第26章反比例函数章末知识小结-2020-2021学年九年级数学下册随堂讲练(人教版)(含答案)
初三数学下册(人教版)第二十六章反比例函数26.1知识点总结含同步练习及答案
k S = P M ⋅ P N = |y| ⋅ |x| = |xy| ．因为 y = ，所以 k = xy ，故 S = |k|．连接 P O ，MN ，则 △P MO 和 △MON x 1
1 和 △P NO 的面积都相等，其值为 |k| ． 2
x
常见模型 ① A ，B 为反比例函数上任意不重合两点，连接 OA ，OB ，过 A ，B 分别作 AE ⊥ x 轴，BF ⊥ x 轴于点 E，F ， 则 S △OAB = S 四边形AEFB ．
k1 k 上一点，向 x，y 轴上作垂线，交反比例函数 y = 2 上于点 A ，B ，交 x 轴于点 x x
③ 当反比例函数过矩形对角线交点时，则 S 四边形OABC = 4k ．
④ 当反比例函数过矩形一个顶点，并且原点在矩形的一条对角线上时，则 S 1 = S 2 = k．
⑤ 四边形 ABCD 为平行四边形，对角线的交点与原点重合，A 、B 、C 、D 在反比函数图象上，则
10 ，当 1 < x < 2 时，y 的取值范围是（ ） x B. 1 < y < 2 C. 5 < y < 10 D. y > 10
如图，A 、B 两点在双曲线 y =
S 1 + S 2 =（
）
4 上，分别经过 A 、B 两点向轴作垂线段，已知阴影部分的面积为 1 ，则 x
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解：D． 因为过 A 、B 两点所作出的矩形面积为 4 ，所以 S 1 = S 2 = 3 ． 如图，原点O 是矩形 ABCD 的对称中心，顶点 A 、C 在反比例函数图象上，AB 平行 x 轴．若矩形 ABCD 的面积 为 8 ，那么反比例函数的解析式是______．
人教版九年级数学下册第二十六章反比例函数的小结与复习课件
九下数学课堂
自变量取值范围：非 0 实数.
自变量取值范围：非 0 实数《. 反比例函数》一章应关注以下要点：
所有运输任务必须在 50 天内完成，公司至少应增加多少辆卡车？
函数图象过点
例 3 已知反比例函数 例 3 已知反比例函数
（，，1当当）11反<< xx比<< 22例时时， ，函yy 的的数取取的值值范范自围围是是变（（量不））..能取 0，导致函数的变化不连续，所以关于函数的图
t（单位：天）之间具有怎样的函数关系 ?
y1
>
y2
.
D. y2 < y1 < y3
∴ y2 < y1 < y3 .
反比例函数 九 下 数 学 课 堂
三、重要知识点的应用
应用 4 利用反比例函数解决实际问题.
例 5 市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为 106 m3，某运输
公司承担了运送土石方的任务．
例 5 市政府计划建设一项水利工程，工1程需要2运送的3土石方总量为 106 m3，某运输
∵ k > 0， ∴ y 随 x 的增大而减小.
5 < y < 10
九下数学课堂
C. y （个1象）限运内输，公y司随平x均的运增送大速而度减小v（. 单位：3
m<3 y／2天<）y与1完成运送任务所需时间
∵ -5 < -2 ， ∴
九 九 九
下 下 下
数 数 数
学 学 学
例 课 堂
课堂
4
课堂
若点
A
(-5，y1
)
，
B
(-2，y2
)
，
九年级数学下册 第26章 反比例函数小结与复习教案 (新版)新人教版
反比例函数一、复习目标分析：复习目标二、教学过程设计：随堂训练：3．已知反比例函数y=x1,象也是轴对称图形. （5）矩形面积= ︳mn ︱ ＝︳K ︱ 本次活动中，教师应重点关注： （1）学生是否明确反比例函数图像位置的确定因素是k 的正负 （2）学生是否能够掌握反比例函数图像增减性的注意事项是“在每一项限内” ？（3）学生是否明确矩形面积= ︳mn ︱ ＝︳K ︱，为何加上绝对值?教师：（1）首先让学生独立思考，如何确定两个函数的图像处于同一个象限之中？（2）小组交流，理清思路； （3）学生个人展示学生：通过独立思考和小组交流，代表本组进行展示解题思路。
本次活动中，教师应重点关注：学生能否清晰地阐释比例系数的符号特征和图像所在象限的对应关系？达到数形结合的目的。
教师：（1）出示问题，回顾反比例函数的变化规律（2）针对易错点进行变式，此时如何比较y 1 ，y 2的大小关系？学生：（1）学生独立完成第一问题；二、四象限内。
）;反比例函数图像增减性的注意事项是“在每一项限内” ;矩形面积= ︳mn ︱ ＝︳K ︱从而感受数形结合的思想。
通过独立思考和小组交流培养学生的分析问题、解决问题的能力，同时培养学生的合作意识，促进了学生语言表达的能力。
增强了学生的参与意识。
通过变式使学生对反比例函数的增减行更加明确“在每个象限内”的重要性，以及有关函数AoyxBP(m,n若x 1＜0＜x 2＜x 3,其对应的值y 1 ，y 2 ，y 3的大小关系是？变式：若x 1＜x 2时，y 1 ，y 2的大小关系是？4、如图，A 、C 是函数y=x2- 的图象上关于原点O 对称的任意两点，过C 向x 轴引垂线，垂足分别为B ，则△ABC 的面积为。
变式1：若A 、C 是函数y=x 2- 的图象与正比例函数直线MN 的两个交点，则△ABC 的面积为。
变式2：若过点A 作AD ⊥x 轴，连结DC,则四边形ABCD 的面积_________。
新人教版数学九年级下册教案：第二十六章 反比例函数的小结
(1)若点A(1，2)在这个函数的图象上，求k的值；
(2)若在这个函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围.
(3)若k = 13，试判断点B(3，4)，C(2，5)是否在这个函数的图象上，并说明理由.
【分析】（1)把x=1，y = 2代入y = ，可求出 值.（2)在每一支上y随x的增大而减小时， -1＞0. ( 3 )把B、C两点坐标分别代入解析式，看自变量是否与函数值对应.
【情感态度】
进一步增强学生的数学应用意识和数学应用能力，培养合作交流意识和探究能力，激发数学学习兴趣.
教学重点
重点：反比例函数的图象及其性质的理解和运用.
教学难点
难点：反比例函数图象中的面积不变性质.
教学方法
引导总结
教学资源
学案
教学过程
批注修改
一、知识框图，整体把握
二、释疑解惑，加深理解
1.反比例函数y= （ 0， 为常数）的图象是怎样的？在描述反比例函数性质时应注意哪些问题？你能解释原因吗？
(2)由题意可得： ，解得 ，或 .
这两个函数图象的另一个交点的坐标为( ，-3).
6.解：设点A(x，y)，反比例函数y = (k＞0,由图得），连接OA，则OB = x,BA = y. CO= OB， S△AOB= S△ACO， S△AOB= S△ABC= 1.又 S△AOB= ， = 2. 此反比例函数的解析式为y = .
例3反比例函数y = （k≠0)与一次函数y=kx-k(k≠0)的图像在同一坐标系内的大致图象是（）
【分析】本题可依据选项分别得到k值的范围，A、B选项中k值的取值范围各不相同，而C、D选项中直线与双曲线中k值大致相同，但D选项中y= kx -k所表示的直线应交于y轴负半轴，从而知C选项是符合要求的大致图象.
新人教版九年级数学下册第26章反比例函数知识点归纳和典型例题
新人教版九年级数学下册第26章反比率函数知识点概括和典型例题（一）知识结构（二）学习目标1．理解并掌握反比率函数的看法，能依据实质问题中的条件确立反比率函数的分析式（k 为常数，），能判断一个给定函数能否为反比率函数．2．能描点画出反比率函数的图象，会用代定系数法求反比率函数的分析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、分析式法和图象法的各自特色．3．能依据图象数形联合地剖析并掌握反比率函数（k 为常数，）的函数关系和性质，能利用这些函数性质剖析和解决一些简单的实质问题．4．对于实质问题，能“找出常量和变量，成立并表示函数模型，议论函数模型，解决实质问题”的过程，领会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型．5．进一步理解常量与变量的辨证关系和反应在函数看法中的运动变化看法，进一步认识数形联合的思想方法．（三）要点难点1．要点是反比率函数的看法的理解和掌握，反比率函数的图象及其性质的理解、掌握和运用．2．难点是反比率函数及其图象的性质的理解和掌握．二、基础知识（一）反比率函数的看法1．（）能够写成（）的形式，注意自变量x 的指数为，在解决相关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也能够写成xy=k 的形式，用它能够快速地求出反比率函数分析式中的k，进而获得反比率函数的分析式；3．反比率函数的自变量，故函数图象与x 轴、 y 轴无交点．（二）反比率函数的图象在用描点法画反比率函数的图象时，应注意自变量x 的取值不可以为 0，且 x 应付称取点（对于原点对称）．（三）反比率函数及其图象的性质1．函数分析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：（ 1）图象的形状：双曲线．越大，图象的曲折度越小，曲线越平直．越小，图象的曲折度越大．（ 2）图象的地点和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大．（3）对称性：图象对于原点对称，即若（ a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象对于直线对称，即若（ a， b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4． k 的几何意义矩形如图 1，设点 P（a，b）是双曲线上随意一点，作PA⊥x轴于 A点， PB⊥y轴于 B 点，则PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图 2，由双曲线的对称性可知，P 对于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA 的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1图2 5．说明：（ 1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比率函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不可以混为一谈．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点对于原点成中心对称．（3）反比率函数与一次函数的联系．（四）实质问题与反比率函数1．求函数分析式的方法：（ 1）待定系数法；（ 2）依据实质意义列函数分析式．2．注意学科间知识的综合，但要点放在对数学知识的研究上．（五）充足利用数形联合的思想解决问题．三、例题剖析1☆．反比率函数的看法（ 1）以下函数中，y 是x 的反比率函数的是（）．A． y=3x B． C ．3xy=1D．（ 2）以下函数中，y 是x 的反比率函数的是（）．A．B．C．D．答案：（ 1） C；（2） A．2．图象和性质（1）已知函数是反比率函数，①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________ ．②若 y 随 x 的增大而减小，那么k=___________．（2）已知一次函数y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．（3）若反比率函数经过点（， 2），则一次函数的图象必定不经过第_____象限．（4）已知 a·b＜ 0，点 P（ a， b）在反比率函数的图象上，则直线不经过的象限是（）．A．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比率函数图象上的两点，则一次函数 y=kx+m 的图象经过（）．A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限（ 6）已知函数和（ k≠0），它们在同一坐标系内的图象大概是（）．A．B．C．D．答案：（ 1）①② 1；（ 2）一、三；（3）四；（4） C；（5） C；（ 6） B．3．函数的增减性（ 1）在反比率函数的图象上有两点，，且，则的值为（）．A．正数B．负数 C ．非正数D．非负数（ 2）在函数（ a 为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（）．A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜（ 3）以下四个函数中：①；②；③；④．y 随 x 的增大而减小的函数有（）．A．0个 B ．1个C．2个D．3个（ 4）已知反比率函数的图象与直线y=2x 和 y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比率函数的函数值y 随 x 的增大而（填“增大”或“减小”）．答案：（ 1） A；（2） D；（3） B．注意，（ 3）中只有②是切合题意的，而③是在“每一个象限内”y 随 x 的增大而减小．4．分析式确实定（ 1）若与成反比率，与成正比率，则y 是 z 的（）．A．正比率函数 B ．反比率函数C．一次函数D．不可以确立（ 2）若正比率函数y=2x 与反比率函数的图象有一个交点为（2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．（ 3）已知反比率函数的图象经过点，反比率函数的图象在第二、四象限，求的值．（ 4）已知一次函数y=x+m与反比率函数（）的图象在第一象限内的交点为P （ x 0，3）．①求 x 0 的值；②求一次函数和反比率函数的分析式．（ 5）☆为了预防“非典”，某学校正教室采纳药薰消毒法进行消毒．已知药物焚烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比率，药物焚烧完后，y 与 x 成反比率（如下图），现测得药物 8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请依据题中所供给的信息解答以下问题：①药物焚烧时y 对于 x 的函数关系式为___________，自变量 x 的取值范围是_______________ ；药物焚烧后y 对于 x 的函数关系式为_________________．②研究表示，当空气中每立方米的含药量低于毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，起码需要经过 _______分钟后，学生才能回到教室；③研究表示，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且连续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒能否有效？为何？答案：（ 1） B；（2）4，8，（，）；（3）依题意，且，解得．（4）①依题意，解得②一次函数分析式为，反比率函数分析式为．（5）①，，；②30；③消毒时间为（分钟），所以消毒有效．5．面积计算（ 1）☆如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x 轴、 y 轴围成的矩形的面积分别为、、，则（）．A．B．C．D．第（ 1）题图第（2）题图（2）☆如图， A、B 是函数的图象上对于原点 O对称的随意两点， AC//y 轴， BC//x 轴，△ABC的面积 S，则（）．A． S=1B． 1＜S＜ 2C．S=2D．S＞ 2（ 3）如图， Rt△AOB 的极点 A 在双曲线上，且S△AOB=3，求m的值．第（ 3）题图第（ 4）题图（ 4）☆已知函数的图象和两条直线y=x， y=2x 在第一象限内分别订交于P1和P2两点，过 P1分别作 x 轴、 y 轴的垂线 P1Q1， P1R1，垂足分别为Q1， R1，过 P2分别作 x 轴、 y 轴的垂线 P2 Q 2，P2 R 2 ，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形O Q 1P1 R 1并比较它们的大小．（ 5）如图，正比率函数y=kx（ k＞0）和反比率函数的图象订交于轴垂线交x 轴于 B，连结 BC，若△ ABC面积为 S，则 S=_________．和OQ2P2R2 的周长，A、C两点，过 A 作 x第（ 5）题图第（6）题图（ 6）如图在Rt△ABO中，极点 A 是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO=．①求这两个函数的分析式；②求直线与双曲线的两个交点A、 C的坐标和△ AOC 的面积．（ 7）如图，已知正方形OABC的面积为 9，点 O为坐标原点，点A、C 分别在 x 轴、 y 轴上，点 B 在函数（ k＞ 0， x＞0）的图象上，点P （ m， n）是函数（ k＞ 0， x＞ 0）的图象上随意一点，过P 分别作 x 轴、 y 轴的垂线，垂足为E、F，设矩形 OEPF在正方形OABC之外的部分的面积为S．①求 B 点坐标和 k 的值；②当时，求点P 的坐标；③写出 S 对于 m的函数关系式．答案：（ 1） D；（2）C；（3）6；（4），，矩形 O Q 1P1 R 1 的周长为 8， O Q 2P2 R 2 的周长为，前者大．（5） 1．（6）①双曲线为，直线为；②直线与两轴的交点分别为（0，）和（， 0），且 A（ 1，）和 C（， 1），所以面积为 4．（7）① B（ 3， 3），；②时， E（6， 0），；③．6．综合应用（ 1）若函数y=k1x （k1≠0）和函数（ k2≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1和 k2（）．A．互为倒数 B ．符号同样C．绝对值相等 D ．符号相反（ 2）如图，一次函数的图象与反比率数的图象交于A、 B 两点： A（， 1）， B（ 1， n）．①求反比率函数和一次函数的分析式；②依据图象写出使一次函数的值大于反比率函数的值的x 的取值范围．（ 3）如下图，已知一次函数（ k≠0）的图象与x 轴、 y 轴分别交于 A、B 两点，且与反比率函数（m≠0）的图象在第一象限交于C 点，CD垂直于 x 轴，垂足为 D，若OA=OB=OD=1．①求点 A、 B、D 的坐标；②求一次函数和反比率函数的分析式．（4）☆如图，一次函数的图象与反比率函数的图象交于第一象限C、D 两点，坐标轴交于 A、 B 两点，连结 OC， OD（O是坐标原点）．①利用图中条件，求反比率函数的分析式和m的值；②双曲线上能否存在一点P，使得△ POC和△ POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点 P 的坐标；若不存在，说明原因．（5）不解方程，判断以下方程解的个数．①；②．答案：（1） D．（2）① 反比率函数为，一次函数为；②范围是或．（3）① A（ 0，）， B（ 0，1）， D（ 1，0）；②一次函数为，反比率函数为．（4）①反比率函数为，；②存在（ 2， 2）．（5）①结构双曲线和直线，它们无交点，说明原方程无实数解；②结构双曲线和直线，它们有两个交点，说明原方程有两个实数解．。
新人教版九年级数学下册第26章反比例函数全面复习(分知识点总结题型讲解)
新人教版九年级数学下册第26章反比例函数全面复习（分知识点总结题型讲解）知识结构（二）学习目标1．理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式（k为常数，），能判断一个给定函数是否为反比例函数．2．能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点．3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数（k为常数，）的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题．4．对于实际问题，能“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型．5．进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法．（三）重点难点1．重点是反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用．2．难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握．二、基础知识（一）反比例函数的概念1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（三）反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：（1）图象的形状：双曲线．越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1 图2 5．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（3）反比例函数与一次函数的联系． （四）实际问题与反比例函数 1．求函数解析式的方法： （1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上． （五）充分利用数形结合的思想解决问题．第一部分：基础知识考点1：反比例函数概念（A ）y =xk（k ≠ 0） ， （B ）xy = k （k ≠ 0） （C ）y=kx -1（k ≠0）例题1、判断下列各式哪些是反比例函数？ ① 1y x = ；② 12y x =- ；③2x y =- ；④113y x=- ；⑤3x y =例题2、已知函数()271126m m y m x-+=-，当m 取何值时，它是反比例函数，当堂巩固1、反比例函数()0ky k x=≠的图象经过点（2，5），若点（1，n ）在反比例函数的图象上，则n 等于（ ） （A ）10．（B ）5．（C ）2．（D ）0.1．2、下列关系式中，哪个等式表示y 是x 的反比例函数（ ）A ：23y x =B ： 2x y =C ：12y x =+D ：1y x=-3、某工厂先有原料100吨，这些原材料能用的天数y 与每天平均用的吨数x 之间的函数关系为 。
人教版九年级数学下册知识点总结：第二十六章反比例函数
人教版九年级数学下册知识点总结第二十六章、反比例函数知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质1.反比例函数的概念（1）定义：形如y＝kx(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．（2）形式：反比例函数有以下2种基本形式：①y＝kx；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)例：函数y=3x m+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况k>0 图象经过第一、三象限（x、y同号）每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.k<0 图象经过第二、四象限（x、y异号）每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.3.反比例函数的图象特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：失分点警示已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：3yx=或3yx=-6.与一次函数的综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE＞S△BOD知识点三：反比例函数的实际应用7.一般步骤（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；（2设出函数表达式；（3）依题意求解函数表达式；（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.。
人教版九年级数学下第26章反比例函数小结(教案)
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《反比例函数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过两个量的乘积保持不变的情况？”（例如：当汽车以恒定速度行驶时，行驶时间与路程的关系）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索反比例函数的奥秘。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对反比例函数的概念和图像性质的理解存在一些困难。在讲解过程中，我注意到他们对于双曲线的形状和反比例关系之间的联系不太清晰。为了帮助学生更好地理解这一部分内容，我尝试使用了多媒体动画来展示反比例函数图像的形成过程，以及通过实际案例让学生感受反比例关系在生活中的应用。
-对于数形结合的思维，教师可以通过具体例子，如给出几个不同的k值，让学生观察图像变化，引导学生发现性质。
-在实际问题中，教师应引导学生从问题中抽象出反比例关系，如物理中的速度与时间的关系，通过具体案例让学生学会模型构建。
-对于图像变换，难点在于理解变换后的图像如何保持反比例关系不变，教师可以引导学生通过变换前的点（x, y）和变换后的点（x', y'）之间的关系来进行探究。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解反比例函数的基本概念。反比例函数是形如y=k/x（k≠0）的函数，它描述了两个变量之间的反比关系。反比例函数在解决实际问题中有着广泛的应用，如物理中的速度与时间关系，经济学中的需求与价格关系等。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示反比例函数在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
2.教学难点
-理解反比例函数图像为双曲线的几何意义，特别是双曲线与坐标轴的无限接近但永不相交的特性。
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2020-2021学年九年级数学下册随堂讲练(人教版)第二十六章 反比例函数章末知识小结要点梳理 典例精讲考点一 反比例函数的图象和性质考点小结：(1)反比例函数y ＝kx(k 为常数，k ≠0)的图象是双曲线，它既是轴对称图形，又是中心对称图形．(2)当k ＞0时，双曲线的两个分支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小；当k ＜0时，双曲线的两个分支分别位于第二、第四象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而增大．经典例题1 已知反比例函数y ＝12x，当2<x <3时，y 的取值范围是( ) A ．0<y <4 B ．2<y <3 C ．4<y <6 D ．y >6【解析】当x ＝2时，y ＝6；当x ＝3时，y ＝4.因为当x >0时，y 随x 的增大而减小，所以当2<x <3时，y 的取值范围是4<y <6.【答案】C经典例题2 点A (－1，y 1)，B (－2，y 2)在反比例函数y ＝2x的图象上，则y 1，y 2的大小关系是( ) A ．y 1>y 2 B ．y 1＝y 2 C ．y 1<y 2 D ．不能确定【解析】函数y ＝2x 的图象在第一、三象限，在第三象限内y 随x 的增大而减小．∵－2<－1<0，∵y 1<y 2<0.【答案】C考点二反比例函数中比例系数k的几何意义考点小结：|k|等于反比例函数图象上任意一点向两坐标轴所作垂线与坐标轴围成的长方形的面积．经典例题3如图所示，M为反比例函数y＝kx的图象上的一点，MA垂直于y轴，垂足为A，∵MAO的面积为4，则k的值为________．【解析】设点M的坐标为(m，n)，在Rt∵AMO中，AM＝m，AO＝n，∵S∵MAO＝12mn＝4.∵mn＝8.把点M(m，n)代入y＝kx中，得k＝mn＝8.答案：8考点三反比例函数与其他函数的综合运用考点小结：(1)只需反比例函数图象上一个点的坐标即可求出反比例函数解析式；(2)掌握用待定系数法求函数解析式的一般步骤．经典例题4如图所示，反比例函数y＝kx(k≠0，x>0)的图象与直线y＝3x相交于点C，过直线上点A(1，3)作AB∵x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB＝3BD.(1)求k的值；(2)求点C的坐标；(3)在y轴上确定一点M，使点M到C，D两点距离之和d＝MC＋MD最小，求点M的坐标．【解析】(1)根据点A 的坐标及AB ∵x 轴得出点D 的横坐标为1，再根据AB ＝3BD ，得出点D 的纵坐标为1，从而求出k 的值．(2)由题意得，点C 的坐标是由反比例函数y ＝1x(x >0)与一次函数y ＝3x 组成的方程组的解来确定的．(3)作点D 关于y 轴的对称点E ，连接CE 交y 轴于点M ，根据线路最短问题可知点M 就是所求点，再用待定系数法求出过C ，E 两点直线的解析式，则直线CE 与y 轴的交点坐标就是点M 的坐标．解：(1)∵点A 的坐标为(1，3)，且AB ∵x 轴于点B ，∵OB ＝1，AB ＝3.又AB ＝3BD ，∵BD ＝13AB ＝1. ∵点D 的坐标为(1，1)．∵反比例函数y ＝kx(k ≠0，x >0)的图象过点D ，∵k ＝1×1＝1. (2)由(1)知反比例函数的解析式为y ＝1x (x >0)，由题意得，点C 的坐标由方程组31y x y x ⎧⎪⎨⎪⎩＝，＝的解来确定，解方程组得x y ⎧⎪⎨⎪⎩或x y ⎧⎪⎨⎪⎩(不合题意，舍去)．∵点C 的坐标为(3)． (3)如图所示，作点D 关于y 轴的对称点E ，则点E 的坐标为(－1，1)，连接CE 交y 轴于点M ，则点M 即为所求．设直线CE 的解析式为y ＝tx ＋b (t ≠0)，则根据题意，得1b t b ⎪⎩＋－＋＝，解得32t b ⎧⎪⎨⎪⎩＝，＝，∵直线CE 的解析式为y ＝3)x ＋－2， 当x ＝0时，y ＝－2，∵点M 的坐标为(0，2)．考点四 反比例函数在实际问题中的应用经典例题5 如图所示，市煤气公司计划在地下修建一个容积为104m 3的圆柱形煤气储存室，则储存室的底面积S (单位：m 2)与其深度d (单位：m)的函数图象大致是( )A B C D 【解析】由圆柱的体积计算公式可得Sd ＝104m 3，所以S ＝410d.由此可知S 是关于d 的反比例函数，反比例函数的图象是双曲线，又因为这是个实际问题，S 与d 的取值都为正数，所以图象只能在第一象限，故A 正确．【答案】A经典例题6 如图所示，科技小组准备用材料围建一个面积为60m 2的矩形科技园ABCD ，其中一边AB 靠墙，墙长为12m.设AD 的长为x m ，DC 的长为y m.(1)求y 与x 之间的函数解析式(不必写出自变量的取值范围)．(2)若围成矩形科技园ABCD 的三边的材料总长不超过26m ，AD 和DC 的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案．【解析】(1)根据面积为60m2，利用矩形面积公式可得出y与x之间的函数解析式；(2)由(1)的解析式，结合x，y都是正整数，可得出x的可能值，再由三边材料总长不超过26m，DC≤12m，可得出x，y的值，从而得出可行的方案．解：(1)由题意得，S矩形ABCD＝AD·DC＝xy，故y＝60 x.(2)由y＝60x，且x，y都是正整数，可得x可取1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60.∵2x＋y≤26，0<y≤12，∵符合条件的围建方案为AD＝5m，DC＝12m或AD＝6m，DC＝10m或AD＝10m，DC＝6m.随堂练习1．对于反比例函数y＝－10x，下列说法正确的是()A．它的图象是一条直线B．它的图象分布在第一、三象限C ．点(－1，－10)在它的图象上D ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大2．a ，b 是实数，点A (2，a )，B (3，b )在反比例函数y ＝－2x的图象上，则( ) A ．a ＜b ＜0 B ．b ＜a ＜0 C ．a ＜0＜b D ．b ＜0＜a 3．反比例函数y ＝3x图象上三个点的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，若x 1＜x 2＜0＜x 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 2＜y 3＜y 1D ．y 1＜y 3＜y 2 4．如图，在同一平面直角坐标系中，直线y ＝k 1x (k 1≠0)与双曲线y ＝2k x(k 2≠0)相交于A ，B 两点，已知点A 的坐标为(1，2)，则点B 的坐标为( )A ．(－1，－2)B ．(－2，－1)C ．(－1，－1)D ．(－2，－2) 5．如图，反比例函数y ＝kx(x ＜0)与一次函数y ＝x ＋4的图象交于A ，B 两点的横坐标分别为－3，－1.则关于x 的不等式kx＜x ＋4(x ＜0)的解集为( )A．x＜－3 B．－3＜x＜－1 C．－1＜x＜0 D．x＜－3或－1＜x＜06．已知二次函数y＝(x＋m)2－n的图象如图所示，则一次函数y＝mx＋n与反比例函数y＝mnx的图象可能是()A B C D7．如图，双曲线y＝－32x(x＜0)经过∵ABCO的对角线交点D，已知边OC在y轴上，且AC∵OC于点C，则∵OABC的面积是()A. 32B.94C．3 D．68．如图，点A的坐标是(－2，0)，点B的坐标是(0，6)，C为OB的中点，将∵ABC绕点B逆时针旋转90°后得到∵A′BC′.若反比例函数y＝kx的图象恰好经过A′B的中点D，则k的值是()A．9 B．12 C．15 D．189．如果反比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象经过点(2，3)，那么在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而．(填“增大”或“减小”)10．直线y＝kx(k＞0)与双曲线y＝6x交于A(x1，y1)和B(x2，y2)两点，则3x1y2－9x2y1的值为．11．函数y1＝x与y2＝4x的图象如图所示，下列关于函数y＝y1＋y2的结论：∵函数的图象关于原点中心对称；∵当x＜2时，y随x的增大而减小；∵当x＞0时，函数的图象最低点的坐标是(2，4)，其中所有正确结论的序号．12．如图，一次函数y＝x－1的图象与反比例函数y＝2x的图象在第一象限相交于点A，与x轴相交于点B，点C在y轴上，若AC＝BC，则点C的坐标为．13. 已知反比例函数y1＝kx的图象与一次函数y2＝ax＋b的图象交于点A(1，4)和点B(m，－2)．(1)求这两个函数的解析式；(2)根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．14. 如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点O沿x轴向左平移2个单位长度得到点A，过点A作y轴的平行线交反比例函数y＝kx的图象于点B，AB＝32.(1)求反比例函数的解析式；(2)若P(x1，y1)，Q(x2，y2)是该反比例函数图象上的两点，且x1＜x2时，y1＞y2，指出点P，Q各位于哪个象限？并简要说明理由．15.如图，在∵ABC中，AC＝BC，AB∵x轴，垂足为A.反比例函数y＝kx(x＞0)的图象经过点C，交AB于点D.已知AB＝4，BC＝5 2 .(1)若OA＝4，求k的值；(2)连接OC，若BD＝BC，求OC的长．16．某农业公司将部分农副产品运往福州农贸市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v 千米/时(汽车行驶速度不超过100千米/小时)．根据经验，v，t的一组对应值如下表：(1)(2)汽车上午7：30从公司出发，能否在上午10：00之前到达福州农贸市场？请说明理由；(3)若汽车到达福州农贸市场的行驶时间t满足3.5≤t≤4，求平均速度v的取值范围．随堂练习参考答案：1. D2. A3. B4. A5. B6. C7. C8. C9. 减小10. 3611. ∵∵12. (0，2)13. 解：(1)∵A(1，4)在反比例函数图象上，∵把A(1，4)代入反比例函数y1＝kx得：4＝11k，解得k1＝4，∵反比例函数解析式为y1＝4x，又B(m，－2)在反比例函数图象上，∵把B(m，－2)代入反比例函数解析式，解得m＝－2，即B(－2，－2)，把A(1，4)和B(－2，－2)代入一次函数解析式y2＝ax＋b得，422 a ba b⎧⎨⎩＋＝，－＋＝－，解得22ab⎧⎨⎩＝，＝，∵一次函数解析式为y2＝2x＋2.(2)根据图象得－2＜x＜0或x＞1.14. 解：(1)由题意得，B(－2，32)，把B(－2，32)代入y＝kx中，得到k＝－3，∵反比例函数的解析式为y＝－3 x .(2)结论：P在第二象限，Q在第四象限．理由：∵k＝－3＜0，∵反比例函数y在每个象限y随x的增大而增大，∵P(x1，y1)，Q(x2，y2)是该反比例函数图象上的两点，且x1＜x2时，y1＞y2，∵P，Q在不同的象限，∵P 在第二象限，Q在第四象限．15. 解：(1)如图，作CE∵AB，垂足为E，作CF∵x轴，垂足为点F，∵AC＝BC，AB＝4，∵AE＝BE＝2.在Rt∵BCE中，BC＝52，BE＝2，∵CE＝32，∵AF＝32，∵OA＝4，∵OF＝4－32＝52，∵C点的坐标为(52，2)，∵点C在y＝kx的图象上，∵k＝5.(2)设A点的坐标为(m，0)，∵BD＝BC＝52，∵AD＝32，∵D，C两点的坐标分别为：(m，32)，(m－32，2)．∵点C，D都在y＝kx的图象上，∵32m＝2(m－32)，∵m＝6，∵C点的坐标为(92，2)，∵OF＝92，CF＝2，在Rt∵OFC中，OC2＝OF2＋CF2，∵OC.16. 解：(1)根据表格中数据，可知v＝kt，∵v＝75时，t＝4，∵k＝75×4＝300，∵v＝300t.(2)∵10－7.5＝2.5，∵t＝2.5时，v＝3002.5＝120＞100，∵汽车上午7：30从公司出发，不能在上午10：00之前到达福州农贸市场．(3)∵3.5≤t≤4，∵75≤v≤6007，∵平均速度v的取值范围是75≤v≤6007.。