高中数学必修二第六章章末小结练习(含答案)

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高中数学必修二第六章平面向量及其应用知识点归纳超级精简版(带答案)

高中数学必修二第六章平面向量及其应用知识点归纳超级精简版单选题1、已知向量a ⃑，b ⃑⃑满足|a ⃑|=√3，|b ⃑⃑|=2，且a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑)，则a ⃑与b ⃑⃑的夹角为（） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案：A分析：利用数量积的定义，即可求解.解：a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑),所以a ⃑⋅(a ⃑−b ⃑⃑)=0,即|a →|2−|a →||b →|cos <a →,b →>=0，解得cos <a →,b →>=√32,又因为向量夹角的范围为[0°,180°]，则a ⃑与b ⃑⃑的夹角为30°，故选：A.2、“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为36°的等腰三角形，暂且称为“黄金三角形A ”．如图所示，已知五角星是由5个“黄金三角形A ”与1个正五边形组成，其中sin18°=√5−14，则阴影部分面积与五角形面积的比值为（）．A ．√5−14B ．√55C ．√5+16D ．3√520答案：B分析：在三角形ABC 中，由sin18°值，可得BCAC =√5−12，即BD AB=√5−12，设△ABC 的面积为x ，由此可知△BCD 和△CEF 的面积均为√5−12x ，△CDE 的面积为x ，由此即可求出结果.如图所示，依题意，在三角形ABC 中，sin18°=BC 2AC=√5−14，故BC AC=√5−12；所以BDAB =√5−12，设△ABC 的面积为x ，则△BCD 面积为√5−12x ，同理△CEF 的面积为√5−12x ， △CDE 的面积为x ，则阴影部分面积与五角形面积的比值为2x+2⋅√5−12x 2⋅√5−12x+6x=√55. 故选：B ．3、在△ABC 中，已知AB =6，AC =2，且满足DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，若线段CD 和线段BE 的交点为P ，则AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅(CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=（）. A ．3B ．4C ．5D ．6 答案：B分析：待定系数法将AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑向量分解，由平面向量共线定理求出系数，然后代回原式计算设AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑=xAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+yAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，由DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑知AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3xAD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+yAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∵D ，P ，C 三点共线，∴3x +y =1①，由AE⃑⃑⃑⃑⃑⃑=EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑知AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=xAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+2yAE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∵B ，P ，E 三点共线，∴x +2y =1②，由①②得：x =15.y =25，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=15AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+25AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，而CA⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−2AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑， ∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅(CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=(15AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+25AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−2AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=15(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2−4AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2)=15×(62−4×22)=4 故选：B4、已知平面向量a ⃑＝(1，2)，b ⃑⃑＝(－2，m )，且a ⃑∥b ⃑⃑，则2a ⃑＋3b ⃑⃑＝( ) A ．(－4，－8)B ．(－8，－16) C ．(4，8)D ．(8，16) 答案：A分析：根据向量平行的坐标表示求出m ，再根据向量线性运算得坐标表示即可求解. ∵a ⃑∥b ⃑⃑，∴1×m ＝2×(－2)，∴m ＝－4，∴b ⃑⃑＝(－2，－4)， ∴2a ⃑＋3b ⃑⃑＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．故选：A.5、已知向量a ⃑=(−1,m )，b ⃑⃑=(m +1,2)，且a ⃑⊥b ⃑⃑，则m =（） A ．2B ．−2C ．1D ．−1 答案：C分析：由向量垂直的坐标表示计算．由题意得a ⃑⋅b ⃑⃑=−m −1+2m =0，解得m =1 故选：C ．6、在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（）A ．19B ．13C ．12D ．23答案：A分析：根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据cosB =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC，即可求得答案.∵在△ABC 中，cosC =23，AC =4，BC =3根据余弦定理：AB 2=AC 2+BC 2−2AC ⋅BC ⋅cosCAB 2=42+32−2×4×3×23可得AB 2=9 ，即AB =3 由∵ cosB =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC=9+9−162×3×3=19故cosB =19.故选：A.小提示：本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 7、在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若A =45°,B =60°,b =2√3，则c 等于（） A ．√6−√24B ．√6+√24C ．√6−√2D ．√6+√2答案：D分析：先求出C ，再由正弦定理求解即可. 解：在△ABC 中，C =180°−45°−60°=75°．由正弦定理可知csinC =bsinB ，所以csin75°=2√3sin60°，故c =2√3sin75°sin60°=4sin75°=4sin(30°+45°)=4×√6+√24=√6+√2．故选：D.8、已知向量|a ⃑|=2,|b ⃑⃑|=4，且a ⃑,b ⃑⃑不是方向相反的向量，则|a ⃑−b ⃑⃑|的取值范围是（） A ．(2,6)B ．[2,6) C ．(2,6]D ．[2,6] 答案：B分析：直接由||a ⃑|−|b ⃑⃑||≤|a ⃑−b ⃑⃑|<|a ⃑|+|b⃑⃑|求解即可. 由已知必有||a ⃑|−|b ⃑⃑||≤|a ⃑−b ⃑⃑|<|a ⃑|+|b ⃑⃑|，则所求的取值范围是[2,6)．故选：B. 多选题9、如果平面向量a ⃗=(2,−4)，b ⃑⃗=(−6,12)，那么下列结论中正确的是（） A ．|b ⃑⃗|=3|a ⃗|B ．a ⃗//b⃑⃗ C ．a ⃗与b ⃑⃗的夹角为30°D ．a ⃗在b ⃑⃗方向上的投影为2√5 答案：AB分析：根据向量坐标运算及向量共线的意义可得解.因为a ⃗=(2,−4)，b ⃑⃗=(−6,12)，所以b ⃑⃗=−3a ⃗．在A 中，由b ⃑⃗=−3a ⃗，可得|b ⃑⃗|=3|a ⃗|，故A 正确；在B 中，由b ⃑⃗=−3a ⃗，可得a ⃗//b⃑⃗，故B 正确；在C 中，由b ⃑⃗=−3a ⃗，可得a ⃗与b⃑⃗的夹角为180°，故C 错误；在D 中，a ⃗在b ⃑⃗方向上的投影为a ⃑⃗⋅b ⃑⃗|b ⃑⃗|=22=−2√5，故D 错误．故选:AB ．10、ΔABC 是边长为3的等边三角形，已知向量a ⃑、b ⃑⃑满足AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3a ⃑，AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3a ⃑+b ⃑⃑，则下列结论中正确的有（） A ．a ⃑为单位向量B ．b ⃑⃑//BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑C ．a ⃑⊥b ⃑⃑D ．(6a ⃑+b ⃑⃑)⊥BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：ABD解析：求出|a ⃑|可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ⃑⃑，利用共线向量的基本定理可判断B 选项的正误；计算出a ⃑⋅b ⃑⃑，可判断C 选项的正误；计算出(6a ⃑+b⃑⃑)⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 对于A 选项，∵AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3a ⃑，∴a ⃑=13AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则|a ⃑|=13|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=1，A 选项正确；对于B 选项，∵AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3a ⃑+b ⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+b ⃑⃑，∴b ⃑⃑=AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∴b ⃑⃑//BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，B 选项正确；对于C 选项，a ⃑⋅b ⃑⃑=13AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=13×32×cos 2π3≠0，所以a ⃑与b ⃑⃑不垂直，C 选项错误；对于D 选项，(6a ⃑+b ⃑⃑)⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)⋅(AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2=0，所以，(6a ⃑+b ⃑⃑)⊥BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，D 选项正确. 故选：ABD.小提示：本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.11、在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，点G 为△ABC 的重心，则下述结论中正确的是（） A ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑B ．AG⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑) C ．AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑⃑D ．GA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+GB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+GC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑⃑ 答案：CD分析：根据向量的加法运算、相反向量、中线的向量表示，重心的性质分别计算求解. 由D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，点G 为△ABC 的重心，因为AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AC →≠CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，故A 错误；由12(AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=AD →≠AG →, 故B 错误；因为AF ⃑+BD ⃑+CE ⃑=12(AB →+BC →+CA →)=0⃑, 故C 正确；因为GA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+GB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+GC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−23[12(AB →+AC →)+12(BA →+BC →)+12(CA →+CB →)] =−13(AB →+BA →+BC →+CB →+AC →+CA →)=0→, 故D 正确. 故选：CD 填空题12、在△ABC 中， a ＝5，b ＝5√3，A ＝30°，则B ＝________. 答案：60°或120°分析：利用正弦定理求得sinB ，由此求得B . 由正弦定理得asinA=b sinB，即5sin30°=5√3sinB ⇒sinB =√32，由于0°<B <180°，所以B =60°或B =120°. 所以答案是：60°或120°13、在△ABC 中，cos∠BAC =−13，AC ＝2，D 是边BC 上的点，且BD ＝2DC ，AD ＝DC ，则AB 等于 ___．答案：3分析：运用余弦定理，通过解方程组进行求解即可. 设DC =x,AB =y ，因为BD ＝2DC ，AD ＝DC ，所以BC =3x,AD =DC =x ，在△ADC 中，由余弦定理可知：cosC =AC 2+CD 2−AD 22AC⋅DC =4+x 2−x 24x=1x ，在△ABC 中，由余弦定理可知：cosC =AC 2+CB 2−AB 22AC⋅BC=4+9x 2−y 212x，于是有4+9x 2−y 212x=1x ⇒9x 2−y 2=8(1)，在△ABC 中，由余弦定理可知：cosA =AB 2+CA 2−CB 22AB⋅AC=y 2+4−9x 24y=−13，⇒27x 2−3y 2−4y =12(2)，把(1)代入(2)中得，y =3，所以答案是：314、在△ABC 中，P 是BC 上一点，若BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+μAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则2λ+μ=___________. 答案：43##113分析：根据给定条件，用向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑表示向量AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，再利用平面向量基本定理求解作答. 在△ABC 中，BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+23BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+23(AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑) =13AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+23AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，又AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+μAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，且AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑不共线，则λ=13,μ=23，所以2λ+μ=43. 所以答案是：43解答题15、已知函数f (x )=4cosxsin (x −π3)+√3．（Ⅰ）求函数f (x )在区间[π4,π2]上的值域．（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C ，所对的边分别是a ，b ，c ，若角C 为锐角，f (C )=√3，且c =2，求△ABC 面积的最大值．答案：（Ⅰ）[1,2]；（Ⅱ）√3分析：（Ⅰ）利用差角的正弦公式、辅助角公式化简函数，结合正弦函数的性质，可得函数f(x)在区间[π4，π2]上的值域；（Ⅱ）先求出C ，再利用余弦定理，结合基本不等式，即可求得△ABC 面积的最大值．解：（Ⅰ）f(x)=4cosxsin(x −π3)+√3=4cosx (sinxcos π3−cosxsin π3)+√3=4cosx (12sinx −√32cosx)+√3=2sinxcosx −2√3cos 2x +√3=sin2x −√3cos2x =2sin(2x −π3)，由π4⩽x⩽π2，有π6⩽2x−π3⩽2π3，所以12≤sin(2x−π3)≤1∴函数f(x)的值域为[1,2]．（Ⅱ）由f(C)=√3，有sin(2C−π3)=√32，∵C为锐角，∴2C−π3=π3，∴C=π3．∵c=2，∴由余弦定理得：a2+b2−ab=4，∵a2+b2⩾2ab，∴4=a2+b2−ab⩾ab．∴S△ABC=12absinC=√34ab⩽√3，∴当a=b，即△ABC为正三角形时，△ABC的面积有最大值√3．。

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(名师选题)部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案知识点题库单选题1、下列命题中假命题是（） A ．向量AB⃑⃑⃑⃑⃑ 与BA ⃑⃑⃑⃑⃑ 的长度相等 B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C ．只有零向量的模等于0 D ．共线的单位向量都相等2、已知边长为1的正方形ABCD ，设AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =a ，AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =b ⃑ ，AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =c ，则|a −b ⃑ +c |=（） A ．1B ．2C ．3D ．43、已知向量a ,b ⃑ 满足|a |=2,|b ⃑ |=1,a ⋅(a −2b ⃑ )=2，则a 与b ⃑ 的夹角为（） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°4、已知向量a ，b ⃑ 满足|a |=√3，|b ⃑ |=2，且a ⊥(a −b ⃑ )，则a 与b ⃑ 的夹角为（） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°5、给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是( ) A ．①②③是数量，④⑤⑥是向量B ．②④⑥是数量，①③⑤是向量 C ．①④是数量，②③⑤⑥是向量D ．①②④⑤是数量，③⑥是向量6、已知不共线的平面向量a ⃗,b ⃑⃗,c ⃗两两所成的角相等，且|a ⃗|=1,|b ⃑⃗|=4,|a ⃗+b ⃑⃗+c ⃗|=√7，则|c ⃗|=（） A ．√2B ．2C ．3D ．2或37、向量PA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(k,12)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(4,5)，PC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(10,k)．若A,B,C 三点共线，则k 的值为（） A ．−2B ．1C ．−2或11D ．2或−118、已知向量a =(−1,m )，b ⃑ =(m +1,2)，且a ⊥b ⃑ ，则m =（） A ．2B ．−2C ．1D ．−1 多选题9、在△ABC 中，若(a 2+c 2−b 2)tanB =√3ac ，则角B 的值可以为（） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π610、“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz ）的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，则S A ⋅OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +S B ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +S C ⋅OC ⃑⃑⃑⃑⃑ =0⃑⃗.若O 是锐角△ABC 内的一点，A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且点O 满足OA⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OC ⃑⃑⃑⃑⃑ =OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OC ⃑⃑⃑⃑⃑ .则（）A ．O 为△ABC 的外心B ．∠BOC +A =πC ．|OA⃑⃑⃑⃑⃑ |:|OB ⃑⃑⃑⃑⃑ |:|OC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=cosA:cosB:cosC D ．tanA ⋅OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +tanB ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +tanC ⋅OC ⃑⃑⃑⃑⃑ =0⃑⃗ 11、下列两个向量，不能作为基底向量的是（） A ．e 1⃑⃑⃑ =(0,0),e 2⃑⃑⃑ =(1,2)B ．e 1⃑⃑⃑ =(2,−1),e 2⃑⃑⃑ =(1,2) C ．e 1⃑⃑⃑ =(−1,−2),e 2⃑⃑⃑ =(1,2)D ．e 1⃑⃑⃑ =(1,1),e 2⃑⃑⃑ =(1,2) 填空题12、在△ABC 中，cos∠BAC =−13，AC ＝2，D 是边BC 上的点，且BD ＝2DC ，AD ＝DC ，则AB 等于 ___．部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案(三十一)参考答案1、答案：D分析：利用相反向量的概念可判断A 选项的正误；利用相等向量的定义可判断B 选项的正误；利用零向量的定义可判断C 选项的正误；利用共线向量的定义可判断D 选项的正误. 对于A 选项，AB⃑⃑⃑⃑⃑ 与BA ⃑⃑⃑⃑⃑ 互为相反向量，这两个向量的长度相等，A 选项正确；对于B 选项，两个相等的向量，长度相等，方向相同，若两个相等向量的起点相同，则终点也相同，B 选项正确；对于C 选项，只有零向量的模等于0，C 选项正确；对于D 选项，共线的单位向量是相等向量或相反向量，D 选项错误. 故选：D.小提示：本题考查平面向量的相关概念，考查相等向量、相反向量、共线向量以及零向量的定义的应用，属于基础题. 2、答案：B分析：根据向量加法的平行四边形法则，结合正方形的性质可得答案. 因为ABCD 是边长为1的正方形，AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =a ,AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =b ⃑ ,AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =c ，所以a −b ⃑ +c =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ )=2AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 又|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=1，所以|a −b ⃑ +c |=|2AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=2 故选：B 3、答案：B分析：由题意，先求出a ⋅b⃑ ，然后根据向量的夹角公式即可求解. 解：因为a ⋅(a −2b ⃑ )=a 2−2a ⋅b ⃑ =|a |2−2a ⋅b ⃑ =4−2a ⋅b ⃑ =2，所以a ⋅b⃑ =1，设a 与b ⃑ 的夹角为θ，则cosθ=a ⃑ ⋅b ⃑ |a⃑ ||b ⃑ |=12，因为θ∈[0°,180°]，所以θ=60°，故选：B.4、答案：A分析：利用数量积的定义，即可求解.解：a ⊥(a −b ⃑ ),所以a ⋅(a −b ⃑ )=0,即|a →|2−|a →||b →|cos <a →,b →>=0，解得cos <a →,b →>=√32,又因为向量夹角的范围为[0°,180°]，则a 与b ⃑ 的夹角为30°，故选：A. 5、答案：D分析：根据向量的定义即可判断.密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，是数量；速度、位移既有大小又有方向，是向量．故选：D ． 6、答案：D 分析：先求出θ=2π3，转化|a ⃗+b ⃑⃗+c ⃗|=√(a ⃗+b ⃑⃗+c ⃗)2=√7，列方程即可求出. 由不共线的平面向量a ⃗，b ⃑ ，c 两两所成的角相等，可设为θ，则θ=2π3.设|c |=m.因为|a ⃗|=1，|b ⃑⃗|=4，|a ⃗+b ⃑⃗+c ⃗|=√7，所以|a ⃗+b ⃑⃗+c ⃗|2=7，即a ⃗2+2a ⃗⋅b ⃑⃗+b ⃑⃗2+2b ⃑⃗⋅c ⃗+2a ⃗⋅c ⃗+c ⃗2=7，所以12+2×1×4cos2π3+42+2×4×mcos2π3+2×1×mcos2π3+m 2=7即m 2−5m +6=0，解得：m =2或3. 所以|c |=2或3 故选：D 7、答案：C分析：求得BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，利用向量共线的充要条件，可得关于k 的方程，求解即可. 解：由题可得：BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =PA ⃑⃑⃑⃑⃑ −PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(k,12)−(4,5)=(k −4,7)， CA⃑⃑⃑⃑⃑ =PA ⃑⃑⃑⃑⃑ −PC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(k,12)−(10,k )=(k −10,12−k ).因为A,B,C 三点共线，所以BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ∥CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以(k −4)(12−k )−7(k −10)=0，整理得k 2−9k −22=0，解得k =−2或k =11. 故选：C. 8、答案：C分析：由向量垂直的坐标表示计算．由题意得a ⋅b ⃑ =−m −1+2m =0，解得m =1 故选：C ． 9、答案：BC分析：利用余弦定理边化角可整理得到sinB ，结合B ∈(0,π)可得结果. ∵(a 2+c 2−b 2)tanB =√3ac ，∴a 2+c 2−b 22ac⋅tanB =cosB ⋅sinBcosB =sinB =√32，又B ∈(0,π)，∴B =π3或2π3. 故选：BC. 10、答案：BCD分析：由根据数量积的运算律可得OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CA ⃑⃑⃑⃑⃑ =0⇔OB ⊥CA ,可得O 为△ABC 的垂心；结合∠OBC +C +∠OCB +B =π与三角形内角和等于π可证明B 选项；结合B 选项结论证明cosA:cosB =OA:OB 即可证明C 选项，利用奔驰定理证明S A :S B =tanA:tanB 可证明D 选项．解：因为OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⇔OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅(OA ⃑⃑⃑⃑⃑ −OC ⃑⃑⃑⃑⃑ )=0⇔OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CA ⃑⃑⃑⃑⃑ =0⇔OB ⊥CA ，同理OA ⊥CB ，OC ⊥AB ，故O 为△ABC 的垂心，故A 错误； ∠OBC +C =π2,∠OCB +B =π2，所以∠OBC +C +∠OCB +B =π，又∠OBC +∠OCB +∠BOC =π，所以∠BOC =C +B ，又A +B +C =π，所以∠BOC +A =π，故B 正确；故A =π−∠BOC ，同理B =π−∠AOC ，延长CO 交AB 与点P ，则cosA:cosB =cos(π−∠BOC):cos(π−∠AOC)=cos∠BOP:cos∠AOP =OP OB :OPOA =OA:OB ，同理可得cosA:cosC =OA:OC ，所以cosA:cosB:cosC =OA:OB:OC ，故C 正确；S A :S B =(12⋅OC ⋅BP):(12⋅OC ⋅AP)=BP:AP =OPtan∠POB:OPtan∠AOP=tan∠BOC:tan∠AOC =tan(π−A):tan(π−B)=tanA:tanB ，同理可得S A :S C =tanA:tanC ，所以S A :S B :S C =tanA:tanB:tanC ，又S A ⋅OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +S B ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +S C ⋅OC ⃑⃑⃑⃑⃑ =0⃑⃗，所以tanA ⋅OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +tanB ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +tanC ⋅OC ⃑⃑⃑⃑⃑ =0⃑⃗，故D 正确．故选：BCD ．11、答案：AC分析：根据两个向量不平行能作为基底确定正确选项. A 选项，零向量和任意向量平行，所以e 1⃑⃑⃑ ,e 2⃑⃑⃑ 不能作为基底. B 选项，e 1⃑⃑⃑ ,e 2⃑⃑⃑ 不平行，可以作为基底.C 选项，e 1⃑⃑⃑ =−e 2⃑⃑⃑ ，所以e 1⃑⃑⃑ ,e 2⃑⃑⃑ 平行，不能作为基底.D 选项，e 1⃑⃑⃑ ,e 2⃑⃑⃑ 不平行，可以作为基底. 故选：AC 12、答案：3分析：运用余弦定理，通过解方程组进行求解即可. 设DC =x,AB =y ，因为BD ＝2DC ，AD ＝DC ，所以BC =3x,AD =DC =x ，在△ADC 中，由余弦定理可知：cosC =AC 2+CD 2−AD 22AC⋅DC=4+x 2−x 24x=1x ，在△ABC中，由余弦定理可知：cosC=AC2+CB2−AB22AC⋅BC =4+9x2−y212x，于是有4+9x2−y212x =1x⇒9x2−y2=8(1)，在△ABC中，由余弦定理可知：cosA=AB2+CA2−CB22AB⋅AC =y2+4−9x24y=−13，⇒27x2−3y2−4y=12(2)，把(1)代入(2)中得，y=3，所以答案是：3。

新课标高一数学必修第二册第六章章末综合检测(向量+解三角形)(有答案)

第六章章末综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设向量a ，b 均为单位向量，且|a ＋b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( ) A.π3 B.π2 C.2π3D.3π42．已知△ABC 中，a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么角A 等于( ) A ．135° B ．90° C ．45°D ．30°3．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2D. 34．在△ABC 中，已知D 是边AB 上一点，若AD→＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )A.13B.23C.12D.345．设点A (－1，2)，B (2，3)，C (3，－1)，且AD →＝2AB →－3BC →，则点D 的坐标为( )A ．(2，16)B ．(－2，－16)C ．(4，16)D ．(2，0)6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则b sin Aa 的值为( )A ．1 B.12 C.22D.327．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C ，且a >c ，cos B ＝14，则ac ＝( )A ．2 B.12 C ．3D.138．若四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．直角梯形9．在△ABC 中，BC 边上的中线AD 的长为2，BC ＝26，则AB →·AC →＝( )A ．1B ．2C ．－2D ．－110．在△ABC 中，若|AB →|＝1，|AC →|＝3，|AB →＋AC →|＝|BC →|，则AB →·BC →|BC →|＝( )A ．－32 B ．－12 C.12D.3211．在平行四边形ABCD 中，对角线AC ＝65，BD ＝17，周长为18，则这个平行四边形的面积等于( )A ．16B ．352C ．18D ．3212．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3a cos C ＝4c sin A ，已知△ABC的面积S ＝12bc sin A ＝10，b ＝4，则a 的值为( )A.233B.253C.263D.283二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．14．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________．15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.若sin B ＝2sin A ，则△ABC 的面积为________．16．某人在点C 测得塔顶A 在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进100米到点D 处，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为________米．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为60°，c ＝5a ＋3b ，d ＝3a ＋k b ，当实数k 为何值时，(1)c ∥d ； (2)c ⊥d .18．(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积为4，求b ，c 的值．19．(本小题满分12分)已知e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，AB →＝2e 1＋e 2，BE →＝－e 1＋λe 2，EC →＝－2e 1＋e 2，且A ，E ，C 三点共线． (1)求实数λ的值；(2)若e 1＝(2，1)，e 2＝(2，－2)，求BC→的坐标；(3)已知点D (3，5)，在(2)的条件下，若A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．20．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝2，C ＝60°.(1)求a ＋bsin A ＋sin B的值；(2)若a ＋b ＝ab ，求△ABC 的面积．21．(本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B 2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .22．(本小题满分12分)(2019·河南、河北重点中学第三次联考)如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝4，b ＝2，2c cos C ＝b ，D ，E 分别为线段BC 上的点，且BD ＝CD ，∠BAE ＝∠CAE .(1)求线段AD 的长； (2)求△ADE 的面积．第六章章末综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设向量a ，b 均为单位向量，且|a ＋b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( ) A.π3 B.π2 C.2π3D.3π4解析：选C.因为|a ＋b |＝1，所以|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝1，所以cos θ＝－12.又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3.2．已知△ABC 中，a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么角A 等于( ) A ．135° B ．90° C ．45°D ．30°解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B ⇒2sin A ＝3sin B ，则sin A ＝23sin B ＝22.因为a <b ，所以A <B ，所以A ＝45°.3．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2 D. 3解析：选C.由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－6b ，解得b ＝2或4.又b <c ，所以b ＝2.4．在△ABC 中，已知D 是边AB 上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )A.13B.23C.12D.34解析：选B.由已知得CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，因此λ＝23，故选B.5．设点A (－1，2)，B (2，3)，C (3，－1)，且AD →＝2AB →－3BC →，则点D 的坐标为( ) A ．(2，16) B ．(－2，－16) C ．(4，16)D ．(2，0)解析：选A.设D (x ，y )，由题意可知AD →＝(x ＋1，y －2)，AB →＝(3，1)，BC →＝(1，－4)．所以2AB →－3BC→＝2(3，1)－3(1，－4)＝(3，14)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝3，y －2＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝16.故选A. 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则b sin Aa 的值为( )A ．1 B.12 C.22D.32解析：选D.由余弦定理a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，得2ac ·sin B ＝3ac ，得sin B ＝32，由正弦定理a sin A＝b sin B ，得b sin A a ＝sin B ＝32，故选D. 7．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C ，且a >c ，cos B ＝14，则ac＝( ) A ．2 B.12 C ．3D.13解析：选A.因为sin 2B ＝2sin A sin C ，所以由正弦定理，得b 2＝2ac .又a >c ，cos B ＝14，所以由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac ×14＝2ac ，即2×⎝⎛⎭⎫a c 2－5×a c ＋2＝0，解得a c ＝2或12(舍去)，故选A.8．若四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是( ) A ．正方形 B ．矩形 C ．菱形D ．直角梯形解析：选C.由AB →＋CD →＝0，即AB →＝DC →，可得四边形ABCD 为平行四边形，由(AB →－AD →)·AC →＝0，即DB →·AC →＝0，可得DB →⊥AC →，所以四边形一定是菱形，故选C.9．在△ABC 中，BC 边上的中线AD 的长为2，BC ＝26，则AB →·AC →＝( ) A ．1 B ．2 C ．－2D ．－1解析：选C.AB →·AC →＝(AD →＋DB →)·(AD →＋DC →)＝(AD →＋DB →)·(AD →－DB →)＝AD →2－DB →2＝4－6＝－2.10．在△ABC 中，若|AB →|＝1，|AC →|＝3，|AB →＋AC →|＝|BC →|，则AB →·BC →|BC →|＝( )A ．－32B ．－12C.12D.32解析：选 B.由向量的平行四边形法则，知当|AB →＋AC →|＝|BC →|时，∠A ＝90°.又|AB →|＝1，|AC →|＝3，故∠B ＝60°，∠C ＝30°，|BC →|＝2，所以AB →·BC →|BC →|＝|AB →||BC →|cos 120°|BC →|＝－12.11．在平行四边形ABCD 中，对角线AC ＝65，BD ＝17，周长为18，则这个平行四边形的面积等于( )A ．16B ．352C ．18D ．32解析：选A.设AB ＝CD ＝a ，AD ＝BC ＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧2（a ＋b ）＝18，65＋17＝2（a 2＋b 2），解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝4. 所以cos ∠BAD ＝52＋42－172×5×4＝35，所以sin ∠BAD ＝45，S ＝4×5×45＝16.12．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3a cos C ＝4c sin A ，已知△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝10，b ＝4，则a 的值为( ) A.233 B.253 C.263D.283解析：选B.由3a cos C ＝4c sin A 得a sin A ＝4c 3cos C ，又由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c sin C ＝4c3cos C ⇒tan C＝34，由S ＝12bc sin A ＝10，b ＝4⇒c sin A ＝5，由tan C ＝34⇒sin C ＝35，又根据正弦定理，得a ＝c sin A sin C ＝535＝253.故选B. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．解析：因为λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以λa ＋b ＝t (a ＋2b )＝t a ＋2t b ，又向量a ，b 不平行，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，所以⎩⎨⎧λ＝12，t ＝12.答案：1214．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________．解析：由已知条件和正弦定理得：3a ＝5b ，且b ＋c ＝2a ，则a ＝5b 3，c ＝2a －b ＝7b 3，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0<C <π，因此角C ＝2π3.答案：2π315．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.若sin B ＝2sin A ，则△ABC的面积为________．解析：因为sin B ＝2sin A ，所以b ＝2a . 又因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝4. 所以a ＝233，b ＝433.所以S △ABC ＝12ab sin C ＝233.答案：23316．某人在点C 测得塔顶A 在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进100米到点D 处，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为________米．解析：示意图如图，设塔高x 米，则BC ＝x 米，BD ＝3x 米(x >0)．因为CD ＝100米，∠BCD ＝80°＋40°＝120°，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ，所以3x 2＝x 2＋1002－2×100×x ×⎝⎛⎭⎫－12，所以2x 2－100x －10 000＝0.所以x 2－50x －5 000＝0.所以x ＝100或x ＝－50(舍去)．答案：100三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为60°，c ＝5a ＋3b ，d ＝3a ＋k b ，当实数k 为何值时，(1)c ∥d ； (2)c ⊥d .解：由题意得a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2×3×12＝3.(1)当c ∥d 时，c ＝λd ，则5a ＋3b ＝λ(3a ＋k b )．所以3λ＝5，且kλ＝3，所以k ＝95.(2)当c ⊥d 时，c ·d ＝0，则(5a ＋3b )·(3a ＋k b )＝0. 所以15a 2＋3k b 2＋(9＋5k )a ·b ＝0，所以k ＝－2914.18．(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积为4，求b ，c 的值．解：(1)因为cos B ＝35，所以sin B ＝45.因为a ＝2，b ＝4，所以sin A ＝a sin Bb ＝2×454＝25.(2)因为S △ABC ＝4＝12×2c ×45，所以c ＝5，所以b ＝4＋25－2×2×5×35＝17.19．(本小题满分12分)已知e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，AB →＝2e 1＋e 2，BE →＝－e 1＋λe 2，EC →＝－2e 1＋e 2，且A ，E ，C 三点共线．(1)求实数λ的值；(2)若e 1＝(2，1)，e 2＝(2，－2)，求BC →的坐标；(3)已知点D (3，5)，在(2)的条件下，若A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．解：(1)AE →＝AB →＋BE →＝(2e 1＋e 2)＋(－e 1＋λe 2)＝e 1＋(1＋λ)e 2.因为A ，E ，C 三点共线，所以存在实数k ，使得AE →＝kEC →，即e 1＋(1＋λ)e 2＝k (－2e 1＋e 2)，得(1＋2k )e 1＝(k －1－λ)e 2.因为e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2k ＝0，k －1－λ＝0，解得k ＝－12，λ＝－32.(2)BC →＝BE →＋EC →＝－3e 1－12e 2＝(－6，－3)＋(－1，1)＝(－7，－2)．(3)因为A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以AD →＝BC →.设A (x ，y )，则AD →＝(3－x ，5－y )．因为BC →＝(－7，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－x ＝－7，5－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝7，即点A 的坐标为(10，7)．20．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝2，C ＝60°. (1)求a ＋bsin A ＋sin B的值；(2)若a ＋b ＝ab ，求△ABC 的面积．解：(1)因为c ＝2，C ＝60°，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得a sin A ＝b sin B ＝a ＋b sin A ＋sin B ＝csin C ＝2sin 60°＝433，所以a ＋b sin A ＋sin B＝433.(2)由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即 4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab .因为a ＋b ＝ab ，所以(ab )2－3ab －4＝0，解得ab ＝4或ab ＝－1(舍去)．所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×32＝ 3.21．(本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .解：(1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) ＝36－2×172×⎝⎛⎭⎫1＋1517 ＝4. 所以b ＝2.22．(本小题满分12分)(2019·河南、河北重点中学第三次联考)如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝4，b ＝2，2c cos C ＝b ，D ，E 分别为线段BC 上的点，且BD ＝CD ，∠BAE ＝∠CAE .(1)求线段AD 的长； (2)求△ADE 的面积．解：(1)因为c ＝4，b ＝2，2c cos C ＝b ，所以cos C ＝b 2c ＝14.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋4－164a ＝14，所以a ＝4，即BC ＝4.在△ACD 中，CD ＝2，AC ＝2，所以AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD ·cos ∠ACD ＝6，所以AD ＝ 6.(2)因为AE 是∠BAC 的平分线，所以S △ABE S △ACE＝12AB ·AE ·sin ∠BAE12AC ·AE ·sin ∠CAE ＝AB AC ＝2，又S △ABE S △ACE ＝BE EC，所以BEEC ＝2，所以CE ＝13BC ＝43，DE ＝2－43＝23.又因为cos C ＝14，所以sin C ＝1－cos 2C ＝154.所以S △ADE ＝S △ACD －S △ACE ＝12×DC ×AC ×sin C －12EC ×AC ×sin C ＝12×DE ×AC ×sin C ＝156.。

高中数学必修二第六章平面向量及其应用专项训练题(带答案)

高中数学必修二第六章平面向量及其应用专项训练题单选题1、定义空间两个向量的一种运算a⃑⊗b⃑⃑=|a⃑|⋅|b⃑⃑|sin⟨a⃑,b⃑⃑⟩，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）A．λ(a⃑⊗b⃑⃑)=(λa⃑)⊗b⃑⃑B．(a⃑⊗b⃑⃑)⊗c⃑=a⃑⊗(b⃑⃑⊗c⃑)C．(a⃑+b⃑⃑)⊗c⃑=(a⃑⊗c⃑)+(b⃑⃑⊗c⃑)D．若a⃑=(x1,y1)，b⃑⃑=(x2,y2)，则a⃑⊗b⃑⃑=|x1y2−x2y1|答案：D分析：A．按λ的正负分类讨论可得，B．由新定义的意义判断，C．可举反例说明进行判断，D．与平面向量的数量积进行联系，用数量积求出两向量夹角的余弦值，转化为正弦值，代入计算可判断．A．(λa⃑)⊗b⃑⃑=|λa⃑||b⃑⃑|sin<λa⃑,b⃑⃑>，λ>0时，<λa⃑,b⃑⃑>=<a⃑,b⃑⃑>，(λa⃑)⊗b⃑⃑=λ|a⃑||b⃑⃑|sin<a⃑,b⃑⃑>=λ(a⃑⊗b⃑⃑)，λ=0时，λ(a⃑⊗b⃑⃑)=0,(λa⃑)⊗b⃑⃑=0，成立，λ<0时，<λa⃑,b⃑⃑>=π−<a⃑,b⃑⃑>，sin<λa⃑,b⃑⃑>=sin(π−<a⃑,b⃑⃑>)=sin<a⃑,b⃑⃑>(λa⃑)⊗b⃑⃑=−λ|a⃑||b⃑⃑|sin< a⃑,b⃑⃑>=−λ(a⃑⊗b⃑⃑)，综上，A不恒成立；B．a⃑⊗b⃑⃑是一个实数，(a⃑⊗b⃑⃑)⊗c⃑无意义，B不成立；C．若a⃑=(0,1),b⃑⃑=(1,0)，c⃑=(1,1)，则a⃑+b⃑⃑=(1,1)，<a⃑+b⃑⃑,c⃑>=0，(a⃑+b⃑⃑)⊗c⃑=|a⃑+b⃑⃑||c⃑|sin0=√2×√2×0=0，<a⃑,c⃑>=π4,<b⃑⃑,c⃑>=π4，(a⃑⊗c⃑)+(b⃑⃑⊗c⃑)=1×√2×sinπ4+1×√2×sinπ4=2，(a⃑+b⃑⃑)⊗c⃑≠(a⃑⊗c⃑)+(b⃑⃑⊗c⃑)，C错误；D．若a⃑=(x1,y1)，b⃑⃑=(x2,y2)，则|a⃑|=√x12+y12，|b⃑⃑|=√x22+y22，cos <a ⃑,b ⃑⃑>=1212√x 12+y 12×√x 22+y 22，sin <a ⃑,b ⃑⃑>=√1−cos 2<a ⃑,b ⃑⃑>=√1−(x 1x 2+y 1y 2)2(x 12+y 12)(x 22+y 22)=1221√(x 1+y 1)(x 2+y 2)，所以a ⃑⊗b ⃑⃑=|a ⃑||b ⃑⃑|sin <a ⃑,b⃑⃑>=|x 1y 2−x 2y 1|，成立．故选：D ．小提示：本题考查向量的新定义运算，解题关键是理解新定义，并能运用新定义求解．解题方法一种方法是直接利用新定义的意义判断求解，另一种方法是把新定义与向量的数量积进行联系，把新定义中的sin <a ⃑,b ⃑⃑>用cos <a ⃑,b⃑⃑>，而余弦可由数量积进行计算． 2、若|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=5，|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=8，则|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|的取值范围是（） A ．[3,8]B ．(3,8)C ．[3,13]D ．(3,13)答案：C分析：利用向量模的三角不等式可求得|BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑|的取值范围. 因为|BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，所以，||AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|−|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑||≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|≤|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|+|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，即3≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|≤13. 故选：C.3、已知非零平面向量a ⃗，b ⃑⃗，c ⃗，下列结论中正确的是（）（1）若a ⃗⋅c ⃗=b ⃑⃗⋅c ⃗，则a ⃗=b ⃑⃗；（2）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗|+|b ⃑⃗|，则a ⃗//b⃑⃗ （3）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗−b ⃑⃗|，则a ⃗⊥b ⃑⃗（4）若(a ⃗+b ⃑⃗)⋅(a ⃗−b ⃑⃗)=0，则a ⃗=b ⃑⃗或a ⃗=−b⃑⃗ A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（2）（3）（4）答案：B解析：根据向量的数量积运算，以及向量模的计算公式，逐项判断，即可得出结果.已知非零平面向量a ⃗，b ⃑⃗，c ⃗，（1）若a ⃗⋅c ⃗=b ⃑⃗⋅c ⃗，则(a ⃗−b ⃑⃗)⋅c ⃗=0，所以a ⃗=b ⃑⃗或(a ⃗−b ⃑⃗)⊥c ⃗，即（1）错；（2）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗|+|b ⃑⃗|，则a ⃗与b ⃑⃗同向，所以a ⃗//b⃑⃗，即（2）正确；（3）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗−b ⃑⃗|，则|a ⃗|2+|b ⃑⃗|2+2a ⃗⋅b ⃑⃗=|a ⃗|2+|b ⃑⃗|2−2a ⃗⋅b ⃑⃗，所以2a ⃗⋅b ⃑⃗=0，则a ⃗⊥b⃑⃗；即（3）正确；（4）若(a ⃗+b ⃑⃗)⋅(a ⃗−b ⃑⃗)=0，则|a ⃗|2−|b ⃑⃗|2=0，所以|a ⃗|=|b⃑⃗|，不能得出向量共线，故（4）错；故选：B.小提示：本题主要考查向量数量积的运算，考查向量有关的判定，属于基础题型.4、已知向量a ⃑，b ⃑⃑满足|a ⃑|=√3，|b ⃑⃑|=2，且a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑)，则a ⃑与b⃑⃑的夹角为（） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案：A分析：利用数量积的定义，即可求解.解：a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑),所以a ⃑⋅(a ⃑−b ⃑⃑)=0,即|a →|2−|a →||b →|cos <a →,b →>=0，解得cos <a →,b →>=√32,又因为向量夹角的范围为[0°,180°]，则a ⃑与b ⃑⃑的夹角为30°，故选：A. 5、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a +b )2−c 2=4，C =120°，则△ABC 的面积为（）A ．√33B ．2√33C ．√3D ．2√3 答案：C解析：利用余弦定理可求ab 的值，从而可求三角形的面积.因为C =120°，故c 2=a 2+b 2−2abcos120°=a 2+b 2+ab ，而(a +b )2−c 2=4，故c 2=a 2+b 2+2ab −4=a 2+b 2+ab ，故ab =4，故三角形的面积为12×ab ×sin120°=√34×4=√3，故选：C.6、△ABC 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知b 2+c 2−a 2=bc ，则A =（）A ．π6B ．5π6C ．π3D ．2π3答案：C分析：利用余弦定理求出cosA ，再求出A 即可.∵b 2+c 2−a 2=bc ,∴cosA =b 2+c 2−a 22bc =bc 2bc =12，∵0<A <π，∴A =π3. 故选：C7、已知向量a ⃑=(−1,m )，b ⃑⃑=(m +1,2)，且a ⃑⊥b⃑⃑，则m =（） A ．2B ．−2C ．1D ．−1答案：C分析：由向量垂直的坐标表示计算．由题意得a ⃑⋅b⃑⃑=−m −1+2m =0，解得m =1 故选：C ．8、已知直角三角形ABC 中，∠A =90°，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的最大值为（）A ．16+16√55B ．16+8√55C ．165D ．565答案：D分析：建立如图所示的坐标系，根据PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·PC⃑⃑⃑⃑⃑⃑=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2−5可求其最大值. 以A 为原点建系，B (0,2),C (4,0)，BC:x 4+y 2=1，即x +2y −4=0，故圆的半径为r =√5 ∴圆A:x 2+y 2=165，设BC 中点为D (2,1)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2−14BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2−14×20=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2−5， |PD |max =|AD |+r =√5+√5=√5，∴(PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)max =815−5=565，故选：D.多选题9、下列说法正确的有（）A ．若a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑，则a ⃑//c ⃑B ．若a ⃑=b ⃑⃑，b ⃑⃑=c ⃑，则a ⃑=c ⃑C ．若a ⃑//b ⃑⃑，则a ⃑与b⃑⃑的方向相同或相反D ．若AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑、BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑共线，则A 、B 、C 三点共线答案：BD分析：取b⃑⃑=0⃑⃑可判断AC 选项的正误；利用向量相等的定义可判断B 选项的正误；利用共线向量的定义可判断D 选项的正误.对于A 选项，若b ⃑⃑=0⃑⃑，a ⃑、c ⃑均为非零向量，则a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑成立，但a ⃑//c ⃑不一定成立，A 错；对于B 选项，若a ⃑=b ⃑⃑，b ⃑⃑=c ⃑，则a ⃑=c ⃑，B 对；对于C 选项，若b ⃑⃑=0⃑⃑，a ⃑≠0⃑⃑，则b⃑⃑的方向任意，C 错；对于D 选项，若AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑、BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑共线且AB 、BC 共点B ，则A 、B 、C 三点共线，D 对.故选：BD.10、下列说法正确的是（）A ．向量不能比较大小，但向量的模能比较大小B ．|a ⃑|与|b ⃑⃑|是否相等与a ⃑与b⃑⃑的方向无关 C ．若a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑，则a ⃑//c ⃑D ．若向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑与向量CD⃑⃑⃑⃑⃑⃑是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上答案：AB分析：根据向量的定义以及向量模的定义可判断A ，B ；举反例b⃑⃑=0⃑⃑时可判断C ；由共线向量的定义可判断D ，进而可得正确选项.对于A ：向量即有大小又有方向不能比较大小，向量的模可以比较大小，故选项A 正确；对于B ：|a ⃑|与|b ⃑⃑|分别表示向量a ⃑与b ⃑⃑的大小，与a ⃑，b⃑⃑的方向无关，故选项B 正确；对于C ：当b ⃑⃑=0⃑⃑时，向量a ⃑与c ⃑可以是任意向量都满足a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑，故选项C 不正确；对于D ：若向量AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑与向量CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑是共线向量，表示AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑与CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑方向相同或相反，得不出A ，B ，C ，D 四点在一条直线上，故选项D 不正确；故选：AB.11、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2cosAsinB =b 2sinAcosB ，则△ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案：AC分析：根据正弦定理和二倍角公式进行求解.∵a 2cosAsinB =b 2sinAcosB∴由正弦定理得sin 2AcosAsinB =sin 2BsinAcosB ，∵sinAcosA ≠0∴sinAcosA =sinBcosB ，即sin2A =sin2B∴2A =2B 或2A +2B =π，即该三角形为等腰三角形或直角三角形.故选：AC.填空题12、已知a ⃗,b ⃑⃑是空间两个向量，若|a ⃗|=2,|b ⃑⃗|=2,|a ⃗−b ⃑⃗|=√7，则cos 〈a ⃗,b⃑⃑〉＝________．答案：18 分析：根据向量几何法的模长公式，可得向量数量积的值，根据向量夹角余弦值的公式，可得答案.由|a ⃑−b ⃑⃑|=√7，可知(a ⃑−b ⃑⃑)2=7，则|a ⃑|2−2a ⃑⋅b⃑⃑+|b ⃑⃑|2=7， ∵|a ⃑|=2,|b ⃑⃑|=2，∴a ⃑⋅b ⃑⃑=12，则cos⟨a ⃑⋅b ⃑⃑⟩=a ⃑⃑⋅b ⃑⃑|a ⃑⃑|⋅|b ⃑⃑|=18. 所以答案是：18. 13、如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =2，DE =2EC ，M 为BC 的中点，若点P 在线段BD 上运动，则PE⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗的最小值为______.答案：2352 分析：构建直角坐标系，令AP⃑⃑⃑⃑⃑⃗=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+(1−λ)AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗求P 的坐标，进而可得PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗，由向量数量积的坐标表示及二次函数的性质求最值即可.以A 为坐标原点，AB ，AD 分别为x ，y 建系，则E(2,2)，M(3,1)，又AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(3,0)，AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(0,2)，令AP⃑⃑⃑⃑⃑⃗=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+(1−λ)AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(3λ,2−2λ)，0≤λ≤1，故P(3λ,2−2λ)，则PE⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(2−3λ,2λ)，PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(3−3λ,2λ−1)， PE⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(2−3λ)(3−3λ)+2λ(2λ−1) =13λ2−17λ+6，所以λ=1726时，PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗取最小值2352. 所以答案是：2352.14、海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得CD =45m ，∠ADB =135°，∠BDC =∠DCA =15°，∠ACB =120°，则AB 两点的距离为______m ．答案：45√5分析：先将实际问题转化为解三角形的问题，再利用正、余弦定理求解。

人教A版高一数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》单元练习题卷含答案解析 (68)

高一数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》单元练习题卷7（共22题）一、选择题（共10题）1. 在直角梯形 ABCD 中，AB ∥CD ，∠D =90∘，AB =2CD ，M 为 BC 的中点，若 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAD ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAB⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R )，则 λ+μ= ( )A ． 1B ． 54C ． 34D ． 232. 若平面向量 a 与 b ⃗ 的夹角为 120∘，a =(35,−45)，∣∣b ⃗ ∣∣=2，则 ∣∣2a −b ⃗ ∣∣ 等于 ( )A ． √3B ． 2√3C ． 4D ． 123. 在 △ABC 中，sin 2A ≤sin 2B +sin 2C −sinBsinC ，则 A 的取值范围是 ( ) A ． (0,π6]B ． [π6,π)C ． (0,π3]D ． [π3,π)4. 设 a ，b ⃗ 是向量，“∣a ∣=∣a +b ⃗ ∣”是“∣b ⃗ ∣=0”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 在 △ABC 中，角 A ，B ，C 所对应的边分别是 a ，b ，c ，已知 b =√3，∠A =45∘，∠B =60∘，则 a = ( ) A ． √2 B ． √3 C ．3√22D ． √66. 在 △ABC 中，a =2，c =1，∠B =60∘，那么 b 等于 ( ) A ． √5 B ． √3 C ． 1 D ．√327. 在 △ABC 中，内角 A 和 B 所对的边分别为 a 和 b ，则 a >b 是 sinA >sinB 的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8. 在 △ABC 中，AC =√5，BC =√10，cosA =2√55，则 △ABC 的面积为 ( )A ． 52B ． 5C ． 10D ．√1029. 在 △ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，cos 2C2=a+b 2a，则 △ABC 的形状一定是 ( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形10. 正方形 ABCD 中，M ，N 分别是 BC ，CD 的中点，若 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μBN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 λ+μ= ( ) A ． 65B ． 85C ． 2D ． 83二、填空题（共6题）11. 如图，已知 AC =2，B 为 AC 的中点，分别以 AB ，AC 为直径在 AC 的同侧作半圆，M ，N分别为两半圆上的动点（不含端点 A ，B ，C ），且 BM ⊥BN ，则 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为．12. 设 e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 为单位向量，且 e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 的夹角为 π3, 若 a =e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，b ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ , 则向量 a在 b ⃗ 方向上的投影为．13. 如图，在 △ABC 中，AB =3，AC =2，∠BAC =60∘，D ，E 分别为边 AB ，AC 上的点，AE =1，且 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12，则 ∣AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣= ，若 P 是线段 DE 上的一个动点，则 BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为．14. 某城市的电视发射搭建在市郊的一座小山上．如图所示，小山高 BC 为 30 米，在地平面上有一点 A ，测得 A ，C 两点间距离为 50 米，从点 A 观测电视发射塔的视角（∠CAD ）为 45∘，则这座电视发射塔的高度为米．15. 在边长为 1 的正方形 ABCD 中，∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣= ．16. 如图，在 △ABC 中，点 P 在 BC 边上，∠PAC =60∘，PC =2，AP +AC =4，若 △ABC 的面积是3√32，则 sin∠BAP = ．三、解答题（共6题）17. 设 P 1P 2⋯P 2018 是半径为 l 的圆 O 内接正 2018 边形，M 是圆上的动点．(1) 求 ∣∣P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +P 2P 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +P 3P 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋯+P 2017P 2018⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −P 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 的取值范围； (2) 求证：MP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+MP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+⋯+MP 2018⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2为定值，并求出该定值．18. 设向量 a ，b ⃗ 满足 ∣a ∣=∣∣b ⃗ ∣∣=1 及 ∣∣3a −2b ⃗ ∣∣=√7．(1) 求向量 a ，b⃗ 的夹角的大小；(2) 求 ∣∣3a +b ⃗ ∣∣ 的值．19. 如图，C 是点 B 关于点 A 的对称点，D 是线段 OB 靠近点 B 的三等分点，设 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AO⃗⃗⃗⃗⃗ =b⃗ ．(1) 用向量 a 与 b⃗ 表示向量 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2) 若 OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =45OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：C ，D ，E 三点共线．20. 在一个平面内，一质点 O 受三个力 F 1⃗⃗⃗ ，F 2⃗⃗⃗⃗ ，F 3⃗⃗⃗⃗ 的作用保持平衡，其中 F 3⃗⃗⃗⃗ 与 F 2⃗⃗⃗⃗ 的夹角为 α，F 3⃗⃗⃗⃗ 与 F 1⃗⃗⃗ 的夹角为 β．(1) 若 α=120∘，β=150∘，∣F 3⃗⃗⃗⃗ ∣=10，求力 F 1⃗⃗⃗ ，F 2⃗⃗⃗⃗ 的大小； (2) 若 ∣F 1⃗⃗⃗ ∣:∣F 2⃗⃗⃗⃗ ∣:∣F 3⃗⃗⃗⃗ ∣=1:√2:√3，求 α 与 β 的余弦值．21. 在锐角 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，若 a =√7，b =3，√7sinB +sinA =2√3．(1) 求角 A 的大小； (2) 求 sin (2B +π6) 的值．22. 如图，平行四边形 ABCD 中，E ，F 分别是 BC ，DC 的中点，G 为 DE ，BF 的交点．若 AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，试以 a ，b⃗ 为基底表示 DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CG ⃗⃗⃗⃗⃗ ．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【解析】如图，连接 AC ，因为 M 为 BC 的中点，所以 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，因为 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAD ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 λ=12，μ=34，所以 λ+μ=54．【知识点】平面向量的分解2. 【答案】B【解析】因为平面向量 a 与 b ⃗ 的夹角为 120∘，a =(35,−45)，∣∣b ⃗ ∣∣=2，所以 ∣a ∣=1，所以 a ⋅b ⃗ =∣a ∣⋅∣∣b ⃗ ∣∣⋅cos120∘=1×2×(−12)=−1，所以 ∣∣2a −b ⃗ ∣∣2=4∣a ∣2+∣∣b ⃗ ∣∣2−4a⋅b ⃗ =4+4−4×(−1)=12，所以 ∣∣2a −b ⃗ ∣∣=2√3．【知识点】平面向量数量积的坐标运算3. 【答案】C【解析】由已知及正弦定理，得 a 2≤b 2+c 2−bc ，由余弦定理，得 a 2=b 2+c 2−2bc ⋅cosA ，于是b2+c2−2bc⋅cosA≤b2+c2−bc，则cosA≥12，又0<A<π，且余弦函数在(0,π)上是减函数，所以0<A≤π3．【知识点】余弦定理、正弦定理4. 【答案】B【解析】当“∣a∣=∣a+b⃗∣”时，可能a=2，b=−4，不满足“∣b⃗∣=0”．当“∣b⃗∣=0”时，“∣a∣=∣a+b⃗∣”．所以“∣a∣=∣a+b⃗∣”是“∣b⃗∣=0”的必要不充分条件．【知识点】平面向量的加减法及其几何意义、充分条件与必要条件5. 【答案】A【知识点】正弦定理6. 【答案】B【知识点】余弦定理7. 【答案】C【解析】在三角形中，若a>b，由正弦定理asinA =bsinB，得sinA>sinB．若sinA>sinB，则正弦定理asinA =bsinB，得a>b，所以，a>b是sinA>sinB的充要条件．故选：C．【知识点】正弦定理8. 【答案】A【解析】因为AC=√5，BC=√10，cosA=2√55，所以sinA=√1−cos2A=√55，所以由余弦定理BC2=AC2+AB2−2AB⋅AC⋅cosA，可得：10=5+AB2−2×√5×AB×2√55，整理可得：AB2−4AB−5=0，所以解得：AB=5或−1（舍去），所以S△ABC=12AB⋅AC⋅sinA=12×5×√5×√55=52．【知识点】三角形的面积公式、余弦定理9. 【答案】A【解析】因为 cos 2C2=a+b 2a，所以1+cosC 2=sinA+sinB 2sinA，化简得 sinAcosC =sinB ．因为 B =π−(A +C )，所以 sinAcosC =sin (A +C )，化简得 cosAsinC =0．因为 sinC ≠0，所以 cosA =0，所以 A =90∘，所以 △ABC 是直角三角形．【知识点】正弦定理10. 【答案】B【解析】以 AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：设正方形边长为 1，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,12)，BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1)．因为 AC⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μBN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 {λ−12μ=1,12λ+μ=1, 解得 {λ=65,μ=25,所以 λ+μ=85．【知识点】平面向量数乘的坐标运算二、填空题（共6题） 11. 【答案】 14【解析】【解法 1 】（坐标法）以点 B 为坐标原点，线段 AC 所在的直线为 x 轴，建立平面坐标系．设 ∠NBC =∠MAB =α，α∈(0,π2)，，则 M (−sin 2α,sinαcosα)，N (cosα,sinα)， A (−1,0)，C (1,0)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−sin 2α,sinαcosα)⋅(cosα−1,sinα)=(1−sin 2α)(cosα−1)+sin 2αcosα=cosα−1+sin 2α=−cos 2α+cosα=−(cosα−12)2+14,当 cosα=12，α=π3 时，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 14．【解法 2 】（定义法）设 ∠NBC =∠MAB =α，α∈(0,π2)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +cosα−1=∣BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣BA⃗⃗⃗⃗⃗ ∣sinα+cosα−1=∣BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣2+∣AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣−1=−∣AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣2+∣AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣,令 ∣AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=t ，0<t <1，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =t −t 2∈(0,14]，所以 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 14．【解法 3 】（解析几何法）以点 B 为坐标原点，线段 AC 所在的直线为 x 轴，建立平面坐标系．设直线 BN 的斜率为 k (k >0)，则直线 BM 的斜率为 −1k ，则直线 BN 的方程为 y =kx ，直线 BM 的方程为 y =−1k x ，联立 {y =kx,x 2+y 2=1,解得 N (√1+k 2√1+k 2，联立 {y =−1k x,(x +12)2+y 2=14,解得 M (−k 2k 2+1,kk 2+1)，因为 A (−1,0)，C (1,0)，所以 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1k 2+1,kk 2+1)，CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√1+k 2√1+k 2)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =1k 2+1(√1+k21)+kk 2+1⋅√1+k 2=1k 2+1(2√1+k 21)=√1+k 2−1k 2+1,令 t =√1+k 2，则 0<t <1，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =t −t 2∈(0,14]，所以 AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 14．【知识点】平面向量数量积的坐标运算、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质12. 【答案】 32【解析】 e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 为单位向量，且 e 1⃗⃗⃗ 、 e 2⃗⃗⃗ 的夹角为 π3，可得 e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =∣e 1⃗⃗⃗ ∣∣e 2⃗⃗⃗ ∣cos60∘=12，所以 a ⋅b ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ 2+2e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =2+2×12=3，∣b ⃗ ∣=2，所以向量 a 在 b ⃗ 方向上的射影为 a ⃗ ⋅b ⃗ ∣b ⃗∣=32．【知识点】平面向量的数量积与垂直13. 【答案】 1 ； −116【解析】因为 AD⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =∣AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣⋅∣AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣⋅cos60∘=∣AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣×1×12=12，所以 ∣AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=1．又因为 AE =1 且 ∠BAC =60∘，所以 △ADE 为等边三角形，所以 DE =1，∠BDP =∠CEP =120∘，BD =2，EC =1．设 DP 的长为 x (0≤x ≤1)，则 PE =1−x ， BP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DP ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EP ⃗⃗⃗⃗⃗ +DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ +DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EP⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1×12+2(1−x )(−12)+x ×1×(−12)+x (1−x )(−1)=x 2−x 2=(x −14)2−116≥−116,当且仅当 x =14 时取等号，所以 BP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 −116．【知识点】平面向量的数量积与垂直14. 【答案】 250【解析】根据题意，画出几何图形如下图所示．由题意可知，BC =30，AC =50，∠CAD =45∘．设 CD =x ，则 cos∠ACB =35．由诱导公式可知 cos∠ACD =−35，所以 sin∠ACD =45，则sin∠ADC =sin (180∘−∠DAC −∠ACD )=sin (∠DAC +∠ACD )=√22×(−35)+45×√22=√210. 在 △ACD 中，由正弦定理可得 DC sin∠DAC=AC sin∠ADC，代入可得 x sin45∘=√210，解得 x =√210sin45∘=√2√22=250．即电视发射塔的高度为 250 米．【知识点】解三角形的实际应用问题15. 【答案】 √2【解析】在边长为 1 的正方形 ABCD 中，AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=√2，所以 ∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=√2．【知识点】平面向量的加减法及其几何意义16. 【答案】√2114【知识点】余弦定理、正弦定理三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 因为 P 1P 2⋯P 2018 是半径为 l 的圆 O 内接正 2018 边形，M 是圆上的动点，所以∣∣P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +P 2P 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +P 3P 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋯+P 2017P 2018⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −P 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣P 1P 2018⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −P 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣MP 2018⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣.所以 ∣∣P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +P 2P 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +P 3P 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋯+P 2017P 2018⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −P 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 的取值范围是 [0,2]．(2) 把 OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，⋯，OP 2018⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 这 2018 个向量都旋转 2π2018 后，OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋯+OP 2018⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不变，所以和向量旋转 2π2018 弧度后也不变，所以 OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋯+OP 2018⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，所以MP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+MP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+⋯+MP 2018⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2+(OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2+⋯+(OP 2018⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=(OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+⋯+OP 218⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2)−2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋯+OP 2018⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+2018OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=2018−2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋯+OP 2018⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+2018=2018−2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅0⃗ +2018=4036.【知识点】平面向量的数量积与垂直18. 【答案】(1) 设 a ，b ⃗ 所成角为 θ，由 ∣∣3a −2b ⃗ ∣∣=√7 可得 9a2−12a ⋅b ⃗ +4b ⃗ 2=7，将 ∣a ∣=∣∣b ⃗ ∣∣=1 代入得：a ⋅b ⃗ =12，所以 a ⋅b ⃗ =∣a ∣∣∣b ⃗ ∣∣cosθ=cosθ=12，又 θ∈[0,π]，故 θ=π3，即 a ,b ⃗ 所成角的大小为 π3．(2) 因为 ∣∣3a +b ⃗ ∣∣2=9a 2+6a ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=9∣a ∣2+6a ⋅b ⃗ +∣∣b ⃗ ∣∣2=13，所以 ∣∣3a +b ⃗ ∣∣=√13．【知识点】平面向量的数量积与垂直19. 【答案】(1) 因为 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AO⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，所以OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−b ⃗ −a ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2a +13(−a +b ⃗ )=53a +13b⃗ ． (2) 因为 OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =45OA⃗⃗⃗⃗⃗ 所以 CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =OE ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =45(−b ⃗ )+a +b ⃗ =a +15b ⃗ =35CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，因为 CE⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又因为 CE 与 CD 有共同点 C ，所以 C ，D ，E 三点共线．【知识点】平面向量的分解、平面向量的数乘及其几何意义20. 【答案】(1) 因为质点在 F 1⃗⃗⃗ ，F 2⃗⃗⃗⃗ ，F 3⃗⃗⃗⃗ 的作用下保持平衡，所以 F 1⃗⃗⃗ +F 2⃗⃗⃗⃗ +F 3⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，所以 F 3⃗⃗⃗⃗ =−(F 1⃗⃗⃗ +F 2⃗⃗⃗⃗ )，又 α=120∘，β=150∘，所以 F 1⃗⃗⃗ 与 F 2⃗⃗⃗⃗ 的夹角为 90∘，所以 F 1⃗⃗⃗ ⋅F 2⃗⃗⃗⃗ =0，∣F 3⃗⃗⃗⃗ ∣2=[−(F 1⃗⃗⃗ +F 2⃗⃗⃗⃗ )]2=F 1⃗⃗⃗ 2+2F 1⃗⃗⃗ ⋅F 2⃗⃗⃗⃗ +F 22⃗⃗⃗⃗ =F 12⃗⃗⃗⃗ +F 22⃗⃗⃗⃗ ，将 ∣F 3⃗⃗⃗⃗ ∣=10 代入可得 F 12⃗⃗⃗⃗ +F 22⃗⃗⃗⃗ =100．如图．易得 ∠1=30∘，所以 ∣F 1⃗⃗⃗ ∣=∣F 3⃗⃗⃗⃗ ∣×cos30∘=10×√32=5√3，∣F 2⃗⃗⃗⃗ ∣=∣F 3⃗⃗⃗⃗ ∣×sin30∘=10×12=5． (2) 因为 ∣F 1⃗⃗⃗ ∣:∣F 2⃗⃗⃗⃗ ∣:∣F 3⃗⃗⃗⃗ ∣=1:√2:√3，且质点处于平衡状态，所以以 ∣F 1⃗⃗⃗ ∣，∣F 2⃗⃗⃗⃗ ∣，∣F 3⃗⃗⃗⃗ ∣ 为边长的三角形为直角三角形，如图所示，所以 cos∠1=√3=√33，cos∠2=√2√3=√63，所以 cosβ=cos (π−∠1)=−cos∠1=−√33， cosα=cos (π−∠2)=−cos∠2=−√63．【知识点】平面向量的数量积与垂直21. 【答案】(1) 在锐角 △ABC 中，由正弦定理得 a sinA =b sinB ，所以 sinB =bsinA a =3√7sinA 7．因为 √7sinB +sinA =2√3，所以 4sinA =2√3．所以 sinA =√32，又 0<A <π2，所以 A =π3．(2) 由（Ⅰ）知 sinB =3√7sinA 7=3√2114．又 0<B <π2，所以 cosB =√1−sin 2B =√714．所以 sin2B =2sinBcosB =2×3√2114×√714=3√314，cos2B =cos 2B −sin 2B =7196−189196=−1314．所以 sin (2B +π6)=sin2Bcos π6+cos2Bsin π6=3√314×√32−1314×12=−17.【知识点】二倍角公式、两角和与差的正弦、正弦定理22. 【答案】 DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a −12b ⃗ ，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a +b ⃗ ，由 △DCE ∽△HBE ⇒DC =HB ，由 △DFG ∽△HBG ⇒FG =12GB ，CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =CF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a +13FB⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a +13(FC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−12a +13(12a −b⃗ )=−13a −13b⃗ .【知识点】平面向量的分解。

高中数学必修二第六章平面向量及其应用必考知识点归纳(带答案)

高中数学必修二第六章平面向量及其应用必考知识点归纳单选题1、已知向量a⃑=(1,−√7)，|b⃑⃑|=3，a⃑⋅b⃑⃑=3√6，则a⃑与b⃑⃑的夹角为（）A．π6B．π4C．π3D．2π3答案：A分析：先计算向量a⃑的模，再根据向量数量积的定义，将a⃑⋅b⃑⃑=3√6展开，即可求得答案. 因为a⃑=(1,−√7)，所以|a⃑|=√12+(−√7)2=2√2，又因为a⃑⋅b⃑⃑=3√6，设a⃑与b⃑⃑的夹角为θ，θ∈[0,π]，所以|a⃑||b⃑⃑|cosθ=3√6，即2√2×3×cosθ=3√6，解得cosθ=√32，故θ=π6，故选：A.2、在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且B=π3，b=3，a=√3，则c=（）．A．√3B．2√3C．3−√3D．3答案：B分析：利用余弦定理可构造方程直接求得结果.在△ABC中，由余弦定理得：b2=a2+c2−2accosB=3+c2−√3c=9，即c2−√3c−6=0，解得：c=2√3或c=−√3（舍），∴c=2√3.故选：B.3、已知向量a⃑与b⃑⃑的夹角为π6，且|a⃑|=2|b⃑⃑|=2，则a⃑⋅b⃑⃑=（）A．√3B．1C．2√3D．2答案：A解析：利用向量数量积的定义即可求解.由|a⃑|=2|b⃑⃑|=2，则|a⃑|=2，|b⃑⃑|=1，又向量a⃑与b⃑⃑的夹角为π6，所以a⃑⋅b⃑⃑=|a⃑||b⃑⃑|cos⟨a⃑,b⃑⃑⟩=2×1×√32=√3.故选：A小提示：本题考查了向量数量积的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.4、已知向量a⃗=(√3,1)，b⃑⃗=(−√3,1)，则a⃗与b⃑⃗的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°答案：C分析：根据数量积的夹角公式进行求解，再结合平面向量夹角范围即可得到答案解：cos⟨a⃗,b⃑⃑⟩=a⃑⃗⋅b⃑⃑|a⃑⃗||b⃑⃑|=−3+12×2=−12，因为0°≤⟨a⃗,b⃑⃑⟩≤180°，所以⟨a⃗,b⃑⃑⟩=120°，故选：C5、△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，C=30∘，c=10.如果△ABC有两解，则a的取值范围是（）A．[10,20]B．[10,10√3]C．(10,10√3)D．(10,20)答案：D分析：作出图形，根据题意可得出关于a的不等式，由此可解得a的取值范围.如下图所示：因为△ABC有两解，所以asinC=12a<c=10<a，解得10<a<20.故选：D.6、如图，△ABC中，角C的平分线CD交边AB于点D，∠A=2π3，AC=2√3，CD=3√2，则BC=（）A．3√3B．4C．4√2D．6答案：D分析：△ACD中由正弦定理求得∠ADC后可得∠ACD，从而得∠ACB，B角，得AB，用余弦定理可得BC．在△ACD中，根据正弦定理得sin∠ADC=AC⋅sinACD =2√3×√323√2=√22，由∠ADC<∠A，所以∠ADC=π4，所以∠ACD=π−2π3−π4=π12，所以∠ACB=π6，则∠B=π6，所以AB=AC=2√3，在△ABC中，由余弦定理得BC2=(2√3)2+(2√3)2−2×2√3×2√3×(−12)=36，所以BC=6．故选：D．小提示：关键点点睛：本题主要考查正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值等基础知识，解题时对照已知条件选用恰当的公式进行计算．如先在△ACD中选用正弦定理求得两边中另一边的对角，可得三角形的第三角，这样图形听所有角都已知，然后再求选用公式求边．本题也可以不用余弦定理求边BC．7、如图，四边形ABCD是平行四边形，则12AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=（）A ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑B ．CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑C ．CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑D ．AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：D分析：由平面向量的加减法法则进行计算. 由题意得AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑，所以12AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑.故选：D.8、若|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=5，|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=8，则|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|的取值范围是（） A ．[3,8]B ．(3,8) C ．[3,13]D ．(3,13) 答案：C分析：利用向量模的三角不等式可求得|BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑|的取值范围. 因为|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，所以，||AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|−|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑||≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|≤|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|+|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，即3≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|≤13. 故选：C. 多选题9、设△ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，下列命题正确的是（） A ．若a 2+b 2<c 2，则C >π2B ．若ab =c 2，则C ≥π3 C ．若a 3+b 3=c 3，则C <π2 D ．若a +b =2c ，则C >π2 答案：AC分析：利用余弦定理及基本不等式一一判断即可；解：对于A 选项，a 2+b 2<c 2，可以得出cosC =a 2+b 2−c 22ab <0，∴C >π2，故A 正确；对于B 选项，因为ab =c 2，所以cos C =a 2+b 2−c 22ab≥2ab−ab 2ab=12，当且仅当a =b 时取等号，因为C ∈(0,π)，所以0<C ≤π3，故B 错误；对于C 选项，假设C ≥π2，则c >a ，c >b ，则c 2≥a 2+b 2，所以c 3≥a 2c +b 2c >a 3+b 3与a 3+b 3=c 3矛盾，∴C <π2，故C 正确，对于D 选项，取a =b =c =2，满足a +b =2c ，此时C =π3，故D 错误；故选：AC.10、已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c 且a ＝6，4sin B ＝5sin C ，有以下四个命题中正确命题有（）A ．△ABC 的面积的最大值为40B ．满足条件的△ABC 不可能是直角三角形 C ．当A ＝2C 时，△ABC 的周长为15D ．当A ＝2C 时，若O 为△ABC 的内心，则△AOB 的面积为√7 答案：ACD分析：对于A ，运用圆的方程和三角形的面积公式，即可得到所求最大值；对于B ，考虑勾股定理的逆定理，即可判断；对于C ，运用正弦定理可得4b ＝5c ，运用三角函数的恒等变换，即可得到所求周长；对于D ，运用正弦定理和三角函数的恒等变换、三角形的面积公式和等积法，即可得到所求面积. 以BC 的中点为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，可得B （﹣3，0），C （3，0）， 4sin B ＝5sin C ，可得4b ＝5c ，设A （m ，n ），可得4√(m −3)2+n 2＝5√(m +3)2+n 2，平方可得16（m 2+n 2﹣6m +9）＝25（m 2+n 2+6m +9），即有m 2+n 2+823m +9＝0，化为（m +413）2+n 2＝（403）2，则A 的轨迹为以（﹣413，0），半径为403的圆，可得△ABC 的面积的最大值为12×6×403＝40，故A 对；a ＝6，4sin B ＝5sin C 即4b ＝5c ，设b ＝5t ，c ＝4t ，由36+16t 2＝25t 2，可得t ＝43，满足条件的△ABC 可能是直角三角形，故B 错误；a ＝6，4sin B ＝5sin C ，A ＝2C ，可得B ＝π﹣3C ，由正弦定理可得4b ＝5c ，可得b ＝5c4，由b sinB ＝csinC ，可得5c 4sin(π−3C)＝csinC ＝5c 4sinC (4cos 2C−1)，由sin C ≠0，可得：4cos 2C ﹣1＝54，解得：cos C ＝34，或﹣34（舍去），sin C ＝√1−cos 2C ＝√74，可得sin A ＝2sin C cos C ＝2×34×√74＝3√78， 3√78＝√74，可得：c ＝4，b ＝5，则a +b +c ＝15，故C 对；a ＝6，4sin B ＝5sin C ，A ＝2C ，可得B ＝π﹣3C ，由正弦定理可得4b ＝5c ，可得b ＝5c4，由b sinB＝csinC，可得5c 4sin(π−3C)＝csinC ＝5c 4sinC (4cos 2C−1)，由sin C ≠0，可得：4cos 2C ﹣1＝54，解得：cos C ＝34，或﹣34（舍去）， sin C ＝√1−cos 2C ＝√74，可得：sin A ＝2sin C cos C ＝2×34×√74＝3√78， 3√78＝c √74，可得：c ＝4，b ＝5，S △ABC ＝12bc sin A ＝12×5×4×3√78＝15√74. 设△ABC 的内切圆半径为R ，则R ＝2Sa+b+c＝2×15√744+5+6＝√72，S △ABO ＝12cR ＝12×4×√72＝√7.故D 对.故选：ACD .小提示：本题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，考查转化思想和运算能力，属于难题.11、已知向量a ⃑=(2,1)，b ⃑⃑=(−3,1)，则（） A ．(a ⃑+b ⃑⃑)⊥a ⃑B ．|a ⃑+2b⃑⃑|=6 C ．向量a ⃑在向量b ⃑⃑上的投影向量是(−65,25)D ．(2√55,√55)是向量a ⃑的单位向量答案：AD分析：根据向量坐标的线性运算及数量积的坐标运算即可判断判断A ；根据向量坐标的线性运算及向量的模的坐标运算即可判断判断B ；根据投影向量的计算公式即可判断C ；判断向量(2√55,√55)是否与向量a ⃑共线，及模是否为1，即可判断D.解：对于A ，a ⃑+b ⃑⃑=(−1,2)，则(a ⃑+b ⃑⃑)⋅a ⃑=−2+2=0，所以(a ⃑+b ⃑⃑)⊥a ⃑，故A 正确；对于B ，a ⃑+2b ⃑⃑=(−4,3)，则|a ⃑+2b ⃑⃑|=5，故B 错误；对于C ，向量a ⃑在向量b ⃑⃑上的投影向量为|a ⃑|⋅cos⟨a ⃑,b ⃑⃑⟩⋅b⃑⃑|b⃑⃑|=a⃑⃑⋅b ⃑⃑|b⃑⃑|⋅b⃑⃑|b⃑⃑|=−5b ⃑⃑10=(32,−12)，故C 错误；对于D ，因为向量(2√55,√55)的模等于1，2√55×1−2×√55=0，所以向量(2√55,√55)与向量a ⃑共线，故(2√55,√55)是向量a ⃑的单位向量，故D 正确.故选：AD. 填空题12、骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆D （后轮）的半径均为√3，△ABE ，△BEC ，△ECD 均是边长为4的等边三角形，设点P 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的最大值为___________.答案：36分析：由题意以AD 所在的直线为x 轴，以点D 为坐标原点建立平面直角坐标系，将所涉及的点的坐标求出，其中P 点坐标借助于三角函数表示，则所求的结果即可转化为三角函数的最值问题求解.由题意圆D （后轮）的半径均为√3，△ABE ，△BEC ，△ECD 均是边长为4的等边三角形，点P 为后轮上的一点，如图以AD 所在的直线为x 轴，以点D 为坐标原点建立平面直角坐标系：则A (−8,0)，B(−6,2√3)，C(−2,2√3).圆D 的方程为x 2+y 2=3，设P(√3cosα,√3sinα)，所以AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(6,2√3)，BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(√3cosα+6,√3sinα−2√3)，故AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=6sinα+6√3cosα+24=12sin (α+π3)+24≤12+24=36. 所以答案是：36.13、海伦公式是利用三角形的三条边的边长a ，b ，c 直接求三角形面积S 的公式，表达式为：S =√p(p −a)(p −b)(p −c),p =a+b+c 2；它的特点是形式漂亮，便于记忆．中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦－秦九韶公式．现在有周长为10+2√7的△ABC 满足sinA:sinB:sinC =2:3:√7，则用以上给出的公式求得△ABC 的面积为___________．答案：6√3分析：由正弦定理得三角形三边之比，由周长求出三边，代入公式即可． ∵sinA:sinB:sinC =2:3:√7，∴a:b:c =2:3:√7， ∴△ABC 周长为10+2√7，即a +b +c =10+2√7， ∴a =4，b =6，c =2√7，∴p =4+6+2√72=5+√7，∴△ABC 的面积S =√(5+√7)(1+√7)(√7−1)(5−√7)=6√3．所以答案是：6√3．14、已知P ，Q 分别是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=a ⃑,DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=b ⃑⃑，且a ⃑,b ⃑⃑是不共线的向量，则向量PQ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=___________. 答案：−12a ⃑−12b⃑⃑ 分析：取AB 的中点E ，连接PE,QE ，然后利用向量的加法法则和三角形中位线定理求解. 如图，取AB 的中点E ，连接PE,QE ，因为P ，Q 分别是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=a ⃑,DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=b⃑⃑ 所以PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−12a ⃑,EQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−12b⃑⃑，所以PQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+EQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−12a ⃑−12b⃑⃑. 所以答案是：−12a ⃑−12b⃑⃑解答题15、已知向量a ⃑与b ⃑⃑的夹角为120∘，|a ⃑|=3，|b ⃑⃑|=2. （1）求(2a ⃑+b ⃑⃑)⋅(a ⃑−2b ⃑⃑)的值；（2）求|2a ⃑+b ⃑⃑|的值. 答案：（1）19；（2）2√7.分析：（1）由向量数量积的定义计算即可求解；（2）先计算|2a ⃑+b ⃑⃑|2=(2a ⃑+b ⃑⃑)2的值，再开方即可求解. （1）因为|a ⃑|=3，|b ⃑⃑|=2，且a ⃑，b ⃑⃑的夹角为120∘，所以a ⃑⋅b ⃑⃑=|a ⃑|⋅|b⃑⃑|⋅cos120∘=3×2×(−12)=−3，所以(2a ⃑+b ⃑⃑)⋅(a ⃑−2b ⃑⃑)=2a ⃑2−3a ⃑⋅b⃑⃑−2b ⃑⃑2=2|a⃑|2−3a⃑⋅b⃑⃑−2|b⃑⃑|2=2×9−3×(−3)−2×4=19；（2）|2a⃑+b⃑⃑|2=(2a⃑+b⃑⃑)2=4|a⃑|2+4a⃑⋅b⃑⃑+|b⃑⃑|2=36−12+4=28，所以|2a⃑+b⃑⃑|=2√7.。

部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案重点知识归纳

(名师选题)部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案重点知识归纳单选题1、在△ABC 中，已知AB =6，AC =2，且满足DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，AE ⃑⃑⃑⃑⃑ =EC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，若线段CD 和线段BE 的交点为P ，则AP⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅(CA ⃑⃑⃑⃑⃑ +CB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=（）. A ．3B ．4C ．5D ．62、向量PA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(k,12)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(4,5)，PC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(10,k)．若A,B,C 三点共线，则k 的值为（） A ．−2B ．1C ．−2或11D ．2或−113、已知向量a =(−1,m )，b ⃑ =(m +1,2)，且a ⊥b ⃑ ，则m =（） A ．2B ．−2C ．1D ．−14、在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（） A ．19B ．13C ．12D ．235、某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得角∠A ＝23°，∠C ＝120°，AC =60√3米，则A ，B 间的直线距离约为（参考数据sin37°≈0.6）（）A ．60米B ．120米C ．150米D ．300米6、已知向量|a |=2,|b ⃑ |=4，且a ,b ⃑ 不是方向相反的向量，则|a −b ⃑ |的取值范围是（） A ．(2,6)B ．[2,6) C ．(2,6]D ．[2,6]7、魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”则海岛的高AB =（）A ．表高×表距表目距的差+表高B ．表高×表距表目距的差−表高 C ．表高×表距表目距的差+表距D ．表高×表距表目距的差−表距8、在△ABC 中，AB =1，AC =2，∠BAC =60°，P 是△ABC 的外接圆上的一点，若AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ + nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则m +n 的最小值是（） A ．−1B ．−12C ．−13D ．−16 多选题9、在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，点G 为△ABC 的重心，则下述结论中正确的是（） A ．AB⃑⃑⃑⃑⃑ +BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =CA ⃑⃑⃑⃑⃑ B ．AG ⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ) C ．AF ⃑⃑⃑⃑⃑ +BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +CE ⃑⃑⃑⃑⃑ =0⃑ D ．GA ⃑⃑⃑⃑⃑ +GB ⃑⃑⃑⃑⃑ +GC ⃑⃑⃑⃑⃑ =0⃑10、在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知cosBcosC =b2a−c ， S △ABC =3√34，且b =3，则A ．cosB =12B ．cosB =√32C ．a +c =√3D ．a +c =3√211、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A =π3，b +c =10，a =2√10，则三角形的面积不可能是（）A ．5√3B ．6√3C ．14√3D ．16√3 填空题12、在△ABC 中，P 是BC 上一点，若BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =2PC ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =λAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +μAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则2λ+μ=___________.部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案(二)参考答案1、答案：B分析：待定系数法将AP ⃑⃑⃑⃑⃑ 向量分解，由平面向量共线定理求出系数，然后代回原式计算设AP⃑⃑⃑⃑⃑ =xAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +yAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，由DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2AD ⃑⃑⃑⃑⃑ 知AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =3AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =3xAD ⃑⃑⃑⃑⃑ +yAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，∵D ，P ，C 三点共线，∴3x +y =1①，由AE⃑⃑⃑⃑⃑ =EC ⃑⃑⃑⃑⃑ 知AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =2AE ⃑⃑⃑⃑⃑ ，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =xAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +2yAE ⃑⃑⃑⃑⃑ ，∵B ，P ，E 三点共线，∴x +2y =1②，由①②得：x =15.y =25，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =15AB⃑⃑⃑⃑⃑ +25AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，而CA⃑⃑⃑⃑⃑ +CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =−AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −2AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ， ∴AP⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅(CA ⃑⃑⃑⃑⃑ +CB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=(15AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +25AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −2AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )=15(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2−4AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 2)=15×(62−4×22)=4 故选：B 2、答案：C分析：求得BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，利用向量共线的充要条件，可得关于k 的方程，求解即可. 解：由题可得：BA⃑⃑⃑⃑⃑ =PA ⃑⃑⃑⃑⃑ −PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(k,12)−(4,5)=(k −4,7)， CA⃑⃑⃑⃑⃑ =PA ⃑⃑⃑⃑⃑ −PC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(k,12)−(10,k )=(k −10,12−k ). 因为A,B,C 三点共线，所以BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ∥CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以(k −4)(12−k )−7(k −10)=0，整理得k 2−9k −22=0，解得k =−2或k =11. 故选：C. 3、答案：C分析：由向量垂直的坐标表示计算．由题意得a ⋅b ⃑ =−m −1+2m =0，解得m =1 故选：C ． 4、答案：A分析：根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据cosB =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC，即可求得答案.∵在△ABC 中，cosC =23，AC =4，BC =3根据余弦定理：AB2=AC2+BC2−2AC⋅BC⋅cosCAB2=42+32−2×4×3×2 3可得AB2=9，即AB=3由∵cosB=AB2+BC2−AC22AB⋅BC =9+9−162×3×3=19故cosB=19.故选：A.小提示：本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.5、答案：C分析：应用正弦定理有ACsinB =ABsinC，结合已知条件即可求A，B间的直线距离.由题设，∠B=180°−∠A−∠C=37°，在△ABC中，ACsinB =ABsinC，即60√3sin37°=√32，所以AB=90sin37°≈150米.故选：C6、答案：B分析：直接由||a|−|b⃑||≤|a−b⃑|<|a|+|b⃑|求解即可.由已知必有||a|−|b⃑||≤|a−b⃑|<|a|+|b⃑|，则所求的取值范围是[2,6)．故选：B.7、答案：A分析：利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．如图所示：由平面相似可知，DEAB =EH AH ,FGAB =CGAC ，而 DE =FG ，所以DE AB=EH AH=CG AC=CG−EH AC−AH=CG−EH CH，而 CH =CE −EH =CG −EH +EG ，即AB =CG−EH+EG CG−EH×DE =EG×DE CG−EH+DE ＝表高×表距表目距的差+表高．故选：A.小提示：本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出． 8、答案：B分析：先解三角形得到△ABC 为直角三角形，建立直角坐标系，通过AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ + nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ 表示出m +n ，借助三角函数求出最小值.由余弦定理得BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅AC ⋅cos∠BAC = 1+4−2×1×2×cos 60∘=3，所以BC =√3，所以AB 2+BC 2=AC 2，所以AB ⊥BC ．以AC 的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得A （－1，0），C （1，0），B （－12，√32），设P 的坐标为(cosθ,sinθ)，所以AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(12,√32)，AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0)，AP ⃑⃑⃑⃑⃑ = (cosθ+1,sinθ)，又AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以(cosθ+1,sinθ)=m (12,√32)+ n (2,0)=(m 2+2n ,√32m)，所以m =2√33sin θ，n =cos θ2+12−√36sin θ，所以m +n =2√33sin θ+cos θ2+12−√36sin θ =√32sin θ+cos θ2+12=sin (θ+π6)+12≥−1+12=−12，当且仅当sin (θ+π6)=−1时，等号成立．故选：B ． 9、答案：CD分析：根据向量的加法运算、相反向量、中线的向量表示，重心的性质分别计算求解. 由D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，点G 为△ABC 的重心，因为AB⃑⃑⃑⃑⃑ +BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AC →≠CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，故A 错误；由12(AB⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )=AD →≠AG →, 故B 错误；因为AF+BD+CE=12(AB →+BC →+CA →)=0, 故C 正确；因为GA ⃑⃑⃑⃑⃑ +GB ⃑⃑⃑⃑⃑ +GC ⃑⃑⃑⃑⃑ =−23[12(AB →+AC →)+12(BA →+BC →)+12(CA →+CB →)] =−13(AB →+BA →+BC →+CB →+AC →+CA →)=0→, 故D 正确. 故选：CD 10、答案：AD分析：利用正弦定理边化角，再结合余弦定理即可求解. ∵cosBcosC =b2a−c =sinB2sinA−sinC .整理可得: sinBcosC =2sinAcosB −sinCcosB可得 sinBcosC +sinCcosB =sin(B +C)=sinA =2sinAcosB ∵A 为三角形内角, sinA ≠0 cosB =12, 故A 正确，B 错误.B ∈(0,π) ∴B =π3S △ABC=3√34,b =3∴3√34=12acsinB =12×a ×c ×√32=√34ac 解得 ac =3,由余弦定理得 9=a 2+c 2−ac =(a +c)2−3ac =(a +c)2−9 解得a +c =3√2, 故C 错误，D 正确. 故选: AD.小提示：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”. 11、答案：BCD分析：根据余弦定理和三角形面积公式进行求解判断即可.解：因为A =π3，b +c =10，a =2√10，所以由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ，可得40=b 2+c 2−ab =(b +c)2−3bc =100−3bc ，所以bc =20，所以S △ABC =12bcsinA =12×20×√32=5√3．故选：BCD 12、答案：43##113分析：根据给定条件，用向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 表示向量AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ，再利用平面向量基本定理求解作答. 在△ABC 中，BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =2PC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +23BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +23(AC ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ) =13AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +23AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，又AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =λAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +μAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，且AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 不共线，则λ=13,μ=23，所以2λ+μ=43. 所以答案是：43。

高中数学必修二第六章平面向量及其应用重点知识归纳(带答案)

高中数学必修二第六章平面向量及其应用重点知识归纳单选题1、已知直角三角形ABC 中，∠A =90°，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值为（）A ．16+16√55B ．16+8√55C ．165D ．565答案：D分析：建立如图所示的坐标系，根据PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·PC ⃑⃑⃑⃑⃑ =|PD ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−5可求其最大值. 以A 为原点建系，B (0,2),C (4,0)，BC:x4+y2=1，即x +2y −4=0，故圆的半径为r =√5∴圆A:x 2+y 2=165，设BC 中点为D (2,1)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·PC ⃑⃑⃑⃑⃑ =PD ⃑⃑⃑⃑⃑ 2−14BC ⃑⃑⃑⃑⃑ 2=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−14×20=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−5， |PD |max =|AD |+r =√5+√5=√5，∴(PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·PC ⃑⃑⃑⃑⃑ )max =815−5=565，故选：D.2、已知向量a =(√3,1)，向量a −b ⃑ =(√3+1,√3+1)，则a 与b ⃑ 的夹角大小为（） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案：D分析：计算可得b →=(−1,−√3)，利用数量积公式计算即可得出结果. ∵向量a =(√3,1)，向量a −b ⃑ =(√3+1,√3+1)， ∴b →=(−1,−√3)，cos <a ⃗,b ⃑⃗>=−√3−√32×2=−√32，且0≤<a ⃗,b ⃑⃗>≤π， ∴a →,b →的夹角为5π6=150°. 故选：D.3、下列说法正确的是（）A ．向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑ //CD ⃑⃑⃑⃑⃑ 就是AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 所在的直线平行于CD ⃑⃑⃑⃑⃑ 所在的直线 B ．长度相等的向量叫做相等向量C ．若a =b ⃑ ,b ⃑ =c ，则a =cD ．共线向量是在一条直线上的向量答案：C分析：根据共线向量的定义可判断A ，D ；由相等向量的定义可判断B ，C ；进而可得正确选项.对于A ：根据共线向量的定义可知向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑ //CD ⃑⃑⃑⃑⃑ 就是AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 所在的直线与CD ⃑⃑⃑⃑⃑ 所在的直线平行或重合，故选项A 不正确；对于B ：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故选项B 不正确；对于C ：若a =b ⃑ ,b ⃑ =c ，则a =c ，故选项C 正确；对于D ：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量，零向量与任意向量共线，故选项D 不正确；故选：C.4、我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =a ，BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =b ⃑ ，BE⃑⃑⃑⃑⃑ =3EF ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则BF ⃑⃑⃑⃑⃑ =（）A ．1225a +925b ⃑ B ．1625a +1225b⃑ C ．45a +35b ⃑ D ．35a +45b ⃑ 答案：B分析：根据给定图形，利用平面向量的加法法则列式求解作答.因“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且BC=a →，BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =b ⃑⃗，BE ⃑⃑⃑⃑⃑ =3EF ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则BF ⃑⃑⃑⃑⃑ =BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +CF ⃑⃑⃑⃑⃑ =BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +34EA ⃑⃑⃑⃑⃑ =BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +34(EB ⃑⃑⃑⃑⃑ +BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ) =BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +34(−34BF ⃑⃑⃑⃑⃑ +BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ) =BC ⃑⃑⃑⃑⃑ −916BF ⃑⃑⃑⃑⃑ +34BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，解得BF ⃑⃑⃑⃑⃑ =1625BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +1225BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以BF ⃑⃑⃑⃑⃑ =1625a ⃗+1225b ⃑⃗. 故选：B5、在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若sinBsinC 3sinA=cosA a+cosC c，且S △ABC =√34(a 2+b 2−c 2)，则c 2a+b的取值范围是（）A ．(6,2√3]B ．(6,4√3]C ．[12,√33)D ．[√3,2) 答案：D分析：根据给定条件利用正弦定理、余弦定理、三角形面积定理求出角C 及边c ，再求出a +b 的范围即可计算作答.在锐角△ABC 中，由余弦定理及三角形面积定理得：S △ABC =√34(a 2+b 2−c 2)=√32abcosC =12absinC ，即有tanC =√3，而C ∈(0,π2)，则C =π3，又sinBsinC 3sinA=cosA a+cosC c，由正弦定理、余弦定理得，b⋅√323a =b 2+c 2−a 22bca+a 2+b 2−c 22abc，化简得：c =2√3，由正弦定理有：a sinA=b sinB=c sinC=√3√32=4，即a =4sinA ，b =4sinB ，△ABC 是锐角三角形且C =π3，有A ∈(0,π2)，B =2π3−A ∈(0,π2)，解得A ∈(π6,π2)，因此a +b =4(sinA +sinB)=4[sinA +sin(2π3−A)] =4(sinA +√32cosA +12sinA)=4√3sin(A +π6)，由A ∈(π6,π2)得：A +π6∈(π3,2π3)，sin(A +π6)∈(√32,1]，所以c 2a+b =4√3sin(A+π6)∈[√3,2)．故选：D小提示：思路点睛：涉及求三角形周长范围问题，时常利用三角形正弦定理，转化为关于某个角的函数，再借助三角函数的性质求解.6、已知菱形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 为AO 的中点，若AB =2，∠BAD =60°，则AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅DE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=（） A ．−2B ．−12C ．−72D ．12 答案：B分析：根据题意,以对角线交点为坐标原点，对角线所在直线为x,y 轴建立直角坐标系,利用坐标法求解. 解：如图，以点O 为坐标原点，OD,OA 所在直线为x,y 轴建立平面直角坐标系，由AB =2，∠BAD =60°，所以A(0,√3)，B(−1,0)，D(1,0)，E(0,√32)，所以AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(−1,−√3),DE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(−1,√32)，所以AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅DE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=1−32=−12. 故选：B小提示：本题考查向量的数量积运算，解题的关键在于根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标法求解，考查运算求解能力，是中档题.7、已知向量a =(−1,m )，b ⃑ =(2,4)，若a 与b ⃑ 共线，则m =（） A ．−1B ．1C ．−2D ．2 答案：C分析：根据平面向量共线坐标表示可得答案. 由题意得2m =−4，即m =−2. 故选：C8、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =√5，c =2，cosA =23，则b 等于（）A ．√2B ．√3C ．2D ．3 答案：D分析：根据余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ，将已知量代入即可解得答案.根据余弦定理得a 2=b 2+c 2−2bccosA ，即5=b 2+4−2×b ×2×23，亦即b 2−83b −1=0，解得b =3或b =−13（舍去）.故选：D. 多选题9、已知实数m 、n 和向量a 、b ⃑ ，下列结论中正确的是（） A ．m(a −b ⃑ )=ma −mb ⃑ B ．(m −n )a =ma −naC ．若ma =mb ⃑ ，则a =b ⃑D ．若ma =na (a ≠0⃑ )，则m =n 答案：ABD分析：利用平面向量的线性运算可判断ABCD 选项. 对于A 选项，m(a −b ⃑ )=ma −mb ⃑ ，A 对；对于B 选项，(m −n )a =ma −na ，B 对；对于C 选项，若ma =mb ⃑ ，则m(a −b ⃑ )=0⃑ ，所以，m =0或a =b⃑ ，C 错；对于D 选项，若ma =na (a ≠0⃑ )，则(m −n )a =0⃑ ，所以，m −n =0，即m =n ，D 对. 故选：ABD.10、如图所示，设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是（）A ．AD⃑⃑⃑⃑⃑ 与AB ⃑⃑⃑⃑⃑ B ．DA ⃑⃑⃑⃑⃑ 与BC ⃑⃑⃑⃑⃑ C ．CA ⃑⃑⃑⃑⃑ 与DC ⃑⃑⃑⃑⃑ D ．OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 与OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：AC分析：分析两个向量是否共线，不共线的两个向量可以作为基底. B 中DA ⃑⃑⃑⃑⃑ 与BC ⃑⃑⃑⃑⃑ 共线，D 中OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 与OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 共线，A 、C 中两向量不共线，故选：AC.11、点O 在△ABC 所在的平面内，则以下说法正确的有（）A ．若动点P 满足OP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+λ(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|sinB +AC⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AC⃑⃑⃑⃑⃑⃗|sinC )(λ>0)，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的垂心； B ．若OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅(AC⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|−AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗|)=OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅(BC⃑⃑⃑⃑⃑⃗|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|−BA⃑⃑⃑⃑⃑⃗|BA⃑⃑⃑⃑⃑⃗|)=0，则点O 为△ABC 的内心；C ．若(OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)⋅AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=0，则点O 为△ABC 的外心； D ．若动点P 满足OP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+λ(AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|cosB +AC⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|cosC )(λ>0)，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心. 答案：BC分析：A 由正弦定理知|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|sinB =|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|sinC =m ，且OP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，代入已知等式得AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=mAP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，即知P 的轨迹一定经过的哪种心；B 、C 分别假设O 为△ABC 的内心、外心，利用向量的几何图形中的关系，及向量的运算律和数量积判断条件是否成立即可；D 由OP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，根据数量积的运算律及向量数量积的几何意义求AP⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗的值，即知P 的轨迹一定经过的哪种心； A ：由正弦定理知|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|sinB =|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|sinC =m ，而OP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，所以AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=mAP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，即动点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心，故错误.B ：若O 为△ABC 的内心，如下图示：OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AC⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=−|AE⃑⃑⃑⃑⃑⃗|，同理OA⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=−|AD⃑⃑⃑⃑⃑⃗|，OB⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|BC⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=−|BF⃑⃑⃑⃑⃑⃗|，OB⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|BA⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=−|BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗|， ∴OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅(AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|)=OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|−OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=|AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|−|AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=0，OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅(BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|−BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|)=OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|−OB⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|BA⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=|BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗|−|BF ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=0，故正确；C ：若O 为△ABC 的外心，D,E 分别为AB,BC 的中点，则OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=2OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗，而OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=0，同理OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=2OE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，又OE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅BC⃑⃑⃑⃑⃑⃗=0，故(OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗= (OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=0，正确；D ：由OP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，故AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=λ(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|cosB +AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|cosC )=λ(−|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|+|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|)=0，即AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⊥BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，动点P 的轨迹一定经过△ABC 的垂心，错误.故选：BC小提示：关键点点睛：应用已知等量关系，结合向量的运算律、数量积的值判断向量过三角形的何种心，或假设O 为△ABC 的内心、外心，再应用几何图形中相关线段所表示的向量，结合向量的线性关系及数量积的运算律，判断条件是否成立. 填空题12、已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2acosB =c ，D 是BC 的中点，若AD =2，则b +√2c 的最大值为______．答案：4√2分析：利用正弦定理将边化角，即可得到A =B ，再结合cos∠ADB +cos∠ADC =0得到b 2+2c 2=16，最后借助基本不等式即可求解．解：因为2acosB =c ，由正弦定理可得2sinAcosB =sinC 所以2cosBsinA =sinC =sin(A +B)=sinAcosB +sinBcosA ，化简得sinBcosA −sinAcosB =0，即sin(A −B)=0，因为A,B ∈(0,π)，所以A −B ∈(−π,π) 所以A =B ，又∠ADB +∠ADC =π，cos∠ADB +cos∠ADC =0，由余弦定理知AD 2+DB 2−AB 22AD⋅DB +AD 2+DC 2−AC 22AD⋅DC=0，即22+(a 2)2−c 22×2⋅a 2+22+(a 2)2−b 22×2⋅a 2=0，又a =b ，化简得b 2+2c 2=16， b 2+2c 2=(b +√2c)2−2b ⋅√2c =16，又2b ⋅√2c ≤2⋅(b+√2c 2)2=(b+√2c)22，当且仅当b =√2c 时取等号，故(b +√2c)2−(b+√2c)22⩽16，即b +√2c ⩽4√2．所以答案是：4√2．13、a →，b →为不共线的向量，设条件M:b →⊥(a →−b →)；条件N:对一切x ∈R ，不等式|a →−xb →|≥|a →−b →|恒成立．则M 是N 的__________条件．答案：充要分析：由条件M:b →⊥(a →−b →)，可得b ⃑ ⋅(a −b ⃑ )=a ⋅b ⃑ −b ⃑ 2=0；不等式|a →−xb →|≥|a →−b →|化为x 2b ⃑ 2−2xa ⋅b ⃑ +2a ⋅b ⃑ −b ⃑ 2≥0．由于对一切x ∈R ，不等式|a →−xb →|≥|a →−b →|恒成立，所以可得Δ≤0，化简即可得出．由条件M:b →⊥(a →−b →)，可得b ⃑ ⋅(a −b ⃑ )=a ⋅b⃑ −b ⃑ 2=0；不等式|a →−xb →|≥|a →−b →|化为x 2b ⃑ 2−2xa ⋅b ⃑ +2a ⋅b ⃑ −b ⃑ 2≥0， ∵对一切x ∈R ，不等式|a →−xb →|≥|a →−b →|恒成立， ∴Δ=4(a ⋅b ⃑ )2−4(2a ⋅b ⃑ −b ⃑ 2)b ⃑ 2≤0，化为(a ⋅b ⃑ −b ⃑ 2)2≤0， ∴a ⋅b ⃑ −b ⃑ 2=0，所以M ⇔N ．所以答案是：充要．小提示：关键点睛：本题的解题关键是由不等式|a →−xb →|≥|a →−b →|化为x 2b ⃑ 2−2xa ⋅b ⃑ +2a ⋅b ⃑ −b ⃑ 2≥0后由一元二次不等式的知识得出Δ=4(a b ⃑ )2−4(2a b⃑ −b ⃑ 2)b ⃑ 2≤0，从而得解. 14、已知向量a ⃗=(−4,3)，点A(1,1)，B(2,−1)，记A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 为AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 在向量a 上的投影向量，若A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =λa ⃗，则λ=_________．答案：−25分析：先求得AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 在向量a 上的投影，再根据A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 为AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 在向量a 上的投影，求得A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标，然后由A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =λa ⃗求解.因为点A(1,1)，B(2,−1)，所以AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,−2)，又向量a ⃗=(−4,3)，所以AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 在向量a 上的投影AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅a ⃑ |a ⃑ |=−105=−2，所以A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =−2×a ⃑ |a ⃑ |=(−85,65) 因为A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =λa ⃗，所以λ= −25，所以答案是：−25解答题15、某人骑车以每小时a 千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为每小时2a 千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向.答案：西北方向吹来；√2a 千米/小时.分析：由题意，确定分运动和合运动的关系，根据运动的合成与分解法则，由人的运动即可确定风的实际运动.解：设a 表示此人以每小时a 千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为−a ，设实际风速为v ，那么此时人感到风速为v −a ，设OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =−a ,OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =−2a ,OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =v ，因为PO ⃑⃑⃑⃑⃑ +OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =PA⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以PA ⃑⃑⃑⃑⃑ =v −a ，这就是感到由正北方向吹来的风速，因为PO ⃑⃑⃑⃑⃑ +OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =v −2a ，于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是PB⃑⃑⃑⃑⃑ ，由题意：∠PBO ＝45°，PA ⊥BO ，BA ＝AO ，从而，△POB 为等腰直角三角形，所以PO ＝PB ＝√2a ，即|v |=√2a ，所以实际风速为√2a 千米每小时，方向为西北方向吹来.。

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第六章综合检测题一、选择题1．向量AB MB BO BC OM ++++=（） A ．AC B ．ABC ．BCD ．AM【答案】A【解析】向量AB MB BO BC OM AB BO OM MB BC AC ++++=++++=. 故选：A.2．【2019年5月10日《每日一题》必修4向量数乘运算及其几何意义】在四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，则四边形ABCD 的形状是 A ．长方形 B ．平行四边形C ．菱形D ．梯形【答案】D【解析】由题意，因为2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--， ∴AD AB =+BC +24532CD a b a b a b BC =+----=， ∴AD ∥BC ，且AD≠BC ，∴四边形ABCD 为梯形，故选D ．3．在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-，()D 2,1A =，则D C A ⋅A =（） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】因为四边形CD AB 是平行四边形，所以()()()C D 1,22,13,1A =AB+A =-+=-，所以()D C 23115A ⋅A =⨯+⨯-=，故选D ．4．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144+AB ACD ．1344+AB AC【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+，所以3144EB AB AC =-，故选A.5．在ABC ∆中，若3AB =，BC =4AC =，则AC 边上的高为（）A B C ．32D ．【答案】B【解析】由题意可知，222341cos 2342A +-==⨯⨯,sin A ∴=又1··2ABC S AB AC ∆= 1sin ?·,2A AC h h =∴=.故选B.6．若平面向量a ⃗与b ⃗⃗的夹角为60°，|b ⃗⃗|=4，(a ⃗+2b ⃗⃗)•(a ⃗−3b ⃗⃗)=−72，则向量a ⃗的模为（） A ．2 B ．4 C ．6 D ．12 【答案】C【解析】∵(a ⃗+2b ⃗⃗)·(a ⃗−3b ⃗⃗)=−72，∴|a ⃗|2−a ⃗·b ⃗⃗−6|b ⃗⃗|2=−72，又∵a ⃗·b ⃗⃗=|a ⃗|·|b ⃗⃗|cos60∘，∴|a ⃗|2−2|a ⃗|−24=0，则|a ⃗|=6，故选C7．如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=+，则λμ+=（）A ．43B ．53C ．158D ．2【答案】B【解析】以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，由此，()()11,1,1,,1,12AC AM BD ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，故11,12λμλμ=-=+，解得415,,333λμλμ==+=.故选B. 8．已知向量a,b 满足a 1=，a b 1⋅=-，则a (2a b)⋅-= A ．4 B ．3 C ．2 D ．0【答案】B【解析】因为22(2)22||(1)213,a a b a a b a ⋅-=-⋅=--=+= 所以选B.9.（多选题）设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（） A.a ·c －b ·c ＝(a －b )·c ； B.(b ·c )·a －(c ·a )·b 不与c 垂直； C.|a |－|b |<|a －b |； D.(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2. 【答案】A ，C ，D【解析】根据向量积的分配律知A 正确；因为[(b ·c )·a －(c ·a )·b ]·c ＝(b ·c )·(a ·c )－(c ·a )·(b ·c )＝0，∴(b ·c )·a －(c ·a )·b 与c 垂直，B 错误；因为a ，b 不共线，所以|a |，|b |，|a －b |组成三角形三边，∴|a |－|b |<|a －b |成立，C 正确；D 正确.故正确命题的序号是A ，C ，D.10.（多选题）给出下列四个命题，其中正确的选项有（） A.非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角是30° B.若(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形C.若单位向量a ，b 的夹角为120°，则当|2a ＋xb |(x ∈R )取最小值时x ＝1D.若OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，∠ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是m ＞－34. 【答案】A ，B ，C【解析】A 中，令OA →＝a ，OB →＝b .以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB .∵|a |＝|b |＝|a －b |，∴四边形OACB 为菱形，∠AOB ＝60°，∠AOC ＝30°，即a 与a ＋b 的夹角是30°，故A 正确. B 中，∵(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，∴|AB →|2＝|AC →|2，故△ABC 为等腰三角形.故B 正确.C 中，∵(2a ＋x b )2＝4a 2＋4x a ·b ＋x 2b 2＝4＋4x cos 120°＋x 2＝x 2－2x ＋4＝(x －1)2＋3，故|2a ＋x b |取最小值时x ＝1.故③正确.D 中，∵BA →＝OA →－OB →＝(3，－4)－(6，－3)＝(－3，－1)，BC →＝OC →－OB →＝(5－m ，－3－m )－(6，－3)＝(－1－m ，－m )，又∠ABC 为锐角，∴BA →·BC →＞0，即3＋3m ＋m ＞0，∴m ＞－34.又当BA →与BC →同向共线时，m ＝12，故当∠ABC 为锐角时，m 的取值范围是m ＞－34且m ≠12.故D 不正确.故选A ，B ，C. 11.（多选题）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列结论不正确的是（） A ．a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A B sin a B ．＝sin b A C ．a ＝sin cos b C c B + D ．cos cos sin a B b A C += 【答案】A ，B ，C【解析】由在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，知：在A 中，由余弦定理得：a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，故A 正确；在B 中，由正弦定理得：，∴a sin B ＝b sin A ，故B 正确；在C 中，∵a ＝sin cos b C c B +，∴由余弦定理得：a ＝b ×+c ×，整理，得2a 2＝2a 2，故C 正确；在D 中，由余弦定理得a cos B +b cos A ＝a ×+b ×＝+＝c ≠sin C ，故D 错误．故选A ，B ，C.12.（多选题）在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（） A ．b ＝7，c ＝3，C ＝30° B ．b ＝5，c ＝4，B ＝45° C ．a ＝6，b ＝3，B ＝60°D ．a ＝20，b ＝30，A ＝30°【解析】B ，C【解析】对于A ，∵b ＝7，c ＝3，C ＝30°，∴由正弦定理可得：sin B ＝＝＝＞1，无解；对于B ，b ＝5，c ＝4，B ＝45°，∴由正弦定理可得sin C ＝＝＝＜1，且c ＜b ，有一解；对于C ，∵a ＝6，b ＝3，B ＝60°，∴由正弦定理可得：sin A ＝＝＝1，A ＝90°，此时C ＝30°，有一解；对于D ，∵a ＝20，b ＝30，A ＝30°，∴由正弦定理可得：sin B ＝＝＝＜1，且b ＞a ，∴B 有两个可能值，本选项符合题意．故选B ，C ．二、填空题13．【贵州省贵阳市第一中学2020届高三上学期第三次月考数学（理)试题】已知()1,3a =，()0,1b =-，则a b b a b ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭________．【答案】1 【解析】2a =，1b =，所以()13,,0,122ab ab⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，所以13,122a bab ⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()10111||222||a b b a b ⎛⎫⎛⎫+⋅=⨯+-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：1. 14．在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、.若2,a b ==sin cos B B +=,，则角A 的大小为____________________. 【答案】6π【解析】由sin cos )4B B B π+=+=sin()14B π+=，所以4B π=由正弦定理sin sin a b A B=得sin 14sin 22a B Ab π===，所以A=6π或56π（舍去）、 15．如图，在ABC 中，12021BAC AB AC ∠=︒==，，，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则AD BC = ．【答案】83-【解析】由图及题意得， =∴ =()()= +== .16．设1e ,2e 是两个不共线的向量, a =31e +42e ,b =1e -22e .若以a ,b 为基底表示向量1e +22e ,即1e +22e =λa +μb ,则λ= ，μ= 。

【答案】25，51- 【解析】()()()()121212122λ342342e e a b e e e e e e λμμλμλμ+=+=++-=++-31422λμλμ+=⎧∴⎨-=⎩，解得2515λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩三、解答题17．【北京市海淀区清华大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中数学试题】在ABC ∆中，222a c b ac +=+．（1）求cos B 的值；（2）若1,87cosA a ==，求b 以及ABC S ∆的值．【答案】（1）12；（2）7.【解析】（1）由余弦定理及已知得：2221 cos22a c bBac+-==.（2）因为,A B为三角形内角，所以sin A===，sin B===，由正弦定理得：8sin7sina BbA⋅===，又∵2221cos72b c aAbc+-==．22150c c∴--=，解得5c=（3c=-舍）．1sin2ABCS bc A∆∴=⋅=．18．在平面直角坐标系中，已知()2,3A=，()4,1B=-，()2,0P=.（1）AP BP⋅的值.（2）APB∠的余弦值.【答案】（1）3-；（2）55-.【解析】（1）()()0,3,2,1AP BP=-=-，所以()()02313AP BP⋅=⨯-+-⨯=-.（2）由（1）得3,5AP BP==，所以3scoPA PB AP BPAPBPA PB PA PB⋅⋅-====∠⨯，19．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距6n mile，渔船乙以5/n mile h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2h追上.（1）求渔船甲的速度；（2）求sin α的值.【答案】（1）7/n mile h ；（2）14. 【解析】（1）依题意，知120BAC ∠=，6AB =，5210AC =⨯=，BCA α∠=. 在ABC ∆中，由余弦定理，得2222cos BC AB AC AB AC BAC=+-⨯⨯∠226102610cos120196=+-⨯⨯⨯=，解得14BC nmile =，所以渔船甲的速度为7 /2BCn mile h =；（2）在ABC ∆中，6AB =，120BAC ∠=，14BC =，BCA α∠=，由正弦定理，得sin sin120AB BC α=，即6sin1202sin 14AB BC α===. 20．在▱ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BN ＝13BD ，求证：M ，N ，C 三点共线．【答案】见解析【解析】MN ＝BN －BM .因为BM ＝12BA ，BN ＝13BD＝13(BA ＋BC )，所以MN ＝13BA ＋13BC －12BA ，＝13BC －16BA . 由于MC ＝BC －BM ＝BC －12BA ，可知MC ＝3MN ，即MC ∥MN .又因为MC 、MN 有公共点M ，所以M 、N 、C 三点共线21．已知(1,2),(3,2)a b ==-，当k 为何值时，3ka b a b +-与平行？平行时它们是同向还是反向？【答案】见解析【解析】因为()3,22ka b k k +=-+，()310,4a b -=- 当3ka b a b +-与平行时，则()()()3422100k k -⨯--+⨯=，解得：13k =- 此时()310,4a b -=-，()3,22ka b k k +=-+=113,2233⎛⎫⎛⎫--⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=104,33⎛⎫- ⎪⎝⎭=()()1110,4333a b --=--．所以3ka b a b +-与反向． 22．在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝2A ．（1）求cos A 的值；（2）求c 的值．【答案】（1）63；（2）．【解析】(1)因为a ＝3，b ＝，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得sin a A .所以2sin cos sin A A A .故cos A .(2)由(1)知cos A ＝3，所以sin A ＝3. 又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B.在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝9.所以c＝sinsina CA＝5.。