高考数学提分专项复习巧用斜率公式-拓宽解题思路
高考斜率知识点归纳
高考斜率知识点归纳斜率是高考数学中的重要知识点，涉及到函数的变化趋势和直线的倾斜程度等问题。
掌握斜率的概念和计算方法对于解决相关题目具有重要的指导意义。
本文将对高考中常见的斜率知识点进行归纳，帮助同学们更好地理解和应用。
一、斜率的定义斜率是表示直线倾斜程度的一个量。
对于一条直线上两个不同的点(x₁, y₁)和(x₂, y₂)，其斜率可以用以下公式进行计算：斜率k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)二、斜率的性质1. 垂直线的斜率不存在。
2. 平行线的斜率相等。
3. 斜率为正的线段上的点随着x的增大而y的增大，斜率为负的线段上的点随着x的增大而y的减小。
三、斜率与函数的关系1. 一次函数的斜率等于它的导函数。
对于一次函数y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
其导函数f'(x)也等于k。
2. 二次函数的斜率不是常数。
二次函数y = ax² + bx + c的斜率是变化的，不是一个常数。
其斜率随着x的变化而变化。
四、斜率的应用1. 判断函数的增减区间对于一元函数f(x)，若在某一区间内，f'(x) > 0，则函数在此区间上是单调递增的；若f'(x) < 0，则函数在此区间上是单调递减的。
2. 求切线方程给定一个函数f(x)和一点P(a, f(a))，要求通过点P的切线方程，可以先求得该点的导数f'(a)，然后利用切线方程的一般形式y - y₁ = k(x - x₁)，其中k为切线的斜率。
3. 求法线方程给定一个函数f(x)和一点P(a, f(a))，要求通过点P的法线方程，可以利用法线与切线垂直的性质，求得法线的斜率k₂，然后利用求直线的垂直斜率关系得到法线的斜率和方程。
五、常见考点1. 两点求斜率给定两个不同的点，通过斜率公式计算得到直线的斜率。
注意判断点的横坐标是否相同，避免分母为零的情况。
2. 导数与斜率与一次函数和二次函数相关的问题，需要掌握导数与斜率的关系，以及求导的方法。
2023高考数学大题的最佳解题技巧及解题思路,清华学长告诉你如何拿高分
2023高考数学大题的最佳解题技巧及解题思路，清华学长告诉你如何拿高分2023高考数学大题的最佳解题技巧及解题思路，清华学长告知你如何拿高分把握数学解题思想是解答数学题时不行缺少的一步，建议同学们在做题型训练之前先了解数学解题思想，把握解题技巧，并将做过的题目加以划分，最终几天集中复习。
2023高考数学大题的最佳解题技巧及解题思路六种解题技巧一、三角函数题留意归一公式、诱导公式的正确性(转化成同名同角三角函数时，套用归一公式、诱导公式(奇变、偶不变;符号看象限)时，很简单由于马虎，导致错误!一着不慎，满盘皆输!)。
二、数列题1、证明一个数列是等差(等比)数列时，最终下结论时要写上以谁为首项，谁为公差(公比)的等差(等比)数列;2、最终一问证明不等式成立时，假如一端是常数，另一端是含有n的式子时，一般考虑用放缩法;假如两端都是含n的式子，一般考虑数学归纳法(用数学归纳法时，当n=k+1时，肯定利用上n=k时的假设，否则不正确。
利用上假设后，如何把当前的式子转化到目标式子，一般进行适当的放缩，这一点是有难度的。
简洁的方法是，用当前的式子减去目标式子，看符号，得到目标式子，下结论时肯定写上综上：由①②得证;3、证明不等式时，有时构造函数，利用函数单调性很简洁(所以要有构造函数的意识)。
三、立体几何题1、证明线面位置关系，一般不需要去建系，更简洁;2、求异面直线所成的角、线面角、二面角、存在性问题、几何体的高、表面积、体积等问题时，最好要建系;3、留意向量所成的角的余弦值(范围)与所求角的余弦值(范围)的关系(符号问题、钝角、锐角问题)。
四、概率问题1、搞清随机试验包含的全部基本领件和所求大事包含的基本领件的个数;2、搞清是什么概率模型，套用哪个公式;3、记准均值、方差、标准差公式;4、求概率时，正难则反(依据p1+p2+...+pn=1);5、留意计数时利用列举、树图等基本方法;6、留意放回抽样，不放回抽样;7、留意“零散的”的学问点(茎叶图，频率分布直方图、分层抽样等)在大题中的渗透;8、留意条件概率公式;9、留意平均分组、不完全平均分组问题。
巧用斜率公式 拓宽解题思路
巧用斜率公式拓宽解题思路斜率是直线的一个重要特征量，在数学解题中，我们经常把某些问题通过变形或换元，化成斜率公式的结构，然后巧用斜率的坐标公式，数形结合解决问题，会起到事半功倍之效，从而拓宽了解题思路。
现枚举数例，供大家参考。
一、比较数（或式）的大小例1.若，试比较的大小分析：本题虽然给出的是特殊值，可是用常规的方法却不易解决，但我们可以分析其结构，会发现具有两点连线斜率公式的结构特征。
解：变换结构，表示函数图象上的点与点E连线的斜率，即分别表示函数图象上的三点AB，C与点E连线的斜率（如图1）。
而由图可知，，畋（图1）所以二、求函数的最大值（或最小值）例2.已知集合，求函数的最大值与最小值。
分析：本题通过换元（令）将化为，从而进一步转化为动点与定点A（，1）连线的斜率。
解：因为，令，则，所以，可以看成动点与定点A（，1）连线的斜率。
（如图2）设，，由图可知动点P在抛物线上MN这一段滑动,则，又因为，（图2）所以，即函数的最大值为1，最小值为三、证明不等式例3.已知求证分析：本题我们可以分析不等式的左边结构形式，也会发现具有两点连线斜率公式的结构特征，联想到“形”，将求证转化为求证的连线的斜率介于与1之间。
证明：如图3设，则表示的连线的斜率;设,则Q点在线段AB上（图3）（不包括A、B）两点，由图可知，又因为点A、B与点P的连线的斜率分别为1，，所以，即四、求参数范围例4.已知点,，直线与线段相交，求实数的取值范围．分析：直线是一条过定点P（1，1）的动直线，若与线段相交，如图4直线PA，PB是其变化的边界线。
所以我们只需求出PA，PB斜率，就可以确定已知直线的斜率的变化范围。
解：如图4所示，直线是一条过定点P（1，1）设过P点且斜率不存在的直线为，由图可知，当直线夹在PB与之间时，的斜率大于等于PB的斜率，而PB的斜率为；当直线夹在与PA之间时，的斜率小于等于PA的斜率，而PA的斜率为－4．由此可知，直线的斜率的变化范围是，所以实数的取值范围为（图4）以上数例都是通过观察代数式的结构特点，联想斜率公式，望式生“形”，借助图形直观求解，加快解题速度，展现“形”解的无穷魅力。
【智博教育专题】斜率公式在解题中的妙用
斜率公式在解题中的妙用在高中数学中已知两点1122(,),(,)A x y B x y 求直线AB 的斜率可以用斜率公式1212AB y y k x x -=-来计算，在数学的解答过程中，如果能够恰当地使用这个公式，把它转化为一个几何图形，化为一个动点和一个定点，根据动点的变化来形象、具体地对问题进行描述，从而可以直观地看到问题的本质，对我们的解题起到事半功倍的效果。
一般来说，斜率在高中数学中的应用主要有以下几个方面：【题型1】应用斜率进行求值域及最值【例1】 函数2sin 2cos x y x-=+的最值。
【分析】这是一个比较常规的问题，通常在教学过程中就会指导学生采用数形结合的方式，把问题2sin 2cos x y x-=+变化成2sin 2(cos )x y x -=--看成动点(cos ,sin )x x -与定点(2,2)之间的直线的斜率问题，通过动点的轨迹是一个圆心在坐标原点的单位圆，转化为圆上一点与定点(2,2)之间的斜率的变化趋势来说明问题。
通过对形的分析可以马上得到相切时达到最值。
【解析】由题设直线2(2)y k x -=-与圆221x y +=相切，则联立方程222(2)1y k x x y -=-⎧⎨+=⎩得222224(22)4(1)(483)0,3830,k k k k k k k k ∴∆=--+-+=-+=∴∴函数2sin 2cos x y x -=+的。
【例2】 求函数521x y x -=+的值域。
【分析】通常在求解这类一次分式函数时用的比较多的方法是通过求反函数或分离常数的方法来求值域，但是在仔细观察了这个函数的构成之后，特别是受到上个例题的启发，将这个函数进行变化后为52(1)x y x -=--，就是动点(2,)x x 与定点(1,5)-之间连线的斜率问题，而这个动点的轨迹就是直线1(1)2y x x =≠-，通过将 直线上的点与(1,5)-连线后就可以发现只有斜率为12取不到，从而可以直接判定函数521x y x -=+的值域为1|2x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭了。
【智博教育专题】斜率公式在解题中的妙用
斜率公式在解题中的妙用在高中数学中已知两点1122(,),(,)A x y B x y 求直线AB 的斜率可以用斜率公式1212AB y y k x x -=-来计算，在数学的解答过程中，如果能够恰当地使用这个公式，把它转化为一个几何图形，化为一个动点和一个定点，根据动点的变化来形象、具体地对问题进行描述，从而可以直观地看到问题的本质，对我们的解题起到事半功倍的效果。
一般来说，斜率在高中数学中的应用主要有以下几个方面：【题型1】应用斜率进行求值域及最值【例1】 函数2sin 2cos x y x-=+的最值。
【分析】这是一个比较常规的问题，通常在教学过程中就会指导学生采用数形结合的方式，把问题2sin 2cos x y x-=+变化成2sin 2(cos )x y x -=--看成动点(cos ,sin )x x -与定点(2,2)之间的直线的斜率问题，通过动点的轨迹是一个圆心在坐标原点的单位圆，转化为圆上一点与定点(2,2)之间的斜率的变化趋势来说明问题。
通过对形的分析可以马上得到相切时达到最值。
【解析】由题设直线2(2)y k x -=-与圆221x y +=相切，则联立方程222(2)1y k x x y -=-⎧⎨+=⎩得222224(22)4(1)(483)0,3830,k k k k k k k k ∴∆=--+-+=-+=∴∴函数2sin 2cos x y x -=+的。
【例2】 求函数521x y x -=+的值域。
【分析】通常在求解这类一次分式函数时用的比较多的方法是通过求反函数或分离常数的方法来求值域，但是在仔细观察了这个函数的构成之后，特别是受到上个例题的启发，将这个函数进行变化后为52(1)x y x -=--，就是动点(2,)x x 与定点(1,5)-之间连线的斜率问题，而这个动点的轨迹就是直线1(1)2y x x =≠-，通过将 直线上的点与(1,5)-连线后就可以发现只有斜率为12取不到，从而可以直接判定函数521x y x -=+的值域为1|2x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭了。
高考数学复习点拨：直线斜率的求法
直线斜率的求法直线的倾斜角和直线的斜率一样，都是刻画直线的倾斜程度的量，直线的倾斜角侧重于直观形象，直线的斜率则侧重于数量关系.直线的斜率为进一步研究直线奠定了基础，是后继内容（直线的位置关系、直线方程）展开的主线.特别是过两点的斜率公式的推导体现了数形结合的思想.因此我们必须熟练掌握求直线的斜率的各种方法与技巧.下面举例说明.一、根据倾斜角求斜率例1如图，菱形ABCD 的∠ADC ＝120︒，求两条对角线AC 与BD 所在直线的斜率.分析：由于题目背景是几何图形，因此可根据菱形的边角关系先确定AC 与BD 的倾斜角，再利用公式k ＝tan θ.解：∵在菱形ABCD 中，∠ADC ＝120︒，∴∠BAD ＝60︒，∠ABC ＝120︒，又∵菱形的对角线互相平分，∴∠BAC ＝30︒，∠DBA ＝60︒，∴∠DBx ＝180︒－∠DBA ＝120︒， ∴k AC ＝tan30︒＝33，k BD ＝tan60︒＝ 3. 点评：本题在解答的关键是根据直线与其它直线的位置关系(如平行、垂直、两直线的夹角关系等)，确定出所求直线的倾斜角，进而确定直线的斜率.二、利用两点斜率公式例2直线l 沿y 轴正方向平移a 个单位（a ≠0），再沿x 轴的负方向平移a ＋1单位，结果恰好与原直线l 重合，求l 的斜率.分析：由于直线是由点构成的，因此直线的平移变化可以通过点的平移来体现.因此，本题可以采取在直线取点P ，经过相应的平移后得到一个新点Q ，它也在直线上，则直线l 的斜率即为PQ 的斜率.解：（1）设P(x,y)是l 上任一点，按规则移动后，P 点坐标为Q(x －a －1,y ＋a)，∵Q 也在l 上，∴k ＝(y ＋a)－y (x －a －1)－x ＝–a a ＋1， 点评：①本题解法利用点的移动去认识线的移动，体现了“整体”与“局部”间辩证关系在解题中的相互利用，同时要注意：点(x ，y)沿x 轴正向平移a 个单位，再点沿y 轴正向移动a 个单位，坐标由(x,y)变为(x ＋a,y ＋b)，本题还可用特殊点，并赋a 为特殊值去解0.②直线过两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），若x 1＝x 2，y 1≠y 2时，倾斜角等于90︒，不能利用两点的坐标斜率公式，此时，斜率不存在.三、利用三角变换公式例3已知M(－4，3)，N(2，15)，若直线l 的倾斜角是直线MN 倾斜角的两倍，求直线l 的斜率.分析：利用过两点的斜率公式先求得直线MN 的斜率，再利用二倍角公式可求得斜率. 解：设直线MN 的倾斜角为θ，则直线l 的倾斜角为2θ，∵M(－4，3)，N(2，15)，∴k MN ＝15－32＋4＝2，即tan θ＝2， ∴tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝43，即直线l 的斜率为43.点评：直线的倾斜角与三角有着密切的联系，在解题中相互补充.此类问题出现在处理两条直线的位置关系上.四、利用待定系数法例4如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，求直线l 的斜率.分析：本题可以利用例2解法进行求解，即考虑抓住点的变化求解.除此之外，还可以考虑直线l 的方程的变化，利用待定系数法，通过比较系数可得结果.解：设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，把直线左移3个单位，上移1个单位后直线方程为y －1＝k(x ＋3)＋b ，即y ＝kx ＋3k ＋b ＋1.∴由条件知，y ＝kx ＋3k ＋b ＋1与y ＝kx ＋b 为同一直线的方程.比较系数得b ＝3k ＋b ＋1，解得k ＝－13. 点评：本题通过利用平移前与平移后的两个方程的同一性，进行相应系数的比较求得结果的.另外要注意曲线f(x ，y)＝0沿x 正方向平移a 年单位，沿y 轴正方向移动b 个单位，平移后的曲线方程为f(x －a ，y ＋b)＝0.。
高考数学斜率知识点
高考数学斜率知识点斜率是数学中一个重要的概念，它描述了函数曲线的变化率。
在高考数学中，斜率是一个常见的考点，掌握斜率的相关知识对解题非常有帮助。
本文将详细介绍高考数学中与斜率相关的知识点。
一、斜率的定义斜率描述了函数曲线在某一点的切线斜率，它表示函数的变化速率。
对于直线函数，斜率可以直接通过斜率公式计算得出；对于曲线函数，斜率可以通过求导函数得到。
以下是斜率的计算公式：1. 直线函数的斜率对于直线函数y = kx + b, 其中k为斜率。
斜率的计算公式为：k =(y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)，其中(x₁, y₁)和(x₂, y₂)为直线上的两个点。
2. 曲线函数的斜率对于曲线函数y = f(x)，其斜率可以通过求导得到。
求导函数f'(x)表示了曲线在每个点的切线斜率。
二、斜率的性质了解斜率的性质对于高考数学题目的解答非常重要。
下面介绍几个斜率的性质：1. 斜率为正、负和零的含义当斜率大于0时，表示函数呈现递增趋势；当斜率小于0时，表示函数呈现递减趋势；当斜率等于0时，表示函数的值保持不变。
2. 平行线和垂线的斜率关系两条平行线的斜率相等；两条垂直线的斜率乘积为-1。
3. 斜率与角度的关系斜率为k的直线与x轴的夹角为θ，其中tanθ = k。
三、斜率在解题中的应用掌握斜率的应用方法对于高考数学题目的解答非常重要。
以下是一些常见的斜率应用：1. 判断直线的趋势通过计算斜率，可以判断直线是递增还是递减，也可以判断直线的陡峭程度。
2. 求平行线和垂线已知一条直线的斜率，可以通过斜率的性质求得与它平行或垂直的直线的斜率。
3. 求函数的切线已知曲线函数的斜率，可以通过斜率的定义求得函数曲线在某一点的切线方程。
4. 解决最优化问题最优化问题中经常需要求解某个函数的最大值或最小值，这可以通过斜率为0的点来实现。
四、总结斜率作为高考数学中的重要概念，对于解题非常有帮助。
本文详细介绍了斜率的定义、性质和应用，希望可以帮助到同学们在高考数学中顺利解题。
推荐-斜率公式的巧妙运用 精品
斜率公式的巧妙运用设是圆锥曲线上的两点，则直线的斜率为：Ey y C Dx x A k p p ++++-=)()(212121证：是曲线上的点，①②①－②得： 即注 ： （1）上述斜率的表达式中，和既是直线与圆锥曲线交点的横坐标，也是直线的方程与圆锥曲线的方程联立后消去或消去后得到的一元二次方程的两个根，这就为利用一元二次方程解决直线与圆锥曲线的相交问题或圆锥曲线有关弦的问题提供了很大的方便. 特别地，当弦的中点的坐标为时，由上述公式就变为：这表明弦所在直线斜率可用弦中点坐标来表示，这样解决中点弦问题时更为方便.（2）上述公式不必去记.这里给出这一公式的目的，一方面是揭示它们的内在联系，另一方面使得下面例题的解题过程简单明了，同学们解题时应补上并掌握这一重要的作差变形过程.典型题目：例1 ： 在圆中，求通过点且点又恰好为中点的弦所在直线方程. 解：设为中点，而均在圆上，则，将两式相减得0))(())((21212121=-++-+y y y y x x x x ，即故，的方程为：即评注：若用圆的性质来求斜率也很简捷，但上面的解法对二次曲线（椭圆、双曲线、抛物线等）的中点弦问题均适用，具有一般性. 例2 ： 过点作圆的切线，求点弦所在的直线方程. 解：设由圆的切线方程知过分别作圆的切线，切线方程为：，又切线均过点，所以有（2）－（1），得所在直线方程为，即，再将（1）代入得所在直线方程为：评注：过圆外一点作圆切线，则切点弦方程为：例3 ：求过作直线，被圆所截得弦的中点轨迹方程. 解：过作直线被圆所截得弦为，其中点，设则又将两式相减得yxy y x x x x y y K AB -=++-=--=∴12121212 又而四点共线，12+-=-==x y y x K K AB Mp即（其中）例4：过点的直线与椭圆交于两点，线段的中点是，设直线的斜率为，的斜率为为定值. 证 设直线与椭圆相交于，线段.在椭圆之外且直线的斜率，又直线的斜率（定值）.例5：已知椭圆方程为：（1）求这椭圆中以为中点的弦所在直线方程.（2）求斜率是2的平行弦中点的轨迹方程. 解 ：（1）易知点在椭圆内.设以点为中点的弦为，且的坐标分别为直线的斜率，所求的直线方程为，即（2）设弦两端点分别为，中点，则，，即当时，，点也适合上方程.故所求轨迹为直线在椭圆内的部分.例6：给定双曲线（1）过点的直线与所给双曲线交于点，求线段的轨迹方程.（2）过点能否作直线与所给双曲线交于两点，且点是线段的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程，如果不存在，说明理由. 解 ：（1）设则直线的斜率所求轨迹方程为，即点（0,0），（2,0）也满足方程.（2）假设这样的直线存在，它与所给双曲线交于点),(),,(222111y x Q y x Q ，则直线的斜率， 的方程为把代入无实根，故，不存在.。
高二数学斜率公式和知识点总结图
高二数学斜率公式和知识点总结图一、斜率公式在数学中，斜率是表示一条线的倾斜程度的量。
我们可以通过斜率公式来计算直线的斜率，斜率公式如下：斜率 = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)其中，(x₁, y₁)和(x₂, y₂)分别为直线上任意两点的坐标。
二、斜率的几何意义斜率实际上反映了直线的趋势和变化率。
具体而言，斜率代表了直线上每增加一个单位的x坐标，y坐标的变化量。
1. 斜率大于0：当斜率大于0时，直线呈现上升趋势，即直线从左下往右上延伸。
斜率越大，直线的倾斜程度越陡峭。
2. 斜率小于0：当斜率小于0时，直线呈现下降趋势，即直线从左上往右下延伸。
斜率越小，直线的倾斜程度越平缓。
3. 斜率等于0：当斜率等于0时，直线为水平线，即y轴上的坐标值不变。
4. 斜率不存在（无穷大）：当斜率不存在时，表示直线为垂直线，即x轴上的坐标值不变。
三、关于斜率的一些重要知识点总结1. 平行线的斜率相等如果两条直线平行，则它们的斜率相等。
这是因为平行线具有相同的倾斜程度。
2. 垂直线的斜率乘积为-1如果两条直线垂直相交，则它们的斜率乘积为-1。
3. 斜率为整数时的特殊情况当直线的斜率为整数时，可以用单位比来表示。
例如，斜率为2表示直线上每增加一个单位的x坐标，y坐标增加2个单位。
四、斜率公式的应用1. 直线方程的求解斜率公式可用于求解直线的方程。
已知一点和斜率，可以通过斜率公式推导出直线的方程。
2. 判定平行和垂直关系通过比较两条直线的斜率，可以判断它们是否平行或垂直。
3. 问题求解斜率公式在解决实际问题时也起到了重要的作用，如计算速度、变化率等。
总结图如下：（在这里插入高二数学斜率公式和知识点总结图，根据实际需要进行绘制，以便更好地理解和记忆斜率的相关知识）结论：斜率公式是高中数学中重要且基础的概念。
理解和掌握斜率的概念、公式和几何意义对于解决各种直线相关的问题具有重要作用。
通过总结图的方式，可以帮助我们更好地理解和记忆斜率相关的知识点。
巧用斜率妙解数学问题
三、运用斜率解数列问题
［例 3］等 差 数 列 {a n} 中 ，已 知 a p = q, a q = p( p、
.
q ∈ N+ , p ≠ q )，
则p + q =
分析：要用函数的观点看数列，用函数的方法来研
究、
处理数列问题，数列的通项公式及前 n 项和的公式都
可以看成是关于 n 的函数，特别是等差数列的通项公式
，即
=
= -1，解 得
q
( p + q)- q
p-q
p-q
a p + q = 0.
点 评 ：在 等 差 数 列 {a n} 中 ，通 项 a n = a 1 + ( n -
1 ) d = dn + ( a 1 - d ). 当公差 d ≠ 0 时，a n 为关于 n 的一次
函数，则点 ( n, a n )( n ∈ N ) 都在直线 y = dx + a 1 - d 上 . 而
ln3
ln5
［例 1］若 a =
,b =
,c =
，则 a, b, c 的大小关
2
3
5
系为
.
ln2
分 析 ：直 接 比 较 大 小 较 困 难 ，联 想 到 a =
=
2
1n2 - 0
ln3 ln3 - 0
ln5 ln5 - 0
,b =
=
，c =
=
，与直线斜
2-0
3
3-0
5
5-0
率公式相似，
进而求解 .
要关注“向量与三角”
“向量与函数”
“向量与几何”
“向量
与数例”的结合 .
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巧用斜率公式 拓宽解题思路
斜率是直线的一个重要特征量，在数学解题中，我们经常把某些问题通过变形或换元，化成斜率公式的结构，然后巧用斜率的坐标公式，数形结合解决问题，会起到事半功倍之效，从而拓宽了解题思路。
现枚举数例，供大家参考。
一、比较数（或式）的大小
例1.若ln 2007ln 2008ln 2009,,200620072008
a b c ===，试比较,,a b c 的大小 分析：本题虽然给出的是特殊值，可是用常规的方法却不易解决，但我们可以分析其结构，会发现具有两点连线斜率公式的结构特征。
解：变换结构ln ln 011
x x x x -=--，表示函数ln y x =图象 上的点(,)x y 与点E (1,0)连线的斜率，即,,a b c 分
别表示函数ln y x =图象上的三点A (2007,ln 2007),
B (2008,ln 2008)，
C (2009,ln 2009)与点E (1,0)连
线的斜率（如图1）。
而由图可知，EA EB EC k k K >>， 畋 所以a b c >>
二、求函数的最大值（或最小值）
例2.已知集合{}2
|10,A x x x R =-≤∈，求函数41,21x x y x
A -=∈+的最大值与最小值。
分析：本题通过换元（令2x
t =）将4121x x -+化为211t t -+，从而进一步转化为动点2(,)P t t 与定点A （1-，1）连线的斜率。
解：因为{}|11,A x x x R =-≤≤∈，令2x
t =，则1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以y =211t t -+，可以看成动点2(,)P t t 与定点A （1-，1）连线的斜率。
（如图2）
设11(,)24
M ，(2,4)N ，由图可知动点P 在抛物线上
MN 这一段滑动,则AM AP AN k k k ≤≤， 又因为111412(1)2
AM k -==---，4112(1)AN k -==-- 所以112AP k -≤≤，即函数4121
x x y -=+的最大值为1，最小值为12- （图1） （图2）
三、证明不等式
例3.已知1,1,a b <<求证11a b ab
+<+ 分析：本题我们可以分析不等式的左边结构形式，也会
发现具有两点连线斜率公式的结构特征，联想到“形”， 将求证111a b ab
+-<
<+转化为求证(1,),(,)P a Q ab b -- 的连线的斜率介于1-与1之间。
证明：如图3设(1,),(,)P a Q ab b --，则1a b ab ++表示,P Q 的连线的斜率;设(,1),(,1)A a B a -,则Q 点在线段AB 上 （不包括A 、B ）两点，由图可知PB PQ PA k k k <<，又因为点A 、B 与点P 的连线的斜率,PA PB k k 分别为1，1-，所以11PQ k -<<，即11a b ab
+<+ 四、求参数范围
例4.已知点(2,3)A -,(3,2)B --，直线:10l ax y a --+=与线段AB 相交，求实数a 的取值范围．
分析：直线:10l ax y a --+=是一条过定点P （1，1）的动直线，若与线段AB 相交，如图4直线PA ，PB 是其变化的边界线。
所以我们只需求出PA ，PB 斜率，就可以确定已知直线的斜率a 的变化范围。
解： 如图4所示，直线:10l ax y a --+=是一条过定点P
（1，1）设过P 点且斜率不存在的直线为0l ，由图可知，当
直线l 夹在PB 与0l 之间时，l 的斜率大于等于PB 的斜率，
而PB 的斜率为3
4
；当直线l 夹在0l 与PA 之间时，l 的斜率 小于等于PA 的斜率，而PA 的斜率为－4．由此可知，直
线l 的斜率的变化范围是(]3,4,4⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭
， 所以实数a 的取值范围为(]3,4,4⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭ 以上数例都是通过观察代数式的结构特点，联想斜率公式，望式生“形”，借助图形直观求解，加快解题速度，展现“形”解的无穷魅力。
（图3）
（图4）。