第三章 方程和方程组

第三章：方程和方程组基础知识点：一、方程有关概念1、方程：含有未知数的等式叫做方程。

2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。

3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。

4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。

二、一元方程 1、一元一次方程（1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x 是未知数，a 、b 是已知数，a ≠0） （2）一玩一次方程的最简形式：ax=b （其中x 是未知数，a 、b 是已知数，a ≠0）（3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。

（4）一元一次方程有唯一的一个解。

2、一元二次方程（1）一元二次方程的一般形式：02=++c bx ax （其中x 是未知数，a 、b 、c 是已知数，a ≠0）（2）一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法（3）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不用配方法。

（4）一元二次方程的根的判别式：ac b 42-=∆ 当Δ＞0时⇔方程有两个不相等的实数根； 当Δ=0时⇔方程有两个相等的实数根； 当Δ< 0时⇔方程没有实数根，无解； 当Δ≥0时⇔方程有两个实数根（5）一元二次方程根与系数的关系：若21,x x 是一元二次方程02=++c bx ax 的两个根，那么：ab x x -=+21，ac x x =⋅21 （6）以两个数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：0)(21212=++-x x x x x x三、分式方程（1）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

（2）分式方程的解法：一般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。

特殊方法：换元法。

（3）检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就是原方程的根；使得最简公分母为0的就是原方程的增根，增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。

四、方程组1、方程组的解：方程组中各方程的公共解叫做方程组的解。

2、解方程组：求方程组的解或判断方程组无解的过程叫做解方程组3、一次方程组：（1）二元一次方程组： 一般形式：⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a （212121,,,,,c c b b a a 不全为0）解法：代入消远法和加减消元法解的个数：有唯一的解，或无解，当两个方程相同时有无数的解。

（2）三元一次方程组：解法：代入消元法和加减消元法4、二元二次方程组：（1）定义：由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组以及由两个二元二次方程组成的方程组叫做二元二次方程组。

（2）解法：消元，转化为解一元二次方程，或者降次，转化为二元一次方程组。

考点与命题趋向分析经典例题：一．一元二次方程的解法 1、解下列方程：（1）2)3(212=+x ；（2）1322=+x x ；（3）22)2(25)3(4-=+x x 分析：（1）用直接开方法解；（2）用公式法；（3）用因式分解法 解：略[规律总结]如果一元二次方程形如)0()(2≥=+n n m x ，就可以用直接开方法来解；利用公式法可以解任何一个有解的一元二次方程，运用公式法解一元二次方程时，一定要把方程化成一般形式。

2、解下列方程：（1）)(0)23(2为未知数x b a x a x =+--；（2）08222=-+a ax x 分析：（1）先化为一般形式，再用公式法解；（2）直接可以十字相乘法因式分解后可求解。

[规律总结]对于带字母系数的方程解法和一般的方程没有什么区别，在用公式法时要注意判断△的正负。

二．分式方程的解法： 3.解下列方程： （1）分式方程100602020v v=+-的解是（ ） A ．v=-20B ．v=5C ．v=-5D ．v=20（2），分式方程1412112-=+--x x x 的解是（ ） A.0=x B.1-=x C.1±=x D.无解 （3）211x x x -=-； （4）111122-+=-x x； （5）48122-=--x x x （6）526222=+++x x x x 分析：（1）用去分母的方法；（2）用换元法 解：略[规律总结]一般的分式方程用去分母法来解，一些具有特殊关系如：有平方关系，倒数关系等的分式方程，可采用换元法来解。

三．方程组4.解下列方程组：（1）326x y x y +=⎧⎨-=⎩ ； （2）分析：（1）用加减消元法消x 较简单；（2）应该先用加减消元法消去y ，变成二元一次方程组，较易求解。

解：略[规律总结]加减消元法是最常用的消元方法，消元时那个未知数的系数最简单就先消那个未知数。

5．已知24,328.a b a b +=⎧⎨+=⎩则a b +等于（ ）（A ）3 （B ）83（C ）2 （D ）16.已知{21x y ==是二元一次方程组{81mx ny nx my +=-=的解，则2m-n 的算术平方根为（ ）A.2± C.2 D.4 7.已知－2x m －1y 3与12x n y m ＋n是同类项，那么(n －m)2012=_______．四．根的判别式及根与系数的关系8.已知a 、b 是方程0122=--x x 的两个根，求下列各式的值： （1）22b a +；（2）ba 11+ 分析：先算出a+b 和ab 的值，再代入把（1）（2）变形后的式子就可求出解。

[规律总结]此类题目都是先算出两根之和和两根之积，再把要求的式子变形成含有两根之和和两根之积的形式，再代入计算。

但要注意检验一下方程是否有解。

9．已知关于x 的一元二次方程04222=-++k x x 有两个不相等的实数根 （1）求k 的取值范围；（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值。

10．已知：关于x 的一元二次方程mx 2﹣（4m +1）x +3m +3=0 （m ＞1）． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x 1，x 2（其中x 1＞x 2），若y 是关于m 的函数，且y =x 1﹣3x 2，求这个函数的解析式；（3）将（2）中所得的函数的图象在直线m =2的左侧部分沿直线m =2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当关于m 的函数y =2m +b 的图象与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．练习三一．选择题1.已知关于x 的方程2x+a 一9=0的解是x=2，则a 的值为( )A.2B.3C.4D.52.关于x 的方程组⎩⎨⎧=+=n my x m x y -3的解是⎩⎨⎧==11y x ，则|m-n|的值是（ ）A.5B. 3C. 2D. 13．楠溪江某景点门票价格：成人票每张70元，儿童票每张35元。

小明买20张门票共花了1225元，设其中有x 张成人票，y 张儿童票，根据题意，下列方程组正确的是（ ） A. 2035701225x y x y +=⎧⎨+=⎩ B.2070351225x y x y +=⎧⎨+=⎩ C. 1225703520x y x y +=⎧⎨+=⎩ D.1225357020x y x y +=⎧⎨+=⎩ 4.铜仁市对城区主干道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完．设原有树苗x 棵，则根据题意列出方程正确的是（ ）A. )1(6)121(5-=-+x xB. )1(6)21(5-=+x xC. x x 6)121(5=-+D. x x 6)21(5=+5.李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟．他骑自行车的平均速度是250米/分钟，步行的平均速度是80米/分钟．他家离学校的距离是2900米．如果他骑车和步行的时间分别为x ，y 分钟，列出的方程是（ ）A ．14250802900x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ B ．158********x y x y +=+=⎧⎨⎩ C ．14802502900x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ D ．152********x y x y +=+=⎧⎨⎩ 6．为了丰富同学们的课余生活，体育委员小强到体育用品商店购羽毛球拍和乒乓球拍，若购1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，小强一共用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍，若设每副羽毛球拍为x 元，每副乒乓球拍为y 元，列二元一次方程组得（ ）A ．B ．C ．D ．二．填空题7.方程组326x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为 。

8.方程组⎩⎨⎧=--=+82313y x y x 的解为 。

-三．解答题 9. 解分式方程：13932=-+-x xx ．10. 已知关于x 的一元二次方程032)1(222=--++-k k x k x 有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）当k 取最小的整数时，求抛物线32)1(222--++-=k k x k x y 的顶点坐标以及它与x 轴的交点坐标； （3）将(2)中求得的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图象的 其余部分不变，得到一个新图象． 请你画出这个新图象，并求出新图象 与直线m x y +=有三个不同公共点 时m 的值．11. ．已知关于x 的一元二次方程 23(1)230mx m x m -+++=.（1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，当关于x 的抛物线23(1)23y mx m x m =-+++与x 轴交点的 横坐标都是整数，且4x <时，求m 的整数值．参考答案1.D2.D3. B4. A5. D6. B7.30x y =⎧⎨=⎩；8.⎩⎨⎧==-1y 3x 9. 解：9)3(32-=++x x x 93322-=++x x x4-=x 经检验，4-=x 是原分式方程的根. 10.解：（1）由题意，得01616)32(4)1(422>+=---+=∆k k k k ， ∴1->k ． ∴k 的取值范围为1->k ． （2）∵1->k ，且k 取最小的整数，∴0=k ．∴4)1(3222--=--=x x x y ， 则抛物线的顶点坐标为)4,1(-∵322--=x x y 的图象与x 轴相交 ∴0322=--x x ，∴0)1)(3(=+-x x ， ∴1-=x 或3=x ， ∴抛物线与x 轴相交于)0,1(-A ，)0,3(B ．（3）翻折后所得新图象如图所示.平移直线m x y +=知: 直线位于1l 和2l 时，它与新图象有三个不同的公共点．① 当直线位于1l 时，此时1l 过点)0,1(-A ， ∴m +-=10，即1=m ． ② 当直线位于2l 时，此时2l 与函数)31(322≤≤-++-=x x x y 的图象有一个公共点， ∴方程322++-=+x x m x ，即032=+--m x x 有两个相等实根，∴0)3(41=--=∆m ， 即413=m ． 当413=m 时，2121==x x 满足31≤≤-x ， 由①②知1=m 或413=m ． 11. 解：（1）由题意 m ≠ 0，()()()22=41433=21,m m m m ∆+-+-∵ 方程有两个不相等的实数根，∴ △>0．即 22[3(1)]4(23)(3)0m m m m -+-+=+>． 得 m ≠﹣3． ∴ m 的取值范围为m ≠0和m ≠﹣3；（2）设y =0，则23(1)230mx m x m -+++=．∵ 2(3)m ∆=+， ∴ 33(3)2m m x m+±+=．∴ 123m x m+=，21x =． 当 123m x m+=是整数时，可得m =1或m =-1或m =3． ∵ 4x <， ∴ m 的值为﹣1或3 ．。