2015-2016年山东省青岛市胶州市初三上学期期末数学试卷及答案

2015-2016学年山东省青岛市胶州市初三上学期期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分，每小题只有一个正确选项）1．（3分）把等式ad=bc写成比例式，下列写法错误的是（）A．=B．=C．=D．=2．（3分）如图，正方体表面上画有一条黑色线条，则其俯视图是（）A．B．C．D．3．（3分）如图是一些完全相同的小正方体搭成的几何体的三视图．这个几何体只能是（）A．B．C．D．4．（3分）抛物线y=2（x+4）2﹣1的对称轴是（）A．直线x=4B．直线x=﹣4C．直线x=1D．直线x=﹣1 5．（3分）如果两个相似三角形的对应中线的比为1：2，且它们的面积之和为30，则其中较小三角形的面积为（）A．6B．10C．24D．206．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则下列比值：，，，，其中可以表示cosB的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，边OC在y轴上．如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于OABC的面积的，则点B的对应点B′的坐标为（）A．（2，1）B．（2，1）或（﹣2，﹣1）C．（1，2）D．（1，2）或（﹣1，﹣2）8．（3分）若二次函数y=ax2﹣2x﹣1的图象和x轴有交点，则a的取值范围为（）A．a＞﹣1B．a＞﹣1且a≠0C．a≥﹣1D．a≥﹣1且a≠0 9．（3分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从下列条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中，再选两个做为补充，使▱ABCD变为正方形．下面四种组合，错误的是（）A．①②B．①③C．②③D．②④10．（3分）反比例函数y=（k≠0）的图象在直角坐标系中的位置如图，若点A （﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）的在函数y=（k≠0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+x﹣k=0的一个根是x=1，则另一个根是．12．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，若2AC=AB，则∠A=°．13．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，如果AB=3，BC=4，那么OD的长度为．14．（3分）在平面立角坐标系中，如果将抛物线y=x2﹣2x﹣1向上平移，使它经过点（0，2），则新抛物线的解析式为．15．（3分）如图，四边形ABCD中，AB=6，BC=4，AD=2，CD=6，且∠B=∠D=60°．则四边形ABCD的面积为．16．（3分）如图，正方形ABCD中，AB=2，E为对角线BD上一点，且DE=AD，EF⊥AB于F，则EF=．17．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=2（a≠0）的解为．18．（3分）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB=米．三、解答题（共8小题，满分66分）19．（8分）解方程：①（2x+3）2=2x+3②x2+4x﹣2=0（用配方法）20．（6分）我们知道，蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流I （A）与电阻R（Ω）成反比例．已知电阻R=7.5Ω时，电流I=2A．（1）求确定I与R之间的函数关系式并说明此蓄电池的电压是多少；（2）若以此蓄电池为电源的用电器额定电流不能超过5A，则该电路中电阻的电阻值应满足什么条件？21．（6分）如图，某景区的湖中有一个小岛A，湖边有一条笔直的观光大道BC，景区管理部门决定修建一座桥使小岛与观光大道相连接．现测得如下数据：BC=78m，∠ABC=38.5°，∠ACB=26.5°．请你帮助景区管理部门计算应该在距离B点多远的地方建桥，才能使桥的长度最短？（结果保留整数）参考数据：sin38.5°≈0.62 cos38.5°≈0.75 tan38.5°≈0.80sin26.5°≈0.45 cos26.5°≈0.89 tan26.5°≈0.50．22．（8分）小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做掷骰子（质地均匀的正方体）实验．（1）他们在一次实验中共掷骰子60次，试验的结果如下：朝上的点数123456出现的次数79682010①填空：此次实验中“5点朝上”的频率为；②小红说：“根据实验，出现5点朝上的概率最大．”她的说法正确吗？为什么？（2）小颖和小红在实验中如果各掷一枚骰子，那么两枚骰子朝上的点数之和为多少时的概率最大？试用列表或画树状图的方法加以说明，并求出其最大概率．23．（8分）一种有机绿色农产品在开始上市时，市场价格为20元/千克，某公司花40000元收购了2000千克存放入冷库中．据预测，该农产品的市场价格每天每千克将上涨0.5元，已知冷库存放这批农产品时，每天需要支出各种费用合计为280元．而且在冷库中最多能保存60天，同时，平均每天将有8千克损坏不能出售．将这批农产品存放多少天后将这批农产品一次性全部出售，该公司可获得利润18000元？24．（8分）如图，在▱ABCD中，AC⊥CD．（1）延长DC到E，使CE=CD，连接BE，求证：四边形ABEC是矩形；（2）若点F，G分别是BC，AD的中点，连接AF，CG，试判断四边形AFCG是什么特殊的四边形？并证明你的结论．25．（10分）如图，把一张长10cm ，宽8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．设剪去的正方形的边长为xcm ．（1）要使折成长方体盒子的底面积为48cm 2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）设折成长方体盒子的侧面积为y （cm 2），求y 关于x 的函数关系式，并确定折成长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．26．（12分）如图，在△ABC 中，AB=AC=10cm ，BC=12cm ，点P 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1cm 的速度向点B 匀速运动．与此同时，点M 从点B 出发，在线段BA 上以每秒lcm 的速度向点A 匀速运动．过点P 作PN ⊥BC ，交AC 点N ，连接MP ，MN ．当点P 到达BC 中点时，点P 与M 同时停止运动．设运动时间为t 秒（t ＞0）．（1）当t 为何值时，PM ⊥AB ．（2）设△PMN 的面积为y （cm 2），求出y 与x 之间的函数关系式．（3）是否存在某一时刻t ，使S △PMN ：S △ABC =1：5？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．2015-2016学年山东省青岛市胶州市初三上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分，每小题只有一个正确选项）1．（3分）把等式ad=bc写成比例式，下列写法错误的是（）A．=B．=C．=D．=【解答】解：∵ad=bc，∴可以写成比例式的形式为：=，=，=，此时内项之积与外项之积正好符合ad=bc，则选项A，B，C都正确，不合题意，故只有选项D错误．故选：D．2．（3分）如图，正方体表面上画有一条黑色线条，则其俯视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从上面看俯视图的下面是一个矩形，上面是一个矩形．故选：C．3．（3分）如图是一些完全相同的小正方体搭成的几何体的三视图．这个几何体只能是（）A．B．C．D．【解答】解：由俯视图易得最底层有4个正方体，第二层有1个正方体，那么共有4+1=5个正方体组成，由主视图可知，一共有前后2排，第一排有3个正方体，第二排有2层位于第一排中间的后面；故选：A．4．（3分）抛物线y=2（x+4）2﹣1的对称轴是（）A．直线x=4B．直线x=﹣4C．直线x=1D．直线x=﹣1【解答】解：∵抛物线y=2（x+4）2﹣1是顶点式，∴顶点坐标为（﹣4，﹣1），对称轴是直线x=﹣4．故选：B．5．（3分）如果两个相似三角形的对应中线的比为1：2，且它们的面积之和为30，则其中较小三角形的面积为（）A．6B．10C．24D．20【解答】解：∵两个相似三角形的对应中线的比为1：2，∴两个相似三角形的相似比比为1：2，∴两个相似三角形的面积比为1：4，设较小三角形的面积为x，则较大三角形的面积为4x，由题意得，x+4x=30，解得，x=6，故选：A．6．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则下列比值：，，，，其中可以表示cosB的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ACD=∠B，在Rt△ABC中，cosB=，在Rt△DBC中，cosB=，在Rt△ADC中，cos∠ACD=，∴，，可以表示cosB，故选：C．7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，边OC在y轴上．如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于OABC的面积的，则点B的对应点B′的坐标为（）A．（2，1）B．（2，1）或（﹣2，﹣1）C．（1，2）D．（1，2）或（﹣1，﹣2）【解答】解：∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于OABC的面积的，∴两矩形的相似比为1：2，∵B点的坐标为（4，2），∴点B′的坐标是（2，1）或（﹣2，﹣1）．故选：B．8．（3分）若二次函数y=ax2﹣2x﹣1的图象和x轴有交点，则a的取值范围为（）A．a＞﹣1B．a＞﹣1且a≠0C．a≥﹣1D．a≥﹣1且a≠0【解答】解：∵二次函数y=ax2﹣2x﹣1的图象和x轴有交点，∴△=b2﹣4ac=4+4a≥0，a≠0，∴a≥﹣1，且a≠0；故选：D．9．（3分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从下列条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中，再选两个做为补充，使▱ABCD变为正方形．下面四种组合，错误的是（）A．①②B．①③C．②③D．②④【解答】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；B、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；C、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；故选：C．10．（3分）反比例函数y=（k≠0）的图象在直角坐标系中的位置如图，若点A （﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）的在函数y=（k≠0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1【解答】解：∵反比例函数y=（k≠0）的图象在二、四象限，∴k＜0，∴点A（﹣1，y1）在第二象限，∴y1＞0，∵3＞2＞0，∴B（2，y2），C（3，y3）两点在第四象限，∴y2＜0，y3＜0，∵函数图象在第四象限内为增函数，∴y2＜y3＜0．∴y1，y2，y3的大小关系为y2＜y3＜y1．故选：D．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+x﹣k=0的一个根是x=1，则另一个根是﹣2．【解答】解：设关于x的一元二次方程x2+x﹣k=0的另一个根为x2，则依题意得：1+x2=﹣1，解得x2=﹣2．故答案是：﹣2．12．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，若2AC=AB，则∠A=30°．【解答】解：如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，2AC=AB，∴cosA==，∴∠A=30°．故答案为：30．13．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，如果AB=3，BC=4，那么OD的长度为 2.5．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，OD=OB=BD，AD=BC=4，∴BD===5，∴OD=BD=2.5；故答案为：2.5．14．（3分）在平面立角坐标系中，如果将抛物线y=x2﹣2x﹣1向上平移，使它经过点（0，2），则新抛物线的解析式为y=x2﹣2x+2．【解答】解：设平移后的抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣1+b，把点（0，2）代入，得2=﹣1+b，解得b=3，则该函数解析式为y=x2﹣2x+2．故答案是：y=x2﹣2x+2．15．（3分）如图，四边形ABCD中，AB=6，BC=4，AD=2，CD=6，且∠B=∠D=60°．则四边形ABCD的面积为9．【解答】解：连接AC，∵BC+AD=6，∴S ABCD=S△ABC+S△ADC=AB•BCsinB+•AD•CDsinD=×=，故答案为9．16．（3分）如图，正方形ABCD中，AB=2，E为对角线BD上一点，且DE=AD，EF⊥AB于F，则EF=2﹣．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AD=AB=2，∴BD==2，∵DE=AD，∴BE=2﹣2，∵EF⊥AB，∠ABD=45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF=BE=2﹣，故答案为：2﹣．17．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=2（a≠0）的解为x1=0，x2=﹣2．【解答】解：抛物线的对称轴为x=﹣1，与y轴交于点（0，2），当y=2时，ax2+bx+c=2（a≠0），即纵坐标为2的点是（0，2）或（﹣2，2），∴x=0或x=﹣2，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=2的解为x1=0，x2=﹣2；故答案为：x1=0，x2=﹣2．18．（3分）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB=6米．【解答】解：∵，当王华在CG处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即=，当王华在EH处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即==，∴=，∵CG=EH=1.5米，CD=1米，CE=3米，EF=2米，设AB=x，BC=y，∴===，即=，即2（y+1）=y+5，解得：y=3，则=，解得，x=6米．即路灯A的高度AB=6米．三、解答题（共8小题，满分66分）19．（8分）解方程：①（2x+3）2=2x+3②x2+4x﹣2=0（用配方法）【解答】解：①移项得：（2x+3）2﹣（2x+3）=0，（2x+3）（2x+3﹣1）=0，2x+3=0，2x+3﹣1=0，x1=﹣，x2=﹣1；②x2+4x﹣2=0，x2+4x=2，x2+4x+4=2+4，（x+2）2=6，开方得：x+2=±，解得：x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．20．（6分）我们知道，蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流I （A）与电阻R（Ω）成反比例．已知电阻R=7.5Ω时，电流I=2A．（1）求确定I与R之间的函数关系式并说明此蓄电池的电压是多少；（2）若以此蓄电池为电源的用电器额定电流不能超过5A，则该电路中电阻的电阻值应满足什么条件？【解答】解：（1）根据题意，设I=，将R=7.5，I=2代入，得：U=15，故I=，此蓄电池的电压是15V；（2）在I=中，当I=5A时，R=3Ω，∵15＞0，∴在第一象限内，I随R的增大而减小，∴如果要求以此蓄电池为电源的用电器额定电流不能超过5A时，则该电路中电阻的电阻值应不低于3Ω．21．（6分）如图，某景区的湖中有一个小岛A，湖边有一条笔直的观光大道BC，景区管理部门决定修建一座桥使小岛与观光大道相连接．现测得如下数据：BC=78m，∠ABC=38.5°，∠ACB=26.5°．请你帮助景区管理部门计算应该在距离B点多远的地方建桥，才能使桥的长度最短？（结果保留整数）参考数据：sin38.5°≈0.62 cos38.5°≈0.75 tan38.5°≈0.80sin26.5°≈0.45 cos26.5°≈0.89 tan26.5°≈0.50．【解答】解：作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°．设AD=xm，在Rt△BAD中，tan∠ABD=，∴BD=≈=x，在Rt△ACD中，tan∠ACD=，∴DC=≈=2x，又∵BC=78m，∴x+2x=78，解得：x=24，即AD=24m，∴BD=30m．答：应该在距离B点约30m远的地方建桥，才能使桥的长度最短．22．（8分）小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做掷骰子（质地均匀的正方体）实验．（1）他们在一次实验中共掷骰子60次，试验的结果如下：朝上的点数123456出现的次数79682010①填空：此次实验中“5点朝上”的频率为；②小红说：“根据实验，出现5点朝上的概率最大．”她的说法正确吗？为什么？（2）小颖和小红在实验中如果各掷一枚骰子，那么两枚骰子朝上的点数之和为多少时的概率最大？试用列表或画树状图的方法加以说明，并求出其最大概率．【解答】解：（1）①20÷60=；②说法是错误的．在这次试验中，“5点朝上”的频率最大并不能说明“5点朝上”这一事件发生的概率最大．因为当试验的次数较大时，频率稳定于概率，但并不完全等于概率．（2）（1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1），由表格可以看出，总情况数有36种，之和为7的情况数最多，为6种，所以P（点数之和为7）==．23．（8分）一种有机绿色农产品在开始上市时，市场价格为20元/千克，某公司花40000元收购了2000千克存放入冷库中．据预测，该农产品的市场价格每天每千克将上涨0.5元，已知冷库存放这批农产品时，每天需要支出各种费用合计为280元．而且在冷库中最多能保存60天，同时，平均每天将有8千克损坏不能出售．将这批农产品存放多少天后将这批农产品一次性全部出售，该公司可获得利润18000元？【解答】解：设存放x天后将这批农产品一次性全部出售，该公司可获得利润18000元．根据题意得：（20+0.5x）（2000﹣8x）﹣280x﹣40000=18000，整理得：x2﹣140x+4500=0解得：x1=50，x2=90．∵最多能保存60天，∴x=50．答：这批农产品存放50天后将这批农产品一次性全部出售，该公司可获得利润18000元．24．（8分）如图，在▱ABCD中，AC⊥CD．（1）延长DC到E，使CE=CD，连接BE，求证：四边形ABEC是矩形；（2）若点F，G分别是BC，AD的中点，连接AF，CG，试判断四边形AFCG是什么特殊的四边形？并证明你的结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵CD=CE，∴CE∥AB，CE=AB，∴四边形ABEC是平行四边形，∵AC⊥CD，∴∠ACE=90°，∴四边形ABEC是矩形；（2）四边形AFCG是菱形，证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=CB，AD∥CB，∵点F、G分别是BC、AD的中点，∴AG=DG=AD，BF=CF=BC，∴AG=CF，∴四边形AFCG是平行四边形，∵∠ACD=90°，G为AD的中点，∴AG=CG，∴四边形AFCG是菱形．25．（10分）如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．设剪去的正方形的边长为xcm．（1）要使折成长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）设折成长方体盒子的侧面积为y（cm2），求y关于x的函数关系式，并确定折成长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．【解答】解：（1）设正方形的边长为xcm．则（10﹣2x）（8﹣2x）=48，即x2﹣9x+8=0，解得x1=8（不合题意，舍去），x2=1．答：剪去的正方形的边长为1cm．（2）正方形的边长为xcm，设盒子的侧面积为ycm2，则y与x的函数关系式为：y=2（10﹣2x）x+2（8﹣2x）x，即y=﹣8x2+36x．（0＜x＜4）改写为y=﹣8（x﹣）2+，∴当x=2.25时，y最大=40.5．即当剪去的正方形的边长为2.25cm 时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm 2．26．（12分）如图，在△ABC 中，AB=AC=10cm ，BC=12cm ，点P 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1cm 的速度向点B 匀速运动．与此同时，点M 从点B 出发，在线段BA 上以每秒lcm 的速度向点A 匀速运动．过点P 作PN ⊥BC ，交AC 点N ，连接MP ，MN ．当点P 到达BC 中点时，点P 与M 同时停止运动．设运动时间为t 秒（t ＞0）．（1）当t 为何值时，PM ⊥AB ．（2）设△PMN 的面积为y （cm 2），求出y 与x 之间的函数关系式．（3）是否存在某一时刻t ，使S △PMN ：S △ABC =1：5？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）过点A 作AD ⊥BC 于D ，∵AB=AC ，∠ADB=90°，∴BD=CD=6， ∴=8，∵MP ⊥AB ，∴∠BMP=∠ADB=90°，∵∠B=∠B ，∴△BMP ∽△BDA ， ∴， ∴解得t=4.5， ∴当t 为4.5时，PM ⊥AB（2）过点M 作ME ⊥NP 于E ，交AD 于F ．∵BC ⊥NP ，∴∠ADC=∠NPC=90°，∵∠C=∠C ，第21页（共21页） ∴△CPN ∽△CDA ， ∴， ∴， ∴PN=，由△AMF ∽△ABD ，可得=，即=， ∴MF=，∵∠BPN=∠ADP=∠MEP=90°，∴四边形DPEF 是矩形，∴EF=DP=6﹣t ，∴ME=MF +EF=（10﹣t ）+6﹣t=12﹣t ， ∴S △MPN =PN•ME=（12﹣t ）=﹣t 2+8t ，（0＜t ≤6）， （3）存在． 由题意：﹣t 2+8t=××12×8， 解得到t=或6．所以t=秒或6秒时，S △PMN ：S △ABC =1：5．。