分方程y'' + y = 0的通解是：A. y = c1 * cos x + c2 * sin xB. y = c1 * e^x + c2 * e^(-x)C. y = c1 * x + c2D. y = c1 * x^2 + c2 * x答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-3x+2，则f'(x)=________。
答案：3x^2-32. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线斜率为________。
答案：23. 函数y=ln(x)的不定积分为________。
答案：x * ln(x) - x + C4. 微分方程y' - 2y = e^(2x)的特解为________。
答案：(1/3) * e^(2x)三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数y=x^3-6x^2+9x+15在x=2处的导数。
答案：将x=2代入导数f'(x)=3x^2-12x+9，得到f'(2)=3。
2. 计算定积分∫(0到1) (2x+1)dx。
答案：∫(0到1) (2x+1)dx = [x^2+x](0到1) = 1^2 + 1 - 0^2 - 0 = 2。
3. 求极限lim(x→∞) (1+1/x)^x。
答案：lim(x→∞) (1+1/x)^x = e。
4. 求微分方程y' + 2y = 6的通解。
大学数学试题题库及答案
大学数学试题题库及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项是微积分的基本定理？A. 牛顿-莱布尼茨公式B. 泰勒公式C. 欧拉公式D. 柯西-黎曼公式答案：A2. 矩阵的行列式表示为：A. 矩阵的对角线元素之和B. 矩阵的对角线元素之积C. 矩阵的对角线元素之差的绝对值D. 矩阵的对角线元素之和的平方答案：B3. 以下哪个函数不是周期函数？A. sin(x)B. cos(x)C. e^xD. tan(x)答案：C4. 以下哪个选项是线性代数中矩阵的特征值？A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵的迹D. 矩阵的行列式答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 圆的面积公式为______。
答案：πr²2. 欧拉公式中e^(ix)等于______。
答案：cos(x) + i*sin(x)3. 线性代数中，一个矩阵是可逆的当且仅当其______不为零。
答案：行列式4. 微积分中，不定积分的基本定理表明，如果F(x)是f(x)的一个原函数，则∫f(x)dx = F(x) + C，其中C是______。
答案：常数三、解答题（每题10分，共60分）1. 计算定积分∫(0到π) sin(x)dx。
答案：-cos(x) | (0到π) = 22. 求函数f(x) = x² - 4x + 3在x=2处的切线方程。
答案：y = x - 13. 证明：如果一个数列{a_n}收敛于L，则它的子数列{a_{2n}}也收敛于L。
答案：略4. 解线性方程组：\[\begin{cases}x + 2y = 5 \\3x - y = 1\end{cases}\]答案：\[\begin{cases}x = 2 \\y = 1.5\end{cases}\]5. 计算级数∑(1到∞) (1/n²)的和。
答案：π²/66. 证明：对于任意正整数n，有1³ + 2³ + ... + n³ = (n(n+1)/2)²。
大学数学1试题(A)参考答案
大学数学1试题（A）参考答案一、选择题1. 答案：C解析：题目中要求求出f(x)=3x2-7x+5的导数。
根据求导法则，导数的求法为f'(x)=[3*(2x)^(2-1)-7*(1x)^(1-1)]，即f'(x)=6x-7。
根据选项，可知C选项是正确答案。
2. 答案：B解析：题目中要求求出f(x)=2sin(x)+cos(x)的导数。
根据求导法则，导数的求法为f'(x)=2*cos(x)-sin(x)。
根据选项，可知B选项是正确答案。
3. 答案：A解析：题目中要求求出下列等差数列的前n项和。
根据等差数列的前n项和公式Sn=n*(a1+an)/2，其中a1为首项，an为末项，n为项数。
根据选项，可知A选项是正确答案。
4. 答案：D解析：题目中要求求出平面上一点到x轴的距离。
根据平面几何知识，点P(x,y)到x轴的距离为|y|，即D选项是正确答案。
5. 答案：C据求导法则，在极值点处的导数为零。
对函数f(x)求导得到f'(x)=3x2-3=0，解得x=±1。
根据选项，可知C选项是正确答案。
二、填空题1. 答案：-√3解析：题目中要求求出方程x2+3x+3=0的解。
根据二次方程求根公式，解出x=(-b±√(b2-4ac))/(2a)，代入a=1，b=3，c=3，可得到x=(-3±√(3^2-4*1*3))/(2*1)，计算得x=-√3。
2. 答案：15解析：题目中要求求出3,5,7...97的等差数列的前n项和，根据等差数列的前n项和公式Sn=n*(a1+an)/2，其中a1为首项，an为末项，n 为项数。
根据选项，可得n=16，代入公式计算得Sn=16*(3+97)/2=15*100/2=1500/2=750。
3. 答案：-1解析：题目中要求求出方程sin(x)=cos(x)的解。
根据三角函数的定义，sin(x)=cos(π/2-x)，即sin(x)=sin(π/2-x)，因此x=π/2-x+2kπ，化简得到x=-1/2+2kπ，其中k为整数。
大学数学相关考试题目及答案
大学数学相关考试题目及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列函数中，哪一个不是周期函数？A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = tan(x)答案：C2. 假设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么P(X=k)等于：A. λ^k / k!B. e^(-λ)λ^k / k!C. (λ^k / k!) * e^(-λ)D. (k! / λ^k) * e^(-λ)答案：B3. 在复数域中，下列哪个表达式是正确的？A. (1 - i)(1 + i) = 2B. (1 - i)^2 = -2iC. i^2 = -1D. i^3 = 1答案：C4. 以下哪个级数是收敛的？A. ∑(1/n^2) (n从1到∞)B. ∑((-1)^n)/n (n从1到∞)C. ∑n (n从1到∞)D. ∑(1/n) (n从2到∞)答案：A5. 设函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的最小值。
A. -1B. 0C. 3D. 4答案：A二、填空题（每题3分，共15分）6. 极限lim (x→0) [x^2 sin(1/x)] 的值是 _______。
答案：07. 假设函数f(x)在点x=a处连续，且f'(a)存在，那么f(x)在x=a处的导数为 _______。
答案：f'(a)8. 矩阵A = [1 2; 3 4] 的行列式 |A| 等于 _______。
答案：-29. 设随机变量Y服从正态分布N(μ, σ^2)，那么Y的期望值E(Y)等于 _______。
答案：μ10. 利用洛必达法则计算极限lim (x→∞) [(x^2 + 1)/(x - 1)] 的结果为 _______。
答案：x + 1三、解答题（共75分）11. （15分）证明：对于任意实数x，不等式e^x ≥ x + 1成立。
证明：首先，我们考虑函数f(x) = e^x - x - 1。
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大学数学习题及答案一填空题：I 一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线.2二阶线性齐次微分方程的两个解yi(x);y 2(x)为方程的基本解组充分必要条件是. 3方程y''-2y'+y = 0的基本解组是.4 一个不可延展解的存在区间一定是 ____________ 区间. 5方程空=［1顼 的常数解是. dx6方程x''-p(t)x'+ = q (t)x = 0 一个非零解为xi(t),经过变换7若％)是线性方程组X'=A(f)X 的基解矩阵，则此方程组的任•解4«)=. 8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍，则此曲线方程为. 9满足 条件的解，称为微分方程的特解.10如果在微分方程中，自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为. II 一阶线性方程y'+p(x)y = q(x)有积分因子(〃= ).12求解方程^ = -x/y 的解是().dx13 已知(axy 2 +3x 2y )6?x + (%+ y)x 2dy = 0为恰当方程，则a-.dy _ 2 214 \dx =X +-V 由存在唯一性定理其解的存在区间是().y(0) = 015方程—5安+ 6y = 0的通解是().\dx) dx 16方程［片］+y3+x = y5的阶数为.17若向量函数Y l (x);Y 2(x);Y 3(x)---Y,,(x)在区间D 上线性相关，则它们的伏朗斯基行列式W (x)= ____________ .18若P(X)是方程组虫=A(x)Y 的基本解方阵则该方程组的通解可表示为. dx 19. 方程X 。
2 T )& +-l)dy = 0所有常数解是.20. 方程y" + 4y = 0的基本解组是.22. 函数组代⑴，代3)，・"，03)在区间I 上线性无关的 条件是它们的朗斯基行史项+1 21.方程W满足解的存在唯一性定理条件的区域是列式在区间I 上不恒等于零.23. 若y = %（x ），y = /（x ）是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 共同零 点.二单项选择：1方程也=+ y 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（）. dx （A ）上半平面（B ）xoy 平面（C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面2方程— = 77+i （）奇解.dx（A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个 3在下列函数中是微分方程y''+y = 0的解的函数是（）.（A ） y = 1 （B ） y = x （C ） y = sinx （D ） y = e ，4方程= 的一个特解y*形如（）.5 f （y ）连续可微是保证方程— = f （y ）解存在且唯一的（）条件. dx（A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）必要非充分 6二阶线性非齐次微分方程的所有解（）.9— + x 2 y + cos x = 0 ）.dx .（A ） 一阶非线性方程 （B ）一阶线性方程（C ）超越方程 （D ）二阶线性方程(A)Cj +C 2e 3' (B) Qx + Ge -3' (C) +C,e^x (D) C 2e -3r(A) ae x = b(B) axe ' + bx (C) ae ' +bx + c(D) axe x +bx + c（A ）构成一个2维线性空间（C ）不能构成一个线性空间7方程—过点（0,0）有（ dx（B ）构成一个3维线性空间 （D ）构成一个无限维线性空（A ）无数个解 （B ）只有一个解 （C ）只有两个解 （D ）只有三个解 ,,(01) 8初值问题x'=x ,[1 ojx(0)fl ）在区间,-00 < z < oo±的解是().(t )(A) %10 (B) %(D) M U)方程+ 3四=0的通解是（）. dx(A) x,e —2' 很)1折一2" (C)x 2,e'A (D)e"',xe^2,（A ）是该方程的通解 （B ）是该方程的解 （C ）不一定是该方程的通解 （D ）是该方程的特解 13方程空=Jl — y2过点（0,0）的解为v = sinx,此解存在（）. dx （A ） （-oo,+oo ） （B ） （-oo,0］ （C ） ［0,+co ） （D ）［一号,号］ 14方程y=3『y —e"是（）.（A ）可分离变量方程 （B ）齐次方程（C ）全微分方程 （D ）线性非齐次方程 15微分方程^--y = 0的通解是（ ）.dx x c1（A ） y = —（B ） y - ex （C ） y = — + c （D ） y = x + cXX16在下列函数中是微分方程y''+y = 0的解的函数是（）. (A) y = 1(B) y = x (C) y = sin x (D) y = e x17方程y”—y = 的一个数解形如().(A) ae x + b (B) axe x + bx (C) ae x + Zzx + c (D) axe x + Zzx + c 、、 fO) 、18初值I 可题X’x;x(0)= 在区间一8＜，＜CO 上的解是().[1 OJ k V邕、(-t\ e字］(A)"(» =（B ）侃°）—侦）（C ）"（'）=L —t7(D)"⑴=叫19.方程&7的奇解是（）.（A ）q(B )y=i(o y = -i＜D )y=。
大学一年级高等数学试题及答案
期末总复习题一、填空题1、已知向量2a i j k =+-r rr r ，2b i j k =-+r r r r ，则a b ⋅r r = -1 。
2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2 。
3、级数1113n n n∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的敛散性为 发散 。
4、设L 是上半圆周222a y x =+（0≥y ），则曲线积分221L ds x y+⎰= a π 5．交换二重积分的积分次序：⎰⎰--0121),(ydx y x f dy ＝dy y x dx ),(f 0x-121⎰⎰6．级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为 1 。
二、选择题1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系 （ B ） A 、重合 B 、平行但不重合 C 、一般斜交 D 、垂直2. 下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是 （ C ）A 、2221x z +=B 、2221y z +=C 、2221x y +=D 、22221x y z ++= 3. 设)0(4:22>≤+y y x D ,则32222ln(1)1Dx x y dxdy x y ++=++⎰⎰（ A ）A 、2πB 、0C 、1D 、4π 4、设)0(4:22>≤+y y x D ，则⎰⎰=Ddxdy （ A ）A 、π16B 、π4C 、π8D 、π25、函数22504z x y =--在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是 （ A ） A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j -6、微分方程222()()0y y y '''+-=的阶数为 （ B ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、67．下列表达式中，微分方程430y y y ''-+=的通解为 （ D ）A 、3x x y e e C =++B 、3x x y e Ce =+C 、3x x y Ce e =+D 、312x x y C e C e =+8．lim 0n n u →∞=为无穷级数1n n u ∞=∑收敛的（ B ）A 、充要条件B 、 必要条件C 、充分条件D 、什么也不是 三、已知1=a ϖ，3=b ϖ，b a ϖϖ⊥，求b a ϖϖ+与b a ϖϖ-的夹角.P7四、一平面垂直于平面0154=-+-z y x 且过原点和点()3,7,2-，求该平面方程.（参考课本P7例题）五、设,,,22xy v y x u ue z v =-==求yzx z dz ∂∂∂∂,,. P19 六、求由z xyz sin =所确定的函数()y x z z ,=的偏导数yzx z ∂∂∂∂, 七、求旋转抛物面2222y x z +=在点⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,21,10M 处的切平面和法线方程. O221202142b -a b a ))((cos 231))((2)301()(b - a 2)301(a b a 0ab b a =∴==⨯+-+=∴-=-=-+=+-=-==++=+=+=∴⊥θθ ）（ 解：b a b a b a b a b a b Θ0z y 13x 4705B 4-A 54-1n 0C 3B A 2-0D 0D Cz By Ax =++=+∴⊥=++==+++故有： ，， 又， 依题可得解：设平面方程为C Θ)2()2()2()2()()()22()()()(z du z dz 23322332222222xy y x e yz y y x x e x z dy xy y x e dx y y x x e xdy ydx e y x ydy xdx e xy d e y x y x d e dv ue du e dvv u xy xy xy xy xyxyxy xy v v --=∂∂-+=∂∂--+-+=+-+-=-+-=+=∂∂+∂∂= ，进而可得变性，得解：由全微分方程的不八、求函数())2sin(,y x xy y x f ++=在点()0,0P 处沿从点()0,0P 到点()2,1Q 的方向的方向导数。
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练习一一、选择题（在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的序号填入题后的括号内。
（每小题3分，共24分 ） 1. 函数xx f -=11arctan )(当1→x 时的极限是( C ). (A)2π (B) 2π- (C) 0 (D) 不存在. 2. 若c x F dx x f +=⎰)()(，若0a ≠，则=+⎰xdx b ax f )(2( ).(A)cb ax F ++)(2(B))(212b ax F a+ (C)c b ax F a++)(212 (D)c b ax aF ++)(22.3. 若函数 ()⎩⎨⎧>-≤=0)1(02x x b x e x f ax 在x =0处可导，则( ). (A) 1==b a (B) 0,1==b a (C) 1,0==b a (D) 1,2-=-=b a .4. 函数11x x e y e +=- 是( ).(A)偶函数 (B)奇函数 (C)非奇非偶函数； (D)既是奇函数又是偶函数.5. 设函数)(x f 在点a x =处可导，则=--+→xx a f x a f x )()(lim( ).(A) )(2a f ' (B) )(a f ' (C) )2(a f ' (D) 0. 6. 已知x y sin =，则=)10(y( )。
(A) x sin (B) x cos (C) x sin - (D) x cos -. 7. 若()f x 和()g x 均为区间I 内的可导函数,则在I 内,下列结论中正确的是( ). （A ）若'()'()f x g x =,则 ()()f x g x = （B ）若()()f x g x >,则'()'()f x g x > （C ）若'()'()f x g x =,则 ()()f x g x c =+ （D ）若'()'()f x g x >,则()()f x g x >. 8.若()(1)(2)(3)f x x x x x =---,则方程'()0f x =根的个数为( ). （A ） 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 3个.二、填空题（每题3分，共18分。
）9. 函数2132x y x x -=-+的可去间断点为______________________.10. 当0x →时，sin x x -是2x 的____________(填高阶、低阶或同阶)无穷小。
11.设ln(y x =，则=dy _________ .12．已知点(0,1)是曲线322y x bx c =++的拐点，则b =______, c =______；13．已知()f x 的一个原函数是2ln x ，则()f x dx =⎰_________；14. 设11()x xf x e dx ec =+⎰,则()f x = __ .三、计算题（每题6分，共42分） 15．计算极限011lim[]ln(1)x x x→-+.16．求极限：21lim(cos )x x x →.17．设函数)(x y y =由方程2yxxy e e +=所确定，求(0)y '。
18. 设参数方程(1cos )(1sin )ttx e t y e t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩确定函数()y f x =，求在0t =时曲线的切线方程. 19．求不定积分：2sin 3xdx ⎰.20. 计算不定积分：.21. 计算不定积分： 21arctan xdx x ⎰四、解答题（8分）22.某服装公司确定，为卖出x 套服装，其单价应为 x p 5.0150-=,同时还确定，生产x 套服装的总成本可表示为225.04000)(x x C +=。
求：（1）为使利润最大化，公司必须生产多少套服装？最大利润为多少？ (2) 为实现利润最大化，其服装单价应定为多少？ 五、证明题（8分）23.证明：当0x >时，不等式tan ln(1)1arc xx x+>+成立.练习一答案一、选择题（在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的序号填入题后的括号内。
（每小题3分，共24分。
）（B ） 1. D; 2. C; 3. C; 4. B; 5. A; 6. C; 7. C; 8. D.二、填空题（每题3分，共18分。
） 9. 1x =;10.高阶;11.;12. 则0b =, 1c =；;13.2ln x C +;14.21x -. 三、计算题（每题6分，共36分） 15．计算极限011lim[]ln(1)x x x→-+.解：011lim[]ln(1)x x x →-+0ln(1)lim ln(1)x x x x x →-+=+20ln(1)lim x x x x→-+=0111(1)lim 22x x x →-+== （6分） 16．求极限：210)(cos lim x x x →.解：21)(cos lim xx x →2cos 1cos 110)1cos 1(lim x xx x x --→-+=21-=e （6分）或21)(cos lim x x x →2cos ln limxx x e→=x x x x ecos 2sin lim0-→=21-=e17．设函数)(x y y =由方程xy e e xy 2=+所确定，求(0)y '。
解：两边对x 求导数：xyey e y x y 22='+'+ 3分得：yx e x ye y +-='22 4分(0)2y '= 5分18．设参数方程(1cos )(1sin )ttx e t y e t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩确定函数()y f x =，求在0t =时曲线的切线方程。
解：(1sin cos )t dy e t t dt -=++ ,(1cos sin )t dx e t t dt=+- 'y =/1sin cos /1cos sin dy dy dt t t dx dx dt t t++==+- 0'1t y =∴= （4分）0,2,1t x y ===所以,切线方程为: 10x y --= （2分）19. 求不定积分：2sin 3xdx ⎰解：2sin 3xdx ⎰11sin 6(1cos6)()226x x dx x C =-=-+⎰ （6分） 20．求不定积分：解：令sec x t =，则sec tan sec tan t t dt t t =⎰t C =+1arccos C x=+ （6分）21. 求不定积分：21arctan xdx x ⎰解：根据分部积分， 原式1arctan ()xd x =-⎰=211arctan (1)x dx x x x -++⎰211arctan ()1x x dx xx x =-+-+⎰=211arctan ln ||ln(1)2x x x C x -+-++ （6分）四、解答题（8分）22.某服装公司确定，为卖出x 套服装，其单价应为 x p 5.0150-=,同时还确定，生产x 套服装的总成本可表示为225.04000)(x x C +=。
求： （1）为使利润最大化，公司必须生产多少套服装？最大利润为多少？ (2) 为实现利润最大化，其服装单价应定为多少？解：（1）400075.0150)()()(2--=-=x x x C x R x L ( 2分)x x C x R x L 5.1150)()()(-=-='令05.1150)(=-=='x x L ，得100=x （套） ( 2分) 因为05.1)(<-=''x L ，唯一驻点100=x 即为最大值点， 故生产100套服装，其利润最大，最大利润为3500)100(=L （元） ( 2分) （2）实现最大利润所需的单价为1001005.0150=⨯-=p （元）。
(2分) 五、证明题（8分）23．证明：当0x >时，tan ln(1)1arc xx x+>+成立。
证明：作函数()(1)ln(1)arctan f x x x x =++-，则(0)0f =， (2分 )2221()ln(1)1ln(1)011x f x x x x x'=++-=++>++ (2分 )、 所以，()f x 在(0,)+∞上是增函数， （2分）故，当0x >时，()(0)0f x f >=，即：(1)ln(1)arctan 0x x x ++->， 由此，得当0x >时， tan ln(1)1arc xx x+>+ （2分）练习二一、选择题（在每题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的序号填入题后的括号内。
（每题3分，共24分） 1．当0x →时，与2sin x 等价的无穷小量是（ ）.A ．ln(1)x + B. tan x C. 2(1cos )x - D. 1xe -2. 设221()32x f x x x -=-+，则0x =是()f x 的（ ）.A ．可去间断点B . 连续点C ．跳跃间断点D . 振荡间断点3．若()f x 在x 0处可导，则000(2)()lim h f x h f x h→--=（ ）.A ．20()f x 'B ．02()f x '-C ．01()2f x ' D ．0()f x '4．设已知sin ,y x = 则()10y=（ ）.A .sin xB . sin x -C . cos xD . cos x -5. 函数1sin0()0ax x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点0x =处可导，则（ ）.A ．0a ≥B ． 01a ≤<C ． 1a >D ． 0a ≤ 6. 已知()ln f x dx x x C =+⎰，则()f x dx '=⎰（ ）.A ．ln x x C +B ． ln x xC ． ln 1x +D ． ln x C +7．若x x f 22cos )(sin ='，则)(x f =( ).A ．C x x +-2sin 21sin B ．C x x +-sin cosC ．C x x +-221D ．C x x +-221二、填空题（每空3分，共18分） 9. 0x =是函数11()2xf x e=+的__________________间断点.10．极限 201sinlimsin x x x x→=______________________.11．函数)12sin(2-=x y ，则dy=___________________.12. 已知参数方程()cos sin x a t y a t t =⎧⎨=-⎩确定函数()y f x =， 则2t dydx π==___________ .13．设曲线21x y e -=与1x =-的交点为P ，则曲线在点P 处的切线方程为________________. 14. 设函数()xf x e -=,则(ln )f x dx x'=⎰_____________________. 三、计算题 （每题6分，共42分） 15．求极限：011lim 1x x x e →⎛⎫-⎪-⎝⎭. 17．求函数3226187y x x x =---的单调区间、极值、凹凸区间及拐点. 18．设方程x yxy e+=确定了函数()y f x =，求dydx，dy 19．求不定积分22x xedx -⎰.20．求不定积分2ln x xdx ⎰.四、解答题 （共16分）22．(6分)证明：当0x >时， 1ln(x x +>.练习二答案一、C ，B ，B ，B ，C ，D ，C二、9．跳跃（第一），10. 0, 11. ,)12cos(42dx x x - 12. 1-, 13.230x y -+=,14. 1c x+三、15．解：()0001111lim lim lim 111x x x xx x x x x e x e x e e xex e →→→---⎛⎫-== ⎪--+-⎝⎭01lim 22x x x x e e xe →==+（6分） 17．解：2612186(1)(3)y x x x x '=--=+-，1212y x ''=-，令0y '=，0y ''=，yy单增区间：(,1)-∞-与(3,)+∞，单减区间：(1,1)-，极大值(1)3f -=，极小值(3)61f =- 凸区间：(,1)-∞，凹区间：(1,)+∞，拐点：(1,29)- （6分）19．解：22x xedx -⎰2222211(2)44x x e d x e C --=--=-+⎰.（6分）20．解：2ln x xdx ⎰332331111ln (ln )ln 3339xdx x x x dx x x x C==-=-+⎰⎰(6分)四、22t =，则302121t dt t =+⎰222111111222(1)2(ln(1))2(1ln )113t dt t t t t +-==-=-+=+++⎰⎰ (6分)22．证明：令函数()1ln(f x x x =+(0)0f =。