20161214零基础高考系列10奇偶性

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高三数学第一轮复习 11：函数的奇偶性

高三数学第一轮复习11函数的奇偶性·知识梳理·模块01：函数的奇偶性1、函数奇偶性的定义：偶函数：如果对于函数()y f x =定义域D 内的任意实数x ，都有,D x ∈-并且)()(x f x f =-，那么就把函数()y f x =叫做偶函数。

奇函数：如果对于函数()y f x =定义域D 内的任意实数x ，都有都有,D x ∈-并且)()(x f x f -=-，那么就把函数()y f x =叫做奇函数。

2、判断函数奇偶性的方法：步骤：第1步：看定义域是否是对称区间（是的话就继续，不是就是非奇非偶函数）；第2步：找)(x f 与)(x f -之间的关系，若)()(x f x f -=,那么)(x f 就叫做偶函数；)()(x f x f --=,那么)(x f 就叫做奇函数。

[注意]定义本身蕴涵着：①函数的定义域必须是关于原点的对称区间，这是奇（偶）函数的必要条件——前提；②“定义域内任意”：意味着不存在＂某个区间（段）上的＂的奇（偶）函数——不研究；③判断函数奇偶性最基本的方法：先看定义域，再用定义——)()(x f x f -±=。

模块02：函数的奇偶性的应用关于函数奇偶性的几个重要结论：（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（函数具有奇偶性的必要不充分条件）。

（2）若奇函数()y f x =在0x =处有定义，则(0)0f =。

（3）函数()f x 是奇函数⇔曲线()y f x =关于原点对称；函数()f x 是偶函数⇔曲线()y f x =关于y 轴对称。

（4）()f x 既是奇函数又是偶函数()0f x ⇔=（定义域关于原点对称）．（5）若()f x 的定义域关于原点对称，则()()()F x f x f x =+-是偶函数，()()()G x f x f x =--是奇函数。

（6）若函数()f x 的定义域关于原点对称，则()f x 可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和。

2016年高考文数热点题型和提分秘籍-专题05-函数的单调性、最值、奇偶性与周期性.doc

【高频考点解读】1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2.会运用函数的图象理解和研究函数的性质．3.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．4.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．【热点题型】题型一函数单调性的判断例1、(1)以下函数f(x)中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]<0”的是( )A ．f(x)＝2xB ．f(x)＝|x －1|C ．f(x)＝1x －xD ．f(x)＝ln(x ＋1)(2)函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是________(填“增函数”或“减函数”)．解析 (1)由(x 1－x 2)[ f(x 1)－f(x 2)]<0可知，f(x)在(0，＋∞)是减函数，f(x)＝1x －x 求导，f ′(x)＝1x 2－1<0，∴f(x)＝1x－x 在(0，＋∞)是减函数．(2)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1<x 2，则y 1－y 2＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1x 1＋1x 2＋1. ∵x 1>－1，x 2>－1，∴x 1＋1>0，x 2＋1>0，又x 1<x 2，∴x 2－x 1>0， ∴x 2－x 1x 1＋1x 2＋1>0，即y 1－y 2>0.∴y 1>y 2，所以函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数．答案 (1)C (2)减函数【提分秘籍】 (1)图象法作图象→看升降→归纳单调性区间 (2)转化法(3)导数法求导→判断f ′x 正、负→单调性区间 (4)定义法取值→作差→变形→定号→单调性区间求函数的单调区间，一定要注意定义域优先原则．【举一反三】以下函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2 C ．y ＝2－xD ．y ＝log(x ＋1)题型二求函数的单调区间例2、求以下函数的单调区间： (1)y ＝－x 2＋2|x|＋1； (2)y ＝log 12(x 2－3x ＋2)．解析 (1)由于y＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1x≥0，－x 2－2x ＋1x<0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －12＋2x≥0，－x ＋12＋2x<0.画出函数图象如下图，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看作y ＝log 12u 与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．令u ＝x 2－3x ＋2>0，则x<1或x>2.∴函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝32，且开口向上．∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数．而y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是单调减函数，∴y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调减区间为(2，＋∞)，单调增区间为(－∞，1)．【提分秘籍】(1)求函数的单调区间与确定单调性的方法一致．常用的方法有：①利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． ②定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间．③图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的直观性写出它的单调区间．④导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．(2)假设函数f(x)的定义域上(或某一区间上)是增函数，则f(x 1)<f(x 2)⇔x 1<x 2.利用上式，可以去掉抽象函数的符号，将函数不等式(或方程)的求解化为一般不等式(或方程)的求解，但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行．【举一反三】求以下函数的单调区间，并指出其增减性． (1)y ＝(a>0且a≠1)；(2)y ＝log 12(4x －x 2)．题型三函数单调性的应用例3、已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，f(x)＝e x ＋sin x ，则( ) A ．f(1)<f(2)<f(3) B ．f(2)<f(3)<f(1) C ．f(3)<f(2)<f(1)D ．f(3)<f(1)<f(2)解析：由f(x)＝f(π－x)，得函数f(x)的图象关于直线x ＝π2对称，又当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，f ′(x)＝e x ＋cos x>0恒成立，所以f(x)在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上为增函数，f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，且0<π－3<1<π－2<π2，所以f(π－3)<f(1)<f(π－2)，即f(3)<f(1)<f(2)．答案：D 【提分秘籍】1．高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中．2．高考对函数单调性的考查主要有以下几个命题角度： (1)利用函数的单调性比较大小．(2)利用函数的单调性解决与抽象函数有关的不等式问题． (3)利用函数的单调性求参数．(4)利用函数的单调性求解最值(或恒成立)问题．【方法规律】(1)含“f ”号不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内．(2)分段函数单调性解法为了保证函数在整个定义域内是单调的，除了要分别保证各段表达式在对应区间上的单调性一致外，还要注意两段连接点的衔接.【举一反三】已知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f ⎝⎛⎭⎫12＝1，如果对于0<x<y ，都有f(x)>f(y)．(1)求f(1)的值；(2)解不等式f(－x)＋f(3－x)≥－2. 解析：(1)令x ＝y ＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，f(1)＝0.(2)由题意知f(x)为(0，＋∞)上的减函数，且⎩⎪⎨⎪⎧－x>0，3－x>0，∴x<0， ∵f(xy)＝f(x)＋f(y)，x 、y ∈(0，＋∞)且f ⎝⎛⎭⎫12＝1. ∴f(－x)＋f(3－x)≥－2可化为 f(－x)＋f(3－x)≥－2f ⎝⎛⎭⎫12，即f(－x)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f(3－x)＋f ⎝⎛⎭⎫12≥0＝f(1)⇔f ⎝⎛⎭⎫－x 2＋f ⎝⎛⎭⎫3－x 2≥f(1)⇔f ⎝⎛⎭⎫－x 2·3－x 2≥f(1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x<0，－x 2·3－x 2≤1，解得－1≤x<0.∴不等式的解集为{x|－1≤x<0}．【变式探究】已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3－a x －a x<1log a xx≥1是(－∞，＋∞)上的增函数，则a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,3) C.⎣⎡⎭⎫32，3D.⎝⎛⎭⎫1，32题型四函数奇偶性的判定例4、(1)以下函数不具有奇偶性的有________． ①f(x)＝(x ＋1) 1－x1＋x； ②f(x)＝x 3－x ； ③f(x)＝x 2＋|x|－2； ④f(x)＝lg x 2＋lg1x 2； ⑤f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x x<0，－x 2＋x x>0(2)对于函数y ＝f(x)，x ∈R ，“y ＝|f(x)|的图象关于y 轴对称”是“y ＝f(x)是奇函数”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析 (1)①由1－x1＋x≥0可得函数的定义域为(－1,1]，所以函数为非奇非偶函数．②∵x∈R，f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－(x3－x)＝－f(x)．∴f(x)＝x3－x是奇函数．③∵x∈R，f(－x)＝(－x)2＋|－x|－2＝x2＋|x|－2＝f(x)，∴f(x)＝x2＋|x|－2是偶函数．④定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(x)＝lg x2＋lg 1x2＝lg x2＋lg(x2)－1＝lg x2－lg x2＝0，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．⑤当x>0时，－x<0，f(x)＝－x2＋x，∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)；当x<0时，－x>0，f(x)＝x2＋x，∴f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)．所以对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，均有f(－x)＝－f(x)．∴函数为奇函数．(2)假设f(x)是奇函数，则对任意的x∈R，均有f(－x)＝－f(x)，即|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以y＝|f(x)|是偶函数，即y＝|f(x)|的图象关于y轴对称．反过来，假设y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，则不能得出y＝f(x)一定是奇函数，比方y ＝|x2|，显然，其图象关于y轴对称，但是y＝x2是偶函数．故“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的必要而不充分条件．答案(1)①(2)B【提分秘籍】(1)判定函数奇偶性的常用方法及思路：①定义法：②图象法：③性质法：a.“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；b．“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；c．“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．(2)判断函数奇偶性时应注意问题：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式，判断f(x)与f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．②“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．③性质法在小题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程．【举一反三】设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则以下结论中正确的选项是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数解析：由题意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，对于选项A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B，|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故B项错误；对于选项C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故C项正确；对于选项D，|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误，选C.答案：C题型五函数的周期性例5、已知函数f(x)是R 上的偶函数，g(x)是R 上的奇函数，且g(x)＝f(x －1)，假设f(2)＝2，则f(2 014)的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．±2解析 ∵g(－x)＝f(－x －1)，∴－g(x)＝f(x ＋1)．又g(x)＝f(x －1)，∴f(x ＋1)＝－f(x －1)， ∴f(x ＋2)＝－f(x)，f(x ＋4)＝－f(x ＋2)＝f(x)，则f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(2 014)＝f(2)＝2. 答案 A 【提分秘籍】函数周期性的判断要结合周期性的定义，还可以利用图象法及总结的几个结论，如f(x ＋a)＝－f(x)⇒T ＝2a.【举一反三】函数f(x)＝lg|sin x|是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为2π的偶函数解析：易知函数的定义域为{x|x ≠k π，k ∈Z}，关于原点对称，又f(－x)＝lg|sin(－x)|＝lg|－sin x|＝lg|sin x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，又函数y ＝|sin x|的最小正周期为π，所以函数f(x)＝lg|sin x|是最小正周期为π的偶函数．答案：C题型六函数奇偶性、周期性等性质的综合应用例6、设定义在R 上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x ＋2)；③当0≤x≤1时，f(x)＝2x －1，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f(1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f(2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 解析：依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＋f(1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f(2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f(1)＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f(0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f(1)－f ⎝⎛⎭⎫12＋f(0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f(1)＋f(0) ＝212－1＋21－1＋20－1 ＝ 2. 答案： 2 【提分秘籍】1.函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．归纳起来常见的命题角度有： (1)求函数值．(2)与函数图象有关的问题． (3)奇偶性、周期性单调性的综合．(1)已知函数的奇偶性，求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)已知函数的奇偶性求解析式将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．(3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值常常利用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解．(4)应用奇偶性画图象和判断单调性. 【举一反三】设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f(x ＋1)＝f(x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f(x)＝⎝⎛⎭⎫121－x，则以下命题：①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增； ③函数f(x)的最大值是1，最小值是0； ④当x ∈(3,4)时，f(x)＝⎝⎛⎭⎫12x －3. 其中正确命题的序号是________．【高考风向标】1.【2015高考四川，文15】已知函数f(x)＝2x ，g(x)＝x 2＋ax(其中a ∈R).对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝1212()()f x f x x x --，n ＝1212()()g x g x x x --，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m ＞0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n ＞0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n. 其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号). 【答案】①④【解析】对于①，因为f '(x)＝2x ln2＞0恒成立，故①正确对于②，取a ＝－8，即g'(x)＝2x －8，当x 1，x 2＜4时n ＜0，②错误对于③，令f '(x)＝g'(x)，即2x ln2＝2x ＋a 记h(x)＝2x ln2－2x ，则h'(x)＝2x (ln2)2－2存在x 0∈(0，1)，使得h(x 0)＝0，可知函数h(x)先减后增，有最小值. 因此，对任意的a ，m ＝n 不一定成立.③错误对于④，由f '(x)＝－g'(x)，即2x ln2＝－2x －a 令h(x)＝2x ln2＋2x ，则h'(x)＝2x (ln2)2＋2＞0恒成立，即h(x)是单调递增函数，当x →＋∞时，h(x)→＋∞ 当x →－∞时，h(x)→－∞因此对任意的a ，存在y ＝a 与函数h(x)有交点.④正确2.【2015高考陕西，文10】设()ln ,0f x x a b =<<，假设()p f ab =，()2a bq f +=，1(()())2r f a f b =+，则以下关系式中正确的选项是〔〕A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q =>【答案】C【解析】1()ln ln 2p f ab ab ab ===；()ln22a b a bq f ++==；11(()())ln 22r f a f b ab =+=因为2a b ab +>，由()ln f x x =是个递增函数，()()2a b f f ab +>所以q p r >=，故答案选C3.【2015高考浙江，文12】已知函数()2,166,1x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦ ，()f x 的最小值是．【答案】1;2662--4.【2015高考上海，文20】〔此题总分值14分〕此题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.已知函数xax x f 1)(2+=，其中a 为实数. 〔1〕根据a 的不同取值，判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；〔2〕假设)3,1(∈a ，判断函数)(x f 在]2,1[上的单调性，并说明理由. 【答案】〔1〕)(x f 是非奇非偶函数；〔2〕函数)(x f 在]2,1[上单调递增.1．〔2014·北京卷〕以下函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝e －x B ．y ＝x 3 C ．y ＝ln x D ．y ＝|x| 【答案】B【解析】由定义域为R ，排除选项C ，由函数单调递增，排除选项A ，D.2．〔2014·湖南卷〕以下函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( ) A ．f(x)＝1x2 B ．f(x)＝x 2＋1C ．f(x)＝x 3D ．f(x)＝2－x 【答案】A【解析】由偶函数的定义，可以排除C ，D ，又根据单调性，可得B 不对． 3．〔2014·江苏卷〕已知函数f(x)＝e x ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数． (1)证明：f(x)是R 上的偶函数． (2)假设关于x 的不等式mf(x)≤e－x＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围．(3)已知正数a 满足：存在x 0∈[1，＋∞)，使得f(x 0)<a(－x 30＋3x 0)成立．试比较e a －1与a e－1的大小，并证明你的结论．【解析】 (1)证明：因为对任意 x ∈R ，都有f(－x)＝e －x ＋e －(－x)＝e －x ＋e x ＝f(x)，所以f(x)是R 上的偶函数．(2)由条件知 m(e x ＋e －x －1)≤e －x －1在(0，＋∞)上恒成立．令 t ＝e x (x>0)，则 t>1，所以 m≤－t －1t 2－t ＋1＝－1t －1＋1t －1＋ 1对任意 t>1成立．因为t －1＋1t －1＋ 1≥2〔t －1〕·1t － 1＋1＝3, 所以－1t －1＋1t －1＋ 1≥－13，当且仅当 t ＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立．因此实数 m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－13. (3)令函数 g(x)＝e x ＋1e x － a(－x 3＋3x)，则g ′ (x) ＝e x －1ex ＋3a(x 2－1)．当 x≥1时，e x －1e x >0，x 2－1≥0.又a>0，故 g ′(x)>0，所以g(x)是[1，＋∞)上的单调递增函数，因此g(x)在[1，＋∞)上的最小值是 g(1)＝ e ＋e －1－2a.由于存在x 0∈[1，＋∞)，使ex 0＋e －x 0－a(－x 30＋ 3x 0 )<0 成立，当且仅当最小值g(1)<0，故 e ＋e －1－2a<0, 即 a>e ＋e －12.令函数h(x) ＝ x －(e －1)ln x －1，则 h′(x)＝1－e －1x . 令 h′(x)＝0, 得x ＝e －1.当x ∈(0，e －1)时，h′(x)<0，故h(x)是(0，e －1)上的单调递减函数；当x ∈(e －1，＋∞)时，h′(x)>0，故h(x)是(e －1，＋∞)上的单调递增函数．所以h(x)在(0，＋∞)上的最小值是h(e －1)．注意到h(1)＝h(e)＝0，所以当x ∈(1，e －1)⊆(0，e －1)时，h(e －1)≤h(x)<h(1)＝0；当x ∈(e －1，e)⊆(e －1，＋∞)时， h(x)<h(e)＝0.所以h(x)<0对任意的x ∈(1，e)成立．故①当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e －12，e ⊆(1，e)时， h(a)<0，即a －1<(e －1)ln a ，从而e a －1<a e －1； ②当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；③当a ∈(e ，＋∞)⊆(e －1，＋∞)时，h(a)>h(e)＝0，即a －1>(e －1)ln a ，故e a －1>a e －1. 综上所述，当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e －12，e 时，e a －1<a e －1；当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；当a ∈(e ，＋∞)时，e a －1>a e －1.4．〔2014·四川卷〕以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M ，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M ，M]．例如，当φ1(x)＝x 3，φ2(x)＝sin x 时，φ1(x)∈A ，φ2(x)∈B.现有如下命题：①设函数f(x)的定义域为D ，则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f(a)＝b”； ②假设函数f(x)∈B ，则f(x)有最大值和最小值；③假设函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A ，g(x)∈B ，则f(x)＋g(x)∈/B ； ④假设函数f(x)＝aln(x ＋2)＋xx 2＋1(x ＞－2，a ∈R)有最大值，则f(x)∈B. 其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号) 【答案】①③④【解析】假设f(x)∈A ，则函数f(x)的值域为R ，于是，对任意的b ∈R ，一定存在a ∈D ，使得f(a)＝b ，故①正确．取函数f(x)＝x(－1＜x ＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M ＝1，使得函数f(x)的值域包含于[－M ，M]＝[－1，1]，但此时函数f(x)没有最大值和最小值，故②错误．当f(x)∈A 时，由①可知，对任意的b ∈R ，存在a ∈D ，使得f(a)＝b ，所以，当g(x)∈B 时，对于函数f(x)＋g(x)，如果存在一个正数M ，使得f(x)＋g(x)的值域包含于[－M ，M]，那么对于该区间外的某一个b 0∈R ，一定存在一个a 0∈D ，使得f(x)＋f(a 0)＝b 0－g(a 0)，即f(a 0)＋g(a 0)＝b 0∉[－M ，M]，故③正确．对于f(x)＝aln(x ＋2)＋xx 2＋1(x ＞－2)，当a ＞0或a ＜0时，函数f(x)都没有最大值．要使得函数f(x)有最大值，只有a ＝0，此时f(x)＝xx 2＋1(x ＞－2)．易知f(x)∈⎣⎡⎦⎤－12，12，所以存在正数M ＝12，使得f(x)∈[－M ，M]，故④正确5．〔2014·四川卷〕已知函数f(x)＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值； (2)假设f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，证明：e －2＜a ＜1.【解析】(1)由f(x)＝e x －ax 2－bx －1，得g(x)＝f ′(x)＝e x －2ax －b ，所以g′(x)＝e x －2a. 当x ∈[0，1]时，g′(x)∈[1－2a ，e －2a]．当a≤12时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上单调递增，因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b ；当a≥e2时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0，1]上单调递减，因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e －2a －b ；当12＜a ＜e2时，令g′(x)＝0，得x ＝ln(2a)∈(0，1)，所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增，于是，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a －2aln(2a)－b. 综上所述，当a≤12时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b ；当12＜a ＜e2时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a －2aln(2a)－b ；当a≥e2时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e －2a －b.(2)证明：设x 0为f(x)在区间(0，1)内的一个零点，则由f(0)＝f(x 0)＝0可知， f(x)在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负．故g(x)在区间(0，x 0)内存在零点x 1.同理g(x)在区间(x 0，1)内存在零点x 2.故g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点．由(1)知，当a≤12时，g(x)在[0，1]上单调递增，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点；当a≥e2时，g(x)在[0，1]上单调递减，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．所以12＜a ＜e 2.此时g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增．因此x 1∈(0，ln(2a))，x 2∈(ln(2a)，1)，必有 g(0)＝1－b ＞0，g(1)＝e －2a －b ＞0. 由f(1)＝0有a ＋b ＝e －1<2，有 g(0)＝a －e ＋2>0，g(1)＝1－a>0. 解得e －2＜a ＜1.所以，函数f(x)在区间(0，1)内有零点时，e －2＜a ＜1.6．〔2013·北京卷〕函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x≥1，2x ，x<1的值域为________．【答案】(－∞，2)【解析】函数y ＝log 12x 在(0，＋∞)上为减函数，当x≥1时，函数y ＝log 12x 的值域为(－∞，0]；函数y ＝2x 在R 上是增函数，当x<1时，函数y ＝2x 的值域为(0，2)，所以原函数的值域为(－∞，2)．7．〔2013·北京卷〕以下函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1x B ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg |x| 【答案】C【解析】对于A ，y ＝1x 是奇函数，排除．对于B ，y ＝e －x 既不是奇函数，也不是偶函数，排除．对于D ，y ＝lg |x|是偶函数，但在(0，＋∞)上有y ＝lgx ，此时单调递增，排除．只有C 符合题意．8．〔2013·新课标全国卷Ⅱ] 假设存在正数x 使2x (x －a)<1成立，则a 的取值范围是( ) A ． (－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(－1，＋∞) 【答案】D【解析】由题意存在正数x 使得a>x －12x 成立，即a>⎝⎛⎭⎫x －12x min .由于x －12x是(0，＋∞)上的增函数，故x －12x >0－120D.9．〔2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，以下结论中错误的选项是( )A ．x 0∈R ，f(x 0)＝0B ．函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形C ．假设x 0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x 0)单调递减D ．假设x 0是f(x)的极值点，则f′(x 0)＝0 【答案】C【解析】x→－∞时，f(x)<0，x→＋∞时，f(x)>0，又f(x)连续，x 0∈R ，f(x 0)＝0，A正确．通过平移变换，函数可以化为f(x)＝x 3＋c ，从而函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形，B 正确．假设x 0是f(x)的极小值点，可能还有极大值点x 1，假设x 1<x 0，则f(x)在区间(x 1，x 0)单调递减，C 错误．D 正确．故答案为C.10．〔2013·四川卷〕已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a ，x<0，ln x ，x>0，其中a 是实数．设A(x 1，f(x 1))，B(x 2，f(x 2))为该函数图像上的两点，且x 1<x 2.(1)指出函数f(x)的单调区间；(2)假设函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线互相垂直，且x 2<0，证明：x 2－x 1≥1； (3)假设函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．【解析】(1)函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1 )，单调递增区间为[－1，0)，(0，＋∞)．(2)证明：由导数的几何意义可知，点A 处的切线斜率为f ′(x 1)，点B 处的切线斜率为f′(x 2)．故当点A 处的切线与点B 处的切线垂直时，有f′(x 1)·f ′(x 2)＝－1. 当x<0时，对函数f(x)求导，得f′(x)＝2x ＋2. 因为x 1<x 2<0，所以，(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1，所以2x 1＋2<0，2x 2＋2>0，因此x 2－x 1＝12[－(2x 1＋2)＋2x 2＋2]≥[－〔2x 1＋2〕]〔2x 2＋2〕＝1.当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即x 1＝－32且x 2＝－12时等号成立所以，函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线互相垂直时，有x 2－x 1≥1. (3)当x 1<x 2<0或x 2>x 1>0时，f′(x 1)≠f′(x 2)，故x 1<0<x 2. 当x 1<0时，函数f(x)的图像在点(x 1，f(x 1))处的切线方程为 y －(x 21＋2x 1＋a)＝(2x 1＋2)(x －x 1)，即y ＝(2x 1＋2)x －x 21＋a.当x 2>0时，函数f(x)的图像在点(x 2，f(x 2))处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋ln x 2－1. 两切线重合的充要条件是 ⎩⎪⎨⎪⎧1x 2＝2x 1＋2，①ln x 2－1＝－x 21＋a.② 由①及x 1<0<x 2知，0<1x 2<2.由①②得，a ＝ln x 2＋⎝⎛⎭⎫12x 2－12－1＝－ln 1x 2＋14⎝⎛⎭⎫1x 2－22－1. 令t ＝1x 2，则0<t<2，且a ＝14t 2－t －ln t.设h(t)＝14t 2－t －ln t(0<t<2)．则h′(t)＝12t －1－1t ＝〔t －1〕2－32t <0.所以h(t)(0<t<2)为减函数．则h(t)>h(2)＝－ln 2－1，所以a>－ln2－1，而当t ∈(0，2)且t 趋近于0时，h(t)无限增大，所以a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．故当函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线重合时，a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)． 11．〔2013·四川卷〕设函数f(x)＝e x ＋x －a(a ∈R ，e 为自然对数的底数)．假设存在b ∈[0，1]使f(f(b))＝b 成立，则a 的取值范围是( )A ．[1，e]B ．[1，1＋e]C ．[e ，1＋e]D ．[0，1] 【答案】A【高考押题】1．以下函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)内单调递减的函数是()．A．y＝x2B．y＝|x|＋1 C．y＝－lg|x| D．y＝2|x|解析对于C中函数，当x>0时，y＝－lgx，故为(0，＋∞)上的减函数，且y＝－lg |x|为偶函数．答案 C2．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(|x|)＜f(1)的实数x的取值范围是() A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析∵f(x)在R上为减函数且f(|x|)＜f(1)，∴|x|＞1，解得x＞1或x＜－1.答案 D3．假设函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是()A．增函数B．减函数C．先增后减D．先减后增解析∵y＝ax与y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，∴a<0，b<0，∴y＝ax2＋bx的对称轴方程x＝－b2a<0，∴y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上为减函数．答案 B4．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>0，0，x ＝0，－1，x<0，g(x)＝x 2f(x －1)，则函数g(x)的递减区间是 ( )．A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．[1，＋∞)D ．[－1,0]解析 g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x>1，0，x ＝1，－x 2，x<1.如下图，其递减区间是[0,1)．故选B.答案 B5．函数y ＝－x 2＋2x －3(x ＜0)的单调增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，1] C ．(－∞，0)D ．(－∞，－1]解析二次函数的对称轴为x ＝1，又因为二次项系数为负数，拋物线开口向下，对称轴在定义域的右侧，所以其单调增区间为(－∞，0)．答案 C6．设f(x)为定义在R 上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x ＋2x ＋b(b 为常数)，则f(－1)等于( )．A ．3B ．1C ．－1D ．－3解析由f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.则b ＝－1， f(x)＝2x ＋2x －1，f(－1)＝－f(1)＝－3. 答案 D7．已知定义在R 上的奇函数，f(x)满足f(x ＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为 ( )． A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2解析 (构造法)构造函数f(x)＝sin π2x ，则有f(x ＋2)＝sin ⎣⎡⎦⎤π2x ＋2＝－sin π2x ＝－f(x)，所以f(x)＝sin π2x 是一个满足条件的函数，所以f(6)＝sin 3π＝0，故选B.答案 B8．定义在R 上的函数f(x)满足f(x)＝f(x ＋2)，当x ∈[3,5]时，f(x)＝2－|x －4|，则以下不等式一定成立的是( )．A ．f ⎝⎛⎭⎫cos 2π3>f ⎝⎛⎭⎫sin 2π3B ．f(sin 1)<f(cos 1)C ．f ⎝⎛⎭⎫sin π6<f ⎝⎛⎭⎫cos π6 D ．f(cos 2)>f(sin 2)9．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2－x ，x≥0，2x －1，x<0，则该函数是( )．A ．偶函数，且单调递增B ．偶函数，且单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减解析当x>0时，f(－x)＝2－x －1＝－f(x)；当x<0时，f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x ＝－f(x)．当x ＝0时，f(0)＝0，故f(x)为奇函数，且f(x)＝1－2－x在[0，＋∞)上为增函数，f(x)＝2x －1在(－∞，0)上为增函数，又x≥0时1－2－x ≥0，x<0时2x －1<0，故f(x)为R 上的增函数．答案 C10．已知f(x)是定义在R 上的周期为2的周期函数，当x ∈[0,1)时，f(x)＝4x －1，则f(－5.5)的值为( )A ．2B ．－1C ．－12D ．1解析f(－5.5)＝f(－5.5＋6)＝f(0.5)＝4－1＝1. 答案 D11．设函数D(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则以下结论错误的选项是 ( )．A ．D(x)的值域为{0,1}B ．D(x)是偶函数C ．D(x)不是周期函数D ．D(x)不是单调函数解析显然D(x)不单调，且D(x)的值域为{0,1}，因此选项A 、D 正确．假设x 是无理数，－x ，x ＋1是无理数；假设x 是有理数，－x ，x ＋1也是有理数．∴D(－x)＝D(x)，D(x ＋1)＝D(x)．则D(x)是偶函数，D(x)为周期函数，B 正确，C 错误．答案 C12．已知函数f(x)＝x 2＋ax (x≠0，a ∈R)．(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)假设f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．13．已知函数f(x)＝a·2x ＋b·3x ，其中常数a ，b 满足ab≠0. (1)假设ab>0，判断函数f(x)的单调性；(2)假设ab<0，求f(x ＋1)>f(x)时的x 的取值范围．解 (1)当a>0，b>0时，因为a·2x ，b·3x 都单调递增，所以函数f(x)单调递增；当a<0，b<0时，因为a·2x ，b·3x 都单调递减，所以函数f(x)单调递减．(2)f(x ＋1)－f(x)＝a·2x ＋2b·3x >0. (i)当a<0，b>0时，⎝⎛⎭⎫32x >－a 2b ，解得x>log 32⎝⎛⎭⎫－a 2b ；(ii)当a>0，b<0时，⎝⎛⎭⎫32x <－a2b ，解得x<log 32⎝⎛⎭⎫－a 2b . 14．函数f(x)对任意的a 、b ∈R ，都有f(a ＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1. (1)求证：f(x)是R 上的增函数；(2)假设f(4)＝5，解不等式f(3m 2－m －2)<3.15.已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x ＝1对称，当x ∈[0,1]时，f(x)＝2x －1，(1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x ∈[1,2]时，求f(x)的解析式； (3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)的值．解析 (1)证明函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，函数f(x)的图象关于x ＝1对称，则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．(2)当x ∈[1,2]时，2－x ∈[0,1]，又f(x)的图象关于x ＝1对称，则f(x)＝f(2－x)＝22－x －1，x ∈[1,2]． (3) ∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0， f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1又f(x)是以4为周期的周期函数． ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013) ＝f(2 012)＋f(2 013)＝f(0)＋f(1)＝1.16．已知函数f(x)的定义域为R ，且满足f(x ＋2)＝－f(x)． (1)求证：f(x)是周期函数；(2)假设f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝12x ，求使f(x)＝－12在[0,2 014]上的所有x的个数．(1)证明 ∵f(x ＋2)＝－f(x)，∴f(x ＋4)＝－f(x ＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)， ∴f(x)是以4为周期的周期函数． (2)解当0≤x≤1时，f(x)＝12x ，设－1≤x≤0，则0≤－x≤1， ∴f(－x)＝12(－x)＝－12x.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝－12x ，即f(x)＝12x.故f(x)＝12x(－1≤x≤1)．又设1<x<3，则－1<x －2<1， ∴f(x －2)＝12(x －2)．又∵f(x)是以4为周期的周期函数∴f(x －2)＝f(x ＋2)＝－f(x)，∴－f(x)＝12(x －2)，∴f(x)＝－12(x －2)(1<x<3)．∴f(x)＝⎩⎨⎧12x ，－1≤x≤1，－12x －2，1<x<3.由f(x)＝－12，解得x ＝－1.∵f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(x)＝－12的所有x ＝4n －1(n ∈Z)．令0≤4n －1≤2 014，则14≤n≤2 0154.又∵n ∈Z ，∴1≤n≤503(n ∈Z)，∴在[0,2 014]上共有503个x 使f(x)＝－12.。

高考数学复习点拨函数奇偶性判断

函数奇偶性判断在函数奇偶性概念的学习中，应多方面、多角度地思考概念的内涵，要掌握函数奇偶性定义的等价形式，注重寻求简捷的解题方法，函数奇偶性的定义是：如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)x (f )x (f -=-（或)x (f )x (f =-），那么函数)x (f 就叫做奇函数（或偶函数）。

函数奇偶性的定义反映在定义域上：若)x (f 是奇函数或偶函数，则对于定义域D 上的任意一个x ，都有D x ∈-，即定义域是关于原点对称的。

函数奇偶性定义给出了判断奇偶函数的方法。

1.相加判别法对于函数定义域内的任意一个x ，若0)x (f )x (f =+-，则)x (f 是奇函数；若)x (f 2)x (f )x (f =+-，则)x (f 是偶函数。

例1 判断函数)1x x lg()x (f 2++=的奇偶性。

解法1：利用定义判断，由)1)x (x lg()x (f 2+-+-=-x 1x 1lg x 1x x 1x lg x 1x )x 1x )(x 1x (lg 2222222++=++-+=++++-+=)x (f )1x x lg()x 1x lg(212-=++-=++=-，可知)x (f 是奇函数。

解法2：由x ∈R ，知R x ∈-。

因为)1)x (x lg()1x x lg()x (f )x (f 22+-+-+++=-+ 01lg )]1)x (x )(1x x lg[(22==+-+-++=，所以)1x x lg()x (f 2++=是奇函数。

2. 相减判别法对于函数定义域内任意一个x ，若)x (f 2)x (f )x (f =--，则)x (f 是奇函数；若0)x (f )x (f =--，则)x (f 是偶函数。

例2 判断函数2x 12x )x (g x +-=的奇偶性。

解：由x ∈R ，知R x ∈-。

因为12)12(x 2x 12x 2x 12x )x (g )x (g x x x x --=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--- 0x x x =-=-，所以)x (g 是偶函数。

高考数学奇偶性参数知识点

高考数学奇偶性参数知识点数学是高考的一门重要科目，其中数学的奇偶性参数是一个非常重要的知识点。

奇偶性是数学中一个基本的性质，它与数的性质密切相关。

在高考中，掌握好奇偶性参数的相关知识点，能够帮助我们更好地解题，提高解题的准确性和速度。

一、奇数与偶数的基本性质首先，我们来看一下奇数和偶数的基本性质。

奇数是指不能被2整除的自然数，而偶数则是可以被2整除的自然数。

1. 奇数加奇数或偶数加偶数，结果为偶数。

例如，3+5=8，2+4=6。

2. 奇数加偶数，结果为奇数。

例如，3+4=7，5+6=11。

3. 奇数乘奇数，结果为奇数。

例如，3×3=9，5×5=25。

4. 奇数乘偶数，结果为偶数。

例如，3×2=6，5×4=20。

了解了奇数与偶数的基本性质，我们就能够更好地理解奇偶性参数的知识点。

二、奇偶性参数的运用奇偶性参数在数学中的运用非常广泛，它可以帮助我们简化问题，快速得出结论。

下面，我们来看一些常见的奇偶性参数的运用。

1. 奇偶性参数与加法运算在进行加法运算时，我们可以利用奇偶性参数来简化问题。

如果已知一个数是奇数，那么加上另一个数的奇偶性就能够确定结果的奇偶性。

例如，已知一个数是奇数，加上偶数，结果一定为奇数。

这个方法在解决一些复杂的加法运算时非常有用，能够节省大量的计算时间。

2. 奇偶性参数与乘法运算在进行乘法运算时，奇偶性参数也是非常有用的。

如果已知一个数是奇数，那么与另一个数相乘后，结果的奇偶性就能够确定。

例如，一个奇数与任何数相乘，结果都是奇数；两个偶数相乘，结果也是偶数。

3. 奇偶性参数与整除关系在判断一个数能否被另一个数整除时，奇偶性参数也能够发挥很大的作用。

例如，一个奇数不能被2整除，一个偶数能够被2整除。

三、奇偶性参数的应用案例接下来，我们通过一些具体的应用案例来进一步理解奇偶性参数的应用。

1. 案例一已知一个数加上9是一个偶数，那么这个数本身是奇数还是偶数？解析：设这个数为x，根据已知条件可得：x+9是偶数。

《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解函数的奇偶性及周期性(含解析)

第四节函数的奇偶性及周期性[知识能否忆起]一、函数的奇偶性二、周期性 1．周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．[小题能否全取]1．(2012·广东高考)下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x 3 C ．y ＝e xD ．y ＝lnx 2＋1解析：选D 四个选项中的函数的定义域都是R.y ＝sin x 为奇函数．幂函数y ＝x 3也为奇函数．指数函数y ＝e x 为非奇非偶函数．令f (x )＝ln x 2＋1，得f (－x )＝ln(－x )2＋1＝lnx 2＋1＝f (x )．所以y ＝ln x 2＋1为偶函数．2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13B.13C.12D ．－12解析：选B ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数， ∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.3．(教材习题改编)已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x ＋4)＝f (x )，则f (8)的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选B ∵f (x )为奇函数且f (x ＋4)＝f (x )， ∴f (0)＝0，T ＝4. ∴f (8)＝f (0)＝0.4．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.解析：法一：∵f (－x )＝f (x )对于x ∈R 恒成立，∴|－x ＋a |＝|x ＋a |对于x ∈R 恒成立，两边平方整理得ax ＝0，对于x ∈R 恒成立，故a ＝0.法二：由f (－1)＝f (1)，得|a －1|＝|a ＋1|，故a ＝0. 答案：05．(2011·广东高考)设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________.解析：观察可知，y ＝x 3cos x 为奇函数，且f (a )＝a 3cos a ＋1＝11，故a 3cos a ＝10.则f (－a )＝－a 3cos a ＋1＝－10＋1＝－9.答案：－91.奇、偶函数的有关性质：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件； (2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称；反之亦然； (3)若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0；(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y 轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反．2．若函数满足f (x ＋T )＝f (x )，由函数周期性的定义可知T 是函数的一个周期；应注意nT (n ∈Z 且n ≠0)也是函数的周期．典题导入[例1] (2012·福州质检)设Q 为有理数集，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈Q ，－1，x ∈∁R Q ，g (x )＝e x －1e x ＋1，则函数h (x )＝f (x )·g (x )( )A ．是奇函数但不是偶函数B ．是偶函数但不是奇函数C ．既是奇函数也是偶函数D ．既不是偶函数也不是奇函数[自主解答] ∵当x ∈Q 时，－x ∈Q ，∴f (－x )＝f (x )＝1；当x ∈∁R Q 时，－x ∈∁R Q ，∴f (－x )＝f (x )＝－1.综上，对任意x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，故函数f (x )为偶函数．∵g (－x )＝e －x －1e －x ＋1＝1－e x 1＋e x ＝－e x －11＋e x＝－g (x )，∴函数g (x )为奇函数．∴h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝f (x )·[－g (x )]＝－f (x )g (x )＝－h (x )，∴函数h (x )＝f (x )·g (x )是奇函数．∴h (1)＝f (1)·g (1)＝e －1e ＋1，h (－1)＝f (－1)·g (－1)＝1×e －1－1e －1＋1＝1－e 1＋e，h (－1)≠h (1)，∴函数h (x )不是偶函数． [答案] A由题悟法利用定义判断函数奇偶性的方法(1)首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件； (2)如果函数的定义域关于原点对称，可进一步判断f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是否对定义域内的每一个x 恒成立(恒成立要给予证明，否则要举出反例)．[注意] 判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f (－x )与f (x )的关系，只有对各段上的x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．以题试法1．判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1；(2)f (x )＝3x －3－x ；(3)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x >0，0，x ＝0，－x 2－2，x <0.解：(1)∵由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x ＝±1，∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0，即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数又是偶函数． (2)∵f (x )的定义域为R ，∴f (－x )＝3－x －3x ＝－(3x －3－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．(3)∵由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]，∴f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3＝4－x 2(x ＋3)－3＝4－x 2x， ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(4)f (x )的定义域为R ，关于原点对称，当x >0时，f (－x )＝－(－x )2－2＝－(x 2＋2)＝－f (x )；当x <0时，f (－x )＝(－x )2＋2＝－(－x 2－2)＝－f (x )；当x ＝0时，f (0)＝0，也满足f (－x )＝－f (x )．故该函数为奇函数．典题导入[例2] (1)(2012·上海高考)已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.(2)(2012·烟台调研)设偶函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝0，则不等式f (x )＋f (－x )x>0的解集为( ) A ．(－2,0)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(0,2) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,0)∪(0,2)[自主解答] (1)∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且x ＝1时，y ＝2，∴当x ＝－1时，y ＝－2，即f (－1)＋(－1)2＝－2，得f (－1)＝－3，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝－1. (2)∵f (x )为偶函数， ∴f (x )＋f (－x )x ＝2f (x )x >0.∴xf (x )>0.∴⎩⎨⎧ x >0，f (x )>0或⎩⎨⎧x <0，f (x )<0.又f (－2)＝f (2)＝0，f (x )在(0，＋∞)上为减函数，故x ∈(0,2)或x ∈(－∞，－2)． [答案] (1)－1 (2)B本例(2)的条件不变，若n ≥2且n ∈N *，试比较f (－n )，f (1－n )，f (n －1)，f (n ＋1)的大小．解：∵f (x )为偶函数，所以f (－n )＝f (n )， f (1－n )＝f (n －1)．又∵函数y ＝f (x )在(0，＋∞)为减函数，且0<n －1<n <n ＋1， ∴f (n ＋1)<f (n )<f (n －1)．∴f (n ＋1)<f (－n )<f (n －1)＝f (1－n )．由题悟法函数奇偶性的应用(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式．利用奇偶性构造关于f (x )的方程，从而可得f (x )的解析式． (2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用f (x )±f (－x )＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．(3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．以题试法2．(1)(2012·徐州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≤0，ax 2＋bx ，x >0为奇函数，则a ＋b ＝________.(2)已知定义在R 上的奇函数满足f (x )＝x 2＋2x (x ≥0)，若f (3－a 2)>f (2a )，则实数a 的取值范围是________．解析：(1)当x <0时，则－x >0，所以f (x )＝x 2＋x ，f (－x )＝ax 2－bx ，而f (－x )＝－f (x )，即－x 2－x ＝ax 2－bx ，所以a ＝－1，b ＝1，故a ＋b ＝0.(2)因为f (x )＝x 2＋2x 在[0，＋∞)上是增函数，又因为f (x )是R 上的奇函数，所以函数f (x )是R 上的增函数，要使f (3－a 2)>f (2a )，只需3－a 2>2a ，解得－3<a <1.答案：(1)0 (2)(－3,1)典题导入[例3] (2012·浙江高考)设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝⎛⎫32＝________.[自主解答] 依题意得，f (2＋x )＝f (x )，f (－x )＝f (x )，则f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12＋1＝32. [答案] 32由题悟法1．周期性常用的结论：对f (x )定义域内任一自变量的值x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ；(2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a ； (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a .2．周期性与奇偶性相结合的综合问题中，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用．以题试法3．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式．解：(1)证明：∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数． (2)∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]， ∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8. 又∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．1．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是( ) A ．y ＝－x 3 B ．y ＝sin x C ．y ＝xD ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x答案：A2．(2012·考感统考)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝( )A ．－12B ．－14C.14D.12解析：选A 由题意得f ⎝⎛⎭⎫－52＝－f ⎝⎛⎭⎫52＝－f ⎝⎛⎭⎫52－2＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－⎣⎡⎦⎤2×12×⎝⎛⎭⎫1－12＝－12. 3．(2012·北京海淀区期末)已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)解析：选C 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．4．(2013·吉林模拟)已知函数f (x )＝|x ＋a |－|x －a |(a ≠0)，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x >0，x 2＋x ，x ≤0，则f (x )，h (x )的奇偶性依次为( )A ．偶函数，奇函数B ．奇函数，偶函数C ．偶函数，偶函数D ．奇函数，奇函数解析：选D f (－x )＝|－x ＋a |－|－x －a |＝|x －a |－|x ＋a |＝－f (x )，故f (x )为奇函数．画出h (x )的图象可观察到它关于原点对称或当x >0时，－x <0，则h (－x )＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－h (x )，当x <0时－x >0，则h (－x )＝－x 2－x ＝－(x 2＋x )＝－h (x )．x ＝0时，h (0)＝0，故h (x )为奇函数．5．(2013·杭州月考)已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋m (m 为常数)，则f (－1)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选A 函数f (x )为定义在R 上的奇函数，则f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1.则f (x )＝2x ＋2x －1，f (1)＝21＋2×1－1＝3，f (－1)＝－f (1)＝－3. 6．若函数f (x )＝x(2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a ＝( )A.12B.23C.34D ．1解析：选A ∵f (x )＝x(2x ＋1)(x －a )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)，∴－1(－2＋1)(－1－a )＝－1(2＋1)(1－a )， ∴a ＋1＝3(1－a )，解得a ＝12.7．(2013·孝感模拟)已知f (x )是偶函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x >0时，f (x )＝________. 解析：x >0，－x <0，f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋(－x )＝x 2－x ，故x >0时，f (x )＝x 2－x . 答案：x 2－x8.(2012·“江南十校”联考)定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在(0,2]上的图象如图所示，则不等式f (x )>x 的解集为________．解析：依题意，画出y ＝f (x )与y ＝x 的图象，如图所示，注意到y ＝f (x )的图象与直线y ＝x 的交点坐标是⎝⎛⎭⎫23，23和⎝⎛⎭⎫－23，－23，结合图象可知，f (x )>x 的解集为⎣⎡⎭⎫－2，－23∪⎝⎛⎭⎫0，23. 答案：⎣⎡⎭⎫－2，－23∪⎝⎛⎭⎫0，23 9．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为3，且x ∈⎝⎛⎭⎫－32，0时，f (x )＝log 2(－3x ＋1)，则f (2 011)＝________.解析：f (2 011)＝f (3×670＋1) ＝f (1)＝－f (－1) ＝－log 2(3＋1)＝－2. 答案：－210．已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R)．(1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若f (1)＝2，试判断f (x )在[2，＋∞)上的单调性．解：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，f (－x )＝f (x )，函数是偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R)，取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0；f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，即f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)．故函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． (2)若f (1)＝2，即1＋a ＝2，解得a ＝1，这时f (x )＝x 2＋1x.任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 21＋1x 1－⎝⎛⎭⎫x 22＋1x 2＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2－1x 1x 2. 由于x 1≥2，x 2≥2，且x 1<x 2. 故x 1－x 2<0，x 1＋x 2>1x 1x 2，所以f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在[2，＋∞)上是单调递增函数． 11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．12．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称．(1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式．解：(1)证明：由函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，得f (x ＋1)＝f (1－x )，即有f (－x )＝f (x ＋2)．又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，故有f (－x )＝－f (x )．故f (x ＋2)＝－f (x )．从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为4的周期函数．(2)由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，有f (0)＝0.x ∈[－1,0)时，－x ∈(0,1]，f (x )＝－f (－x )＝－－x ，又f (0)＝0，故x ∈[－1,0]时， f (x )＝－－x .x ∈[－5，－4]，x ＋4∈[－1,0]，f (x )＝f (x ＋4)＝－－x －4.从而，x ∈[－5，－4]时，函数f (x )＝－－x －4.1．设f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f (－3)＝0，则x ·f (x )<0的解集是() A ．{x |－3<x <0，或x >3}B ．{x |x <－3，或0<x <3}C ．{x |x <－3，或x >3}D ．{x |－3<x <0，或0<x <3}解析：选D 由x ·f (x )<0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，f (x )>0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f (x )<0，而f (－3)＝0，f (3)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，f (x )>f (－3)或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f (x )<f (3)，所以x ·f (x )<0的解集是{x |－3<x <0，或0<x <3}．2．(2012·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R.若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．解析：因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1,3a ＋2b ＝－2.① 由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，故b ＝－2a .② 由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.答案：－103．(2012·烟台模拟)已知函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f ⎝⎛⎭⎫12＝1，如果对于0<x <y ，都有f (x )>f (y )，(1)求f (1)；(2)解不等式f (－x )＋f (3－x )≥－2.解：(1)令x ＝y ＝1，则f (1)＝f (1)＋f (1)，f (1)＝0.(2)f (－x )＋f (3－x )≥－2f ⎝⎛⎭⎫12，f (－x )＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3－x )＋f ⎝⎛⎭⎫12≥0＝f (1)，f ⎝⎛⎭⎫－x 2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x 2≥f (1)， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2·3－x 2≥f (1)，则⎩⎨⎧ －x >0，3－x >0，－x 2·3－x 2≤1，解得－1≤x <0. 故不等式的解集为[－1,0)．1．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是______________．解析：在f (x )－g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 中，用－x 替换x ，得f (－x )－g (－x )＝2x ，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，因此得－f (x )－g (x )＝2x.于是解得f (x )＝2－x －2x 2，g (x )＝－2－x ＋2x 2，于是f (1)＝－34，g (0)＝－1，g (－1)＝－54，故f (1)>g (0)>g (－1)．答案：f (1)>g (0)>g (－1)2．关于y ＝f (x )，给出下列五个命题：①若f (－1＋x )＝f (1＋x )，则y ＝f (x )是周期函数；②若f (1－x )＝－f (1＋x )，则y ＝f (x )为奇函数；③若函数y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，则y ＝f (x )为偶函数；④函数y ＝f (1＋x )与函数y ＝f (1－x )的图象关于直线x ＝1对称；⑤若f (1－x )＝f (1＋x )，则y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称．填写所有正确命题的序号________．解析：由f (－1＋x )＝f (1＋x )可知，函数周期为2，①正确；由f (1－x )＝－f (1＋x )可知，y ＝f (x )的对称中心为(1,0)，②错；y ＝f (x －1)向左平移1个单位得y ＝f (x )，故y ＝f (x )关于y 轴对称，③正确；两个函数对称时，令1＋x ＝1－x 得x ＝0，故应关于y 轴对称，④错；由f (1－x )＝f (1＋x )得y ＝f (x )关于x ＝1对称，⑤错，故正确的应是①③.答案：①③3．已知f (x )是偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，如果f (ax ＋1)≤f (x －2)在x ∈⎣⎡⎦⎤12，1上恒成立，求实数a 的取值范围．解：由于f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，则在(－∞，0]上为减函数，由f (ax＋1)≤f (x －2)，则|ax ＋1|≤|x －2|，又x ∈⎣⎡⎦⎤12，1，故|x －2|＝2－x ，即x －2≤ax ＋1≤2－x .故x －3≤ax ≤1－x,1－3x ≤a ≤1x－1，在⎣⎡⎦⎤12，1上恒成立．由于⎝⎛⎭⎫1x －1min ＝0，⎝⎛⎭⎫1－3x max ＝－2，故－2≤a ≤0.。

高考数学一轮复习讲义第10课时函数的奇偶性理

课题：函数的奇偶性考纲要求：会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性.教材复习基本知识方法 1.奇偶函数的性质：()1函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称；()2()f x 是偶函数⇔()f x 的图象关于y 轴对称；()f x 是奇函数⇔()f x 的图象关于原点对称；()3奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.2.()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ⇔=-=．3.若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．4.判断函数的奇偶性的方法：()1定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式； ()2图象法；()3性质法：①设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D D D =上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇； ②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；5. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-．典例分析：题型一：判断或证明函数的奇偶性问题1．判断下列各函数的奇偶性：()1 ()(f x x =- ()2 2lg(1)()|2|2x f x x -=--；()3 ())f x x =； ()4 22(0)()(0)x x x f x x xx ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩ 题型二：函数的奇偶性的应用问题2．()1(04上海)设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-若当[]0,5x ∈时， ()f x 的图象如右图，则不等式()0f x <的解是()2（2013哈九中模拟）奇函数()f x 在()0,+∞上的解析式是()()1f x x x =-，则在(),0-∞上，函数的解析式是.A ()()1f x x x =-- .B ()()1f x x x =+ .C ()()1f x x x =-+.D ()()1f x x x =-()3（2011广东）设函数3()cos 1f x x x =+．若()11f a =，则()f a -=问题3．()1设定义在[]2,2-上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，若(1)()f m f m -<，求实数m 的取值范围()2（2013江苏）已知()f x 是定义在R 上是奇函数，当0x >时，2()4f x x x =-，则不等式()f x x >的解集用区间表示为()3(06黄岗中学月考)已知函数21()log 1x f x x x -=-++，求1()2005f -1()2004f +- 1()2004f +1()2005f +的值. 题型三：抽象函数的奇偶性的证明问题5．()1已知函数()f x 满足：()()2()()f x y f x y f x f y ++-=⋅对任意的实数x 、y 总成立，且(1)(2)f f ≠.求证：()f x 为偶函数.()2定义在R 上的增函数()y f x =对任意的,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+.①求证：()f x 为奇函数；②若(2)(242)0x x x f k f +--<对任意x R ∈恒成立，求实数k 的取值范围.课后作业：1.已知函数2()f x ax bx c =++,[]23,1x a ∈--是偶函数,则a b +=2.已知1()21x f x m =++为奇函数，则(1)f -的值为 3.已知5)(357++++=dx cx bx ax x f ，其中d c b a ,,,为常数，若7)7(-=-f ，则=)7(f _______4.若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，则函数)()()(x f x f x F +=的图象关于.A x 轴对称 .B y 轴对称 .C 原点对称 .D 以上均不对5.函数)0)(()1221()(≠-+=x x f x F x 是偶函数，且)(x f 不恒等于零，则)(x f .A 是奇函数 .B 是偶函数.C 可能是奇函数也可能是偶函数 .D 不是奇函数也不是偶函数6.判断下列函数的奇偶性：()1()f x =； ()2()212()2x x f x +=； ()311()212x f x =+-； ()4()3()log 132x x f x -=++； ()51()log 1a x f x x+=-（其中0a >，1a ≠） 7.（03南昌模拟）给出下列函数①cos y x x =②2sin y x =③2y x x =-④x x y e e -=-，其中是奇函数的是（） .A ①② .B ①④ .C ②④ .D ③④8.已知函数)(x f y =在R 是奇函数，且当x ≥0时，x x x f 2)(2-=，则0<x 时，)(x f 的解析式为_______________9.（06上海春）已知函数()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数.当(),0x ∈-∞时，4()f x x x =-，则当()0,x ∈+∞时，()f x =10.已知()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么1()2f 的值为 .A3.B.C.D 9 11.（2012郑州二模）设奇函数2,0()0,0(),0x x f x x g x x ⎧<⎪==⎨⎪>⎩，则(3)g =.A 8 .B 18 .C 8- .D 18-、 12.若()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且1()()1f xg x x +=-，则()f x = ，()g x = 13.定义在)1,1(-上的函数1)(2+++=nx x m x x f 是奇函数，则常数=m ____,=n _____ 14.（2013皖南八校联考）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足2()2f x x x =+（x ≥0），若2(3)(2)f a f a ->则实数a 的取值范围是走向高考：1. （04全国）已知函数1()lg 1x f x x-=+，若()f a b =，则()f a -= .A b .B b - .C 1b .D 1b- 2. (06全国Ⅰ文）已知函数()1,21x f x a =-+，若()f x 为奇函数，则a = 3.（2013山东）已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x=+，则(1)f -=.A 2- .B 0 .C 1 .D 24.（07辽宁文）已知()y f x =为奇函数，若(3)(2)1f f -=，则(2)(3)f f ---=5.（2011广东）设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 .A ()()f x g x +是偶函数 .B ()()f x g x -是奇函数.C ()()f x g x +是偶函数 .D ()()f x g x -是奇函数6.（07广东）若函数21()sin 2f x x =-()x R ∈，则()f x 是 .A 最小正周期为π2的奇函数.B 最小正周期为π的奇函数 .C 最小正周期为2π的偶函数.D 最小正周期为π的偶函数 7.（07海南）设函数(1)()()x x a f x x++=为奇函数，则a = 8.（2012重庆）设函数()()(4)f x x a x =+-为偶函数，则实数a =9.(07江苏)设2()lg 1f x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是 .A (10)-， .B (01)， .C (0)-∞， .D (0)(1)-∞+∞，，10.（2013辽宁文）已知函数)()ln 31f x x =+，则1(lg 2)lg 2f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ .A 1- .B 0 .C 1.D 2 11.（2013重庆文）已知函数3()sin 4f x ax b x =++（,a b R ∈），()()2lg log 105f =，则()()lg lg2f = .A 5- .B 1- .C 3 .D 4 12.（2013湖南文）已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且(1)(1)2f g -+=，(1)(1)4f g +-=，则(1)g = .A 4 .B 3 .C 2 .D 113. （06重庆文）已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a+-+=+是奇函数。

2016年高考数学总复习课件：第二章第3讲函数的奇偶性与周期性

考点 1 判断函数的奇偶性
例 1：(1)(2014 年广东)下列函数为奇函数的是(
)
A．y＝2x－21x C．y＝2cosx＋1
B．y＝x3sinx D．y＝x2＋2x
第七页，编辑于星期五：二十三点二十八分。
解析：对于A选项中的函数f(x)＝2x－
1 2x
＝2x－2－x，函数定
义域为R，f(－x)＝2－x－2－(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，则该函数为奇
答案：4
第十四页，编辑于星期五：二十三点二十八分。
【规律方法】已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的
值常常用待定系数法：先利用 fx±f－x＝0 得到关于待求参数
的恒等式，再利用恒等式的性质列方程求解.
第十五页，编辑于星期五：二十三点二十八分。
【互动探究】
2．设函数
f(x)＝
x＋1x＋a 为奇函数，则
第二十一页，编辑于星期五：二十三点二十八分。
●易错、易混、易漏●
⊙判断函数奇偶性时没有考虑定义域
例题：给出四个函数：
①y＝lg
2－x 2＋x
；
②y＝lg(2－x)－lg(2＋x)； ③y＝lg[(x＋2)(x－2)]； ④y＝lg(x＋2)＋lg(x－2)．
其中奇函数是__________，偶函数是__________．
(4)设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数，则下
列结论恒成立的是(
)
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数
B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数
D．|f(x)|－g(x)是奇函数
解析：∵g(x)是 R 上的奇函数，∴|g(x)|是 R 上的偶函数，

第08讲函数的奇偶性、周期性高考数学大一轮复习核心题型易错重难点专项突破(新高考版)

注意
对于分段函数奇偶性的判断，要分段判断 f (－ x )＝ f ( x )或 f (－ x )＝－ f ( x )
是否成立，只有当所有区间都满足相同关系时，才能判断该分段函数的奇偶性.
角度1 判断函数的奇偶性
例1 (1)[全国卷Ⅰ]设函数 f ( x )， g ( x )的定义域都为R，且 f ( x )是奇函数， g ( x )是偶函
−1

−1
ex
＋e－ x ，所以 a －1＝±1，解得 a ＝0(舍去)或 a ＝2，故选D.
解法二

f ( x )＝＝ (−1) − ， f ( x )是偶函数，又 y ＝ x 是奇函数，所以
−1

−
y ＝e( a －1) x －e－ x 是奇函数，故 a －1＝1，即 a ＝2，故选D.
A. (0，＋∞)
B. (－∞，－4)
C. (－4，0)
D. (－∞，－4)∪(0，＋∞)

定义域为{ x ｜ x ≠0}， f ( x )是奇函数，在定义域上不具有单调性，故D错误.故选
C.
2.[2023南京市、盐城市一模]若函数 f ( x )＝ x 3＋ bx 2＋ cx ＋ d 满足 f (1－ x )＋ f (1＋ x )
＝0对一切实数 x 恒成立，则不等式 f '(2 x ＋3)＜ f '( x －1)的解集为(
图像特征关于 y轴
对称
f(-x)=-f(x) ,则称y=f(x)为奇函数
关于原点
对称
2.函数的周期性
(1)周期函数
非零常数
一般地,对于函数f(x),如果存在一个
T,使得对定义
域内的每一个x

2016高考数学考点-函数的性质

函数的性质（单调性、奇偶性、周期性）【考点剖析】命题方向1.利用函数的单调性求单调区间、比较大小、解不等式、求变量的取值是历年高考考查的热点．2.函数的奇偶性是高考考查的热点．3.函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是重点，也是难点．3.题型以选择题和填空题为主，函数性质其他知识点交汇命题.三．规律总结一条规律奇、偶函数的定义域关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．三种方法判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法．两条结论：一、若对于R 上的任意的x 都有f (a －x )= f (a ＋x )，f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．二、判定函数周期性的四个常用结论若对于函数f (x )定义域内的任意一个x 都有：(1)f (x ＋a )＝f (x )(a ≠0)，则函数f (x )必为周期函数，|a |是它的一个周期．(2)f (x ＋a )＝－f (x )(a ≠0)，则函数f (x )必为周期函数，2|a |是它的一个周期．(3)f (x ＋a )＝1/f (x ))(a ≠0)，则函数f (x )必为周期函数，2|a |是它的一个周期．(4)f (x ＋a )＝－1\f (x ) (a ≠0)，则函数f (x )必为周期函数，2|a |是它的一个周期．(5)若f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )，那么函数f (x )是周期函数，其中一个周期为T ＝2|a －b |.【基础练习】1．（课本习题改编）下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是 ( )A ．y ＝|x |B ．y ＝3－xC ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋4 2.（经典习题）函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，32D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，43. （课本习题改编）若函数为奇函数，则a ＝( )A.12B.23C.34D ．1 4. （经典习题）设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )．A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－g (x )是奇函数5．（经典习题）已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)等于________．【高考再现】热点一函数的单调性1．[2014·北京卷] 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1)2．[2014·陕西卷] 下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )·f (y )”的单调递增函数是( )A ．f (x )=B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫12xD ．f (x )＝3x 3．[2014·天津卷] 函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)4.（2012年高考（天津））下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为（）A ．cos 2y x =B ．2log ||y x =C ．2x x e e y --=D ．31y x =+5.（2012年高考（陕西））下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（） A ．1y x =+ B ．2y x =- C ．1y x = D ．||y x x =6.（2012年高考（安徽））若函数()|2|f x x a =+的单调递增区间是[3,)+∞,则_____a =已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x <0)，(a －3)x ＋4a (x ≥0)满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是________．热点二函数的奇偶性7．（2013年山东）已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时,21()f x x x=+,则(1)f -= (A) 2- (B) 0 (C) 1 (D) 28.已知为奇函数，则=9．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数10．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0，若f (x －1)＞0，则x 的取值范围是________．11.（2012年高考（广东））(函数)下列函数为偶函数的是（）A ．sin y x =B ．3y x =C ．x y e =D ．y =12.（2012年高考（重庆））函数()()(4)f x x a x =+- 为偶函数,则实数a =________13.（2012年高考（上海））已知)(x f y =是奇函数. 若2)()(+=x f x g 且1)1(=g .则=-)1(g _______ .14.（2012年高考（课标））设函数()f x 22(+1)sin =1x x x ++的最大值为M ,最小值为m ,则=M m +____热点三函数的周期性15．[2014·四川卷] 设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________．16.（2012年高考（浙江））设函数()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数,当x∈[0,1]时, ()f x =+1x , 则3()2f =_______.17. 设f (x )是R 上的奇函数，且对任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (x )，又当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2，那么x ∈[2 011,2 013]时，f (x )的解析式为________．18.(2013·日照模拟)已知函数f (x )是R 上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 013)＋f (2 012)的值为A.－2 B ．－1 C ．1 D ．2热点四函数性质的综合应用19.（2012年高考（重庆理））已知()f x 是定义在R 上的偶函数,且以2为周期,则“()f x 为[0,1]上的增函数”是“()f x 为[3,4]上的减函数”的（）A ．既不充分也不必要的条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．充要条件20.（2012年高考（山东理））定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=.当31x -≤<- 时,2()(2)f x x =-+,当13x -≤<时,()f x x =. 则(1)(2)(3)(2012)f f f f +++⋅⋅⋅=A ． 335B ．338C ．1678D ．201221．（2013年江苏卷）已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时,x x x f 4)(2-=,则不等式x x f >)(的解集用区间表示为___________.22．(2014·玉溪模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝ A ．1 B.45 C ．－1 D ．－4523．给出下列命题：①在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x －1，y ＝12x ，y ＝(x －1)2，y ＝x 3中有三个是增函数；②若log m 3<log n 3<0，则0<n <m <1；③若函数f (x )是奇函数，则f (x －1)的图象关于点A (1，0)对称；④若函数f (x )＝3x －2x －3，则方程f (x )＝0有2个实数根，其中正确命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．424. 已知定义域为R 的函数f (x )在(8，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f (x ＋8)为偶函数，则A ．f (6)＞f (7)B ．f (6)＞f (9)C ．f (7)＞f (9)D ．f (7)＞f (10)25．[2014·湖南卷] 已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3。

高考必考知识点奇偶性

高考必考知识点奇偶性在高考中，数学作为一门重要的科目，几乎是每个考生都不能避免要面对的挑战。

数学知识点繁多，其中一个重要的知识点就是奇偶性。

考生只有深入理解和掌握奇偶性的概念，才能在高考中取得优异的成绩。

一、奇数和偶数的定义与性质首先，我们来回顾一下奇数和偶数的定义。

奇数是不能被2整除的数字，而偶数则可以被2整除。

简单明了的定义也为我们提供了研究奇偶性的基础。

奇数和偶数在加减运算中有着不同的性质。

两个奇数相加，结果是偶数；而两个偶数相加，结果仍然是偶数。

而奇数与偶数相加，结果是奇数。

同样的性质在减法运算中也成立。

这些性质对于高考题目的解题方法起到了重要的指导作用。

奇数和偶数的乘法运算也有着自己的规律。

两个奇数相乘，结果仍然是奇数；两个偶数相乘，结果也是偶数。

而奇数与偶数相乘，结果则为偶数。

二、整数序列的奇偶性规律在高等数学中，考生还需要掌握整数序列的奇偶性规律。

在高考中，有很多与整数序列奇偶性相关的题目。

1. 数列中的奇数与偶数首先，考生需要掌握关于数列中奇数和偶数的一些规律。

在一个连续的整数数列中，奇数和偶数出现的频次是相等的。

例如，从1到100的整数数列中，1、3、5、...、99共有50个奇数，1、3、5、...、99共有50个偶数。

这样的规律在解题过程中经常会被考察到。

2. 数列之和与奇偶性其次，数列之和与奇偶性之间也存在着一定的联系。

如果一个数列中的项数是偶数个，那么数列之和的奇偶性与数列第一项和最后一项的奇偶性相同。

而如果一个数列中的项数是奇数个，那么数列之和的奇偶性与数列第一项与最后一项的奇偶性相反。

掌握了这个规律后，考生在解决数列求和的问题时就能事半功倍。

三、函数的奇偶性在数学学科中，函数的奇偶性也是一个重要的概念。

函数的奇偶性与其表达式中的变量幂指数有关，对于高考数学题目的解题方法起到了重要的指导作用。

1. 奇函数和偶函数的定义首先，我们来了解一下奇函数和偶函数的定义。

如果对于函数f(x)成立f(-x)=-f(x)，那么这个函数就是奇函数。

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零基础高考系列10:函数奇偶性
【单点理解】
1．在平面直角坐标系中，点),(b a 关于原点对称的点是；关于y 轴对称的点是；关于x 轴对称的点是．
2．下列函数中，是奇函数的是（）
（A ）x x y +=2 （B ）12+=x y （C ）x x y +=3 （D ）32x x y +=
3．下列函数中，是偶函数的是（）
（A ）2)1(-=x y （B ）x x y 22-= （C ）22+=x y （D ）x x
y +=
1 4．已知函数x y =，下列说法正确的是（）
（A ）函数图象关于x 轴对称（B ）函数图象关于y=x 轴对称
（C ）函数图象关于原点对称（D ）函数图象关于y 轴对称
5．已知函数x
y 2-=，下列说法正确的是（）（A ）函数图象关于x 轴对称（B ）函数图象关于y=x 轴对称
（C ）函数图象关于原点对称（D ）函数图象关于y 轴对称
【组合掌握】
6．判断并证明下列函数的奇偶性．
（1）21)(x
x x f +=；（2）x x x f 2)(2+=；（3）x x x f 1)(+=．
7．已知函数c bx ax x f ++=2)(．
（1）若函数为奇函数，求实数a ，b ，c 满足的条件；
（2）若函数为偶函数，求实数a ，b ，c 满足的条件．
8．已知函数)(x f 是定义在[]6,6-上的偶函数，)(x f 的部分图象如图所示，求不等式0)(>x xf 的解集．
3 6 0
9．已知函数14)(2--=x x x f ．
（1）求证函数)(x f 是偶函数；
（2）试画出函数)(x f 的图象；
（3）根据函数图象，试写出函数)(x f 的单调区间．
【综合应用】
10．若函数)(x f 是奇函数，当0>x 时，2)(x x x f +=，试求函数)(x f 在0<x 时的解析式．
11．已知函数)(x f 是定义在[]4,4-上奇函数，且在[]4,4-单调增．若0)3()1(<-++a f a f ，求实数a 的取值范围．
12．已知函数)(x f 是定义域上的偶函数，若函数)(x f 在)2,(--∞单调增，试判断函数)(x f 在),2(+∞上的单调性，并证明之．。