直线和圆的位置关系(初三复习)

C
AB 2 AC 2 62 32 3 3cm
例2：已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B， OC平行于弦AD．求证：DC是⊙O的切线．
• 分析：要证DC是⊙O的切线，需证DC垂直于过切点的直 径或半径，因此要作辅助线半径OD，利用平行关系推出 ∠3＝∠4，又因为OD＝OB，OC为公共边，因此 △CDO≌△CBO，所以∠ODC＝∠OBC＝90°． • 证明：连结OD． • ∵OA＝OD，∴∠1＝∠2， • ∵AD∥OC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． • ∴∠3＝∠4． D • ∵OD＝OB，OC＝OC， 2 • ∴△ODC≌△OBC． 4 3 A1 • ∴∠ODC＝∠OBC． O • ∵BC是⊙O的切线， • ∴∠OBC＝90°． • ∴∠ODC＝90°． • ∴DC是⊙O的切线．
直线和圆的位置 图形 相交 r d •O 相切 •O r d 相离 • r d
O
公共点个数 圆心到直线距离 d与半径r的关系 公共点名称 直线名称
2
d<r
1
d=r
0
d>r
交点
割线
切点
切线
无
无
一、切线的证明
小结：
1、如何判定一条直线是已知圆的切线？
(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； (2)和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； (d=r) (3)过半径外端并且和半径垂直的直线是圆的切线；
2.圆的外切四边形的两组对边的和相等
例1 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于
点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm， 求AF、BD、CE的长.
解: ∵ ⊙O与△ABC的三边都相切
∴AF＝AE,BD＝BF,CE＝CD
设AF=x(cm), BD=y(cm),CE＝z(cm) 则有 x＋y＝9 y＋z＝14 x＋z＝13 x＝4 解得 y＝5 z＝9
A 、经过圆上的一点； B、 垂直于半径；
切线的性质：
1、经过切点的半径垂直与圆的切线 ２、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.
B
O
A
T
例１ 已知 Rt ABC 的斜边AB=6cm,直角AC=3cm,以点C为圆 心，半径分别为２cm和4cm画两个圆，这两个圆与AB有怎 样的位置关系？当半径为多长时，AB与圆C相切？
A 求证： 0和AC也相切 解析：由于 O与AC的公共点没有确定，所以可作OE AC于E，
然后证明OE等于 O的半径OD 证明：连接OA OD，作OE AC于E AB AC , O是BC的中点， AO平分BAC. O切AB于D, OD AB, 又 OE AC , OE OD, O与AC相切.
二、切线长定理
B
小
结：
E
1.切线长定理 从 圆外一点引圆的两 条切线，它们的切 线长相等，圆心和 这一点的连线平分 两条切线的夹角。
O
。
C D
P
A ∵PA、PB分别切⊙O于A、B ∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB OP垂直平分AB 切线长定理为证明线段相等，角 相等，弧相等，垂直关系提供了理论 依据。必须掌握并能灵活应用。
解析：利用d和r的大小关系判断直线与圆的位置 关系时，关键是准确确定d和r，利用面积法求斜边 上的高是一种常用方法． A D
B
解：过点c作CD AB于D，入图，在Rt ABC中，BC 根据三角形的面积公式，有CD AB AC BC , CD 当r 2cm时，CD>r,圆与AB相离； 当r 4cm时，CD〈r,圆与AB相交： 当r CD 3 3 cm时，圆与AB相切； 2 AC BC 3 3 3 3 3 cm AB 6 2
直线和圆的位置关系
北京市第一六六中学 张 韬
直线和圆的位置关系
•o
l
直线和圆有两个公共点时，叫做直线 和圆相交。这时直线叫做圆的割线
•o
M
l
直线和圆有唯一公共点时，叫做直 线和圆相切。这时直线叫做圆的切 线。唯一的公共点叫切点。 直线和圆没有公共点时，叫做直 线和圆相离。
•o
l
直线和圆的位置关系判定方法
分析：⊙D与BC交点的个数，决定于点D到BC的距离，作DE⊥BC于E， 计算DE的长度，即可作出判断。
解：作DE⊥BC于E ∵AD∥BC ∴∠ADC＋∠C＝180° 又∠ADC＝135°，∴∠C＝45° ∴△DEC为等腰直角三角形 2 ∵CD＝8 ∴DE＝8，即点D到BC的距离是8个单位， 因此⊙D与BC只有一个交点。
规律总结:
• 证明一条直线是圆的切线,常常要 添加辅助线,如果直线与圆有一个 公共点,则连接这点和圆心,证明直 线垂直于经过这点的半径.
练一练
1、如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，∠BAD＝∠B
＝30°，边BD交圆于点D。BD是⊙O的切线吗？为什么？
解：BD是⊙O的切线 。连结OD。 ∵ OA＝OD ， ∠BAD＝30°(已知)
C
B
例3：设c是线段AB的中点，四边形BCDE是以BC 为一边的正方形。作以B为圆心，BD长为半径的 D 圆B,连接AD。求证：AD是 E 圆B的切线。
• 证明：连接BD.
A C
四边形BCDE是正方形， CD=CB. CA=CB, CD=CA=CB. ADB=900 , 即AD BD. AD是 0的切线。
∴∠ODA＝∠A＝30°(等边对等角)
∴∠BOD＝∠A＋∠ODA＝60° 又∵∠B＋∠BOD＋∠BDO ＝ 180° A
●
D
O
C
B
∴∠BDO＝180°－∠B－∠BOD＝90°
∴ 直线BD⊥OD 又∵直线BD 经过⊙O上的D点 ∴直线BD是⊙O的切线
例3：如图，在 ABC中，AB=AC,O是BC的中点，以O为圆心的 0切AB于D。
B
D
E
O
C
规律总结：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 证明一条直线是圆的切线，如果直线与圆 的公共点没有确定，则应过圆心作直线的 垂线段，然后证明这条线段等于这个圆的 半径。 • 这道题综合运用了切线的性质定理和判定 定理。欲证是圆0的切线，根据条件，采用 “做垂线段证半径”法。
练习:如图，直角梯形ABCD，AD∥BC，∠ADC ＝135°，DC＝8 2 以D为圆心，以8个单位长为半径作 ⊙D，试判定⊙D与BC有向几个交点？