高考数学专题练习--函数奇偶性

高考数学专题练习--函数奇偶性
1. (·沈阳模拟)函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52的值为 【答案】1
2
【解析】∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2.∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝12. 2. (·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝
⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫92，则f (5a )的值是________． 【答案】－25
.
3. (·广州联考)已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2
，则f (7)＝________. 【答案】－2
【解析】因为f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期T ＝4，又f (x )在R 上是奇函数，所以f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2×12
＝－2.
4. (·泰安模拟)奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为________. 【答案】2
【解析】设g (x )＝f (x ＋1)，∵f (x ＋1)为偶函数，则g (－x )＝g (x )，即f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，∵f (x )是奇函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)＝－f (x －1)，即f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (4)＝f (0)＝0，f (5)＝f (1)＝2，∴f (4)＋f (5)＝0＋2＝2
5. (·天津高考改编)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2
|a －1|
)＞f (－2)，则a 的取值范围是________.
【答案】⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，32 【解析】因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (－x )＝
f (x )，且f (x )在(0，＋∞)上单调递减．由f (2|a －1|)＞f (－2)，f (－2)＝f (2)，可得2|a
－1|
＜2，即|a －1|＜12，所以12＜a ＜3
2.
6. (·山东高考改编)已知函数f (x )的定义域为R.当x ＜0时，f (x )＝x 3
－1；当－1≤x ≤1时，
f (－x )＝－f (x )；当x ＞1
2
时，f ⎝
⎛⎭
⎪⎫
x ＋12＝f ⎝
⎛⎭
⎪⎫
x －12
，则f (6)＝________.
【答案】2
【解析】由题意知当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －12，则f (x ＋1)＝f (x )．又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )，∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)．又当x ＜0时，f (x )＝x 3－1，∴f (－1)＝－2，∴f (6)
＝2.
7. (·揭阳模拟)已知函数f (x )是周期为2的奇函数，当x ∈[0,1)时，f (x )＝lg(x ＋1)，则
f ⎝
⎛⎭
⎪⎫2 0165＋lg 18＝________.
【答案】1
8.设函数f (x )＝x 3
cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________. 【答案】－9
【解析】观察可知，y ＝x 3
cos x 为奇函数，且f (a )＝a 3
cos a ＋1＝11，故a 3
cos a ＝10.则f (－
a )＝－a 3·co s a ＋1＝－10＋1＝－9.
9.设f (x )是偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (2x )＝f ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫x ＋1x ＋4的所有x 之和为________．
【答案】－8
10. 已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f (x )＝x 3
－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点个数为________. 【答案】 7
【解析】因为当0≤x ＜2时，f (x )＝x 3
－x ，又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0，所以f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0.又f (1)＝0，所以f (3)＝f (5)＝0.故函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点个数为7. 11. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧－x 2
＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数.
(1)求实数m 的值；
(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围. [答案] (1，3].
[解析] (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2
＋2(－x )＝－x 2
－2x .又f (x )为奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，
f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.
(2)由(1)知f (x )在[－1，1]上是增函数， 要使f (x )在[－1， a －2]上单调递增.
结合f (x )的图象知⎩
⎪⎨⎪⎧a －2>－1，
a －2≤1，
所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1，3].
12.已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )． (1)求证：f (x )是周期函数；
(2)若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求使f (x )＝－1
2在 [0,2 014]上的所有x
的个数．
【答案】(1) 详见解析，(2) 503.
∴f (x －2)＝f (x ＋2)＝－f (x )，∴－f (x )＝1
2(x －2)，
∴f (x )＝－1
2(x －2)(1<x <3)．
∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
12x ，－1≤x ≤1，
－1
2x －2，1<x <3.
由f (x )＝－1
2，解得x ＝－
1.
∵f (x )是以4为周期的周期函数， ∴f (x )＝－1
2的所有x ＝4n －1(n ∈Z)．
令0≤4n －1≤2 014，则14≤n ≤2 015
4.
又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤503(n ∈Z)，
∴在[0,2 014]上共有503个x 使f (x )＝－1
2
.
13. 已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0，1)时，f (x )＝2
x
4x ＋1.
(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1，1]上的解析式.
【答案】(1) f (1)＝0，f (－1)＝0. (2) f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2
x
4x
＋1
，x ∈（0，1），－2x 4x
＋1，x ∈（－1，0），0，x ∈{－1，0，1}.
14.已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且x ＞0时，f (x )＜0，f (1)
＝－2.
(1)求证f(x)是奇函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
【答案】(1) 详见解析，(2) f(x)max＝6，f(x)min＝－6.
【解析】(1)证明令x＝y＝0，知f(0)＝0；再令y＝－x，
则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，所以f(x)为奇函数．
(2)解任取x1＜x2，则x2－x1＞0，所以f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)＜0，所以f (x)为减函数．而f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6.
所以f(x)max＝f(－3)＝6，f(x)min＝f(3)＝－6.。