2017届广东省阳东广雅中学高三下学期3月月考理科数学

数学理一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 1.设集合{}[]{}12,2,0,2,x A xx B y y x =-<==∈，，则A B ⋂＝A ．[]0,2B ．()1,3C ．[)1,3D ．()1,4 2.设复数12,z z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =A ．-5B ．5C ．4i -+D ．4i -- 3.已知命题p ：若 x y >，则x y -<-；命题q ：若x y >，则22x y >.在命题①;p q ∧②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()p q ⌝∨中，真命题是A. ①③B.①④C.②③D.②④4.下列函数中，既是偶函数又在区间()0,+∞上单调递减的是 A.1y x=B.xy e -= C.21y x =-+D.lg y x =5.已知向量((),3,a b m == ，若向量,a b的夹角为6π，则实数m =A.B.C.0D.6.已知,m n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,,l l αβ⊄⊄则A.α∥β且l ∥αB. α⊥β且l ⊥βC. α与β相交，且交线垂直于lD. α与β相交，且交线平行于l7.设12,F F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得121293,4PF PF b PF PF ab +=⋅=，则该双曲线的离心率为 A.43B.53C.94D.38.已知在平面直角坐标系中有一个点列：()()()()12220,1,,,,,n n n P P x y P x y n N *∈ .若点(),n n n P x y 到点()111,n n n P x y +++的变化关系为：11n n nn n nx y x y y x ++=-=+()n N *∈，则20132014P P =A.10042B.10052C.10062D.10072二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置. 9.不等式21210x x +-->的解集为_________________ 10.若曲线x y e -=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=，则点P 的坐标是__________11.若2，,,a b c ，9成等差数列，则c a -=_____________ 12.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张.如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是_____________70x y +-≤ 13.已知圆()()22:1,C x a y b -+-=平面区域Ω：30x y -+≥，若圆心C ∈Ω ,且圆C 与0y ≥x 轴相切，则22a b +的最大值为_____________14.（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x2C 交点的直角坐标为_____________15.（几何证明选讲）如图,在圆O 中直径AB 与弦足为E ，EF ⊥DB ,垂足为F,若6,1AB AE ==,则DF DB ⋅=____________三、解答题16.（本小题满分12分）已知函数()()()22cos cos 2f x a x x θ=++为奇函数，且04f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中(),0,a R θπ∈∈（1） 求,a θ的值；（2） 若2,,452f απαπ⎛⎫⎛⎫=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.17.（本小题满分12分）某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间x(单位：月)与这种鱼类的平均体重y(单位：千克)得到一组观测值，如下表：(1)图．(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y 关于变量x 的线性回归直线方程ˆˆya bx =+ ． (3)预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重(单位：千克)．（参考公式：1221()ni ii nii x y bnx yxn x ==--=∑∑ ，ˆay bx =-）体重y(千克)饲养时间x(月)18.（本小题满分14分）已知平行四边形ABCD ，4AB =，2AD =，60o DAB ∠=，E为AB 的中点，把三角形ADE 沿DE 折起至1A DE 位置，使得14AC =，F 是线段1AC 的中点． （1）求证：1//BF A DE 面； （2）求证：面1A DE ⊥面DEBC ；（3）求二面角1A DC E --的正切值．19.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11,2n n S n a n N *+=⋅∈，其中11a = （1）求数列{}n a 的通项公式; （2）若1132n n a b +=-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：14n T <20.（本小题满分14分）已知抛物线21:C x y =，圆222:(4)1C x y +-=． (1)在抛物线1C 上取点M ，2C 的圆周上取一点N ，求||MN 的最小值；(2)设00()P x y ，0(24)x ≤≤为抛物线1C 上的动点，过P 作圆2C 的两（第18题图）DCBAECD A 1FBE条切线，交抛物线1C 于A 、B 点，求AB 中点D 的横坐标的取值范围．21.（本小题满分14分）已知函数21()ln (1)2f x a x x a x =+-+．(1) 求函数()f x 的单调区间； (2) 证明：m n N +∈、时，1111()[]ln()ln(1)ln(2)ln(1)m m n n m n m n m n m +++++>++-+-+ ．参考答案一、选择题：二、填空题：9、14x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭10、()ln 2,2- 11、7212、96 13、37 14、()1,1 15、5三、解答题16、()()()()212cos cos 2f x a x x θ=++ 是奇函数，而212cos y a x =+为偶函数，()2cos 2y x θ∴=+为奇函数，又()0,θπ∈，则2πθ=()()2sin 22cos f x x a x ∴=-⋅+，由04f π⎛⎫= ⎪⎝⎭得()10a -+=，即1a =- （2）由（1）得()1sin 42f x x =-1243sin ,sin ;,cos 425525f απαααπα⎛⎫⎛⎫=-=-∴=∈∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin sin cos cos sin 333πππααα⎛⎫∴+=+=⎪⎝⎭解：(1)散点图如图所示………………………………3分（2）由题设3x =， 1.6y =，……………4分2()45n x =，24nxy =，5129.8i i i x y ==∑，52155i i x ==∑ (6)分故51522129.8240.585545()i ii ii x y nx yxn x b==--===--∑∑ …………………8分1.60.5830.14ˆay bx =-⨯=-=- ……………………………9分 故回归直线方程为ˆˆ0.580.14yx b a x =+=- …………10分 (3)当12x =时，ˆ0.58120.14 6.82y=⨯-=………………………11分 ∴饲养满12个月时，这种鱼的平均体重约为6.82千克．………………12分CE 为平行四边形ABCD 边AB 的中点∴//EB DC ，且12EB DC = ∴//EB GF ，且EB GF =∴四边形BFGE 是平行四边形∴//BF EGEG ⊂平面1A DE ，BF ⊄平面1A DE∴ //BF 平面1A DE ………………………4分（2）取DE 的中点H ，连接1A H CH 、 4AB =，2AD =，60o DAB ∠=，E 为AB 的中点 ∴DAE ∆为等边三角形，即折叠后1DA E ∆也为等边三角形∴1A H DE ⊥，且1A H =在DHC ∆中，1DH =，4DC =，60o HDC ∠=根据余弦定理，可得2222212cos 6014214132o HC DH DC DH DC =+-⋅=+-⨯⨯⨯=在1A HC ∆中，1A H =，，13=HC 14AC =，∴22211AC A H HC =+，即1A H HC ⊥又 11A H DEA H HCDE DEBC HC DEBC DE HC H⊥⎧⎪⊥⎪⎪⊂⎨⎪⊂⎪=⎪⎩ 面面，所以1A H DEBC ⊥面又 11A H A DE ⊂面∴面1A DE ⊥面DEBC ……………………………10分（3）过H 作HO DC ⊥于O ，连接1AO HO 、1A H DEBC ⊥ 面1A H DC ∴⊥又1A H HO H = 1DC A HO ∴⊥面1,DC AO DC HO ∴⊥⊥ ∴1AOH ∠是二面角1A DC E --的平面角 在1Rt A HO ∆中，1A H =，sin 60122o HO DH =⋅=⨯=，故1tan 2AOH ∠== CDA 1FBE H CDA 1F BE H O所以二面角1A DC E --的正切值为2……………………14分 19.解：（1）令1n =，得1212S a =，即1212a a =，由已知11a =，得22a =………1分把式子11,2n n S n a n N *+=⋅∈中的n用1n -替代，得到11(1),(2)2n n S n a n -=-⋅≥ 由111(1)21(1)(2)2n n n n S n a n S n a n +-⎧=⋅≥⎪⎪⎨⎪=-⋅≥⎪⎩可得1111(1)22n n n n S S n a n a -+-=⋅--⋅即111(1)22n n n a n a n a +=⋅--⋅，即111(1)22n n n a n a ++⋅=⋅即得：11,(2)n n a n n a n++=≥，……………………4分所以：1312213,(3)122n n n n a a a n n n a a a n n ----⋅⋅⋅=⋅⋅⋅≥-- 即2,(3)2n a nn a =≥………………6分 又22a = ，所以3n a = 又11a = ，,n a n n N *∴=∈……………7分 （2）n a n = ,11113232n n a n b ++∴==-- 111113233223+3223n n n n n nb +===≤-⋅-⋅-⋅ ……………………11分123123123111111111111()(1)2323232323333434n n nn n T b b b b ∴=+++<++++=++++=-<⨯⨯⨯⨯ 20.(1)．设00()M x y ，，则200x y =，2(04)C ，则2||MC ===2≥，当且仅当7()22M ±，是取等号………3分∴||MN 的最小值为2||MC 的最小值减1，1…………………5分(2)． 由题设知，切线与x 轴不垂直，200()P x x ，0(24)x ≤≤，∴设切线21200:()l y k x x x =-+， 设221122()()A x x B x x ，，，，AB 中点()D x y ，，则122x x x +=将12l ，与1C 的方程联立消y 得22000x kx kx x -+-= 即00()[()]0x x x k x ---=得0x x =（舍）或0x k x =- 设二切线的斜率为12k k 、，则110x k x =-，220x k x =-∴121202x x k k x +=+-………………………………………………………………………8分又2(04)C ，到12l ，的距离为1，有21=，两边平方得222220000(1)2(4)(4)10x k x x k x -+-+--=* “”……………9分则12k k 、是*“”的二根，则20012202(4)1x x k k x -+=-- (10)分则200012120022002(4)62211x x x x x k k x x x x -+=+-=-=--- ∴020003311x x x x x =-=---……………………………………………………11分001x x -在0[24]x ∈，上为增函数 ∴00311524x x ≤-≤， ∴004121153x x ≤≤-∴034215x x -≤-≤-- (13)分21. (1)．()(1)a f x x a x '=+-+2(1)(1)()x a x a x x a x x-++--==(0)x >…………1分①0a ≤时，当01x <<时()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．故()f x 的减区间是(01)，，增区间是(1)+∞，．……………………………3分 ② 01a <<时，当0x a <<或1x >时()0f x '>；当1a x <<时()0f x '<故()f x 的减区间是(1)a ，，增区间是(0)a ，和(1)+∞，．………………………5分- 11 - ③1a =时，2(1)()0x f x x -'=>，故()f x 的增区间是(0)∞，+…………………7分④1a >时，当01x <<或x a >时()0f x '>；当1x a <<时()0f x '<故()f x 的减区间是(1)a ，，增区间是(01)，和()a +∞，．……………………………8分 ((2)证明：当12a =-时，2111()ln 0222f x x x x =-+-≥，当且仅当1x =时取等号，则2ln x x x ≤-………………………………10分 当1x >时，上不等式可变形为211111ln (1)1x x x x x x x>==----……………………12 分别令123x m m m m n =++++ ，，，， 得1111ln()ln(1)ln(2)ln(1)m n m n m n m ++++++-+-+ 111111()()()1211m n m n m n m n m m >-+-++-+-++-+-+ 11()n m m n m m n =-=++………13分∴m n N +∈、时，1111()[]ln()ln(1)ln(2)ln(1)m m n n m n m n m n m +++++>++-+-+ ………14分。